CALCULO INTEGRAL

CÓDIGO DEL CURSO: 100411_9

TRABAJO COLABORATIVO 2

LEIDY VANESSA AZUERO CORTES CÓDIGO: 1.023.865.184

CARLOS MARIO CASTRILLÓN SANCHEZ CÓDIGO: 98.587.666

OMAR JOAQUIN PULIDO CÓDIGO: 1.032.368.386

MARÍA ANGÉLICA ARCE ROJAS CÓDIGO: 1.012.383.246

YOLANDA MARTÍNEZ URREGO CÓDIGO: 1.010.200.982

NELSON HUMBERTO ZAMBRANO CORTES

TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

DICIEMBRE 2014

INTRODUCCIÓN

Con la realización de este trabajo afianzamos más nuestros conocimientos de los temas propuestos en

la unidad vista y con el desarrollo de este trabajo desarrollamos más habilidades con los temas vistos.

Entendemos la importancia de las integradas como una de las herramientas matemáticas básicas para la

construcción, y desarrollo de los procesos lógicos de solución de problemas.

Se estudiaran los principales métodos de integración ya que nos permiten llegar de manera gradual

hasta las integrales que poseen un nivel de dificultad superior.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

1. ∫ 𝑰𝒏 (𝒙 )𝒅𝒙𝟏

𝟎

Pasos

∫0

1 𝐿𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥

∫ u d v = u v − ∫ v d u

u = Ln x dv = dx

du = 1

x dx v = x

Sustituimos:

∫0

1 𝐿𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝐿𝑛 (𝑥) − ∫ x ∗

1

x 𝑑𝑥

= 𝑥 𝐿𝑛 (𝑥) − ∫ dx

= 𝑥 𝐿𝑛 (𝑥) − 𝑥 + 𝑐

∫0

1 𝐿𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝐿𝑛 (𝑥) − 𝑥 ]0

1

= [1 𝐿𝑛0 (1) − 1] − [0 𝐿𝑛(00) − 0]

∫0

1 𝐿𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = −1

PASOS

2. ∫1

( 𝑥−1)2

∞

2

Calcular la integral indefinida: ∫1

(𝑥−1)2 𝑑𝑥 = − 1

𝑥−1+ 𝐶

∫1

(𝑥−1)2 d x

Aplicar la integración por sustitución: 𝑓 (𝑔 (𝑥)). 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 (𝑢)𝑑𝑢, 𝑢 = 𝑔(𝑥) 𝑢 =(𝑥 − 1): 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑥, 𝑑𝑥 = 1𝑑𝑢

=∫1

𝑢2 1du

=∫1

𝑢2 du

1

𝑢2 = 𝑢−2 usar la siguiente propiedad de los exponentes: 1

𝑎𝑛 = 𝑎−𝑛

= ∫ 𝑢−2du

Aplicar la regla de la potencia: ∫ 𝑥𝑎 𝑑𝑥 = 𝑥𝑎+1

𝑎+1, 𝑎 ≠ −1

= 𝑢−2+1

−2+1

Sustituir en la ecuación u= (x - 1)

= (𝑥−1)−2+1

−2+1

Simplificar

= - 1

𝑥−1

Agregar una constante a la solución: Si 𝑑𝐹(𝑥)

𝑑𝑥 =𝑓 (𝑥) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

= - 1

𝑥−1 +C

∫1

(𝑋−1)2 𝑑𝑥 = - 1

𝑥−1 +C

Calcular los límites: ∫1

(𝑥−1)2 𝑑𝑥: ∫1

(𝑥−1)2 𝑑𝑥 = 0 − (−1) ∞

2

∞

2

= 0 – (- 1)

Simplificar

= 1

3. ∫ 𝒆−𝟓𝒙∞

−∞ dx

Pasos

∫ 𝑒−5𝑥∞

−∞ dx

Calcular la integral indefinida: ∫ 𝑒−5𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑒−5𝑥 dx

Aplicar integración por sustitución: ∫ 𝑓 (𝑔 (𝑥)). 𝑔 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢, 𝑢 = 𝑔(𝑥) 𝑢 =

−5𝑥: 𝑑𝑢 = −5𝑑𝑥, 𝑑𝑥 = (− 1

5 ) du

= ∫ 𝑒𝑢 (− 1

5 ) 𝑑𝑢

= ∫ − 𝑒𝑢

5 𝑑𝑢

Sacar la constante: ∫ 𝑎. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= - 1

