CALCULO INTEGRAL

Melendres Mayon RonnyOrozco Torres Jimmy Machala 31/07/2014

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

Centro De Maza

Centro De MazaNuestro principal objetivo aquí es hallar el punto P sobre el que una placa delgada de cualquier forma se mantiene horizontal como se muestra en la figura. El punto se llama centro de masa (o centro de gravedad) de la placa.

Calculo de una variable. 7ed. Trascedentes

tempranas

Primero se considera la situación más simple ilustrada en la figura , donde dos masas m1 y m2 se fijan a una varilla de masa insignificante en lados opuestos de un fulcro (punto de apoyo) y a distancias d1 y d2 de éste. La varilla se estabilizará si

M1X1 = M2X2

d1 d2

m1 m2

Fulcro

Éste es un hecho experimental que descubrió

Arquímedes y se llama ley de la palanca.

Nos dice que el momento de m sobre el punto P es:

Momento=mx

Donde m es la maza sobre el punto P y

X= es la longitud del brazo del momento.

Para un sistema que no está en equilibrio, el centro de masa se define como el punto en el que hay que colocar el punto de apoyo para lograr el equilibrio. Si el sistema fuera Trasladado unidades, cada coordenada se volvería ( - ) y por que el momento del sistema trasladado sería 0, se tiene que:

∑𝑖=1

𝑛

𝑚𝑖 (𝑥𝑖−𝑥 ) =∑𝑖=1

𝑛

𝑚𝑖𝑥 𝑖-∑𝑖=1

𝑛

𝑚𝑖𝑥 = 0

Despejando para produce:

=

∑𝑖=1

𝑛

𝑚𝑖𝑥 𝑖

∑𝑖=1

𝑛

𝑚𝑖𝑥

𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛

𝑚𝑎𝑠𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑑𝑒𝑙𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎=

• Llamamos al Momento del sistema con respecto al origen a :

1

• Se define el momento del sistema con respecto al eje Y:

2

• Momento del sistema con respecto a X:3

M= ∑𝑖=1

𝑛

𝑚𝑖𝑥 𝑖

My=∑𝑖=1

𝑛

𝑚𝑖𝑥 𝑖

Mx=∑𝑖=1

𝑛

𝑚𝑖 𝑦 𝑖

El momento de un sistema de masas en el plano puede tomarse respecto de cualquier recta horizontal o vertical. En general, el momento sobre una recta es la suma del producto de las masas y las distancias dirigidas de los puntos a la recta.

Momento= (-b)+(-b)+….+(-b)

Recta vertical x=a

Recta horizontal y=b

Momento= (-a)+(-a)+….+(-a)

Centro de masa de un sistema bidimensional

Ejemplo:

Encontrar el centro de masa de un sistema de masas puntuales m1=6, m2=3, m3=2 y m4= 9, localizados en:(3,-2);(0,0);(-5,3) y (4,2)

Solución:

Centro de Masa de una lamina Plana

Considerar una lámina plana irregularmente formada de densidad uniforme , limitada por las gráficas de y=ƒ(x), y =g(x) y a ≤ x ≤ b, como se muestra en la figura . La masa de esta región está dada por:

Ejemplo:

Encontrar el centro de masa de la lámina de densidad uniforme ρ acotada por la gráfica de ƒ(x)=4- y el eje x. dada por los limites de (-2,2).

Solución: porque el centro de masa esta situado en el eje de

simetría, se sabe que x=0 es mas la masa de la lamina es:

Para encontrar el momento respecto del eje x, poner un

rectángulo representativo en la región como se mostro en la

figura. La distancia del eje X al centro de este rectángulo es:

Por que la masa del rectángulo es representativo:

Se tiene:

Y esta dada por:

Asi el centro de masa (o punto de equilibrio) de la lamina es (0, ) como se muestra en la figura .

EJEMPLO 2:

Hallar el centro de masa limitada por las siguientes funciones Y= 6x-

F(x)=6x-𝑥 𝑌0 0 1 12 23 34 45 56 67 7

𝑥 G(X)

𝑌0 0 1 52 83 94 85 56 0

APÉNDICE