Universidad Autonoma del Estado de Hidalgo

Instituto de Ciencias Basicas e IngenierıaLic. En Fısica y Tecnologıa Avanzada

Academia de Matematicas y Fısica

C A L C U L O I N T E G R A L

Palomares Maldonado Hector Miguel

2

Indice

1. Tarea 1 4

2. Tarea 2 8

3. Tarea 3 12

4. Tarea 4 17

5. Tarea 5 21

6. Tarea 6 25

7. Tarea 7 28

8. Tarea 8 35

9. Tarea 9 41

10.Tarea 10 48

11.Tarea 11 52

12.Tarea 12 54

3

1. Tarea 1

1. Definir las funciones f(x) = sen(x) y f(x) = tan(x) de manera que sean biyectivas. De este modoexistira la funcion inversa de cada una. ¿Que se necesita para que la funcion inversa sea diferenciable?.Encuentre las derivadas de las funciones inversas

sea f−1(x) = arc senx y f(x) = senx

f(f−1) = sen(arc senx) = x

sen(f−1(x)) = x

cos(f−1(x))df−1

dx= 1

±√

1 + sen2(f−1(x))df−1

dx= 1

±√

1 + sen2(f−1(x))df−1

dx=

1

±√

1 + sen2(f−1(x))

en [−π/2, π/2] el coseno es positivo, entonces

sen2(f−1) = sen2(arc sen(x))

sen2(f−1) = [sen(arc sen(x))][sen(arc sen(x))] = x

d(arc sen(x))

dx=

1√1− x2

sea f−1(x) = arc tanx y f(x) = tanx

tan(f−1(x)) = x

tan(f−1(x))df−1

dx= 1

d tan(g−1(x))

dx= 1

sec2(g−1(x))df−1

dx= 1

d(g−1(x))

dx=

1

sec2(g−1))

d(g−1(x))

dx=

1

1 + tan2(g−1))

tenemos que:

tan2(g−1(x)) = [tan(arc tan(x))][tan(arc tan(x))]

tan2(g−1(x)) = x2

d(g−1(x))

dx=

1

1 + x2

d[arc tan(x)]

dx=

1

1 + x2

en [−π/2, π/2] el coseno es positivo, entonces

sen2(f−1) = sen2(arc sen(x))

sen2(f−1) = [sen(arc sen(x))][sen(arc sen(x))] = x

d(arc sen(x))

dx=

1√1− x2

4

2. Trazar, en un mismo sistema de coordenadas, las graficas de las siguientes funciones y mencionarsimilitudes y diferencias.

a) f(x) = sen(x) f(x) = sen−1(x) f(x) = csc(x)

b) f(x) = tan(x) f(x) = arctan(x) f(x) = cot(x)

En los ejercicios 3 - 11, hallar L(f, P ) y U(f, P )

3. f(x) = 2x, x ∈ [0, 1], P = {0, 1/4, 1/2, 1}

Lf (P ) = 0

(1

4

)+

1

2

(1

4

)+ 1

(1

2

)=

5

8Uf (P ) =

1

2

(1

4

)+ 1

(1

4

)+ 2

(1

2

)=

11

8

4. f(x) = 1− x, x ∈ [0, 2], P = {0, 1/3, 3/4, 1, 2}

Lf (P )2

3

(1

3

)+

1

4

(5

12

)+0

(1

4

)−1(1) = − 97

144Uf (P ) = 1

(1

3

)+

2

3

(5

12

)+

1

4

(1

4

)=

97

144

5. f(x) = x2, x ∈ [−1, 0], P = {−1,−1/2,−1/4, 0}

Lf (P ) =1

4

(1− 1

2

)+

1

16

(1

2− 1

4

)=

9

64

Uf (P ) = 1

(−1

2+ 1

)+

1

4

(−1

4+

1

2

)+

1

16

(1

4

)=

37

64

6. f(x) = 1− x2, x ∈ [0, 1], P = {0, 1/4, 1/2, 1}

Lf (P ) =15

16

(1

4− 0) +

3

4

(−1

2− 1

4

)=

27

64

Uf (P ) = 1

(1

4− 0

)+

15

16

(1

2− 1

4

)+

3

4

(1− 1

2

)=

55

64

7. f(x) = 1 + x3, x ∈ [0, 1], P = {0, 1/2, 1}

Lf (P ) =1

2+

9

8

(1

2

)=

17

16Uf (P ) =

9

8

1

2+ 2

(1

2

)=

25

16

8. f(x) =√x, x ∈ [0, 1], P = {0, 1/25, 4/25, 9/25, 16/25, 1}

Lf (P ) =1

5

(3

25

)+

2

5

(5

25

)+

3

5

(7

25

)+

4

5

(9

25

)=

14

25

Uf (P ) =1

5

(1

25

)+

2

5

(3

25

)+

3

5

(5

25

)+

4

5

(7

25

)+ 1

(9

25

)=

19

25

9. f(x) = sen(x), x ∈ [0, 7], P = {0, 1/6π, 1/2π, π}

Lf (P ) = 0

(1

6π

)+

1

2

(1

3π

)+ 0

(1

2π

)=π

6Uf (P ) =

1

2

(1

6π

)+ 1

(1

3π

)+

(1

2π

)=

11

12π

10. f(x) = cos(x), x ∈ [0, 7], P = {0, 1/3π, 1/2π, π}

Lf (P ) =1

2

(π2− π

3

)− 1

(1− π

2

)= −π

3

Uf (P ) = 1(π

3

)+

1

2

(π2− π

3

)=

5π

12

5

11. Usando la definicion de integral con una particion regular, calcule las integrales desde a hasta b de lasfunciones f(x) = k, f(x) = xn, n = 1, 2, 3.

f(x) = kDado una particion P y k una constanteP {t0,1 , t2 . . . tn} tenemos:

L(f, p) =

n∑i=1

mi(ti − ti−1) pero como es una constante

a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 < t5 < . . . < tn < bmi = k∀x ∈ [a, b] Dado esto, tenemos:

k

n∑i=1

(ti − ti−1 = k(b− a)

P {t0,1 , t2 . . . tn} tenemos:

U(f, p)

n∑i=1

Mi(ti − ti−1) pero como es una constante

a = t0 < t1 < t2 < t3 < t4 < t5 < . . . < tn < bMi = k∀x ∈ [a, b] Dado esto, tenemos:

k

n∑i=1

(ti − ti−1 = k(b− a)

por lo tanto

∫ b

a

k = k(b− a)

para f(x) = xtenemos L(f, p) y U(f, p) como:L(f, p) = t20(t1 − t0) + t21(t2 − t1) + . . .+ t2n−1(tn − tn−1)U(f, p) = t21(t1 − t0) + t22(t2 − t1) + . . .+ t2n(tn − tn−1)

xj−1 ≤(xj − xj−1

2≤ xj

xj−1(xj − xj−1) ≤x2j − x2j−1

2≤ xj(xj − xj−1)

sumando desde i = 1 hasta i = n

L(f, p) ≤(x21 − x20) + (x22 − x21) + (x23 − x22) + (x24 − x23) + . . .+ (x2n − x2n−1

2≤ U(f, p)

simplificado la suma tenemos

L(f, p) ≤ x2n − x202

≤ U(f, p)

L(f, p) ≤ b2 − a2

2≤ U(f, p)

por lo tanto:∫ baxdx =

b2 − a2

2

si f(x) = x2

tenemos L(f, p) y U(f, p) como:L(f, p) = t20(t1 − t0) + t21(t2 − t1) + . . .+ t2n−1(tn − tn−1)U(f, p) = t21(t1 − t0) + t22(t2 − t1) + . . .+ t2n(tn − tn−1)dado a L(f, p) y U(f, p)

ti−1 ≤t2i−1 + ti−1ti + t2i

3≤ ti

multiplicando por t1 − ti−1

ti−1(t1 − ti−1) ≤(t2i−1 + ti−1ti + t2i

3

)(t1 − ti−1) ≤ ti(t1 − ti−1)

ti−1(t1 − ti−1) ≤ t2i−1t1 + ti−1t2i + t3i − t3i−1 − t2i−1ti − ti−1t2i ≤ ti(ti − ti−1)

agrupando en una suman∑i=1

ti−1(ti − ti−1) ≤n∑i=1

t3i − t3i−13

≤n∑i=1

ti(ti − ti−1)

6

L(f, p) ≤ b3 − a3

3≤ U(f, p)

finalmente Obtenemos∫ baxdx =

b3 − a3

3

12. Dada P = t0, t1, . . . , tn una particion arbitraria de [a, b] hallar L(f, P ) y U(f, P ) para f(x) = x + 3,

usar estas respuestas para evaluar

∫ b

a

f(x)dx .

Lf (P ) = (x0 + 3)(x1 − x0) + (x1 + 3)(x2 − x1) + (x2 − 3)(x3 − x2) + . . .+ (xn−1 − 3)(xn − xn−1)

Uf (P ) = (x1 + 3)(x1 − x0) + (x2 + 3)(x2 − x1) + (x3 − 3)(x3 − x2) + . . .+ (xn − 3)(xn − xn−1)

f (x) = x+ 3

xj−1 + 3 ≤∫ b

a

1

2(xj−1 − xj) + 3 ≤ xj + 3

Multiplcamos esta desigualdad por xj − xj−1

(xj−1 + 3)(xj−1 − xj) ≤∫ b

a

1

2(x2j + x2j−1) + 3(xj − xj−1) ≤ (xj + 3)(xj−1 − xj)

Lf (P ) ≤ 1

2(x1 − x0) + 3 (x1 − x0) + . . .+

1

2(xn − xn−1) + 3 (xn − xn−1) ≤ Uf (p)

quedando solo1

2

(x2n − x20

)+ 3 (xn − x0) =

1

2

(b2 − a2

)+ 3(b− a)

en conclusion∫ a

b

f(x)dx =1

2

(b2 − a2

)+ 3(b− a)

13. Demuestre por induccion: 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 5 + . . .+ n(n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3Demostracion

Sea f(n) 12 + 23 + 34 + 45...n(n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3

Entonces para f(1)(1) (2) (3)

3= 2 vemos que cumple

Hipotesis inductiva f(k) es verdadera, es decir

(1) (2) + (2) (3) + (3) (4) + ....k (k + 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3

Sumando (k + 1)(k + 2) a la hipotesis inductiva tenemos

(1) (2) + (2) (3) + (3) (4) + ....k (k + 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3

k (k + 1) (k + 2)

3+ (k + 1) (k + 2) =

(k + 1) (k + 2) (k + 3)

3

Factorizando por (k + 1)(k + 2) se tiene

(k + 1) (k + 2)

(1 +

k

3

)=

(k + 1) (k + 2) (k + 3)

3

queda desmostrado y lo que prueba que p(n) es verdadera para todo n

7

2. Tarea 2

Graficar las funciones F , cuando sea posible, en un dispositivo electronico

1. Suponiendo que

∫ 4

1

f(x)dx = 5,

∫ 4

3

f(x)dx = 7,

∫ 8

1

f(x)dx = 11

hallar

a.

∫ 8

4

f(x)dx =

∫ 8

1

f(x)dx−∫ 4

1

f(x)dx = 11− 5 = 6

b.

∫ 3

4

f(x)dx = −∫ 3

4

f(x)dx = −7

c.

∫ 3

1

f(x)dx =

∫ 4

1

f(x)dx−∫ 4

3

f(x)dx = 5− 7 = −2

d.

∫ 8

3

f(x)dx =

∫ 8

1

f(x)dx−[∫ 4

1

f(x)dx−∫ 4

3

f(x)dx

]= 11− (−2) = 13

e.

∫ 4

8

f(x)dx = −[∫ 8

1

f(x)dx−∫ 4

1

f(x)dx

]= −6

f.

∫ 4

4

f(x)dx = 0

2. Usar sumas superiores e inferiores para demostrar que

0,6 <

∫ 1

0

dx

1 + x2< 1

sea p =

{0,

1

2, 1

}y g(x) =

1

1 + x2, x ∈ [0, 1]

L(g, p) =4

5

(1

2

)+

1

2

(1

2

)=

2

5+

1

4=

20

13

20

13>

1

2

U(g, p) =4

5

(1

2

)=

2

5< 1

dado:

0,6 < L(g, p) ≤∫ 1

0

dx

1 + x2≤ U(g, p) < 1

3. Sea F (x) =

∫ x

π

t sen tdt.

a. F (π) F (π) =

∫ x

π

t sen tdt = 0.

b. F ′(x)

dF (x)

dx

∫f(x)dx = f(x)

c. F ′(π/2)por el inciso anterior podemos decir

F ′(π2 ) =

∫ x

π

t sen tdt = t sen t =π

2sen(π

2

)=π

2

8

4. Sea F (x) =

∫ x

0

t(t− 3)2dt.

a. Hallar los puntos crıticos de F , determinar los intervalos de monotonıa (donde F es creciente ydecreciente) y los maximos y mınimos.

b. Determinar la concavidad de la grafica de F y hallar los puntos de inflexion, si existen.

c. Bosquejar la grafica de F

F ′(x) = x(x− 3)2

puntos de inflexion x = 3 y x = 1−∞, 0 0, 3 3,∞− + +

minimo en 0Observamos que es decreciente en (−∞, 0]y creciente en [0,∞)

F (x)′′ = (x− 3)2 + 2x(x− 3)F (x)′′ = x2 − 6x+ 9 + 2x2 − 6xF (x)′′ = 3x2 − 12x+ 9F (x)′′ = 3(x2 − 4x+ 3)

F (x)′′ = 3(x− 3)(x− 1)−∞, 1 1, 3 3,∞

x− 1 − + +x− 3 − − +

+ − +

es concava hacia arriba de (−∞, 1)∪ (3,∞)es concava hacia abajo en (1, 3)

5. Para la funcion dada, calcular F ′(−1), F ′(0), F ′(1/2), F ′′(x)

a. F (x) =

∫ x

0

dt

t2 + 9

F ′(x) =

∫ x

0

dt

t2 + 9F ′(x) =

dt

t2 + 9entonces

F ′(−1) =1

10F ′(0) =

1

9F ′(1/2) =

11

4+ 9

=4

37F ′′(x) =

2t

(t2 + 9)2

b. F (x) =

∫ x

1

cosπtdt

F ′(x) =

∫ x

1

cosπt = cosπt entonces

F ′(−1) = −1 F ′(0) = cos(0) = 1 F ′(1/2) = cos(π2 ) = 0 F ′′(x) = −π senπt

6. Hallar la derivada de F

a. F (x) =

∫ x3

0

t cos tdt.

Sug. Sea u = x3 y utilizar la regla de la cadena

Dado que u = x3 entoncesdu

dx= 3x2 y dado del ejercicio 3b Tenemos

dF

dx=dF

du

du

dxdF

dx= (u cosu)(3x2)

9

dF

dx= 3x5 cosx3

b. F (x) =

∫ cos x

1

√1− t2dt.

Haciendo u = cosxdu

dx= − senx

dF

dx=√

1− cos2 x · (− senx) =dF

dx= −(senx)2

c. F (x) =

∫ 1

x2

t− sen2 tdt.

