Calculo Integral

La Integral

Introduccion

El calculo diferencial se centra en el concepto de derivada. Recordemos que la motiva-cion original para la derivada fue el problema de definir las rectas tangentes a las graficasde las funciones y el calculo de las pendientes de dichas rectas (figura: 1.1). Las derivadas

Pendiente m =?. mPQ =f(x) − f(a)

x − am = lım

x→a

f(x) − f(a)

x − a

Fig. 1.1: El problema de la re cta tangente motiva el calculo diferencial

se usan para calcular la velocidad y la aceleracion, estimar la razon de propagacion de unaenfermedad, fijar niveles de produccion de manera que pueda maximizarse la eficiencia, en-contrar las mejores dimensiones para una lata cilındrica, averiguar la antiguedad de un objetoprehistorico, y para muchas otras aplicaciones.

El calculo integral se basa en el concepto de la integral. La definicion de la integral esmotivada por el problema de definir y calcular el area de la region que se encuentra entre lagrafica de una funcion de valores positivos f y el eje x en un intervalo cerrado [a, b].

El area de la region S de la siguiente figura esta dada por la integral de f de a a b, denotada

por el sımbolo

∫ b

a

f(x)dx. Pero la integral, ası como la derivada, es importante debido a

su aplicacion a muchos problemas que implican movimiento, velocidad, crecimiento de po-blacion, volumen, longitud de arco, area de superficie y centro de gravedad, entre otros. Elteorema principal de este seccion es el Teorema Fundamental del Calculo, el cual proporcio-na una conexion “o mas bien un matrimonio”vital entre las operaciones de derivacion eintegracion proporcionando un metodo eficaz para el calculo de integrales.

El problema del area mo-tiva el calculo integral

Area(S) =

∫b

a

f(x)dx

Veremos que en vez de encontrar la derivada de la funcion f(x) necesitamos hallar unanueva funcion F (x) tal que

F ′(x) = f(x)

Es decir, necesitamos estudiar un proceso opuesto a la derivacion, la “Antiderivacion”.

1

1.0.1. Antiderivadas o primitivas

Hemos analizado como encontrar la derivada de una funcion. Sin embargo, muchos problemasexigen recuperar una funcion a partir de su derivada conocida (es decir, a partir de su razonde cambio conocida). Por ejemplo,

Un fısico que conoce la velocidad de una partıcula podrıa desear conocer su posicionen un instante dado.

Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el agua de untanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo.

Un biologo que conoce la rapidez a la que crece una poblacion de bacterias puedeinteresarse en deducir el tamano de la poblacion en algun momento futuro.

En cada caso, el problema es el mismo, debemos hallar una funcion F cuya derivada es enla funcion conocida f . Si tal funcion F existe, se llama una antiderivada de f .

Definition 1. Una funcion F recibe el nombre de antiderivada o primitiva de lafuncion f en un intervalo I si F es continua en I y F ′(x) = f(x) para todo x ∈ I,salvo a lo sumo en un numero finito de puntos.

NOTA: Usamos letras mayusculas como F para representar una antiderivada de una funcionf , G para representar una antiderivada de una funcion g, y ası sucesivamente. Tambienpodemos escribirla como

F (x) = Ant(f(x))

Ejemplo 1. Halle las siguientes antiderivadas:

f(x) = x5

g(x) = 1√x

h(x) = sin(2x)

i(x) = cos(x2 )

f(x) = (5x4 + 2 cos(5x)− 3√x)

g(x) = [2 cos(3t) + 5 sen(4t)]

m(x) = 20(4−5x)3

Ejemplo 2. La antiderivadas de g(x) = ex son, por ejemplo,

G1(x) = ex − 1, G2(x) = ex − ee, G3(x) = ex +

√3

2, G4(x) = ex + k

donde k es cualquier constante real.

Ejemplo 3. Dada la funcion f(x) = 3x2, entonces F (x) = x3 es una primitiva de f(x) =3x2, como tambien lo son las funciones

G(x) = x3 + 17, H(x) = x3 + π K(x) = x3 +√2.

En realidad, J(x) = x3 + C es una primitiva de f(x) = 3x2 para cualquier eleccion de laconstante C.

Ejemplo 4. Complete las siguientes formulas para las antiderivadas

2

PREGUNTA ¿porque las antiderivadas son continuas y no necesariamente diferenciables?

Ejemplo 5. Definamos

f(x) =

1 si x ∈ [1, 2],

0 si x /∈ [1, 2],

En este caso no hay ninguna funcion cuya derivada coincida con f(x) en todo punto. Sinembargo, la funcion tiene una primitiva. Definiendo

F (x) =

0 si x < 1 ,

x− 1 si 1 ≤ x ≤ 2,

1 si x > 2,

se tiene que F es continua en R, y F ′(x) = f(x) salvo cuando x = 1 y x = 2. Luego F esprimitiva de f en todo R.

Pregunta “Si F (x) = Ant(f(x)) en el intervalo I, ¿cualquier otra antiderivada de f en Idifiere de F a lo mas en una constante?”. Dicho de otro modo, si F1(x) = Ant(f(x)) en I,¿necesariamente F1(x) = F (x) + C, ∀x ∈ I?

La respuesta es afirmativa y se deduce de la siguiente teorema.

Teorema 2. Sea F es una antiderivadas de f en el intervalo I. Si F1 es tambien unaantiderivada de f en I si y solo si F1(x) = F (x) + C para todo x ∈ I, donde C es unaconstante.

