Calculo Integral

Clculo Integral, Sucesiones y Series

Bernardo Acevedo Frias.

Departamento de Matemticas y EstadsticaUniversidad Nacional de Colombia, Sede Manizales

Manizales, Febrero 2014

Contenido

Prlogo vii

1 Integrales 11.1 Sumas nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Algunas propiedades de las sumas nitas . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Particin de un intervalo cerrado [a; b] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Un problema de masa total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Espacio recorrido por un mvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Area bajo una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Integral denida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Integral indenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7.1 Propiedades de la integral denida e indenida . . . . . . . . . . . . 201.7.2 Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7.3 Primer Teorema fundamentales del clculo . . . . . . . . . . . . . . 231.7.4 Segundo teorema fundamental del clculo . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8 Mtodos de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8.1 Mtodo de sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8.2 Mtodo de integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.8.3 Extensin de la frmula de integracin por partes. . . . . . . . . . . 541.8.4 Sustituciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.8.5 Integrales por fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.8.6 Integrales de funciones racionales de sin x y cosx: . . . . . . . . . . 791.8.7 Integral de algunas funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.9 Integrales Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.9.1 Integral impropia de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . 871.9.2 Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.9.3 Funcin gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941.9.4 Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . 95

iii

iv CONTENIDO

1.9.5 Integrales impropias de tercera especie . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2 Aplicaciones de las Integrales 1032.1 reas entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.2 Areas en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2.2.1 Coordenadas Polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.2.2 Pasar un punto de coordenadas polares a cartesianas. . . . . . . 1222.2.3 Pasar un punto de coordenadas cartesianas a polares: . . . . . . . . 1232.2.4 Areas en coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.3 Volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482.3.1 Volmenes de slidos con una seccin de rea conocida . . . . . . 149

2.3.2 Mtodo del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.3.3 Capas cilindricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.4 Longitud de curvas en cartesianas y paramtricas . . . . . . . . . . . . . . 1712.4.1 Longitud de curvas en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.5 Area de una supercie dada por rotacin de una curva . . . . . . . . . . . 185

3 Sucesiones 1933.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1933.2 Denicion de sucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

3.2.1 Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.2.2 Grca de una sucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.2.3 Sucesion decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963.2.4 Sucesin montona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973.2.5 Sucesin acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983.2.6 Progresin Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983.2.7 Progresin geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.8 Sucesin de Perrin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.9 Sucesion de Padovan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.10 Sucesin de Fibonaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.11 Sucesin convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993.2.12 Sucesin de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

3.3 Lmite de una sucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013.3.1 Denicion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.3.2 Subsucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043.3.3 Sucesin divergente a mas innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053.3.4 Sucesin divergente a menos innito . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053.3.5 Reglas para operar con los smbolos 1 . . . . . . . . . . . . . . . 2063.3.6 Propiedades de los lmites de sucesiones Reales . . . . . . . . . . . . 207

CONTENIDO v

3.3.7 Teorema de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153.3.8 Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2263.3.9 Clculo de algunos lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4 Series 2354.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.2 Denicin de Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2364.3 Convergencia y divergencia de una Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

4.3.1 Serie Telescpica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.3.2 Serie Geomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.3.3 Algunas propiedades de las Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

4.4 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.4.1 Criterio del Trmino n-simo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.4.2 Criterio de Comparacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.4.3 Criterio del Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2484.4.4 Criterio de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2494.4.5 Criterio Asinttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2504.4.6 Criterio de paso al lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2534.4.7 Criterio de la Razn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554.4.8 Criterio de la Raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2574.4.9 Criterio de Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2584.4.10 Criterio de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604.4.11 Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.4.12 Criterio de Leibniz para las series alternadas . . . . . . . . . . . . . 2634.4.13 Estimacion del Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2644.4.14 Convergencia Absoluta y convergencia Condicional . . . . . . . . . 2654.4.15 Criterio de Convergencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2664.4.16 Criterio del Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2694.4.17 Criterio de la Raz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

4.5 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2704.5.1 Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2744.5.2 Suma de Series de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2754.5.3 Producto de Series de Potencias ( producto de Cauchy) . . . . . . . 2764.5.4 Divisin de dos Series de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

4.6 Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.7 Algunos mtodos Numricos para el clculo de integrales denidas . . . . . 287

4.7.1 Mtodo de los rectngulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2884.7.2 Trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914.7.3 Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

vi CONTENIDO

4.7.4 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Prlogo

El objetivo del presente libro, es el de facilitar al estudiante de las carreras de ingeniera, laasimilacin clara de los conceptos matemticos tratados, pues es el fruto de un cuidadosoanlisis de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos con sus debidas respuestas,basado en mi experiencia como docente de la Universidad Nacional sede Manizales.

Desde luego que los escritos que se presentan no son originales, ni pretenden serlo, todavez que es una recopilacin organizada y analizada de diferntes textos y de mi experienciapersonal.

En este texto se har un estudio de las integrales en una variable, sus mtodos deintegracion, sus aplicaciones, sucesiones y series.

vii

viii PRLOGO

Captulo 1

Integrales

Antes de iniciar con el concepto de lo que signica una integral, vamos a recordar variosconceptos previos vistos en cursos anteriores de clculo y muy necesarios para entendereste tema.

1.1 Sumas nitas

Recordemos que

1Xk=1

ak = a1;2Xk=1

ak = a1+a2 ynXk=1

ak = a1+a2+a3+a4+:::+an

Ejemplo 1.1

3Xk=1

k = 1+2+3 = 6;2Xk=1

cos k = cos 1+cos 2;6Xk=3

k2 + 2k

= (9+6)+(16+8)+(25+10)+(36+12)

1.1.1 Algunas propiedades de las sumas nitas

LinealidadnXk=1

(ak bk) =nXk=1

ak nXk=1

bk n 2 N

a)4Xk=1

(k + 2) =4Xk=1

k +4Xk=1

2 b)6Xk=3

k2 2k = 6X

k=3

k2 6Xk=3

2k

1

2 CAPTULO 1. INTEGRALES

HomogneanXk=1

cak = c

nXk=1

ak c 2 R

En efecto,

nXk=1

cak = ca1 + ca2 + ca3 + ca4 + :::+ can = c(a1 + a2 + a3 + a4 + :::+ an) = c

nXk=1

ak

por lo tantonXk=1

cak = cnXk=1

ak

Ejemplo 1.2

a)nXk=1

5k = 5nXk=1

k b)nXk=1

3 sin k = 3nXk=1

sin k c)nXk=1

8eik3 = 8einXk=1

k3

Propiedad telescpicanXk=1

(ak ak1) = an a0

Observemos el caso para n=5

5Xk=1

(ak ak1) = (a1 a0) + (a2 a1) + (a3 a2) + (a4 a3) + (a5 a4) = a5 a0

Ejemplo 1.3 luego5Xk=1

(ak ak1) = a5 a0

asi que

nXk=1

(ak ak1) = (a1 a0)+ (a2 a1)+ (a3 a2)+ (a4 a3)+ ::::+(an an1) = an a0

por lo tantonXk=1

(ak ak1) = an a0

1.1. SUMAS FINITAS 3

a)

32Xk=1

1

k + 2 1k + 1

=1

32 + 2 11 + 1

b)32Xk=5

1

k4 1(k 1)4 =

1

(32)4 1(5 1)4

c)

32Xk=3

1

2k + 1 12k 1 =

1

2 32 + 11

2 3 1 d)10Xk=2

1

2k 12k 2 =

1

2 101

2 2 2

e)

10Xk=3

(k + 1)3k3 = 11333 f)100Xk=3

sin(k+2)sin(k+1) = sin(100+2)sin(3+1)

g)nXk=1

1

k(k + 1)=

nXk=1

1

k 1k + 1

= nXk=1

1

k + 1 1k

=

1

n+ 1 1

h)nXk=1

ln

1 +

1

k

=

nXk=1

ln

k + 1

k

=

nXk=1

ln (k + 1)ln k = ln (n+ 1)ln 1

i)10Xk=1

k2(k1)2 = 102(1 1)2 = 100 j)20Xk=3

ek+2ek+1 = e20+2e3+1

k)nXk=1

1 =nXk=1

(k+1)k = n+11 = n l)n+3Xk=5

1 =n+3Xk=5

(k+1)k = (n+3+1)5 = n1

Ejemplo 1.4 Recordemos que

(k 1)2 = k2 2k + 1, por tanto, 2k 1 = k2 (k 1)2

y asi

nXk=1

(2k 1) =nXk=1

k2 (k 1)2 = n2

luegonXk=1

(2k 1) = n2


Ejemplo 1.5 Demostremos quenXk=1

k =n(n+ 1)

2

En efecto, recuerde que2k 1 = k2 (k 1)2

y despejando k tenemos que

k =k2 (k 1)2 + 1

2

por lo tantonXk=1

k =nXk=1

k2 (k 1)2 + 12

=1

2

nXk=1

k2 (k 1)2 + 12

nXk=1

1 =n2

2+n

2=n(n+ 1)

2

y asinXk=1

k =n(n+ 1)

2

Recordemos tambin que

(k 1)3 = k3 3k2 + 3k 1 despejando k2 se tiene que

k2 =k3 (k 1)3

3+ k 1

3

Ejemplo 1.6 Demostremos quenXk=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

En efecto, como k2 = k3(k1)3

3+ k 1

3entonces

nXk=1

k2 =1

3

nXk=1

k3 (k 1)3+ nX

k=1

k13

nXk=1

1 =n3

3+n(n+ 1)

2n3=1

6n (n+ 1) (2n+ 1)

Ejemplo 1.7 Verique quenXk=1

k3 =n2(n+ 1)2

4

ejercicio.

1.1. SUMAS FINITAS 5

Propiedad Geomtrica

A una suma de la formanXk=0

ak con a 6= 1

se llama suma geomtrica y se puede demostrar que :

nXk=0

ak =1 an+11 a a 6= 1

En efecto,

nXk=0

ak = 1 + a1 + a2 + a3 + ::::+ an =(1 a)(1 a)(1 + a

1 + a2 + a3 + ::::+ an) =1 an+11 a

Pero la suma geomtrica, se puede calcular de una forma ms sencilla, transformandosta en una suma telescpica asi :

nXk=0

ak =nXk=0

ak(a 1)a 1 =

nXk=0

ak+1 aka 1 =

1

a 1nXk=0

(ak+1ak) = an+1 a0a 1

=an+1 1a 1 =

1 an+11 a

por tantonXk=0

ak =1 an+11 a si a 6= 1

Ejemplo 1.8

a)nXk=0

2k =1 2n+11 2 b)

nXk=0

23

k=1 2

3

n+11 2

3

c) nXk=0

2

3

k=1 2

3

n+11 2

3

d)nXk=3

3k =nXk=3

3k(3 1)3 1 =

1

2

nXk=3

3k+1 3k = 12

3n+1 33 o tambin

nXk=3

3k =nXk=0

3k 30 + 3 + 32 = 1 3n+11 3 13 =

3n+1 12

13 = 12

3n+1 33


y por ltimo se tiene la propiedad

nXk=0

f(k) =

n+pXk=0+p

f(k p) p 2 R

Ejemplo 1.9

nXk=0

k2 + 2 =n+5Xk=0+5

(k 5)2 + 2 =n+4Xk=0+4

(k 4)2 + 2 =n6Xk=6

(k + 6)2 + 2

Ejemplo 1.10

10Xk=0

2 =14Xk=4

2 =12Xk=2

2 =7X

k=32 =

20Xk=10

2

1.2 Particin de un intervalo cerrado [a; b] :

Una particin de un intervalo cerrado [a; b], es un subconjunto nito de puntos de [a; b], quecontiene los puntos a y b con algunas caractersticas, por ejemplo los conjuntos siguientesf0; 1g,f0; 1=2; 1g,f0; 1=4; 2=4; 3=4; 1g,f0; 1=5; 2=5; 3=5; 4=5; 1g,f0; 1=4; 3=4; 1g son todas par-ticiones del intervalo cerrado [0; 1], pero f0; 3=4; 2=4; 1g no es una particin del intervalo[0; 1], es decir, diremos que P = fx0; x1; x2; :::xng es particin de un intervalo cerrado [a; b],si a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn = b y que la particin divide a [a; b] en un nmero nitode subintervalos [x0; x1],[x1; x2],[x2; x3],::: [xn1; xn], con longitudes x1;x2;x3; :::xn,gura 1.1.

gura 1.1

Ahora consideremos el intervalo [0; 2] y tomemos la particin f0; 1; 2g, gura 1.2.Obseve que aqui, los subintervalos tienen la misma longitud xk = 202 = 1 y asi x0 =0; x1 = 1; x2 = 1 + 1 = 2

gura 1.2

1.2. PARTICIN DE UN INTERVALO CERRADO [A;B] : 7

Ahora consideremos el intervalo [0; 2] y tomemos la particin0; 2

3; 43; 63

=0; 2

3; 43; 2,

observe que aqui los subintervalos tienen la misma longitud y hemos dividido el intervaloen tres subintervalos de igual longitud xk = 203 =

23asi que x0 = 0, x1 = 23 , x2 =

23+ 2

3= 4

3, x3 = 23 +

23+ 2

3= 2 gura 1.3

gura 1.3


4; 44; 64; 84

=0; 2

4; 44; 64; 2,

observe que aqui los subintervalos tienen la misma longitud y hemos dividido el intervaloen cuatro subintervalos de igual longitud xk = 204 =

24, asi que x0 = 0, x1 = 24 ,

x2 =24+ 2

4= 4

4, x3 = 44 +

24= 6

4, x4 = 64 +

24= 8

4= 2, gura 1.4

gura 1.4


n; 4n; ::; 2n

n

, observe

que aqui los subintervalos tienen la misma longitud y hemos dividido el intervalo en nsubintervalos de igual longitud xk = 20n =

2nasi que x0 = 0; x1 = 1:2n ; x2 =

2:2n; x3 =

2:3n= 6

n; :::::xn =

2nn= 2 y en forma general considere el intervalo [a; b] y dividmolo en n

subintervalos de igual longitud, xk = ban y asi x0 = a, x1 = a+ban, x2 = a+ 2

ban

;

x3 = a + 3ban

.....xk1 = a + (k 1)

ban

, xk = a + k

ban

...xn = a + n

ban

= b:

gura 1.5

gura 1.5

En el presente escrito, se tomarn los subintervalos de igual longitud, salvo que se digalo contrario.