Sug. −F (x) =∫ x2

1(t− sen2 tdt)

F (x) = −∫ x2

1

(t− sen2 tdt) y dado que u = x2du

dx= 2x

F ′(x)− d

dx

∫ x2

1

(u− sen2 u)du = 2x(sen2(x2)− x2

)d. F (x) =

∫ √x0

t2

1 + t4dt

sea u =√x

du

dx=

1

2√x

df

dx=

d

dx

∫ u

0

u2

1 + u4=

u2

1 + u4du =

x

2√x(1− x2)

7. Sea F (x) = 2x+

∫ x

0

sen 2t

1 + t2dt. Determinar F (0), F ′(0), F ′′(0)

F (0) = 0

F ′(x) =d

dx(2x) +

d

dx

∫ x

0

sen 2t

1 + t2dt = 2 +

sen 2x

1 + x2

F ′(0) = 2 +sen 0

1= 2

F ′′(t) =d

dx

(2 +

sen 2x

1 + x2

)=

2(1 + x2)(cos 2x)− 2x(sen 2t)

(1 + x2)2=

2(cos 2x)

1 + x2− 2x(sen 2x)

(1 + xt2)=

2 cos 0

1−0 = 2

8. Bosquejar la grafica de la funcion f(x) =

{2− x, si 0 ≤ x < 1;2 + x, si 1 < x ≤ 3.

Hallar la funcion F (x) =

∫ x

0

f(t)dt con x ∈ [0, 3] y bosquejar su grafica. ¿Que se puede decir sobre f y F en

x = 1?Por una parte Tenemos

F (x) =

∫(2− x)dx = 2x− x2

2y F (x) =

∫(2 + x)dx = 2x+

x2

2

es continua pero no diferenciable

10

9. Demostrar el Primer Teorema del valor medio para Integrales. Si f es continua en [a, b], entonces existe almenos un numero c en (a, b) tal que ∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a)

Sug. Aplicar el Teorema del valor medio a la funcion F (x) =

∫ x

a

f(t)dt en [a, b]

f(c+ h)− f(c) =

∫ c+h

a

f(t)dt−∫ c

a

f(t)dt

f(x+ h)

∫ c

a

f(t)dt+

∫ c+h

c

f(t)dt−∫ c

a

f(t)dt

f(c+ h)− f(c) =

∫ c+h

c

f(t)dt

Si dividimos entre hf(c+ h)− f(c)

h=

1

h

∫ c+h

c

f(t)dt

por otra parte sabemos que: f(U,P ) ≤ 1

h

∫ c+h

c

f(t)dt ≤ f(L,P )

y por lo anterior tenemos

f(U,P ) ≤ f(c+ h)− f(c)

h≤ f(L,P )

y como f esta entre [c, c + h] cuando h → 0 y cuando esto sucede f(U,P ) = f(L,P ) = f(c), Calculado ellimite, tenemos

lımh→0

f(I, P ) ≤ lımh→0

f(c+ h)− f(c)

h≤ lımh→0

f(L,P )

f(c) ≤ F ′(c) ≤ f(c)

por lo que queda demostrado que F ′(c) = f(c)

10. Sea f continua y F definida por

F (x) =

∫ x

c

[t

∫ t

1

f(u)du]dt

Hallar F ′(x), F ′(1), F ′′(x), F ′′(1)

F ′(x) =d

dx

[∫ x

c

(x

∫ t

1

f(u)du

)dt

]= x

∫ x

1

f(u)du

F ′(1) = x

∫ 1

1

f(u)du = 0

F ′′(x) =d

dx

[x

∫ x

1

f(u)du

]= x · f(x) +

∫ x

1

f(u)du

F ′′(1) = f(x) + 0 = f(x)

11

3. Tarea 3

En los ejercicios 1-3 determine el numero c del Teorema del valor medio para la integral que se indica.

1.

∫ 3

1

x2dx

f(c)(b− a)∫ 3

1

x2dx = c2(3− 1)

33

3− 1

3= 2c2

26

3= 2c2

c =

√26

6

2.

∫ 3

0

(x2 + 1)dx

f(c)(b− a)∫ 3

0

(x2 + 1)dx = (c2 + 1)(3− 0)

(3)3

3+ (3)dx = 3c2 + 3 c =

√8

3

3.

∫ 2

0

x3dx

f(c)(b− a)∫ 2

0

x3dx = c3(2− 0)

(2)4

4= 2c3

c = 3√

2

En los ejercicios 4− 22 calcule la integral que se indica.

4.

∫ 5

0

(x3 − 2x2 + x− 2)dx∫ 5

0

(x3 − 2x2 + x− 2)dx =

∫ 5

0

x3dx− 2

∫ 5

0

x2dx+

∫ 5

0

xdx− 2

∫ 5

0

dx =x4

4

∣∣∣∣50 − 2x3

3

∣∣∣∣50 +x2

2

∣∣50 − 2x|50

=625

4+

250

3+

25

2+ 10 =

787

3

5.

∫ 2

−1(2x+ x2 + x3)dx∫ 2

−1(2x+ x2 + x3)dx = 2

∫ 2

−1xdx+

∫ 2

−1x2dx+

∫ 2

−1x3dx = x2|2−1 +

x3

3+x4

4

(2)2 − (−1)2 +(2)3

3− (−1)3

3+

(2)4

4− (−1)4

4=

39

4

6.

∫ 3

2

(1− 3x

2

)2

dx∫ 3

2

(1− 3x

2

)2

dx =

∫ 3

2

(1− 3x+

9x2

4

)dx =

∫ 3

2

dx− 3

∫ 3

2

xdx+9

4

∫ 3

2

x2dx = x|32 −3x2

2

∣∣∣∣32 +3x3

4

∣∣32

= 3− 2−(

3(3)2

2− 3(2)2

2

)+

(3(3)3

4− 3(2)3

4

)=

31

4

12

7.

∫ 5

1

x3 − 1

x3dx∫ 5

1

x3 − 1

x3dx =

∫ 5

1

dx−∫ 5

1

1

x3dx = x|51 +

1

2x2

∣∣∣∣51 = 5− 1 +1

2(5)2− 1

2(1)2=

88

25

8.

∫ 3

1

(x+ 2)2

x5dx∫ 3

1

(x+ 2)2

x5dx =

∫ 3

1

x2 + 2x+ 4

x5dx =

∫ 3

1

1

x3dx+ 2

∫ 3

1

1

x4dx+ 4

∫ 3

1

1

x5dx

= − 1

2x2

∣∣∣∣31 − 2

3x3

∣∣∣∣31 − 1

x4

∣∣∣∣31 =

(1

2(3)2− 1

2(1)2

)−(

2

3(3)3− 2

3(1)3

)−(

1

(3)4− 1

(1)4

)=

4

9+

52

81+

80

81=

56

27

9.

∫ 4

2

√x− 23√x2

dx∫ 4

2

√x− 23√x2

dx =

∫ 4

2

dx

x1/6− 2

∫ 4

2

dx

x2/3=

6

56√x5

∣∣∣∣42 − 33√x

∣∣42

=

(6

5 6√

(4)5− 6

5 6√

(2)5

)−(

33√

2− 3

3√

2

)= 0,1957190890928276257

10

∫ 4

0

(x

23 − x 3

2

)dx

∫ 4

0

x2/3dx−∫ 4

0

x3/2dx =3x5/3

5

∣∣∣∣40 − 2x5/2

5

∣∣∣∣40 =3(4)5/3

5− 2(4)5/2

5= −6,752378960

11.∫ 0

−4 |x+ 2|dx

12.

∫ 2

1

t3 − 2t− 1√t

dt∫ 2

1

t5/2 − 2

∫ 2

1

t1/2 −∫ 2

1

1√tdt

2

7x7/2

∣∣∣∣21 = −4

3x3/2

∣∣21 − 2

√x|21 = 3,3372

13.∫ π

4

−π4(cos2 v − sen2 v)dv∫ π

4

−π4(cos2 v − sen2 v)dv =

∫ π4

−π4(cos 2v)dv =

1

2sen 2v

∣∣∣∣π4−π4 =1

2sen(π2 )−

[−1

2sen(π2 )

]= 1

14.

∫ 4

0

√x(1− x)dx

∫ 4

0

√x(1− x)dx =

∫ 4

0

√xdx−

∫ 4

0

x3/2 =2x3/2

3

∣∣∣∣40 − 2x5/2

5

∣∣40

=

(2(4)3/2

3

)−(

2(4)5/2

5

)=

16

3− 64

5= −112

15

15.

∫ π4

0

sec2 xdx∫ π4

0

sec2 xdx = tanx|π40 = tan

(π4

)= 1

16.

∫ 0

−12z√

1− z2dz∫ 0

−12z√

1− z2dz = −2

3(1−x2)3/2

∣∣∣∣0−1 − [−2

3(1− x2)3/2

]= −2

3(1− 02)3/2 −

(−2

3(1− 02)3/2

)1 + 0 = 1

17.

∫ 1

0

√x+ 1dx∫ 1

0

√x+ 1dx =

3

2(x+ 1)3/2

∣∣∣∣∣10 =2

3(2)3/2 − 2

3=

4√

2

3− 2

3≈ 1,22ss

18.

∫dt

(2 + t)2=−1

2 + t+ c

13

19.

∫ π4

0

dx

cos2 x∫ π4

0

dx

cos2 x=

∫ π4

0

sec2 x = tanx|π/40 = tan(π

4) = 1

20.

∫ 1

−1

du

1 + u2∫ 1

−1

du

1 + u2= arc tanx|1−1 = arc tan(1)− arc tan(−1) =

π

2

21.

∫ 4

2

dx

1− cosx∫ 4

2

dx

1− cosx

(1− cosx

1− cosx

)=

∫ 4

2

1− cosx

sen2 x=

∫ 4

2

1

sen2 x−∫ 4

2

cosx

sen2 x

=cosx

senx

∣∣∣∣42 − 1

senx

∣∣42 = 3,74244

22. Demuestre que si f es integrable en [a, b], entonces∣∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(t)|dt

puesto a la propiedad |f(t)| ≤ f(t) → −f(t) ≤ f(t) ≤ f(t) se sigue cumpliendo si, −|f(t)| ≤ f(t) ≤

|f(t)| y tambien para −∫ b

a

|f(t)| ≤∫ b

a

f(t) ≤∫ b

a

|f(t)| por lo tanto

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(t)dt

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(t)|dt

23. Halle F ′(x) si

F (x) =

∫ x

0

xf(t)dt

Sug La respuesta no es xf(x), debe realizarse una manipulacion obvia en la integral antes de intentarcalcular F ′

esta derivada la podemos ver, como la del producto. Entonces tenemos

F ′(x) = x

∫ x

0

f(t)dt

F (x) = xf(x) +

∫ x

0

f(t)dt

24. Demuestre que si f es continua, entonces∫ x

0

f(u)(x− u)du =

∫ x

0

(∫ u

0

f(t)dt

)du

Sug Derive ambos lados de la igualdad y use el problema anterior.

Tenemos

∫ x

0

f(u)(x− u)du se puede escribir como x

∫ x

0

f(u)du−∫ x

0

uf(u)du

La primera integral se realiza como el ejercicio anterior, quedando

x

∫ x

0

f(u)du = xf(x) +

∫ x

0

f(u)du

14

y la segunda integral :

−∫ x

0

uf(u)du = −xf(x)

juntando los resultados de las integrales anteriores

xf(x) +

∫ x

0

f(u)du− xf(x)∫ x

0

f(u)du = c

25. Demuestre que si h es continua, f y g son diferenciables, y

F (x) =

∫ g(x)

f(x)

h(t)dt,

entonces F ′(x) = h(g(x)) · g′(x) − h(f(x)) · f ′(x). Sug Intente reducir el problema a los dos casos yaconocidos, con una constante como lımite de integracion inferior o superior.

Caso 1si F (x) =

∫ g(x)0

h(t)dt,entoncesF ′(x) = h(g(x)) · g′(x)

Caso 2

F (x) =

∫ 0

f(x)

h(t)dt, si cambiamos los limi-

tes de integracion

F (x) = −∫ f(x)

0

h(t)dt,

F ′(x) = −h(f(x))f ′(x)

En conclusion obtenemos dado a F (x) =

∫ g(x)

0

h(t)dt+

∫ 0

f(x)

h(t)dt

F ′(x) = h(g(x)) · g′(x)− h(f(x)) · f ′(x)

En los ejercicios 26− 35 calcule la derivada que se indica.

26.d

dx

∫ x

0

t sen t dt = x senx

27.d

dx

∫ 1x

1

√t dt =

√1

x(lnx)

28.d

dx

∫ 3√x

√x

sen t6 dt =d

dx

(∫ 3√x

0

sen t6 dt−∫ √x0

sen t6 dt

)sen t6 dt = 6( 3

√x)5 sen( 3

√x)6− 6

√x5

sen(√x)6

29.d

dx

∫ x2

0

cos√t dt = cos

√t · 2x

30.d

dx

∫ x3+1

0

√1 + t2 dt=

√1 + (x3 + 1)2 · 3x2

31.d

dx

∫ arc sen x

1

√1− sen t dt

√1− sen(arc senx)

(1√

1− x2

)

32.d

dx

∫ (x2+1)

1

cos 2xdt

t= 2x cos 2(x2 + 1)

33.d

dx

∫ csc2 x

2

dt

1 + t2=−2 csc2 x cotx

1 + csc4 x

15

34.d

dx

∫ x2

x

sen t2 dt

d

dx

∫ x2

0

sen t2dx−∫ x

0

sen t2dt = sen t2 dt = 2x senx4 − senx2

35.d

dx

∫ 1

x sen x

sen3√t+ 1

t2dt

− d

dx

∫ x sen x

1

sen3√t+ 1

t2dt =

sen3√

(x senx) + 1

(x senx)2(senx+ x cosx)

16

4. Tarea 4

En los ejercicios 1− 3, hallar el area comprendida entre la grafica de f y el eje x

1. f(x) = 2 + x3, x ∈ [0, 1]

A =

∫ 1

0

(2x+ 3)dx =

∫ 1

0

2dx+

∫ 1

0

x3dx =

[2x+

x4

4

]10

= 2 +1

4=

9

4

2. f(x) = x2 − 4, x ∈ [1, 2]∫ 2

1

(4− x2)dx = 4

∫ 2

1

dx−∫ 2

1

x2 =

[4x− x3

3

]21

=

(8− 8

3

)−(

4− 1

3

)=

5

3

3. f(x) = senx, x ∈ [π/3, π/2]∫ π2

π3

senxdx = [− cosx]π2π3

= 0− (−1

2) =

1

2

En los ejercicios 4− 11, dibujar la region limitada por las curvas y calcular su area.

