Calculo Integral

Título de la transparenciaIntegrales
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
Integrales indefinidas. Teoremas
Primitiva de una función
La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I
si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.
Ejemplo: la función F(x) = EQ \f(x4;4) es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3.
También la función G(x) = EQ \f(x4;4) + 2 es una primitiva de f . Ambas en cualquier intervalo de la recta real.
Matemáticas 2.º Bachillerato
Integral indefinida
Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real.
Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de todas las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe EQ \i\in(;; f(x) dx), y se lee «integral de f(x)»
Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = ex + C, donde C es una constante. Se expresa de la siguiente manera: EQ \i\in(;; ex dx) = ex + C
Integrando
Derivando
Propiedades de la integral indefinida
Propiedades de la integral indefinida
I EQ \i\in(;; k f(x) dx) = k EQ \i\in(;; f(x) dx) con k ( R
Las constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida.
II EQ \i\in(;; [ f(x) ( g(x)] dx) = EQ \i\in(;; f(x) dx) ( EQ \i\in(;; g(x) dx)
La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las integrales indefinidas.
Propiedades de la derivada
I (kf )' (x) = k f '(x) con k ( R
La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función.
II (f ( g) ' (x) = f ' (x) ( g ' (x)
La derivada de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las derivadas de cada una de ellas.
Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona primitivas e integrales indefinidas.
1.- EQ \i\in(;; xa dx) = EQ \f(xa+1;a+1) + C, si a (-1, a ( R
2.- EQ \i\in(;; \f(1;x) dx) = ln x + C
3.- EQ \i\in(;; ex dx) = ex + C
4.- ∫ax =
5.- EQ \i\in(;; sen x dx) = – cos x + C
6.- EQ \i\in(;; cos x dx) = sen x + C
7.-
Ejemplo:
¹
– 1
Tipo general
EC \i\in(;; f '(x) [f(x)]r dx) = \f([f(x)]r+1; r + 1) + C para r ( -1
EQ \f(1;2) \i\in(;; 2 cos 2x sen3 2x dx) = \f(1;2) \f(sen4 2x;4) = \f(1;8) sen4 2x + C
· EQ \i\in(,, cos 2x sen3 2x dx) =
Ejemplo:
ò
dx
x
f
x
f
· EC \i\in(;; tg 3x dx) =
EC \f( – 1;3) \i\in(;; \f( – 3 sen 3x;cos 3x) dx) = – \f(1;3) ln |cos 3x | + C
Ejemplo:
Tipo general
· Ec \i\in( ; ; ax dx) = Ec \f(ax;ln a) + C, para cualquier a > 0
· Para a = e se obtiene Ec \i\in( ; ; ex dx) = ex + C
EC \i\in(;; f '(x) af(x) dx) = \f(af(x); ln a) + C, para a > 0
· EC \i\in(;; x2 ex3 dx) =
EC \f(1;3) \i\in(;; 3x2 ex3 dx) = \f(1;3) ex3 + C
Ejemplo:
· Ec \i\in( ; ; sen x dx) = – cos x + C
EC \i\in(;; f '(x) sen f(x) dx) = – cos f(x) + C
· EC \i\in(;; e3x sen (e3x + 5) dx) =
EC \f(1;3) \i\in(;; 3 e3x sen (e3x + 5) dx) = – \f(1;3) cos (e3x + 5) + C
Ejemplo:
· Ec \i\in( ; ; cos x dx) = sen x + C
EC \i\in(;; f '(x) cos f(x) dx) = sen f(x) + C
· EC \i\in(;; e7x cos (e7x + 5) dx) =
EC \f(1;7) \i\in(;; 7 e7x cos (e7x + 5) dx) = \f(1;7) sen (e7x + 5) + C
Ejemplo:
ò
_1295513193.unknown
EQ \i\in(;; \f(g '(x);\r(1 - [g(x)]2)) dx) = arcsen g(x) + C
· EC \i\in(;; \f(e3x ;\r(1 – e6x)) dx) =
EC \i\in(;; \f(e3x ;\r(1 – (e3x)2)) dx) = \f(1;3) \i\in(;; \f(3e3x ;\r(1 – (e3x)2)) dx) = \f(1;3) arcsen e3x + C
Ejemplo:
(
)
EC \f(1;\r(2)) \i\in(;; \f(\r(2);1 + (\r(2)x)2) dx) =
(
)
Consejos
1. Llamar g a una función de la que sea cómodo obtener g.
2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para g, llamar entonces g a aquella que haga que ∫ f g se más cómoda que ∫ f g .
Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene:
EQ \i\in( ; ;f(x)g'(x) dx) = f(x)g(x) – EQ \i\in( ; ;g(x)f '(x) dx)
Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:
EQ \i\in( ; ;u dv) = uv – EQ \i\in( ; ;v du)
u = x du = dx
u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dx
dv = dx v = x
dv = dx v = x
· EC \i\in( ; ;x2 ex) dx =
x EC 2 e EC x – EC \i\in( ; ;ex) 2x dx =
x EC 2 e EC x – 2 EC \i\in( ; ; x ex) dx =
= x . sen(ln x) – x cos(ln x) – EC \i\in( ; ;sen(ln x)) . dx
x . sen (ln x) – EC \i\in( ; ;cos (ln x)) . dx =
· EC \i\in( ; ;sen(ln x)) . dx =
EC \i\in( ; ;sen(ln x)) . dx = EC \f(1;2)x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C
Integración por sustitución o cambio de variable
Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:
(F o g)'(x) =F(g(x))’= F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)
Por lo que la integral del elemento final es:
EQ \i\in( ; ; f[g(x)]g'(x) dx) = F[g(x)] + C
Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx.
Con esta sustitución se tiene EQ \i\in( ; ; f(u) du) = F(u) + C
Cambio ln x = u dx / x = du
= ln | ln x | + C
Para calcular una integral por cambio de variable:
Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral inmediata.
Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante.
du = g'(x) dx
Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.
deshacer el cambio
=
_1385488532.unknown
Cambio x4 + 2 = u 4x3 . dx = du x3 dx = du/4
Cambio sen 2x = t 2 cos 2x . dx = dt cos 2x dx = dt/2
deshacer el cambio
deshacer el cambio
ò
4
du
u
_1385490807.unknown
EC \f(1;2) \i\in(;; t3 . dt) =
= EC \f(1; 8 ) sen4 2x + C
EC \f(1;2) \f(t4 ;4) + C
Integración de funciones racionales
En donde la primera integral es inmediata y la segunda corresponde al Caso 2
Como m n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x)
Caso 1: m n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2.
P(x)
Q(x)
C(x)
R(x)
P(x) = C(x) . Q(x) + R(x)
Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.