1.3 Un problema de masa total

Suponga que se tiene un alambre tan delgado, que su grosor se puede considerar des-preciable, con longitud L. Si su densidad es constante, es decir, en cada punto toma elmismo valor D, entonces su masa M se calcular haciendo el producto de su longitud porsu densidad, es decir, M = D:L Ahora surge la pregunta como calcular la masa si sudensidad es variable?.Evidentemente el clculo no se puede hacer con el producto de sulongitud por su densidad, pues al ser la densidad una funcin f(x) con 0 x L, elproducto L:f(x) ser tambien una funcion, lo cual es absurdo, pues la masa total delalambre debe ser un nmero real jo.Para solucionar este inconveniente, particionemos el alambre en n pedazos pequeos,

L1; L2:::Ln con longitudes xk = L0n as : x0 = 0; x1 =L0n; x2 = 2

L0n

, x3 = 3Ln

...xk1 = (k 1)Ln

, xk = k

Ln

...xn = n

Ln

= L respectivamente gura 1.6

gura 1.6

En cada pedazo Lk; tmese un punto cualquiera tk y asuma que para cada k, ladensidad del alambre en todo el pedazo Lk es constante y es la densidad en el punto tk,o sea f(tk) y asi la masa total mk en cada pedazo es aproximadamente mk = f(tk)xkya que se est considerando la densidad en cada pedazo Lk como constante, cuando enrealidad es variable, siendo por tanto ms exacta la aproximacin, cuanto ms pequeossean los pedazos, por lo tanto la masa total del del alambre es aproximadamente

M hnXk=1

mk =nXk=1

f(tk)xk

Esta aproximacin ser mejor a medida que todos los tamaos de todos los xk sean maspequeos, lo cual implica que el nmero de pedazos n sea mayor o sea cuando n tienda a1 o cuando los tamaos xk de todos los pedazos tiendan a cero, es decir,

M = limxk!0

nXk=1

f(tk)xk = limn!1

nXk=1

f(tk)xk

y a la expresion

limn!1

nXk=1

f(tk)xk

1.3. UN PROBLEMA DE MASA TOTAL 9

es la que se dene como la integralLR0

f(x)dx; como se ver mas adelante, es decir,

limxk!0

nXk=1

f(tk)xk = limn!1

nXk=1

f(tk)xk =LR0

f(x)dx

donde f(x) es la funcin a integrar, dx indica cual es la variable, 0 el lmte inferior y L el

lmite superior yZel smbolo de la integral.

Ejemplo 1.11 La densidad en cualquier punto de un alambre de 4 metros de largo vienedado por f(x) = x+ 3, Kg/m, hallar la masa del alambre.

En efecto, se particiona el intevalo [0; 4] en n subintervalos de igual longitud [x0; x1][x1; x2] ...[xn1; xn], con longitud de cada subintervalo xk = 40n =

4n, k=1,2,..n y asi

x0 = 0, x1 = 0+x1 = 0+ 4n =4n; x2 = 0+2x1 = 0+

2:4n= 2:4

n; xk1 = 0+(k1)x1 =

(k 1) 4n; xk = 0 + kxk =

4kn; .::xn = 0 + 4nn = 4 gura 1.7

gura 1.7

y tomaremos por ejemplo tk = xk = 4kn , pero tk pueden ser cualquier punto en[xk1; xk] y como f(x) = x+ 3, entonces

M = limn!1

nXk=1

f(tk)xk = limn!1

nXk=1

f

4k

n

4

n= lim

n!14

n

nXk=1

4k

n+ 3

= lim

n!14

n

nXk=1

4k

n+

nXk=1

3

!=

= limn!1

16

n2

nXk=1

k+ limn!1

12

n

nXk=1

1 = limn!1

16

n2n(n+ 1)

2+12n

n

= 8+12 = 20 y asi

M = limn!1

nXk=1

f(tk)xk =4R0

f(x)dx =4R0

(x+ 3) dx = 20Kg


1.4 Espacio recorrido por un mvil

Suponga que se tiene un segmento de recta que va de un punto A a un punto B y que unmvil parte de A en el tiempo t = 0, y se dirige a B con una velocidad que varia con eltiempo, es decir, su velocidad es una funcin v(t) conocida. Se trata de hallar el espaciorecorrido por el mvil en un tiempo t.Es evidente que si la velocidad hubiese sido constante en todo el recorrido, en este caso

el espacio recorrido ser igual al producto de la velocidad por el tiempo es decir, E = V:tPara el caso de la velocidad variable v(t), se trata de hallar un modo de reducirlo al casovelocidad constante y para ello se particiona el intervalo de tiempo [0; T ], en pequeossubintervalos de longitud tk = tk tk1, para k=1,2,....n. gura 1.8

gura 1.8

En cada uno de estos subintervalos se toma un punto sk, y se asume que para cada k,la velocidad en ese subintervalo es constante;de tal forma que con un margen de error elespacio Ek recorrido en ese intervalo de tiempo es aproximadamente Ek = v(sk)tk y portanto el espacio total recorrido ser aproximadamente

E hnXk=1

Ek =nXk=1

v(sk)tk

siendo ms reducido el error a medida que todos los subintervalos de tiempo tk son cadavez mas pequeos, lo que necesariamente implica que el nmero n de subintervalos debe sermayor,obteniendose el caso ideal cuando todos los tk tienden a cero y consecuentementeel nmero n de subintervalos tiende a 1;caso en el cual se obtiene el espacio buscado, esdecir,

E = limxk!0

nXk=1

v(sk)tk = limn!1

nXk=1

v(sk)tk

Ejemplo 1.12 Hallar el espacio recorrido por un mvil que lleva una velocidad de 2tmetros por segundo, durante el intervalo de tiempo transcurrido entre t=2 y t= 6 segundos.

gura 1.9

1.5. AREA BAJO UNA CURVA 11

En efecto, se particiona el intervalo [2; 6] en los subintervalos [t0; t1] ; [t1; t2] ; [t2; t3] ; ::: [tn1; tn],con longitudes t1;t2;t3; :::tn todos de igual longitud, es decir, tk = 62n gura1.9 asi

t0 = 2, t1 = 2+t1 = 2+4

n, t2 = 2+2t1 = 2+2:

4

n, t3 = 2+3t1 = 2+3:

4

n,

tk1 = 2+(k 1)t1 = 2+(k 1) 4n, tk = 2+kt1 = 2+k

4

n, tn = 2+nt1 = 2+n

4

n= 6

Como sk, es cualquier punto en [tk1; tk], se tomar en este caso sk = tk = 2 + k 4n ycomo v(t) = 2t entonces

E = limn!1

nXk=1

v(sk)tk = limn!1

nXk=1

v(tk)tk = limn!1

nXk=1

v

2 +

4k

n

4

n=

= limn!1

nXk=1

2

2 +

4k

n

4

n= lim

n!18

n

nXk=1

(2 +4k

n) = lim

n!116

n

nXk=1

1 +32

n2

nXk=1

k =

= limn!1

16:n

n+ limn!1

32

n2

n(n+ 1)

2

= 16+

32

2= 32

y asi el espacio recorrido por el movil es de 32 metros, es decir,

E = limn!1

nXk=1

v(sk)tk =

6Z2

2tdt = 32:

1.5 Area bajo una curva

El propsito, es calcular el rea de la regin encerrada por las grcas de y = f(x) 0;x = a; x = b y el eje x, gura 1.10

x

y

Y = f (x)

a b

rea

gura 1.10


y para ello consideremos una particin P = fx0; x1; x2; :::xng de [a; b] y tomaremos lalongitud de cada subintervalo igual, es decir, xk =

b an, k=1,2 ...,n y calcularemos

el rea del rectngulo Ak = f(tk)xk con tk cualquier punto en [xk1; xk] y formamosnPk=1

f(tk)xk, que es la suma de las reas de cada rectngulo, el cual va a ser una aprox-

imacin del rea A gura 1.11

gura 1.11

Para obtener el rea A, haremos muchas ms particiones, de tal forma que los rec-tngulos queden bien pequeos de base, y esto se logra haciendo tender n a innito, esdecir,

Area = limn!1

nXk=1

f(tk)xk =

bZa

f(x)dx

y sta expresin, es la que dene labRa

f(x)dx; si el lmite existe, en otras palabras,

Area = limn!1

nXk=1

f(tk)xk =

bZa

f(x)dx si f(x) 0

Casi siempre que se calcula una integral usando la denicion es conveniente hacer laparticion inicial de tal forma que todos los xk sean iguales y asi da lo mismo calcular ellimite haciendo que xk ! 0; que haciendo que n!1

Ejemplo 1.13 Calcular el rea de la regin limitada por las grcas de y = 2x + 1,x = 0, x = 3 y el eje x, gura 1.12


x

y

y = 2x + 1

rea

gura 1.12

En efecto, sea P = fx0; x1; x2; :::xng, una particin de [0; 3], con xk = 3 0n

=3

n;

x0 = 0, x1 =3

n; x2 =

2 3n, x3 =

3 3n

, x4 =4 3n

; ::; xk1 = (k 1) 3n, xk =

3 kn,..y

as si tk = xk1 entonces

A = limn!1

nXk=1

f(tk)xk = limn!1

nXk=1

f

3

n(k 1)

3

n= lim

n!1

nXk=1

2 3

n(k 1) + 1

3

n=

= limn!1

nXk=1

6

n(k 1) + 1

3

n= lim

n!1

nXk=1

6 kn

6n+ 1

3

n= lim

n!13

n

nXk=1

6 kn

6n+ 1

=

= limn!1

3

n

nXk=1

6 kn

nXk=1

6

n+

nXk=1

1

!= lim

n!1

18

n2

nXk=1

k 18n2

nXk=1

1 +3

n

nXk=1

1

!=

= limn!1

18

n2 n(n+ 1)

2 18n2 n+ 3

n n= 90+3 = 12 luego

Area = limn!1

nXk=1

f(tk)xk =

3Z0

(2x+ 1) dx = 12:

Ejemplo 1.14 Calcular el rea encerrada por las grcas de y = 10, x = 1, x = 4 y eleje x, gura 1.13

