Calculo Integral Unidad 1

UNIVERSIDADNACIONALABIERTAYADISTANCIA UNADESCUELADECIENCIASBSICAS,TECNOLOGAEINGENIERACONTENIDODIDCTICODELCURSO:100411ClculoIntegral

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA

PROGRAMA CIENCIAS BSICAS

100411 Clculo Integral

JORGE ELICER RONDON DURAN

Autor

JOS PEDRO BLANCO ROMEERO

Director Nacional

MARTIN GOMEZ ORDUZ Acreditador

Bogot, D. C Agosto de 2010


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente mdulo fue diseado en el ao 2007 por el Ing. JORGE ELIECER RONDON DURAN docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de JOSE CELESTINO MUTIS, el Autor es de profesin ingeniero. Se ha desempeado como tutor de la UNAD desde hace varios aos, empezando como tutor hasta el cargo que ocupa en la actualidad de coordinador nacional de Ciencias Bsicas.

Como novedades se presentan otros aspectos didcticos que facilitan el estudio autnomo del clculo integral, as como la estructura y contenidos solicitados por la VIMMEP y la ECBTI. MARTIN GOMEZ, licenciado en fsica y matemticas de la UPTC, tutor de tiempo completo de Yopal Casanare, apoy el proceso de revisin de estilo del mdulo y dio aportes disciplinares, didcticos y pedaggicos en el proceso de acreditacin del material didctico, este trabajo se llevo a cabo en los meses de Julio y Agosto de 2009. Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar pblicamente bajo las condiciones siguientes:

Reconocimiento. Debe reconocer los crditos de la obra de la manera especificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra).

No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales.

Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra derivada a partir de esta obra.

Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los trminos de la licencia de esta obra.

Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor

Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor.


INTRODUCCIN

La matemtica es una ciencia eminentemente terica, debido a que parte de teoras y definiciones, cuyas demostraciones se soportan en el principio de la lgica, los axiomas y postulados, que permiten el desarrollo de habilidades de pensamiento de orden superior, especialmente la Deduccin, Induccin y la Abstraccin, pero a su vez presenta dificultades para poder desplegar dichas habilidades, ya que se requiere trabajar el sentido de anlisis, desarrollo del raciocinio, aspectos no fciles de activar en la mente humana.

El Clculo Integral es el rea de las matemticas, que pertenece al campo de formacin disciplinar y tiene carcter bsico en cualquier rea del saber, debido a que los Ingenieros, Administradores, Economistas, Fsicos, Qumicos, por supuesto los Matemticos y dems profesionales requieren de esta rea del saber.

Un buen conocimiento del clculo diferencial, permite y facilita trabajar el curso de clculo integral, en donde se desarrollan teoras, principios y definiciones matemticas propias del clculo infinitesimal. El objetivo fundamental es que los estudiantes puedan identificar, comprender e interiorizar las temticas que cubren el curso, con el fin de adquirir conocimientos matemticos que le den capacidad de resolver problemas donde el clculo Univariado es protagonista.

El Clculo Integral es la rama de las Matemticas muy utilizadas en Ciencias, Tecnologa, Ingeniera e Investigacin, que requiere un trabajo sistemtico y planificado, para poder cumplir el propsito fundamental que es saber integrar, tcnica que permite solucionar problemas de estos campos. Por otro lado, la integracin es necesaria para otros escenarios como las Ecuaciones Diferenciales, los Mtodos Numricos, la geometra diferencial, la Probabilidad, la Estadstica Avanzada y otras reas del conocimiento.


Las Unidades Didcticas que conforman el curso son: La Integracin, Los Mtodos de Integracin y Las Aplicaciones de las integrales. En la primera unidad se desarrolla lo referente a la antiderivada o primitiva, la integral indefinida, la integral definida, el teorema fundamental del clculo y las integrales impropias. La segunda unidad presenta lo relacionado con las tcnicas de integracin, iniciando con las integrales inmediatas producto de la definicin de antiderivada, la integracin por cambio de variable o tambin llamada sustitucin, integracin por partes, integracin por fracciones parciales, integracin de funciones trascendentales; tales como, exponencial, logartmica, trigonomtricas e hiperblicas. La tercera unidad presenta las aplicaciones de la integracin, tales como reas bajo curvas, longitud de una curva, volmenes de slidos de revolucin, la integracin en la fsica, en la estadstica y en la economa.

En los ejercicios propuestos, para las primeras temticas, no se dan las respuestas ya que stas son muy obvias, pero para las dems temticas, se ofrecen las respuestas, con el fin de motivar el procedimiento de los mismos. Es pertinente desarrollarlos de manera metdica y cuidadosa; adems, confrontar la respuesta obtenida con la dada en el mdulo, cualquier aclaracin compartirla con el tutor o el autor a travs del correo [email protected]

Como el conocimiento se va renovando y actualizando, los aportes que se hagan al presente material sern bien venidos, esperando as una actividad continua de mejoramiento en beneficio de todos los usuarios del material. Como el material presenta las temticas fundamentales, es pertinente complementar con otras fuentes como libros, de los cuales se presentan en la bibliografa, Internet y otros.

Es recomendable desarrollar el trabajo acadmico de manera adecuada, como se explicita en el modelo acadmico pedaggico que la UNAD tiene, para obtener los mejores resultados del curso. El estudio independiente, como primer escenario, es fundamental para la exploracin, anlisis y comprensin de las temticas. El Acompaamiento Tutorial, debe permitir complementar el trabajo realizado en el escenario anterior, especialmente en la aclaracin de dudas, complementacin y profundizacin pertinente. En este aspecto, se deben explorar las herramientas que estn a la mano para aprovechar de la mejor manera dichos recursos, as el grado de aprendizaje es ms amplio y se ver mejor reflejado el aprendizaje autnomo.

El autor.


INDICE DE CONTENIDO

UNIDAD UNO: LA INTEGRACION 11

CAPTULO 1: LA INTEGRAL INDEFINIDA 15

Leccin 1: La integracin 15 Leccin 2: La Antiderivada 16 Leccin 3: Integral indefinida 20 Leccin 4: Propiedades de las Integrales indefinidas. 22 Leccin 5: La constante de integracin 23

CAPTULO 2: LA INTEGRAL DEFINIDA 26

Leccin 6: Sumas De RIEMANN 26

Leccin 7: rea bajo la curva 29

Leccin 8: Estimacin por sumas finitas. 30

Leccin 9: Definicin 31

Leccin 10: Integral definida 36

CAPTULO 3: TEOREMAS 38

Leccin 11: Teorema de integrabilidad 38

Leccin 12: Valor medio de una funcin 39

Leccin 13: Primer teorema fundamental del clculo 41

Leccin 14: Segundo teorema fundamental del clculo 45

Leccin 15: Teorema de simetra 50

Actividades de autoevaluacin de la Unidad 1 52

Laboratorio 56

Fuentes documentales de la Unidad 1 61


UNIDAD DOS: TCNICAS DE INTEGRACIN 63

CAPTULO 4: MTODOS DE INTEGRACIN I 66

Leccin 16: Integrales Impropias con integrando discontinuo 66

Leccin 17: Integrales impropias con lmites de integracin infinitos 70 Leccin 18: Integrales Inmediatas 76 Leccin 19: Integrales inmediatas con sustitucin 79 Leccin 20: Integracin por cambio de variable 83