5∫ 𝑒𝑢 du

Aplicar la regla de integración: ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢

= - 1

5 𝑒𝑢

Sustituir en la ecuación u= - 5x

= - 1

5 𝑒𝑢(−5𝑥)

Simplificar

=- 𝑒−5𝑥

5

Agregar una constante a la solución: si 𝑑𝐹(𝑥)

𝑑𝑥 = f(x) entonces ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

= − 𝑒−5𝑥

5 + 𝐶

Calcular los límites: ∫ 𝑒−5𝑥∞

−∞ dx: ∫ 𝑒−5𝑥∞

−∞ 𝑑𝑥 = 0 − (−∞)

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏−𝑏

𝑎(F(x))- 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+(F(x))

𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ (-𝑒−5𝑥

5 )

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎[𝑐. 𝑓(𝑥)] = 𝑐. 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

= - 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ (𝑒−5𝑥

5)

𝑙𝑖𝑚𝑥→−𝑎 [𝑓(𝑥)

𝑔 (𝑥) ] =

𝑙𝑖𝑚𝑥 →𝑎 𝑓(𝑥)

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) , donde 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0

= - 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ (𝑒−5𝑥 )

𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ (5)

𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞( 𝑒−5𝑥)

𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞( 𝑒−5𝑥) = ∞

Usar la continuidad de 𝑒𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = - ∞

= 𝑒∞

Simplificar

= ∞

𝑙𝑖𝑚𝑥−∞ ( - 𝑒−5𝑥

5 ) = 0

= 0 – (-∞ )

Simplificar

=∞

4. ∫𝟒+𝒙

√𝒙𝟐−𝟒

𝟓

𝟐 dx

Al calcular la integral definida se obtiene: dx

x 4

4

2

5

2

Al sumar la integral definida obtenemos:

dxx 4

4

2

5

2

+

dxx 4

4

2

5

2

42

5

2

x

dxdx

x

x

42

5

2

= 4𝐿𝑛 ∣ 𝑥 + √𝑥2 − 4 ∣ + ∫2

5

𝑥

√𝑥2 − 4 𝑑𝑥

Aplicamos integración por pares: 𝑢 = 𝑥2 − 4 𝑑𝑢 = 2𝑥 − 𝑑𝑥

𝑑𝑢

2= 𝑥𝑑𝑥

duuu

du

u

du 2

1

2

5

2

5

5

22

1

2

1

Hallando el complemento: =1

2 .

𝑢12

1

2

+ 𝑐 = 2

2 √𝑥2 − 4 + 𝑐

Reemplazando nuevamente: ∫2

5

𝑥

2√𝑥2− 4𝑑𝑥 = √𝑥2 − 4 + 𝑐

= Cxxx 44ln4 22

= 5222 44ln4 xxx

= 42422ln445455ln4 2222

Reduciendo a términos semejantes y simplificando:

= 44442ln44254255ln4

= 002ln421215ln4

Obteniendo como resultado = 2ln421215ln4 1

5. ∫𝒔𝒆𝒄𝟐 (√𝒙)

√𝒙 dx

Pasos

∫𝑠𝑒𝑐2 (√𝑥)

√𝑥 dx

Aplicar la integración por sustitución

= ∫𝑠𝑒𝑐2 (𝑢)

𝑢 2udu

= ∫ 2 𝑠𝑒𝑐2 (u) du

Sacar la constante

= 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2 (u) du

Aplicar la regla de integración

= 2tan (u)

Sustituir en la ecuación

= 2tan (√𝑥)

Agregar la constante la solución

= 2tan (√𝑥) + C

6. ∫𝟏

𝟏+√𝒙

𝟒

𝟏 dx

𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎

∫1

1+√𝑥 dx

1 Explicación tomada de: https://www.youtube.com/watch?v=v6JgjHMvNVc https://www.youtube.com/watch?v=zCldXOtAKQo https://www.youtube.com/watch?v=UOOswzhDmEk https://www.youtube.com/watch?v=ukaQzboMjaA https://www.youtube.com/watch?v=J3-ykUup1Wo https://www.youtube.com/watch?v=sIJtWkE-t3w

