Tema 2

Funciones logartmicas y

exponenciales Objetivo

El alumno conocer las funciones logaritmo y

exponencial, as como sus propiedades, y las aplicar

en el clculo de lmites, derivadas e integrales.

Funcin logaritmo natural La funcin logaritmo natural es la funcin definida por

ln = 1

1

Y en serie de potencias se puede expresar como

ln = (1)1

( 1)

=1

En resumen, la funcin logaritmo natural satisface las siguientes

propiedades:

Su dominio es el conjunto de los nmeros reales, positivos

= +, su codominio son los nmeros reales, = .

La funcin es continua y creciente en todo su dominio.

Su grfica es cncava hacia abajo en todos sus puntos.

La grfica es asinttica a la parte negativa del eje y a travs del cuarto cuadrante.

Funcin logaritmo natural

Funcin logaritmo natural

ln 1 = 0

ln() = ln + ln

ln

= ln ln

ln1

= ln

ln = ln

ln =1

() ln =

1

()

1

= ln + ln = ln +

ln = ln ln +

ln =+1

( + 1)2( + 1) ln 1 +

Funcin exponencial La funcin exponencial es la inversa de la funcin logaritmo natural;

por tanto, se define como

exp = si y slo si = ln

Y en serie de potencias se puede expresar como

exp =

!

=0

En resumen, la funcin exponencial satisface las siguientes

propiedades:

Su dominio es el conjunto de los nmeros reales, = , su codominio son los nmeros reales positivos, = +.

La funcin es continua y creciente en todo su dominio.

Su grfica es cncava hacia arriba en todos sus puntos.

La grfica es asinttica a la parte negativa del eje y a travs del segundo cuadrante.

Funcin exponencial

Funcin exponencial

= exp (1)

+ =

ln = 1

= ()

= +

= 1

=

1 1+1

1

1

= exp ()

0 = 1

=

()=

= lim0(1 + )

1

Funcin logaritmo natural y

exponencial

ln = ln =

Funcin logaritmo natural y

exponencial

ln

csc 4 cot 4

2 3 sin 2

cos 2

23

2 4

(ln 3)2

2 ln + 1

ln 2 + ln

25

1 + 2

3

1 23 2

2

+ 3

42

Cambios de base logartmica

= log =

log = ln log =ln

ln

log =log

=

()

ln

log =1

ln

Cambios de base exponencial

= ln

Si > 0 entonces 0 = 0

ln = ln

= ln ()

=

ln +

= 1 +

ln ()

Cambios de base

103

54+2 23 + 1

ln (ln + 1)

log10

4ln1

log2

2

Funciones trigonomtricas inversas

Funciones trigonomtricas inversas

1

4 92

1

32 2 + 5

1

(1 + )

2 + 7

2 + 2 + 5

1

0

6

(2 ) 2 4 + 3

2 2

0

1 +

1 + 2

1

0

Funciones hiperblicas

sinh =

2

sinh = cosh

sinh = cosh +

Funciones hiperblicas CATENARIA

cosh = +

2

cosh = sinh +

cosh = sinh

Funciones hiperblicas

tanh =

+

tanh = (sech )2

tanh = ln cosh +

Funciones hiperblicas

coth = +

coth = (csch )2

coth = ln sinh +

Funciones hiperblicas

c =2

csch = csch coth

csch = ln tanh

2+

Funciones hiperblicas

=2

+

sech = sech tanh

sech = tan1 sinh +

Identidades hiperblicas

sinh() = sinh cosh() = cosh cosh + sinh = cosh sinh = (cosh )2(sinh)2 = 1 (tanh )2+(sech )2 = 1 (coth )2(csch)2 = 1

sinh 2 = 2 sinh cosh cosh 2 = (cosh)2+(sinh)2 cosh 2 = 2(sinh)2+1 cosh 2 = 2(cosh )21

sinh( ) = sinh cosh cosh sinh cosh( ) = cosh cosh sinh sinh

cosh + cosh = 2 cosh +

2cosh

2

cosh cosh = 2 sinh +

2sinh

2

sinh sinh = 2 sinh

2cosh

2

Funciones hiperblicas inversas

sinh1 = ln + 2 + 1 ,

sinh1 =

1

2 + 1

1

2 + 2 = sinh1

+ = + 2 + 2 +

cosh1 = ln( + 2 1) , 1

cosh1 =

1

2 1

1

2 2 = sinh1

+ = + 2 2 +

Funciones hiperblicas inversas

tanh1 =

1

1 2 , < 1

tanh1 =1

2ln1 +

1 , < 1

1

2 2 =

1

tanh1

+ =

1

2 +

+ , <

Funciones hiperblicas inversas

coth1 =

1

1 2 , > 1

coth1 =1

2ln + 1

1, > 1

1

2 2 =

1

coth1

+ =

1

2 +

+ , >

Funciones hiperblicas inversas

csch1 =

1

1 + 2 , 0

csch1 = ln1

+1 + 2

, 0

1

2 + 2 =

1

csch1

+ =

1

sinh1

+ , 0

Funciones hiperblicas inversas

sech1 =

1

1 2 , (0,1]

sech1 = ln1

+1 2

, (0,1]

1

2 2 =

1

sech1

+ =

1

cosh1

+ , (0, ]

Funciones hiperblicas inversas

Funciones hiperblicas derivadas

=1

2ln tanh

= ln sech1

+ ln csch

1

= coth1 2 + 1

= coth sin 2

(cosh)3

sech1 tanh

1

2

(senh)4

cos

sin 2 9

1

3 + 2 2

1

( + 1) 2 + 2 + 2

1

4

Funciones hiperblicas integrales

Aplicacin: Longitud de Arco

Si la funcin y su derivada son continuas en el intervalo cerrado [, ], entonces la longitud de arco de la curva = () a partir del punto (, ) hasta el punto (, ) est dada por

