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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO INTEGRAL PROBLEMARIO = a a a a dx x f k dx x f k ) ( ) ( M. en C. FAUSTO ALARCON HERNANDEZ

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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA

ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS

CALCULO INTEGRAL

PROBLEMARIO

∫∫ −−=

a

a

a

adxxfkdxxfk )()(

M. en C. FAUSTO ALARCON HERNANDEZ

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La serie de ejercicios propuestos en el presente problemario esta dirigida a los estudiantes de segundo semestre de las diferentes carreras de ingeniería del Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec y para todo estudiante que este interesado o tenga la necesidad de ejercitar los conceptos del calculo integral. La serie de ejercicios ha sido seleccionada para el estudiante promedio Los prerrequisitos necesarios para ser abordados son; algebra, geometría y trigonometría y geometría analítica de nivel bachillerato.

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ÍNDICE DIFERENCIALES

1

INTEGRACIÓN

2

INTEGRACIÓN DE UNA FUNCION COMPUESTA POR SUSTITUCION

5

INTEGRACION POR PARTES

13

INTEGRALES TRIGONOMETRCAS

21

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

25

INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

29

CALCULO DE AREA

33

VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

34

VOLÚMEN DE SÓLIDOS CON SECCIONES CONOCIDAS

36

INTEGRALES IMPROPIAS

38

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Diferenciales Definición. Supóngase que y = f(x) representa una función diferenciable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada por dx) es cualquier número real diferente de cero. La diferencial de y (denotada por dy) es.

dy = f ’ (x) dx

En los siguientes ejercicios use la información con el fin de evaluar y comparar yΔ y dy. 1. y = 1 – 2x2 x = 2 1.0dxx ==Δ 2. y = x4 + 1 x = - 1 01.0dxx ==Δ

3. x1y = x = 2 001.dxx ==Δ

En los problemas 4 y 5 complete la tabla siguiente para cada función. x xΔ yΔ dy dyy −Δ

2 1 2 0.5 2 0.1 2 0.01

1

4. y = 5x2 5. x1y =

Encuentre la diferencial dy de la función dada.

6. 2x9y −= 7. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= −

21x6

51 Seny π

8. 9. CosxxSenxy −= ( ) 41

5x8y 3 +=

10. 1x1xy 2

2

+

−= 11. )3x(Lney x −=

12. x

1xy += 13.

1x

xSecy

2

2

+=

Utilice el concepto de diferencial para encontrar para encontrar una aproximación a la expresión dada.

14. 35 15. 991

16. 1)9.0(

)9.0( 4

+ 17. ( )1.0Tan 4 +π

18. Sen 31º 19. (1.1)2 + 6(1.1)2 20. Se encuentra que la medida del lado de un cuadrado es de 12 pulgadas, con un error posible de 64

1 pulgada. Use diferenciales para obtener una

aproximación del error propagado posible en el cálculo del área del cuadrado. 21. El radio de una esfera mide 6 pulgadas, con un error posible de 0.02 pulgadas. Use diferenciales para obtener una aproximación del error máximo posible en el cálculo del a) volumen de la esfera, b) el área superficial de esta y c) los errores relativos en los incisos a y b. 22. El alcance R de un proyectil es

( )θ2Sen32vR

20=

Donde v0 es la velocidad inicial, en pies por segundo, y θ es el ángulo de elevación. Si v0 = 2200 pies por segundo y se cambia el ángulo de 10º a 11º, use diferenciales para obtener una aproximación del cambio en el alcance. 23. Un tanque de almacenamiento de aceite en forma de cilindro circular vertical tiene una altura de 5 m. El radio mide 8 m, con un error posible de

25.0± m. Utilice diferenciales para calcular el error máximo en el volumen. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado de error.

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Integración Una función F es una primitiva o antiderivada de f sobre un intervalo I si f(x)(x)'F = para todos los x

en I. Observe que

31 2)( xxF = , , y 32)( 3

2 += xxF 102)( 33 −= xxF

Son antiderivadas de . En general para cualquier constante C, la función es

una antiderivada de f.

26)( xxf = CxxF += 32)(

Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f sobre el intervalo I si y sólo si G tiene la forma CxFxG += )()( En la solución de una ecuación diferencial de la forma

)(xfdxdy

=

Es conveniente escribirla en su forma diferencial equivalente dxxfdy )(= A la operación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se le llama antiderivacion o mejor aún

integración (integración indefinida) la cual se indica con el signo de integración . Así la solución de la

ecuación se denota como ∫

∫ +== CxFdxxfy )()(

en donde f(x) es el integrando dx indica la variable de integración. C es la constante de integración La integración y derivación tiene un carácter inverso, para comprobarlo basta sustituir )´(xF por )(xf en la definición.

2

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La integración como “inversa de la derivación. ∫ += CxFdxxF )()('

Ahora bien, si , entonces. ∫ += CxFdxxf )()(

)()( xfdxxfdxd

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫ La derivación como operación “inversa” de la integración.

Estas dos expresiones permiten obtener las formulas básicas de integración de las formulas de derivación. REGLAS BASICAS DE INTEGRACION Formulas de derivación

Formulas de integración

( ) 0=Cdxd

∫ =Cdx0

( ) kkxdxd

= ∫ += Ckxdxk

( ) )(')( xkfxkfdxd

= ∫ ∫= dxxfkxkf )()(

( ) )(')(')()( xgxfxgxfdxd

+=+ [ ]∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

( ) 1−= nn nxxdxd

1,1

1−≠+

+=∫

+nC

nxdxx

nn

( ) CosxSenxdxd

= ∫ += CSenxdxCosx

( ) SenxCosxdxd

−= ∫ +−= CCosxdxSenx

( ) xSecTanxdxd 2= ∫ += CTanxdxxSec2

( ) xCscCotxdxd 2−= ∫ +−= CCotxdxxCsc2

( ) TanxSecxSecxdxd

= ∫ += CSecxdxTanxSecx

( ) CotxCscxCscxdxd

−= ∫ +−= CCotxdxCotxCscx

3

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ESQUEMA GENERAL DE INTEGRACION

4

Ejemplo: Integral dada Reexpresar Integrar Simplificar

i) ∫ dxx42

= = ∫ − dxx 42 Cx+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

32

3 = C

x+− 33

2

ii) ∫ dxx35 = ∫ dxx 31

5 = Cx+⎟

⎜⎜

34

43

5 = Cx +43

415

iii) = = ∫ dxSenx3 ∫Senxdx3 ( ) CCosx +−3 = CCosx +− 3

iv) ∫ + dxx

x 2 = ∫ ∫ −

+ dxxdxx 21

21

2 = Cxx+⎟

⎜⎜

⎛+

21

23

21

23

2 = Cxx ++− 21

23

432

PROCEDIMIENTOS PARA AJUSTAR INTEGRANDOS A LAS FORMULAS BASICAS Técnica

Ejemplo

Desarrollar ( ) xxx eee 22211 ++=+

Separar el numerador

111

11

222 ++

+=

++

xx

xxx

Completar el cuadrado

22 )1(1

1

2

1

−−=

− xxx

Dividir si la función racional es impropia Sumar y restar términos al numerador

111

1 22

2

+−=

+ xxx

2222 )1(2

1222

12222

122

+−

+++

=++−+

=++ xxx

xxx

xxx

x

Usar identidades trigonométricas Multiplicar y dividir por el conjugado pitagórico

122 −= xCscxCot

xCosSenxxSec

xCosSenx

xSenSenx

SenxSenx

SenxSenx 22

221

11

11

11

11

−=−

=−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

Integral dada Reexpresar Integrar Simplificar

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5

NTEGRACIÓN DE UNA FUNCION COMPUESTA POR SUSTITUCION

ean f y g funciones que satisfacen las condiciones de la regla de la cadena para la función compuesta

I S

))(( xgfy = . Si F es una primitiva de f, entonces.