CAPTULO 5: MTODOS DE INTEGRACIN II 88

Leccin 21: Integracin por racionalizacin 88

Leccin 22: Integracin por sustitucin trigonomtrica caso I 91

Leccin 23: Integracin por sustitucin trigonomtrica caso II 94

Leccin 24: Integracin por sustitucin trigonomtrica caso III 96

Leccin 25: Integracin por partes 99

CAPTULO 6: MTODOS DE INTEGRACIN III 105

Leccin 26: Integracin por fracciones parciales. 105

Leccin 27: Integracin de funcin exponencial 115

Leccin 28: Integracin de funcin logartmica 118

Leccin 29: Integracin de la funcin trigonomtrica 121

Leccin 30: Integracin de la funcin hiperblica 132

Actividades de autoevaluacin de la Unidad 2 136

Laboratorio 139



UNIDAD TRES: APLICACIONES DE LAS INTEGRALES 146

CAPTULO 7: ANLISIS DE GRAFICAS 149

Leccin 31: rea de regiones planas 149

Leccin 32: rea entre curvas 153

Leccin 33: rea de superficies de revolucin 158

Leccin 34: Longitud de una curva 164

Leccin 35: Longitud de un arco en forma paramtrica. 169

CAPTULO 8: VOLUMEN DE SUPERFICIE DE REVOLUCION. 174

Leccin 36: Volumen de slidos de revolucin: Mtodo de arandelas 174

Leccin 37: Volumen de slidos de revolucin: Mtodo de casquetes cilndricos

180

Leccin 38: Volumen de slidos de revolucin: Mtodo de rebanadas o discos.

186

Leccin 39: Momentos y centros de masa. 192

Leccin 40: Volumen. 199

CAPTULO 9: EN LAS CIENCIAS 201

Leccin 41: Integrales en la fsica: trabajo y movimiento. 201

Leccin 42: Integrales en la hidrulica: bombeo de lquidos. 209

Leccin 43: Integrales en la estadstica: Funcin de distribucin 214

Leccin 44: Integrales en la economa. 219

Leccin 45: Integrales en las ciencias sociales. 229

Actividades de autoevaluacin de la Unidad 231

Laboratorio 234



LISTADO DE TABLAS

Tabla No. 1 Listado de integrales inmediatas. 21


LISTADO DE GRFICOS Y FIGURAS

Figura No. 1 Polgonos circunscritos

Figura No. 2 Polgonos inscritos

Figura No. 3 Particin

Figura No. 4 rea

Figura No. 5 Integral impropia

Figura No. 6 Convergencia

Figura No. 7 Sustitucin trigonomtrica caso 1



Figura No. 10 Aplicacin

Figura No. 11 rea bajo la curva

Figura No. 12 Particiones

Figura No. 13 Grafica de 2x

Figura No. 14 Grafica de x3

Figura No. 15 Grafica de y=3-x2

Figura No. 16 rea entre curvas

Figura No. 17 Grafica solucin problema No. 1

Figura No. 18 Solucin rea bajo curvas

Figura No. 19 Solucin problema No. 3

Figura No. 20 Superficie de revolucin

Figura No. 21 Superficie de revolucin de 2xy =


Figura No. 22 Superficie de revolucin de xy = Figura No. 23 Longitud de curva

Figura No. 24 Demostracin longitud de curva

Figura No. 25 Longitud de curva paramtrica.

Figura No. 26 Arandelas

Figura No. 27 Solucin volumen ejemplo No. 1

Figura No. 28 Solucin volumen ejemplo No. 3

Figura No. 29 Casquetes

Figura No. 30 Desarrollo slidos de revolucin

Figura No. 31 Solucin ejemplo No. 1

Figura No. 32 Solucin ejemplo No. 2

Figura No. 33 Demostracin casquetes

Figura No. 34 Rebanadas

Figura No. 35 Discos



Figura No. 38 Centro de masa

Figura No. 39 Centroide

Figura No. 40 Teorema de Pappus

Figura No. 41 Bombeo

Figura No. 42 Bombeo circular

Figura No. 43 Curva oferta - demanda

Figura No. 44 Excedente del consumidor

Figura No. 45 Excedente del productor


UNIDAD 1: LA INTEGRACION

Introduccin: Una dificultad que enfrento a la humanidad desde hace muchos siglos fue el clculo de reas y volmenes de cuerpos conocidos, quien enfrento primero este problema al parecer fue Eudoxo de Cnido por all por el siglo IV antes de nuestra era. Eudoxo ideo el mtodo de exhaucion el cual consista en descomponer en partes muy pequeas las areas y los volmenes para luego componerlas y de esta manera obtener las superficies y los grosores de los cuerpos. La Geometra griega se interes pronto por las reas de figuras en el plano y los volmenes de cuerpos geomtricos. Tambin tempranamente descubrieron que el tratamiento de las figuras de contornos curvilneos no era sencillo de abordar.

Algunos estudiosos de la antigedad que se interesaron por el tema fueron: KEPLER1 Estaba interesado en las cnicas para su aplicacin en la astronoma, por lo tanto, plantea el clculo del rea de una rbita considerndola que esta formada por tringulos infinitamente pequeos con un vrtice en el Sol; esto da origen a un clculo integral rudimentario. El estudio de los volmenes lo retomo para el clculo del vino al ver la inexactitud de la capacidad de los toneles. GALILEO2 Se interesa por la parbola, al estudiar la trayectoria de un proyectil y hallar la integral que expresa el espacio recorrido en un movimiento uniformemente acelerado. LEIBNIZ3 Sistematizo y logro un desarrollo eficiente. Mayor informacin en el siguiente link: http://www.matematicas.profes.net/archivo2.asp?id_contenido=45558 ___________________ 1 Naci en 1571 en WEIL DER STADT y muri en RATISBONA en 1630 (Alemania). 2 Naci en 1564 en PIZA y muri en FLORENCIA 1642 (Italia). 3 Por primera vez utilizo el smbolo que aparece de estilizar la S de las sumatorias.


Justificacin: Tanto la integral como la derivada son herramientas importantes que ayudan a resolver problemas en la fsica, la estadstica, la probabilidad, la hidrulica y otros campos de las ciencias; es por eso que temas tan importantes son abordados en esta unidad. En esta primera unidad presentamos tres captulos en los cuales tratamos las bases de la integracin empezando por la integral indefinida, la integral definida y en el tercer captulo retomamos el tema de los teoremas claves para comprender mejor el estudio de las integrales. Intencionalidades formativas: Para esta unidad podemos enumerar como intencionalidades formativas las siguientes:

Que los estudiantes identifiquen los principios del clculo integral para asimilar la teora de las integrales.

