CALCULO DIFERENCIAL

INDICE1 DEFINICION DE DERIVADA2 ANTECEDENTE DE CALCULO DIFERENCIAL

3 LISTAS DE TODAS LAS FORMULAS PARA CALCULAR LA DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBAICAS Y TRASEDIENTES

4 QUE ES CALCULAR LA DERIVADA DE UNA FUNCION?5 QU APLICACIONES TIENE EL CLCULO DIFERENCIAL?6 CULES SON LOS LTIMOS AVANCES DOCUMENTADOS QUE SE HAN REALIZADO EN EL CLCULO DIFERENCIAL?7 EN QU OTRAS RAMAS DE LA TECNOLOGA Y DE LA VIDA DIARIA INTERVIENE EL CLCULO DIFERENCIAL?

DEFINICION DE DERIVADA: Enmatemtica, laderivadade unafuncines una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha funcin matemtica, segn cambie el valor de suvariable independiente. La derivada de una funcin es un concepto local, es decir, se calcula como ellmitede la rapidez de cambio media de la funcin en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez ms pequeo. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta funcinen un punto dado.Un ejemplo habitual aparece al estudiar elmovimiento: si una funcin representa laposicinde un objeto con respecto al tiempo, su derivada es lavelocidadde dicho objeto. Un avin que realice un vuelo transatlntico de 4500km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a unavelocidad mediade 750km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400km, su velocidad media en ese tramo es de 800km/h. Para conocer suvelocidad instantneaa las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.Entonces el valor de la derivada de una funcin en un punto puede interpretarse geomtricamente, ya que se corresponde con lapendientede larecta tangentea lagrficade la funcin en dicho punto. La recta tangente es a su vez la grfica de la mejor aproximacin linealde la funcin alrededor de dicho punto. La nocin de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de ms de una variable con laderivada parcialy eldiferencial.La derivada de una funcinfen un puntoxse denota comof(x). La funcin cuyo valor en cada puntoxes esta derivada es la llamadafuncin derivadadef, denotada porf. El proceso de encontrar la derivada de una funcin se denominadiferenciacin, y es una de las herramientas principales en el rea de las matemticas conocida comoclculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denominaclculo diferencial.1

ANTECEDENTE DE CALCULO DIFERENCIAL

El clculo diferencial es la rama de las matemticas que comprende el estudio y aplicacin del clculo diferencial y del clculo integral. El clculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vaco ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeo. En 1666, el cientfico Ingles ISAAC NEWTON fue el primero en desarrollar mtodos matemticos para resolver problemas de esta ndole. Casi al mismo tiempo el filsofo y matemtico alemn GOTTFRIED LEIBNIZ realizo investigaciones similares e ideando smbolos matemticos que se aplican hasta nuestros das. Destacan otros matemticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el clculo diferencial, sobresale entre otros, PIERRE FERMAT matemtico francs, quien en su obra habla de los mtodos diseados para determinar los mximos y mnimos acercndose casi al descubrimiento del clculo diferencial. Dicha obra influencio a LEIBNIZ en la investigacin del clculo diferencial. FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella poca era comn entr los matemticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el mtodo propio de solucin, con el fin de reservarse el xito para si mismo y para su nacin; ya que haba una gran rivalidad entre los franceses, alemanes y los ingleses, razn por la que las demostraciones de FERMAT se hayan perdido. Los procesos generales y las reglas prcticas sencillas del clculo diferencial se deben a NEWTON y a LEIBNIZ; sin embargo, por ms de 150 aos el clculo diferencial contino basndose en el concepto de lo infinitesimal. En el siglo XIX se han encontrado bases ms firmes y lgicas al margen de lo infinitamente pequeo. l calculo diferencial se ha ido desarrollando a travs de los aos, consolidndose en una herramienta tcnico-cientfica que se utiliza en el anlisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones qumicas, los cambios atmosfricos, los desarrollos sociales y econmicos de las naciones, en la astronoma, la estadstica, etc. A NEWTON y a LEIBNIZ se les llama fundadores del clculo ya que fueron los primeros en estudiar el problema geomtrico fundamentalmente del clculo diferencial, que se denomina: Problemas de las tangentes en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada.