En efecto, sea P = fx0; x1; x2; :::xng una particin de [1; 4] con

xk =4 (1)

n=5

n; x0 = 1; x1 = 1 + 5

n; x2 = 1 + 2 5

n; x3 = 1 + 3 5

n;


x4 = 1 + 4 5n

; :::; xk1 = 1 + (k 1) 5n; xk = 1 + 5 k

n

y as, si tomamos tk = xk entonces

A = limn!1

nXk=1

f(tk)xk = limn!1

nXk=1

f

1 + 5 k

n

5

n= lim

n!1

nXk=1

10 5n=

= limn!1

50

n

nXk=1

1 = limn!1

50

n n = 50 =

4Z1

10dx

luego

Area = limn!1

nXk=1

f(tk)xk =

4Z1

10dx = 50:

gura 1.13

Ejemplo 1.15 Calcular el rea encerrada por las grcas de f(x) = x2; x = a; x = b y eleje x, gura 1.14

x

y

a b

f(x)=x 2

gura 1.14


En efecto, se particiona el intervalo [a; b] en n subintervalos de igual longitud

xk =b an

; k = 1; 2; :::::n y asi

x0 = a; x1 = a+x1 = a+

b an

; x2 = a+ 2x1 = a+ 2

b an

::::

xk = a+ kx1 = a+ k

b an

:::xn = a+ nx1 = a+ n

b an

= b

Si tomamos tk = xk = a+ kb an

y como f (x) = x2, entonces

f (tk) = f

a+ k

b an

=

a+ k

b an

2= a2 +

2ak (b a)n

+k2 (b a)2

n2

y as

A =

bZa

x2dx = limn!1

nXk=1

f(tk)xk = limn!1

b an

nXk=1

a2 +

2ak (b a)n

+k2 (b a)2

n2

!=

= limn!1

"(b a)a2

n

nXk=1

1 +(b a)2a

n

b an

nXk=1

k +

b an

b an

2 nXk=1

k2

#=

= limn!1

(b a) a2 + (b a)2 2an

n2

n+ 1

2

+(b a)3n3

n3

3+n2

2+n

6

!=

= (b a) a2 + (b a)2 2a

2+(b a)33

= (b a)a2 + ab a2 + b

2

3 2ab

3+a2

3

=

= (b a)a2

3+ab

3+b2

3

=(b a)3

b2 + ba+ a2

=b3

3 a

3

3luego

bZa

x2 dx =b3

3 a

3

3


1.6 Integral denida

Sea f(x) una funcin denida en un intervalo cerrado [a; b] : Sean fx0; x1; :::xng puntos delintervalo [a; b], con a = x0 < x1 < x2 < ::: < xn = b que determinan una particin delintervalo [a; b] en n subintervalos [xk1; xk], k=1,2,...n, con longitudes xk = xk xk1:Sea tk 2 [xk1; xk], un punto cualquiera, se dene la integral denida de f(x) entre a y bcomo el nmero real dado por

bRa

f(x)dx = limxk!0

nXk=1

f(tk)xk

y si los subintervalos tienen todos la misma longitud, entonces

bRa

f(x)dx = limxk!0

nXk=1

f(tk)xk = limn!1

nXk=1

f(tk)xk

Ejemplo 1.16 Calcular la integralbRa

mdx

Se particiona el intervalo [a; b] en n subintervalos de igual longitud xk = ban ,k=1,2,..n y como f(x) =m, entonces f(tk) = m cualquier sea tk 2 [xk1; xk] y asibRa

mdx = limn!1

nXk=1

f(tk)xk = limn!1

nXk=1

mxk = limn!1

mnXk=1

b an

= limn!1

m

b an

n = m(ba)

luegobRa

mdx = m(b a)

Ejemplo 1.17 Calcular la integral2R0

pxdx

Aqui en este ejemplo, no particionamos el intervalo [0; 2] en subintervalos de igual longi-tud, sino que se tomar tk = 2k

2

n2= xk y asi

xk = xk xk1 = 2k2

n2 2(k 1)

2

n2=2 (k2 (k 1)2)

n2

=2 (k2 k2 + 2k 1)

n2=2 (2k 1)

n2y asi

1.6. INTEGRAL DEFINIDA 17

x0 = 0; x1 =2

n2; x2 =

2:22

n2; x3 =

2:32

n2; x4 =

2:42

n2; xk =

2:k2

n2; ::xn =

2:n2

n2= 2

y como f(x) =px entonces

f(tk) = f(2k2

n2) =

r2k2

n2=

p2k

ny as

2R0

pxdx = lim

n!1

nXk=1

f(tk)xk = limn!1

nXk=1

p2k

n

2 (2k 1)n2

= limn!1

2p2

nXk=1

k

n

(2k 1)n2

=

= 2p2 limn!1

nXk=1

k

n

(2k 1)n2

= 2p2 limn!1

nXk=1

2k2

n3

nXk=1

k

n3

!=

= 2p2 limn!1

1

n3

nXk=1

2k2 nXk=1

k

!= 2

p2 limn!1

1

n3

2

n3

3+n2

2+n

6

n(n+ 1)

2

=4p2

3

por tanto2R0

pxdx =

4p2

3

Ejemplo 1.18 Calcular la integral

bR0

sin xdx

Para calcular la integral, recordemos que

2 sin x sin y = cos(x y) cos(x+ y)

y asi

2 sin x sin(x

2) = cos(

x

2) cos(3x

2)

2 sin 2x sin(x

2) = cos(

3x

2) cos(5x

2)

2 sin 3x sin(x

2) = cos(

5x

2) cos(7x

2)

:

:

2 sin(n 1)x sin(x2) = cos(

(2n 3)x2

) cos((2n 1)x2

)


2 sin(nx) sin(x

2) = cos(

(2n 1)x2

) cos((2n+ 1)x2

)

y sumando estas ecuaciones obtenemos que

2 sin x sin(x

2)+2 sin 2x sin(

x

2)+2 sin 3x sin(

x

2)+::+2 sin(n1)x sin(x

2)+2 sin(nx) sin(

x

2) =

= 2 sinx

2(sinx+ sin 2x+ sin 3x+ :::+ sinnx) = cos(

x

2)cos

(2n+ 1)x

2

, es decir,

2 sinx

2(sinx+ sin 2x+ sin 3x+ ::::+ sinnx) = cos(

x

2)cos

(2n+ 1)x

2

por tanto

sin x+sin 2x+sin 3x+:::+sinnx =cos(x

2) cos

(2n+1)x

2

2 sin x

2

asi si

x0 = 0; x1 =b

n; x2 =

2:b

n; x3 =

3b

n; x4 =

4b

n; xk =

kb

n; ::: xn =

nb

n= b

entonces tomando tk = xk = kbn (xk =b0n= b

n) se tiene que :

bR0

sin xdx = limn!1

nXk=1

f(tk)xk = limn!1

nXk=1

f

kb

n

b

n= lim

n!1b

n

nXk=1

sin

kb

n

=

= limn!1

b

n

sin(

b

n) + sin(

2b

n) + :::+ sin(b)

= lim

n!1b

n

cos( b2n) cos

(2n+1)b2n

2 sin b

2n

=

= limn!1

cos( b2n) cos

(2n+1)b2n

2nbsin b

2n

= limn!1

cos( b2n) cos

(2n+1)b2n

sin b

2nb2n

=

=limn!1

cos( b

2n) cos

(2n+1)b2n

limn!1

sin b2nb2n

=cos 0 cos b

1= cos 0cos b

por tantobR0

sin xdx = cos 0 cos b

y en general,se puede vericar que

bRa

sin xdx = cos a cos b

1.6. INTEGRAL DEFINIDA 19

Funcin seccionalmente continua

Una funcin se dice seccionalmente continua en un intervalo [a; b], si en l existe a loms un nmero nito de discontinuidades y la funcin es acotada alli, lo cual implica laexistencia de limites laterales en cualquier punto del intervalo.1. f(x) = x es seccionalmente continua en cualquier intervalo cerrado2. f(x) = lnx es seccionalmente continua por ejemplo en [1; 4]3. f(x) = ex es seccionalmente continua en cualquier intervalo cerrado4. f(x) = 1 si x es racional y cero si x es irracional, no es seccionalmente continua, el

nmero de discontinuidades es innito5. f(x) = 1

xno es seccionalmente continua en [1; 4], f no es acotada en [1; 4]

Lema 1 Si f(x) es seccionalmente continua en [a; b], entonces es integrable en [a; b], lo

que signica que existe el limite limn!1

nPk=1

f(tk)xk y asi la integralbRa

f(x)dx tambin existe

y adems

limn!1

nXk=1

f(tk)xk =bRa

f(x)dx

La condicion de ser seccionalmente continua en [a; b] es condicion suciente para laexistencia de la integral, ms no es necesaria. Ver algunas integrales impropias.Nota. Si f(x) es continua en [a; b], entonces f(x) es seccionalmente continua en [a; b] :

Ejercicio 1

I) Utilizando la denicin de integral denida vericar los resultados siguientes

a) limn!1

1

n

nXk=1

k

n

2=1

3, calcular

1Z0

x2 dx b) limn!1

1

n

nXk=1

sin

k

n

=2

, calcular

1Z0

sin x dx

c) limn!1

1

n

nXk=1

sin2k

n

=1

2, calcular

1Z0

sin2 x dx d) limn!1

nXk=1

1

n+ k= ln 2,calcular

1Z0

dx

1 + x

e) limn!1

Xk=1

n

n2 + k2=

4, calcular

1Z0

dx

1 + x2f) lim

n!1

nXk=1

1pn2 + k2

= ln1 +

p2, calcular

1Z0

dxp1 + x2


g) limn!1

nXk=1

"2k

n

2 2

2k

n

#2

n= 4

3indicacin calcular

2Z0

x2 2x dx

II) Vericar por medio de la denicin de integral que

a)

5Z2

(x+ 1) dx =27

2b)

4Z4

xdx = 0 c)

5Z3

(2x+ 3)dx = 40 d)

4Z4

5dx = 40

1.7 Integral indenida

Si F(x) es una funcin tal que F(x) = f(x) para todo x en un intervalo I, entonces F(x) sedenomina una primitiva de f(x) en I y en general si F(x) es una primitiva de f(x) entoncestodas las funciones del tipo F(x)+C donde C es una constante, son primitivas de f(x) ya la familia de funciones F(x)+C, se llama la integral indenida de f(x) y se designa

mediante el simboloZf(x)dx, es decir,Zf(x)dx = F (x) + C si y solo si F(x) = f(x)

1.7.1 Propiedades de la integral denida e indenida

En la mayoria de los casos, las propiedades de las integrales denidas, no sern demostradasrigurosamente a partir de su denicin, sino que sern ilustradas.1.

bRa

(f(x) g(x)) dx =bRa

f(x)dxbRa

g(x)dx

En efecto,

bRa

f(x)dxbRa

g(x)dx = limxk!0

nXk=1

f(tk)xk limxk!0

nXk=1

g(tk)xk = limxk!0

nXk=1

f(tk)xk nXk=1

g(tk)xk

!=

= limxk!0

nXk=1

(f(tk) g(tk))xk!= lim

xk!0

nXk=1

f g)(tk)xk!=

bRa

(f g)(x)) dx

1.7. INTEGRAL INDEFINIDA 21

y por tanto Z(f(x) g(x)) dx =

Zf(x)dx

Zg(x)dx

Ejemplo 1.19

6R0

sin x+ x2 + 2

dx =

6R0

sin xdx +6R0

x2 dx+6R0

2dx y

R sin x+ x2 + 2

dx =

Rsin xdx+

Rx2 dx+

R2dx

2.bRa

f(x)dx =cRa

f(x)dx+bRc

f(x)dx a < c < b

10R2

(5x+ 4)dx =6R2

(5x+ 4)dx+10R6

(5x+ 4)dx

20R4

(x+ 3)dx =8R4

(x+ 3)dx+16R8

(x+ 3)dx+20R16

(x+ 3)dx

Ejemplo 1.20

f(x) =

8


5.bRa

f(x)dx = aRb

f(x)dx yaRa

f(x)dx = 0

6.bRa

f(x)dx =b+cRa+c

f(x c)dx c 2 R

6R0

4 sin xdx =8R2

4 sin(x 2)dx =4R24 sin(x+ 2)dx

10R3

x2 + 2x+ 4

dx =

7R0

x+ 3)2 + 2(x+ 3) + 4

dx

7.bRa

f(x)dx =1

c

bcRac

fxc

dx c 2 R; c 6= 0

Ejemplo 1.21

6R0

sin xdx =1

2

12R0

sinx2

dx = 2

3R0

sin 2xdx = 61R0

sin 6xdx

9R3

x2 + 2x+ 4

dx =

1

3

27R9

x3

2+ 2

x3

+ 4

dx

8.

si f(x) g(x) para todo x 2 [a; b] entoncesbRa

f(x)dx bRa

g(x)dx

1.7.2 Funciones pares e impares

Una funcin f(x) se dice par en [a; a], si f(x) = f(x) para todo x 2 [a; a] y unafuncin f(x) se dice impar en [a; a], si f(x) = f(x) para todo x 2 [a; a]Son funciones pares en [a; a] ; f(x) = x2; g(x) = jxj ; h(x) = cosx; l(x) = sin2 x y son

impares f(x) = x; g(x) = x3; h(x) = x cosx; l(x) = sinx, adems

aRaf(x)dx =

8


5R5sinxdx = 0;

5R5x5dx = 0;

5R5x5 jxj dx = 0;

5R5cosx sin99 xdx = 0

5R5jxj dx = 2

5R0

xdx;Rcosxdx = 2

R0

cosxdx

9.bRa

f(x)dx =bRa

f(t)dt =bRa

f(u)du

Ejemplo 1.23

4R0

sin xdx =4R0

sin tdt =4R0

sin zdz =4R0

sinudu

11. Zf 0(x)dx = f(x) + C

a)

Zd

dx(sinx) dx = sinx+ c b)

