UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

INGENIERÍA AUTOMOTRIZ

CÁLCULO DIFERENCIAL

2 “B”

INTEGRANTES:

ALEXIS ARMAS

RICARDO BOLAÑOS

JAIRO GUERRA

TEMA: DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS

TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO CUALQUIERA DE LA CURVA,

SEGMENTOS TANGENTES, SEGMENTOS NORMALES, SEGMENTOS

SUBTANGENTES Y SUBNORMALES

PROFESOR: MSC. LUIS PUGA

QUITO, 22 DE MAYO DEL 2013

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ÍNDICE

ÍNDICE ................................................................................................................................................ 2

2.- JUSTIFICACIÓN .............................................................................................................................. 3

3.- OBJETIVOS ..................................................................................................................................... 4

3.1 OBJETIVO GENERAL .................................................................................................................. 4

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................................... 4

4.- MARCO TEÓRICO .......................................................................................................................... 5

4.1 DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO

CUALQUIERA DE LA CURVA ............................................................................................................ 5

4.2 SEGMENTOS TANGENTES Y SEGMENTOS NORMALES ............................................................ 10

4.3 SEGMENTOS SUBTANGENTES Y SUBNORMALES .................................................................... 13

5.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..........................................................................................

5.1 CONCLUSIONES: .........................................................................................................................

5.2 RECOMENDACIONES: .................................................................................................................

6.- BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 18

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2.- JUSTIFICACIÓN

La técnica de representación de nuestro mundo real en términos matemáticos, se ha convertido,

en la actualidad, en una herramienta invaluable, tanto para los científicos que buscan profundizar

en el conocimiento humano, como para los ingenieros quienes, a un nivel más pragmático, siguen

buscando respuestas a problemas técnicos.

La formulación de problemas en términos matemáticos nos exige establecer con claridad las

premisas. La mayoría de los problemas del mundo real son complejos e implican varios procesos

distintos relacionados entre sí. Antes de proceder a darle el enfoque matemático, se deben

determinar las variables significativas y las que pueden ser ignoradas. Por lo general, para las

variables importantes, las relaciones ya están establecidas en forma de leyes, fórmulas, teorías

etc. El proceso de construcción de un modelo matemático eficaz, requiere cierta habilidad e

imaginación.

La determinación de las ecuaciones de las rectas tangente y normal en un punto cualquiera de la

curva, segmentos tangentes, segmentos normales, segmentos subtangentes y subnormales,

tienen una gran variedad de aplicaciones en la vida real como: la rueda de un vehículo, bicicleta,

sobre una superficie plana y lisa. Cálculos de velocidades permisibles, el esfuerzo en pistones y el

esfuerzo en los neumáticos.

Existen aplicaciones también en el área química, para calcular la derivación de una reacción en

función de los reactivos y ayuda a predecir las variaciones de las velocidades de la reacción.

En la economía sirve para calcular las variaciones de las ofertas y demandas de cualquier producto

de mercadotecnia.

En el área de física se aplica para determinar la variación de la presión, temperatura la

volumétrica, la torsión de un eje, etc.

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3.- OBJETIVOS

3.1 OBJETIVO GENERAL

Dominar la determinación de las ecuaciones de las rectas tangente y normal en un punto

cualquiera de la curva, segmentos tangentes, segmentos normales, segmentos

subtangentes y subnormales, para manejar los conceptos y definiciones de los temas y

poder aplicar en la resolución de ejercicios matemáticos y posteriormente aplicarlos en la

vida real.

3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Conocer los principales definiciones de rectas tangentes y normales mediante el dominio

de sus propiedades y resolución de ejercicios

Investigar, las definiciones y fórmulas de los segmentos tangentes y de los segmentos

normales para realizar los ejercicios planteados.

Obtener las ecuaciones específicas de los segmentos subtangentes y subnormales, para

poder realizar los ejercicios de aplicación para facilitar la compresión.

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4.- MARCO TEÓRICO

4.1 DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL EN UN PUNTO

CUALQUIERA DE LA CURVA

Significado geométrico de la recta tangente:

La derivada de la función f(x)en el punto P es igual a la pendiente de la recta tangente en ese

punto. Coordenadas del punto P(xo,F(xo)). La pendiente m es igual a la tangente del ángulo que

forman la función f(x) y la recta tangente.

f´(xo)=m=tanα

Ecuación de la recta tangente en el punto P

y –f(xo)=m=(x-xo)

Sustituimos la pendiente por el valor de la derivada primera en ese punto

y –f(xo)=f´(xo)(x-xo)

Si despejamos la y nos queda:

y=f´(xo)(x-xo)+ f(xo)

Observa que el punto P forma parte de la función f(x) y de la ecuación de la recta tangente.