DEM:

3

1. Interpretacion geometrica del teorema: Las graficas de dos antiderivadas F (x) + C1

y F (x) + C2 de la misma funcion f(x) en el mismo intervalo I son “paralelas” enel sentido que se aprecia en las figuras Ahı observamos que la constante C es ladistancia vertical entre las curvas y = F (x) y y = F (x) + C para cada x en I.

2. Una funcion puede tener muchas primitivas, pero una unica derivada.

3. La familia completa de Antideridavas de un funcion se representa agregando una cons-tante C a una antiderivada conocida.

4. La constante C recibe el nombre de constante de integracion.

NOTA: Hay que senalar que existen buenas razones para limitar nuestra atencion a losintervalos donde estan definidas las antiderivadas. De lo contrario, podrıa ocurrir que unafuncion tenga antiderivadas que no difieran en una unica constante.

Ejemplo 6. Las siguientes funiciones son primitivas de f(x) = − 1

x2.

F1(x) =

1

x+ 5 si x > 0,

1

x− π si x < 0,

F2(x) =1

x,

claramente, F1 y F2 no difieren de una UNICA constante sobre todo su dominio S = (−∞, 0)∪(0,∞)

1.0.2. Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales

Encontrar una antiderivada de una funcion f(x) constituye el mismo problema que en-contrar una funcion y(x) que satisfaga la ecuacion

dy

dx= f(x) o y′ = f(x)

A esto se le llama ecuacion diferencial, ya que es una ecuacion que involucra una funciondesconocida y que esta siendo derivada. Para resolverla, necesitamos una y(x) que satisfagala ecuacion. Esta funcion se encuentra tomando la antiderivada de f(x). Fijamos la constantearbitraria que surge en el proceso de antiderivacion dando una condicion inicial

y(x0) = y0

Esta condicion significa que la funcion y(x) tiene el valor y0 cuando x = x0. La combinacionde una ecuacion diferencial y una condicion inicial se llama problema de valor inicial.Tales problemas juegan papeles importantes en todas las ramas de la ciencia. He aquı unejemplo de un problema de valor inicial.

Ejemplo 7. Encontrar la curva cuya pendiente en el punto (x, y) es 3x2 si la curva debepasar por el punto (1,−1)

4

SOL: Aquı, estamos pidiendo resolver el siguiente problema de valor inicial.

Ec. Diferencial:dy

dx= 3x2

Cond. Inicial: y(1) = 1

La funcion y es una antiderivada de f(x) = 3x2 de manera que y = x3 + C. Encontramos Ca partir de la condicion inicial y(1) = −1. Demostrando que y = x3 − 2.

Ejercicio 1. Encuentre f sabiendo que f ′ = ex +10

1 + x2y f(0) = −2

Ejemplo 8. Un globo que esta subiendo a razon de 12 pies/seg esta a una altura de 80 piessobre el suelo cuando se lanza un paquete desde el. ¿Cuanto tiempo tarda el paquete en llegaral suelo?

SOL: Sea v(t) la velocidad del paquete en el tiempo t, y sea s(t) su altura sobre elsuelo. La aceleracion de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra es 32 pies/seg Luego,matematicamente tenemos

E.Dif :ds

dt= −32 Cond.Inicial v(0) = 12

No es difıcil ver que la velocidad es v = −32t+ 12. Ahora, como la velocidad es la derivadade la altura, entonces tenemos un segundo problema de valores iniciales.

E.D :dv

dt= −32t− 12 Cond.Inicial s(0) = 80

De aquı concluimos que la altura que tiene el paquete sobre el suelo en el tiempo t es s(t) =−16t2 + 12t+ 80.

Ahora halle el tiempo tarda el paquete en tocar el suelo.

Geometrıa de las Antiderivadas

Si se conoce la grafica de una funcion f , serıa razonable que podamos dibujar la graficade una antiderivada F . Por ejemplo, suponga que sabe que F (0) = 1. Entonces, hay unpunto de donde partir, el punto (0, 1), y la direccion en la cual tenemos que desplazarnos laproporciona, la derivada.

5

Ejemplo 9. La grafica de una funcion f se ilustra en la figura 5. Trace un croquis de unaantiderivada F , dado que F (0) = 2.

SOL:

Partimos del punto (0, 2) pues F (0) = 2.

f(x) < 0 en 0 < x < 1 luego F decrece en 0 < x < 1.

f(x) > 0 en 1 < x < 3 luego F crece en 1 < x < 3.

f(x) < 0 en x > 3 luego F decrece en x > 3.

f(1) = f(3) = 0 luego F tiene tangentes horizontales cuando x = 1 y x = 3

En x = 1 f cambia de − a +, luego F (1) hay un minimo

En x = 3 f cambia de + a −, luego F (3) hay un maximo

En x = 2 F ′′(x) = f ′(x) cambia de + a −, luego F (2) hay inflexion.

En x = 4 F ′′(x) = f ′(x) cambia de − a +, luego F (4) hay inflexion. Fig. 5

Ejercicio 2.

1. Se proporciona la grafica 1 de una funcion f . ¿Que grafica es una antiderivada de f ypor que?

2. Se presenta la grafica 2 de una funcion en la figura. Trace un croquis de una antideri-vada F , dado que F (0) = 1.

3. La grafica de la funcion velocidad de un automovil se ilustra en la grafica 3. Elabore lagrafica de la funcion posicion.