Los estudiantes interpreten las diferentes teoras, definiciones y teoremas del clculo integral para poder comprender en diversos escenarios su mejor manera de utilizarlos.

Manejar de manera apropiada las integrales indefinidas, las integrales definidas y los teoremas en los cuales se basan.


Presentamos un cuadro con el resumen del contexto terico de esta unidad

Denominacin de los captulos

CAPITULO 1: La integral indefinida CAPITULO 2 La integral definida CAPITULO 3 Teoremas que la sustentan

Asimilacin de conceptos

Los lectores de la primera unidad la integracin, estarn en capacidad de comprender los conceptos fundamentales del clculo integral en cuanto a sus orgenes, diferentes clases de integracin, la apropiacin de la simbologa empleada, los teoremas que la sustentan y tienen una visin general del curso.

Conceptos

Esta Unidad parte de conceptos elementales para ir adentrando al estudiante en conceptos ms amplios y complejos empleados en el Clculo Integral.

Competencias

De conocimientos

Adquirir las tcnicas propias del clculo integral. El conocimiento en matemticas se adquiere con

papel y lpiz en la realizacin de ejercicios que estn propuestos en esta unidad o en la bibliografa y cibergrafia sugeridas.

Contextuales:

Adquirir los conocimientos propios del curso acadmico con el fin de aplicarlos en la solucin de problemas de su carrera y de esta manera poner el prctico el aprendizaje significativo.

Los estudiantes deben desarrollar habilidades para aplicar los conocimientos adquiridos en la solucin de problemas prcticos.

Comunicativas:

Adquirir la jerga propia del lenguaje utilizado en el clculo integral.

Interpretar y entenderlos la diferente simbologa y su aplicacin.

Adquirir facilidad de expresin y vencer el miedo en la interaccin con las NTIC


Valorativas: Adoptar, identificar y practicar lo valores de la UNAD. Adquirir capacidad de valoracin y tolerancia con

nuestros compaeros virtuales o presenciales.


CAPITULO 1: La integral indefinida

Introduccin

La derivada corresponde a la nocin geomtrica de tangente y a la idea fsica de velocidad, es decir dada una curva calcular su pendiente o dado el recorrido de un mvil calcular su velocidad, mientras que la idea de integral est relacionada con la nocin geomtrica de rea y la idea fsica de trabajo, por lo tanto, dada una funcin se halla el rea comprendida bajo la curva o dada una fuerza variable, se calcula el trabajo realizado por dicha fuerza.

Partiendo de este ltimo concepto este captulo pretender ilustrar el concepto de la integral indefinida, en el cual tenemos que si nos dan la derivada de una funcin nosotros debemos hallar dicha funcin.

Leccin 1: La integracin

En el mundo de las Matemticas encontramos que existen operaciones opuestas, como la suma y la resta, el producto y el cociente, donde una deshace o anula la otra. De la misma manera la Integracin es una operacin opuesta a la Diferenciacin. La relacin Diferenciacin Integracin es una de los conocimientos ms importantes en el mundo de las Matemticas. Ideas descubiertas en forma independiente por los grandes Matemticos Leibniz y Newton. Inicialmente Leibniz al proceso de integracin lo llamo: Calculus Summatorius pero en 1.696 influenciado por Johann Bernoulli, de la dinasta Bernoulli, le cambio el nombre a Calculus Integrelis.

Gottfried Wilhelm von Leibniz1

___________________ 1 Julio de 1646 Noviembre de 1716 HANNOVER Alemania.

Gran Filosofo, politlogo y matemtico.

Precursor de la Lgica Matemtica, desarrollo el Clculo, independiente de Newton, publicando su trabajo en 1.684, su notacin es la que se utiliza actualmente. Descubri el sistema binario, muy utilizado en los sistemas informticos. Contribuyo a la creacin de la Real Academia de Ciencias en Berln en 1.670, siendo su primer presidente.


El clculo ha sido una secuencia de reas matemticas entrelazadas, donde se utilizan principios de lgebra, Geometra, Trigonometra, se debe destacar que para desarrollar el curso de Clculo Integral, es pertinente tener claros los principios de las reas nombradas y adems los de Clculo Diferencial, ya que como se dijo en el prrafo anterior, la integracin es la opuesta a la diferenciacin.

Leccin 2: La Antiderivada

Para conceptuar la Antiderivada, comencemos por pensar que se tiene una funcin, digamos )(xf , el trabajo consiste en encontrar otra funcin, digamos

)(xD tal que: )()(' xfxD = . As D(x) es una antiderivada de f(x). Identificar una funcin a partir de su derivada, consiste en hallar un dispositivo (tcnica) que nos de todas las funciones posibles, donde f(x) es su derivada, a dichas funciones se les llama Antiderivada de f(x). El dispositivo para ste proceso es llamado La Integracin.

Veamos un ejemplo sencillo: Sea f(x) = 2x, cual ser una funcin D(x) cuya derivada es 2x? Con algo se astucia y conocimientos slidos en diferenciacin podemos identificar que D(x) = x2. Veamos: Si derivamos D(x) = x2 obtenemos f(x) = 2x.

Otro ejemplo: f(x) = cos(x), cual ser un D(x)? Debemos buscar una funcin cuya derivada es cos(x), evidentemente es sen(x), luego D(x) = sen(x).

Para la notacin de antiderivada hubo diversas propuestas, pero la del gran Matemtico Leibniz es la ms utilizada universalmente. dx... . Posteriormente se analizar esta notacin.

Para los ejemplos anteriores con la notacin de Leibniz se tiene:

cxdxx += 2)2( Para el otro: cxsendxx += )()cos( Posteriormente se aclara el concepto de la c

DEFINICINNo1:

UnafuncinD(x)esunaantiderivadadelafuncinf(x),si:

D(x)=f(x).Paratodoxeneldominiodef(x).


El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se le llama la Integral Indefinida de f(x) y se puede escribir: cxDdxxf += )()(

Demostracin:

Como G(x) y F(x) son antiderivadas de f(x), entonces tenemos que: G(x) = F(x), por una definicin previa que dice: si g(x) = f(x) entonces: g(x) = f(x) + c para todo x en el intervalo I abierto. Por consiguiente: G(x) = F(x) + c, para alguna constante c.

Ejemplo No 1:

Encontrar todas las funciones cuya derivada es f(x) = 4x3 + 2.

Solucin:

Una funcin puede ser x4 + 2x + 5, ya que al derivarla obtenemos 4x3 + 2. Luego: Si

f(x) = 4x3 + 2, entonces D(x) = x4 + 2x + 5, pero tambin puede ser D(x) = x4 + 2x + 12. En general cualquier funcin de la forma D(x) = x4 + 2x + C, es antiderivada de la funcin f(x), siendo C una constante.