4. y =√x, y = x2

∫ 1

0(√x− x2)dx =

∫ 1

0

√xdx−

∫ 1

0x2dx =

[2

3x3/2 − 1

2x3]10

=1

3

5. y = 5− x2, y = 3− x5− x2 = 3− xx2 − x+ 2 = 0 x = −1 x = 2

A =

∫ 2

−1[(5− x2)− (3− x)]dx = +

∫ 2

−1x2dx+

∫ 2

−1xdx2

∫ 2

−1dx =

[−x

3

3+x2

2+ 2x

]2−1

=

(−8

3− 1

3

)+(

2− 1

2

)+ (4− (−2)) =

9

2

6. y = 8− x2, y = x2

8−x2 = x2 x2 = 4 x = ±2

∫ 2

−2[(8−x2)−x2]dx = 8

∫ 2

−2dx−2

∫ 2

−2x2 =

[8x− 3

2x3]2−2

= (16− (−16))−(16

3+

16

3

)= 32− 32

3=

64

3

7. x3 − 10y2 = 0, x− y = 0

Tenemos que las funciones son : y = x y y =x3/2√

10los puntos de interseccion :

x =x3/2√

10√10 =

√x

x = 10 x = 0

A =

∫ 10

0

(x− x3/2√

10

)dx =

∫ 10

0

xdx− 1√10

∫ 10

0

x3/2dx =

[x2

2− 2

5√

10x5/2

]100

= 50− 2

5√

10(10)5/2= 10

8. x− y2 + 3 = 0, x− 2y = 0

las funciones son: y =x

2y = ±

√x+ 3 ∈ [−3, 2]

la interseccion de estas funciones es:x

2=√x+ 3 x = 6

x

2= −√x+ 3 x = −2

√x+ 3 = −

√x+ 3 x = −3

A =

∫ −2−3

(x+ 3)1/2dx−∫ −2−3− (x+ 3)1/2dx+

[int6−2(x+ 3)1/2 − 1

2

∫ 6

−2xdx

]A = 2

∫ −2−3

(x+ 3)1/2dx+

[∫ 6

−2(x+ 3)1/2 − 1

2

∫ 6

−2xdx

]A =

[4

3(x+ 3)3/2

]−2−3

+

[2

3(x+ 3)3/2

]6−2−[x2

4

]6−2

=4

3+

(9 +

1

3

)=

32

3

17

9. y0 = x, y1 = 2x, y2 = 4 en x = 2→ y1 = y2 en x = 4→ y0 = y2

A1 =

∫ 2

0

(2x− x)dx =

[x2 − x2

2

]20

= 2 A2 =

∫ 4

2

(4− x)dx =

[4x− x2

2

]42

= 2

A = A1 +A2 = 4

10. y = cosx, y = 4x2 − π2

¿cuando es cero la funcion? cosx = 0 → x =π

24x2 − π2 = 0 → x =

π

2A =

∫ π/2

π/2

[cosx − (4x2 −

π2]dx =

[senx− 3

4x3] + π2x

]π/2−π/2

= (1− (−1))−(π3

6+π3

6+

(π3

2+π3

3

)= 2 +

2π3

3

En los ejercicios 11− 16, calcular las integrales indefinidas

11.

∫dx√1 + x∫dx√1 + x

= 2√

1 + x+ c

12.

∫g(x)g′(x)dx

∫g(x)g′(x)dx =

[g(x)]2

2+ c

13.

∫tanx sec2 xdx∫secx(tanx secx)dx =

∫secx(tanx secx)′dx =

sec2 x

2+ c

14.

∫g′(x)

[g(x)]2dx∫

g′(x)

[g(x)]2dx =

−1

g(x)+ c

15.

∫4

(4x+ 1)2dx∫

4

(4x+ 1)2dx = − 1

4x+ 1+ c

16.

∫3x2

(x3 + 1)2dx∫

3x2

(x3 + 1)2dx = − 1

x3 + 1+ c

En los ejercicios 17− 21, hallar f a partir de la informacion dada

17. f ′(x) = 2x− 1, f(3) = 4 f(x) =

∫2xdx−

∫dx = x2 − x+ C

f(3) = (3)2 − 3 + C = 4 C = −2f = x2 − x− 2

18. f ′(x) = senx, f(0) = 2

f(x)

∫senxdx = − cosx+ C

f(0) = − cos(0) + C = 2 C = 3f(x) = 3− cosx

19. f ′′(x) = x2 − x, f ′(1) = 0, f(1) = 2

f ′(x) =

∫x2dx−

∫xdx =

x3

3− x2

2+ C1

f ′(0) =1

3− 1

2+ C = 2 C1

13

6f(x) =

∫x3

3−∫x2

2dx+

13

6

∫dx

18

20. f ′′(x) = cosx, f ′(0) = 1, f(0) = 2 f ′(x) =

∫cosxdx = senx+ C1

f ′(0) = sen(0) + C1 = 1 C1 = 1 f ′(x) = senx+ 1

f(x) =∫

senxdx+

∫dx = − cosx+ x+ C2

f(0) = − cos(0) + 0 + C2 = 2 C2 = 3 − cosx+ x+ 3

21. f ′′(x) = 2x− 3, f(2) = −1, f(0) = 3

f ′(x) = 2

∫xdx− 3

∫dx = x2 − 3x+ C1

f(x) =

∫x2dx− 3

∫xdx+ C1

∫dx =

x3

3− 3

x2

2+ C1x+ C2

f(2) =(2)3

3− 3(2)2

2+ 2C1 + C2 = −1

8

3− 6 + 2C1 + C2 = 1

f(0) k = 3

22. Comparard

dx

[∫f(x)dx

], con

∫d

dx[f(x)]dx

por una parte tenemosd

dx

[∫f(x)dx

]= f(x)

y la siguiente es:∫d

dx[f(x)]dx = f(x) + C

por lo que observamos qued

dx

[∫f(x)dx

]6=∫

d

dx[f(x)]dx

23. Calcular ∫[f(x)g′′(x)− g(x)f ′′(x)]dx

Sug. Calcule la derivada de f(x)g′(x)− f ′(x)g(x)Tenemos :∫

[f(x)g′′(x)− g(x)f ′′(x)]dx

le sumamos cero de tal forma f ′(x)g′(x)− f ′(x)g′(x)∫[f(x)g′′(x) + f ′(x)g′(x)− f ′(x)g′(x)− g(x)f ′′(x)]dx

rescribiendolo obtenemos:∫ [d

dx[f(x)g′(x)]− d

dx[f ′(x)g(x)]

]dx = f(x)g′(x)− f ′(x)g(x) + C

24. Un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con velocidad v(t) = 6t2−6 unidades por segundo.Su posicion inicial (t=0) es 2 unidades a la izquierda del origen. (a) Hallar la posicion del objeto 3segundos mas tarde. (b) Hallar la distancia total que viajo el objeto durante estos 3 segundos.

tenemos que la distancia esta dada por:

x(t) =

∫6t2dt− 6

∫dt = 2t3 − 6t+ C

x(0) = 2(0)− 6(0) + C = −2 C = −2 x(t) = 2t3 − 6t− 2x(3) = 2(3)3 − 6(3)− 2 = 34→ distancia total

25. Un objeto se mueve a lo largo de una linea con aceleracion a(t) = (t + 1)−1/2 unidades por segundocada segundo. (a) Hallar la funcion velocidad dado que la velocidad inicial es de 1 unidad por segundo.(b) Hallar la funcion de posicion dado que la velocidad inicial es 1 unidad por segundo y la posicioninicial es el origen.

tenemos que la aceleracion esta descrita por:a(x) =

∫(t+ 1)−1/2dt

19

a(t) = 2(t+ 1)1/2 + C1

v(0) = 2(0 + 1)1/2 + C1 = 1 C1 = −1por lo que la velocidad es:v(t) = 2(t+ 1)1/2 − 1

x(t) = 2

∫(t+ 1)1/2dt−

∫dt

x(t) =4

3(t+ 1)3/2 − t+ C2

x(0) =4

3(0 + 1)3/2 + C2 =

4

3+ C2 = 0 C2 = −4

3entonces:

x(t) =4

3(t+ 1)3/2 − t− 4

3

26. Un carro viaja a 100 Km/h desacelera a razon de 6m por segundo en cada segundo. (a) ¿ Cuantotardara el carro en detenerse por completo? (b) ¿ Que distancia es requerida para que el auto sedetenga por completo?

x = vtd

dtx =

d

dt(vt)

v = at+ v0 t =v − v0a

=−100km/h

−6m/s2=−27m/s

−6m/s2= 4,6s

∫vdt =

∫(v0 + at)dt

x = v0t+at2

2= (27,7m/s)(4,6s) +

6m/s2)(4,65s)2

2=

3197

50m = 63,94m

27. Un objeto que se mueve a lo largo del eje x con aceleracion constante a. Comprobar que

[v(t)]2 = v20 + 2a[x(t)− x0]

tenemos :

v(t) =

∫adt = at+ v0 sea v0 una constante

entonces:[v(t)]2 = (at+ v0)2 = a2t2 + 2atv0 + v20[V (t)]2 = a(at2 + 2tv0) + v20 [V (t)]2 = 2a( 1

2at2 + tv0) + v20 Por otro lado tenemos que

x(t) =∫

(at+ v0)dt =1

2at2 + v0t+ x0

sumando cero:[V (t)]2 = 2a( 1

2at2 + tv0) + v20 + x0 − x0

y por lo anterior tenemos:[v(t)]2 = v20 + 2a(x− x0)

28. Conforme una partıcula se va moviendo por el plano, su coordenada x varıa a razon de t2− 5 unidadespor segundo y su ordenada y varıa a razon de 3t unidades por segundo. Si la partıcula se encuentra enel punto (4, 2) en el instante t = 2, ¿donde se encontrara 4 segundos mas tarde?

x′(t) = t2 − 5 →x(t)=

∫(t2 − 5)dt =

t3

3− 5t+ c1

x(2) =8

3− 10 + c1 = 4 x =

34

3

x(t) =t3

3− 5t+

34

3y′(t) = 3t →y(t)=

∫3tdt =

3t2

2+ C2

y(2) =3(2)2

2+ C2 C2 = −4 y(6) =

3(6)2

2− 4 = 50 x(6) =

(6)3

3− 5(6) +

34

3=

160

3

despues de 4 segundos se encuentra en el punto :

(160

3, 50

)

20

5. Tarea 5

Use un dispositivo electronico para graficar y aproximar donde se requiera

En los ejercicios 1− 15, calcule las integrales

1.

∫ π2

0

cos3 t dt∫ π2

0

cos3 t dt =

∫cos2 tdt =

∫(1− sen t) cos tdt

sea u = sen t →du=cos tdt∫(1− u2)du =

∫du−

∫u2du = u− u3

3= senx|

π20 −

sen3

3

∣∣∣∣π20 =2

3

2.

∫ π

0

sen2 w dw∫ π

0

sen2 w dw =1

2

∫ π

0

dx− 1

2

∫ π

0

cos(2x)dx =1

2

∫ π

0

dx− 1

4

∫ π

0

2 cos(2x)dx =x

2

∣∣∣∣π0 − sen(2x)

4

∣∣∣π0 =π

2

3.

∫ π2

π4

cosx

sen3 xdx∫ π

2

π4

cosx

sen3 xdx =

∫ π2

π4

cotx csc2 xdx = −∫ π

2

π4

udu = −1

2u2 = −1

2csc2

∣∣∣∣π2π4 =1

2 sen2(x)

∣∣∣∣π2π4 =1

2 sen2(π2 )− 1

2 sen2(π4 )

−(

1

2− 1

2( 12 )

)= −1

2

4.

∫ π4

0

senx√cosx

dx

Realizando un cambio de variablesea u = cosx y du = senxdx∫ π

4

0

du

u1/2= −2

√u|

π40 = 2

√cosx|

π40 = 2− 23/2

5.

∫ π2

−π2sen3 u du∫ π

2

−π2(1− cos2 x) senudu) =

∫ π2

−π2senudu−

∫ π2

−π2cos2 u(− senu)du = −cos3 u

3

∣∣∣π2−π2 + cosu∣∣∣π2−π2 = 0

6.

∫ π4

0

sec32 x tanx dx∫ π

4

0

sec32 x tanx dx =

∫ π4

0

(secx)1/2 secx tanxdx

haciendo un cambio de variable u = secx y du = secx tanxdx∫u1/2du =

2

3u3/2

regresando a la variable

2

3(secx)3/2

∣∣∣∣∣π40 =

(2

3

)(21/4

2

)=

4√

2

3

7.

∫ 1

0

x

(x2 + 2)32

dx∫ 1

0

x

(x2 + 2)32

dx =1

2

∫ 1

0

2x

(x2 + 2)32

dx dado a un cambio de variable

1

2

∫du

u32

= −1

2

(−2√u

)

21

regresando a la variable

− 1√x2 + 2

∣∣∣∣10 =1

3

8.

∫ 1

0

t√1− t

dt

cambio de variable u = 1 − t du = −dx t = 1 − u −∫ 1

0

(1− u)√u

du = −∫ 1

0

du√u

+

∫ 1

0

udu√u

=

−∫ 1

0

du√u

+

∫ 1

0

udu√u

−∫du√u

+

∫udu√u

= −2√u+

2u3/2

3

−2√

1− t|10 +2(1− t)3/2

3

∣∣∣∣10 = −[0− 2] + [0− 23 ] =

4

3

9.

∫ 3

2

zdz

(1 + z)34

realizando el cambio de variable u = 1 + z du = dx∫udu

u3/4du−

∫du

u3/4=

∫u1/4du−

∫u−3/4du =

4

5u5/4 − 4u1/4

4

5(1 + z)5/4

∣∣∣∣32 − 4(1 + z)1/4|32 =4

5(1 + 3)5/4 − 4

5(1 + 2)5/4 −

(4(1 + 3)1/4 − 4(1 + 2)1/4

)=

16(4)1/4

5− 12(3)1/4

5−(4(41/4 − 4(3)1/4

)≈ 1,3668− 0,39255 ≈ 0,9743

10.

∫ 1

0

3x2 + 2x5√x3 + x2

dx

por un cambio de variable u = x3 + x2 du = (3x2 + 2x)dx∫du

u

1

5

=5u4/5

4

5(x3 + x2)

4

∣∣∣∣10 =5

2

11.

∫ 1

−1x√x2 + 1 dx

sea u = x2 + 1 du = 2xdx1

2

∫u1/2du =

u3/2

3(x2 + 1)3/2

3

∣∣∣∣1−1 =((1)2 + 1)3/2)

3− ((−1)2 + 1)3/2)

3= 0

12.

∫4x− 2

(x2 − x+ 1)13

dx∫4x− 2

(x2 − x+ 1)13

dx = 2

∫2x− 1

(x2 − x+ 1)13

dx

sea u = x2 − x du = (2x− 1)dx

2

∫du

u1/3= 2 · 3u2/3

2= 3u2/3 = 3(x2 − x)2/3

22

13.

∫sen5 x dx∫(cos2 x− 1)2 senxdx∫cos4 x senxdx− 2

∫cos2 x senxdx+

∫senxdx

−1

5cos5 x+

2 cos3 x

3− cosx

14.

∫(x2 − 4x+ 4)

23 dx∫

(x2 − 4x+ 4)23 dx =

∫((x− 2)2)

23 dx =

∫((x− 2))

43 dx

dado u = x− 2 du = dx∫u4/3du =

3u7/3

7=

3(x− 2)7/3

7

15.

∫x

1 + x4dx∫

x

1 + x4=

1

2

∫2x

1 + (x2)2=

1

2

∫du

1 + u2=

1

2ArcTanu =

1

2ArcTanx2

16. Sin realizar ningun calculo, hallar

a

∫ 1

−1x3√

1− x2dx

sea u = 1− x2 observe cuando remplacemos u y evaluemos en 1, y −1 sera 01− (1)2 = 0 1− (−1)2 = 0 Por lo tanto :∫ 1

−1x3√

1− x2dx = 0

b

∫ 1

−1(x5 + 3)

√1− x2dx

17. demuestre que los valores de la siguiente expresion no depende de x∫ sen x

− cos x

dt√1− t2

, x ∈ (0, π/2)

f =

∫ sen x

− cos x

dt√1− t2

f ′ =dt√

1− sen2 x− − senx√

1− cos2 x=

cosx√cos2 x

+senx√sen2 x

=cosx

cosx+

senx

senx= 1 + 1 = 2

18. Encuentre una funcion g tal que

a.

∫ x

0

tg(t)dt = x+ x2 b.