LISTAS DE TODAS LAS FORMULAS PARA CALCULAR LA DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBAICAS Y TRASEDIENTESSean a, b, e y k constantes (nmeros reales) y consideremos a: u(x) y v(x) como funciones.En adelante, escribiremos u y v con el fin de simplificar.Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la funcin lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raz cuadrada

Derivada de una raz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una funcin

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una funcin

Derivada de un cociente

Derivada de la funcin exponencial

Derivada de la funcin exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como, tambin se puede expresar as:

Derivada del logaritmo neperiano

Derivada del seno

Derivada del coseno

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

Derivada de la secante

Derivada de la cosecante

Derivada del arcoseno

Derivada del arcocoseno

Derivada del arcotangente

Derivada del arcocotangente

Derivada del arcosecante

Derivada del arcocosecante

Derivada de la funcin potencial-exponencial

Regla de la cadena

Derivadas implcitas

QUE ES CALCULAR LA DERIVADA DE UNA FUNCION?

Considerando lafuncinfdefinida en elintervaloabiertoIy un puntoafijo enI, se tiene que laderivada de la funcin f en el puntose define como sigue:,si estelmiteexiste, de lo contrario,, la derivada, no est definida. Esta ltima expresin coincide con la velocidad instantnea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemtica.Aunque podran calcularse todas las derivadas empleando la definicin de derivada como un lmite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el clculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el lmite. Tales reglas son consecuencia directa de la definicin de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de clculo infinitesimal.Tambin puede definirse alternativamente la derivada de una funcin en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:,La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda segn el signo de. El aspecto de este lmite est relacionado ms con la velocidad instantnea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.No obstante su aparente diferencia, el clculo de la derivada por definicin con cualquiera de los lmites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.EjemploSea lafuncin cuadrticaf(x)=x2definida para todoxperteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta funcin para todo puntoxR puesto que es continua en todos los puntos de su dominio , mediante el lmite de su cociente de diferencias de Newton.