Gra. 1 Graf. 2 Graf. 3

Calculo de areas elementales

Tal vez el primer contacto que se tiene con el concepto de area son las formulas A = bh yA = bh

2 las cuales describen las areas de un rectangulo y un triangulo resp. Mientras que elarea de un polıgono se encuentra al dividirlo en triangulos y sumar las areas de esos triangulos.

6

Los antiguos griegos iniciaron el estudio de areas de figuras con lıneas curvas en los siglosIV y V a.C. Dada una region plana R cuya area querıan determinar, trabajaban con unpolıgono P inscrito en R (dentro de R) y con un polıgono Q cırcunscrito (o fuera de R).

Si los polıgonos Pn y Qn tenıan un numero suficientemente grande de lados, de longitudpequena, entonces parecerıa que sus areas, area(P ) y area(Q), se aproximan al area de laregion R. Ademas, es posible controlar el error: vemos que

area(P ) < area(R) < area(Q)

ya que R contiene al polıgono P pero esta contenido en el polıgono Q.

Nuestro objetivo principal es describir una tecnica sistematica para aproximar el area deuna region curvilınea adecuada utilizando una suma de areas poligonales faciles de calcular.

Sumas finitas y la notacion sigma

La notacion sigma nos permite escribir una suma con muchos terminosen la forma compacta

n∑

k=1

ak = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an

La letra griega∑

, significa “suma”. ındice de la sumatoria k nosdice en donde empieza la suma (mediante el numero que esta debajodel sımbolo) y en donde termina (usando el numero que esta arriba delsımbolo ). Se puede usar cualquier letra para denotar el ındice, pero lasletras mas usuales son i, j y k.

Ejemplo 10.

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 =

11∑

k=1

k2 =

11∑

r=1

r2

f(1) + f(2) + f(3) + · · ·+ f(100) =

100∑

i=1

f(i) =

100∑

s=1

f(s)

7

n∑

i=1

sin(ix) = sin(x) + sin(2x) + · · ·+ sin(nx)

Ejercicio 3. 1. Calcule

a)

n∑

i=m

k =

b)

n∑

i=1

k =

c)

n∑

i=m

f(i)− f(i− 1) =

d)

n∑

i=m

f(i+ 1)− f(i− 1) =

e)

n∑

i=1

f(i+ 1)− f(i− 1) =

2. Usando induccion matematica demuestre que

n∑

i=1

i =n(n+ 1)

2

n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

n∑

i=1

i3 =n2(n+ 1)2

4

3. Usando la formula paran∑

i=1

(i+1)2−(i−1)2,n∑

i=1

(i+1)3−(i−1)3 yn∑

i=1

(i+1)4−(i−1)4

demuestre respectivamente que

n∑

i=1

i =n(n+ 1)

2

n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

n∑

i=1

i3 =n2(n+ 1)2

4

4. Calcule

10∑

i=1

(2i2 − 3i) =

8

1.0.3. Areas bajo graficas

Primero vamos a empezar por definir la particion de un intervalo cerrado

Definition 3. Sea [a, b] un intervalo cerrado. Una particion del intervalo [a, b] es el conjuntoP de puntos x0, x1, x2, . . . , xn con a = x0 < x1 < x2, . . . < xn = b. Se denota con P ={x0, x1, x2, . . . , xn

}.

1. Toda particion P de [a, b] divide en n subintervalos al intervalo [a, b],

2. La longitud de cada subintervalo [xi−1, xi], para i = 1, 2, . . . , n , se denota con ∆ix =xi − xi−1. Se verifica

n∑

i=1

∆ix = (x1 − x0) + (x2 − x1) + · · ·+ (xn−1 − xn−2) = (xn − xn−1) = b− a

3. Se llama norma o diametro de la particion P al numero ‖P‖ = max1≤i≤n

{∆ix}

4. Cuando el intervalo [a, b] se divide en n partes iguales, la longitud de cada subintervalo

es ∆x =b− a

n. En este caso, los extremos de cada subintervalo son

x0 = a, x1 = a+∆x, x2 = a+ 2∆x, . . . xi = a+ i∆x, . . . xn = b

Ahora vamos a intentar resolver el problema del area: hallar elarea de la region S que esta debajo de la curva y y = f(x), desdea hasta b. Esto significa que S esta limitada por la grafica de unafuncion continua f donde f(x) ≥ 0, las rectas verticales x = a yx = b, y el eje x.Para aproximar el area de S dividimos la region S en n franjas deanchos iguales. El ancho del intervalo [a, b] es b− a, de modo queel ancho de cada una de las n franjas

∆x =b− a

n

Estas franjas dividen el intervalo [a, b] en n subintervalos

[x0, x1], [x1, , x2], [x2, x3], . . . , [xn−1, xn]

donde a = x0 y b = xn.

A partir de aquı podemos obtener una R-estimacion de la i-esima franja, Si, con unrectangulo con ancho ∆x y altura f(xi), valor que toma f en el punto extremo derecho delsubintervalo; o tambien podemos obtener una L-estimacion de la i-esima franja, Si, con unrectangulo con ancho ∆x y altura f(xi−1), valor que toma f en el punto extremo izquierdodel subintervalo.

Observe que los puntos extremos xi de la derecha de los subintervalos son:

a+∆x, a+ 2∆x, a+ 3∆x, . . . , b.

Mientras quelos puntos extremos xi−1 de la izquierda de los subintervalos son:

a, a+∆x, a+ 2∆x, a+ 3∆x, . . . , a+ (n− 1)∆x.