Aplicar la integración por sustitución

= ∫1

1+𝑢 2udu

= ∫ 2 −2

𝑢+1 du

Aplicar la regla de la suma

= ∫ 2𝑑𝑢 − ∫2

𝑢+1 du

= ∫ 2𝑑𝑢

Integral de una constante

= 2u

= 2u- 2 In (u+1)

Sustituir en la ecuación

=2√𝑥 – 2In( √𝑥 + 1)

Agregar una constante a la solución

=2√𝑥 – 2In (√𝑥 + 1)+C

Calcular los límites

=4 – In (9) - (2 – In (4))

Simplificar

=2+ In (4) – In (9)

7. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝝅/𝟐

𝟎(x) cos (x) dx

Calcular la integral indefinida

∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝑥) cos(𝑥)𝑑𝑥

Aplicar la integración por sustitución

= ∫ 𝑢2 cos(𝑥) 1

cos(𝑥) 𝑑𝑢

= ∫ 𝑢2 𝑑𝑢

Aplicar la regla de la potencia

=𝑢2+1

2+1

Sustituir en la ecuación

= 𝑠𝑖𝑛2+1 (𝑥)

2+1

Simplificar

= 𝑠𝑖𝑛3 (𝑥)

3

Agregar una constante a la solución

= 𝑠𝑖𝑛3 (𝑥)

3 + C

8. ∫𝟎

𝝅

𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒅𝒙

𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙)

𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑢

cos(𝑥)

= ∫0

𝜋

2 cos(𝑥) . 𝑑𝑢

cos(𝑥)= ∫

0

𝜋

2 𝑢2 𝑑𝑢

= 𝑢2+1

2+1+ 𝑐 =

𝑠𝑒𝑛3 (𝑥)

3+ 𝑐

= 𝑠𝑒𝑛3 (𝑥)

3 ]0

𝜋2 =

𝑠𝑒𝑛3 (𝜋2)

3−

𝑠𝑒𝑛30 (0)

3

= 𝑠𝑒𝑛3 (𝑥)

3 ]0

𝜋2 =

1

3− 0 =

1

3

8. ∫ 𝒙𝒆(𝒙𝟐 −𝟏) dx

Aplicar integración por sustitución

=∫ 𝑥𝑒1

2𝑥 𝑑𝑢

=∫𝑒𝑢

2 du

Sacar la constante

= 1

2 ∫ 𝑒𝑢 du

Aplicar la regla de integración

= 1

2 𝑒𝑢

Sustituir en la ecuación

= 1

2 𝑒(𝑥2−1)

Simplificar

= 𝑒𝑥2−1

2

Agregar una constante a la solución

= 𝑒𝑥2−1

2 + C

9. ∫𝟏

(𝐱𝟐+ 𝟒+𝟏𝟑) 𝐝𝐱

=(𝑥2 + 4 𝑥 + 4 ) + 13 − 4

=(𝑥2 + 4 𝑥 + 4 ) + 9

=(𝑥 + 2 )2 + 9

=∫1

(x2+ 4x+13) dx = ∫

1

(x+2)2+ 9 dx

=∫du

u2+ a2=

1

atan−1 (

u

a) + c

𝑢 = 𝑥

𝑎 = 3

1

3= 𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑥 + 2

3) + 𝑐

10. ∫𝟏

𝟒−𝒙𝟐 dx

Aplicamos ∫du

a2−u2 = 1

2a Ln ∣

u+a

u−a∣ +c

a = 2 Sustituimos

u = 2

1

2(2)Ln ∣

x+2

x−2∣ + c =

1

4 Ln ∣

x+2

x−2∣ +c

11. ∫ 𝒙 √𝒙 + 𝟏 dx

Pasos

∫ 𝑥 √𝑥 + 1 dx

Aplicar integración por sustitución

=∫ 𝑥 √𝑢 1du

=∫ 𝑥 √𝑢 du

U=x+1 x=u-1

=∫( 𝑢 − 1) √𝑢 du

Expandir (u – 1)√𝑢

=∫(𝑢3

2 − √𝑢 ) du

Aplicar la regla de la suma

=∫(𝑢3

2𝑑𝑢 − ∫ √𝑢 du

∫ 𝑢32𝑑𝑢

Aplicar la regla de la potencia

= 𝑢

32

+1

3

2+1

Simplificar

= 2𝑢

52

5

∫ √𝑢 du

Aplicar la regla de la potencia

= 𝑢0.5+1

0.5+1

Simplificar

= 2𝑢

32

3

=2𝑢

52

5 -

2𝑢32

3

Sustituir en la ecuación

= 2(𝑥+1)