QU APLICACIONES TIENE EL CLCULO DIFERENCIAL?Recta tangente a una funcin en un puntoLA RECTA TANGENTE A UNA FUNCINF(X) ES COMO SE HA VISTO EL LMITE DE LAS RECTAS SECANTES CUANDO UNO DE LOS PUNTOS DE CORTE DE LA SECANTE CON LA FUNCIN SE HACE TENDER HACIA EL OTRO PUNTO DE CORTE. TAMBIN PUEDE DEFINIRSE A LA RECTA TANGENTE COMO LA MEJOR APROXIMACIN LINEAL A LA FUNCIN EN SU PUNTO DE TANGENCIA, ESTO ES, LA RECTA TANGENTE ES LA FUNCIN POLINMICA DE PRIMER GRADO QUE MEJOR APROXIMA A LA FUNCIN LOCALMENTE EN EL PUNTO DE TANGENCIA QUE CONSIDEREMOS.SI CONOCEMOS LA ECUACIN DE LA RECTA TANGENTETA(X) A LA FUNCINF(X) EN EL PUNTOAPODEMOS TOMARTA(X) COMO UNA APROXIMACIN RAZONABLEMENTE BUENA DEF(X) EN LAS PROXIMIDADES DEL PUNTOA. ESTO QUIERE DECIR QUE SI TOMAMOS UN PUNTOA+HY LO EVALUAMOS TANTO EN LA FUNCIN COMO EN LA RECTA TANGENTE, LA DIFERENCIASER DESPRECIABLE FRENTE AHEN VALOR ABSOLUTO SIHTIENDE A CERO. CUANTO MS CERCA ESTEMOS DEL PUNTOATANTO MS PRECISA SER NUESTRA APROXIMACIN DEF(X).PARA UNA FUNCINF(X) DERIVABLE LOCALMENTE EN EL PUNTOA, LA RECTA TANGENTE AF(X) POR EL PUNTOAES:TA(X)=F(A) +F'(A)(X-A).USO DE LAS DERIVADAS PARA REALIZAR GRFICOS DE FUNCIONESLAS DERIVADAS SON UNA TIL HERRAMIENTA PARA EXAMINAR LASGRFICAS DE FUNCIONES. EN PARTICULAR, LOS PUNTOS EN EL INTERIOR DE UN DOMINIO DE UNA FUNCIN DE VALORES REALES QUE LLEVAN A DICHA FUNCIN A UNEXTREMO LOCALTENDRN UNA PRIMERA DERIVADA DE CERO. SIN EMBARGO, NO TODOS LOS PUNTOS CRTICOS SON EXTREMOS LOCALES. POR EJEMPLO,F(X)=X TIENE UN PUNTO CRTICO ENX=0, PERO EN ESE PUNTO NO HAY UN MXIMO NI UN MNIMO. ELCRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADAY ELCRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADAPERMITEN DETERMINAR SI LOS PUNTOS CRTICOS SON MXIMOS, MNIMOS O NINGUNO.EN EL CASO DE DOMINIOS MULTIDIMENSIONALES, LA FUNCIN TENDR UNA DERIVADA PARCIAL DE CERO CON RESPECTO A CADA DIMENSIN EN UN EXTREMO LOCAL. EN ESTE CASO, LA PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA SE PUEDE SEGUIR UTILIZANDO PARA CARACTERIZAR A LOS PUNTOS CRTICOS, CONSIDERANDO ELEIGENVALORDE LAMATRIZ HESSIANADE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES DE LA FUNCIN EN EL PUNTO CRTICO. SI TODOS LOS EIGENVALORES SON POSITIVOS, ENTONCES EL PUNTO ES UN MNIMO LOCAL; SI TODOS SON NEGATIVOS ES UN MXIMO LOCAL. SI HAY ALGUNOS EIGENVALORES POSITIVOS Y ALGUNOS NEGATIVOS, ENTONCES EL PUNTO CRTICO ES UN PUNTO SILLA, Y SI NO SE CUMPLE NINGUNO DE ESTOS CASOS, LA PRUEBA ES NO CONCLUYENTE (E.G., LOS ENGEIVALORES SON 0 Y 3).UNA VEZ QUE SE ENCUENTRAN LOS EXTREMOS LOCALES, ES MUCHO MS FCIL HACERSE DE UNA BURDA IDEA DE LA GRFICA GENERAL DE LA FUNCIN, YA QUE (EN EL CASO DEL DOMINIO MONO DIMENSIONAL) SE INCREMENTAR O DECREMENTAR UNIFORMEMENTE EXCEPTO EN LOS PUNTOS CRTICOS, Y POR ELLO (SUPONIENDO SUCONTINUIDAD) TENDR VALORES INTERMEDIOS ENTRE LOS VALORES EN LOS PUNTOS CRTICOS DE CADA LADO.APROXIMACIN LOCAL DE TAYLORARTCULOS PRINCIPALES:SERIE DE TAYLORYTEOREMA DE TAYLOR.HEMOS VISTO QUE PODEMOS APROXIMAR MEDIANTE SU RECTA TANGENTE A UNA FUNCIN DERIVABLE LOCALMENTE EN UN PUNTO. SI SE CUMPLE QUE LA FUNCIN ES SUFICIENTEMENTESUAVEEN EL PUNTO O DOMINIO DE ESTUDIO (ESTO ES, LA FUNCIN ES DE CLASE) SE PUEDE APROXIMAR LA FUNCIN NO POR POLINOMIOS DE GRADO UNO, SINO POR POLINOMIOS DE GRADO DOS, TRES, CUATRO Y SUCESIVAMENTE. ESTA APROXIMACIN RECIBE EL NOMBRE DE DESARROLLO POLINMICO DE TAYLOR Y SE DEFINE DE LA SIGUIENTE MANERA:

DONDEP(X) ES EL POLINOMIO DE GRADONQUE MEJOR APROXIMA A LA FUNCIN EN EL PUNTOX=A. NTESE QUE SI EVALUAMOS P(X) ENX=ATODOS LOS TRMINOS SALVO ELF(A) SE ANULAN, LUEGOP(A) =F(A). NTESE TAMBIN QUE LA ECUACIN DE LA RECTA TANGENTE DEL APARTADO ANTERIOR CORRESPONDE AL CASO EN EL QUEN=1.CUANDOA=0 EL DESARROLLO SE DENOMINADESARROLLO DE MACLAURIN. EN LA PRCTICA LA MAYORA DE LAS VECES SE EMPLEAN DESARROLLOS DE MACLAURIN. EJEMPLOS DE DESARROLLOS IMPORTANTES DE MACLAURIN SON:

NTESE EL SMBOLOQUE DENOTAAPROXIMACINQUE NOIGUALDAD. SI LA FUNCIN A APROXIMAR ESINFINITAMENTE DERIVABLE() Y AGREGAMOS INFINITOS TRMINOS AL DESARROLLO ENTONCES ELSE CONVIERTE EN UNY EL DESARROLLO ANTERIOR SE CONVIERTE EN UNASERIE DE TAYLOR. LAS FUNCIONES QUE SON IGUAL A SU SERIE DE TAYLOR SE DENOMINANFUNCIONES ANALTICAS.CLCULO DE PUNTOSPUNTOS SINGULARESSE DENOMINAN PUNTOS SINGULARES ESTACIONARIOS A LOS VALORES DE LA VARIABLE EN LOS QUE SE ANULA LA DERIVADAF'(X) DE UNA FUNCINF(X), ES DECIR, SIF(X)=0 ENX1,X2,X3, . . . ,XN, ENTONCESX1,X2,X3, . . . ,XNSON PUNTOS SINGULARES DEF(X). LOS VALORESF(X1),F(X2),F(X3), . . . , F(XN), SE LLAMAN VALORES SINGULARES.PUNTOS CRTICOSPOR PUNTO CRTICO SE ENTIENDE: UN PUNTO SINGULAR, UN PUNTO DONDE NO EXISTA LA DERIVADA O UN PUNTO EXTREMOAOBDEL DOMINIO [A,B] DE DEFINICIN DE LA FUNCIN.SI LA SEGUNDA DERIVADA ES POSITIVA EN UN PUNTO CRTICO, SE DICE QUE EL PUNTO ES UNMNIMO LOCAL; SI ES NEGATIVA, SE DICE QUE EL PUNTO ES UNMXIMO LOCAL; SI VALE CERO, PUEDE SER TANTO UN MNIMO, COMO UN MXIMO O UNPUNTO DE INFLEXIN. DERIVAR Y RESOLVER EN LOS PUNTOS CRTICOS ES A MENUDO UNA FORMA SIMPLE DE ENCONTRAR MXIMOS Y MNIMOS LOCALES, QUE PUEDEN SER EMPLEADOS ENOPTIMIZACIN. AUNQUE NUNCA HAY QUE DESPRECIAR LOS EXTREMOS EN DICHOS PROBLEMASGENERALIZACIN DEL CLCULO DIFERENCIALCUANDO UNA FUNCIN DEPENDE DE MS DE UNA VARIABLE, SE UTILIZA EL CONCEPTO DEDERIVADA PARCIAL. LAS DERIVADAS PARCIALES SE PUEDEN PENSAR INFORMALMENTE COMO TOMAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIN CON RESPECTO A UNA DE ELLAS, MANTENIENDO LAS DEMS VARIABLES CONSTANTES. LAS DERIVADAS PARCIALES SE REPRESENTAN COMO(EN DNDE; ES UNA 'D' REDONDEADA CONOCIDA COMO 'SMBOLO DE LA DERIVADA PARCIAL').EL CONCEPTO DE DERIVADA PUEDE SER EXTENDIDO DE FORMA MS GENERAL. EL HILO COMN ES QUE LA DERIVADA EN UN PUNTO SIRVE COMO UNA APROXIMACIN LINEAL A LA FUNCIN EN DICHO PUNTO. QUIZ LA SITUACIN MS NATURAL ES QUE LAS FUNCIONES SEAN DIFERENCIABLES EN LASVARIEDADES. LA DERIVADA EN UN CIERTO PUNTO ENTONCES SE CONVIERTE EN UNATRANSFORMACIN LINEALENTRE LOS CORRESPONDIENTESESPACIOS TANGENTESY LA DERIVADA DE LA FUNCIN SE CONVIERTE EN UN MAPEO ENTRE LOSGRUPOS TANGENTES.PARA DIFERENCIAR TODAS LAS FUNCIONESCONTINUASY MUCHO MS, SE PUEDE DEFINIR EL CONCEPTO DEDISTRIBUCIN.PARA LAS FUNCIONESCOMPLEJASDE UNA VARIABLE COMPLEJA, LA DIFERENCIABILIDAD ES UNA CONDICIN MUCHO MS FUERTE QUE LA SIMPLE PARTE REAL E IMAGINARIA DE LA FUNCIN DIFERENCIADA CON RESPECTO A LA PARTE REAL E IMAGINARIA DEL ARGUMENTO. POR EJEMPLO, LA FUNCINSATISFACE LO SEGUNDO, PERO NO LO PRIMERO. VEA TAMBINFUNCIN HOLOMRFICA.