En decir los extremos estan dados por la siguiente formula xk = a+ k∆x

9

Despues, el area del i-esimo rectangulo con altura f(xi) o f(xi−1) es

f(xi)∆x f(xi−1)∆x.

Al sumar las areas de los rectangulos con altura f(xi) para i = 1, 2, 3, . . . , n, obtenemosla R-estimacion

Rn := f(x1)∆x+ f(x2)∆x+ · · ·+ f(xn)∆x =n∑

i=1

f(xi)∆x

del area real de S. De manera analoga, la suma de las areas de los rectangulos con alturaf(xi−1) es la L-estimacion

Ln := f(x0)∆x+ f(x2)∆x+ · · ·+ f(xn−1)∆x =

n∑

i=1

f(xi−1)∆x

La siguiente figura muestra esta R-estimacion para n = 2, 4, 8 y 12.

Observe que esta aproximacion parece mejorarse a medida que se incrementa la cantidadde franjas; es decir, si incrementamos la particion del intervalo [a, b], para ello hacemos tendern → ∞. Por consiguiente, se define el area A de la region S, de la manera siguiente:

Definition 4. El area de la region S que se encuentra debajo de la grafica de la funcion continua f esel lımite de la suma de las areas de los rectangulos de estimacion:

Area(S) = lımn→∞

Rn = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi)∆x Area(S) = lımn→∞

Ln = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi−1)∆x

NOTA: De hecho, en lugar de usar f(xi−1) o f(xi)como altura del rectangulo, podrıamos tomar f(x∗

i )donde x∗

i ∈ [xi−1, xi]. A estos numeros x∗1, x

∗2, . . . , x

∗n

los llamamos puntos representativos.

A = lımn→∞

f(x∗1)∆x+· · ·+f(x∗

n)∆x = lımn→∞

n∑

i=1

f(x∗i )∆x

10

Conclusion parcial: Si queremos hallar el area de un region S tendremos que usar estadefinicion de lımite. Es decir, debemos conocer la altura f(x∗

i ) y el ancho ∆x de cada unolos rectangulos que vamos a usar para estimar el area S.

Ejemplo 11. Use rectangulos para estimar el area A de la region R que se encuentra bajoIa parabola y = x2 y por arriba del intervalo [0, 3].

Calcularemos la R-estimacion y la L-estimacion del area A de R obtenida usando 5rectangulos, cada uno de ancho ∆x = 3

5 . Despues repetimos los calculos con 10 rectangulos,cada uno de ancho ∆x = 3

10 .

SOL: No es difıcil ver que los 5 extremos xi del lado derecho son 35 ,

65 ,

95 ,

125 y 3, mientras

que los 5 extremos xi−1 del lado izquierdo son 0, 35 ,

65 ,

95 , y

125 . Luego,

R5 =

5∑

i=1

f(xi)∆x = (

5∑

i=1

f(xi))∆x

=(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)

)∆x

=[

(3

5)2 + (

6

5)2 + (

9

5)2) + (

12

5)2 + (3)2

](3

5

)

= 11, 88

L5 =

5∑

i=1

f(xi−1)∆x = (

5∑

i=1

f(xi−1))∆x

=(f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4)

)∆x

=[

(0)2 + (3

5)2 + (

6

5)2) + (

9

5)2 + (

12

5)2](3

5

)

= 6, 48

Usando, el hecho de que

n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6y que xi = 0+i∆x = 0+i 3

10

R10 =

10∑

i=1

f(xi)∆x =

10∑

i=1

f(i3

10)3

10=

10∑

i=1

(i3

10)2

3

10

= (3

10)3

10∑

i=1

i2 = (27

1000)(10)(11)(21)

6= 10, 395

L10 =10∑

i=1

f(xi−1)∆x =10∑

i=1

f((i− 1)3

10)3

10=

10∑

i=1

((i− 1)3

10)2

3

10

= (3

10)3

10∑

i=1

(i− 1)2 =︸︷︷︸

k=i−1

(3

10)3

9∑

k=0

k2 = (3

10)3

9∑

k=1

k2

= (27

1000)(9)(10)(19)

6= 7, 695

Ahora calculemos con exactitud el area de la region bajo la grafica de f(x) = x2 en elintervalo [0, 3]. Si dividimos [0, 3] en n subintervalos, todos de la misma longitud, entoncestenemos

∆x =b− a

n=

3

nxi = 0 + i∆x = i

3

n

11

para i = 0, 1, 2, . . . , n. Por tanto,

n∑

i=1

f(xi)∆x =

n∑

i=1

x2i∆x =

n∑

i=1

(3i

n)2

3

n=

27

n3

n∑

i=1

i2 =27

n3

n(n+ 1)(2n+ 1)

6

De la definicion de area tenemos que

A = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi)∆x = lımn→∞

27(

3+

1

2n+

1

6n2

)

= 9

Ejemplo 12. Encontrar el area de la region limitada por la grafica f(x) = 4− x2, en el ejex y las rectas x = 1 y x = 2.

SOL: Se empieza notando que la funcion es continua y no negativa en el intervalo [1, 2].Despues, se divide el intervalo [1, 2] en n-subintervalos, cada uno de ancho ∆x = 2−1

n= 1

n.

