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Calculo Integral

Tema: Unidad 4 Series

03/12/2014

1

INDICIE

Tabla de contenido4.1 Definición de serie.................................................................................................................4

4.1.1 Finita..................................................................................................................................4

4.1.2 Infinita................................................................................................................................5

Teorema.....................................................................................................................................5

4.2 Serie numérica y convergencia...............................................................................................7

4.3 Series de potencias..............................................................................................................10

4.4 Radio de convergencia.........................................................................................................12

4.5 Representación de funciones mediante la serie de Taylor....................................................14

4.6 Serie de Taylor.....................................................................................................................15

4.7 Calculo de integrales expresadas como serie de Taylor........................................................16

2

Introducción

En el siglo V A.C el filósofo Zenón propuso la siguiente paradoja: para que un

corredor recorra una distancia dada es preciso que primero recorra la mitad,

después de la mitad de la distancia restante, después de la mitad de la distancia

que todavía queda y así ad infitum. Pero, arquia Zenón es claramente imposible

que el corredor realice este número infinito de paso en un periodo finito de tiempo,

por lo cual el movimiento de un puto a otro es imposible.

La paradoja de Zenón sugiere la subdivisión infinita, hay un intervalo de longitud

para cada entero n= 1, 2,3,…

Si la longitud del intervalo es la suma de los sus intervalos en que esta dividido,

resultaría que:

1= ½+ ¼+ 1/8 + 1/16 +….+ 1/2*n +…

Con un número infinito determinamos que se acerca a 1. Por otra parte la suma

formal infinita.

1+2+3…+n+….

De todos los enteros positivos, parece sin significado – no parece que se acerquen

a ningún valor (finito).

La cuestión es esta ¿Cuál es el el significado si es que lo hay, de la suma de un

conjunto infinito de números? Este capítulo explora las condiciones en las cuales

una suma infinita.

A1+a2+a3+…..+an+….

Conocida como serie infinita, tiene significado. Las series más importantes en las

ciencias y en las matemáticas porque muchas funciones surgen con la mayor

naturalidad en forma de serie o tienen representaciones en serie (como la serie de

Taylor) que son útiles en muchos cálculos numéricos.

3

4.1 Definición de serieEn matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se

representa una serie con términos an. En terminología matemática se incluye

sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se

excluye totalmente la sinonimia con el término serie.

Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el

concepto de sucesión que se muestra a continuación:

El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva

cuando se asocia a un número natural un número real.

Termino de una sucesión: S: NàR

Normalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los

primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante

observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrón

que me sugiera encontrar la expresión matemática que los genera, para ello el

alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de inducción

matemática. En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el

bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de

sucesiones de diversas entidades matemáticas.

4

4.1.1 Finita

∑I=1

n

aiLas series tienen una características fundamental con respecto a su límite y

esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes

rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión las series finitas

son objeto de análisis.

∑I=1

n

aiObservando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un

análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”,

esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural,

y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un

numero finito de elementos acotados por "N".

4.1.2 InfinitaUna parte importante del estudio del Cálculo trata sobre la representación de

funciones como “sumas finitas”. Realizar esto requiere extender la operación

familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una infinidad

de números. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de limite en el que

se consideran sucesiones.

Suponga que asociada a la sucesión

U1, U2, U3,…, Un,…

Se tiene una “suma infinita” denotada por

U1+ U2 + U3 +…+ Un+…

Pero ¿Qué es lo que significa esta expresión? Esto es, ¿Qué debe entenderse

por la “suma” de n número infinito de términos, y en qué circunstancias dicha

suma existe?

5

Teorema

Para tener una idea intuitiva del concepto de tal suma, suponga que un trozo de

cuerda de 2 pie de longitud se corta a la mitad. Una de estas mitades de 1 pie de

longitud se aparta y el otro y el otro se corta a la mitad otra vez. Uno de los trozos

resultantes de ½ pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad

obteniéndose dos trozos, cada uno de 1/8 pie de longitud, otra vez, uno de los

trozos se aparta y el otro se corta a la mitad. Si se continúa este procedimiento en

forma indefinida, el número de pies de la suma de las longitudes de los trozos

apartados puede considerarse como la suma infinita

1+ ½ + ¼ + 1/8+ 1/16 +…+ (1)/(2˄(N-1))

Como se inicio con un trozo de cuerda de 2 pie de longitud, nuestra intuición nos

indica que la suma infinita (1) debe ser 2. Definiciones preliminares.

A partir de la sucesión

U1, U1, U3,…, Un,…

Se forma una nueva sucesión (Sn) sumando sucesivamente elementos de (Un):

S1=U1

S2=U1+U2

S3=U1+U2+U3

S4=U1+U2´+U3+U

…

Sn=U1+U2+U3+U4+…+Un

L a sucesión (An) obtenida de esta manera a partir de la sucesión (Sn) es una

secesión de sumas parciales llamada serie infinita.