∫ x2

0

tg(t)dt = x+ x2

Sug. Observe que g no tiene que ser continua en 0.∫ x

0

t · g(t) = x+ x2

x · g(x) = 1 + 2x

g(x) =1

x+ 2

g esta definida en IR/ {0}

∫ x2

0

t · g(t) = x+ x2

x2 · g(x) = 1 + 2x

g(x) =1

x+

2

x

g esta definida en IR/ {0}

23

En los ejercicios 19− 22, supongamos que f es continua en [a, b] y que∫ baf(x)dx = 0

19. ¿Se deduce necesariamente que f(x) = 0, ∀x ∈ [a, b]? No, se observa que si se toma un intervalo (−c, c)y la funcion es impar.

20. ¿Se deduce necesariamente que ∃x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = 0? sidado f(x0) 6= 0 para todo x ∈ [a, b] si es continua f(x0) > 0 para todo x ∈ [a, b] o tambien f(x0) < 0

en cualquier caso

∫ b

a

f(x)dx 6= 0

21. ¿Se deduce necesariamente que

∫ b

a

|f(x)|dx = 0?

No, si a = −b tenemos:∫ b

−bxdx = 0 por otra parte

∫ b

a

|x|dx 6= 0

22. Se deduce necesariamente que∣∣∣∫ ba f(x)dx

∣∣∣ = 0?

si, Dado a que f(x) = 0 →

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x)

∣∣∣∣∣ = |0| = 0

23. Una varilla de longitud L esta colocada sobre el eje x desde x = 0 hasta x = L. Hallar la masa de lavarilla y su centro de masa si la densidad de la varilla varıa de manera directamente proporcional (a)a la raız cuadrada de la distancia a x = 0 y (b) al cuadrado de la distancia a x = L

su masa es M =

∫ L

0

k√xdx = k

[2

3x3/2

]L0

=2kL3/2

3

y el centro de masa esta dado por:

xm =1

M

∫ L

0

x(k√x)dx =

1

2kL3/2

3

∫ L

0

kx3/2dx =1

2kL3/2

3

[2kx5/2

5

]L0

xM =

2

5kL5/2

2

3kx3/2

=1

4L

24. Una varilla de masa M , que se extiende desde x = 0 hasta x = L, esta formada por dos partes de masasM1 y M2. Sabiendo que el centro de masa de la varilla completa esta situado en x = L/4 y que el centrode masa de la primera parte esta situado en x = L/8, determinar el centro de masa de la segunda parte.1

4LM =

1

8LM1 + xM2

M2

xM2=

1

M2

(1

4LM − 1

8LM1

)=L(2M −M1

8M2

24

6. Tarea 6

En los ejercicios del 1− 12 calcule las derivadas de las funciones dadas

1. f(x) = ln(√

3x− 1) f ′(x)1√

3x− 1(√

3x− 1)′ =

3

2√

3x− 1√3x− 1

=3

6x− 2

2. f(t) = t ln(t2) f ′(t) = t2t

t2+ ln(t2) = 2 + ln(t2)

3. f(x) = ln( senx

x

)f ′(x) =

1senx

x

(x cosx− senx

x2

)=

cosx

senx− 1

x2= cotx− 1

x2

4. h(t) = t2 ln(cos t) h′(t) = 2t ln(cos t)− t2 sentcos t

= 2t ln(cos t)− t2 tan t

5. g(t) = t(ln t)2 g′(t) = (ln t)2 + t ln t

(1

t

)= ln t(ln t+ 1)

6. f(x) = ln

(x+ 1

x− 1

)1

x+ 1

x− 1

(x+ 1

x− 1

)′=

1x+ 1

x− 1

((x− 1)− (x+ 1)

(x− 1)2

)=

−2

(x− 1)2

x+ 1

x− 1

=2

(x− 1)(x+ 1)=

2

x2 − 1

7. g(t) = ln

(t2

t2 + 1

)g(t) = ln

(t2

t2 + 1

)g′(t) =

1t2

t2+1

[2t(t2 + 1)− t2(2t)

(t2 + 1)2

]=

2

t(t2 + 1)

8. y = xxdy

dx= xx−1

9. f(x) = ln(x√x2 + 1) f ′(x) =

1

x√x2 + 1

(x√x2 + 1

)′=

1

x√x2 + 1

(√x2 + 1 + x

x√x2 + 1

)=

√x2 + 1 +

x2√x2 + 1

x√x2 + 1

=

√x2 + 1

(1 +

x2

x2 + 1

)x√x2 + 1

=

2x2 + 1

x2 + 1x

=2x2 + 1

x(x2 + 1)

10. y = (1 + cosx)sen x

ln y = ln(1 + cosx)sen x

ln y = senx ln(1 + cosx)eln y = esen x ln(1+cos x)

dy

dx= esen x ln(1+cos x)

[cosx

(senx

1 + cosx

)+ ln(1 + cosx) cosx

]11. y = (1 + x)

1x

ln y = ln(1 + x)1x

ln y =

(1

x

)ln(1 + x)

eln y = e(ln(1+x)

x

dy

dx= e(

ln(1+x)x )

x

1 + x− ln(1 + x)

x2

12. y =

(1 +

1

x

)xln y = ln

(1 +

1

x

)xln y = x ln

(1 +

1

x

)

25

y = ex ln(1+ 1x )

dy

dx= ex ln(1+ 1

x )

ln

(1 +

1

x

)− 1

1

x+ 1

En los ejercicios del 13− 29 evalue las integrales indefinidas

13.

∫dx

3x+ 2∫dx

3x+ 2=

1

3

∫3dx

3x+ 2= ln(3x+ 2) + C

14.

∫dx

1 + 3x2∫x

1 + 3x2dx =

1

6

∫6xdx

1 + 3x2=

1

6ln(1 + 3x2) + C

15.

∫x2

4− x3∫x2

4− x3= −1

3

∫−3x2

4− x3= −1

3ln(4− x3) + C

16.

∫(1 + x)dx

2x2 + 4x+ 1∫(1 + x)dx

2x2 + 4x+ 1=

1

4

∫(4x+ 4)dx

2x2 + 4x+ 1=

1

4ln(2x2 + 4x+ 1) ∗ C

17.

∫cosxdx

1 + senx∫cosxdx

1 + senx=

∫cosxdx

1 + senx= ln(1 + senx) + C

18.

∫(lnx)2

x

∫(lnx)2

x=

∫(lnx)2

(1

x

)dx =

1

3(lnx)3 + C

19.

∫dx

x lnx∫dx

x lnx=

∫du

u= lnu+ C = ln(lnx) + C

20.

∫1

1 + xdx∫

1

1 + xdx = ln(1 + x) + C

21.

∫x

1− x2dx∫

x

1− x2dx = −1

2

∫−2x

1− x2dx = −1

2ln(1− x2) + C

22.

∫2x+ 1

x2 + x+ 1

∫2x+ 1

x2 + x+ 1= ln(x2 + x+ 1) + C

23.

∫x+ 1

x2 + 2x+ 3

∫x+ 1

x2 + 2x+ 3=

1

2

∫2x+ 2

x2 + 2x+ 3=

1

2ln(x2 + 2x+ 3) + C

24.

∫lnx

xdx

∫lnx

xdx =

∫lnx · 1

xdx =

∫udu =

1

2u2 + C =

1

2(lnx)2 + C

25.

∫ln(x3)dx

x∫ln(x3)dx

x= 3

∫ln(x)dx

x= 3

∫lnx · dx

x=

3

2(lnx)2 + C

26.

∫sen(2x)

1 + cos(2x)dx//

∫sen(2x)

1 + cos(2x)dx = −1

2

∫−2 sen(2x)dx

1 + cos(2x)= −1

2ln(1 + cos(2x)) + C

26

27.

∫1

x(lnx)2dx∫

1

x(lnx)2dx =

∫du

u2= − 1

u+ C = − 1

lnx+ C

28.

∫x2 − 2x

x3 − 3x2 + 1dx∫

x2 − 2x

x3 − 3x2 + 1dx =

1

3

∫3x2 − 6x

x3 − 3x2 + 1dx =

1

3ln(x3 − 3x2 + 1) + C

29

∫dx

x1/2(1 + x1/2)∫dx

x1/2(1 + x1/2)= 2

∫1

(1 + x1/2)

(dx

2√x

)= 2

∫du

u= 2 lnu+ C = 2 ln(1 + x1/2) + C

En los ejercicios del 30− 35 Calcule los limites

30. lımx→∞

ln(x1/2)

x

1

2lımx→∞

lnx

x=

1

2lımx→∞

1

x= 0

31. lımx→∞

ln(x3)

x23

2lımx→∞

1

x2= 0

32. lımx→∞

lnx

x1/2sug. x = u2 lım

x→∞

lnu2

u= 2 lım

x→∞

lnu

u= 2 lım

x→∞

1

u= 2 lım

x→∞

1

x1/2= 0

33. lımx→∞

(lnx)2

x

lımx→∞

(lnx)2

x= 2 lım

x→∞

lnx

x= 2 lım

x→∞

1x1x

= 2 lımx→∞

1

x2= 0

34. lımx→0+

x1/2 lnx

lımx→0+

lnx

x−1/2= −

1

x3x−3/2

2

= − lımx→0+

2

x−1/2= −2 lım

x→0+

√x = 0

35. lımx→0+

x lnx sug: x =1

u

lımx→0+

ln( 1u )

u= u = 0

27

7. Tarea 7

1. f(x) = (ex)tan1x

ex tan 1x

[tan

1

x+ x sec2

(1

x

)(1

x2

)]= ex tan 1

x

[tan

1

x+

1

xsec2

(1

x

)]2. y = e2x

2+ln√x

y′ = e2x2+ln

√x

4x+

1

2√x√x

= e2x2+ln

√x

[4x+

1

2x

]= (8x2 + 1)e2x

2+ln√x

3. f(x) = ex sen 3x

f ′(x) = ex sen 3x (3x cos 3x+ sen 3x)

4. f(x) =

∫ esen x

1

ln t dt

f ′(x) = ln(esen x) · esen x cosx = esen x senx cosx

5. f(x) = exp

(∫ x√1+x2

1

ln t dt

)

f ′(x) = exp

(∫ x√1+x2

1

ln t dt

)[∫ x√1+x2

1

ln t dt

]′f ′(x) = exp

(∫ x√1+x2

1

ln t dt

)[ln(x√

1 + x2)

(√1 + x2 +

x2√1 + x2

)]f ′(x) = exp

(∫ x√1+x2

1

ln t dt

)[ln(x√

1 + x2)

(1 + 2x2√

1 + x2

)]6. f(x) = ex cos ex

f ′(x) = ex cos ex − e2x sen ex = ex(cosx− ex sen ex)

7. f(x) =ex + e−x

ex − e−x

f ′(x) =(ex − e−x)(ex − e−x)− (ex − e−x)(ex + e−x)

(ex − e−x)2= − e2x − e−2x

(ex − e−x)2

8. f(x) = ln

(ex − e−x

2

)f ′(x) =

ex + e−x

ex − e−x

9. f(x) = esen x ln x

f ′(x) = esen x ln x( senx

x+ cosx lnx

)En los ejercicios 10− 21, evalue las integrales indefinidas.

10.

∫e2+x dx

∫e2+x dx = e2+x + C

11.

∫e2x+1 dx

1

2

∫e2x+12 dx =

e2x+1

2+ C

12

∫sen 2xesen

2 x dx∫sen 2xe

1−cos 2x2 dx =

1

4

∫2 sen 2xe

1−cos 2x2 dx =

1

4

∫eu du =

eu

4+ C =

e1−cos 2x

2

4+ C =

esen2x

4+ C

13.

∫(1 + tan2 x)etan x dx∫etan x sec2 x dx = etan x + C

28

14.

∫x2e3x

3+1 dx

1

3

∫3x2e3x

3+1 dx = e3x3+1 + C

15.

∫e2x

1 + e2xdx∫

e2x

1 + e2xdx =

1

2

∫2e2xdx

1 + e2x=

1

2

∫du

1 + u=

1

2ln |1 + u|+ C =

1

2ln |1 + e2x|+ C

16.

∫(sen 2x)e1−cos 2x dx∫(sen 2x)e1−cos 2x dx =

1

2

∫2(sen 2x)e1−cos 2x dx

sea u = 1− cos 2x →du=2sen 2xdx1

2

∫eudu =

1

2eu + C =

1

2e1−cos 2x + C

17.

∫x+ e2x

x2 + e2xdx

sea u = x2 + e2x →du=(2x+2e2x)dx∫x+ e2x

x2 + e2xdx =

1

2

∫(2x+ 2e2x)dx

x2 + e2x=

1

2

∫du

u=

1

2lnu+ C =

1

2ln |x2 + e2x|+ c

18.

∫te−t

2/2 dt

sea u = − t2

2→ du = −tdt

−∫− te−t

2/2 dt = −∫eudu = −eu + C = −e−t

2/2

19.

∫e√x

√xdx

sea u =√x →du=

dx

2√x

2

∫eudu = 2eu + C = 2e

√x + C

20.

∫ex

1 + exdx∫

ex

1 + exdx = ln ex + C

21.

∫ √x e−

√x3dx∫ √

xe−x3/2 ln(e)dx

2

∫u2e−u

3 ln edu

2

3

∫e− ln eu1du1

2

3 ln(e)

∫eu2du2

2

3 ln(e)eu2

2

3 ln(e)e− ln(e)u1

2

3 ln(e)e−u

3 ln(e)

2

3 ln(e)e−x

3/2 ln(e)

29

En los ejercicios 22− 29, calcule los lımites

22. lımx→0

ex − 1

xpor L’Hopital obtenemoslımx→0

ex = e0 = 1

23. lımx→0

e8x − e5x

x

lımx→0

8e8x − 5e5x

1= 8e0 − 5e0 = 3

24. lımx→∞

ex

x

lımx→∞

ex

x= lımx→∞

= ex = e∞ =∞

25. lımx→∞

ex

x1/2lımx→∞

2ex√x

2 lımx→∞

ex lımx→∞

√x =∞

26. lımx→∞

ex1/2

x

lımx→∞

1

2√x· e√x 1

2lımx→∞

e√x

√x

=∞

27. lımx→∞

x2e−x

2 lımx→∞

xe−x 2 lımx→∞

e−x = 0

28. lımx→∞

ex

x12 + 16x8 − 3x3

lımx→∞

ex

x12 + 16x8 − 3x3= lımx→∞

ex

k=∞ sea k Una constante

29. lımx→∞

x15 −√

2x11 + 3x3 − xex

lımx→∞

x15 −√

2x11 + 3x3 − xex

lımx→∞

15x14 − 11√

2x10 + 9x2 − 1

ex= lımx→∞

k

ex= 0 sea k una contaste

En los ejercicios 30− 45 encuentre la derivada de la funcion:

30. y = 10x

ln y = x ln 101

y= ln 10 y =

1

ln 10

31. y = 21/x2

ln y =1

x2ln 2

1

y= − 1

x3ln 2 y = − x3

ln 2

32. y =3x

4x

ln y = ln 3x − ln 4x ln y = x ln 3− x ln 41

y= ln 3− ln 4

y =ln 4

lnx33. y = 7cos x

ln y = cosx ln 71

y= − ln 7 senx

34. y = 2x√x

ln y = x√x ln 2

1

y= ln 2

(x

2√x

+√x

)y

2√x

3x ln 2

35. y = 2ln x

ln y = ln 2 lnx1

y=

ln 2

xy =

x

ln 2

30

36. y = 17x

ln y = x ln 171

y=

ln 17

xy =

x

ln 17

37. y = 101/x ln y =1

xln 10

1

y= − ln 10

x2y = − x2

ln 10

38. y = 22x

ln y = 2x ln 2 ln(ln y) = x ln 2 ln(ln 2) ln y = ex ln 2 ln 21

y= ln2 2ex ln 2 y =

1

ln2 2ex ln 2

39. y = log3

√x2 + 4

y′ =ln 3√x2 + 4

(x√

x2 + 4

)=

x ln 3

x2 + 4

40. y = log3(2x)y = x log3 2 y′ = log3 2

41. y = log2(log3 x)

y′ =ln 2

log3 x

(ln 3

x

)42. y = exp(log10 x)

y′ = exp(log10 x)

(ln 10

x

)43. y = log10(log10 x)

y′ =ln 10

log10 x

(ln 10

x

)44. y = πx + xπ + ππ

d

dxex ln(π) + πxπ−1

ex ln(π) ln(π) + πxπ−1

45. y = πx3

ln y = x3 lnπ1

y= 3 ln(π)x2

y =1

3 ln(π)x2

En los ejercicios 46− 53 evalue las integrales dadas

46.

