ANLISIS MATEMTICO IITemas :

Integrales ImpropiasFuncin Gamma y BetaCoordenadas Polares, grficas y ecuaciones

INTEGRALES IMPROPIAS

Las denominadas integrales impropias, son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integracin o la funcin en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.

Si los lmites existen.

IMPORTANTE :Cuando los lmites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

Ejercicios resueltos Evale los siguientes ejercicios :

S o l u c i o n e s

FUNCIN GAMMA

En matemtica, la Funcin Gamma es una funcin que extiende el concepto de factorial a los nmeros complejos. La notacin fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del nmero complejo z es positivo ,entonces la integral :

Propiedades :

Mediante la integracin por partes, se puede mostrar que : Como (1) = 1, esta relacin implica que:Para todo nmero natural n.

Tambin de la misma relacin se sigue que:A travs de la relacin:Vlida para todo , se puede hacer una extensin analtica de (z) a todo el plano complejo.

La siguiente forma de definir la funcin gamma es vlida para todo nmero complejo excepto para los enteros no positivos: Donde es la constante de Euler-Mascheroni . Una forma alternativa de definir la funcin gamma es:

El valor ms conocido, para un nmero no entero, de la funcin gamma es:

APLICACIONES DE FUNCION GAMMA

Clculo fraccionario

La n-sima derivada de axb (donde n es un nmero natural) se puede ver de la siguiente manera:como n! = (n + 1) entonces , donde n puede ser cualquier nmero donde gamma est definido o se pueda definir mediante lmites.

De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de x, de x2 e inclusive de una constante c = cx0:

FUNCIN BETA

La funcin beta fue estudiada por Euler y Legendre pero su nombre le fue dado por Jacques Binet.En matemtica, dada una funcin f, muchas veces es til expresar f(x + y) en trminos de f(x) y f(y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene :Este anlisis, aplicado a la funcin gamma, conduce a la definicin de la funcin beta. Para x y y, dos nmeros complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto (x)(y) :

Para escribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables t = u2 y s = v2 : Pasando a coordenadas polares u = rcos, v = rsin esta integral doble arroja:Haciendo t = r2 obtenemos:

Definiendo la funcin beta:se obtiene:

Propiedades :

La primera propiedad que satisface la funcin beta, ya se ha mostrado :

La funcin beta es simtrica :

Haciendo cambios de variables en la integral que define a la funcin beta :

Derivadas

Las derivadas de la funcin beta, pueden expresarse en trminos de la funcin digamma y las funciones poligamma :Donde (x) es la funcin digamma.

Aplicacin

Puesto que (1) = 1, se deduce de la definicin de la funcin beta y de la primera propiedad enunciada que:De donde :.Supongamos que n es un entero no negativo y queremos calcular:

Entonces podemos:Usando la primera propiedad de la funcin beta, tenemos:De manera que:

COORDENADAS POLARES, GRFICAS Y ECUACIONES

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ngulo del vector de posicin sobre el eje x.

Conversin de coordenadas rectangulares a polares :

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que las coordenadas polares son:

Conversin de coordenadas polares a rectangulares :

Definido un punto en coordenadas polares por su ngulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

Coordenadas polares en el espacio :Dado el espacio tridimensional, con centro de coordenadas O y ejes xyz, se puede definir un sistema de coordenadas polares, de modo que un punto del espacio M est definido por dos ngulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, donde el primer ngulo es el que forma la proyeccin del vector r sobre el plano xy y el eje x, y el segundo ngulo es el que forma el vector r con el plano xy.

Conversin de coordenadas rectangulares a polares :

Definido un punto M en el espacio por sus coordenadas rectangulares (x,y,z), se tiene que:

Conversin de coordenadas polares a rectangulares :

Definido un punto en el espacio por sus ngulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, se tiene:

Ejemplos

En el plano

Una circunferencia se define en coordenadas polares: Una espiral se define, un caso particular es cuando el radio es proporcional al ngulo: Donde k es un valor real, da lugar a la Espiral de Arqumedes.

