Calculo integral

Integral IndefinidaMetodos de integracion

Integrales Definidas

Calculo Integral

Eduardo Mena Caravaca

[email protected]

2 de septiembre de 2015

Centro de Educacion MatematicaCEMATH

Eduardo Mena Caravaca Calculo Integral

mailto:[email protected]

http://cemath.com



Indice

1 Integral IndefinidaConocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida

2 Metodos de integracionSustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales

3 Integrales DefinidasConocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida




Conocimientos previosPrimitiva de una funcionIntegral Indefinida

CONOCIMIENTOS PREVIOS





Ejemplo

Sea f (x) = x2 + 1, calcular ∆f (x) y df (x) cuando x pasa de 1a 1,15

Calculamos ∆f (1)

∆f (1) = f (1, 15)− f (1) = 1, 152 + 1− (12 + 1) = 1, 152 − 12 =1,3225− 1 = 0,3225

Calculamos df (1)

f ′(x) = 2x

df (1) = f ′(1) ·∆(1) = 2 · 1 · (1, 15− 1) = 2 · 0, 15 = 0,30

Vemos que ∆f (1) ∼= df (1)





PRIMITIVA DE UNA FUNCION





Definicion

Sea f : R −→ R se dice que una funcion F es una primitiva de fsi se verifica F ′(x) = f (x) ∀x ∈ Dom(f )

Una definicion que equivale a resolver la siguiente ecuacion(ecuacion diferencial)

F ′(x) = f (x)⇒ dF (x)

dx= f (x)⇒ dF (x) = f (x) · dx

dF (x) = f (x) · dx





Si la ecuacion F ′(x) = f (x) tiene solucion, entonces, tieneinfinitas soluciones.

En efecto:La funcion F + C donde C ∈ R tambien es solucion, ya que:

(F + C )′ (x) = F ′(x) + C ′ = F ′(x) + 0 = F ′(x) = f (x)

(F + C )′ (x) = f (x)

Por tanto, F + C es una primitiva de f

A las infinitas primitivas de f se le llama integral indefinida y larepresentamos por: ∫

f (x) dx = F (x) + C





INTEGRAL INDEFINIDA





Definicion

Si F : R −→ R es una primitiva de la funcion f : R −→ R a laexpresion F (x) + C se le llama integral indefinida de la funcionf y se representa por el sımbolo:∫Sımbolo de la operacion inversa de la derivada, por ello, a laintegral indefinida tambien se le llama antiderivada y tiene la formade una S (suma)

dF (x) = f (x) · dx ⇒∫

dF (x) =

∫f (x) dx = F (x) + C





Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:

Signo de la integral, una S deformada

f (x)

f (x) · dx∫f (x) dx





Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫

f (x)






Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫Integrando






Elementos que componen la expresion de la integral indefinida:∫f (x)







Elemento de integracion

∫f (x) dx






f (x) · dx

∫f (x) dx






f (x) · dxExpresion completa





Corolarios

1 La derivada de una integral es igual al integrando(∫f (x) dx

)′

= (F (x) + C )′ = f (x)

2 La diferencial de una integral es igual al elemento de integracion

d

(∫f (x) dx

)=

(∫f (x) dx

)′

dx = f (x) dx

3 La integral indefinida de la diferencial de una funcion es igual a lafuncion mas una constante∫

df (x) =

∫f ′(x) dx = f (x) + C





Propiedades de la integral indefinida

1 La integral de una suma es igual, a la suma de las integrales∫(f (x) + g(x)) dx =

∫f (x) dx +

∫g(x) dx

2 La integral de una constante por una funcion es igual, a laconstante por la integral de la funcion∫

k · f (x) dx = k ·∫

f (x) dx





INTEGRALES INMEDIATAS





∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C

∫ax dx =

ax

ln a+ C

∫sin x dx = − cos x + C

∫1

cos2 xdx = tan x + C

∫1√

1− x2dx = arcsin x + C

∫1

xdx = ln x + C

∫ex dx = ex + C

∫cos x dx = sin x + C

∫−1

sin2 xdx = cot x + C

∫1

1 + x2dx = arctan x + C




Sustitucion o cambio de variablePor partesIntegrales racionales

METODOS DE INTEGRACION





Cambio de variable

∫f (x) dx

Hacemos el cambio x = g(t)⇒ dx = g ′(t) dt

∫f (x) dx =

∫f (g(t)) g ′(t) dt





Ejemplo

Calcular

∫ln x

xdx

Hacemos el cambio ln x = t ⇒ 1x dx = dt

∫ln x

xdx =

∫t dt =

1

2t2 =

1

2ln2 x + C

O bien, sin cambio, si observa que:∫ln x

xdx =

∫ln x d(ln x) =

1

2ln2 x + C





Por partes

Sabemos que:

d(u(x) · v(x)) = v(x) · u′(x) · dx + u(x) · v ′(x) · dx

d(u(x) · v(x)) = v(x) · d(u(x)) + u(x) · d(v(x))

Despejando, nos queda:∫u(x) · d(v(x)) =

∫d(u(x) · v(x))−

∫v(x) · d(u(x))

∫u(x) · dv(x) = u(x) · v(x)−

∫v(x) · du(x)





Ejemplo

Calcular

∫(2x + 1)ex dx

Tomamos las partes

{u(x) = 2x + 1⇒ du(x) = 2dxdv(x) = exdx ⇒ v(x) = ex∫

(2x + 1)ex dx = (2x + 1)ex −∫

2ex dx

= (2x + 1)ex − 2ex + C = (2x − 1)ex + C





Racionales

∫P(x)

Q(x)dx

Donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.