Zd

dx

x3dx = x3 + c

12. Zf(x)dx

0= (F (x) + C)0 = f(x)

a)d

dx

Zsin xdx

= sinx b)

d

dx

Zx3dx

= x3 c)

d

dx

Zexdx

= ex

1.7.3 Primer Teorema fundamentales del clculo

Si F(x) es una primitiva de f(x) en [a; b] entonces

bRa

f(x)dx = F (x) + Cba = F (b) F (a) y

Rf(x)dx = F (x) + C

y si f(x) es continua en [a; b] y F(x) es una primitiva de f(x) en [a; b], entonces

bRa

f(x)dx = F (b) F (a)


Ejemplo 1.24

2Z0

exdx = ex20 = e

2e0 yZexdx = ex+c

Ejemplo 1.25

4Z2

x2dx =x2+1

2 + 1e42 =

x3

3e42 =

43

32

3

3=56

3y

Zx2dx =

x2+1

2 + 1+c =

x3

3+c

Zxndx =

xn+1

n+ 1+c si n 6= 1 y si n = 1 entonces

Zdx

x= ln x+c

Ejemplo 1.26

4Z0

pxdx =

4Z0

x12dx =

x12+1

12+1

40 =

x32

32

40 =

16

3

Z pxdx =

Zx12dx =

x12+1

12+1+ c =

x32

32

+ c =2x

32

3+ c

Ejemplo 1.27

4Z1

dx

x= ln x

41 = ln 4ln 1 = ln 4

Ejemplo 1.28

4Z1

dx

x3=

4Z1

x3dx =x3+1

3 + 141 =

x2

241 =

1

2x241 =

15

32

Ejemplo 1.292Z0

sin xdx = cosxm20 =

cos

2 cos 0

= 1;

Zsin xdx = cosx+c


Ejemplo 1.302Z0

cosxdx = sinx20 = sin 2sin 0 = 0;

Zcosxdx = sinx+c

Ejemplo 1.31

a)

Zsec2 xdx = tanx+c b)

Zsec x tan xdx = secx+c c)

Zdx

1 + x2= arctan x+c

d)

Zdxp1 x2 = arcsin x+c e)

Zdx

a2 + x2=1

aarctan(

x

a)+c f)

Ztan xdx = ln(cosx)+c = ln(secx)+c

g)

Zsec xdx = ln(sec x+tanx)+c h)

Zcsc dx = ln(cscxcotx)+c i)

Zcsc2 dx = cotx+c

j)

Zsec x tan xdx = secx+c k)

Zcsc x cotxdx = csc x+c

Ejemplo 1.32Z(1x)pxdx =

Zx12dx

Zx32dx =

2x32

32x

52

5+c

Z(2x25x+3)dx =

Z2x2dx

Z5xdx+

Z3dx =

2x3

35x

2

2+3x+c

Ejercicio 2 Vericar que

1:

Z(2x35x23x+4)dx = 1

2x45

3x33

2x2+4x+c

2: a)

2Z0

x (x+ 1) (x+ 2) dx = 16 b)

2Z1

px+ 1

xpx+ 1 dx = 8

5

p2+3

5

3: a)

2Z1

1 + x3

2dx =

373

14b)

1Z0

x (2x+ 1)2 dx =17

6c)

2Z1

x3 6x+ 5

x

dx = 5 ln 211

3

4: a)

1Z0

tdtp1 + t

=4

323

p2 b)

4Z2

zdz

z + 2= 4 ln 22 ln 6+2


1.7.4 Segundo teorema fundamental del clculo

Si f es continua en [a; b] y F (x) =xRa

f(t)dt continua en [a; b], con a < x < b y derivable

en (a; b) entoncesF 0(x) = f(x)

y en general

si F (x) =g(x)Ra

f(t)dt entonces F 0(x) = f(g(x))g0(x)

Ejemplo 1.33 Si F (x) =x3R3

etdt entonces F 0(x) = 3x2ex3


dt1+t6

entonces F 0(x) = 4x3

1+x24


et2dt entonces F 0(x) = 3x2ex

6


sin t2dt entonces F 0(x) = 3x2 sin (x6)

Ejemplo 1.37 Si F (x) =x3+2x+4R

3

sin ttdt entonces F 0(x) = (3x2 + 2) sin(x

3+2x+4)x3+2x+4

Ejemplo 1.38

sea F (x) =

x3R2

ecos tdtR3

sin(t2 + 1)

t4 + 3dt =

G(x)R3

sin(t2 + 1)

t4 + 3dt

entonces

F 0(x) =sin((G(x))2 + 1)

(G(x))4 + 3G0(x) =

sin

0@ x3R2

ecos tdt

!2+ 1

1A x3R2

ecos tdt

!4+ 3

3x2ecosx3


Ejemplo 1.39 Hallar una funcin f(t) y la contante c tal que

xRc

f(t)dt = cos x 12

En efecto, sea

F (x) =xRc

f(t)dt = cos x 12entonces F 0(x) = f(x) = sin x por tanto

xRc

sin tdt = cos x cos c = cos x 12entonces c =

3y f(t) = sin t

Ejemplo 1.40 Hallar una funcin f(x) talque

xRc

tf(t)dt = sinx x cosx x2

2

En efecto, sea

F (x) =xRc

tf(t)dt = sinx x cosx x2

2entonces

F 0(x) = xf(x) = cosx (cosx x sin x) x = x sin x x

por lo tanto f(x) =x sin x x

x= sinx 1

Ejercicio 3 I) Vericar que si f es continua y satisface la ecuacion, para todo x 0entonces si

a)xR0

f(t)dt = x2(1 + x) se tiene que f(2) = 16

b)x2R0

f(t)dt = x2(1 + x) se tiene que f(2) = 1 + 3p2=2

c)x2(1+x)R0

f(t)dt = x se tiene que f(2) =1

5


d) F (x) =x2Rx3

t6

1 + t4dt entonces verique que F 0(x) =

2x13

1 + x8 3x

20

1 + x12

e)xRc

f(t)dt = x2 + x sin 2x+cos 2x

2 12entonces f(

4) = =2

II) Calcular F(x) si

a)F (x) =xR0

p1 + t3dt b)F (x) =

x3R0

et2

dt c) F (x) =x3 sinxR0

cos t2dt

d)F (x) =x3Rx

ecos tdt e) F (x) =x3 cosxRx

2

2 + t8dt f)

x3 lnxRx

p2 + cos4 tdt

III) Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva

a) y(x) =xR2

cos(t3)dt en el punto x=2. Resp 1 b) y(x) =xR0

sinpt2 + 2dt en el punto x=0. Resp 0

IV) Indicar la integral que representa el rea de las guras siguientes

V) Hallar f(x) si

a)f(x) = 3e2t; f(0) = 0; f(0) = 4 b)f(x) = 3x2+1; f(0) = 2

VI) Hallar la curva que pasa por el punto (42; 1) y cuya paendiente en cada punto(x,y) con x > 0 es cos

pxp

xRespuesta f(x)=2sin

px+ 1

VII) Hallar el valor de k que cumple2R0

f(x)dx = 2k si f(x)=3 si 0 x < 15 si 1 x 2

Respuesta k=4

1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 29

1.8 Mtodos de integracin

El propsito de aqu en adelante, es de buscar mecanismos ms sencillos para el clculode integrales y para ello empezaremos con los mtodos de integracin

1.8.1 Mtodo de sustitucinbZa

f(g(x))g0(x)dx =

g(b)Zg(a)

f(u)du = [F (u) + C]g(b)g(a) = F (g(b))+C(F (g(a)) + C) = F (g(b))F (g(a))

siendo f(g(x))g0(x) integrable en [a; b] y si la integral es indenida, entonces

Zf(g(x))g0(x))dx =

Zf(u)du = F (u)+C = F (g(x))+C

Observacion. El cambio de variable ser un exito, siempre y cuando la integralZf(u)du

sea ms sencilla de calcular, que la integralZf(g(x))g0(x))dx y si esto no ocurre hacer

otro cambio de variable hasta lograr este objetivo y esto se ilustrar con los siguientesejemplos.

Ejemplo 1.41 Si u = x2 entonces du = 2xdx. Ahora si x = 1 entonces u = 1 y si x = 2entonces u = 4; luego

2Z1

ex2

2xdx =

4Z1

eudu = eue41 = e4 e1

Ejemplo 1.42 Si u = x4 entonces du = 4x3dx. Ahora si x = 0 entonces u = 0 y si x = 3entonces u = 81, luego

3Z0

ex4

4x3dx =

81Z0

eudu = eue810 = e81 e0

Ejemplo 1.43 Si u = sinx entonces du = cos xdx y as


Zesinx cosxdx =

Zeudu = eu + c = esinx + c

Ejemplo 1.44 Si u = ax entonces du = adx y asi

Zeaxdx =

1

a

Zeudu =

1

aeu + c =

eax

a+ c a 6= 0Z

e5xdx =e5x

5+ c

Ejemplo 1.45 Si u = ax entonces du = adx y asZsin axdx =

1

a

Zsinudu = cosu

a+ c = cos ax

a+ c a 6= 0

Ejemplo 1.46 Si u = ax entonces du = adx y asZcos axdx =

1

a

Zcos udu =

sinu

a+ c =

sin ax

a+ c a 6= 0

Ejemplo 1.47

a)

Zsin 3xdx = cos 3x

3+ c b)

Zcos 3xdx =

sin 3x

3+ c

Ejemplo 1.48 Si u = x+ a entonces du = dx y asZdx

x+ a=

Zdu

u= lnu+ c = ln(x+ a) + c

Ejemplo 1.49 Si u=2x-3 entonces du=2dx y as

Zdx

2x 3 =1

2

Zdu

u=ln(2x 3)

2+ c

Ejemplo 1.50 Si u=x+3 entonces du=dx y as

Zdxpx+ 3

=

Zdupu= 2

pu+ c = 2

px+ 3 + c;


Ejemplo 1.51 Si u = 3x 1 entonces du = 3dx y asZ p3x 1dx = 1

3

Z pudu =

2

9(3x 1) 32 + c

Ejemplo 1.52 Si u = 2 y entonces du = dy y as

Zdy

(2 y)3 =Z du

u3=

1

2(2 y)2 + c

Ejemplo 1.53 Si u = arctan x;entonces du = dx1+x2

y asZearctanx

1 + x2dx =

Zeudu = eu + c = earctanx + c

Ejemplo 1.54 Si u = x4 + x2 + 1 entonces du = (4x3 + 2x) dx y asi

Z x4 + x2 + 1

10 4x3 + 2x

dx =

Zu10du =

u11

11+ c =

(x4 + x2 + 1)11

11+ c

Ejemplo 1.55 Si u = x3 + 1 entonces du = 3x2dx y asZ p1 + x3x2dx =

Z pudu

3=1

3

Z pudu =

1

3

u12+1

12+1

+ c =2

9

1 + x3

32 + c

Ejemplo 1.56 Si u =px entonces du = dx

2pxy as

Zepx

pxdx = 2

Zeudu = 2eu + 2c = 2eu + 2c = 2e

px + k

Ejemplo 1.57 Si u = x3 + 1 entonces du = 3x2dx y as

Z3x2 cos

x3 + 1

dx =

Zcosudu = sinu+ c = sin

x3 + 1

+ c


Ejemplo 1.58 Si u = 1 + x; du = dx; x = 1 u entoncesZ p1 + xxdx =

Z pu (u 1) du =

Z u32 u 12

du =

u32+1

32+ 1

u12+1

12+ 1

+ c

=u52

52

u32

32

+ c =2

5(1 + x)

52 2

3(1 + x)

32 + c

Ejemplo 1.59 Si u = x2 + 2x+ 5 entonces du = (2x+ 2)dx y as

Z(x+ 1) dxpx2 + 2x+ 5

=1

2

Zdupu=1

2

Zu

12du =

1

2

u12+1

12+1

+ c =px2 + 2x+ 5 + c

Ejemplo 1.60 Si u = arcsinx entonces du = dxp1x2 y as

Z(arcsinx)4 dxp

1 x2 =Zu4du =

u5

5+ c =

(arcsinx)5

5+ c

Ejemplo 1.61 Si u = 1xentonces du = dx

x2y asZ

sin 1xcos 1

xdx

x2=

Zsinu cosudu =

Zzdz = z

2

2+c = (sinu)

2

2+c = (sin

1x)2

2+c

Ejemplo 1.62Z2 sin x cosxdx =

Zsin 2xdx =

1

2

Zsinudu = cosu

2+c = cos 2x

2+c

Ejemplo 1.63 Siu = sinx entonces du = cosxdx y asZsin7 x cosxdx =

Zu7du =

u8

8+c =

(sinx)8

8+c =

sin8 x

8+c

Ejemplo 1.64 Como

sin(x+y)+sin(xy) = 2 sin x cos yentonces

sin x cos y =sin(x+ y) + sin(x y)

2

luego

sin 5x cos 10x =sin 15x+ sin(5x)