Ejemplo No 2:

Encontrar todas las funciones cuya derivada es: f(x) = sec2(x).

Solucin:

Si recordamos sobre derivadas de funciones trigonomtricas, podemos saber que la funcin cuya derivada corresponde a sec2(x), es tan(x), luego:

Si f(x) = sec2(x), entonces D(x) = tan(x) + C

TEOREMA:

SeanF(x)yG(x)antiderivadasdef(x)enunintervalocerradoI,entonces:

G(x)=F(x)+cparaalgunaconstantec.


Por consiguiente, la forma de las funciones cuya derivada corresponde a sec2(x) es: D(x) = tan(x) + c

Ejemplo No 3:

Hallar algunas funciones cuya derivada es g(x) = 12

Solucin:

Cualquier funcin de la forma 12x + C es antiderivada de g(x), luego algunas de estas puede ser:

G(x) = 12x + 5, G(x) = 12x + 10, G(x) = 12x + 25

En general: G(x) = 12x + C

Los ejercicios propuestos, se deben desarrollar, utilizando las definiciones y teoremas, analizados en este aparte.

EJERCICIOS:

Encontrar la antiderivada F(x) + C de las siguientes funciones:

1. f(x) = 8

2. f(x) = 3x2 + 4

3. f(x) = x21 x10

4. f(x) = 3/x4 6/x5

5. f(x) = (3x2 5x6) / x8

Desarrollar la operacin propuesta:

6. dxx )6( 5 7. ( ) + dxx 2273


8. ( ) dyyyy + 2

34

9. [ ]dxxxsen )(csc)( 2 10. dx


Leccin 3: Integral indefinida.

Conociendo el concepto de Antiderivada, podemos formalizar desde el punto de vista matemtico la integral indefinida. Leibniz (1.646 1.716) a la Antiderivada la llamo Integral Indefinida, quizs pensando que este tipo de integrales incluye una constante arbitraria.

Luego podemos definir la integral indefinida de la siguiente manera:

( ) ( ) += cxDdxxf

Donde:

Smbolo de integracin. f(x) = Integrando

dx = diferencial de la variable,

D(x) = La integral de f(x)

c = constante de integracin.

Veamos un poco esta nomenclatura matemtica: Por definicin de derivada tenemos:

[ ] dxxfxDxfxDdxd )()(')()( ==

La operacin opuesta:

dxxfxDdxfdxxDd )())(()())(( ==

cdxxfxDdxxfxDd +== )()()())((


No debemos olvidar la constante de integracin.

Con base en las definiciones anteriores y los conceptos analizados, se puede obtener algunas integrales, basado en la teora de la antiderivada.

INTEGRALES INMEDIATAS:

INTEGRAL DERIVADA

+= Cxdx 1)( =+ cxdxd

++=+

cnxdxxn

n

1

1

para n -1 nn

xcnx

dxd =

++

+

1

1

+= cnedxenx

nx para n 0 nxnx

ecne

dxd =

+

+= caLogadxax

x

)( para a > 0 x

x

acaLog

adxd =

+

)(

+= ckkxdxkxsen )cos()( para k 0 )()cos( kxsenckkxdxd = +

+=

cxLndxx

)(1 [ ]

xcxLn

dxd 1

)( =+

cxSenxdx

+=

)(11 1

2 [ ] 21 1 1)( xxSendxd =

+= cxdxx )tan()(sec2 [ ] )(sec)tan( 2 xcxdxd =+

Tabla No. 1

___________________ 1 Listado de integrales inmediatas.


Leccin 4: Propiedades de las integrales.

Para las propiedades indefinidas, podemos destacar las siguientes propiedades, consecuencia de las aplicadas en la diferenciacin.

1. = dxxfdxxf )()( 2. = dxxfkdxxkf )()( 3. += ckxkdx 4. [ ] = dxxkgdxxkfdxxkgxkf )()()()( 5. cxfLndxxf

xf +=

)()( )(' La demostracin se pude hacer por medio de sustitucin.

6. [ ] [ ] cpxfdxxfxf

pp ++=

+

1)()(')(

1

La demostracin se puede hacer por medio de la tcnica de sustitucin.

Veamos algunos ejemplos:

1. +== cxdxdx 444 Aplicando las propiedades 1 y 2. 2. +== cedxedxe xxx 222 2555 Aplicando propiedad 3 e integrales inmediatas.

3. ( ) +=+ dxxsendxxdxxdxxsenxx )(243)(243 3232


Aplicamos las propiedades 3 y 4, luego:

+++=+ cxxxdxxsendxxdxx )cos(2)(243 4332 4. cxLndxx

x ++=

+ 4343 6 22 Aplicamos la propiedad 5.

5. ( ) ( ) ( ) cxsenxdxxxxsenx +== 5242 )2(551)2cos(210)2(5 Aplicamos la propiedad 6.

Leccin 5: La constante de integracin.

Retomando lo manifestado en el Teorema No 1, podemos observar que las antiderivadas de una funcin slo se diferencian por una constante C dada. Si recordamos el ejemplo += cxdxx )tan()(sec2 , podemos especificar algunas antiderivadas.

D(x) = 2)tan( +x , D(x) = 2)tan( +x , D(x) = 5)tan( +x , D(x) = 100)tan( +x , . A partir de lo anterior, se afirma que la constante de integracin es propia de las integrales indefinidas, ya que son muchas las antiderivadas de una funcin que contiene el integrando.

Por otro lado, cuando estamos integrando donde hay suma o resta, cada trmino tendr su constante de integracin, pero todas las constantes obtenidas se pueden agrupar en una sola.

Ejemplo No 1.

Desarrollar: dxxex x + ))cos(27( 4 Solucin:

Aplicando las propiedades de suma y resta tenemos:


dxxex x + ))cos(27( 4 = + dxxdxedxx x )cos(27 4 desarrollando cada integral. 321

5 )(257 cxsencecx x ++++ , luego las constantes las podemos agrupar en una

sola: 3215 )(2

57 cxsencecx x ++++ = Cxsenex x ++ )(2

57 5

Ejemplo No 2.

Hallar: ( )dxe xx + 42 Solucin:

Aplicando las propiedades y las integrales inmediatas:

( ) +++=+=+ 24144 41)2(222 cecLndxedxdxe xx

xxxx Agrupado las constantes:

( ) ceLn

dxe xx

xx ++=+ 44 41)2(22

EJERCICIOS:

Hallar las antiderivadas de las funciones dadas:

1. 20)( =xf 2. 2)( 4 += xxf

3. xxxf = 1)(

4. xexsenxf 22)2(3)( +=


Aplicando las propiedades, resolver las siguientes integrales.