52

5 -

2(𝑥+1)32

3

Agrega una constante a la solución

= 2(𝑥+1)

52

5 -

2(𝑥+1)32

3 + C

12. ∫𝟐𝐱

(𝐱𝟐− 𝟑𝐱−𝟏𝟎) dx

Factorizamos el denominador

𝑥2 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5 )(𝑥 + 2)

Integrales por fracciones parciales

2𝑥

𝑥2 − 3𝑥 − 10 =

𝐴

(𝑥 − 5)+

𝐵

(𝑥 + 2)

2𝑥

𝑥2 − 3𝑥 − 10 =

𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 5)

(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)

2𝑥 = 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 5)(𝑥2 − 3𝑥 − 10)

(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)

2𝑥 = 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵 (𝑥 − 5)

2𝑥 = 𝐴 𝑥 + 2𝐴 + 𝐵 𝑥 − 5𝐵)

2𝑥 = 𝑥(𝐴 + 𝐵 ) + 2𝐴 − 5𝐵)

2𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥

2𝑥 = 𝑥(𝐴 + 𝐵 )

2𝑥

𝑥= 𝐴 + 𝐵

𝐴 + 𝐵 = 2

Ahora igualamos las ecuaciones

2𝐴 − 5𝐵 = 0

𝐴 + 𝐵 = 2 (−2)

2𝐴 − 5𝐵 = 0

− 2𝐴 − 2𝐵 = −4

7𝐵 = −4

𝐵 = −4

−7 =

4

7

𝐵 = 4

7

Sustituimos el valor de B

𝐴 + 𝐵 = 2

𝐴 + (4

7) = 2

𝐴 =2

1−

4

7

𝐴 =14 − 4

7=

10

7

𝐴 =10

7

∫2x

(x2 − 3x − 10)dx ∫ (

A

x − 5+

B

x + 2) dx

∫

107

x − 5 dx + ∫

47

x + 2dx

∫10

7(x − 5) dx + ∫

4

7(x + 2) dx

= 10

7 ∫

dx

x−5 +

4

7 ∫

dx

x+2

= 10

7 𝐿𝑛 ∣ x − 5 ∣ +

4

7 𝐿𝑛 ∣ x + 2 ∣ +C

CONCLUSIONES

Con la realización del trabajo grupal entendemos la importancia de trabajar en equipo y

consolidar el trabajo entre todos los participantes.

Nos ayuda a afianzar más nuestros conocimientos y ponerlos en práctica con el desarrollo de

los ejercicios propuestos.

Al hacer la solución y entender este tema nos da habilidades a la hora de realizar solución en

diferentes problemáticas que se nos presenten.

Fueron utilizaron los diferentes métodos de investigación para resolver integrales de funciones

trascendentales.

Se logró entender que si partimos de una integral conocida como por ejemplo

kygdxy )()( y se cambia la variable (y) por la función derivable de u (y), tal que u’ (y)

es continua, se obtiene la fórmula de cambio de variable.

BIBLIOGRAFÍA

RONDON, J. (2011) Calculo integral. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnológicas e Ingeniería Unidad de Ciencias Básicas. Tercera

unidad

Entorno de conocimiento

González, M (24 de mayo de 2012) aprende integrales- tema 1 [VIDEO] .disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=v6JgjHMvNVc

Ríos J (19 de enero de 2012) Integral resuelta por métodos de sustitución y partes [VIDEO]

disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=ukaQzboMjaA

Ríos J (14 de abril de 2010) Integral por método de sustitución [VIDEO] disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=zCldXOtAKQo

González, M (25 de mayo de 2012) aprende integrales- tema 2 [VIDEO] .disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=UOOswzhDmEk

Ríos J (30 de agosto de 2009) Integración por fracciones parciales [VIDEO] disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=sIJtWkE-t3w

González, M (25 de mayo de 2012) aprende integrales- tema 7 [VIDEO] .disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=J3-ykUup1Wo