∫32x dx

ln 3

∫2x = ln 3x2 + C

47.

∫x(10−x

2

) dx

∫xe−x

2 ln(10)dx =1

2

∫2xe− ln(10)x2

dx =1

2

∫e− ln(10)udu =

1

2 ln 10

∫eudu =

eu

2ln 10 =

ex2 ln(10)

2 ln 10+ C

48.

∫2√x

√xdx∫

e√x ln(2)

√x

dx = 2

∫e√x ln(2)

2√x

dx = 2

∫eu ln(2)du =

2

ln 2

∫eu1du1 =

2eu1

ln 2=

2eu ln(2)

ln 2=

2e√x ln(2)

ln 2+ C

49.

∫101/x

x2dx

∫e

ln 10x

x2dx = −

∫eln 10udu = − 1

ln 10

∫eu1du1 = − eu1

ln 10= −e

ln 10u

ln 10= −e

ln 10x

ln 10+ C

50.

∫x27x

3+1 dx∫x2e(x

3+1) ln 7 dx =7

3

∫eln 7u du =

7

3 ln(7)

∫eu1du1 =

7eu1

3 ln(7)=

7eu ln(7)

3 ln(7)=

7ex3 ln(7)

3 ln(7)+ C

51.

∫dx

x log10 x∫ln(10)

x lnx= ln(10)

1

udu = ln(10) lnu = ln(10) ln(lnx) + C

31

52.

∫log2 x

xdx∫

lnx

ln(2)xdx =

1

ln(2)

∫udu =

ln(x)2

2 ln(2)+ C

53.

∫(2x)3(2

x) dx∫eln(2)xee

ln(2)x ln(3)dx =

∫euee

u ln(3)du =1

ln(2)

∫eu1 ln(3)du =

1

ln(2) ln(3)eu2du2 =

eu2

ln(2) ln(3)+ C =

En los ejercicios 54− 66 demuestre las afirmaciones

54. cosh2 x− senh2 x = 1Demostracion:(ex + e−x

2

)2

−(ex − e−x

2

)2

=e2x + 2exe−x + e−2x

4−e

2x − 2exe−x + e−2x

4=e2x + 2 + e−2x − (e2x − 2 + e−2x)

4=

4

4= 1

55. 1− tanh2 x = sech2xDemostracion:ex + e−x

ex + e−x−(ex − e−x

ex + e−x

)2

=e2x + 2 + e−2x − (e2x − 2 + e−x)

(ex + e−x)2=

4

(ex + e−x)2=

(2

ex + e−x

)2

= sech2x

56. coth2 x− 1 = csch2xDemostracion:(ex + e−x

ex − e−x

)2

−ex − e−x

ex − e−x=e2x + 2 + e−2x − (e2x − 2 + e−x)

(ex − e−x)2=

4

(ex − e−x)2=

(2

ex − e−x

)2

= sech2x

57. senh 2x = 2 senhx coshxDemostracion:En senh(x+ x) = senhx coshx+ senhx coshx = 2 senhx coshx

58. cosh 2x = cosh2 x+ senh2 xDemostracion:(ex + e−x

2

)2

+

(ex − e−x

2

)2

=e2x + 2 + e−2x + e2x − 2 + e−2x

4=e2x + e−2x

2= cosh 2x

59. cosh2 x = 12 (cosh 2x+ 1)

Demostracion:(ex + ex

2

)2

=e2x + 2 + e−2x

4=

1

2

(e2x + e2x

2+ 1

)=

1

2(cosh 2x+ 1)

60. senh2 x = 12 (cosh 2x− 1)

Demostracion:(ex − ex

2

)2

=e2x − 2 + e−2x

4=

1

2

(e2x + e2x

2− 1

)=

1

2(cosh 2x− 1)

61. senh(x+ y) = senhx cosh y + coshx senh yDemostracion:(ex − e−xx

2

)(ey + e−y

2

)+

(ex + e−x

2

)(ey − e−y

2

)=ex+y + ex−y − ey−x − e−x−y + ex+y − ex−y + ey−x − e−x−y

4=

2(ex+y − e−(x+y))4

=ex+y − e−(x+y)

2=

senh(x+ y)

62. cosh(x+ y) = coshx cosh y + senhx senh yDemostracion:(ex + e−x

2

)(ey + e−y

2

)+

(ex − e−x

2

)(ey − e−y

2

)=ex+y + ex−y + ey−x + e−x−y + ex+y − ex−y − ey−x + e−x−y

4=

2(ex+y + e−(x+y))

4=ex+y + e−(x+y)

2=

cosh(x+ y)

63. Dx coshx = senhxDemostracion:

tenemos que el coseno hiperbolico en terminos de la exponencial es:ex + e−x

2

32

entonces:d

dx

(ex + e−x

2

)=ex − e−x

2

y sabemos que el seno hiperbolico en terminos de la exponencial esex − e−x

2= senhx

64. Dx tanhx = sech2xDemostracion:Sabemos que la tangente hiperbolica lo podemos expresar en terminos de exponenciald

dx

(ex − e−x

ex + e−x

)=

(ex + e−x)(ex + e−x)− (ex − e−x)(ex − e−x)

(ex + e−x)2=e2x + 2 + e−2x − (e2x − 2 + e−2x)

(ex + e−x)2=

4

(ex + e−x)2=

(2

ex + e−x

)2

= sech2x

65. Dx cothx = − csch2xDemostracion:Sabemos que la cotangente hiperbolica lo podemos expresar en terminos de exponenciald

dx

(ex + e−x

ex − e−x

)=

(ex − e−x)(ex − e−x)− (ex + e−x)(ex + e−x)

(ex − e−x)2=e2x − 2 + e−2x − (e2x + 2 + e−2x)

(ex − e−x)2=

− 4

(ex − e−x)2= −

(2

ex − e−x

)2

= coth2x

66. Dx sechx = − sechx tanhxd

dx

(2

ex + e−x

)= −2

(ex − e−x

(ex + e−x)2=

(−2

ex + e−x

)(ex − e−x

ex + e−x

)= − sechx tanhx

En los ejercicios 67− 74, hallar las derivadas de las funciones

67. y = cosh(3x− 2)y′ = 3 senh(3x− 2)

68. y = senh√x

y′ =cosh(

√x)

2√x

69. y = x2 tanh1

x

y′ = 2x tanh1

x+ sec2

1

x

70. y = coth3 4xy′ = 12 coth2 4x(csch24x)

71. y = ecschx

y′ = ecschx(− cschx cothx)

72. y = sen(senhx)y′ = cos(senhx) coshx

73. y = senhx4

y′ = 4x3 coshx4

74. y =1

x+ tanhx

y′ =1 + sechx

(x+ tanhx)2

En los ejercicios 75− 85 hallar las integrales

76.

∫x senhx2 dx

1

2

∫2x senhx2 dx =

1

2coshx2 + C

77.

∫cosh2 3u du

1

3

∫3 cosh2 3u

1

3

cosh3 3u

3+ C

78.

∫senhx

cosh3 xdx

∫senhx

cosh3 xdx =

∫du

u3= − 1

2u−2+ C = − 1

2 cosh2 x+ C

33

79.

∫senh4 x dx∫ (

cosh(2x)− 1

2

)2

dx

=1

4

∫cosh2(2x)dx− 1

4

∫cosh(2x)dx+

1

4

∫dx

=1

8

∫cosh2(u)du− 1

16

∫du− 1

8cosh(u)du+

1

4

∫dx

1

16

∫cosh(2u)du− 1

16

∫du− 1

8senh(2x) +

1

4x

1

32senh(2u) +

1

8x− 1

8senh(2x) +

1

4x+ C

1

32sen(4x) +

3

8x− 1

8senh(2x) + C

80.

∫cothx csch2x dx∫cschx(− cothx cschx dx) = −

∫udu =

u2

2+ C =

(cschx)2

2+ C

81.

∫sechx dx∫sech2x+ sechx tanhx

sechx+ tanhxdx =

∫du

u= lnu+ C = ln(sechx+ tanhx) + C

82.

∫senhx

1 + coshxdx∫

senhxdx

1 + coshx=

∫du

u= lnu+ C = ln(1 + coshx) + C

83.

∫senh lnx

xdx

∫senhudu = coshu+ C = cosh(lnx) + C

84.

∫1

(ex + e−x)2dx

1

4

∫4

(ex + e−x)2dx =

1

4

∫1(

ex + e−x

2

)2 dx =1

4

∫1

(coshx)2=

1

4

∫sech2xdx = tanhx+ C

85.

∫ex + e−x

ex − e−xdx∫

sechx dx∫sech2x+ sechx tanhx

sechx+ tanhxdx =

∫du

u= lnu+ C = ln(sechx+ tanhx) + C

En los ejercicios 86− 91 hallar los lımites.

86. lımx→∞

senhx

lımx→∞

(ex − e−x) lımx→∞

ex − lımx→∞

1

ex= lımx→∞

ex =∞

87. lımx→−∞

senhx lımx→−∞

(ex − e−x) = lımx→−∞

ex − lımx→−∞

1

ex= 0−∞ = −∞

88. lımx→∞

coshx lımx→∞

(ex + e−x) lımx→∞

ex + lımx→∞

1

ex= lımx→∞

ex =∞

89. lımx→−∞

coshx lımx→−∞

(ex + e−x) = lımx→−∞

ex + lımx→−∞

1

ex= 0 +∞ = +∞

90. lımx→∞

tanhx

91. lımx→−∞

tanhx

34

8. Tarea 8

1.

∫sen3 x dx

−∫

cos2 x senx dx+

∫senx dx =

∫u2 du+

∫senx dx =

cos3 x

3− cosx+ C

2.

∫sen2 x cos3 x dx

=

∫sen2(1− sen2 x) cosxdx

=

∫sen2 x cosxdx−

∫sen4 x cosxdx

=sen3 x

3− sen5 x

5+ C

3.

∫cos5 x dx =

∫(sen2−1)2 cosxdx

=

∫sen4 x cosxdx− 2

∫sen2 x cosx+

∫cosxdx

=sen5 x

5− 2 sen3 x

3+ senx+ C

4.

∫sen3 x√

cosxdx∫

(cos2−1)(senxdx)√cosx

u = cosx∫u2 − 1√

udu v =

√u

2

∫v4dv − 2

∫dv

2v5

5− 2v + C

2

5u5/2− 2√u+ C

2 cos5/2 x

5− 2√

cosx+ C

5.

∫sen5 2z cos2 2z dz

=1

2

∫sen5 u cos2 udu

=1

2

∫cos2 u(cos4 u− 2 cos2 u+ 1) senudu

=1

2

∫cos6 u senudu−

∫cos4 u senudu+

1

2

∫cos2 u senudu

= −1

2· cos7

7+

cos5 u

5− 1

2· cos3 x

3+ C

= −cos7(2x)

14+

cos5(2x)

5− cos3(2x)

6+ C

6.

∫sen3 4x

cos2 4xdx

=1

4

∫sen3 udu

cos2 u

=1

4

∫(cos2 u− 1) senudu

cos2 u

=1

4

∫senudu− 1

4

∫senudu

cos2 u

=cosu

4+

1

4 cosu

=cos(4x)

4+

sec(4x)

4+ C

35

7.

∫sec4 t dt

=

∫sec2 x+

∫sec2 x tan2 xdx

= tanx+tan3 x

3+ C

8.

∫cot3 2x dx

=1

2

∫csc2 u cotudu− 1

2

∫cotudu

= −1

2

∫− csc2 cotudu+

1

2

∫cosu

senu

=1

4csc2 u− ln(senu)

2

=csc2(2x)

4− ln(sen(2x))

2+ C

9.

∫tan5 2x sec2 2x dx

=1

2

∫2 tan5 2x sec2 2xdx =

1

12tan6(2x) + C

10.

∫csc6 2t dt

1

2

∫(1+2)2 csc2 udu =

1

2

∫csc2 udu +

∫csc2 u cot2 udu +

1

2

∫cot4 u csc2 udu = −cotu

2− cot3 u

3− 1

2·

cot5 u

5+ C = −cot(2x)

2− cot3(2x)

3− cot5(2x)

5+ C

11.

∫tan3 θ

sec4 θdθ∫

sen3 θ cos θdθ =sen4 θ

4+ C

12.

∫tan3 t√

sec tdt∫

sen3 x

cos5/2 x=

∫(cos2 x− 1) senxdx

cos5/2=

∫u2 − 1

u5/2du =

∫u−1/2du −

∫u−5/2du = 2

√u +

2

3u3/2+ C =

2√

cosx+2√

sec3 x

3

13.

∫cot θ

csc3 θdθ∫ cosx

senx1

sen3 x

=

∫sen2 x cosxdx =

sen3 x

3+ C

14.

∫cos3 5t dt

−1

5

∫sen2 u cosu+

1

5

∫cosudu = − sen3 u

15+ senu+ C = − sen3(5t

15+ sen(5t) + C

15.

∫cot4 3t dt

1

3

∫cot4 udu

1

3

∫csc4 u− 2

3

∫csc2 udu+

1

3

∫du

1

3

∫csc2 udu+

1

3

∫csc2 u cot2 u)du− 2

3

∫csc2 udu+

1

3

∫du

− cotu

3− cot3 u

9+

2 cotu

3+

1

3u

cot(3t)

3− cot3(3t)

9+ x+ C

36

16.

∫sen5 2t cos3/2 2t dt

17.

∫sen3/2 x cos3 x dx

∫sen3/2 x(1−sen2 x) cosxdx = −

∫sen7/2 x cosxdx+

∫sen3/2 cosxdx = −2 sen9/2

9+

2 sen5/2

5+ c

18.

∫sec4 t

tan2 tdt

19.

∫cot3 θ

csc2 θdθ

∫ cos3 θ

sen3 θ1

sen2 θ

dθ =

∫cos3 θ

sen θ=

∫(1− sen2 θ) cos θdθ

sen θ=

∫cos θdθ

sen θ−∫

sen θ cos θdθ = ln | sen θ−

sen2 θ

2+ C

20.

∫cot3 t csc3/2 t dt∫ (

cos3 t

sen3 t

)(1

sen3/2 t=

∫cos3 t

sen9/2 tdt =

∫cot3 t csc3/2 t =

∫csc3/2(csc2 t− 1) cot tdt =

∫csc7/2 t cot tdt−

∫csc3/2 t cot tdt = −

∫csc5/2 t(− csc t cot tdt) +

∫csc1/2 csc t cot tdt = −2 csc7/2

7+

2 csc3/2

3+ C

21.

∫tanx+ senx

secxdx

∫ senx+ cosx senx

cosx1

cosx

dx =

∫senx(cosx+ 1)dx =

∫cos senxdx+

∫senxdx =

cos2 dx

2+ cosx+ C

22.