5. dx6 6. ( )dxxx + )3(sec225 23 7. ( )dxxsene t + 7)5(2 8. dx

xx

)tan()(sec2

9. ( )dxttt ++ 38)234( 2 10. dx

eex

x

+ 5


CAPITULO 2: La integral definida

Introduccin ( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a

=

Para analizar las integrales definidas es necesario el estudio de los conceptos de Sumatorias, Sumas de Riemman y reas bajo la curva. Cada una se irn desarrollando de manera secuencial, para poder interiorizarlas adecuadamente. El tema de Sumatorias, se desarroll en el curso de lgebra, Trigonometra y Geometra Analtica, sin embargo para cualquier duda o aclaracin es pertinente consultarlo en dicho curso.

Leccin 6: Sumas de Riemann

Comencemos por definir una funcin f(x) en el intervalo cerrado I = [a, b], en dicho intervalo puede haber valores positivos y negativos; incluso, podra ser no continua. Hacemos una particin P del intervalo I en n subintervalos, para facilidad se hace una particin regular, pero no necesariamente debe ser regular, dicha particin debe tener la condicin que:

X0 < X1 < X2 < < Xn-1 < Xn, donde a = X0 y b = Xn

Ahora sea Xi = Xi Xi-1 El tamao del subintervalo. En cada subintervalo se escoge un punto muestra, puede ser un punto frontera. ix~ .

X1 = X1 X0.

X2 = X2 X1

As para los dems intervalos.

Como la particin se hizo sobre la funcin f(x), entonces:


Suma de Riemman.

Aqu Rp es la suma de Riemman para f(x) en la particin P.

Georg Friedrich Bernhard Riemann1 Fig. No. 1 Polgonos circunscritos.

Ejemplo No 1:

Evaluar la suma de Riemman para la funcin f(x) = x2 +2 en el intervalo [-2, 2], la particin es regular, tomando P = 8

Solucin: Tomemos X0 = -2 y Xn = 2. Se toma ix~ como el punto medio del i-simo

intervalo. Tambin: 21

8)2(2 == ix Xi = 0,5; con esto se obtienen 8

subintervalos, cuyos puntos medios son:

___________________ 1 1826 Alemania 1866 Suiza.

=

=n

iiip xxfR

1)~(


-1.75, -1.25, -0.75, -0.25, 0.25, 0.75, 1.25, 1.75. Apliquemos la frmula de sumas de Riemman:

=

=8

1)~(

iiip xxfR Entonces:

Rp = [f(-1.75)+f(-1.25)+f(-0.75)+f(-0.25)+f(0.25)+f(0.75)+f(1.25)+f(1.75)] * 0.5

En la funcin se reemplaza: 0625,52)75,1()75,1( 2 =+==xf y as para los dems.

Rp = [5.0625 + 3.5625 + 2.5625 + 2.0625 + 2.0625 + 2.5625 + 3.5625 + 5.0625] * 0.5 Rp = [25.50] * 0.5 = 13.25

Ejemplo No 2: Evaluar la suma de Riemman para la funcin h(t) = t3 2t, en el intervalo [1, 2]. La particin es regular y los puntos muestra definidos son: 20,1~1 =x , 38,1~2 =x ,

68,1~3 =x , 92,1~4 =x Solucin Tenemos todos los insumos para hacer la suma correspondiente:

=

=4

1)~(

iiip xxfR Entonces:

Rp = [f(1.20) + f(1.38) + f(1.68) + f(1.92)] * 0.25 Rp = [-0.672 0.131928 + 1.3816 + 3.2779] * 0.25 Rp = [3.855] * 0.25 = 0.9637 Resolver el ejemplo anterior utilizando 8 subintervalos P = 8, definiendo el tamao de cada subintervalo y el punto muestra de cada uno.


Leccin 7: rea bajo la curva

Concepto Intuitivo:

Para hallar el rea de una figura con lados rectos, la geometra plana (estudiada en matemtica bsica) permite calcular dichas reas, por ejemplo rectngulos, tringulos, paralelogramos, otros. Cuando la frontera de una figura es curva la situacin es de un anlisis ms profundo, ya que se requiere mayor trabajo matemtico. El gran matemtico de la antigedad ARQUIMEDES, propuso una solucin consistente en que al considerar una sucesin de polgonos inscritos que aproximen la regin curva, que puede ser ms y ms precisa, a medida que el polgono aumenta el nmero de lados.

Cuando P tiende a infinito ( P ), el rea del polgono se hace semejante a la del crculo.

Fig. No. 2 Polgonos inscritos.

Pero la genialidad de Arqumedes, tambin lo llevo a demostrar que con polgonos circunscritos, se llegaba al mismo resultado.


Leccin 8: Estimacin por sumas finitas.

Para determinar cmo se halla el rea bajo la curva, utilizaremos el principio de los polgonos inscritos y adems una de las funciones ms conocidas: f(x) = x2. El proceso consiste en hallar el rea de la regin A ( R ) acotada por el intervalo [a, b], para nuestro caso tomemos: [0, 2] La particin P del intervalo [0, 2] en n subintervalos, cuya longitud x es:

nnnxxx n 2020 === Particin

regular. Comencemos: X0 = 0 X1 = X0 + x = x X2 = X1 + x = x + x = 2x X3 = X2 + x = 2x + x = 3x M Xi = Xi-1 + x = (i 1) x + x = ix M Xn-1 = (n-1) x Xn = nx Fig. No. 3 Particin.

Pero x = 2/n, entonces: X0 = 0, X1 = 2/n, X2 = 4/n, , Xi = 2i/n, , , Xn = n(2/n) = 2 El rea de la regin Ri es f(xi-1) x . El rea total de la regin Rn ser la suma de las reas de todos los rectngulos inscritos en la curva.

xxfxxfxxfRA nn +++= )()()()( 110 L Para la funcin que estamos analizando tenemos:

233

222 882*2)( i

nni

nnixxxxf ii ==

==


Luego:

[ ] =++++= 6 )12)(1(8)1(2108)( 322223 nnnnnnRA n L

Revisar las propiedades de las sumatorias en el modulo de lgebra, Trigonometra y Geometra analtica, unidad tres, donde puedes reforzar estos conceptos. Luego:

+=

+= 2323 132

3432

68)(

nnnnnnRA n Entonces:

2344

38)(

nnRA n +=

A medida que n se hace ms grande, entonces el rea de la suma de los rectngulos inscritos es ms y ms aproximado al rea de la curva. Por consiguiente:

38

344

38)()( 2 =

+==

nnLimRALimRAnnn

NOTA: Realice la misma demostracin pero usando rectngulos circunscritos.

Leccin 9: Definicin

Sea f(x) una funcin definida en el intervalo cerrado [a, b] y continua en el intervalo abierto (a, b). Si f(x) 0 en [a, b], el rea bajo la curva de f(x) en el intervalo definido esta dado por:

( )=

=n

iin

xxfLimA1

Ejemplo 1:

Calcular el rea bajo la curva de f(x) = 3x2 x en el intervalo [1, 3].