( I )

Haciendo ∫ += CxgFdxxgxgf ))(()('))((

)(xgu = , entonces dxxgud )(')( = y sustituyendo en I

∫ ∫ +=+== CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((

jemplo:

1)

E

∫ ∫ ∫ ++=+===+

− CxCuduuduu

dxx

x 2

212

525

23515

35 2

1

21

xdxdudxxduxu

=

=+=

21

2

23

) 2

( ) ( )∫ ∫ ∫ +++

−=+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

===++

+ −− C

xxC

uuduudu

udx

xx

x622

121

12115

62

12

1

212

21

222

( ) ( )( )dxxdu

dxxdxxduxxu

1

122262

21

2

+=

+=+=++=

3) ( ) CeLnududx

ee x

x

x++==

+ ∫∫ 22

dxedu

eux

x

=

+= 2

∫ ∫ +−=−= CxCosduudxSenxxxCos 24813

21223 4)

dxxSenxdu

dxxCosxdu

Cosxu

221

2

2

2

=−

−=

=

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6

valuar las siguientes integrales

1.

2.

3.

4.

13.

Ey comprobar el resultado por diferenciación

dxxa5 62∫

( ) dxxx∫ ++ 386 2

( ) ( ) dxbxaxx ++∫

∫ dxpx2

5.

6.

( ) dxbxa2

3∫ +

∫ n xdx

7. ( )∫ −dxnx n

n1

8. dxxa3

32

32

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

9. ( )∫ − dxax

xa 4

10. ( )( )dx1xx1x∫ +−+

11. ( )( ) dxx

2x1x3 2

22

∫ −+

12. ( )∫ − dxxxx

2nm

∫ +7xdx

2

14. ∫ − 10xdx

2

15.

dxx4

x2x24

22

∫ −

−−+

16.

∫ − 2x8

dx

17. ∫ + 2x4

dx

18. ∫ xdxTan2

19. xdxCot2∫

20. ∫ dxe3 xx

21. ∫ − xaadx

22. ∫ +− dx

x23x31

23. ∫ + bxaxdx

24. dx1x23x2∫ +

+

25.

dxbaxbax∫ −

+

26. dx1x1x2

∫ −+

27. dx3x

7x5x2

∫ +++

28. dxax

ba2

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

29. ( )∫ +

dx1x

x2

dx1x

1xx 24

∫ −++ 30.

31. .y1

bdy∫ −

32. ∫ − dxbxa

33. dx1x

x2∫ +

34. ∫ + 5x3dx2

35. ∫ − 8x7dx2

36. dxx

xlnx∫ +

37. ( ) ( )∫ −−+ 2xbaba

dx

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38. dx2x

x2

2

∫ +

39. ∫ −dx

xax

22

3

7

40. ∫ + 2x87

dx

41. ∫ − 2x57

dx

42. ∫ +

+− dx4x

6x5x2

2

43. ∫ −

− dx2x3

5x22

44. ∫ +

− dx7x5x23

2

45. ∫ +

+ dx1x5

1x32

46. ∫ − 5xxdx2

47. ∫ + 3x2xdx2

48. dx4x

3x2∫ −

+

49. ∫ +

+ dxbxa

bax222

50. ∫

51. dx1∫ + 6

2

x

x

∫ +dx

x4

arctg22x

− 4xa

xdx4

52.

54. ∫ −dx

x1arcsenx

2

55. ∫ +

−dx

x41

x2arctgx2

56.

( )∫ 2 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++ 2 11 xxLnx

dx

57.

dx4 x32∫ −

58. ( )∫ −− tee tt d

59. ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−dxee

2ax

ax

60. dxae mx∫ −

61. ( ) dxbabaxx

2xx

∫ −

68. ∫ − dxa

1ax

x2

69. ( ) dxxe 1x2∫ +−

70. ∫ dxxe

2

x1

71. ∫ x

dx5 x

72. ∫ dx7x2x

73. ∫ −dx

1eex

x

74. ∫ − dxbeae xx

dxe1e ax3

1

ax

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 75.

76. ∫ + x2

x

a1dxa

77. ∫ −

−dx

e1e

bx2

bx

78. ∫ x2dx

79. ∫ − t2

t

e1dte

80. ∫ ( )+ dxbxaSen

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81. ∫ dx2xCos

8

82. ∫ xdxxCos

83. ( )∫ xdxxLogSen

87.

84. 2( )∫ + dxSenaxCosax

85. ∫ xdxSen2

86. ∫ xdxSen2

∫ axdxCot 2

88. ∫axSen

dx

89. ( )∫ − 4x5Cos3dx

π

90. ( )∫ + dxbaxSec2

91. ( )∫ + baxSendx

92. ∫ 22 xCosxdx

93. ( )∫ − dxx1xSen 2

94. ∫ dxTanx

98. ∫ dxxCot

99. dx1Senx

12

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

100. ∫ −dx

baxCot

101. ∫5xTan

dx

102. ∫ xdxxTan

103. ∫ dxaxSen

axCos

104. ∫ CosxSenxdx

105. ( )∫ + dx1xxcTan 2

106. ∫ dxx6xCos6Sen3

107. ∫ dxaxSen

Cosax5

108. ∫ +dx

x3Cos3x3Sen

109. ∫ + dxx2xSenCos31 2

110. dx3xSec

3xTan 23∫

111. dxxSenxCos

SenxCosx22∫ −

112. ∫ dxxCos

Tanx2

113. dxxSen

xCot232

114. ∫ + dxx3cosx3sen1

2

115. dxx3aCot6

x3Csc2

∫ −

116.

( ) dxSenax

SenaxCosax 2

∫ +

117.

∫ xdxsh2

118. ∫ shxdx

119. ∫ chxdx

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120. ∫ thxdx

9

121.

122.

∫ cthxdx

∫ shxchxdx

123. ∫ − dxx5x 5 25

124.

∫ +−

− dx1x4x

1x4

3

125. ∫ +dx

5xx

8

3

126. ∫ +

+−dx

x32

x3232

2

127. ∫ +− dx1x1x3

128.

∫ − dxxe

2x

129. ∫ xe

dx

130. ∫ +− dx

CosxxSenx1

131. ∫ − dxx3Sen

x3Cotx3Tan

∫ −dx

2xTan

xSec2

2 132.

133. ∫ dxxxLn

dx2

134.∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

++ dx

1x2x2 2

135. ∫ Cosxdxa xsec

136. ∫ +dx

1x

2x3 3

137. ∫ − 4x1

xdx

138. ∫ dxaxTan2

139. dx2xSen2∫

140. ∫ − xTan4dxxSec2

2

141. ( )∫ 2xSendxx

42.