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Fig. 1 Recta Tangente

Fuente: www.vadenumeros.es/primero/tangente-en-un-punto-derivada.htm

Ejemplos ecuación de la recta tangente

1. Conocemos el valor de xo

Dada la función f(x) = x2 halla la ecuación de la recta tangente en el punto x=1

Cuando conocemos el valor de x0, calculamos f(xo) y el valor de la derivada en ese punto.

Calculamos f(xo) sustituyendo el valor de x en la función. f(x)=x2 f(1)=12=1

Para calcular la pendiente m, hacemos la derivada y sustituimos por x=1

f´(xo)=m f(x)=x2 f´(x)=2x f´(1)=2x1 =2 m=2.

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Ecuación: y-f(xo)=m(x-xo) y-1 =2(x-1) quitamos el paréntesis y ordenamos para poner

la ecuación en forma y=mx+n

Y-1 =2x-2 y=2x-2+1 y=2x-1

2. Conocemos el valor de la pendiente m

Hallar la ecuación de la recta de la tangente a la curva f(x) =x2-3x+4 paralela a la recta 3x-y=2

La pendiente de la recta y=3x-2 es m=3, la misma que la de la recta tangente por ser paralelas.

Para calcular xo hacemos la derivada y la igualamos a 3

Calculamos el valor de f(xo) sustituyendo x=3 en la función.

Aplicamos la fórmula y ordenamos

Ejercicios

1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f(x)= 2x3+5x2-2 en x=-2

Hallar la derivada y sustituimos x=-2, ya que f´(x) =m(pendiente de la recta)

Calculamos el valor de y sustituyendo x=-2 en la función.

Sustituimos el valor de la pendiente m=4, el de x=-2 y el de y=2 en la ecuación de

la recta para obtener el valor de n (ordenada en el origen)

La ecuación de la recta tangente es:

2. ¿En qué punto de la curva la función f(x) =x lnx –x, la pendiente de la tangente vale 1?

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Calculamos x, haciendo la derivada e igualándola a 1.

Calculamos y sustituyendo x=e en la función.

Determinación de la Recta Normal en un Punto Cualquiera

Fig. 2 Pendiente de la recta normal

Fuente: www.vadenumeros.es/primero/tangente-en-un-punto-derivada.htm

La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

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Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola:

y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Sea el punto de tangencia (a, b)

m = 1

f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente:

y − 1 = x y = x +1

Recta normal:

m= 1P(0, 1)

y − 1 = −x y = −x + 1

Ejercicio

Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

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4.2 SEGMENTOS TANGENTES Y SEGMENTOS NORMALES

Segmentos relacionados con La tangente y la normal para el sistema de coordenadas

rectangulares determinan los cuatro segmentos siguientes:

t = TM, llamado segmento tangente

st = TK, subtangente

n = NM, segmento normal

Sn = KN, subnormal.

Como KM = |Yo| y Tg = Y`0 se tiene

√

| √ |

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|

|

Fig. 3 Segmentos relacionados con la tangente y la normal, para el caso de un sistema de

coordenadas polares. Si la curva viene dada en coordenadas polares por la ecuación

Fuente: www.monografias.com/trabajos26/principios-geometria/principios-

geometria.shtml#subtang

el ángulo formado por la tangente MT y el radio polar r = OM se determina la

siguiente formula:

tg u = r

La tangente MT y la normal MN en el punto M, junto con el radio polar del punto de contacto y la

perpendicular a dicho radio trazado por el polo 0, determinar los cuatro segmentos siguientes:

t = TM segmento tangente polar

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n = MN segmento normal polar

St = OT subtangente polar

Sn = ON Subnormal polar

Siguientes formulas:

Ejemplos

Se da la parábola Y2 = 4X. Calcular la longitud de los segmentos tangentes, normal, subagente y

subnormal en el punto (1,2).

Y2 = 4X

Y2 – 4X =0

2Y(Y`) – 4 =0

Y`= 4/2Y

Y` = 4/4

Y’ = 1

Y-Y1 = M(X-X1)

Y-2 = 1(X-1)

Y-X-1= 0

Y-2 = -1(X-1)

Y-2 = -X+1

Y+X-3= 0

|

√ |

| √ |

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| √ |

√

Demostrar que la longitud del segmento normal a cualquier punto de la hipérbola equilátera

X2 – y2 = a2 es igual al radio polar de dicho punto. P (2,2)

2X- 2YY` = 0

-2YY` =-2X

Y` = -2X/-2Y

Y` = 2(2)/2(2)

Y` = 1

|Yo(1+(Y`o)2)1/2|

|1 + (1+1)1/2|

√

4.3 SEGMENTOS SUBTANGENTES Y SUBNORMALES

Subtangente: La longitud de la subtangente se define como la longitud de la proyección de la

longitud de la tangente sobre el eje x.