Otros ejemplos : Espiral logartmica Espiral de FermatEspiral logartmica

En el espacio Las coordenadas polares en el espacio tienen especial inters cuando los ngulos determinan la funcin como, por ejemplo:

Hlice (geometra)

Al comenzar los estudios del Clculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares. Sin embargo, conforme se contina avanzando en el estudio del Clculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar ciertos clculos y procedimientos que no podran realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes pero uno servir algunas veces y el otro servir en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando.

En este trabajo de investigacin se presenta una buena cantidad de grficos que nos permitirn conocer muchas de las figuras o grficos que se forman usualmente a travs de funciones en coordenadas polares. Cada uno de ellos tiene una breve explicacin que consiste en describir el grfico que resulta de la funcin y tambin se dan algunos breves detalles histricos o caractersticas que nos permiten reconocer determinado grfico. Para hacernos una idea general de los grficos que se presentarn durante las pginas que veremos seguidamente, vemos ahora un listado general de los tipos de funciones que son graficados en este reporte o las figuras que resultarn:1. Rosa2. Cardioide3. Limaon o caracol4. Circunferencia5. Lemniscata6. Nefroide de Freeth7. Concoide de Nicmenes8. Cisoide de Diocles9. Parbola10. Espiral

Por supuesto que existen muchsimas otras figuras que se forman a partir de las funciones en coordenadas polares, pero para este estudio se ha tratado de presentar las ms importantes o comunes, a la vez que se muestra ms de un ejemplo para casi todos los tipos de grfico, de manera que resulte totalmente clara la forma que cada funcin tendr al ser graficada en las coordenadas polares.

Se espera que al finalizar la lectura completa de este trabajo, se logre comprender claramente cada figura y se tenga una idea global de los tipos de grfico que podemos desarrollar mediante funciones en coordenadas polares.

A continuacin, los siguientes grficos con una breve explicacin:

ROSA DE CUATRO HOJAS/PTALOS Este tipo de grfico se conoce como Rosa de cuatro ptalos. Es fcil ver cmo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro ptalos. La funcin para este grfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PTALOS Presentamos ahora el grfico llamado Rosa de tres ptalos. Analgicamente al grfico de la rosa de cuatro ptalos, este grfico es parecido pero tiene slo tres hojas o ptalos en su forma grfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PTALOS El siguiente grfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o ptalos, tal como lo vemos en la siguiente funcin graficada:

UNA ROSA DENTRO DE OTRAUn caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la grfica que vemos a continuacin, donde se aprecia una rosa de tres ptalos precisamente dentro de otra rosa de tres ptalos u hojas. Veamos:

CARDIOIDES A continuacin se presenta el tipo de grfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simtrica con respecto al eje polar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazn, razn por la cual se llama este grfico cardioide. La funcin que lo ha generado es:

Habiendo visto el primer grfico de una cardiode, se presenta otro grfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el grfico de la siguiente funcin:

LIMACONES O CARACOLES Limaon viene del latn limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubri Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la us como ejemplo para mostrar su mtodo para trazar tangentes. Un limaon o las grficas polares que generan limaones son las funciones en coordenadas polares con la forma:

r = 1 + b cos Ahora veamos un ejemplo concreto de un grfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La funcin para este grfico es la siguiente:

Veamos otro grfico de una funcin que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del grfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:

Continuando con la grfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y est dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuacin el grfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

Ahora se muestra un grfico igual al anterior con la diferencia que ahora est dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaon o caracol con hendidura o concavidad que est dirigido hacia la derecha:

Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro grfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual est apuntando hacia arriba, como lo vemos en el grfico siguiente:

CIRCUNFERENCIA Esta nueva funcin nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual ser formada en el grfico polar mediante la siguiente funcin:

Ahora veamos una nueva grfica que resulta en una circunferencia, con la nica diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del grfico anterior, que la circunferencia apareca abajo del radio inicial. La funcin con su grfico es esta:

LEMNISCATA En matemticas, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuacin en coordenadas polares:La representacin grfica de esta ecuacin genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el smbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemticas. El smbolo en s mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta funcin con su respectivo grfico lo apreciamos a continuacin:

Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:

Finalmente se muestra un grfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la nica diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:

LA NEFROIDE DE FREETH Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las dems. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemtico ingls T.J. Freeth, quien descubri esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este grfico:

CONCOIDES DE NICMENES Nicmenes naci sobre el ao 280 antes de Cristo en Grecia y muri en el ao 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las lneas de la Concoide". Veamos un grfico en coordenadas polares de la concoide de Nicmenes:

Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicmenes. La grfica anterior est hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuacin tiene una direccin hacia arriba. Veamos:

Un tercer ejemplo de Concoide de Nicmenes lo tenemos en el grfico que se muestra a continuacin, donde su forma se ve diferente a los dos grficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le est restando un nmero uno a la funcin. El mismo grfico veramos si se le estuviera sumando uno a la funcin. El grfico quedar as:

CISOIDE DE DIOCLES Esta es una curva muy famosa y til en el clculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicacin del cubo. El grfico aparece de esta forma:

PARBOLA Esta figura es muy conocida en el mundo del Clculo. Tal como podemos generar funciones de parbolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer tambin en coordenadas polares. Veamos el ejemplo:

ESPIRAL Este grfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral ms simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre s misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo. El grfico que se presenta a continuacin es tambin conocido como Espiral de Arqumedes, precisamente en honor Arqumedes, quien fue un notable fsico y matemtico griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realiz un estudio profundo sobre sus propiedades matemticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo. Para mostrar el grfico que se forma, presentamos la siguiente funcin en coordenadas polares que formar la espiral polar siguiente:

Veamos ahora otra grfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuacin es r = a + . En el siguiente ejemplo se muestra una funcin y su respectiva grfica que nos permiten conocer la espiral de Fermat:

Un segundo grfico espiral lo tenemos en la funcin que veremos ahora, que podramos encontrarla con dos nombres refirindose al mismo grfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recproca o espiral hiperblica. Tendremos entonces:

Otro caso que se puede dar es la espiral logartmica, que se ilustra mediante la siguiente funcin y su respectivo grfico:

CONCLUSIN Luego de haber visto todas las curvas polares presentadas a lo largo de esta investigacin, podemos darnos cuenta que hay muchas figuras que se forman en las coordenadas polares que pueden ser identificadas y reconocidas por un nombre propio que las hace particulares.El conocer las tendencias que una funcin determinada tiene en las coordenadas polares es una gran ayuda previa que nos facilitar la graficacin de las mismas.Aunque en la actualidad se cuenta con importantes programas de computacin que hacen las grficas con la simple accin de introducir la funcin que necesitamos, es totalmente necesario que como estudiantes de Ingeniera conozcamos cmo se forman y de dnde nacen matemticamente cada una de estas figuras.

Al graficar sobre papel sin la herramienta de una calculadora graficadora y sin ningn programa que grafique funciones polares, resultar obviamente ms difcil y nos llevar ms tiempo el crear estas figuras grficamente, pero si tenemos los conocimientos necesarios en cuanto a las forma de encontrar los puntos y tenemos una idea previa de las tendencias que presentar el grfico y si es simtrico o no, seremos capaces de graficar sin complicaciones las funciones que se nos presenten y los problemas que se nos pida desarrollar.En este trabajo se ha tratado tambin de presentar ms de un ejemplo de cada grfico, de manera que no estemos limitados a un solo caso, sino que veamos las diferentes formas que pueden apreciarse en cada tipo de curva polar.Las explicaciones proporcionadas al inicio de cada grfico sirven para describir y dar una explicacin general del nombre y forma que encontraremos en cada grfico, y en algunos casos tambin se da una resea histrica del porqu del nombre del grfico as como tambin de la persona que lo descubri.Es de esta manera que se concluye este trabajo, esperando que sea provechoso y de valor y utilidad.

Integrantes :VCTOR ANTONIO MACHUCA POLOJIMMY BARRUETA NINAHUAMAN FERNANDO RAMOS COSIO