Elegimos como puntos de muestra a xi (es decir, vamos hacer una R-estimacion) luego, lospuntos extremos derechos son xi = a+ i∆x = 1 + i

n

A = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi)∆x = lımn→∞

n∑

i=1

[

4− (1 +i

n)2] 1

n

= lımn→∞

n∑

i=1

[

3− 2i

n− i2

n2

] 1

n

= lımn→∞

( 1

n

n∑

i=1

3− 2

n2

n∑

i=1

i− 1

n3

n∑

i=1

i2)

= lımn→∞

[

3− (1− 1

n)−

(1

3+

1

2n+

1

6n2

)]

=5

3

En la definicion 4 de area, las particiones tenıan subintervalos de igual ancho. Esto se hizosolo por convenencia de calculo. El siguiente ejemplo demuestra que no es necesario tenersubintervalos de igual ancho

Ejemplo 13. [Subintervalos de anchos desiguales]

Encontrar el area de la region acotada por la grafica f(x) =√x y el eje x para 0 ≤ x ≤ 1.

SOL: Note que la funcion es continua y no negativa en el intervalo [0, 1]. Consideremos

una particion x0, x1, . . . , xn donde xi =i2

n2 , de manera que

∆xi = xi − xi−1 =i2

n2− (i− 1)2

n2=

2i− 1

n

Luego,

A = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi)∆xi = lımn→∞

n∑

i=1

√

i2

n2

(2i− 1

n2

)

= lımn→∞

1

n3

n∑

i=1

(2i2 − i) = lımn→∞

1

n3

[

2(n(n+ 1)(2n+ 1)

6

)− n(n+ 1)

2

]

= lımn→∞

4n3 + 3n2 − n

6n3=

2

3

OBS: La razon por la que esta particion en particular da el area apropiada es que cuandon crece, el ancho del intervalo mas grande tiene a cero. Esta caracterıstica es CLAVE deldesarrollo de las integrales definidas.

12

Ejemplo 14. Calcule el area de la region R limitada por las graficas de y = x+ 1 , x = 0 ,x = 3 y el eje x.

SOL: En este caso, f(x) = x + 1, a = 0, b = 3 y ∆x = 3n. Consideremos una particion

x0, x1, . . . , xn donde xi = 0+ i 3n, de manera que usando una L-estimacion encontramos que

Ejemplo 15. Calcule el area de la region R limitada por las graficas de y = x2 , x = 3 y eleje x.

SOL: En este caso, f(x) = x2, a = 0 y b = 3, ∆x = 3n. Consideremos una particion

x0, x1, . . . , xn donde xi = 0+ i 3n, de manera que usando una R-estimacion encontramos que

Ejercicio 4.

Determine el area bajo la grafica de f(x) = 100− 3x2 de x = 1 a x = 5.

Encontrar el area de la region limitada por la grafica f(x) = x3, en el eje x y las rectasx = 0 y x = 1

Encontrar el area de la region limitada por la grafica f(y) = y2, en el eje y y las rectasy = 0 y y = 1

1.0.4. Sumas de Riemann y la Integral

Empezamos con una funcion arbitraria f definida en un intervalo cerrado [a, b].f puede tener valores tanto negativos como positivos. Subdividimos el inter-valo [a, b] en subintervalos, no necesariamente del mismo ancho (o longitud), yformamos sumas como lo hicimos para las aproximaciones finitas. Para hacerlo,elegimos puntos entre a y b, que satisfagan

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.

El conjunto P = {x0, x1, x2, . . . xn−1, xn} se llama particion de [a, b]. La par-ticion P divide [a, b] en n subintervalos cerrados

[xo, x1], [x1, x2], . . . , [xk−1, xk], . . . , [xn−1, xn]

El ancho del primer subintervalo [xo, x1] se denota mediante ∆x1 el anchodel segundo intervalo es ∆x2 y el ancho del k-esimo subintervalo es ∆xk =xk − xk−1. Si todos los n subintervalos tienen el mismo ancho, ∆x = b−a

n,

diremos que la particion P es regular.

13

En cada subintervalo elegimos algun punto ck. Entonces, en cada subintervalo levantamosun rectangulo vertical a partir del eje x hasta tocar la curva en (c, f(ck). Estos rectangulospueden estar arriba o debajo del eje x, dependiendo de si f(ck) es positivo o negativo, o sif(ck) = 0

En cada subintervalo formamos el producto f(ck)∆xk. Este producto es positivo, negativoo cero dependiendo del signo de f(ck). Cuando f(ck) > 0, el producto f(ck)∆xk es el areadel rectangulo con altura f(ck) y ancho ∆xk. Cuando f(ck) < 0, el producto f(ck)∆xk es unnumero negativo, el negativo del area del rectangulo de ancho ∆xk que cae desde el eje x alnumero negativo f(ck). Finalmente sumamos todos estos productos para obtener

SP =

n∑

k=1

f(ck)∆xk

Definition 5. Sea f una funcion definida en un intervalo cerrado [a, b], y sea P una par-ticion de [a, b] dada por

a = x0 < x1 < x2 · · · < xn−1 < xn = b

donde ∆xk es el ancho de k-esimo subintervalo [xk−1, xk]. Si ck ∈ [xk−1, xk] entonces

SP =

n∑

k=1

f(ck)∆xk xk−1 ≤ ck ≤ xk

suma de Riemann de f para la particion P .

NOTA: Cuando una particion tiene subintervalos cuyo ancho varıa, podemos asegurar quetodos son angostos controlando el ancho del subintervalo mas ancho (mas largo). Definimosla norma de una particion P , denotada por ‖P‖ como el mayor de los anchos de todos lossubintervalos. Si ‖P‖ es un numero pequeno, todos los subintervalos de la particion P tienenancho pequeno.