∫cotx+ cscx

senxdt

∫ cosx

senx+

1

senxsenx

dx =

∫1 + cosx

sen2 x=

∫cscx cotxdx+ csc2 xdx = − cscx− cotx

23.

∫cotx+ csc2 x

1− cos2 xdx

∫ cosx senx+ 1

sen2 xsen2 x

dx =

∫cosx

sen3 xdx+

∫csc4 xdx =

∫cotx csc2 xdx+

∫csc2(1 + cot2 x)dx = −csc2 x

2+∫

csc2 xdx+

∫cot2 x cscxdx =

cot3 x

3− csc2 x

2+ cotx+ C

24.

∫tan2 2t sec4 2t dt

1

2

∫tan2 u sec4 udu =

1

2

∫tan2 u(1 + tan2 u) sec2 udu =

1

2

∫tan4 u sec2 udu +

1

2

∫tan2 u sec2 udu =

tan5 u

10+

sec3 u

3+ C =

tan5(2t)

10+

sec3(2t)

3+ C

25. Deduzca una formula de reduccion para

∫cotn x dx

En los ejercicios 26− 29, use las identidades

senA senB =1

2(cos(A−B)− cos(A+B))

cosA cosB =1

2(cos(A−B) + cos(A+B))

senA cosB =1

2(sen(A−B) + sen(A+B))

26.

∫sen 3x cos 5x dx

27.

∫sen 2x sen 4x dx

28.

∫cosx cos 4x dx

37

29.

∫sen 20x cos 15x dx

En los ejercicios 30− 47, use integracion por partes para encontrar las integrales

30.

∫xe2x dx

sea u = x→ du = dx dv = e2xdx→ v =e2x

2

=xe2x

2− 1

2

∫e2xdx =

xe2x

2− e2x

4+ C =

e2x

2

(x− 1

2

)+ C

31.

∫t sen t dt

sea u = t→ du = dt dv = sentdt→ v = − cos t

= −x cos t+

∫cos tdt = −x cos t+ sen t+ C

32.

∫x cos 3x dx

sea: u = x→ du = dx dv = cos(3x)dx→ v =sen(3t)

3x sen(3x)

3+

1

3

∫sen(3x)dx =

x sen(3x)

3+

cos(3x)

9dt

33.

∫x3 lnx dx

u = lnx→ dx

xdv = x3 → v =

x4

4

=x4 lnx

4− 1

4

∫x3dx =

x4 lnx

4− x4

16

34.

∫tan−1 x dx

u = tan−1 x→ du =dx

1 + x2dv = x→ v =

x2

2x2

2tan−1 x− 1

4

∫2x

1 + x2

x2

2tan−1 x− 1

4ln |1 + x2|+ C

35.

∫y1/2 ln y dy sea u = lnx→ du =

1

xdx dv =

√xdx→ v =

2

3x3/2

2

3x3/2 lnx− 2

3

∫ √xdx =

2

3x3/2 lnx− 4

9

36.

∫(ln t)2 dt

sea u = ln2 x→ du = 2 ln(x)1

xdv = dx→ v = 1

x ln2 x− 2

∫lnx

(1

x

)xdx = x ln2 x− 2

∫lnxdx

sea u1 = lnx→ du =1

xdx dv = dx→ v = x

x ln2 x− 2

[x lnx−

∫dx

]= x ln2 x− 2x lnx+ 2x+ C

37.

∫x√x+ 3 dx

sea u = x→ du = dx dv =√x+ 3→ v =

2

3(x+ 3)3/2

2x

3(x+ 3)3/2 − 3

2

∫(x+ 1)3/2dx =

2x

3(x+ 3)3/2 − 4

15(x+ 1)5/2dx+ C

38

38.

∫x5√x3 + 1 dx

2x5

3(x3 + 1)5/2 − 10

3

∫(x3 + 1)3/2x4dx

2x5

3(x3 + 1)5/2 − 10

3

[2x4

5(x3 + 1)5/2 − 8

5

∫(x3 + 1)5/2x3dx

]2x5

3(x3 + 1)5/2 − 10

3

[2x4

5(x3 + 1)5/2 − 8

5

[2x3

7(x3 + 1)7/2 − 6

7

∫(x3 + 1)7/2x2dx

]]2x5

3(x3+1)5/2−10

3

[2x4

5(x3 + 1)5/2 − 8

5

[2x3

7(x3 + 1)7/2 − 6

7

[2x2

9(x+ 1)9/2 − 4

9

[∫(x3 + 1)9/2x2dx

]]]2x5

3(x3 + 1)5/2 − 10

3

[2x4

5(x3 + 1)5/2 − 8

5

[2x3

7(x3 + 1)7/2 − 6

7

[2x2

9(x+ 1)9/2 − 4

9

[2x

10(x+ 1)11/2−

11

2

∫(x+ 1)11/2dx

2x5

3(x3+1)5/2−10

3

[2x4

5(x3 + 1)5/2 − 8

5

[2x3

7(x3 + 1)7/2 − 6

7

[2x2

9(x+ 1)9/2 − 4

9

[2x

10(x+ 1)11/2 − 11

2(2

13(x3 + 1)13/2

)+ C

39.

∫csc3 t dt

∫csc csc2 t dt =

sea u = csc t→ du = − csc cotx dv = csc2 xdx→ v = − cotx

− csc t cot−∫

cot2 csc tdt

= − csc t cot−∫

csc t(csc2 +1)dt

= − csc t cot t+

∫csc−

∫csc3 tdt∫

csc3 t dt = − csc t cot t+ ln | csc t− cot t| −∫

csc3 tdt

2

∫csc3 t dt = − csc t cot t+ ln | csc t− cot t|+ C∫

csc3 t dt =− csc t cot t

2+

ln | csc t− cot t|2

+ C

40.

∫x2 arctanx dx

sea u = arctanx→ du =dx

1 + x2dv = x2 → v =

x3

3

=x3

3arctanx− 1

3

∫x3

1 + x2

=x3

3arctanx− 1

3

∫x3 + x− x

1 + x2=x3

3arctanx− 1

3

∫x(1 + x2)

1 + x2dx+

1

3

∫x)

1 + x2dx

=x3

3arctanx− 1

3

∫xdx+

1

6

∫2x)

1 + x2dx

x3

3arctanx− x2

6+ ln |1 + x2|+ C

41.

∫sec−1

√x dx

sea u = sec−1(√x)→ du =

1

2√xdx

√x√x− 1

=dx

2x√x− 1

dv = dx→ v = x

x sec−1(√x)− 1

2

∫xdx

x√x− 1

x sec−1(√x)− 1

2

∫dx√x− 1

x sec−1(√x)−

√x− 1 + C

39

42.

∫tan−1

√x dx

u = tan−1√x→ du =

dx

2√x1 + x)

dv = dx→ v = x

x tan−1√x− 1

2

∫ √xdx

1 + xdx

sea : u2 = x→ 2udu = dx

u2 tan−1 u− 1

2

∫2u2du

1 + u2

u2 tan−1 u−∫

1 + u2

1 + u2du+

∫du

1 + u2

u2 tan−1 u− u+ tan−1 u+ Cx tan−1(

√x)−

√x+ tan−1

√x+ C

43.

∫x csc2 x dx

sea u = x→ du = dx dv = csc2 xdx→ v = − cotxdx

−x cotx+

∫cotxdx

−x cotx+ ln | senx|+ C

44.

∫x3 cosx2 dx

sea u = x2 → du = 2x dv = x cosx2∫x cosx2dx =

1

2

∫2x cosx2dx =

1

2senx2 = v

x2

2senx2 − 1

2

∫senx22xdx

x2

2senx2 − cosx2

2+ C

40

9. Tarea 9

En los ejercicios 1− 22 use sustituciones trigonometricas para hallar las integrales

1.

∫ √1− x2x2

sen θ = x dx = cos θdθ cos θ =√

1− x2∫cos2 θdθ

sen2 θ=

∫csc2 θdθ−

∫dθ = − cot θ− θ+C =

cos θ

sen θ− θ+C = −

√1− x2x

− arc cos(√

1− x2) +C

2.

∫ √x2 − 1

x2dx

x = sec θ dx = tan θ sec θdθ tan θ =√x2 − 1∫

tan2θ sec θdθ

sec2 θ=

∫tan2 θ

sec θdθ =

∫sec θdθ−

∫cos θdθ = ln | sec θ+tan θ|−sen θ+C = ln

∣∣∣x+√x2 − 1

∣∣∣−√x2 − 1

x+ C

3.

∫x3√

9 + 4x2dx

3 sec θ =√

9 + 4x2 tan θ =2x

3x =

3

2tan θ dx =

3

2sec2 θdθ

35

23

∫tan3 θ sec3 θdθ

=35

23

∫sec3 θ(sec2 θ + 1) tan θdθ

=35

23

[∫sec2 θ(sec θ tan θdθ) +

∫sec4 θ(sec θ tan θdθ)

]=

35

23

[sec3 θ

3+

sec3 θ

3

]+ C

=35

23

(√

9 + 4x2

3

)3

3+

(√9 + 4x2

3

)5

5

+ C

3(√

9 + 4x2)3

8+

(√9 + 4x2

)540

4.

∫(1− 4x2)1/2

xdx

sen θ = 2x dx =1

2cos θdθ cos θ =

√1− 4x2∫

cos2 θdθ

sen θ=

∫csc θ −

∫sen θdθ = ln | csc θ + cot θ|+ cos θ + C

= ln

∣∣∣∣ 1

sen θ+

cos θ

sen θ

∣∣∣∣+ cos θ + C

= ln

∣∣∣∣∣1 +√

1− 4x2

2x

∣∣∣∣∣+√

1− 4x2 + C

5.

∫dx√

9 + 4x2

3 sec θ =√

9 + 4x2 tan θ =2x

3x =

3

2tan θ dx =

3

2sec2 θdθ

1

2

∫sec θdθ =

1

2ln | sec θ + tan θ|+ C =

1

2ln

∣∣∣∣∣√

9 + 4x2

3+

2x

3

∣∣∣∣∣+ C

41

6.

∫x2dx√25− x2

sen θ =x

5cos θ =

√25− x5

5dx = 5 cos θdθ

25

∫sen2θdθ =

25

2

∫dθ−25

4

∫cos(2θ)2dθ =

25

2θ−25

4sen 2θ+C =

25

2arcsin

(x5

)−25

4sen(

2 arcsin(x

5

))+

C

7.

∫x2dx√1 + x2

tan θ = x dx = sec2 θ sec θ =√

1 + x2∫sec2 θ tan θdθ

sec θ=

∫tan2 θ sec θdθ =

∫sec3 θdθ +

∫sec θdθ

resolviendo la integral

∫sec3 θdθ por partes∫

sec θ sec2 θdθ = sec θ tan θ −∫

sec θ tan2 θ +

∫sec θdθ

observacion:

∫sec θ tan2 es la integral de la cual partimos, entonces:

I = sec θ tan θ − I −∫

sec θdθ

obteniendo como resultado

I =sec θ tan θ

2+

ln |secθ + tan θ

2

8.

∫x2dx√4 + 9x2

dx

sec θ =

√9 + 4x2

3x =

3 tan θ

2dx =

3 sec2 θdθ

29

8

∫tan2 θ sec2 θdθ

sec θ=

∫sec3 θdθ +

∫sec θdθ

resolviendo la integral

∫sec3 θdθ por partes∫

sec θ sec2 θdθ = sec θ tan θ −∫

sec θ tan2 θ +

∫sec θdθ

observacion:

∫sec θ tan2 es la integral de la cual partimos, entonces:

9

8I = sec θ tan θ − I −

∫sec θdθ

obteniendo como resultado

I =8 sec θ tan θ

17+

8 ln |secθ + tan θ

17

9.

∫dx

(1 + x2)3/2sec θ =

√1 + x2 sec3 θ =

√1 + x2

3tan θ = x dx = sec2 θdθ∫

sec2 θdθ

sec3 θ=

∫dθ

sec θ=

∫cos θdθ = sen θ + C =

x√1 + x2

+ C

10.

∫(1− x2)3/2dx

sen θ = x dx = cos θdθ√

1− x2 = cos θ

cos4 θdθ =

(1

2+

cos 2θ

2

)2

dθ

=1

4θ +

1

4cos 2θdθ +

1

8dθ +

1

8cos 4θdθ

3

8θ +

sen θ

2+

1

2sen θ + C

42

11.dx

(4− x2)2dx

sea x = 4 sen θ dx = 4 cos θdθ√

4− x2 = 4 cos θ4 cos θdθ

44 cos4 θ

=1

64

dθ

cos3 θ

=1

64sec3 θdθ

= sec θ tan θ − sec θ tan2 θdθ= sec θ tan θ + sec θdθ − sec3 dθ64 sec θ tan θ

65+

64 ln(sec θ + tan θ)

65+ C

12.dx

(4− x2)3

x = 2 sen θ dx = 2 cos θdθ√

4− x2 = 2 cos θ2 cos θdθ

25 cos5 θ

=1

16sec4 θ

=1

16sec2θ(1 + tan2)dθ

=1

16sec2 θdθ +

1

16sec2 θ tan2 θ

=tan θ

16+

tan3 θ

48

=

√4− x216x2

+(4− x2)3/2

48x3+ C

13.√

9 + 16x2dx

tan θ =4x

3dx =

3

4sec2 θdθ

√9 + 16x2 = 3 sec θ

I =9

4sec3 θdθ

= sec θ tan θ − sec θ tan2 θdθ= sec θ tan θ + sec θdθ − sec3 dθ9

4I = sec θ tan θ + sec θdθ − I

=4 sec θ tan θ

13+

4 sec θ

13+ C

14. x2√x2 − 1dx

x = csc θ dx = − csc θ cot θdθ cot θ =√x2 − 1

− csc3 θ cot2 θdθ− csc θ(1 + cot θ) cot2 θdθ− cot4 θ csc θdθ − cot2 θ csc θdθ− cot3 θ cot θ csc θdθ − cot θ cot θ csc θdθ

−cot4 θ

4− cot2 θ

2+ C

1− x2

2− (x2 − 1)2

4

43

15.dx

(4x2 − 1)3/2

x =csc θ

2dx =

csc θ cot θdθ

2

√4x2 − 1 = cot θ

1

2

csc θ cot θ

cot3dθ

1

2

sen θ

cos2 θdθ =

1

2 cos θ=

1

2sec θ =

x√x2 − 1

16.

√x2 − 5

x2

x =√

5 csc θ dx =√

5 csc θ cot θdθ√x2 − 5 =

√5√x2 − 5

−√

5 cot θ√

5 csc θ cot θdθ

5 csc2cot2 θdθ

csc θcos2 θ

sen θdθ

csc θdθ − sen θdθln | csc θ − cot θ| − cos θ

ln

∣∣∣∣∣x−√x2 − 5√5

∣∣∣∣∣−√x2 − 5

x+ C

17.

