Calculo Integral

Procesos Industriales de Área Manufactura

Tema: Series de Fourier

Alumna: María Guadalupe Muñoz Puente

Grupo: 4 A

Procesos Industriales de Área Manufactura

Series de Fourier

Alumna: María Guadalupe Muñoz Puente

9 de Diciembre del 2016

mbre del 2016

Serie de Fourier

De acuerdo a lo anterior se puede aplicar la serie de Fourier

a todas las funciones periódicas.

Primero que nada una función periódica es aquella función,

continua o discreta que cumpla con estas características.

F(t)=F(t+T), donde T es el periodo, para el caso de las

funciones continuas.

F[N]=F[N+T], donde T es el periodo , para el caso de las

funciones discretas.

Ejemplo de funciones periódicas

se puede aplicar a cualquier función continua por partes que

cumpla las siguientes condiciones.

Siendo discontinua, tenga un número finito de discontinuidades en el

periodo T;

Tenga un valor, medio finito en el período T:

Incluya un número finito de máximos positivos y negativos en el período T.

Cumpliéndose 1,2,3(*) se puede tener dos maneras

De escribir la serie de Fourier, estas son:

Serie de Fourier Trigonométrica

Serie de Fourier Exponencial.

Ejemplo de funciones periódicas

Función periódica

continua por tramos

Función periódica

discreta.

se puede aplicar a cualquier función continua por partes que

las siguientes condiciones.

Siendo discontinua, tenga un número finito de discontinuidades en el

Tenga un valor, medio finito en el período T:

Incluya un número finito de máximos positivos y negativos en el período T.

Cumpliéndose 1,2,3(*) se puede tener dos maneras

De escribir la serie de Fourier, estas son:

Serie de Fourier Trigonométrica

Serie de Fourier Exponencial.

unción periódica

continua por tramos

unción periódica

discreta.

se puede aplicar a cualquier función continua por partes que

Siendo discontinua, tenga un número finito de discontinuidades en el

Incluya un número finito de máximos positivos y negativos en el período T.

Serie de Fourier

Es una serie infinita que conlleva a una función periódica y continua a trozos. Las series de

Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para

analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma

infinita de funciones sinusoidales mucho más simples como combinación de frecuencias

enteras.

Existen varias similitudes entre las técnicas del análisis de Fourier de

tiempo discreto y de tiempo continuo. Ejemplo:

Las razones básicas de la utilidad de representar señales en términos de

exponenciales complejas son las mismas para ambos análisis. La entrada y la salida de un sistema linealmente invariable en el tiempo de tiempo

discreto son expresadas como combinaciones lineales de exponenciales compleja,

entonces los coeficientes de la representación de la salida pueden ser expresados en

términos de los coeficientes de la combinación lineal que representa la entrada..

Una expansión trigonométrica de una función f(x) está dada por una sumatoria o serie del tipo:

Las expansiones trigonométricas surgieron en el siglo 18 durante estudios de vibración de cuerdas y otros fenómenos similares pero no fueron tratadas de una manera sistemática sino hasta que, en 1808, Jospeh Fourier escribió "La Teoría Analítica del Calor", donde realizó un estudio detallado de las series trigonométricas las cuales utilizó para resolver varios problemas relacionados con la conducción de calor.

Senos

Cosenos

Esta serie puede ser finita o

infinita.

Existen diversas razones para expandir una señaltrigonométrica. Por ejemplo, f(t) es una señal como podría ser la música que emite un instrumento musical, la descomposición de la función en la serie nos da las frecuencias de los componentes que forman la señal.

En este ejemplo t es la variable independiente y se refiere al tiempo.

2sin(t) -50sin(3t) +10sin(200t)

Señales como las anteriores veces por período. Por los coeficientes podemos ver que el que predomina es 50sin(3t).

Una tarea común en el análisis de señales

es la eliminación del ruido de alta frecuencia Otra tarea es la compresión de datos

Una serie de Fourier está dada por:

Encontrar a0, ak y bk para ak y bk están definidas por:

para

para

Existen diversas razones para expandir una señal como una serie

es una señal como podría ser la música que emite un instrumento musical, la descomposición de la función en la serie nos da las frecuencias de los componentes que forman la señal.

variable independiente y se refiere al tiempo.

50sin(3t) +10sin(200t)

eñales como las anteriores tienen componentes que vibran a 1, 3 y 200 veces por período. Por los coeficientes podemos ver que el que predomina

análisis de señales eliminación del ruido de alta frecuencia.

compresión de datos.

Una serie de Fourier está dada por:

para sustituirlas en la expresión anterior.

están definidas por:

k = 0,1,2,…, n.

k = 1,2,…, n.