2=sin 15x sin 5x

2


por lo tanto

Zsin 5x cos 10xdx =

Zsin 15x sin 5x

2dx = cos 15x

30+cos 5x

10+ c

Ejemplo 1.65Zcos2 xdx =

Z(1 + cos 2x)dx

2=

Zdx

2+

Zcos 2xdx

2=1

2

x+

sin 2x

2

+ c

Ejemplo 1.66Zcos2 3xdx =

Z(1 + cos 6x)dx

2=1

2

x+

sin 6x

6

+c

Ejemplo 1.67Z(x+ 2)19 dx =

Zu19dx =

u20

20+c =

(x+ 2)20

20+c

Ejemplo 1.68Zxdx

x+ 1=

Z(x+ 1 1)dx

x+ 1=

Zdx

Zdx

x+ 1= x ln(x+ 1) + c

Ejemplo 1.69 Vericar queZdx

ex + 1=

Z(ex ex + 1)dx

ex + 1=

Z(ex + 1 ex)dx

ex + 1=

Zdx

Zexdx

ex + 1= xln(ex+1)+c

Ejemplo 1.70 Vericar que

Zdxp

28 12x x2 =Z

dxp64 (x2 + 12x+ 36) =

Zdxp

64 (x+ 6)2 = arcsinx+ 6

8

+c



Z(x+ 3)dxp5 4x x2 =

1

2

Z(2x 6)dxp5 4x x2 =

1

2

Z((2x 4) 2)dxp

5 4x x2 =

= 12

Z(2x 4)dxp5 4x x2 +

Zdxp

5 4x x2 = 1

2

Z(2x 4)dxp5 4x x2 +

Zdxp

9 (x+ 2)2 =

= 12

Zdupu+

Zdxp

9 (x+ 2)2 = p5 4x x2+arcsin

x+ 2

3

+c

Ejemplo 1.72 Si u = 1 +px entonces du = dx

2pxy as

Z(1 +

px)2dxpx

= 2

Zu2du =

2u3

3+ c =

2

3(1 +

px)3 + c

Ejemplo 1.73

Zx sec2 x2dx =

1

2

Zsec2 udu =

tanu

2+c =

tan x2

2+c; u = x2

Ejemplo 1.74 Si u = sin2 4x entonces du = 2 sin 4x cos 4xdx = 4 sin 8xdx y asi

Zsin 8xdx

9 + sin4 4x=1

4

Z4 sin 8xdx

9 + sin4 4x=1

4

Zdu

9 + u2=1

12arctan

u3

+c =

1

12arctan

sin2 4x

3

+c

Ejemplo 1.75 u = x2 + 5; du = 2xdx; entoncesZxdx

x2 + 5=1

2

Zdu

u=1

2lnu+

k

2=1

2lnx2 + 5

+c

Ejemplo 1.76 Si u = 1xentonces du = dx

x2Ze1xdx

x2=

Zeudu = eu + c = e 1x + c


Ejemplo 1.77 u = x2; du = 2xdx entoncesZxdxp9 x4 =

1

2

Zdup9 u2 =

1

6arcsinu+c =

1

6arcsinx2+c

Ejemplo 1.78 Si u = arcsinx entonces du = dxp1x2 y asZ p

arcsinxdxp1 x2 =

Z pudu =

u32

32

+ c =2

3(arcsinx)

32 + c

Ejemplo 1.79 Si u = arctan(x2); du =

12dx

1+x2

4

= 2dx4+x2

entonces

Zarctan(x

2)dx

4 + x2=1

2

Zudu =

u2

4+ c =

arctan(x

2)2

4+ c

Ejemplo 1.80 Calcular la integralZ(xparctan(2x))dx

1 + 4x2=

Zxdx

1 + 4x2Z p

arctan 2xdx

1 + 4x2ejercicio

Ejemplo 1.81 Vericar queZdxq

(1 + x2) ln(x+p1 + x2)

=

Zdupu= 2

pu+c = 2

qln(x+

p1 + x2) + c, u = ln(x+

p1 + x2)

Ejemplo 1.82 Calcular la integralZexp4 2ex =

Z p4 2udu hacer u = ex; z = 42u ejercicio


Zexdx

1 + e2x=

Zdu

1 + u2= arctanu+ c = arctan ex + c , u = ex

Ejemplo 1.84 Vericar queZsin(3x+ 6)dx =

Zsinudu

3=cos(3x+ 6)

3+ c; u = 3x+ 6


Ejemplo 1.85 Vericar queZsin2 3xdx =

Z(1 cos 6x)dx

2=1

2x 1

12sin 6x +c

Ejemplo 1.86 Vericar queZcos4 2xdx =

Z(cos2 2x)2dx =

Z 1 + cos 4x

2

2dx =

Z1 + 2 cos 4x+ cos2 4x

4dx =

=

Z 1 + 2 cos 4x

4+1 + cos 8x

8

dx =

3

8x+

1

8sin 4x+

1

64sin 8x+ c

Ejemplo 1.87 Vericar queZcos3 xdx =

Zcos2 x cosxdx =

Z 1 sin2 x cosxdx = Z 1 u2 du = u1

3u3 +c =

= sinx sin3 x

3+ c

Ejemplo 1.88 Vericar queZsin3 xdx =

Zsin2 x sin xdx =

Z 1 cos2 x sin xdx = Z 1 u2 du =

=1

3cos3 x cosx+ c


Zsin4 xdx =

Z(sin2 x)2dx =

Z(1 cos 2x)2

4dx =

1

4

Z 1 2 cos 2x+ 1 + cos 4x

2

dx =

=3

8x 1

4sin 2x+

1

32sin 4x+ c


Z(1 sin x)dxx+ cosx

=

Zdu

u= lnu+c = ln(x+cos x)+c



Z qln(x+px2 + 1dxpx2 + 1

=

Z pudu =

2

3

lnx+

px2 + 1

32+c; u =

ln(x+

px2 + 1


Zsin x cosxdxp1 sin4 x

=1

2

Zdup1 u2 =

1

2arcsinu+c =

1

2arcsin

sin2 x

+c , u = sin2 x

Ejemplo 1.93 Vericar queZsin(lnx)dx

x=

Zsinudu = cosu+c = cos(lnx)+c; u = lnx

Ejemplo 1.94 Ilustre con ejemplos las integrales siguientes

Zsinmx cosnxdx =

1

2

Z(sin(m+ n)x+ sin(m n)x) dx = 1

2

cos(m+ n)x

m+ n cos(m n)x

m n+c

Zsinmx sinnxdx =

1

2

Z(cos(m n)x cos(m+ n)x) dx = 1

2

sin(m n)xm n

sin(m+ n)x

m+ n

+c

Zcosmx cosnxdx =

1

2

Z(cos(m n)x+ cos(m+ n)x) dx = 1

2

sin(m n)xm n +

sin(m+ n)x

m+ n

+c

Ejemplo 1.95 Si u = sinx; du = cosxdx entoncesZesinx cosxdx =

Zeudu = eu + c = esinx + c


Ejemplo 1.96 Si u = tanx; du = sec2 xdx entoncesZetanx sec2 xdx =

Zezdz = ez + c = etanx + c

Ejemplo 1.97 Si u = ex; du = exdx entonces

Zee

x

exdx =

Zezdz = ez + c = ee

x

+ c

Z2lnx

xdx =

Z2udu =

Zeu ln 2 =

eu ln 2

ln 2+ c =

2u

ln 2+ c =

2lnx

ln 2+ c

Ejemplo 1.98 Si u = lnx; du = dxxentonces

Zcos(lnx)dx

x=

Zcosudu = sinu+ c = sin(ln x) + c

Ejemplo 1.99 Si u =px; du = dx

2px

Zcos(

px)dxpx

= 2

Zcosudu = 2 sinu+ c = 2 sin(

px) + c

Ejemplo 1.100 Si u=sinx, du=cosxdx entonces

Zcosxdx

1 + sinx=

Zdu

1 + u= ln(1 + u) + c = ln(1 + sinx) + c

Ejemplo 1.101 Si u = arc sin x; du = dxp1x2 entonces

Zdxp

1 x2p1 arcsin2 x

=

Zdup1 u2 = arcsinu+ c = arcsin(arcsinx) + c

Ejemplo 1.102 Si u=lnx, du = dxxentonces

Zdx

xq4 ln2 x =

Zdup4 u2 = arcsin

u

2+ c = arcsin

lnx

2

+ c


Ejemplo 1.103 Calcular Zdxp

1 +p1 + x

En efecto, si u =p1 +

p1 + x; despejando x se tiene que x = (u2 1)2 1; dx =

4u (u2 1) du entonces

Zdxp

1 +p1 + x

=

Z4u (u2 1) du

u=

Z4u2 1 du = 4u3

3 4u+ c =

=4p

1 +p1 + x

33

4q1 +

p1 + x+ c

por lo tanto

Zdxp

1 +p1 + x

=4p

1 +p1 + x

33

4q1 +

p1 + x+ c


1: a)

Zxn1

pa+ bxndx =

2

3bn(a+ bxn)

32+c b)

Zdy

(a+ by)3= 1

2b (a+ by)2+c

2: a)

Z(2x+ 3)dxpx2 + 3x

= 2px (x+ 3)+c b)

Z(x2 + 1)dxpx3 + 3x

=2

3

px3 + 3x+c

3: a)

Z(2 + ln x) dx

x=1

2(lnx+ 2)2+c b)

Zcosxdxp1 + sinx

= 2psin x+ 1

4: a)

Z(x+ 4)dx

2x+ 3=1

2x+5

4ln

x+

3

2

+c b)

1Z0

ed

1 + e= ln (e+ 1)ln 2


5: a)

Zxdxr

1 + x2 +q(1 + x2)3

= 2

q1 + x2 +

p1 + x2 + c b)

4Z0

cos 2xp4 sin 2xdx = 8

3p3

6: a)

13Z

23

xdxp2 3x =

2

27b)

8Z3

sin(px+ 1)dxpx+ 1

= 2 (cos 2 cos 3)

7)

Zsinh xdx = cosh x+c 8)

Zcoshxdx = sinhx+c 9)

Ztanh2 xdx = xtanh x+c

10)

Zsinh2 xdx =

sinh 2x

4 x2+ c

1.8.2 Mtodo de integracion por partes

Recordemos que la derivada de un producto de funciones viene dada por

(fg)0 = fg0 + f 0g entonces f 0g = (fg)0 fg0

asi, si integramos a ambos lados de la igualdad se tiene que :Zf 0(x)g(x)dx =

Z(f(x)g(x))0 dx

Zf(x)g0(x)dx = f(x)g(x)

Zf(x)g0(x)dx y

bZa

f 0(x)g(x)dx =

bZa

(f(x)g(x))0 dxbZa

f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)eba bZa

f(x)g0(x)dx

o

Zudv = uv

Zvdu siendo u = g(x) y dv = f 0(x)dx

conocida como frmula de integracin por partes.Observaciones. Para tener xito en el manejo de la frmula de integracin por partes,

hay que tener en cuenta que la funcin escogida como dv debe ser fcil de integrar y que

la integralZvdu debe ser ms fcil de calcular que la intgral

Zudv y esto se aprender

con los ejemplos que se presentarn a continuacin y para empezar aprendamos a calcularu y dv con un ejemplo


Ejemplo 1.104 Calcular la integralZx sin xdx

Para calcular esta integral se tienen tres posibilidades de u y dv asi:

a)u = x; dv = sinxdx b)u = sinx; dv = xdx c) u = xsinx; dv = dx:

Observe que en los tres casos udv = x sin xdx y ahora veamos cuales nos permitenel clculo de la integral

En el caso a) u = x; dv = sin xdx entonces du = dx y v = cosx =Zsin xdx, y la

constante la vamos a tomar ac siempre como 0 y asiZx sin xdx =

Zudv = uv

Zvdu = x cosx+

Zcosxdx = x cosx+ sinx+ c

En el caso b) Como u = sinx; dv = xdx entonces du = cosxdx; v = x2

2y asiZ

x sin xdx =

Zudv = uv

Zvdu =

x2

2sin x

Zx2

2cosxdx

y la integralZ

x2

2cosxdx es ms complicada de calcular, que la integral

Zx sin xdx por

lo tanto la escogencia de u y dv no es adecuada y en el caso c) tampoco es adecuadapues, como u = xsinx; dv = dx entonces du = sinx+ xcosx y v=x entoncesZ

x sin xdx =

Zudv = uv

Zvdu = x2 sin x

Zx (sinx+ xcosx) du

y sta integral es ms compleja queZx sin xdx, luego como conclusion para calcular las

integrales siguientes

a)

Zxn sinxdx se hace u = xn; dv = sinxdx b)

Zxn cosxdx se hace u = xn; dv = cos xdx

c)

Zxnexdx se hace u = xn; dv = exdx d)