Solucin:

Comencemos el proceso hallando nn

x 213 ==

10 =x

nn

nxxx 22101

+=+=+=

nn

nnnxxx 4412)21(12

+=+=++=+=

nn

nnnnxxx 6612423

+=+=+

+=+=

nin

nixxx ii

2211+=+=+=

Ahora por la definicin:

[ ]=

==n

iiin

n

iin

xxxLimxxfLimA1

2

13)(

+

+=

n

in nnin

ninLimA

1

2 2223

Desarrollando las potencias y multiplicando, obtenemos:

+++=n

in nin

ninin

nLimA

12

22 2121232


Aplicando las propiedades de las sumatorias, tenemos:

=

+

++=

n

i

n

in nin

nninin

nLimA

112

22 22121232

=

+

++=

n

i

n

ini

nni

ni

nnLimA

11

22

212121232

===

++=n

i

n

i

n

ini

nn

ni

ni

nn

nLimA

11

22

1

2*2121232

Recordemos las propiedades de las sumatorias.

( )( )

+++

++=

61212

21232

2

2

2 nnnn

nnn

nn

LimAn

++

22*2

2 nnn

nn

++

+++++= n

nnnnn

nnnn

nnnn

LimAn

2

2

232 22646632


+++++= nnnn

LimAn

222412812126 2

++= 2

4224426nnn

LimAn

++= 2

42222nn

LimAn

Aplicando lmite: 220022 =++=A Unidades cuadradas.


EJERCICIOS LECCION No. 4: 1. Demostrar que el rea bajo la curva para la funcin 222 xxy = en el intervalo [0, 1] es 1/3. SUGERENICA: Siga el procedimiento anterior, teniendo en cuenta las propiedades de las sumatorias. Hallar el rea del polgono circunscrito para la funcin propuesta: 2. f(x) = x + 1 donde a = -1 y b = 2 Con particin regular. 3. f(x) = x2 + 4 donde a = 2 y b = 4 Con particin regular. 4. g(x) = x3 donde a = 0 y b = 2 Con particin regular. Para las funciones dadas:

Determinar los puntos de evaluacin, correspondientes a los puntos medios de cada subintervalo dado segn el valor de n.

Graficar la funcin de los rectngulos que la aproximan. Calcular la suma de Riemman

5. f(x) = sex(x) [0, ] y n = 4 6. g(x) = x3 1 [1, 2] y n = 4 7. 2)( += xxh [1, 4] y n = 6

8. xxxP 12)( = [2, 4] y n = 10


Leccin 10: Integral definida.

Conocidos y estudiados los conocimientos sobre Sumas de Riemman y reas bajo la curva, podemos hacer una definicin formal sobre la integral definida.

DEFINICIN:

Sea f(x) una funcin definida en el intervalo cerrado [a, b], la integral definida de f(x) que va de a hasta b se define como:

( ) ( )=

=n

iin

b

a

xxfLimdxxf1

Llamada tambin la Integral de Riemman

Donde:

a = Lmite Inferior

b = Lmite Superior

f(x) = El integrando; o sea, la funcin que se va a integrar.

dx = Diferencial de la variable.

Analizando un poco el lmite de la sumatoria, igual que en el caso de la derivacin.

=

=n

iip

LxxfLim10

)(

Esto significa que dado un > 0, tan pequeo como se quiera, existe un > 0 tal que:

==

n

ii Lxxf

1)(

Para todas las sumas de Riemman xxf i )( de la funcin definida en el intervalo dado, si la norma p de la particin asociada, es menor que , se dice

que el lmite dado existe y es L.

Surge la pregunta: Qu funciones son integrables? La respuesta es que NO todas las funciones son integrables en un intervalo cerrado I.


Asociado al caso de lmite, se requiere que la suma de Riemman tenga lmite, ya que hay casos donde esta suma se puede hacer muy grande, como es el caso de:

=

n

i in xLim

1

21

Existen adems funciones acotadas que pueden no ser integrables, por el grado de complejidad de la misma, como es el caso de:

2

0

2

dxe x

Para esto existe un teorema de integrabilidad que nos garantiza las funciones integrables en un intervalo cerrado I, su demostracin NO est al alcance de este nivel ya que requiere clculo avanzado.


CAPITULO 3: Teoremas

Introduccin

En este captulo se presentan tres teoremas o afirmaciones que se pueden demostrar como verdaderas dentro un contexto lgico, esos tres teoremas nos ayudan a comprender los conceptos empleados en el clculo integral.

El teorema del valor medio, de la integrabilidad, primer y segundo teorema fundamental del clculo y el teorema de simetra, los cuales pasamos a comprender en el siguiente espacio.

Leccin 11: Teorema de integrabilidad.

Si f(x) es acotada en el intervalo cerrado [a, b] y si f(x) es continua excepto en un nmero finito de puntos, entonces f(x) es integrable en [a, b]. En particular si f(x) es continua en todo el intervalo, entonces es integrable en [a, b].

Consecuencia de este teorema podemos ver que las funciones polinmicas, seno y coseno, son integrables en todo el intervalo cerrado I. Las funciones racionales lo son en I siempre y cuando dicho intervalo no contenga puntos en donde el denominador es cero.

Ahora podemos hacer la siguiente relacin como conclusin de lo que venimos analizando:

rea bajo la curva de y = f(x) en el intervalo cerrado [a, b] es equivalente a

ba

dxxf )(

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA:

Las propiedades aplicadas a la integral indefinida, tambin son aplicables a las integrales definidas. Veamos algunas.


1. =ba

dxxf 0)( Para a = b

2. =ba

a

b

dxxfdxxf )()( Para a < b

3. +=ba

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()( Para a < c < b

4. [ ] =ba

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()(()(

5. =ba

b

a

dxxfKdxxKf )()(

6. =ba

abKKdx )(

7. Si f(x) y g(x) son funciones integrables en el intervalo I = [a, b] y si f(x) g(x)

Para todo x en [a, b], entonces: ba

b

a

dxxgdxxf )()(

Leccin 12: Valor medio de una funcin.

El concepto de valor medio lo conocemos muy bien, por los principios de Estadstica, pero en este caso vamos a calcular el valor promedio de una funcin f(x) en un intervalo cerrado I. Para este caso escogemos una muestra de puntos en el intervalo I, construyendo la Particin correspondiente, donde: x0 < x1 < x2

< xn; adems, x0 = a y xn = b. La diferencia entre los puntos es: nabx =

El valor promedio de la funcin f(x) est dado por el promedio de los valores de la funcin en x1, x2, xn:

[ ] =

=++++=n

iin xfn

xfxfxfxfn

xf1

321 )(1)(...)()()(1)(


Si multiplicamos y dividimos por b a tenemos:

= = n

abxfab

xfn

ii

1)(1)( Recordemos que:

nabx = , luego:

xxfab

xfn

ii = =1 )(

1)( Corresponde a la suma de Riemman.