Pretendemos obtener EC \i\in( ; ;\f(P(x);Q(x))) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n
Por tanto: EC \i\in( ; ; \f(P(x);Q(x))) dx = EC \i\in( ; ;C(x)) .dx + EC \i\in( ; ;\f(R(x);Q(x))) dx
Descomposición en fracciones simples I
Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la ecuación Q(x) = 0.
Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene:
Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1).
Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2).
Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que son necesariamente conjugadas).
El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.
Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho polinomio se factoriza de la siguiente manera:
Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c)
tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado.
Paso 1. Factorización del polinomio Q(x)
Pretendemos obtener EQ \i\in( ; ;\f(P(x);Q(x))) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n
EC \i\in( ; ; \f(P(x);Q(x))) dx = EC \f(1;ao) \i\in( ; ;\f(P(x);(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c))) dx =
Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
Proceso de cálculo:
Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una identidad polinómica.
Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más).
Resolver el sistema.
Paso 1. Factorización del polinomio denominador
Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)
Paso 2. Descomponer en fracciones simples
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
Descomponer en fracciones simples: EC \f(x2 + x + 1;x5 – x4 – x + 1)
EC \f(x2 + x + 1;x5 – x4 – x + 1) = EC \f(A;x + 1) + EC \f(B;(x – 1)2) + EC \f(C;x – 1) + EC \f(Mx + N;x2 + 1)
x EC 2 + x + 1= A(x–1) EC 2(x2+1) + B(x+1)(x EC 2 +1) + C(x–1)(x+1)(x EC 2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1) EC 2
EC \B\rc\}(\s(x=1 B=3/4;x=–1 A=1/8;x=0 – C + N = 1/8;x=2 5C+2M+N = –13/8;x=–2 5C+6M–3N = 3/8)) Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4
Sea D el discriminante del denominador: D = b2 – 4ac
Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser resuelta como inmediata tipo neperiano.
En caso contrario:
Si D 0 la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples.
Si D < 0 la integral es tipo neperiano + arco tangente.
Pasos para su obtención:
M 0
Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador.
Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente.
M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente).
Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado (cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan los números fraccionarios.
Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado (sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e integramos como inmediata tipo arco tangente
Estudio de la integral EC \i\in(;; \f(Mx + N;ax2 + bx + c) dx)
Fórmulas trigonométricas fundamentales
sen2px + cos2px = 1
Fórmula fundamental de la trigonometría.
sen 2px = 2 sen px . cos px cos 2px = cos2px – sen2px
Seno y coseno del ángulo doble.
EQ cos2px = \f(1 + cos 2px;2)
EQ sen2px = \f(1 – cos 2px;2)
Fórmulas de reducción de grado.
sen a . cos b = EQ \f(1;2) sen (a + b) + \f(1;2) sen (a – b)
EQ cos a . cos b = \f(1;2) cos (a + b) + \f(1;2) cos (a – b)
EQ sen a . sen b = – \f(1;2) cos (a + b) + \f(1;2) cos (a – b)
Fórmulas de conversión de productos de senos y cosenos en suma.
sen (– px) = – sen px
cos (– px) = cos px
1 + tg EQ 2 px = sec EQ 2 px;
1 + ctg EQ 2 px = csc EQ 2 px
Forma
Condiciones
Método
EQ \i\in( ; ;cosn px) dx
n par
Reducir el grado del integrando por medio de las fórmulas de reducción de grado (3), según convenga.
n impar
Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial.
(II) EQ \i\in( ; ;senn px . cosn px) dx
m y n pares
m ó n impares
De la potencia de exponente impar se saca un factor, sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial.
Caso particular (
Aplicar la relación (2a) para obtener:
EQ \i\in( ; ;senn px . cosn px) dx = EQ \f(1;2n) \i\in( ; ;senn 2px) dx
que es del tipo (I).
Forma
Condiciones
Método
(III)
EQ \i\in( ; ;sen px.cos qx).dx
EQ \i\in( ; ;sen px.sen qx).dx
EQ \i\in( ; ;cos px.cos qx.).dx
p y q números reales cualesquiera
Convertir los productos en sumas mediante la relaciones 4 según convenga.
Tipo I. Exponente impar
Tipo I. Exponente par
3x+C
= EQ \i\in( ; ;sen3x.dx) + EQ \i\in( ; ;cos43x) sen 3x.dx –2 EQ \i\in( ; ;cos23x) sen 3x.dx =
= EC \f(1;4) \i\in( ; ;1.dx + \f(1;4) \i\in( ; ; cos2 \f(2x;3))dx – 2 \f(1;4) \i\in( ; ;cos\f(2x;3))) dx =
Tipo II. Al menos un exponente impar
Tipo II. Todos los exponentes pares
sen2 6x
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)
= EC \i\in( ; ;cos45x.sen 5x.dx) – EC \i\in( ; ;cos65x.sen 5x.dx) =
= EC \f( – 1;25) cos5 5x + EC \f(1;35) cos7 5x + C
= EC \f(1;8) \i\in( ; ;\f(1 – cos 12x;2)) dx – EC \f(1;48) \f(sen36x;3) =
= EC \f(1;8) \i\in( ; ;sen26x) dx – EC \f(1;8) \i\in( ; ;sen26x) .cos 6x.dx =
= EC \f(x;16) – EC \f(1;144) sen EC 3 6x – EC \f(1;192) sen 12x + C
Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento
Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas en productos
Cálculo de áreas
En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas.
Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abcisas x = a, x = b.
Error
Área (Trapecio curvilíneo) (
Ejemplo: la función F(x) =
es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x
3
cualquier intervalo de la recta real.
Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de t o-