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L ɛ R limn→∞

∑i=1

n

ai=L

Definición de serie infinita

Si (Un) es una sucesión y Sn=A1+A2+A3+A4+…+Un

Entonces ( Sn) es una secesión de sumas parciales denominada serie infinita y se

denota por

∑n=1

∞

an

Los números A1, A2, A3,…, An,… son los términos de la serie infinita.

4.2 Serie numérica y convergencia

∑n=0

∞

aza1−Z

La serie armónica es la serie

1+ 12+ 13+ 14+ 15…=∑

n=0

∞1n

La serie armónica es divergente

Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

1+ 12+ 13+ 14+ 15…= ∑

n=(−1)n+1

∞1n

Una serie telescópica es la suma donde an = bn − bn+1. Se representa de la

siguiente manera:

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∑n=0

N

(bn−bn+1)

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Sn=(b0−b1)+(b1−b2 )+…+(bN−1b N )+(bN−bN+1 )=b0−bN +1

Una serie hipergeometrica es una serie de la forma

∑n=0

∞

an

que cumple que

an+Ban+r

=an+Ban+r

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u

oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en

cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto

∑n=0

∞

an

Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que

limk→∞

ak≠0 Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios

cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

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∑k=1

∞

ak

tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

Lϵ ¿ el Criterio de D'Alembert establece que:

si L < 1, la serie converge.

limk→∞ ( ak+1ak )=L

❑

si L > 1, entonces la serie diverge.

si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

Lo primero que miraremos cuando nos encontremos con una serie es si la ‘suma

infinita’ tiene sentido:

La serie converge si lo hace su sucesión de sumas parciales; otra cosa distinta es

que converja su término general.

De la definición y de las conocidas propiedades de los límites de sucesiones se

deduce inmediatamente que si suprimimos, cambiamos o añadimos un numero

finito de términos al principio de una serie, no se altera su carácter de

convergencia o divergencia (aunque si el valor de su suma, si converge), porque

las nuevas sumas parciales diferirán de la inicial solo en un constante. Por eso,

cuando estemos hablando simplemente de convergencia podremos no escribir el n

en que empezamos a sumar; incluso escribiremos solo “sigma” (no olvidando que

son infinitos términos).

Algunos tipos de series

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene

multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante

1/2):

9

1+12+ 14+ 18+ 116

+…=∑n=0

∞12n

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos

permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces

recurrimos al criterio de Raabe.

∑k=1

∞

akSea una serie como la mostrada tal que ak > 0 (serie de términos positivos).

Y supongamos que existe

limn→∞

k (1+ ak+1ak )❑

=L

Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es

divergente

Tiene cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de

D'Alembert y de la raíz.

Convergencia absoluta

Una serie alternada an converge absolutamente sí.

∑n=1

∞

¿an∨¿¿

4.3 Series de potenciasLas series finitas que se han estudiado hasta este momento han consistido solo de

términos constantes. Ahora se trata un tipo importante de series de términos

variables denominadas series de potencias, las cuales pueden considerarse como

10

una generalización de de una función polinomial. En las secciones restantes de

este capítulo se estudiara como pueden emplearse las series de potencias para

calcular valores de funciones tales como sean x, ln x y (x)˄1/2, las cuales no se

pueden evaluar mediante las operaciones aritméticas conocidas y empleadas para

determinar valores de funciones racionales.

Definición de una serie de potencias:

Una serie de potencias en x-a es una serie de la forma

Co+C1(x-c)+C2(x-c)˄2+…+Cn(x-c)˄n+…

∑n=0

∞

an(×−c)n

Si la serie de potencias expuesta anteriormente es convergente para x=

x1(x1diferente de 0), entonces es absolutamente convergente para todos los

valores de x para los cuales [x]<[x1]

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

∑n=0

∞

an(×)n

Teorema

SI la serie de potencias expuesta con anterioridad es divergente para x=x2,

entonces es divergente para todos los valores de x para los que [x]>[x2]

Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de

potencias x-a

1. Aplique el criterio de la razón (o en ocasiones el criterio de la raíz) para

determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series convergen

absolutamente para todos los valores de x.

2.- Si R>0, la serie converge absolutamente para toda x en el intervalo (a-R, a+R)

y diverge para

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[x-a]>R. Verifique la convergencia en los dos extremos del intervalo (a-R,a+R),

por supuesto, ninguna conclusión acerca de la convergencia en los extremos

puede inferirse del criterio de la razón o del criterio de la raíz.