DEFINICIN:

Para la funcin f(x) integrable en [a, b] y sabiendo que la suma de Riemman tiene lmite:

( ) ( ) ( ) = ==n

i

b

ain

dxxfab

xxfab

Limxf1

11

Ejemplo 1:

Hallar el valor promedio de la funcin sen(x) en [0, ]

Solucin:

Aplicando la definicin tenemos:

==

0)(

01)(1)( dxxsendxxf

abxf

b

a

( ) [ ])0cos(()cos(1)cos(1)(1)( 00

===

xdxxsenxf

[ ] 2111)( =+=xf

El proceso requiere la aplicacin del teorema fundamental del clculo, el cual estudiaremos en seguida.

Ejemplo 2:

Cual ser el valor promedio de la funcin f(x) = x2 2 en el intervalo [0, 4]


Solucin:

Al igual que en el caso anterior, con la aplicacin de la frmula para valor promedio de la funcin:

( ) 40

34

0

2 231

412

041)(1)(

=== xxdxxdxxfabxf

b

a

310

340

4108

364

412

31

41)(

4

0

3 =

=

=

= xxxf

310)( =xf

EJERCICIOS:

1. Hallar el valor promedio para la funcin f(x) = 4x3 en el intervalo [1, 3]

2. Cual ser el valor promedio de la funcin 16

)(2 +

=xxxg en el intervalo [0, 3]

3. Determinar el valor medio de la funcin: g(x) = sen2(x) cos(x) para el intervalo

[0, /2]

4. Cual ser el valor promedio de la funcin f(x) = cos(x) en el intervalo [0, /2]

Leccin 13: Primer teorema fundamental del clculo

Para enunciar el teorema, analicemos la siguiente situacin: Sea A(x) el rea bajo la curva de la funcin f(t) a dicha funcin se le llama funcin acumulada, ya que va acumulando el rea bajo la curva dada t = a hasta t = x. donde x > 1.

Sabemos que:

= xa

dttfxA )()(


Por otro lado, sabemos por definicin de reas bajo la curva que:

=

=n

iin

xxfLimxA1

)()(

Al relacionar las ecuaciones anteriores:

==

x

a

n

iin

dttfxxfLim )()(1

Ahora definamos a B(x) como el lmite de la sumatoria, de tal manera que

)(xfdxdB = Luego: )()( xfdttf

dxd x

a

=

TEOREMA: Sea f(x) una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x un punto en (a, b), entonces:

Se debe anotar que x es variable y que la tasa de acumulacin en t = x es igual al valor de la funcin f(x) que se est acumulando en t = x. Demostracin: Por la definicin de derivada:

=

+= +x

a

xx

axx

dttfdttfx

Limx

xFxxFLimxF )()(1)()()('00

)()( xfdttfdxd x

a =


++

=

xx

xx

x

a

xx

ax

dttfx

Limdttfdttfx

Lim )(1)()(100

Si observamos cuidadosamente la ltima expresin, podemos deducir que corresponde a lmite del valor promedio de f(x) en el intervalo [x, x + x]. Como x > 0, por teorema de valor medio:

+ =xx

x

cfdttfx

)()(1 Donde x < c < x + x

Pero cuando x tiende a cero, entonces c tiende a x; adems, f(x) es continua.

)()()(1)('00

xfcfLimdttfx

LimxFx

xx

ax

==

=

+

Este teorema en su concepto expresa que toda funcin f(x) continua en un intervalo cerrado, tiene antiderivada.

Ejemplo 1:

Desarrollar:

x dttdxd 14

Solucin: Por la definicin del teorema:

4

1

4 xdttdxd x =


Ejemplo 2:

Dado: ( ) += x dtttxF1

2 24)( Hallar F(x).

Solucin:

El integrado por definicin es F(x) = f(x) entonces: F(x) = x2 + 4x 2

Si lo resolvemos por otro lado, tenemos: ( ) += x dtttdxddxdF 1 2 24 por definicin del teorema: 242 += xx

dxdF

Ejemplo 3:

Si =2

1

)cos()(x

dttxP Calcular P(x).

Solucin:

Como el lmite superior tiene potencia, hacemos cambio de variable. U = x2, luego:

= u dttxP1

.)cos()( Por la regla de la cadena:

dxdudtt

dud

dxdP

dxdu

dudP

dxdP u *)cos(*

1

== Desarrollando:

xudxduu

dxdP 2*)cos(*)cos( == recordemos que u = x2 en este contexto.

)cos(2)(' 2xxxP =


Ejemplo 4

Sea ( ) =2

1

42)(x

dttxH Hallar H(x).

Solucin:

Hacemos cambio de variable as: u = x2 ahora:

( ) ( )xudxdudtt

dxd

dxdH u 2*42*)42(

1

=

= Reemplazando u tenemos ( ) ( ) xxxx

dxdH 842*42 32 == Por consiguiente:

xxdxdH 84 3 =

Leccin 14: Segundo teorema fundamental del clculo.

En clculo el estudio de los lmites es fundamental, dos lmites muy importantes en clculo son:

+= x

xfxxfLimxfx

)()()('0

y xxfLim in )( Por medio del teorema fundamental nmero uno, se estudio la relacin que tienen estos dos lmites, fundamental para resolver integrales definidas.

La existencia de la antiderivada, lo garantiza el primer teorema fundamental del clculo, la evaluacin de dichas integrales se garantiza por medio del segundo teorema fundamental.


TEOREMA:

Sea f(x) una funcin contina en un intervalo definido, por consiguiente es integrable en el intervalo cerrado [a, b], sea P(x) una antiderivada de f(x) en el intervalo dado, entonces:

Demostracin:

La demostracin requiere los conocimientos de teoremas y definiciones estudiadas anteriormente, por lo cual se debe tener presente estos aspectos.

Sea la funcin = xa

dttfxG )()( para x en el intervalo [a, b], sabemos que

)()(' xfxG = Para todo x en [a, b], luego G(x) es una antiderivada de f(x), pero P(x) es tambin antiderivada de f(x). Por el teorema de antiderivada, sabemos:

P(x) = G(x), donde P(x) y G(x) solo difieren por una constante, luego para todo x en [a, b]: P(x) = G(x) + C, para P(x) y G(x) continuas en el intervalo dado, luego:

P(a) = G(a) + C y P(b) = G(b) + C en el intervalo cerrado definido.

Para = == axa

dttfaG 0)()( Recuerdas?

P(a) = G(a) + C saber porque verdad!

P(a) = 0 + C entonces: P(a) = C, por lo tanto:

P(b) P(a) = [G(b) + C] C = G(b). Luego al igual que G(a), podemos decir:

=ba

aPbPdxxf )()()(


== bxa

dttfbG )()( Por consiguiente:

= ba

dxxfaPbP )()()( As queda demostrado el teorema.