Fig. 4 Subtangente

Fuente: www.cimat.mx/~gil/docencia/2012/calculo/calculo_ayres6-10.pdf

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Subnormal: La longitud de la subnormal se define como la longitud de la proyección de la longitud

de la normal sobre el eje x.

Fig. 5 Subtangente y Subnormal

Fuente: www.cimat.mx/~gil/docencia/2012/calculo/calculo_ayres6-10.pdf

Fig. 6 Subtangente y Subnormal

Fuente: Principios de geometría analítica y álgebra lineal

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Siguiendo la figura podemos decir lo siguiente:

L es tangente a la curva C en el punto P1.

L’ es la recta trazada por P1 perpendicular a L y se llama normal a C en P1. Su ecuación es y

– y1 = -1/m(x – x1).

La tangente y la normal cortan al eje X en T y N.

La longitud P1T es la longitud de la tangente y P1N es la longitud de la normal.

La proyección QT de la longitud de la tangente sobre X se llama subtangente.

La proyección QN de la longitud de la normal sobre X se llama subnormal.

Si m es la pendiente de una curva plana continúa C en P1(x2, y1), entonces en P1 tenemos:

Ecuación de la tangente a C: y – y1 = m(x – x1).

Ecuación de la normal a C: y – y1 = -1/m(x – x1) con m = 0.

Longitud de la tangente: y1 / m (1 + m²) ½ con m = 0.

Longitud de la normal: y1 (1 + m²)½.

Longitud de la subtangente: y1 / m

Longitud de la subnormal: my1.

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Hallar la longitud de la subtangente, subnormal a la curva:

xy + 2x – y = 5 en el punto (2, 1)

Gráficamente

Fig. 7 Subtangente y Subnormal (Ejercicio)

Fuente: http://books.google.com.ec/books

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Desarrollo Gráfico:

Fig. 8 Desarrollo Gráfico del ejercicio

Fuente: http://books.google.com.ec/books

Desarrollo Analítico:

Derivamos la función implícita

*(x)’ (y) + (x) (y)’+ + 2 – y’= 0

Y + xy’ + 2 – y’ = 0

x y’ – y’ = –2 – y

y’ (x – 1) = – 2 – y

(-1)

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Encontramos m

Longitud de la subtangente a la curva

Longitud de la subnormal a la curva

5.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 CONCLUSIONES:

Después del dominio y conocimientos acerca de sus definiciones somos capaces de

reconocer la gran aplicabilidad de las derivadas y sus rectas tangentes y normales para

otras ciencias y para demostraciones prácticas.

Una vez estudiado los segmentos tangentes y segmentos normales, determinamos que se

necesita un conocimiento básico de la derivación implícita así como las coordenadas y las

correctas propiedades de la derivación.

La obtención de las longitudes de la subtangente y de la subnormal está basada en

ejercicios parecidos al de la obtención de la ecuación de la recta tangente y la recta

normal. Solo tenemos que derivar la función que nos den, igualar la pendiente con la

derivada obtenida y usar la formula correspondiente.

5.2 RECOMENDACIONES:

Observar correctamente las ecuaciones que nos plantean los ejercicios, ya que la

derivación de este tipo no es la normal, sino es la derivación implícita y se debe realizar el

correcto proceso de resolución.

Para resolver los ejercicios matemáticos, en especial los de cálculo, el orden es un factor

muy importante para no cometer errores, se recomienda siempre seguir un orden

específico.

Abordar los contenidos con un enfoque algebraico, lógico y geométrico, conjuntando una

formación integral.

Interpretar correctamente la utilización de los símbolos usados en el cálculo diferencial.

Repasar los conocimientos adquiridos en las asignaturas antecedentes de matemáticas e

integrarlos para dominar el cálculo diferencial y adquirir las bases necesarias para poder

estudiar posteriormente, sin ningún problema, el cálculo integral.

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6.- BIBLIOGRAFÍA

Demidobich, B; (1967), Segunda edición, Problemas y Ejercicios de Análisis Matemáticos

págs. 60, 61, 61, 62, 64, 65.

Lara, Jorge; Arroba, Jorge; (2011) Análisis Matemático págs. 448, 449, 450, 451, 452.

STEWART, J (2001), Cálculo de una Variable, México, Thompson Learning, Cuarta Edición.

Principios de geometría analítica y álgebra lineal. recuperado el 21 de mayo del 2013, de

http://www.monografias.com/trabajos26/principios-geometria/principios-

geometria.shtml#subtang

Ecuaciones de la Tangente y la Normal. recuperado el 21 de mayo del 2013, de

www.aprendematematicas.org.mx

Cálculo diferencial. recuperado el 21 de mayo del 2013, de

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r67648.PDF

Tangente en un punto. Recuperado el 21 de Mayo del 2013, de

http://www.vadenumeros.es/primero/tangente-en-un-punto-derivada.htm