14

Si los anchos ∆xk de estos rectangulos son todos muy pequenos (es decir, si la norma ‖P‖es pequena), entonces parece que la suma de Riemann SP aproximara el area de a a b bajoy = f(x) sobre el eje x, menos el area bajo el eje x.

NOTA: Si particion es regular esto es, todos los intervalos tienen la misma anchura lanorma se denota por

‖P‖ = ∆x =b− a

nparticion ordinaria

En una particion general, la norma se relaciona con el numero de subintervalos en [a, b] de lasiguiente forma

b− a

‖P‖ ≤ n particion general

De tal modo, que si ‖P‖ → 0 entonces n → ∞. La afirmacion reciproco es FALSA. Porejemplo, considere la particion del intervalo [0, 1] dado por

0 <1

2n<

1

2n−1< · · · < 1

8<

1

4<

1

2< 1

para cualquier valor positivo de n, la norma de la particion P es 12 (longitud mas grande).

De tal modo, como al dejar que n tienda a infinito no obliga a que ‖P‖ se aproxime a 0. SINEMBARGO, en una particion regular los enunciados ‖P‖ → 0 y n → ∞ si son equivalentes.

Definition 6. Sea f(x) una funcion definida en un intervalo cerrado [a, b]. La integral

definida de f en [a, b], es el numero

I = lım‖P‖→0

n∑

k=1

f(ck)∆xk

siempre que el lımite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. En otraspalabras, ∀ǫ > 0, ∃δ > 0 tal que ‖P‖ < δ para toda particion P de [a, b] y

∣∣∣I −

n∑

k=1

f(ck)∆xk

∣∣∣ < ǫ

Leibniz introdujo una notacion para la integral definida que evidencia su construccion comoun lımite de sumas de Riemann.

Si consideramos I como el area bajo y = f(x) de a a b, Leibniz penso primero en unadelgada banda con altura f(x) y ancho “ınfinitesirnalmente pequeno”dx, de modo que suarea era el producto f(x)dx. Considero la integral como una suma de areas de tales bandas

y denoto esta suma por

∫

.

Origen de la notacion de

Leibniz para la integral

Notacion y existencia de la integral definida

El sımbolo para el numero I en la definicion de la integral definida es

I =

∫ b

a

f(x)dx

que se lee como la integral de a a b de f(x) respecto de x. Tambien las partes quecomponen el sımbolo de la integral tienen nombres:

15

Cuando se satisface la definicion, decimos que las sumas de Riemann de f en [a, b] con-

vergen a la integral definida I =

∫ b

a

f(x)dx y que f es integrable en [a, b]. Tenemos muchas

opciones de una particion P con norma que tienda a cero, ası como numerosas alternativasde puntos ck para cada particion. La integral definida existe cuando siempre obtenemosel mismo lımite I, sin importar que elecciones hayamos hecho. En ese caso,

lım‖P‖→0

n∑

k=1

f(ck)∆xk = I =

∫ b

a

f(x)dx

Cuando cada particion es regular (es decir, ∆xk = b−an

= ∆x) escribiremos

lımn→∞

n∑

k=1

f(ck)∆x = I =

∫ b

a

f(x)dx

El tal caso, las condiciones ‖P‖ → 0, ∆x → 0 y n → ∞ son equivalentes

NOTA: El valor de la integral depende solo de la funcion f y no de la letra que elijamospara representar la variable independiente.

∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(t)dt =

∫ b

a

f(u)du

Dado que hay tal cantidad de opciones entre las cuales elegir al tomar un lımite de sumasde Riemann, puede parecer difıcil demostrar que tal lımite existe. Resulta, sin embargo, queno importa que eleccion se haga, las sumas de Riemann asociadas a una funcion continua

convergen al mismo lımite.

Teorema 7. Si una funcion f es continua en un intervalo [a, b], entonces f es integrable, esdecir, su integral definida en [a, b] existe.

1.0.5. Funciones integrales y no integrales

El Teorema 7 no dice como calcular integrales definidas, solo nos dice que las funcionescontinuas en el intervalo [a, b] son integrables ahı. Ahora la pregunta es, ¿las funciones queno son continuas pueden ser integrables o no?. R/ (Si) (Ejercicio). Para que una funcion nosea integrable es necesario que sea suficientemente discontinua.

Ejemplo 16. La funcion

f(x) =

1 si x es racional

0 si x es irracional

no tiene integral de Riemann en [0, 1].

16

SOL: Si escogemos una particion P de [0, 1] y elegimos ck como el valor maximo de f en[xk−1, xk] la suma de Riemann correspondiente es

U =∑

k=1

f(ck)∆xk =∑

k=1

(1)∆xk =∑

k=1

∆xk = 1

Por otra parte, si elegimos como el valor mınimo para f en la suma de Riemann es

L =∑

k=1

f(ck)∆xk =∑

k=1

(0)∆xk = 0

ya que cada subintervalo [xk−1, xk] contiene numeros irracionalesc ck donde f(ck) = 0. Comoel lımite depende de la eleccion de ck la funcion no es integrable.