√9x2 − 16

xdx

x =4

3csc θ dx =

4

3csc θ cot θdθ =

√9x2 − 16 = 4 cot θ

=

4 cot θ

(4

3csc θ cot θdθ

)4

3csc θ

= 4 cot2 θdθ4 csc2 θdθ − 4θ

−4 cot θ − 4θ = −√

9x2 − 16− 4Arc csc

(3x

4

)+ C

18.x2√

4x2 − 9dx

x =3

2csc θ dx = −3

2csc θ cot θdθ

√4x2 − 9 = 3 cot θ

9

4csc2 θ

(3

2csc θ cot θdθ

)3 cot θ

9

8csc3 θdθ

u = csc θ du = − csc θ cot θdθ dv = csc2 θdθ v = − cot θ

9

8csc2 θ csc θdθ

= − csc θ cot θ − cot2 θ csc θdθ= − csc θ cot θ − csc3 θdθ + csc θdθ9

8I = − csc θ cot θ + ln | csc θ − cot θ|+ I

=4 ln | csc θ − cot θ|

9− 4 cot θ csc θ

9

=

4 ln

∣∣∣∣∣2x−√

4x2 − 9

3

∣∣∣∣∣9

− 8x√

4x2 − 9

3+ C

44

19.dx

x2√

4x2 − 9

x =3

2csc θ dx = −3

2csc θ cot θdθ

√4x2 − 9 = 3 cot θ

−

3

2csc θ cot θdθ(

3

2

)2

csc2(3 cot θ)

= −2

9

dθ

csc θ

= −2

9sen θdθ =

2 cos θ

9=

√4x2 − 9

9x+ C

En los siguientes ejercicios, integre por el metodo de Fracciones parciales

20.x2

x− 1dx

= (x+ 1)dx+dx

x− 1

=x2

2+ x+ ln |x− 1|+ C

21.x2

2x− 1dx

=x2

2dx+

1

4xdx+

1

8dx+

1

16

2dx

2x− 1x3

6+x2

8+x

8+

ln |2x− 1|16

+ C

22.dx

x2 − 3x

=dx

x(x− 3)=A

xdx+

B

x− 3dx A(x+ 3) +Bx = 1 si, x = 0→ A =

1

3si, x = −3→ B = −1

31

3

dx

x− 1

3

dx

x− 3=

lnx

3− ln |x+ 3|

3+ C

23.x

x2 + 4xdx

=xdx

x2 + 4x=

xdx

x(x+ 4)=A

xdx+

B

x+ 4dx

A(x+ 4) +Bx = x x = −4→ B = 1 A = 0dx

x+ 4= ln |x+ 4|+ C

24.dx

x2 + x− 6dx

x2 + x− 6=

A

x+ 3+

B

x− 2

A(x− 2) +B(x+ 3) = 1 si x = 2→ B =1

5si x = −3→ A = −1

51

3

dx

x− 2− 1

5

dx

x+ 31

5ln |x− 2| − 1

5ln |x+ 3|+ C

45

25.dx

x3 + 4xdx

x(x(x2 + 4)=A

x+Bx+ C

x2 + 4

A(x2 + 4) + (Bx+ C)x = 1 A =1

4

si x = 1 5A+B + C = 1 B + C = −1

4

x = −1 5A+B − C = −1 B − C = −1

4

2B = −1

2B = −1

4C = 0

1

4

dx

x− 1

4

xdx

x2 + 41

4

dx

x− 1

8

2x

x2 + 4lnx

4− ln |x2 + 4|

8+ C

26.dx

(x+ 1)(x2 + 1)A

x+ 1+Bx+ C

x2 + 1

A(x2 + 1) + (Bx+ C)(x+ 1) = 1 si x = −1→ A =1

2

si x = 0 A+ C = 1 C = −1

2

1

2

dx

x+ 1− 1

2

x− 1

x2 + 1

=1

2

dx

x+ 1− 1

4

2xdx

x2 + 1+

1

2

dx

x2 + 1

=ln |x+ 1|

2− ln |x2 + 1|

4+Arc tanx+ C

27.x4

x2 + 4dx

(x2 − 4)dx+ 16dx

x2 + 4x3

3− 4x+ 8Arc tan

(x2

)+ C

28.2x− 4

x2 − xdx

2x− 4

x(x− 1dx =

A

xdx+

B

x− 1dx

A(x− 1) +Bx = 2x− 4si x = 0→ A = −4x = −1→ B = −2

4dx

x− 2

dx

x− 1= 4 lnx− 2 ln(x− 1) + Clnx4 − ln(x2 − 1)2 + C

lnx4

ln(x2 − 1)2+ C

46

29.dx

(x2 + 1)(x2 + 4)Ax+B

x2 + 1dx+

Cx+D

x2 + 4

Ax3 + 4Ax+Bx2 + 4B + Cx3 + Cx+Dx+D = 1A+ C = 04A+ C = 03A = 0A = 0c = 0

B + C = 04B +D = 13B = 1

B =1

3

D = −1

3

1

3

dx

x2 + 1− 1

3

dx

x2 + 41

3Arc tanx− 1

6Arc tan

(x2

)+ C

30.x4dx

x2 + 4x+ 4x2dx− 4xdx+ 12dx− 16

2x+ 3

x2 + 4x+ 4dx

x2dx− 4xdx+ 12dx− 16A

x+ 2dx− 16

B

(x+ 2)2dx

A(x+ 2)2 +B(x+ 2) = 2x+ 3

Si x = 0 4A+ 2B = 3 4A+ 2B = 3si x = −1 A+B = 1 −2a− 2B = −2

A =1

2B =

1

2

= x2dx− 4xdx+ 12dx− 8dx

x+ 2− 8

dx

(x+ 2)2

x3

3− 2x2 + 12x− 8 ln |x+ 2|+ 8

x+ 2+ C

31.dx

x2 − 4A

x+ 2dx+

B

x− 2dx

A(x− 2) +B(x+ 2) = 1 A = −1

4B =

1

4

=1

4

dx

x− 2− 1

4

dx

x+ 2ln |x− 2|

4− ln |x+ 2|

4+ C

47

10. Tarea 10

En los ejercicios del 1− 12. Halla las integrales (sug. utilize sustituciones de racionalizacion)

1.

∫x3√

3x− 2dx

sea u2 = 3x− 2 x =u2 + 2

3dx =

2udu

3∫ (u2 + 2

3

)3(2udu

3

)u =

2

81

∫(u6+6u4+12u2+8)u2du =

2

81

(∫u8du+

∫6u6du+

∫12u4du+

∫8u2du

)=

2

81

(u9

9+

6u7

7+

12u5

5+

8u3

3

)+C =

2((3x− 2)9/2

729+

4(3x− 2)7/2

189+

8(3x− 2)5/2

135+

16(3x− 2)3/2

243+C

2.

∫x3

3√x2 + 1dx

sea u = x2 + 1 x =√u− 1 dx =

du

2√u− 1

(u− 1)3/2u1/3du

2(u− 1)1/2=

1

2(u−1)3u1/3du =

1

2u4/3du− 1

2u1/3du =

1

2

(3u7/3

7− 3

4u4/3

)+C =

3(x2 + 1)7/3

14−

3(x2 + 1)4/3

8+ C

3.dx

1 +√x

sea u2 = x 2udu = dx

2udu

1 + u= 2du− 2

du

1 + u= 2u− 2 ln |1 + u|+ C = 2

√x− 2 ln |1 +

√x|+ C

4.dx

x1/2 − x1/4sea u4 = x 4u3 = dx

4u3du

u2 − u4

u3du

u(u− 1)4u2du

u− 1= 4(u+1)du+4

du

u− 1= 2u2+4u+ln(u−1)4+C = 2

√x+4 4√x+4 ln( 4

√x−1)+C

5.x3dx

(x2 − 1)4/3

Sea u = x2 − 1 x =√u+ 1 dx =

du

2√u+ 1

(u+ 1)3/2du

2(u+ 1)1/2u4/3=

1

2

(u+ 1)du

u4/3=

1

2u−1/3du +

1

2u−4/3du =

3u2/3

4− 3

u1/3 + C=

3(x2 − 1)2/3

4−

3

2(x2 − 1)1/3+ C

6.1−√x

1 +√xdx sea u4 = x 4u3du = dx

41− u2

1 + uu3du =

u3 − u5

1 + udu = 4u2 − 4udu+ 4du− 4u4du+ 4u3du− 4u2du+ 4udu− 4du =

4u3

3− 2u2 +

4u− 4u5

5+ u4 − 4u3

3+ 2u2 − 4u+ C = −4u5

5+ u4 + C = −4x5/4

5+ x+ C

7.x5√x3 + 1

dx

sea u = x3 + 1 x = 3√u− 1 dx =

du

3(u− 1)2/3

(u+ 1)5/3du

3(u− 1)2/3u1/2=

1

3

u− 1

u1/2=

1

3u1/2du− 1

3u−1/2du =

2(x3 + 1)3/2

9− 2(x+ 1)

3+ C

8.dx

1 + x2/3

Sea u3 = x 3u2du = dx

3u2du

1 + u2= 3du− 3

du

1 + u2= 3u− 3Arc tan(u) + C = 3x1/3 − 3Arc tanx1/3 + C

48

9.dx

1 +√x+ 4

sea u = x+ 4 x = u− 4 dx = dusegundo cambio de variable2udu

1 + u2= ln |1 + u2|+ C = ln |x+ 5|+ C

10.dθ

1 + sen θ

dθ

1 + sen θ

(1− senθ1− sen θ

)=

(1− sen θ)dθ

cos2θ= sec2− tan θ sec θdθ = tan θ − sec θ + C

11.dθ

sen θ + cos θ

dθ

sen θ + cos θ

z = tan(x

2

)x = 2Arc tan z dx =

2dz

z2 + 1senx =

2z

z2 + 1cosx =

z2 − 1

z2 + 1

1

senx+ cosxdx =

1

2z

z2 + 1+z2 − 1

z2 + 1

[ 2dz

z2 + 1

]=

1

z2 + 2z − 1

z2 + 1

(2dz

z2 + 1

)=

2

z2 + 2z + 1− 2dz =

2

(z + 1)2 −√z2

sea u = z + 1 du = dz

2

u2 − (√

2)2du =

2√2Arc tan

u√2

+ C =2√2Arc tan

z + 1√2

+ C =2√2Arc tan

tan(x

2

)+ 1

√2

+ C

12.sen θ

2 + cos θdθ

sea u = 2 + cos θ du = sen θdθdu

u= lnu+ C = ln |2 + cosx|+ C

En los ejercicios 13− 32, Calcule la integral que se indica y diga si es convergente o divergente

13.

∫ −3−∞

x−3dx

lımb→−∞

∫ −3b

x−3dx = lımb→−∞

[−1

2x2

∣∣∣∣−3b

=−1 lım

b→−∞

2(−3)− 1

∞=

1

6

converge a1

6

14.

∫ 5

0

xdx

25− x2sea u = 25− x2 du = 2xdx

−1

2

∫ 5

0

−2xdx

25− x21

2

∫du

u=

1

2lnu

1

2ln(25− x2)|50 =

1

2ln(25− 25)− 1

2ln(25)

como ln 0 no existe,

15.

∫ ∞1

x−2/3dx

lımb→∞

∫ b

1

x−2/3dx = lımb→∞

[3x1/3

∣∣∣b1

= lımb→∞

3b1/3 − 3 =∞diverge

16.

∫ ∞0

e−xdx

lımb→∞

∫ b

0

e−xdx = lımb→∞

− 1

ex

b

0= lımb→∞

− 1

eb+

1

e0= 1

converge a 1

49

17.

∫ ∞−∞

x2 lıma→−∞

∫ 0

a

x2 + lımb→∞

∫ b

0

x2 = lıma→−∞

x3

3

0

a+ lımb→∞

x3

3

b

0=

0

3− a3

3+b3

3− 0

3= −∞+∞

indeterminacion

18.

∫ 0

−∞xexdx

xex −∫exdx = ex(x− 1)

lım b→ −∞ [xex − ex]0b = −1− (beb − eb) =∞

diverge a ∞

19.

∫ 0

−∞

dx√1− x

sen2 θ dx = 2 cos θ cos θ =√

1− x

2 lımb→−∞

∫ 0

b

cos θdθ

cos θ= 2 lım

b→−∞

∫ 0

b

dθ = 2 lımb→−∞

θ|0b = 2 lımb→−∞

Arc sen√x|0b = 0−∞ = −∞

Diverge a −∞

20.

∫ −1−∞

ln

(1− 1

x

)dx∫ −1

−∞ln

(x− 1

x

)dx =

∫ −1−∞

lnxdx−∫ −1−∞

ln(x− 1)dx

sea u = lnx du =1

xdv = dx v = x

sea u = ln(x− 1) du =1

x− 1dv = dx v = x

x lnx−∫−∞

−1dx−[x ln(x− 1)−

∫−∞

−1xdx

x− 1

]x(lnx− 1)−

[x ln(x− 1)−

∫−∞

−1x− 1

x− 1dx+

∫−∞

−1dx

x− 1

]x(lnx− 1)− [x ln(x− 1)− x+ ln(x− 1)]

[x(lnx− 1)− 2x ln(1− x) + x]−1−∞

diverge

21.

∫ ∞−∞

dx

|x|+ 1

lıma→−∞

∫ 0

a

dx

1− x+ lımb→∞

∫ b

0

dx

x− 1= lıma→−∞

ln(1− x)|0a + lımb→∞

ln(x− 1)|b0 =

22.

∫ ∞e

ln

(1

x

)dx

u = ln

(1

x

)du = xdx dv = dx v = x

x ln

(1

x

)− x2dx

lıma→−∞

[x ln

(1

x

)− x3

3

]be[

b ln

(1

b

)− b3

3

]−[x ln

(1

x

)− x3

3

]= Diverge

23.

∫ ∞e

ln(ex)dx

u = ln(ex)→ du =exdx

ex= dx dv = dx→ x = v∫ ∞

e

ln(ex)dx = x ln(ex)− xdx =

[x ln(ex)− x2

2

]∞e

= [∞−∞]− [e ln(ee)− e2

2] Indeterminacion

24.

∫ ∞−∞

dx

x2 + 1

lıma→−∞

∫ 0

a

dx

x2 + 1+ lımb→∞

∫ b

0

dx

x2 + 1= lıma→−∞

Arc tanx|0a + lımb→∞

Arc tanx|b0 = −(−π

2

)+π

2= π

Converge a π

50

25.

∫ ∞−∞

coshxdx

lıma→−∞

∫ 0

a

coshxdx+ lımb→∞

∫ b

0

coshxdx = lıma→−∞

senhx+ lımb→∞

senhx = −(−∞) +∞ =∞Diverge a ∞

26.

∫ 0

−∞

dx

1− x

lımb→−∞

∫ 0

b

dx

1− x= lımb→−∞

ln(x− 1)|0b = lımb→−∞

[ln(−1)− ln(b− 1)]

No Existe!

27.

∫ 0

−∞Arc tanxdx

sea u = Arc tanx du =dx

1 + x2dv = dx v = x

xArc tanx− 1

2

2xdx

1 + x2= xArc tanx− 1

2ln |1 + x2|

lımb→−∞

[xArc tanx− 1

2ln |1 + x2|

]0b

= 0− (∞−∞)

28.

∫ 2

0

dx√x

∫ 2

0

dx√x

= 2√x|20 = 2

√2

converge a 2√

2

29.

∫ 2

1

dx

(1− x)2lımb→1

∫ 2

b

dx

(1− x)2lımb→1

= − 1

1− x

2

1

=1

1− b−(− 1

1− 2

)= −∞− (−1)

Diverge

30.

∫ 0

−1

dx

(x+ 1)3∫ 0

−1

dx

(x+ 1)3= − 1

2(x+ 1)2

0

−1= −1 +

1

0=∞

Diverge

31.

∫ π2

0

secxdx

∫ π2

0

secxdx = [ln | secx+ tanx|]π20 =∞− 0 =∞ Diverge

32.