1

( )∫ +

+++ dxx1

12x1ear Lnx2

xcot

143.

∫ −−

1xdx1xTan

144. ∫ +− dx

CosxSenxCosxSenx

145. ∫⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

dxSen

Sen1

2x

2

2x

146. ∫ −dx

2xx

2

2

dx2Sene xSen2

147. x∫

148. ( )( )∫ +

+ dxx1xx1

2

2

149. ∫ −

− dxx34

x352

150. ∫ + 1edxx

151. ( ) ( )( )ab0

xbabadx

2

<<−++∫

152. ∫ −dx

2e

ex2

x

153. ∫ CosaxSenaxdx

154. (∫ )xLn4xdx

2

155. ∫ − dxxsece 2Tanx

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156. dxx4

arccos22x

∫ −

157. ∫ −d

10

xx4sen2

CosxSenx

158. ∫ xCosxSendx

22

159. ∫ +dx

1xSecTanxSecx

2

160. ∫ −

+ dxx1

xarcsenx2

161. ∫ +dx

x22Cos4x2Cos2

162. ∫ + xCos1dx

2

163.

( )∫ +

++ dxx1

12xxLn2

164.

166.

( )∫ + dx3xchx 32

165. ( )∫ + dx5x2x 10

∫ dxxch

thx32

167. ∫ + 1x2xdx

168. ∫ − 1e

dxx

169. xdx

x4Lnx2Ln∫

170. ∫ +dx

1e

ex

x2

171. ( ) dxx1

arcsenx2

2

∫ −

172. dxCosx

x3Sen∫

173. ∫ + 2x1x

dx

174. ∫ − 2

2

x1

dxx

175. ∫ − 2

3

x2

dxx

176. ∫ − 1xx

dx2

177. ( )∫ − x1xdx

Sugerencia; hacer x = Sen2 t

178. dxx

ax 22

∫ −

179. ∫ +dx

x1x2

180. ∫ − 22 x4x

dx

181. ∫ − dxx1 2

182. ∫ dxarcsenx

183. ∫actgxdx

184. ∫ dxLnx

185. ∫ dxxsenx

186. ∫ dxx3cosx

187. ∫ dxexx

188. ∫ dxexx32

189. ( )∫ −+− dxe5x2x x2

190. ∫ − dx2x x

191. ∫−

dxex 3x

3

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11

192. ∫ dxxSenxCosx

193. ∫ dxLnxx2

194. dxxxLn∫

195. x∫ dxarctgx

196. ∫ dxxLn2

197. ∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++ dxx1xLn 2

198. ∫ dxxarcsenx

199. ∫ xSenxdx

2

200. ∫ dxCosx3x

201. ∫ dxsenxe x

202. dxxSen

xCosx2∫

203. ∫ dxSenbxeax

204. ( )∫ dxLnxSen

∫ dx3 x

205.

206. ( )∫ +− dxLnx3x2x2

207. ∫ +− dx

x1x1xLn

208. ∫ − dxex2x3

209. ( )∫ dxarcsenx 2

210. ∫ dxx

arcsenx2

211. ( )∫ dxarctgxx 2

212. ∫ −dx

x1xarcse

213. ∫ dxx2xtg 2

214. ∫ dxe

xSenx

2

215. ( )∫ dxxLnCos2

216. ( )∫ +

dx1x

x22

2

217. ( )∫ +

222 ax

dx

218. ∫ − dxxa 22

219. ∫ + dxxa 2

220. ∫ − 2

2

x9

dxx

221. ∫ ++ 5x2xdx

3

222. ∫ + x2xdx

2

223. ∫ +− 1xx3dx

2

224. ∫ + x2xdx

2

225. ∫ −+ 2x2x32

dx

226. ∫ − 2xx

dx

227. ∫ ++ qpxxdx

2

228. dx5x4x

6x32∫ +−

229. ∫ dxx

xLn2

2

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12

230. ( )∫ dxxLnxLn

231. d∫ xx3arctgx2

232. dxxx1

8x22∫ −−

233. dx1x2x5

x2∫ +−

234. ∫ − 2x1x

dx

235. ∫ −+ 1xxx

dx2

236. ( )∫ −− 2x1x

dx2

237. ∫ ++ dx5x2x2

238. ∫ − dxxx 2

239. ∫ −− dxxx2 2

240. ∫ +− 3x4xxdx

24

241. ∫ 12+−dx

Senx6xSenCosx

2

242. ++ x2x

x

ee1

dxe

243.

∫ ++ 1Cosx4xCos

Senxdx2

244. ∫ −− xLnLnx41x

dxLnx2

245. ( ) ( )∫ ++ bxaxdx

246. ( )( )( )∫ ++− 3x2x1xdx

247. ∫ +−

+− dx6x5x9x5x

2

2

248.

( )( )( )∫ −+−−+ dx

4x3x1x91x41x2 2

9.

24 ∫ +−

+ dxx4x5x

2x523

3

250. ( )∫ − 21xx

dx

251. dxxx4

1x3

3

∫ −

252.

∫ −+−

++− dx8x12x6x6x12x6x 24

23

3

53.

2 ( ) ( )∫ +−

++ dx1x3x9x6x5

22

2

( )∫ −−

+− dx10x3x

7x8x22

2

254.

255. ( )∫ +−

− dx2x3x

3x232

256. ( )∫ +

++ dx1xx1xx

2

3

∫ −dx

1xx4

4 257.

258.

( )( )∫ +++− 5x4x3x4xdx

22

59.

2 ∫ + 1xdx3

260. ∫ + 1xdx3

∫ + 1xdx3 261.

262. ( )∫ +

22x1

dx

263. ( )∫ ++

+ dx2x2x

5x322

264. ( )( )∫ +++

22 1xx1x

dx

265. ( )∫ +−

+ dx5x4x

1x22

3

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13

266. ( )( )∫ +++ 21x2x1x

dx

67. 2 ( ) ( )∫ ++

222 1x1x

dx

68. 2 ( )∫ −

24 1x

dx

269. ( )∫ +

42 1x

dx

270. ( )∫ +−

+− dx2x2x

2x2x22

24

271. ( )( ) dx8x1x

x33

5

∫ ++

72. 2 dx1x2x

xx412

37

∫ +−

+

73. 2 ( ) ( )

dx2x4x

14xx3

2

∫ −−

+−

274. ( )∫ +

234 1xx

dx

275. ( )∫ +

234 1xx

dx

276. ( )∫ + 1xxdx7

77. 2 ( )∫ +

25 1xx

dx

78. 2 ∫ −+− 2x52x4xdx

3

279. ( )∫ + 1xxdx7

280. ( )∫ +

25 1xx

dx

281.

( )∫ ++++ 5x2x2x2xdx

22

282. ( )∫ − 10

2

1xdxx

283. ∫ + 68 xxdx

284. ∫ −dx

1xx3

289. ∫ +3 baxxdx

290. ( )∫ +++ 31x1x

dx

291. ∫ + 3 xxxdx

292. ∫ +

−dx

1x

1x3

293. ( )∫ +−+

++dx

1x1x

21x2

294. ( )∫ − 10

2

1xdxx

295. ( )∫ −− x1x2

dx

∫ +− dx

1x1x

3 296.