Ejemplo

Calcular

∫x3 − 4

x2 + x − 2dx

1 El grado P(x) > grado Q(x) tenemos que dividir,

x3 − 4

x2 + x − 2= x − 1 +

3x − 6

x2 + x − 2

2 Descomponemos3x − 6

x2 + x − 2, en fracciones simple

3x − 6

x2 + x − 2=−1

x − 1+

4

x + 2

3

∫x − 1− 1

x − 1+

4

x + 2dx =

1

2x2−x− ln |x−1|+4 ln |x+2|




Conocimientos previoEl area plana es una primitiva de una funcionAplicaciones de la integral definida

INTEGRAL DEFINIDA





CONOCIMIENTOS PREVIOS





TEOREMA de WEIERSTRASSSi la funcion f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] entonces alcanza elmaximo y el mınimo absoluto en dicho intervalo.


https://es.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrass




TEOREMA de BOLZANOSi f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y el signo{f (a)} 6= signo{f (b)}entonces ∃c ∈ (a, b)/f (c) = 0.


https://es.wikipedia.org/wiki/Bernard_Bolzano




TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIOSi f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y α ∈ R/f (a) < α < f (b)entonces ∃c ∈ (a, b)/f (c) = 0.





Corolario

Si f : [a, b] −→ R es continua en [a, b] y α ∈ R/m < α < Msiendo m = mın {f }[a,b] y M = max {f }[a,b] entonces∃c ∈ (a, b)/f (c) = α

DemostracionPor el teorema de Weierstrass f alcanza elmaximo y el mınimo en [a, b]. Sea A(x1, f (x1))donde alcanza el mınimo y M(x2, f (x2)) dondealcanza el maximo. Tomamos el intervalo[x1, x2] ⊂ [a, b] y definimos en el la funciong(x) = f (x)− α.g cumple Bolzano en el intervalo [x1, x2] yaque es contınua y se verifica:g(x1) = f (x1)−α < 0 y g(x2) = f (x2)−α > 0,por tanto ∃c ∈ (a, b)/g(c) = 0⇒ f (c) = α





EL AREA COMO PRIMITIVA DEUNA FUNCION





Cosideremos el area plana delimitada por la grafica de la funcion f ,el eje OX y las ordenadas correspondiente a los valores x = a yx = b





m(b − a) ≤ S





S ≤ M(b − a)





m(b − a) ≤ S ≤ M(b − a)





m ≤ S

b − a≤ M

Y por el teorema del valor intermedio ir al teorema





∃c ∈ [a, b] /S

b − a= f (c)⇒ S = f (c)(b − a)





S(x)





S(x + ∆x)





S(x + ∆x)− S(x)





S(x + ∆x)− S(x) = f (c) ·∆x con c ∈ (x , x + ∆x)





Teorema Fundamental del Calculo Integral

lım∆x→0

S(x + ∆x)− S(x)

∆x= lım

c→xf (c) = f (x)

S ′(x) = f (x)⇒ S(x) =

∫ x

af (x) dx





Regla de Barrow

Si F : [a, b] −→ R es una primitiva de f : [a, b] −→ R se verifica:∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a)

DemostracionSi F (x) es una primitiva de f (x), sabemos que

S(x) =

∫ x

af (x) dx tambien es una primitiva de f (x).

Pero dos primitivas cualesquiera se diferencian en unaconstante C .Por tanto, podemos escribir: S(x)− F (x) = CHaciendox = a⇒ S(a)− F (a) = C ⇒ 0− F (a) = Cx = b ⇒ S(b)− F (b) = C ⇒ S(b) = F (b)− F (a)⇒∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a)


https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrow




APLICACIONES DE LA INTEGRALDEFINIDA





Ejemplo

Calcular el area comprendida entre la curva f (x) = ln x , el ejeOX y las ordenadas correspondientes a x = 2 y x = 5

Solucion

S =

∫ 5

2ln x dx . Calculamos por partes la

integral.

Tomamos las partes{u(x) = ln x ⇒ du(x) =

1

xdx

dv(x) = dx ⇒ v(x) = x∫ln x dx = x · ln x−

∫x

1

xdx = x · ln x−x

S = x · ln x − x]52 = 5 ln 5− 5− (2 ln 2− 2)

S = 5 ln 5− 2 ln 2− 3 ∼= 3, 661 u2





Ejemplo

Calcular el area comprendida entre las curvas f (x) = x3 − 2x2 + x − 1, yg(x) = −x2 + 3x − 1 y que se encuentra en el primer y cuarto cuadrante.

Solucion

Calculamos los puntos de corte de las dos curvas.

x3 − 2x2 + x − 1 = −x2 + 3x − 1⇒

x3 − x2 − 2x = 0

x1 = −1x2 = 0x3 = 2

En nuestro problema tomamos x2 = 0 y x3 = 2

El area viene dada por:

S =

∫ 2

0g(x)− f (x) dx =

∫ 2

0(−x3 + x2 + 2x) dx

=−x4

4+

x3

3+ x2

]2

0

= −4 +8

3+ 4 =

8

3u2


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