Cules son los ltimos avances documentados que se han realizado en el clculo diferencial?Newton y Leibniz como los creadores del clculo diferencial e integral, hecho que se manifiesta en los materiales escritos en forma de alusiones explcitas o implcitas, a travs de fotografas o fichas bibliogrficas. En la bibliografa actual, da la impresin, que de la nada, en un acto de creacin inexplicable, obtuvieron el conocimiento tal y como lo conocemos hoy en da. No obstante, cuando ellos inventaron el nuevo Clculo, como se le llam en el siglo XVII a los trabajos de Newton con sus infinitesimales y de Leibniz con su concepto de diferenciales, ya exista un amplio bagaje de conocimientos que en aquella poca constituan la vanguardia del saber. Histricamente, desde los tiempos de Arqumedes, los problemas vinculados al Clculo eran la determinacin de tangentes y la estimacin de reas, y, por otro lado, el objeto matemtico que marca el nacimiento del nuevo Clculo es el teorema fundamental del Clculo el cual, mediante el uso de un procedimiento inverso al clculo de tangentes de curvas, establece el algoritmo para calcular una integral definida. Las ideas precursoras de los infinitesimales y el concepto de infinito, piedras de toque para el nuevo Clculo, parecen remontarse a los inicios de las matemticas, en la sucesin ilimitada de los nmeros naturales, en el Quinto Postulado de Euclides sobre las paralelas o en el mtodo de exhauscin1 de los griegos, slo por sealar algunos ejemplos. Conviene sealar, por significativo, que en el lenguaje matemtico de hoy las expresiones infinito o infinitsimo conservan el sentido que Aristteles les asign.2 Los griegos, influidos por la supremaca de la Geometra en sus matemticas, buscaron procedimientos puramente geomtricos para hallar la cuadratura de distintas superficies. Mediante la descomposicin de polgonos en tringulos, los griegos cuadraban cualquier superficie poligonal. Arqumedes, fue todava ms all, y en su libro Cuadratura de la Parbola, prueba3 que un segmento de parbola puede agotarse mediante una serie de tringulos. Claramente se puede ver en la figura 1, que cada una de las cuerdas que se corresponden con la hipotenusa de los tringulos tiende a pegarse a la curva, conforme se aumenta el nmero de stos.Tmese en cuenta que se debe a Eudoxo el mtodo de exhauscin (aunque el trmino de exhauscin se introdujo en el siglo XVII)4 y que, por ser un mtodo indirecto de demostracin, no requiere del uso del concepto del lmite para hallar reas y volmenes. Uno de los antecedentes ms prximos a la creacin del nuevo Clculo, que influy en el pensamiento, ms emprico que formal, de los matemticos de los siglos XVI, XVII y XVIII, fue el cardenal alemn Nicols de Cusa, autor de La Docta Ignorancia5 (ao de 1440). En su obra, acepta la imposibilidad de que un polgono inscrito en un crculo, por ms lados que aqul contenga, llegue a convertirse en dicho crculo, y dice que Es evidente, pues, que nosotros no sabemos acerca de lo verdadero, sino que lo que exactamente es en cuanto tal, es algo incomprensible y que se relaciona con la verdad como necesidad absoluta, y con nuestro entendimiento como posibilidad.

EN QU OTRAS RAMAS DE LA TECNOLOGA Y DE LA VIDA DIARIA INTERVIENE EL CLCULO DIFERENCIAL?El Clculo Diferencial, es una parte importante del anlisis matemtico y dentro del mismo del clculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o en los campos objetos del anlisis. El principal objeto de estudio en el clculo diferencial es la derivada.Considero que es muy importante la enseanza del clculo diferencial dentro de la escuela como una materia de tronco comn porque a pesar de que estar presente en el examen de admisin de las universidades, es algo de lo que no te puedes deslindar porque, la mayora de las acciones y problemas comunes dentro de una sociedad estn relacionadas con el clculo diferencial. Es por eso que la considero como una materia de vital importancia para el desarrollo intelectual de todo ser humano.

REFERENCIAS O ENLACES https://inglilianaalanis.wordpress.com/2011/09/16/calculo-diferencial/https://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://calculodiferencialmarcelinodelangel.blogspot.mx/2013/01/antecedentes-historicos-del-calculo.htmlhttp://www.monografias.com/trabajos91/matematicas-traves-tiempos/matematicas-traves-tiempos.shtml