297. ∫ +

+ dx3x2x

3x3

298. ∫ +− 1xx

dxx2

2

299. ∫−

dxx

x2

5

1

300. ∫ −dx

x1

x2

6

301. ∫ − 1xx

dx25

302. ( )∫ ++ x2

x1x

dx23

03. 3 ∫ +−

++ dx1xxx

1xx2

2

304. ( ) dxx21x23

23−

∫ +

05. 3 ∫ +4 4x1

dx

06. 3 ∫ +4 2x1

dx

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14

307. ∫ +3 5x1x

dx ∫ dxxCosSen 42 ∫ xxCosSendx

42324. 316.

308. ∫ dxxCos3 ∫ x5Sendx

( )∫ + 35

3x2x

dx2

317. 325.

326.

309. ∫ xSendx

4

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

dxSenxCosx

4xSen π

∫ +3 4 33 xx1x

dx 318.

310.

311.

12.

319.

∫ dxxCos3 ∫ dxxxCosSen 32 ∫ dxx4Sec5

20. ∫ dxxSen5

3 ∫ dx2xCos

2xSen 53

313.

14.

∫ dxxSen4

3 ∫ dxxxCosSen 22

3 ∫ xCosdx

6

321. ∫ dxxSenxCos

6

2

322. ∫ xxCosSendx

35

327.

328.

329.

15.

∫ dxx5Tan2

∫ dxxCot 3

∫ dxxSenxCos

3

5 3 324. 323. ∫

2x3

2x CosSendx

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INTEGRACION POR PARTES De la regla para derivar el producto de dos funciones

( )dxduv

dxdvuuv

dxd

+= ( I )

donde u y v son funciones de x La integración de I da lugar a una formula

( ) dxdxduv

dxdvudxuv

dxd ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∫∫ += duvdvuuv

Llamada fórmula de integración por partes ∫∫ −= duvuvdvu

Al aplicar esta formula la idea es resolver la integral ∫udv por medio de la evaluación de la integral

, la cual se espera sea mas sencilla. ∫ vdu

Ilustremos este método con un ejemplo.

Ejemplo 1. Hallar ∫ dxxex

Hagamos: xu = y dxedv x=

dxdu = ∫∫ = dxedv x

xev = Entonces al integrar por partes

15

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( )∫∫ +−=+−=−= CexCexedxexedxxe xxxxxx 1

Ejemplo 2. Hallar ∫ dxxxLn2

Hagamos xLnu 2= y xdxdv =

Entonces x

du 1= 2

21 xv =

CxxLnxdxxxLnxdxxxLn +−=−= ∫∫ 3612

212

212

21 222

Ejemplo 3. Hallar ∫ dxSenxex

Hagamos y xeu = Senxdxdv = Entonces xedu = Cosxv −=

∫∫ +−= dxxeCosxedxSenxe xxx cos

Para la última integral, sea y xeu = dxCosxdv = ; entonces, xedu = y ; así dxCosxdv =

∫∫ −+−= dxSenxeSenxeCosxedxSenxe xxxx

Trasladando la última integral

SenxeCosxedxSenxe xxx +−=∫2

Finalmente,

( ) CCosxSenxedxSenxex

x +−=∫ 2

16

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Compruebe las siguientes integrales, utilizando integración por partes.

1. ∫ +−= CxxLnxdxLnx

2. ∫ ++= CCosxxSenxdxxCosx

3. Cxxarcsenxdxarcsenx +−+=∫ 21

4. ∫ +−= Cexedxxe xxx 2412

212

5. ∫ +−= CxLnxxdxxLnx 2412

21

6. ∫ +++−= CCosxxSenxCosxxdxSenxx 2222

7. ∫ ++−= CxxLnxxxLndxxLn 2222

8. ∫ +−= CCosxSenxdxSenxexex )(2

9. ( ) Cexxdxex xx +−−=∫ 63 233

10. ( )∫ +−+−+= −− CxxxxSenxdxxSenx )1(1 2322213

311

11. ∫ ++−= CxLnxxdxx )1(arctanarctan 221

12. ∫ +−= CxLnxxdxx

xLnx 42

13. ( )∫ +++= CTanxSecxLnSecxTanxdxxSec )(213

17

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14. ∫ ++−= CCosxLnxTanxdxxxTna x )(22 2

15. ( )∫ +−+=+ Cxxdxxx 23)1(1 23

152

16. ( ) ( )∫ +−= CLnxxCosLnxSendxLnxSen )()(21

17. CLnxLnxLnxLndxxLnxLn

+−=∫ )()(

18. Cxxdxxx ++−−=−∫ )6()9(9 225123 2

3

19. ( )∫ +−+=++ CLnxxdx

xxLn 212

1)1(

20. ( )∫ ++−= CCosxSenxe

dxe

Senxxx 2

1

21. ( )∫ ++−= CLnaaxxdxax

xx 2222

22. [ ]∫ +++−= CLnxxLnx

dxx

xLn 14832

1 245

2

23. ( )∫ +++

= CSenxCosxLnLn

dxCosxx

x )2(12

22 2

18

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MÉTODO TABULAR PARA EL USO REPETIDO DE LA INTEGRACIÓN POR PARTES. ESTE MÉTODO FUNCIONA BIEN PARA INTEGRALES DE LOS TIPOS SIGUIENTES.

∫ Senaxdxxn , ∫ Cosaxdxxn , ∫ dxex axn

EJEMPLO, HALLAR: xdxSenx 4∫ SOLUCIÓN: COMO DE COSTUMBRE, EMPEZAMOS HACIENDO , dv = Sen4x dx A 2xu = CONTINUACIÓN, CREAMOS UNA TABLA DE TRES COLUMNAS COMO SIGUE.

u Y SUS DERIVADAS

SIGNOS ALTERNADOS

dv

Y SUS PRIMITIVAS

2x

+

19

Sen 4x

2x - xCos4

4

1−

2 + xSen4

16

1−

0 - xCos464

1

↑ DERIVAR HASTA OBTENER CERO. FINALMENTE, LA SOLUCIÓN SURGE DE MULTIPLICAR LOS PRODUCTOS CON SIGNO DE LAS ENTRADAS DIAGONALES, LO QUE CONDUCE A.

∫ +++−= cxCosxxSenxCosxxdxSenx 444432

1

8

12

4

12

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USA EL MÉTODO TABULAR PARA EVALUAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES.

21. 22. ∫ − dxex x3 ∫ xdxCosx 23

23. 24. ∫ xdxxSec2 ( ) dxxx∫ − 232 2

25. 26. ∫ dxex x22 ∫ Senxdxx3

RESUMEN DE ALGUNAS INTEGRALES POR PARTES COMUNES.

1. , ∫ ,dxex axn ∫ Senaxdxxn ∫ Cosaxdxxn

Tomar: .cos, dxaxosenaxdxdxedvyxu axn ==

2. ∫ ,dxxLnnx ∫ ,axdxarcsenxn ∫ axdxarctgxn

Tomar: ., dxxdvyaxarcsenxLnu n==

3. ∫ ,dxbxSeneax

Tomar: menterespectivaSenbxdxodxedvyeobxSenu axax == ,

20

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INTEGRALES TRIGONOMETRCAS Evaluación de integrales de la forma.

duuCosuSen nm∫ y duuTanuSec nm∫

donde m y n es un entero positivo.