Zxn lnm xdx se hace dv = xndx; u = lnm x

Ejemplo 1.105 Calcular la integral Zxp1 + xdx


En efecto, las posibilidades son

a)u = x; dv =p1 + xdx b)u = x

p1 + x; dv = dx c) u =

p1 + x; dv = xdx

y la haremos con

u = x; dv =p1 + xdx; du = dx; v =

2

3(1 + x)

32

entonces Zxp1 + xdx =

2x

3(1 + x)

32 2

3

Z(1 + x)

32 dx =

=2x

3(1 + x)

32

4q(1 + x)5

15+ c

por lo tanto Zxp1 + xdx =

2x

3

q(1 + x)3

4q(1 + x)5

15+ c

Ejemplo 1.106 Vericar queZarcsinxdx = x arcsinx+

p1 x2 + c

En efecto, sea u = arcsinx y dv = dx entonces du = dxp1x2 ; v = x, por lo tantoZ

arcsinxdx = x arcsinxZ

xdxp1 x2 = x arcsinx

1

2

Z2xdxp1 x2 =

= x arcsinx+1

2

Zdupu= x arcsinx+

1

2

Zu

12du =

= x arcsinx+1

2

u12+1

12+1

+ c = x arcsinx+ u12 + c = x arcsinx+

p1 x2 + c

por lo tanto Zarcsinxdx = x arcsinx+

p1 x2 + c


Ejemplo 1.107 Vericar queZarc tan xdx = x arctanx 1

2ln1 + x2

+ c

En efecto, sea u = arctan x y dv = dx entonces du = dx1+x2

; v = x, por lo tantoZarctanxdx = x arctanx

Zxdx

1 + x2= x arctanx 1

2

Z2xdx

1 + x2=

= x arctanx 12

Zdu

u= x arctanx 1

2lnu+ c =

= x arctanx 12ln1 + x2

+ c luegoZ

arctanxdx = x arctanx 12ln1 + x2

+ c

Ejemplo 1.108 Calcular la integralZx2 arcsinxdx

En efecto, las posibilidades

a)u = x2; dv = arcsin x b) u = arcsinx; dv = x2dx c)u = x2 arcsinx; dv = dx d) u = x arcsinx; dv = xdx

y tomaremos ahora otro cambio de variable diferente a los anteriores para eliminar lainversa, por ejemplo x = sint; dx = cos tdt y arcsinx = arcsin(sint) = t entoncesZ

x2 arcsinxdx =

Zt sin2 t cos tdt

y para calcular la integralZt sin2 t cos tdt de har u = t; dv = sin2 t cos tdt; entonces

du = dt, v =Zsin2 t cos tdt =

Zu2dt = u

3

3= sin

3 t3

entoncesZt sin2 t cos tdt =

t sin3 t

3Zsin3 tdt

3=t sin3 t

313

Zsin2 t sin tdt =

t sin3 t

313

Z 1 cos2 t sin tdt =

=t sin3 t

3+1

3

Z 1 z2 dz = t sin3 t

3+z

3z

3

9+c =

t sin3 t

3+cos t

3cos

3

9t+c = (gura 1.15)

=x3 arcsinx

3+

p1 x23

p1 x239

+ c; x = sint; cos t =p1 x2


gura 1.15

Ejemplo 1.109 Vericar queZxnexdx = xnex n

Zxn1exdx

En efecto, sea u = xn y dv = exdx entonces du = nxn1dx; v = ex por lo tantoZxnexdx = xnex n

Zxn1exdx conocida como una frmula de reduccin

a) Aplicando la frmula de reduccin con n=3, se tieneZx3exdx = x3ex 3

Zx2exdx = x3ex 3

x2ex 2

Zxexdx

=

= x3ex 3x2ex + 6Zxexdx = x3ex 3x2ex + 6

xex

Zexdx

=

= x3ex 3x2ex + 6xex 6Zexdx = x3ex 3x2ex + 6xex 6ex + c

Ejemplo 1.110 Vericar queZxn cosxdx = xn sin x+ nxn1 cosx n (n 1)

Zxn2 cosxdx

En efecto, sea u = xn y dv = cos xdx entonces du = nxn1dx; v = sinx por lo tanto

Zxn cosxdx = xn sin xn

Zxn1 sin xdx

ahora hagamos u = xn1; dv = sinxdx; du = (n 1)xn2dx; v = cosx y asiZxn1 sin dx = xn1 cosx+(n 1)

Zxn2 cosxdx por lo tanto

1.8. MTODOS DE INTEGRACIN 45Zxn cosxdx = xn sin xn

Zxn1 sin xdx = xn sin xn

xn1 cosx+ (n 1)

Zxn2 cosxdx

=

= xn sinx+nxn1 cosxn (n 1)Zxn2 cosxdx entoncesZ

xn cosxdx = xn sin x+ nxn1 cosx n (n 1)Zxn2 cosxdx

Ejemplo 1.111Zx2 cosxdx = x2 sin x+ 2x cosx 2

Zcosxdx = x2 sin x+ 2x cosx 2 sin x+ c

En forma anloga verique que la integralZxn sin xdx = xn cosx+ nxn1 sin x n (n 1)

Zxn2 sin xdx

Ejemplo 1.112 Verique queZlnn xdx = x lnn x n

Zlnn1 xdx

En efecto, sea u = lnn x y dv = dx entonces du = n lnn1 xdxx

; v = x por lo tanto

Zlnn xdx = x lnn x n

Zx lnn1 xdx

x= x lnn x n

Zlnn1 xdx y asiZ

lnn xdx = x lnn x nZlnn1 xdx

Ejemplo 1.113Zln3 xdx = x ln3 x 3

Zln2 xdx = x ln3 x 3

x ln2 x 2

Zlnxdx

=

= x ln3 x 3x ln2 x+ 6x lnx

Zdx

= x ln3 x 3x ln2 x+ 6x lnx 6x+ c

Ejemplo 1.114 Verique queZxm lnn xdx =

xm+1

m+ 1lnn x n

m+ 1

Zxm lnn1 xdx

En efecto, sea u = lnn x y dv = xmdx entonces du = n lnn1 xdxx

; v = xm+1

m+1por lo tanto


Zxm lnn xdx =

xm+1

m+ 1lnn x n

m+ 1

Zxm lnn1 xdx

Ejemplo 1.115 Verique queZex cosxdx =

ex sin x+ ex cosx

2+ k

En efecto, sea u = ex y dv = cos xdx entonces du = exdx; v = sinx (y luego u = ex ydv=sinxdx), por lo tantoZ

ex cosxdx = ex sin xZex sin xdx = ex sin x

ex cosx+

Zex cosxdx

=

= ex sin x+ ex cosxZex cosxdx luegoZ

ex cosxdx = ex sin x+ ex cosxZex cosxdx por tantoZ

ex cosxdx+

Zex cosxdx = 2

Zex cosxdx = ex sin x+ ex cosx+ c entoncesZ

ex cosxdx =ex sin x+ ex cosx

2+ k

Anlogamente verique queZeax cos bxdx =

eaxb sin bx+ aeax cos bx

a2 + b2Zeax sin bxdx =

eaxa sin bx beax cos bxa2 + b2

Ejemplo 1.116 Verique queZsinn xdx = cosx sin

n1 xn

+(n 1)n

Zsinn2 xdx

En efecto, sea u = sinn1 x y dv = sinxdx entonces du = (n 1) sinn2 x cosxdx;v = cosx; por lo tantoZsinn xdx = cosx sinn1 x+(n1)

Zsinn2 x cos2 xdx =


= cosx sinn1 x+(n1)Zsinn2 x

1 sin2 x dx =

= cosx sinn1 x+ (n 1)Zsinn2 xdx (n 1)

Zsinn xdx entoncesZ

sinn xdx = cosx sinn1 x+(n1)Zsinn2 xdx (n1)

Zsinn xdx

asi queZsinn xdx+ (n 1)

Zsinn xdx = n

Zsinn xdx = cosx sinn1 x+ (n 1)

Zsinn2 xdx

por lo tanto Zsinn xdx = cosx sin

n1 xn

+(n 1)n

Zsinn2 xdx

Ejemplo 1.117Zsin3 xdx = cosx sin

2 x

3+2

3

Zsin xdx = cosx sin

2 x

3 23cosx+ c

En forma anloga verique queZcosn xdx =

Zcosn1 x cosxdx =

sin x cosn1 xn

+(n 1)n

Zcosn2 xdx

Ejemplo 1.118 Verique queZtann xdx =

tann1 xn 1

Ztann2 xdx

En efecto,Ztann xdx =

Ztann2 x tan2 xdx =

Ztann2 x

sec2 x 1 dx =

=

Ztann2 x sec2 xdx

Ztann2 xdx =

Zun2du

Ztann2 xdx =

=un2+1

n 2 + 1 Ztann2 xdx =

tann1 xn 1

Ztann2 xdx luegoZ

tann xdx =tann1 xn 1

Ztann2 xdx n 6= 1


Ztan2 xdx =

tan x

1Ztan22 xdx = tanx x+ c

En forma anloga vericar queZcotn xdx =

Zcotn2 x cot2 xdx = cot

n1 xn 1

Zcotn2 xdx n 6= 1

Ejemplo 1.119 Vericar queZsecn xdx =

secn2 x tan xn 1 +

n 2n 1

Zsecn2 xdx n 6= 1

En efecto sea u = secn2 x y dv = sec2 xdx entonces du = (n 2) secn3 x sec x tan xdx;v = tanx por lo tanto

Zsecn xdx =

Zsecn2 x sec2 xdx = secn2 x tan x(n2)

Zsecn3 x sec x tan x tan xdx =

= secn2 x tan x(n2)Zsecn2 x tan2 xdx = secn2 x tan x(n2)

Zsecn2 x

sec21 dx =

= secn2 x tan x(n2)Zsecn xdx+(n2)

Zsecn2 xdx entonces

Zsecn xdx = secn2 x tan x(n2)

Zsecn xdx+(n2)

Zsecn2 xdx y asi

Zsecn xdx+(n2)

Zsecn xdx = (n1)

Zsecn xdx = secn2 x tan x+(n2)

Zsecn2 xdx

por lo tantoZsecn xdx =

secn2 x tan xn 1 +

n 2n 1

Zsecn2 xdx n 6= 1

Ejemplo 1.120


Zsec3 xdx =

sec x tan x

2+1

2

Zsec xdx =

sec x tan x

2+1

2

Z sec x+ tanx

sec x+ tanx

sec xdx =

=sec x tan x

2+1

2

Z sec2 x+ tanx sec x

sec x+ tanx

dx =

sec x tan x

2+1

2

Zdu

u=

=sec x tan x

2+1

2lnu+ c =

sec x tan x

2+1

2ln (secx+ tanx) + c por lo tantoZ

sec3 xdx =sec x tan x

2+1

2ln (secx+ tanx) + c

En forma anloga vericar queZcscn xdx = csc

n2 x cotxn 1 +

n 2n 1

Zcscn2 xdx n 6= 1

Ejemplo 1.121 Vericar queZsinn x cosm xdx = sin

n1 x cosm+1 xm+ 1

+n 1m+ 1

Zsinn2 x cosm+2 x

En efecto, sea

u = sinn1 x cosm x y dv = sinxdx ,v = cosx,du = ((n 1) sinn2 x cosx cosm xm cosm1 x sin x sinn1 x)dx, por lo tantoZ

sinn x cosm xdx =

Zsinn1 x sin x cosm xdx =

= sinn1 x cosm x cosxZ((n 1) sinn2 x cosm+1 xm cosm1 x sinn x ( cosx))dx =

= sinn1 x cosm+1 x+(n1)Zsinn2 x cosm+2 xdxm

Zcosm x sinn xdx por tantoZ

sinn x cosm xdx = sinn1 x cosm+1 x+(n1)Zsinn2 x cosm+2 xdxm

Zcosm x sinn xdx

y asiZsinn x cosm xdx+m

Zcosm x sinn xdx = sinn1 x cosm+1 x+(n1)

Zsinn2 x cosm+2 xdx


por tanto

(m+1)

Zcosm x sinn xdx = sinn1 x cosm+1 x+(n1)

Zsinn2 x cosm+2 xdx

y asi Zcosm x sinn xdx = sin

n1 x cosm+1 xm+ 1

+n 1m+ 1

Zsinn2 x cosm+2 xdx

Ejemplo 1.122 Vericar queZsinn x

cosm xdx =

sinn1 x(m 1) cosm1 x

n 1m 1

Z sinn2 xcosm2 x

dx

En efecto, sea u = sinn1 x

cosm xy dv = sinxdx; v = cosx, y

du =(cosm x)(n 1) sinn2 x cosx sinn1 x (m cosm1 x)( sin x)

cos2m xdx =

;

=(n 1) cosm+1 x sinn2 x+m sinn x cosm1 x

cos2m xdx

por lo tantoZsinn x

cosm xdx = sin

n1 x cosxcosm x

Z

(n 1) cosm+1 x sinn2 x+m sinn x cosm1 xcos2m x

( cosx) dx =

= sinn1 x cosxcosm x

+

Z (n 1) cosm+2 x sinn2 x+m sinn x cosm x

cos2m x

dx =

= sinn1 x

cosm1 x+(n1)