Ejemplo 17. Utilice sumas de Riemann para calcular

∫ b

a

xdx donde a < b

SOL: Consideremos f(x) = x y x∗i = xi, donde ∆x = b−a

ny xi = a + i∆x. La suma de

Riemann es entonces

n∑

i=1

f(xi)∆x =

n∑

k=1

(a+ i∆x)∆x = a∆x

n∑

k=1

1 + (∆x)2n∑

k=1

i

= ab− a

nn+

(b− a

n

)2n(n+ 1)

2

Entonces,

I =

∫ b

a

xdx = lımn→∞

n∑

k=1

f(xk)∆x = lımn→∞

a(b− a) + (b− a)2(1

2+

1

2n) =

1

2(b2 − a2)

Propiedades de las integrales definidas

Cuando f y g son integrables, la integral definida satisface

∫ a

b

f(x)dx = −∫ b

a

f(x)dx

17

DEM(e): Para toda particion de [a, b] y cualquier eleccion de los puntos ck

(mın f)(b− a) = (mın f)

n∑

k=1

∆xk =

n∑

k=1

(mın f)∆xk ≤=

n∑

k=1

f(ck)∆xk

≤n∑

k=1

(max f)∆xk = (max f)

n∑

k=1

∆xk = (max f)(b− a) �

Ejemplo 18. Probar que el valor de

∫ 1

0

√1 + cos t dt es menor que 3

2 .

SOL: La desigualdad max-mın para integrales definidas dice que (mın f)(b−a) ≤∫ b

a

f(x)dx ≤(max f)(b− a). Pero, en nuestro caso,

max[0,1]

√1 + cos t =

√1 + 1 =

√2

De manera que

∫ 1

0

√1 + cos t dt ≤

√2 <

3

2

Area debajo de la curva de una funcion no negativa

Definition 8. Si y = f(x) es no negativa e integrable en un intervalo cerrado [a, b], entoncesel area debajo de la curva y = f(x) en [a, b] es la integral de f de a a b,

Area(S) =

∫ b

a

f(x)dx

Por primera vez tenemos una definicion rigurosa para el area de una region cuya fronteraes la grafica de cualquier funcion continua.

Ejemplo 19. Calcular

∫ b

a

x2dx y encontrar el area A debajo de en el intervalo [a, b], (b > 0).

SOL: Consideremos f(x) = x2, la particicion regular P = {x0, x1, . . . , xn} con ci = xi,

18

luego ∆x = b−an

y xi = a+ i∆x. La suma de Riemann es entonces

n∑

i=1

f(ci)∆x =

n∑

i=1

(a+ i∆x)2∆x = a2∆x

n∑

i=1

1 + 2a∆x

n∑

i=1

i+ (∆x)2n∑

i=1

i2

= a2(b− a

n

)

n+ 2a(b− a

n

)2n(n+ 1)

2+(b− a

n

)3n(n+ 1)(2n+ 1)

6

= a2(b− a) + a(b− a)2(1 +1

n) + (b− a)3

(1

3+

1

2n+

1

6n2

)

Entonces,

I =

∫ b

a

x2dx = lımn→∞

n∑

i=1

f(ci)∆x = a2(b− a) + a(b− a)2 +(b− a)3

3=

b3

3− a3

3

Valor promedio de una funcion y Teorema del valor medio

El concepto del valor promedio de una funcion es util para la demostracion del teoremafundamental. Por ello, empezamos con un concepto aritmetico: el promedio de n numerosa1, a2, . . . an se define como

a =a1 + a2 + · · ·+ an

n=

1

n

n∑

i=1

ai.

Pero, una funcion continua f en [a, b] puede tener una infinidad de valores f(x), peroaun ası podemos tomar una muestra de ellos de manera ordenada. Dividimos [a, b]en n subintervalos del mismo ancho ∆x = b−a

ny evaluamos f en el punto ck de cada

uno. El promedio de los n valores de la muestra es

f(c1) + f(c2) + · · ·+ f(cn)

n=

1

n

n∑

i=1

f(ci) =1

n

n

b− a

n∑

i=1

f(ci)b− a

n

=1

b− a

n∑

i=1

f(ci)∆x

Conforme incrementamos el tamano de la muestra n, ∆x → 0 y el promedio se

aproxima a1

b− a

∫ b

a

f(x)dx.

Definition 9. Si f es integrable en [a, b], su valor promedio en [a, b], tambienllamado valor medio es

prom(f) =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx

El teorema del valor medio para integrales definidas afirma que la funcion f alcanza siempre,por lo menos una vez en el intervalo, el valor promedio.

Teorema 10. Si f es continua en [a, b], entonces en algun punto c en [a, b],

f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx

19

DEM: De la propiedad del max-min tenemos que

(mın f)(b−a) ≤∫ b

a

f(x)dx = (max f)(b−a) entonces (mın f) ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x)dx

︸ ︷︷ ︸

K

≤ (max f)

Sea p, q ∈ [a, b] tal que mın f = f(p) y max f = f(q). Luegos, f(p) ≤ K ≤ f(q). Ahora,como f es continua, por el teorema del valor intermedio, ∃c ∈ [a, b] tal que

f(c) = K =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx �

¿Porque la continuidad es importante?. Es posible que una funcion discontinua nunca alcancesu valor promedio

Ejemplo 20. Probar que si f es continua en [a, b], a < b y si

∫ b

a

f(x)dx = 0 entonces

f(x) = 0 al menos una vez en [a, b].

SOL: El valor promedio de f en [a, b] es

prom(f) =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx =1

b− a0 = 0

De acuerdo con el teorema del valor medio, f alcanza este valor en algun punto c ∈ [a, b].

1.0.6. Teorema fundamental

Si f(t) es una funcion integrable en un intervalo finito I, la integral de cualquier numero fijoa ∈ I a otro numero x ∈ I define una nueva funcion F cuyo valor en x es

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt (1.1)

Esta funcion F esta bien definida ya que cada valor de la entrada x existe un resultado biendefinido numericamente. El TFC afirma que F ′(x) = f(x). Analicemoslo desde el punto devista geometrico.