Para la solución de estas integrales se intenta descomponerlas en combinaciones de integrales

trigonométricas, a las que es posible aplicar la regla de la potencia Cnuduu

nn +

+=

+

∫ 1

1.

i) Para la duuCosuSen nm∫ 1. Si m es impar, dejar un factor seno y los factores restantes se convierten en cosenos usando la identidad,

Sen2x + Cos2x = 1, desarrollar e integrar.

( ) ( )∫∫∫ −===+ duuSenuCosuCosduSenuuCosuSenduuCosuSen nknknk 2212 1 2. Si n es impar, dejar un factor coseno y los factores restantes se convierten en senos usando la identidad,

Sen2x + Cos2x = 1, desarrollar e integrar.

( ) ( )∫∫∫ −===+ duCosuuSenuSenduCosuuCosuSenduuCosuSen kmkmkm 2212 1 3. Si m y n son pares, usar en forma repetida las identidades ( xCosxSen 212

12 −= ) y ( )xCosxCos 21212 +=

Para convertir el integrando en potencias impares de coseno, Aplicar las indicaciones de (2) Ejemplo 1: Hallar ∫ dxxxSenCos 43

( )∫ ∫ ∫ −== dxxCosxSenxsendxxCosxxSenCosdxxxSenCos 424243 1

∫ ∫ +−=− CxSenxSendxxCosxSendxCosxxSen 7

715

5164

21

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Ejemplo 2: Hallar ∫ dxCosx

xSen3

( )∫ ∫∫ −− −== dxxSenxCosxCosdxxSenxxCosSendxCosx

xSen2

12

1 223

1

∫ ∫ +−=−= − CCosxxCosdxxSenxCosxSenxCos 22

52

32

1

52

Ejemplo 3: Hallar dxxSen∫ 24

( ) ( ) [ ]∫ ∫ ∫∫ ∫∫ +−=−== dxxCosdxxCosdxdxxCosdxxSendxxSen 4424122 241

2

41224

( ) CxSenxxSenxdxxCosxSenx +++−=++−= ∫ 84814 64

181

81

41

81

81

41

CxSenxSenx ++−= 84 64

181

6417

ii) Para la ∫ duuTanuSec nm

1) Si m es par, dejar un factor de la secante al cuadrado y convertir los factores restantes en tangente,

desarrollar e integrar.

( ) ( )∫∫∫−−

+=== duuuSecTanuTanduuSecuTanuSecduuTanuSec nknknk 2122122 1 2) Si n es impar, dejar un factor Secante-Tangente y convertir los factores restantes en secantes, desarrollar

e integrar.

( ) ( )∫ ∫∫ −== −−+ duSecuTanuuSecuSecduSecuTanuuTanuSecduuTanuSec kmkmkm 1212112 Si no aplica las indicaciones anteriores, intentar convirtiendo a senos y cosenos.

Ejemplo 4: Hallar ∫ dxSecx

xTan3

( )∫ ∫∫ −− == dxxSecxTanxxTanSecdxxTanxSecdxSecx

xTan 233

23

21 =

22

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( )∫ ∫ ∫ −− −=−= dxxSecxTanxSecdxxSecxTanxSecdxSecxTanxxSecxSec 23

21

23 12

CSecxxSec ++= 22

3

32

Ejemplo 5: Hallar ∫ dxxTanxSec 22 34

( )∫ ∫∫ +== dxxxSecTanxTandxxxSecxTanSecdxxTanxSec 222122222 23223234

∫∫ += dxxxSecTandxxxSecTan 2222 2523 CxTanxTan ++= 33 6

1814

121

EJERCICIOS LAS SIGUIENTES IDENTIDADES SE UTILIZAN PARA HALLAR ALGUNAS DE LAS INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS SIGUIENTES. 1. 2. 122 =+ xCosxSen xSecxTag 221 =+

3. 4. xCscxCot 221 =+ ( )xCosxSen 21212 −=

5. ( )xCosxCos 21212 += 6. ( ) ( )[ ]yxCosyxCosSenxCosx +−−=

2

1

7. ( ) ( )[ ]yxSenyxSenSenxCosy ++−= 21 8. ( ) ( )[ ]yxCosyxCosSenxSeny +−−= 2

1

9. ( ) ( )[ ]yxCosyxCosCosxCosy ++−= 21 10. xSenCosx 2

1221 =−

11. xCosCosx 21221 =+ 12. ( )xCosSenx −±=± 211 π

EVALUA LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

1. ∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ cxCosxCosxCosdxxSen

251

32

22

2533

2. ∫ +−+−= cxCosxCosCosxxdxSen 535

51

32

3.∫ ++= cxSenxxdxCos 241

212

4.∫ ++= cxSenxxdxCos 481

212

5.∫ +++−= cxSenxSenxSenxxdxSen 24814

6432

41

165 36

23

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6.∫ +−= cxCosCosxxdxSenxCos 361

212

7.∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ cxCosxCosdxxxCosSen

27

71

25

51

23

8.∫ +−= cxSenSenxxSenxdxSen 361

212

9.∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ cxTgdxxSecxTg

256

223 524

10.∫ += cabxTgab

abxdxTgabxSec 22 24

11. ( )∫ ++−= cCosxCosxdxCosx

xSen2

5

522

3

12.∫ +++= cxSenxSenxdxCos 43212

41

834

13. ( )∫ ++= cSecx

SecxdxSecx

xTan 232

23

3

14. cxTanxTanxdxxTanSec ++=∫ 3613

4133 6434

15.∫ +−−= cxCotxCotxdxxCotCsc 7544

71

51

16.∫ +−= cCscxdxTanxSecx

17.∫ ++= cxTagxTagxdxSec 2612

212 34

18.∫ +−= cSenxxSenxdxxCosSen51

31 322

24

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Con el Teorema de Pitágoras y una sustitución trigonométrica adecuada pueden simplificarse integrales que involucre expresiones de la forma

22 ua − 22 ua +

22 au − Para integrales que contienen la:

1. 22 ua − , hacer

a u

22 ua −

θ

θ

θθθ

aCosua

dCosduSenu

=−

==

22

2. 22 ua + , hacer

a

u

22 ua +

θ

θ

θθ

θ

aSecua

dSecdu

Tanu

=+

=

=

22

2

3. 22 au − , hacer

a

u22 au −

θ

θ

θθθθ

aTanau

dTanSecduSecu

=−

==

22

Ejemplo1: Hallar ∫ − 2

2

9 xdxx

25

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θ=−

−=θ

θθ=θ=

Cosx

xCos

dCosdxSenx

xSen

39

39

33

3

2

2

3 x

29 x−

( )∫ ∫ ∫∫ θθ−=θθ=θ

θθθ=

−dCosdSen

CosdCosSen

xdxx 219

3)3(9

9 292

2

2

2

CxxSenCCosSenCSen x +−−=+θθ−θ=+θ−θ= − 229

31

29

29

29

29 42

49

Ejemplo 2: Hallar ( )∫ + 2

342x

dx

θ=+

θθ=

θ=

Secx

dSecdx

Tanx

24

2

2

2

2

2

24 x+ x

θ

( ) ∫∫ ∫ ++

=+θ=θθ=θθθ

=+

Cx

xCSendCosSec

dSec

x

dx24

141

3

2

2 4482

4 23

Ejemplo 3: ∫ +− 542 xx

dx

=−−

=−+−

=+− ∫ ∫∫ 1)2(14434 222 x

dxxxdx

xxdx

θ=−−

θθθ=θ+=

−=θ

Tanx

dTanSecdxSecxxSec

1)2(

22

2

1

x-2 1)2( −−x 2

θ

26

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Ejercicios: Integrando verifica las siguientes integrales.