tegral de f(x)»
x

I
Las constantes pueden salir y entrar fu era del
signo de la integral indef inida.
II
dos funciones es la suma (resta) de las int e-
grales indefinidas.
La derivada de una constante por una
función es el producto de la constante
por la derivada de la fu nción.
II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x)
La derivada de una suma (resta) de dos
funciones es la suma (resta) de las der i-
vadas de cada una de ellas.
1.-
2.-
5.-
6.-
7.-
211dxarcsenxCx
8.-
21arctg1dxxCx
õ
ô
ô
ó
f
'(x)
[f(x)]
r
dx
·
õ
ô
ô
ó
e
x
dx
1arctg2x2C

dx
Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene

=
– 2x + 2) + C
Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:

Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx.
Con esta sustitución se tiene

dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m y
dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n
õ
ô
ó
P(x)
Q(x)
dx =
1
a
o
õ
ô
ó
P(x)
(x
2
þ
ï
ï
ý
ï
ï
ü
3/8
Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4
Estudio de la integral
cos 2px = cos
doble.
cos
2
px =
opuesto.
convenga.
(I)
Sacar un factor (seno o coseno) de la potenci a
sustituyendo en el resto de la potencia la rel a-
ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen
integrales inmediatas tipo p otencial.
m y n pares
fórmulas 3.
nen integrales inmediatas tipo p otencial.
Caso particular

Forma Condiciones Método
relaciones 4 según co nvenga.
=

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