Zsinn2 xcosm2 x

dx+m

Zsinn x

cosm xdx entoncesZ

sinn x

cosm xm

Zsinn x

cosm x

dx = (1m)

Zsinn x

cosm xdx = sin

n1 xcosm1 x

+(n1)Zsinn2 xcosm2 x

dx

entonces Zsinn x

cosm xdx =

sinn1 x(m 1) cosm1 x

n 1m 1

Zsinn2 xcosm2 x

dx

En forma anloga vericar queZcosm+1 x

sinn+1 xdx = cos

m x

n sinn x mn

Zcosm1 xsinn1 x

dx


Ejemplo 1.123 Vericar queZ(x2 a2)ndx = x(x

2 a2)n1 + 2n

2na2

1 + 2n

Z(x2 a2)n1dx

En efecto sea u = (x2 a2)n dv = dx, du = 2n(x2 a2)n1xdx; v = x luegoZ(x2a2)ndx = x(x2a2)n2n

Z(x2a2)n1xxdx =

= x(x2a2)n2nZ(x2a2)n1x2dx = x(x2a2)n2n

Z(x2a2)n1(x2a2+a2)dx =

= x(x2a2)n2nZ(x2a2)n2na2

Z(x2a2)n1dx por tantoZ

(x2a2)ndx = x(x2a2)n2nZ(x2a2)n2na2

Z(x2a2)n1dx asi queZ

(x2 a2)ndx+ 2nZ(x2 a2)ndx = x(x2 a2)n 2na2

Z(x2 a2)n1dx

por tanto

(1 + 2n)

Z(x2 a2)ndx = x(x2 a2)n 2na2

Z(x2 a2)n1dx

entonces Z(x2 a2)ndx = x(x

2 a2)n1 + 2n

2na2

1 + 2n

Z(x2 a2)n1dx


(x2 a2)n =1

2a2(1 n)(x2 a2)n1x1

a2

3 2n(2 2n)

Zdx

(x2 a2)n1En efecto,Z

dx

(x2 a2)n = 1

a2

Z a2dx(x2 a2)n =

1

a2

Z(x2 + x2 a2)dx

(x2 a2)n =

=1

a2

Zx2dx

(x2 a2)n 1

a2

Zdx

(x2 a2)n1ahora veriquemos que :Z

x2dx

(x2 a2)n =1

2(1 n)(x2 a2)n1x1

2(1 n)Z

dx

(x2 a2)n1


hagamos u = x, dv =xdx

(x2 a2)n ; du = dx; v =1

2(1 n)(x2 a2)n1por tantoZ

x2dx

(x2 a2)n =x

2(1 n)(x2 a2)n1 1

2(1 n)Z

dx

(x2 a2)n1

entonces volviendo a la integral inicial tenemosZdx

(x2 a2)n =1

a2

Zx2dx

(x2 a2)n 1

a2

Zdx

(x2 a2)n1 =

=x

2a2(1 n)(x2 a2)n1 1

2a2(1 n)Z

dx

(x2 a2)n1 1

a2

Zdx

(x2 a2)n1 =

=x

2a2(1 n)(x2 a2)n1 1

a2

1

2(1 n) + 1Z

dx

(x2 a2)n1 =

=x

2a2(1 n)(x2 a2)n1 1

a2

3 2n2 2n

Zdx

(x2 a2)n1por tantoZ

dx

(x2 a2)n =x

2a2(1 n)(x2 a2)n1 1

a2

3 2n(2 2n)

Zdx

(x2 a2)n1

En forma anloga vericar queZ(a2 x2)ndx = x(a

2 x2)n1 + 2n

+2na2

1 + 2n

Z(a2 x2)n1dx

Ejemplo 1.125 Calcular la integralZarc tan

pxdx, hacer x = z2 y por partes, ejercicio


Zarc sin

pxdx; hacer x = z2 y por partes,ejercicio



Zepxdx hacer x = z2 y por partes,ejercicio

Ejercicio 5 I) Vericar que

1:

Zlnx2 + 2

dx = 2

p2 arctan

1

2

p2x2x+x ln x2 + 2+c

2:

Zxpx+ 1dx =

2

15(3x 2) (x+ 1) 32+c

3:

Zx arcsinxdx =

(2x2 1) arcsinx4

+xp1 x24

+c

4:

Zx arctanxdx =

1

2arctanx1

2x+1

2x2 arctanx+c

5:

Zxn arctanxdx =

xn+1 arctanx

n+ 1 1n+ 1

Zxn+1dx

x2 + 1si n 6= 1

6:

Zxnp2ax x2dx = x

n1(2axx2)32

n+ 2+(2n+ 1) a

n+ 2

Zxn1

p2ax x2dx

7:

Zxnp2ax+ bdx =

2

a(2n+ 3)

xn (2ax+ b)

32 nb

Zxn1

pax+ bdx

8:

Zxn arcsinxdx =

xn+1 arcsinx

n+ 1 1n+ 1

Zxn+1dxp1 x2 si n 6= 1

9:

Zsinhn xdx =

sinhn1 x coshxn

n 1n

Zsinhn2 xdx si n > 0

10:

Zsinhm xdx

coshn x= sinh

m1

(n 1) coshn1+m 1n 1

Zsinhm2 xcoshn2 x

dx

II) Hallar una formula de reduccin para calcula la integral


1)

Zsinn xdx

cosx2)Z

dx

cosm x sin x3)

Zarcsinn xdx 4)

Zxdx

cosm x5)Zcosxdx

xn

III) Calcular las integrales

6)

Zarctan

pxdx 7)

Zx (arc tan x)2 dx 8)

Zln2 xdx

x29)Zarcsinxdx

x2

1.8.3 Extensin de la frmula de integracin por partes.

Recordemos queZf(x)g(x)dx = f(x)g(x)

Zf(x)g(x)dx y si notamos por D1 =

Zy g = D1F

entoncesD1 (f (x)F (x)) = f(x)D1F (x)D1 Df(x)D1F (x) =

= f(x)D1F (x) Df(x)D2F (x)D1 D2f(x)D2F (x) == f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x) +D1 D2f(x)D2F (x) =

= f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x) +D2f(x)D3F (x)D1 D3f(x)D3F (x) == f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x)+D2f(x)D3F (x)D3f(x)D4F (x)D1 D4f(x)D4F (x) == f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x)+D2f(x)D3F (x)D3f(x)D4F (x)+D1 D4f(x)D4F (x) =

nXk=0

(1)kDkf(x)D(k+1)F (x) (1)nD1 Dn+1f(x)D(n+1)F (x)Frmula que se demuestra por induccin matemtica y si quiere profundizar ms, mirarMathemtical Associatin of America, James W Brown y se aplica para calcular algunas

integrales fcilmente,como por ejemplo,ZP (x)eaxdx,

ZP (x) sin axdx,

ZP (x)e cosxdx,

donde P(x) es un polinomio.


Ejemplo 1.128 Calcular la integral Zx3e3xdx

En efecto, Zx3e3xdx = D1

x3e3x

=

= f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x)+D2f(x)D3F (x)D3f(x)D4F (x)+D1 D4f(x)D4F (x) ==x3e3x

3 3x

2e3x

9+6xe3x

27 6e

3x

81+K

Ejemplo 1.129Z x3 + x2 + x+ 1

e3xdx =

(x3 + x2 + x+ 1) e3x

3(3x

2 + 2x+ 1)e3x

9+(6x+ 2)e3x

276e

3x

81+K

Ejemplo 1.130 La integralZx4 sin xdx = x4 ( cosx) 4x3 ( sin x) + 12x2 cosx 24x sin x+ 24 ( cosx) +K =

= x4 cosx+ 4x3 sin x+ 12x2 cosx 24x sin x 24 cosx+K

Ejemplo 1.131 Z(x4 + x2 + 3) sinxdx =

= (x4+x2+3) ( cosx)(4x3+2x) ( sin x)+12x2 + 2 cosx24x sin x+24 ( cosx)+K == 11x2 cosx 25 cosx x4 cosx+ 4x3 sin x 22x sin x+K

Ejemplo 1.132 Calcular la integral Zarctanxdx

En efecto, f(x)=arctanx y F(x)=1, entoncesZarctanxdx = D1 (f (x)F (x)) = f(x)D1F (x)D1 Df(x)D1F (x) = (arctanx)xZ 1:xdx

1 + x2=

= (arctanx)xZ1:xdx

1 + x2= x arctanx 1

2ln1 + x2

+ k


Ejemplo 1.133 Calcular la integral Zex sin xdx

En efecto, f(x)=sinx y F(x)=ex entoncesZex sin xdx = f(x)D1F (x)Df(x)D2F (x) +D1 D2f(x)D2F (x) == sinxex cosxex +

Z sin xexdx = sinxex cosxex

Zsin xexdx

entoncesZex sinxdx+

Zex sinxdx = sinxex cosxex luego

Zex sin xdx =

sin xex cosxex2

+K

1.8.4 Sustituciones trigonomtricas

Funcion Racional en la variable x, es una expresin de la forma Pn(x)Qm(x)

donde Qm y Pn sonpolinomios en x

Ejemplo 1.134

f(x) =x4 + x3 + x2 + 5

x5 x3 + x2 6 ; g(x) =x4 + 5x3 + x+ 5

x6 x3 7x2 45 ; h(x) =5

x3 + x2 6son funciones racionales en la variable x.

Ejemplo 1.135 Funciones Racionales en las variables x ypa bx2

R(x;pa bx2)

son por ejemplo

a) f(x) =x2p4 2x2 ; b) g(x) =

5p3 x22 +p3 x2 + 5 ; c) h(x) = 5xp9 x22 +p9 x2 + 5

Para calcular integrales de la formaZR(x;

pa bx2)dx con a; b > 0

se puede hacer la sustitucinpbx =

pa sin t o

pbx =

pa cos t, es decir,

x =pa sin tpb

gura 1.16 o x =pa cos tpb


gura 1.16

Ejemplo 1.136 Vericar que Zdxp1 x2 = arcsin x+ c

En efecto, sea x =p1 sin tp1= sin t; gura 1.17, dx = cos tdt y

p1 x2 =

p1 sin2 t =p

cos2 t = jcos tj entoncesZdxp1 x2 =

Zcos tdt

cos t=

Zdt = t+c = arcsinx+c; ( ya que como x = sin t entonces t = arcsinx)

gura 1.17

Ejemplo 1.137 Vericar queZx2dxp2 3x2 =

1

3p3

arcsin

p3xp2

!p3xp2

p2 3x2p2

!+ c

En efecto; si x =

p2 sin tp3

; gura 1.18, dx =

p2p3cos tdt y

p2 3x2 =

vuut2 3 p2 sin tp3

!2=

=p2 2 sin2 t =

q21 sin2 t = p2 cos2 t = p2 jcos tj entonces


Zx2dxp2 3x2 =

Z p2 sin tp3

2 p2p3cos tdt

p2 cos t

=2

3p3

Zsin2 tdt =

2

3p3

Z(1 cos 2t)

2dt =

=1

3p3(tsin 2t

2)+c =

1

3p3(tsin t cos t)+c = 1

3p3

arcsin

p3xp2

!p3xp2

p2 3x2p2

!+c

por lo tantoZx2dxp2 3x2 =

1

3p3

arcsin

p3xp2

!p3xp2

p2 3x2p2

!+ c

gura 1.18

Ejemplo 1.138 Vericar queZx2dx

1 x2 = ln

1p1 x2 +

xp1 x2

x+ c

En efecto, x =p1 sin tp1

= sin t gura 1.19, dx = cos tdt y 1 x2 = 1 sin2 t = cos2 tentoncesZ

x2dx

1 x2 =Zsin2 t cos tdt

cos2 t=

Zsin2 tdt

cos t=

Z(1 cos2 t)dt

cos t=

Zsec tdt

Zcos tdt =

= ln(sec t+tan t)sin t+c = ln

1p1 x2 +

xp1 x2

x+c por tantoZ

x2dx

1 x2 = ln

1p1 x2 +

xp1 x2

x+ c

gura 1.19


Ejemplo 1.139 Calcular Z p4 x2dx

En efecto, x = 2 sin t; gura 1.20, dx = 2 cos tdt;p4 x2 =

q4 (2 sin t)2 =

q41 sin2 t = 2 cos t

entoncesZ p

4 x2dx =Z2 cos t:2 cos tdt = 4

Zcos2 tdt = 4

Z(1 + cos 2t)dt

2=

= 2

Zdt+ 2

Zcos 2tdt = 2t+ sin 2t+ c = 2t+ 2 sin t cos t+ c =

= 2arcsinx

2+xp4 x22

+ c

por lo tanto Z p4 x2dx = 2arcsin x

2+xp4 x22

+ c

gura 1.20

Ejemplo 1.140 Calcular Z px2 + 6x 5dx

En efecto,Z p

x2 + 6x 5dx =Z p

(x2 6x+ 5)dx =Z p

(x2 6x) 5dx =

=

Z p(x2 6x+ 9 9) 5dx =

Z q (x 3)2 + 9 5dx =

Z q4 (x 3)2dx =

=

Z p4 u2dx = 2arcsin u

2+up4 u22

+c = 2arcsinx 32+(x 3)p4 (x 3)2

2+c; luegoZ p

x2 + 6x 5dx = 2arcsin (x 3)2

+ :(x 3)p4 (x 3)2

2+ c


gura 1.21

Ejemplo 1.141 Vericar queZx2dxp2x x2 =

3arcsin(x 1)2

2p2x x2 (x 1)

p2x x22

+ c

En efecto, organizamos el cuadrado perfecto y hacemos x 1 = sint; gura 1.22,dx = cos tdt y asZ

x2dxp2x x2 =

Zx2dxp(2x+ x2) =

Zx2dxp(x2 2x+ 1 1) =

Zx2dxp

1 (x 1)2 =

=

Z(1 + sin t)2 cos tdt

cos t=

Z(1+sin t)2dt =

Z(1+2 sin t+sin2 t)dt =

=

Z 1 + 2 sin t+

1 cos 2t2

dt =

Z 3

2+ 2 sin t cos 2t

2

dt =

3t

22 cos tsin 2t

4+c =

=3t

22 cos t 2 sin t cos t

4+c =

3t

22 cos t sin t cos t

2+c =

=3arcsin(x 1)