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++=

+

+−+−−=−

+−

−=−

+=−

+−+−−=−

+=−

+−−−=−

+−+=+

+−−=−

CxxxLnxx

dx

CxxxxSendxxx

Cxx

xx

dx

Carcsenx

dx

CxxLnxxdxx

Carcsenx

dx

Cxxxarcsendxxx

x

Cxxxdxx

x

Cxxarcsenxx

dxx

x

x

x

122.9

4424.8

1

1.7

9.6

)4(244.5

9.4

)12(.3

2arctan)1(

1.2

11

.1

22

23412

21

2122

2

22

32

22212

22

221

2

221

2

221

21

2

2

27

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( )

+−+

+=

−+

+−

=−

+−+=+

+=−

+−+=−

+=−

+−−

=−

+−

−=−

+−

=−

−+

Cxx

xLnxx

dx

Cxarcsenxx

dx

Cxxx

dxx

Carcxx

dx

CxxLnx

dx

CLnxx

dx

Carcsenxx

xxdxx

Cxx

arcsenx

dxx

Cx

xx

dx

x

xx

x

|2

1|2

.18

44

8.17

1899

.16

sec25

.15

|142|14

.14

925.13

1)1(.12

24

24

.11

2525)25(.10

232

2

2

2231

2

3

551

2

221

2

92553

51

2

22

2

2

22

2

25

2

23

28

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INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

Descomposición de )()(

xQxP , donde P y Q son polinomios, en fracciones simples.

1. Dividir si es impropia: Si)()(

xQxP es una fracción impropia (el grado del numerador es mayor o

igual que el grado del denominador ), entonces dividir el numerador por el denominador para obtener:

)()()(

)()( 1

xQxPpolinomioun

xQxP

+=

donde el grado de P1(x) es de menor que el grado de Q(x). A continuación aplíquese los pasos 2, 3

y 4 a la expresión racional propia )()(1

xQxP .

2. Factorizar el denominador: Factorizar completamente el denominador en factores de la forma

( ax + b )m y ( ax2 + bx + c )n

donde ax2 + bx + c es irreducible. 3. Factores lineales: Por cada factor de la forma ( ax + b )m, la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma de m fracciones de la forma:

mm

baxA

baxA

baxA

)()()( 221

+++

++

+K

4. Factores cuadráticos: Por cada factor de la forma (ax2 + bx + c)n, la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma de n fracciones de la forma:

nnn

cbxaxCxB

cbxaxCxB

cbxaxCxB

)()( 22222

211

+++

++++

++

+++

K

.

29

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Ejercicios: Verifica las siguientes integrales

+−+=−−

++

=+

++−

+=−

+−

+=

−−

++−=−

−−

++

−=

−+

+−+=−+

++−=−+

+

++−=−

+

++−

=−+

++

=+

+

++−

=−

CxxLndxxx

x

Cx

xLnxx

dx

Cxx

xLnxdxxx

x

Cx

xxLndxxx

xx

CxxxLndxxx

xx

Cx

xLndx

xxx

CxxLndxxxx

CxxLndxxx

x

CxxLndxx

x

CxxLndx

xx

Cx

xLndxxx

x

CxxLndx

x

13561

2

21

2

97

16

161

3

3

3

2

323

2

42

22

522

232

2

3

5

2

21

2

)5()1(54

23.12

22.11

)12(()12(441.10

)3(

)3(9

33.9

)1()1(16.8

)3(

12

35277.7

412

5.6

)3()1(32

17.5

)2()2(425.4

11

23.3

)1(52.2

11

11.1

61

65

31

+++

+−

=++−−

+−

+−

−+−=

−−

+++++

=++−−−

+++

+++

+=

++

++

++=−

++−

+−+−−

=−

+−

+−+=+−+

−−

++

++

=+++−

+−+

+−

−=−+

+

++++

=+

++−

+=−+

+−

+−=

+−−

CxxLn

xdx

xxxx

Cx

xLnxx

xxdxxx

x

CxxLnxx

xdxxxx

xxx

CxxLn

xxxdx

xxx

Cx

xLnx

xdxxxxxx

CxLnx

xdxx

xx

CxxLndxxxx

xx

Cx

xLnx

dxxxx

xx

CxxLn

xdx

xxx

CxLnx

dxx

x

CxxLnxdx

xx

Cx

xxLnxxx

dx

52

2

163

2

2

32

3

3222

23

2

2

2

23

34

223

2

2

2

5

6

23

2

43

2

2

2

2

)1()32(

13

)1)(32(73.25

2)2(841711

)2(1.24

)1(26)12(234.22

124

)2)(1(65

)2()1(.21

1212

1.20

)2()2(812

)2(443.19

|)2)(3(|)44)(3(

232.18

)1(112

265.17

11

227

)1)(1(52.16

|2|2

2)2(

.15

11

11.14

)1()3()2(

)3)(2)(1(.13

211

41

201

51

30

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31

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INTEGRAL DEFINIDA

A la expresión se le llama integral definida. ∫b

adxxf )(

Teorema fundamental del cálculo Si una función f es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y F es una antiderivada de f sobre el intervalo

, entonces [ ba, ]

)()()()( aFbFxFdxxf ba

b

a−==∫

Ejemplo: Evaluar ( )dxx∫ −2

1

2 3

( ) [ ]323

316

3833

2

13

31

2

1

2 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=−∫ xxdxx

Evalúa las siguientes integrales.

( )∫ =+−

3

0

2 923.1 dxxx ( )∫ −=−

4

1

15116

1.2 duuu

∫ =+

8

1

2631.3 dxx ∫ =−

4

3

2 23

51

25.4 Ln

xdx

∫−

−=++

0

21

2

3

85

93

1.5

πxxdxx ( )∫ −+=+

1

0

2 22

21.6 πLndxxLn

∫ =

π2

0

421.7 dttSen 1522

154223

34

1.8

1

2

2−+

−−

=+−

−∫−

Lndxxx

x

( )∫ −=

3

0

22 42713.9

π

πdxxSenx ( )∫ +=

2

0

223 121.10 edxex

32

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33

) [ ]3,0;

CALCULO DE AREA

En los problemas 1-10 calcula el área limitada por la grafica de la función dada y el eje x en el intervalo indicado.