∫ π2

0

cscxdx

∫ π2

0

cscxdx = [ln | cscx− cot |]π20 = ln |1− 0| − ln |∞ −∞|

51

11. Tarea 11

En los ejercicios del 1− 6 hallar las integrales impropias usando el criterio de comparacion

1.

∫ ∞1

x√1 + x5

dx

Converge dado

∫∞

dx

x3/2

2.

∫ ∞1

2−x2

dx

converge si

∫ ∞1

e−xdx

3. ∞0 (1 + x5)−1/6dx diverge puesto que para x muy grande el integrando es muy grande dado a

∫∞

dx

x

4.

∫ ∞π

sen2 2x

x2dx

Dado a

∫ ∞π

dx

x2podemos decir que converge

5.

∫ ∞1

lnx

x2dx

Dado a

∫ ∞1

dx

x3/2podemos decir que converge

6.

∫ ∞e

dx√x+ 1 lnx

dx Dado a

∫ ∞e

dx

(x+ 1) ln(x+ 1)podemos decir que converge

En los ejercicios 7− 16 represente graficamente el punto que se indica en coordenadas polares (r, θ)

7.

(3,

5π

6

)8.

(2,−3π

4

)

9.

(−1,−4π

3

)10.

(−2,

3π

4

)

11.

(−1,

5π

4

)12.

(√2,

2π

3

)

13.

(√3,−2π

3

)14.

(−√

2,−5π

6

)

15.

(1,

7π

3

)16.

(1−√

2,−7π

6

)En los ejercicios 17− 24, exprese la ecuacion cartesiana dada, en coordenadas polares.

17. x = 4 →rcos θ = 4 →r=4sec θ

18. x = 3y →rcos θ = 3r sen θ

19. xy = 1 →r2 cos θ sen θ = 1 →r=1

cos θ sen θ

20. y2 + x2 = 25 →r2(sen2 θ + cos2 θ = 25 →r=5x2 − y2 = 1 →r2(sen2θ − cos2) = 1 →r=

√1

cos 2θ

21.22. y = x2 → rsen θ = r2 cos θ →rcos2 θ = sen θ →r=tan θ sec θ

23. y + x = 4 →r(sen θ + cos θ) = 4 →r=4

sen θ + cos θ

24. y = 6 →r sen θ = 6 →r=6csc θ

En los ejercicios 25− 32, exprese en coordenadas cartesianas la ecuacion polar dada.

25. r = 3√x2 + y2 = 3

26. θ =3π

4tan−1

(x

y

)= 1,17 tan

[tan−1

(x

y

)]= tan(1,17)

x

y= 2,36 x = 2,36y

52

27. r = −5 cos θ = r2 = 5r cos θ x2 + y2 = 5x

28. r = sen 2θ r = 2(cos θ sen θ)r2

r cos θ= 2

r sen θ

r cos θ

√x2 + y2

x=

2y

x2y =

√x2 + y2

29. r = 1− cos 2θ r = 1− cos2 θ − sen2 θ r = sen2 θ − sen2 θ r = 0√x2 + y2 = 0

30. r = 2 + sen θ = r2 = 2r − r sen θ x2 + y2 = 2√x2 + y2 − y

32. r = 3 sec θ → r =3

cos θ→ r cos θ = 3 x = 3

33. r2 = cos 2θ r2+1 = 1+cos 2θ r2+1 = 1+cos2 θ−sen2 θ r2+1 = 2 cos2 θ x2+y2+1 = 2x2

x2 − y2 = 1

En los ejercicios 33− 39, escriba la ecuacion dada tanto en coordenadas polares como cartesianas y grafiqueen ambos sistemas de coordenadas CON y SIN dispositivo electronico..

33. La recta vertical que pasa por (2, 0) x = 2 r cos θ = 2

34. La recta horizontal que pasa por (1, 3) y = 1 r sen θ = 1

35. La recta que pasa por (2,−1) con pendiente −1.y − (−1) = −1(x− 2) y = −x+ 1 r sen θ = −r cos θ + 1

36. La recta que pasa por (1, 3) y (3, 5).y − 3 = x− 1 y = x+ 2 r sen θ = r cos θ + 2

37. La circunferencia con centro en (0,−4) y que pasa por el origen.x2 + (y + 4)2 = 16 r2 cos2 θ + (r sen θ + 4)2 = 16 r2 cos2 θ + r2 sen2 θ + 8 sen θ + 16 = 16r2(sen2 θ + cos2 θ) + 2r sen θ = 0 r2 + r sen θ = 0

38. La circunferencia con centro en (3, 4) y radio 5.(x−3)2+(y−4)2 = 25 x2−6x+9+y2−8y+16 = 25 r2 cos2 θ−6r cos θ+r2 sen2 θ−8r sen θ =0 r2 − 6r cos θ − 8r sen θ = 0

39. La circunferencia con centro en (1, 1) y que pasa por el origen.(x−1)2+(y−1)2 = 1 x2−2x+1+y2−2y+1 = 1 r2(sen2 θ+cos2 θ)−2r(cos θ+sen θ) = −1r2 + 2r(cos θ + sen θ) = −1

En los ejercicios 40−46, dibuje las graficas de las ecuaciones polares CON y SIN dispositivo electronico.

40. r = 2 cos θ 41. r = 2 sen θ + 2 cos θ 42. r = 1 + cos θ

43. r = 2 + 4 cos θ 44. r = 2 sen 2θ 45. r = 3 cos 3θ

46. r = 2 sen 5θ

En los ejercicios 47− 49 encuentre los puntos de interseccion de las curvas dadas.

47. r = 2, r = cos θcos θ = 2 dado que la funcion coseno para ningun angulo es 2 estas curvas no se interceptan

48. r = sen θ, r = cos 2θ sen θ = cos 2θsen θ = 1− 2 sen2 θsen θ + 2 sen2 θ = 1sen θ(1 + 2 sen θ) = 1

sen θ = 1 →θ =π

2(1,π

2

)49. r = 1− cos θ, r2 = 4 cos θ

(1− cos θ)2 = 4 cos θ1− 2 cos θ + cos2 θ = 4 cos θ1 = 6 cos θ − cos2 θ1 = cos θ(6− cos θ)

cos θ = 1

r =√

4(1) r = 2

se interceptan en:(2, 0) y (2, 2π)

53

12. Tarea 12

En los ejercicios 1− 8, encuentre el area limitada por la curva dada.

1. r = 2 cos θ

4

∫ π

0

cos2 θdθ

= 2

∫ π

0

dθ +

∫ π

0

2 cos(2θ)dθ

= [2θ + sen(2θ)]π0

A = 2π

2. r = 1 + cos θ

∫ π

0

(1 + cos θ)dθ

=

∫ π

0

dθ + 2

∫ π

0

cos θ +1

2

∫ θ

0

dθ +

1

4

∫ π

0

2 cos 2θdθ

=

[θ + 2 sen θ +

θ

2+ sen 2θ

]π0

A = π +π

2=

3π

23. r = 2− cos θ

∫ π0

(2− cos θ)2dθ

= 4

∫ π

0

dθ − 4

∫ π

0

cos θ +1

2

∫ π

0

dθ +

1

4

∫ π

0

2 cos 2θdθ

=

[4θ − 4 sen θ

θ

2+ sen 2θ

]π0

A = 4π +π

2=

9π

2

54

4. r = −4 cos θ

16∫ π0

cos2 θdθ

= 8

∫ π

0

dθ + 4

∫ π

0

2 cos 2θdθ

= 8θ + 4 sen 2θ|π0A = 8π

5. r = 5(1 + sen θ)∫ 3π2

π2

[5(1 + sen θ)2dθ

25

∫ 3π2

π2

dθ+50

∫ 3π2

π2

sen θdθ+25

∫ 3π2

π2

sen2 θdθ

25

∫ 3π2

π2

dθ + 50

∫ 3π2

π2

sen θdθ +25

2

∫ 3π2

π2

dθ −

25

4

∫ 3π2

π2

2 cos 2θ

=

[25θ + 50 cos θ +

25

2θ − sen 2θ

] 3π2

π2

=[75

2

(3π

2

)]−[

75

2

(π2

)− 1

]=

225π

4−

75π

4+ 1 =

75

2π + 1

A =75π

2+ 1

6. r = 3 + 2 sen θ∫ 3π2

π2

(3 + 2 sen θ)2dθ

9

∫ 3π2

π2

dθ + 12

∫ 3π2

π2

sen θdθ +

∫ 3π2

π2

sen2 θdθ

9

∫ 3π2

π2

dθ + 12

∫ 3π2

π2

sen θdθ +1

2

∫ 3π2

π2

dθ −

1

4

∫ 3π2

π2

2 cos 2θdθ[9θ − 12 cos θ +

θ

2+ sen 2θ

] 3π2

π2

=

[27π

2+

3π

4

]−[

9π

2+π

4

]=

57π

4− 19π

2=

13

2π

A =13

2π

55

7. r = 2 + 3 sen θ

4

∫ 3π2

π2

dθ + 12

∫ 3π2

π2

sen θdθ + 9

∫ 3π2

π2

sen2 θdθ

4

∫ 3π2

π2

dθ + 12

∫ 3π2

π2

sen θdθ +9

2

∫ 3π2

π2

dθ −

9

4

∫ 3π2

π2

2 cos 2θdθ[4θ − 12 cos θ +

9θ

2− 9

4sen 2θ

] 3π2

π2

6π +27π

4− 2π − 9π

4

A =17

2π

8. r = 3 + sen θ + cos θ

En los ejercicios 9− 14, encuentre el area limitada por un rizo de la curva dada

9. r = 2 cos 2θ

=

∫ π4

0

(2 cos 2θ)2dθ

= 2

∫ π4

0

dθ +

∫ π4

0

4 cos 4θdθ

= [2θ + sen 4θ]π40 =

π

2A =

π

2u2

10. r = 3 sen 3θ1

2

∫ π3

0

(3 sen 3θ)2dθ

9

4

∫ π3

0

dθ − 1

12

∫ π3

0

6 cos 6θdθ[9θ

4− sen 6θ

]π3

0

=3π

4

A =3π

4u2

56

11. r = 2 cos 4θ∫ π8

0

(2 cos 4θ)2dθ

= 2

∫ π8

0

dθ + 41

8

∫ π8

0

8 cos 8θdθ

2

2

∫ π8

0

dθ +1

4

∫ π8

0

8 cos 8θdθ[2θ +

sen 8θ

4

]π8

0

=π

4

A =π

4u2

12. r = sen 5θ

1

2

∫ π5

0

(sen 5θ)2dθ

1

4

∫ π5

0

dθ − 1

200

∫ π5

0

10 cos 10θ[1

4θ − 1

200sen 10θ

]π5

0

=π

9

A =π

9u2

13. r2 = 4 sen 2θ

1

2

∫ π2

0

(√

4 sen 2θ)2dθ

2

∫ π2

0

sen 2θdθ∫ π2

0

2 sen 2θdθ

− cos 2θ|π20 1 + 1 = 2

A = 2u2

14. r2 = 4 sen θ

1

2

∫ π

0

(√

4 sen θ)2dθ

1

2

∫ π

0

4 sen θdθ 2

∫ π

0

sen θdθ [−2 cos θ]π0 =

2 + 1 = 3A = 3u2

57

En los ejercicios del 15− 19, encuentre el area de la region descrita

15. Interior a r = 2 sen θ y exterior a r = 1

θ = Arc sen

(1

2

)θ =

π

6θ =

5π

6

1

2

∫ π6

5π6

[(2 sen θ)2 − 1]dθ

=

∫ π6

5π6

dθ − 1

2

∫ π6

5π6

2 cos 2θdθ −∫ π

6

5π6

dθ

=

[θ − sen 2θ

2− θ]π

6

5π6

=

[sen 2θ

2

] 5π6

π6

=

√3

4−

(−√

3

2

)=

3√

3

4

A =3√

3

416. Interior a r = cos θ y exterior a r =

√3 sen θ

si θ =π

6→ 30◦

√3

2=√

3

(1

2

)1

2

∫ 0

π6

[cos2θ − (√

3 sen θ)]dθ

1

4

∫ π6

0dθ +1

8

∫ π6

0

2 cos 2θdθ − 3

4

∫ 0

π6

dθ +3

8

∫ 0

π6

2 cos θdθ[−1

2θ +

sen 2θ

8+

3 sen 2θ

8

]0π6

−

(− π

12−√

3

2

)A =

√3

2+

π

12

17. Interior a r = 3 + 2 sen θ y exterior a r = 4

3 + 2 sen θ = 4 sen θ =1

2θ =

π

6θ =

5π

61

2

∫ π6

5π6

[(3− 2 sen θ)2 − 42]dθ

=9

4

∫ π6

5π6

dθ + 6

∫ π6

5π6

sen θdθ +1

4

∫ π6

5π6

dθ − 1

8

∫ π6

5π6

2 cos θdθ

=

[9θ

4− 6 cos θ +

θ

4− sen 2θ

8

]π6

5π6

=5π

12− 3√

3 +

√3

16=

5π

12− 47

√3

16

18. Interior a r2 = cos 2θ y a r2 = sen 2θcos 2θ = sen 2θtan 2θ = 1

19. Interior a r = 2(1 + cos θ y exterior a r = 12 + 2 cos θ = 12 cos θ = −1

cos θ = −1

2

En los ejercicios 20− 24, encuentre el polinomio de Taylor Pn(x) de la funcion f en el punto x0 con elvalor de n dado

20. f(x) = 1 + x− x5, x0 = 1 n = 4

f ′(x) = 1− 5x4 f ′(1) = 1f ′′(x) = −20x3 f ′′(1) = −20f ′′′(x) = −60x2 f ′′′(1) = −60f ′′′′(x) = −120x f ′′′′(1) = −120

(x− 1)− 4(x− 1)− 20(x− 1)2

2!− 60(x− 1)3

3!− 120(x− 1)4

4!21. f(x) = arc tanx, x0 = 0 n = 3

f ′(x) =1

1 + x2

58

f ′′(x) = − 2x

(1 + x2)2

f ′′′(x) = −2(1 + x2)2 − 4x(1 + x2)(2x)

(1 + x2)2=

(x+ 1)[2(1 + x2)− 8x

(1 + x2)4=

2x2 − 8x− 2

(1 + x2)3

x+2x2

2!= x+ x2

22. f(x) = lnx, x0 = 1 n = 9

f (1)(x) =1

xf (2)(x) = − 1

x2f (3)(x) =

2

x3f (4)(x) = − 6

x4f (5)(x) =

24

x5

f (6)(x) = −120

x6f (7)(x) =

780

x7f (8)(x) = −5460

x8f (9)(x) =

43680

x9

(x−1)− (x− 1)2

2!+

2(x− 1)3

3!− 6(x− 1)4

4!+

24(x− 1)5

5!− 120(x− 1)6

6!+

780(x− 1)7

7!− 5460(x− 1)8

8!+

43680(x− 1)9

9!

23. senx, x0 =π

4n = 6

√2

2

[1 + (1− π

4 )−(x− π

4 )2

2!−

(x− π4 )3

3!+

(x− π4 )4

4!+

(x− π4 )5

5!−

(x− π4 )6

6!

]24. f(x) = arc senx, x0 = 0 n = 3

f ′(x) =1√

1− x2

f ′(x) = − 3x√(1− x2

3

f ′′′(x) =

3√

(1− x2)3 − (3x)−2x

2√

(1− x2)3

(1− x2)2

=

(1− x2)3/2[3 +

2x2

(1− x2)3

](1− x2)3

=

3(1− x2)

(1− x2)3/2

(1− x2)3

=3

(1− x2)6/4

x+3x3

3!

59