22p2x x2(x 1)

p2x x22

+c

por lo tantoZx2dxp2x x2 =

3arcsin(x 1)2

2p2x x2 (x 1)

p2x x22

+ c

gura 1.22


Ejemplo 1.142 Vericar queZxdxp

1 + 6x 3x2 = 1

3

p1 + 6x 3x2 + 1p

3arcsin

p3 (x 1)2

!+ c

En efecto;Z

xdxp1 + 6x 3x2 =

Zxdxp

1 (3x2 6x) =Z

xdxp1 3(x2 2x) =

=

Zxdxp

1 3(x2 2x+ 1 1) =Z

xdxp4 3(x 1)2 por tanto

p3(x1) = 2 sin t; gura 1.23, luego x = 2 sin t+

p3p

3; dx =

2 cos tdtp3

;p4 3(x 1)2 = 2 cos t

por tantoZxdxp

1 + 6x 3x2 =Z

xdxp4 3(x 1)2 =

2p3

Z 2 sin tp3+ 1

cos t

2 cos tdt =

=1p3

Z 2 sin tp3+1

1

dt = 2

3cos t+

tp3+c = 1

3

p1 + 6x 3x2+ 1p

3arcsin

p3 (x 1)2

!+c

asi queZxdxp

1 + 6x 3x2 = 1

3

p1 + 6x 3x2 + 1p

3arcsin

p3 (x 1)2

!+ c

gura 1.23

Ejemplo 1.143 Calcular Zdxp

4 + 3x 9x2


En efecto,Z

dxp4 + 3x 9x2 =

Zdxp

4 (9x2 3x) =Z

dxp4 9(x2 x

3)=

=

Zdxq

4 9(x2 x3+ 1

36 1

36)=

Zdxq

174 9(x 1

6)2=1

3

Zdxq

1736 (x 1

6)2=

=1

3

Zdxq1736 u2

=1

3arcsin

up176

!+ c =

1

3arcsin

x 1

6p176

!+ c por tanto

Zdxp

4 + 3x 9x2 =1

3arcsin

x 1

6p176

!+ c


pa+ bx2)dx con a; b > 0; se puede hacer

la sustitucionpbx =

pa tan t o

pbx =

pa cot t, es decir,

x =

pa tan tpb

gura 1.24 o x =pa cot tpb

gura 1.24


x2 + a2=1

aarctan

xa

+ c

En efect, si x = a tan t; gura 1.25, dx = a sec2 t; x2+a2 = (a tan t)2+a2 = a2(tan2 t+1) =a2 sec2 t, entonces

Zdx

x2 + a2=

Za sec2 tdt

a2(tan2 t+ 1)=

Za sec2 tdt

a2 sec2=1

a

Zdt =

t

a+ c =

1

aarctan

xa

+ c

por lo tantoZ

dx

x2 + a2=1

aarctan

xa

+ c


gura 1.25


x2px2 + 4

= px2 + 4

4x+ c

En efecto, si x = 2 tan t; gura 1.26, dx = 2 sec2 t;px2 + 4 =

p(2 tan t)2 + 4 =

p4(tan2 t+ 1) =p

4 sec2 t = 2 sec t, entoncesZdx

x2px2 + 4

=

Z2 sec2 tdt

(4 tan2 t)(2 sec t)=1

4

Zsec t

tan2 tdt =

1

4

Zdt

cos t sin2 tcos2 t

=1

4

Zcos t

sin2 tdt

=1

4

Zdu

u2=1

4

Zu2du = 1

4u+ c = 1

4 sin t+ c =

px2 + 4

4x+ c por tantoZ

dx

x2px2 + 4

= px2 + 4

4x+ c

gura 1.26


xp4x2 + 9

=1

3ln

p4x2 + 9 3

x

!+ c

En efecto, sea x =3

2tan t; gura 1.27, dx =

3

2sec2 t;

p4x2 + 9 =

s4

3

2tan t

2+ 9 =

=q9(tan2 t+ 1) =

p9 sec2 t = 3 sec t entonces


Zdx

xp4x2 + 9

=

Z 32sec2 tdt

(32tan t)(3 sec t)

=1

3

Zsec tdt

tan t=1

4

Z1

sin tdt =

1

3

Zcsc tdt =

=1

3

Zcsc t (csc t cot t)(csc t cot t) dt =

1

3

Z(csc2 t csc t cot t)(csc t cot t) dt =

1

3

Zdu

u=lnu

3+ c=

=ln (csc t cot t)

3+ c =

1

3ln

p4x2 + 9 32x

!+ c por lo tanto

Zdx

xp4x2 + 9

=1

3ln

p4x2 + 9 32x

!+ c

gura 1.27

Ejemplo 1.147 Vericar que Zxdx

1 + x4=1

2arctanx2 + c

En efecto, sea, x2 = tant; 2xdx = sec2 tdt; 1 + x4 = 1 + tan2 t = sec2 t por lo tanto

Zxdx

1 + x4=1

2

Z2xdx

1 + x4=1

2

Zsec2 tdt

sec2 t=1

2

Zdt =

1

2t+ c =

1

2

arctanx2

t+ c entoncesZ

xdx

1 + x4=1

2

arctanx2

t+ c

Ejemplo 1.148 Calcular la integralZxdx

(7 + 4x+ x2)32


En efecto, organizamos el cuadrado perfecto y hacemos el cambio de variable x + 2 =p3 tan t gura 1.28, entoncesZ

xdx

(7 + 4x+ x2)32

=

Zxdx

3 + (x+ 2)2 32

=p3

Z(p3 tan t 2) sec2 t(3 + 3 tan2 t)

32

dt =1

3

Z(p3 tan t 2)dtsec t

=

=1

3

Z(p3 sin t2 cos t)dt =

p3

3cos t2

3sin t+k =

p3

3

p3p

7 + 4x+ x223

x+ 2p7 + 4x+ x2

+k

luegoZ

xdx

(7 + 4x+ x2)32

= p3

3

p3p

7 + 4x+ x2 23

x+ 2p7 + 4x+ x2

+ k

gura 1.28


pbx2 a)dx con a; b > 0

se puede hacer la sustitucionpbx =

pa sec t o

pbx =

pa csc t; es decir,

x =

pa sec tpb

gura 1.29 o x =pa csc tpb

gura 1.29


Ejemplo 1.149 Vericar queZ px2 9x

=px2 9 3 arcsec x

3+ c

En efecto, sea

x = 3 sec t; gura 1.30, dx = (3 sec t tan t)dt;px2 9 =

p9 sec2 t 9 = 3 tan t

entoncesZ p

x2 9x

=

Z(3 tan t)(3 sec t tan t)dt

3 sec t= 3

Ztan2 tdt =

= 3

Z(sec2 t 1)dt = 3 tan t 3t+ c =

px2 9 3 arcsec x

3+ c por lo tantoZ p

x2 9x

=px2 9 3 arcsec x

3+ c

gura 1.30

Ejemplo 1.150 Calcular Zx3dxpx2 1

En efecto, hacemos la sustitucin x = sec t; gura 1.31, dx = sec t tan tdt;px2 1 = tan t;

entonces

Zx3dxpx2 1 =

Z(sec3 t)(sec t tan t)dt

tan t=

Zsec4 tdt =

Zsec2 t sec2 tdt =

=

Z(sec2 t)(1 + tan2 t)dt =

Z(sec2 t)dt+

Z(sec2 t tan2 t)dt = tan t+

tan3 t

3+ c =

=px2 1 +

px2 133

+ c por lo tantoZx3dxpx2 1 =

px2 1 +

px2 133

+ c


gura 1.31

Ejemplo 1.151 Calcular la integral Zdx

x3px2 4

En efecto, x = 2 sec t; gura 1.32, dx = 2 sec t tan tdt;px2 4 = 2 tan t; y asZ

dx

x3px2 4 =

Z2 sec t tan tdt

(8 sec3 t)(2 tan t)=1

8

Zdt

sec2 t=1

8

Zcos2 tdt =

=1

16

Z(1 + cos 2t) dt =

t

16+sin 2t

32+ c =

t

16+cos t sin t

16+ c =

=arcsec

x2

16

+

px2 48x2

+ c

por lo tanto Zdx

x3px2 4 =

arcsecx2

16

+

px2 48x2

+ c

gura 1.32

Ejemplo 1.152 Calcular la integralZ(x 1)

px2 2x 8dx =

Z(x 1)

p(x 1)2 9dx


En efecto; x 1 = 3 sec t;gura 1.33, dx = 3 sec t tan tdt;p(x 1)2 9 =

=p(3 sec t)2 9 = 3

psec2 t 1 = 3 tan t entoncesZ

(x1)px2 2x 8dx =

Z(x1)

p(x 1)2 9dx = 27

Zsec t tan t sec t tan tdt = 27

Zsec2 t tan2 tdt =

= 27

Zu2du =

27u3

3+ c = 9 tan3 t+ c =

1

3

p(x 1)2 9

3+ c, por lo tantoZ

(x 1)px2 2x 8dx = 1

3

p(x 1)2 9

3+ c

gura 1.33

Ejemplo 1.153 Calcular la integral5Z3

px2 9dxx2

En efecto, si hacemos el cambio de variable x = 3 sec t; gura 1.34, dx = 3 sec t tan tdt;px2 9 =

3 tan t; tenemos que

5Z3

px2 9dxx2

=

Z3 tan t3 sec t tan tdt

9 sec2 t=

Ztan2 tdt

sec t==

Z(sec2 t 1)dt

sec t=

=

Z(sec t cos t)dt = ln(sec t+ tan t) sin t+ c = ln

x

3+

px2 93

px2 9x

5

3=

= ln

5

3+4

3

45

por lo tanto

5Z3

px2 9dxx2

= ln

5

3+4

3

45


gura 1.34


1)

1p2Z

0

dxp1 x2 =

1

4 2)

1Z1

dx

1 + x2=1

2 3)

2p3Z

p2

dx

xpx2 1 =

1

12

4)

Z(x+ 2) dxp4x x2 = 4arcsin

x 22

p4x x2+c 5)

Zdxp4x+ x2

= lnx+

px (x+ 4) + 2

+c

6)

Z p3 2x x2dx =

Z q4 (x+ 1)2dx = (x+ 1)

p3 2x x22

+2 arcsin

x+ 1

2

+c

1.8.5 Integrales por fracciones parciales

Dados dos polinomios con coecientes reales con grado de Pn(x) menor que el grado delpolinomio Qm(x); es posible demostrar que

Pn(x)Qm(x)

se puede exprezar como

Pn(x)

Qm(x)= F1(x) + F2(x) + F3(x):::+ Fn(x)

donde cada Fn(x) tiene una de las formas siguientes Am(ax+b)n oAx+B

(a1x2+b1x+c1)m y a la

representacinPn(x)

Qm(x)= F1(x) + F2(x) + F3(x):::+ Fn(x)

se llama descomposicion en fraciones parciales y para el clculo de las integrales porfracciones parciales, se estudiar caso por caso asi :I) Cuando el grado del polinomio Pn(x) es menor que el grado del polinomio Qm(x)

a) Cuando Qm(x) tiene ceros reales todos diferentes, es decir

Qm(x) = (a1x+ b1) (a2x+ b2)+::::+(amx+bm) con ai 6= aj para todo i,j, es decir,

Calculo Integral

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