[ ]1,1;1.1 2 −−= xy

[ ]2,0;1.2 2 −= xy

[ ]2,0;1.3 3xy −=

[ ]3,0;3.4 2 xxy −=

[ ]1,1;6.5 3 −−= xxy

( )( )( 321.6 −−−= xxxy

[ ]3,21;1.72xy −

= 2x

[ ]4,0;1.8 −= xy

[ ]3,2;.9 3 −= xy

[ ]223 ,;1.10 ππ−+−= Senxy

3, =x

1−=y

En los problemas 11-32 calcula el área de la región limitada por las graficas de las funciones dadas.

2,.11 −== xyxy

4,.12 2 == yxy

,8,.13 3 == yxy

33 ,.14 xyxy ==

( ) 22 1,1415 xyxy −=−= .

3,1,.16 2 === xxyxy

xxyxy 4,6.18 22 +=+−=

4,.19 == yxy 32

[ ]6,1,2 −+ enx2,32.20 2 =−−= yxxy

x2

,4.21 2 =+=

1,1,4 =−= xx

yxxy 3

6,3.22 2 == xyx

22,.23 yxyx −=−=

22,22.24 22 +−−=++= yyxyyx

12,16.25 22 ++−=+−= yyxyyx

,.26 3 +=−= xyxxy

0,.27 3 =−= xyyx

π2,0,,.28 ==== xxSenxyCosxy

2,,2.29 π=−== xxySenxy

[ ]65,6,2,4.30 ππenySenxy ==

22 ,10.31

xyxy =+=

9

xxyxxxy 2,103.32 222 +−=−−=

RESPUESTAS

1. 4/3 2. 4/3 3. 11/4 4. 9/2

5. 11/2 6. 11/4 7. 11/6 8. 2

9.3/4(24/3+34/3) 10. 2π 11.27/2 12.32/3

13. 81/4 14. 1 15. 4 16. 10/3

17. 58/3 18. 64/3 19.128/5 20.118/3

21. 25/48 22. 8 2 23. 9/2 24. 8/3

25. 1/2 26. 8 27. 1/2 28.2 2

29. 42π+4 30.4 3

43 π− 31. 32. 24 3

16

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VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Los problemas 1- 6 se refieren a la figura A. utiliza el método de los discos o el de las arandelas para evaluar el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo girar la región dada en torno a la recta indicada. 1. R1 en torno a OC 2. R1 en torno a OA 3. R2 alrededor de OA 4. R1 en torno a AB 5. R2 en rededor de OC 6. R2 en torno a AB

34

En los problemas 7-32 obten el volumen del solido de revolucion que se forma haciendo rotar la region limitada por las graficas de las ecuaciones dadas en torno a la recta o eje indicado.

15. xejexyxy ;411,4 22 −=−=

16. xejexyxy ;1,1 22 −=−=

17. yejexxyyx ;0,2,3 ===+ 18. xejeyyxyx ;1,0,0,2 ====+

19. 5;0,5,1 ===−= xyxxy

20. 1;1,2 === xxyx21. 2;1,0,31 ==== yyxxy

22. 2;0,22 ==+−= xxyx23. yejexyx ;5,1622 ==−

24. xejexyxxy ;219,96 22 −=+−=

25. yejexyyx ;6,2 −==C

0 A

B (1,1)

R1

y = x2

R2

x

y

FIGURA A

26. yejeyxxy ;9,0,13 ==+=

27. yejeyyxxy ;9,0,3 ==−=28. xejexysenxy ;0,0, π≤≤==

29. xejexyxy ;20,0,cos π≤≤==

30. xejeyxxxy ;0,4

,4

,sec ==−==ππ

31. xejexyxy ;4

,0,tan π===

32. xejexxysenxy ,0,cos, ===

RESPUESTAS 1. 2π 3. 54π 5. 6π

7. 51296π 9. 2π 11. 38π

13. 532π 15. π32 17. π8

19. 15256π 21. 53π 23. π36

25. 3500π 27. 10516π 29. 2π31. ( ) 44 2ππ −

33. Un mecánico perfora un agujero de 3 pulgadas de radio, a través del centro de una esfera de metal de 5 pulgadas de radio, ¿Cuál es el volumen del anillo resultante?

Solución: 3

256π

7. xejeyxy ;0,9 2 =−=

8. yejeyxxy ;5,0,12 ==+=

9. yejeyxx

y ;21,1,1

===

10. xejeyxxx

y ;0,3,21,1

====

11. yejexyxy ;2,2 ==

12. xejexyxy ;,2 ==

13. ( ) xejeyxxy ;0,0,2 2 ==−=

14. ( ) yejeyxxy ;0,0,1 2 ==+=

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Solución: π7384 34. Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje “x” la región acotada por la parábola y la recta . 12 += xy 3+= xy

f) OAC gira alrededor de CA.

Solución: π5576 g) OAC gira alrededor de AB. 35. Encontrar el volumen del sólido generado al rotar alrededor de la recta la región acotada por las parábolas

.

4−=x

322 −=−= yxyyyx

Solución: π353456 h) OAC gira alrededor de OX.

Solución: 8

255 Solución: π192

36. La ecuación de la curva OA de la figura B es

. Hallar el volumen del sólido que se engendra cuando la superficie:

32 xy =

35

Y

B

C A(4,8)

X 0

Figura B a) OAB gira alrededor de OX.

Solución: π64 b) OAB gira alrededor de AB.

Solución: π351024 c) OAB gira alrededor de CA.

Solución: π5704 d) OAB gira alrededor de OY.

Solución π7512 e) OAC gira alrededor de OY.

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VOLÚMEN DE SÓLIDOS CON SECCIONES CONOCIDAS

1. Calcular el volumen del sólido cuya base esta acotada por el circulo x2 + y2 = 4, con las secciones indicadas, tomadas perpendicularmente al eje x.

a) cuadrados b) triángulos equiláteros

3

128sol 3

332sol

c) semicírculos d) triángulos rectángulos isósceles

3

16. πsol 3

32.sol

2. Hallar el volumen del sólido cuya base esta limitada por las graficas

y = x + 1 e y = x2 –1, con las secciones indicadas, tomadas perpendicularmente al eje x.

a)cuadrados b) rectángulos de altura 1

c) semielipses de altura 2 (A =π ab) d) triángulos equiláteros

36

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3. La base de un sólido está limitada por y = x3, y = 0 y x = 1 . Calcular su volumen para las siguientes secciones (perpendiculares al eje y).

37

a) Cuadrados.

Sol. 1/10

b) Semicírculos. Sol. π /80

c) Triángulos equiláteros. Sol.

3 /40

d) Trapecios con h = b1 = b2/2, donde b1 y b2 son las longitudes de las bases. Sol. 3/80

e) Semielipses cuyas alturas son dos veces las longitudes de sus bases. Sol. π /20

4. Un poste de energía eléctrica de 75 pies de

altura tiene una sección transversal en forma de triangulo equilátero. Dado que la longitud de un lado sea ( ) 1075 x− , de donde x es la distancia en pies desde el suelo, obtenga el volumen del poste.

12003875,421

.sol

5. La sección transversal de una pirámide es un cuadrado de x pie de lado, ubicado a x pie de su vértice. Dado que la pirámide tenga 100 pies de altura, halle su volumen.