Se expresa la señal como una

serie trigonométrica y se pone a

cero los coeficientes de las

frecuencias altas.

Expresar la función en términos de

una expansión trigonométrica y

conservar solo aquellos términos que

sean mayores a algún umbral de

tolerancia.

Nota: Solo se está

considerando

-pi a pi.

como una serie

es una señal como podría ser la música que emite un instrumento musical, la descomposición de la función en la serie nos da las

variable independiente y se refiere al tiempo.

componentes que vibran a 1, 3 y 200 veces por período. Por los coeficientes podemos ver que el que predomina

sustituirlas en la expresión anterior.

Se expresa la señal como una

serie trigonométrica y se pone a

cero los coeficientes de las

frecuencias altas.

Expresar la función en términos de

una expansión trigonométrica y

conservar solo aquellos términos que

sean mayores a algún umbral de

Solo se está

intervalos de

Cuando el coeficiente a0 está dividido entre 2, se puede abreviar su cálculo expresándolo de la siguiente forma:

Directamente se calcula a0 :

Se modifica la serie para que no dividiera entre 2 el coeficiente a0 ,

Resumir nuestra serie de Fourier:

Funciones pares e impares

Una función par es aquella que cumple con la condición de

Por ejemplo, la funciónmúltiplo de 2 es par.

Si f(x)=x2

Evaluar el ejemplo f(2) = 4

Una función impar cumple con la condición de quea cualquier potencia impar son ejemplos de funciones impares.

Para evaluar f(x)=x3 con

unciones pares e impares y sus respectivas integrales

Una función par es aquella que cumple con la condición de f(x) = f(

Por ejemplo, la función x2 o cualquier función elevada a una potencia

(2) = 4 y f(-2) = 4.

na función impar cumple con la condición de que f(-x) = -f(x). xa cualquier potencia impar son ejemplos de funciones impares.

con x=2 f(-2)=-8 y f(2)=8 por lo que

Función Par

integrales.

f(x) = f(-x).

o cualquier función elevada a una potencia

x3 o x elevado

por lo que –f(2)=-8.

Se debe de tener en cuenta que la multiplicación de dos funciones:

Par y Par = Función Par

Par e Impar = Función Impar

Impar e Impar = Función Par

Esto es importante, ya que existen dos teoremas que

indican que la integral para el intervalo [

las funciones impares y, para las pares, es igual a 2

veces la integral de [0,a].

Función Impar

tener en cuenta que la multiplicación de dos funciones:

Par y Par = Función Par

Par e Impar = Función Impar

Impar e Impar = Función Par

ya que existen dos teoremas que

indican que la integral para el intervalo [-a,a] es 0 para

las funciones impares y, para las pares, es igual a 2

veces la integral de [0,a].

tener en cuenta que la multiplicación de dos funciones:

viceversa, si nuestra función es impar, podemos dar por hecho que ak será 0 y simplemente

Ahora bien, haremos un ejemplo sencillo para ilustrar el proceso de expansión en su serie trigonométrica para la funciónde [-pi,pi].

1.-Empezamos por encontrar

2.- Ahora encontramos ak

Para resolver estas integrales

Sabiendo que seno es impar y coseno es par, Podemos simplificar nuestros cálculos si nuestra funcíón a expandir es par o impar.

Si es par, podemos dar por hecho que bk será cero y simplemente calcular

viceversa, si nuestra función es impar, podemos dar por hecho será 0 y simplemente calcular bk.

Ahora bien, haremos un ejemplo sencillo para ilustrar el proceso de expansión en su serie trigonométrica para la función f(x)=x2

Empezamos por encontrar a0:

k:

Para resolver estas integrales se utiliza la integración por partes

Sabiendo que seno es impar y coseno odemos simplificar nuestros

cálculos si nuestra funcíón a expandir es par

Si es par, podemos dar por hecho será cero y simplemente calcular ak o

viceversa, si nuestra función es impar, podemos dar por hecho

Ahora bien, haremos un ejemplo sencillo para ilustrar el proceso de en el intervalo

integración por partes:

como sabemos que nuestra función es par, entonces sabemos que bk es cero.

Por lo tanto:

Sustituyendo, nuestra serie está dada por:

Para encontrar los 4 primeros términos tendríamos que la serie seria:

Coseno de cualquier múltiplo par de pi es 1 y de cualquier múltiplo non de pi es -1:

Conclusión:

La serie de Fourier nos permite vertir una función periódica en una

función equivalente en sumarios. Analizar la prioridad de dichas

funciones nos evita el cálculo innecesario de otros términos se la serie

de Fourier por que se anulan. En este caso la función fue par por

cumplir condiciones de prioridad par y por que gráficamente se

observa la igualación de dos áreas en el periodo.