4.4 Radio de convergenciaEn matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de

convergencia de una serie de la forma

∑n=0

∞

an(×−x0)n

an , x , x0∈RConviene dado por la expresión:

R=

1

limn→∞

¿an+1an

∨¿❑¿

Definición

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma

∑n=0

∞

an(×−x0)n

Con an , x , x0∈R, recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie

converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0

| < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta

converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r,

x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte,

por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o

cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de

x, r = \infty \,\!

Ejemplos

12

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de

potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar por qué el radio

de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x

− x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

11−x

=∑n=0

∞

xn=1+x+x2+x3+…

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r =

1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0

es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el

resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de

hecho

∑n=0

∞

0.25n=1+0.25+0.252+0.253+…=43

(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

11−0.25

= 1

1−14

=43

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x =

2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el

nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

∑n=0

∞

2n=1+2+22+23+…=∞

Distancia a la singularidad

13

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos

desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de

convergencia. La misma función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene

la forma:

11−x

=−12

+ x−34

−(x−3)2

8+(x−3)3

16−…

Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la función 1 / (1

− x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de

convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 − 1 | = 1 y |

3 − 1 | = 2. Esto será siempre verdadero para ésta función, pero, no puede

generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

11−x2

=12+ x−12

−( x−1)2

4−

(x−1)4

8+(x−1)5

8…

Como no hay singularidades reales podría suponerse que el radio es infinito, sin

embargo su radio de convergencia es r=\sqrt{2}/2. Este radio parece caprichoso

pero tiene que ver con el hecho de que pasando la función a dominio complejo,

existe una singularidad en el denominador. La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejemplo, la función ex puede desarrollarse en series de potencia de x − 0 = x,

de hecho ex∑n=0

∞x2

n!=1+x+ x

2

2 !+ x

3

3 !+…

y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.

4.5 Representación de funciones mediante la serie de Taylor

14

Sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de

grado 1, 3, 5,7, 9, 11 y 13

La función exponencial, y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de

Taylor en torno a cero.

La función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un

polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea verde discontinua).

Puedes observar el comportamiento de aproximación usando algún polinomio de

Taylor por y = sin x. 

El valor en x = π en cada función se despliegan al lado derecho.

4.6 Serie de TaylorEn matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable

(real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la

siguiente suma:

f ( x )=∑n=0

∞ f (n ) (a )n!

( x−a)n

Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es

igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie

converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.

Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de

potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en

la fórmula de la serie de Taylor.

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

15

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a

término, que resultan operaciones triviales.

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una

serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen

alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un

desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent.

Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Definición

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es

infinitamente diferenciable en un entrono de números reales o complejos a, es la

serie de potencias:

f(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\

cdots

Que puede ser escrito de una manera más compacta como

f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto

a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos

definidos como uno.

Series de Taylor en el siglo XVIII.

4.7 Calculo de integrales expresadas como serie de Taylor

16

Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada

de todos los órdenes.

El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x)

en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que

f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto

a.

Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' '

(a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también

iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará

a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un

polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo

punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así

obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor:

f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n

El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para

cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los

valores de f(a) y de sus n primeras derivadas.

Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de esta

fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña

cantidad que tiende a cero más rápidamente que (x-a)n. Además, es el único

polinomio de grado n que difiere de f(x), para x próximo a a, en un valor que tiende

a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)n.

Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada

anterior es una verdadera igualdad.

Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo

miembro un término más, llamado resto:

f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+ ...... +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1)

(c)(x-a)n+1

El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse

17

en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido,

desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x.

La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en

esencia.

Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena

aproximación por funciones derivables un número arbitrario de veces, y por ello

pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la

precisión deseada.

La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el

análisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista práctico.

La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como

suma de un número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo

en el análisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teoría de la

aproximación de funciones.

En las siguientes escenas podemos observar cómo la gráfica de las funciones se

va "tapando" con la gráfica del polinomio de Taylor al aumentar el grado del

polinomio. Para un valor de x calculamos la diferencia entre el valor real y el valor

del polinomio correspondiente. Al aumentar el grado del polinomio esa diferencia

es cada vez menor. Hemos calculado los polinomios de Taylor para a=0.

La función exponencial y = ex (línea roja continua) y su aproximación mediante un

polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea verde discontinua).

CONCLUSION

En este tema aprendimos a identificar series finitas e infinitas en distintos contextos, a que también pudimos comprender como determinar la convergencia de una serie infinita, usar el teorema de Taylor para representar una función en

18

serie de potencias y aplicar esta representación para calcular la integral de la función.

BIBLIOGRAFIAS

Cálculo y geometría analítica segunda edición Edwadrs y Penney

19