6. Un sólido tiene una sección transversal

cuadrada perpendicular a su base. Dado que la base es un circulo de radio r=4 pies, Obtener el volumen del sólido.

31024

.sol

7. Las secciones transversales perpendiculares a la base de un sólido son triángulos equiláteros. Dado que la base sea un circulo de radio r=4 pies, Halle el volumen del sólido.

8. La base de un sólido esta limitada por las

curvas en el plano xy. Las secciones transversales perpendiculares al eje x son rectángulos para los que la altura es 4

tantos de la base. Determine el volumen del sólido.

42 == xyyx

128.sol

9. La base de un sólido esta limitada por la curva

Las secciones transversales perpendiculares al eje x son triángulos equiláteros. Encuentre el volumen del sólido.

.2 xejeelyxy =

10. La base de un sólido es un triángulo isósceles

cuya base es cuatro pies, y altura, 5 pies. Las secciones transversales perpendiculares a la altura son semicírculos. Encuentre el volumen del sólido.

310. πsol

11. Los ejes de dos cilindros circulares rectos, que

tienen cada uno un radio r = 3 pies, se interceptan en ángulos rectos. Halle el valor del volumen resultante.

12. La base de un sólido es un triangulo rectángulo isósceles formado por los ejes de coordenadas y la recta 3=+ yx . Las secciones transversales perpendiculares al eje y son cuadradas. Obtenga el volumen del sólido.

9.sol

13. Un agujero de un pie de radio se forma por el

centro de una esfera maciza de radio r = 2 pies. Evalué el volumen del sólido restante

14. Cortamos una caña de un cilindro circular

recto de “r” pulgadas de radio mediante un plano que pasa por el diámetro de la base, formando un ángulo de 45° en el plano de dicha base. Calcular el volumen de la cuña.

15. La base de un sólido es un círculo que tiene un

radio de 5 unidades. Encontrar el volumen del sólido si todas las secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos equiláteros.

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INTEGRALES IMPROPIAS

Si en la integral definida ∫b

adxxf )(

1. El integrando es discontinua en uno o mas puntos en el intervalo [ ]ba, 2. Al menos uno de los límites de integración es infinito.

Se le llama integral impropia. INTEGRANDO DISCONTINUO i) Si f(x) es continua en el pero discontinua en x = b, entonces [ )ba,

∫∫ +→=

b

abx

b

adxxfLimdxxf )()( , si el límite existe.

ii) Si f(x) es continua en el intervalo pero discontinua en x = a, entonces ( ]ba,

∫∫ +→=

b

aax

b

adxxfLimdxxf )()( , si el límite existe.

iii). Si f(x) es continua para toda x en el intervalo [ ]ba, excepto en x = c, con a < c < b, entonces

∫∫∫ ++ →→+=

b

ccx

c

acx

b

adxxfLimdxxfLimdxxf )()()( , si el límite existe.

Ejemplo 1: Evaluar la ∫ −

2

0 24

1 dxx

π===⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

−=

− −−− →→→ ∫∫ 21

2

2

02

2

0 22

2

0 21

22

2441 arcsenarcsenLimxarcsenLim

xdxLimdx

x xxx

38

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Ejemplo 2: Evaluar ∫9

0 xdx

Observe que ∞→=x

xf 1)( cuando 0→x

[ ] 6)3(2322 21

212

1

0

9

0

9

0

9

0==−=⎥⎦

⎤==+++ →→

→ ∫∫ xLimxLimdxxLimx

dxaaaaa

Ejemplo 3: ( )∫ −

5

1 31

2xdx

Observe que ( ) 3

12

1)(−

=x

xf , es discontinua en x = 2

( )( ) ( )∫ ∫∫ −− −+−=

5

1

5

2

2

13

13

1

31 22

2dxxdxx

xdx

Ahora bien,

( )( ) ( ) ( )[ ] 2

3

323

123

312

2

11222

23

23

23

1

31 −=−−=⎥⎦

⎤−=−=− −−− →→

→ ∫∫ sLimxLimdxxLimx

dxs

s

s

s

s

( )( ) ( ) ( )[ ] 2

3

223

5

23

2

5

2

5

2

35

323

23

23

1

31 2322

2=−−=⎥⎦

⎤−=−=− +++ →→

→ ∫∫ tLimxLimdxxLimx

dxttttt

Luego entonces

( )∫ +−=−

5

1 23

23

2

35

31

xdx

39

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Ejemplo 4: Probar que ∫ −

4

0 41 dx

x no tiene sentido

El integrando es discontinuo en x = 4

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−=

−=

− −−− →→→ ∫∫ 41

41

41

41

41

40404

4

0Ln

tLnLim

xLnLimdx

xLimdx

x t

t

t

t

t

El limite no existe, luego la integral no tiene sentido LIMITES DE INTEGRACION INFINITOS i). Si f es continua en [ , entonces )∞,a

∫∫∞

∞→=

t

aa tdxxfLimdxxf )()(

ii). Si f es continua en ( ]a,∞− , entonces

∫∫ ∞− −∞→=

a

t

a

tdxxfLimdxxf )()(

iii). Si f es continua para todo x, y a es cualquier numero real, se tiene que

∫∫∫∞

∞−

∞−+=

a

adxxfdxxfdxxf )()()(

Si los limites (i) y (ii) existen, se dice que la integral converge. Si el límite no existe entonces diverge.

40

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En (iii) la integral converge si y sólo tanto la integral ∫∞

∞−dxxf )( ∫ ∞−

adxxf )( y la integral ∫

adxxf )(

ambas convergen.

Ejemplo 1: Calcular ∫∞

+02 9xdx

[ ]6

arctan99 033

1

02

02

π==+

=+ ∞→

∞→ ∫∫ txt

t

tLim

xdxLim

xdx

Ejemplo2: Calcular dxe

ex

x

∫∞

∞− + 21

dxe

edxe

edxe

ex

x

x

x

x

x

∫∫∫∞

∞−

∞− ++

+=

+ 02

0

22 111

[ ] [ ]tx

ttx

teLimeLim 0

0arctanarctan

∞→−∞→+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −π=

∞→−∞→ 4arctanarctan

4t

t

t

teLimeLim

420

−π

+−π

=

2π=

41

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EJERCICIOS: Calcular la integral para comprobar el resultado.

1. 631

0=∫ x

dx

2. 8424

0=

−∫ xdx

3. )(1

1

0noexiste

xdx

=−∫

4. π=−∫− 2

422

2 2xdx

5. 11

0−=∫ dxLnx

6. 212

1

0−=∫ dxxLnx

7. 34

24

2 4π

=−∫ xx

dx

8. divergedTan =θθ∫π

2

0

9. 01

2

23 =

−∫ xdx

42

10. divergexdx

=∫1

02

11. 11

2 =∫∞

xdx

12. divergedxCosx =∫ ∞−

0

13. edxe x =∫∞

1

14. 11

=+∫

∞−x

x

edxe

15. π=+∫

∞−21 x

dx

16. ( ) 2

13 =∫

e Lnxxdx

17. 2

23 −

∞− =∫ edzze z

18. 21

0=∫

∞− dxSenxe x

41

21 3 =

+∫∞

dxx

x19.

37

41

22 56

Lnxx

dx=

++∫∞

20.