= 1 + () 2

Aplicacin: Longitud de Arco

Obtenga la longitud de arco desde el punto (0,6) hasta el punto donde = 6 ln 6 de la catenaria definida por

= 6 cosh

6

Calcule la longitud de arco del punto donde = 1 hasta el punto donde = 4 de la curva

=1

3(3 1)

Determine la longitud de arco del punto en el primer cuadrante

donde = 1 hasta el punto donde = , > 1, de la curva

23 +

23 =

23

Aplicacin: Centro de Masa de una

barra Una barra de metros de longitud tiene su extremo izquierdo en el origen. Si () kilogramos por metro es la densidad lineal en un punto situado a metros del origen, donde es continua en [0, ], entonces la masa total de la barra es kilogramos, donde

=

0

El momento de masa de la barra con respecto al origen es 0 kilogramos-metro , donde

0 =

0

El centro de masa, es decir, donde el sistema se mantiene en

equilibrio est dado donde = 0, es decir,

=0

Aplicacin: Centro de Masa de una

barra La densidad lineal en cualquier punto de una barra de 4 de

longitud vara directamente conforme a la distancia desde el punto

a un punto exterior de la barra situado a 2 de su extremo

derecho, donde la densidad lineal es 5 . Determine su centro de masa.

La longitud de una barra es de 6 y la densidad lineal de la barra

en un punto que est a de un extremo es (2 + 3) . Determine su centro de masa.

La longitud de una barra es de 10 y la densidad lineal en un punto es una funcin lineal de la medida de la distancia del punto al

extremo izquierdo de la barra. La densidad lineal en el extremo

izquierdo es 2 y en el derecho 3 . Determine su centro

de masa.

Aplicacin: Centro de Masa de una

lmina y centroide de una regin Sea una lmina homognea, donde su densidad de rea es constante

y es de

2, limitada por la curva = , el eje y las rectas

= y = . La funcin es continua en el intervalo y 0 [, ], entonces la masa total de la lmina es kilogramos, donde

= ()

Los momentos de masa de la lmina con respecto a los ejes , son

=

2 () 2

, =

El centro de masa est dado como

=, =

Aplicacin: Centro de Masa de una

lmina y centroide de una regin Si la densidad es constante y el centro de masa de la lmina depende slo de la regin y no de la masa, se le denomina centroide de la regin al centro de masa.

Y los momentos de la regin con respecto a los ejes , son

=1

2 () 2

, =

El centroide est dado como

=, =

Donde es el rea de la regin.

Si una recta es un eje de simetra de la regin, entonces el centroide estar sobre dicha recta.

Aplicacin: Centro de Masa de una

lmina y centroide de una regin

Determine el centroide de la regin del primer cuadrante limitada

por la curva 2 = 4, el eje y las rectas = 1 y = 4.

Determine el centroide de la regin limitada por las curvas = 2 y = 2 + 3.

Determine el centroide de la regin limitada por el eje y la semi

cirunferencia positiva = 4 2.

Aplicacin: Trabajo

Sea una funcin continua en el intervalo cerrado [, ] y () la fuerza que acta sobre un objeto en el punto del eje . Si es el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se desplaza de a , entonces

=

Aplicacin: Trabajo Una partcula se mueve a lo largo del eje debido a la accin de

una fuerza en cuando la partcula est a del origen. Si = 2 + 4, calcule el trabajo realizado para mover la partcula del punto = 2 al punto = 4.

Un resorte tiene una longitud natural de 14. Si una fuerza de 500 se requiere para mantener el resorte estirado 2. Cunto trabajo se realiza para tener el resorte estirado a una

longitud de 18?

Conforme se levanta un tanque que contiene agua, sta se descarga

a una tasa constante de 2 3 por de altura. Si el peso del tanque es de 200 y originalmente contena 1000 3de agua , determine el trabajo efectuado al subir el tanque 20.

Un tanque contiene agua y tiene la forma de cono circular recto

invertido con un dimetro superior de 2 y 1.5 de profundidad. Si el nivel del agua est a 0.5 debajo de la parte superior, determine el trabajo para bombear el agua hasta la parte superior.

Aplicacin: Fuerza ejercida por la

Presin de un Lquido Suponga que una placa se sumerge verticalmente en un lquido para el

cual la medida de su densidad es . La longitud de la placa a una profundidad unidades debajo de la superficie del lquido es (), donde es continua en el intervalo cerrado [, ]. Si es la fuerza ejercida por la presin del lquido sobre la placa, entonces

=

Aplicacin: Fuerza ejercida por la

Presin de un Lquido

Una artesa, cuya seccin transversal es un trapecio, est llena de

agua. Si el trapecio mide 3 de ancho en su parte superior, 2 de ancho en su parte inferior, y 2 de profundidad, calcule la fuerza total ejercida por la presin del agua en un lado de la artesa.

Los extremos de un tanque para gasolina son regiones

semicirculares, cada una con un radio de 2. Determine la fuerza ejercida por la presin en un extremo si el taque est lleno de

gasolina, la cual tiene una densidad de 41

3.

La cara de la compuerta de una presa tiene la forma de un

tringulo issceles de 4 de ancho en su parte superior y una altura de 3. Si el lado superior de la compuerta est 15 metros debajo de la superficie del agua, determine la fuerza ejercida en la

compuerta.