Si f ≥ 0 en [a, b], entonces F ′(x) = lımh→0

F (x+ h)− F (x)

h. Primero que todo observe que si

h > 0 entonces F (x + h) − F (x) es una resta de areas, es decir es el area debajo la graficade f , de x a x+ h (ver grafica). Ahora si h es pequeno, esta area es aproximadamente igualal area del rectangulo de altura f(x) y ancho h,

F (x+ h)− F (x) ≈ hf(x) cuando h es pequeno

Por tanto, es razonable esperar que

F ′(x) = lımh→0

F (x+ h)− F (x)

h= f(x).

Este resultado es cierto aun si la funcion f no es positiva, y constituye la primera parte delteorema fundamental del calculo.

20

Teorema 11 (TEOREMA FUND. DEL CALCULO, parte 1).Si f es continua en [a, b], entonces

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt

es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), y F ′(x) = f(x)

DEM: Por la definicion de la derivada

F ′(x) = lımh→0

F (x+ h)− F (x)

h= lım

h→0

1

h

(∫ x+h

a

f(t)dt−∫ x

a

f(t)dt)

.

Pero,∫ x+h

a

f(t)dt =

∫ x

a

f(t)dt+

∫ x+h

x

f(t)dt

Entonces F ′(x) = lımh→0

1

h

∫ x+h

x

f(t)dt. El teorema del valor promedio nos dice que

1

h

∫ x+h

x

f(t)dt = f(c)

pam algun numero c ∈ [x, x+ h]. Cuando h → 0 x+ h → x, forzando a c a hacerlo tambien(porque c esta atrapada entre x y x+h ). Como f es continua en x, f(c) se aproxima a f(x)

lımh→0

f(c) = f(x)

veamos que F es continua en x = a,

lımx→a+

F (x)− F (a) = lımx→a+

F (x)− F (a)

x− a(x− a) = lım

x→a+

F (x)− F (a)

x− alım

x→a+(x− a) = 0

luego lımx→a+ F (x) = F (a). De manera analoga F es continua en x = b. Ası pues, F escontinua para todo punto de [a, b]. Esto concluye la prueba. �

Teorema 12 (TEOREMA FUND. DEL CALCULO, parte 2).Si f es continua en [a, b] y G es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces

∫ b

a

f(t)dt = G(b)−G(a)

DEM: Del Teorema Fundamental 11 nos dice que

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt

F es una antiderivada de f , pero como por hipotesis G es tambien una antiderivada de f .Luego,

G(x) = F (x) + C

para alguna constante C. Ahora evaluando tenemos

G(b)−G(a) = [F (b)− C]− [F (a)− C] = F (b)− F (a)

=

∫ b

a

f(t)dt−∫ a

a

f(t)dt

=

∫ b

a

f(t)dt �

21

NOTA INTERESANTE: Chic@s no les parece sorprendente que

∫ b

a

f(t)dt, que fue defi-

nida mediante un procedimiento “complicado” que requiere de todos los valores de f(x) paraa < x < b se pueda determinar conociendo los valores de F (x) en solo dos puntos, a, b.

Derivacion e integracion como procesos inversos

TEOREMA FUND. DEL CALCULO Si f es continua en [a, b]

1. Si F (x) =

∫ x

a

f(t)dt entonces F ′(x) = f(x), es decir F es una antiderivada de f

2.

∫ b

a

f(t)dt = G(b)−G(a) donde G es cualquier antideridada.

Usando la primera parte, encontramos que

d

dx

(∫ x

a

f(t)dt)

=d

dx(F (x)) = F ′(x) = f(x)

es decir, si INTEGRAMOS f y, a continuacion, DERIVAMOS el resultado, regresamos a lafuncion original f .

Teniendo en mente la segunda parte, y el hecho de que G′(x) = f(x), encontramos que∫ x

a

[

G′(t)]

dt =

∫ x

a

f(t)dt = G(x)−G(a)

es decir, si DERIVAMOS G y, a continuacion, INTEGRAMOS el resultado, regresamos ala funcion original G menos una constante G(a). Si elegimos a de modo que G(a) = 0, estosignifica que la integracion “cancela” el efecto de la derivacion.

NOTA HISTORICA: Sin duda, el teorema fundamental del calculo es el teorema, alcanzael nivel de uno de los mas grandes logros de la mente humana. Antes de ser descubierto, des-de los tiempos de Eudoxo y Arquımedes, hasta la epoca de Galileo y Fermat, los problemasde hallar areas, volumenes y longitudes de curvas eran tan difıciles que solo un genio podıaafrontar el reto. Pero ahora, armados con el metodo sistematico que Newton y Leibniz desa-rrollaron como el teorema fundamental, en los proximos capıtulos vera que estos estimulantesproblemas son accesibles para todos.

1.0.7. Notacion para Integrales

Debido a la relacion dada por el teorema fundamental entre las antiderivadas y las in-tegrales, necesita una notacion conveniente para las antiderivadas que facilite trabajar conellas. Por tradicion se usa la notacion

∫f(x)dx para una antiderivada de f y se llama integral

indefinida. Por esto,

∫

f(x)dx = F (x) + C Significa F ′(x) = f(x)

y para la integral definida usaremos la notacion dada por

∫ b

a

f(x)dx = F (x)∣∣∣

b

a= F (b)− F (a)

22