Esta misma demostracin se puede hacer por las sumas de Riemman, veamos:

Primero participamos el intervalo [a, b] en: xo, x1, x2, , xn donde xo = a y xn = b, adems: x = xi xi-1, como x es el tamao de cada subintervalo, entonces:

nabx = para i = 1, 2, 3, , n Ahora:

P(b) P(a) = [P(x1) P(xo)] + [P(x2) P(x1)] + + [P(xn P(xn-1)] resumiendo:

[ ]=

=n

iii xPxPaPbP

11 )()()()(

Como P(x) es una antiderivada de f(x) derivable en (a, b) y continua en [a, b], por el teorema del valor medio

xcfxxcPxPxP iiiiii == )())((')()( 11 para ci (xi-1, xi) donde i = 1, 2, 3, Por asociacin de las dos ecuaciones anteriores:

[ ] ==

==n

ii

n

iii xcfxPxPaPbP

111 )()()()()( Si tomamos limite a ambos lados de

la ecuacin cuando n tiende a infinito, obtenemos:

== =b

an

n

iin

dxxfaPbPLimxcfLim )())()(()(1

Por consiguiente:

= ba

dxxfaPbP )()()(


Ejemplo 1:

Aplicar el segundo teorema fundamental del clculo para resolver: ba

xdx

Solucin:

( ) ====

=

b

a

bx

ax

ababxxdx 22222

21

222

Ejemplo 2:

Resolver la integral: ( )dxxx 20

3 4

Solucin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 24242

0

242

0

3 02041222

412

414 xxdxxx

( ) 48484164

2

0

3 === dxxx

Ejemplo 3:

Demostrar que: 124714

12 =

dxxx Solucin:

Como 21x

x es continua en [1, 4], se puede aplicar el teorema fundamental, luego:


+=+= 4

1

4

1

14

1

22

23

21

32)(1 xxdxxxdx

xx Evaluando:

( ) ( ) ( ) ( )41

311

35

41

31611

3244

3214

1

112

23

23 +=+=

+

+=

dxxx

1247

41

31114

12 =+==

dxxx

Ejemplo 4:

Hallar el valor de: 20

)(

dxxsen

Solucin:

La funcin seno es continua en el intervalo propuesto, luego se puede integral, por medio del teorema fundamental.

))0cos(()cos()cos()( 200

22

==

xdxxsen

110)(2

0

=+=

dxxsen


Leccin 15: Teorema de simetra.

Si f(x) es una funcin par, entonces: =

aa

a

dxxfdxxf0

)(2)(

Si f(x) es una funcin impar, entonces: 0)( =

a

a

dxxf

Demostracin:

Vamos a demostrar la primera parte del teorema, el segundo se deja como ejercicio.

+=

a

a

a

a

dxxfdxxfdxxf0

0

)()()( Ahora hacemos una sustitucin u = -x, luego

du = -dx. Por definicin, si f(x) es par. Se cumple: f(-x) = f(x), entonces:

==0 00

)())(()(a aa

duufdxxfdxxf Luego:

= aa dxxfduuf00

)()( Por lo tanto:

=+=

aaaa

a

dxxfdxxfdxxfdxxf000

)(2)()()(

EJERCICIOS:

1. Escribir las siguientes integrales como una sola:

a-) + 32

2

0

)()( dxxfdxxf

b-) + 12

2

0

)()( dxxfdxxf


2. Hallar 40

.)( dxxf donde:

+


ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIN DE LA UNIDAD

PREGUNTAS DE SELECCIN MLTIPLE CON NICA RESPUESTA

A continuacin, usted encontrar preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella que responde correctamente a la pregunta planteada entre cuatro opciones identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, mrquela en su hoja de respuestas rellenando el valo correspondiente.

1. En la suma de Riemman la funcin se aplica sobre los puntos muestra, ste representa:

A. El valor representativo del subintervalo

B. El valor representativo del intervalo

C. El valor representativo del rea

D. El valor representativo de la ordenada

2. La resolucin de integrales indefinidas originan

A. Una funcin

B. Un escalar

C. Infinito

D. Cero

3. La resolucin de integrales definidas originan

A. Un escalar

B. Otra funcin

C. Cero

D. Uno


4. Sea f(x) una funcin continua en el intervalo cerrado [a, b] y sea x un punto en (a, b), entonces:

La definicin dada corresponde a:

A. El primer teorema fundamental del clculo

B. El segundo teorema fundamental del clculo

C. El teorema del valor medio de una funcin

D. La definicin de integral impropia

5. Al resolver 20

)2tan(

dxx Su resultado es:

A. Diverge

B. 1/2

C. 2

D. 0

6. Al resolver dyyy +20

1 se obtiene

A. 5,276

B. 2,789

C. 1,432

D. 10,450

)()( xfdttfdxd x

a =


7. Al resolver dxex +10 13 se obtiene

A. 17,293

B. 20,287

C. 26.456

D. 10,345

8. Al resolver dxxsenxo )()(cos 22 se obtiene A. 0,3927

B. 2,453

C. 0,679

D. 7,895

9. Al resolver dxxx 1 se obtiene A. 2Ln(3)

B. 4Ln(4)

C. 5Ln(10)

D. 7Ln(2)

10. Al resolver dxx x 23* se obtiene A. 2 / 2Ln(3)

B. 5 / 3Ln(2)

C. 3 / Ln(7)

D. 7 / 3Ln(6)


HOJA DE RESPUESTAS.

A B C D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


LABORATORIO

Los estudiantes deben realizar los procedimientos de solucin paso a paso para cada punto. Adems deben comprobar con un software libre las respuestas. El software libre que pueden utilizar es SOLVED, el cual realiza los procedimientos para la solucin de integrales, obviamente al programa se le debe colaborar con la simplificacin de las integrales.

El software libre SOLVED se puede bajar de los links:

http://rapidshare.de/files/40970684/precalculus_Solved_.zip.html

http://jose.blancor.googlepages.com/home

Ejemplo No. 1 Solucionar la integral dxsenxx 1cos

Con la sustitucin:

xdudx

xdxdusenxu

cos

cos1

===

Reemplazando: == uduxu xdudxsenxx coscos1cos

Al resolver:


kukukuduuudu +=+=+

+==

+22

22

21

212

221

21

Reemplazando la sustitucin tenemos: ksenxku +=+ 122

Con la ayuda del software libre SOLVED procedemos hasta la sustitucin y luego

insertamos en el software la integral udu Con lo cual obtenemos:

La respuesta del software es idntica a la obtenida manualmente.


Ejemplo No. 2 Solucionar la integral ( )dxbxasen + Solucin directa con el software:


Ejercicios propuestos: Recuerde simplificar las integrales antes de ingresarlas al software.

Resolver:

( )( )( ) dxxx

xxx + + 63 18323

dxxx + 6

2

1

dxxxx + 1 23

2

dxxx2 4

xdx3

dxxsenx 2cos

5 22 xxdx

dxxx +1


dxxx 52

dxxxx + 1 844

2

dxxx +51

dxxxx + 23 73

2

n xdx

dxxx ++ 16

( ) ( ) + dxaxSecdxaxCtg 2

dxxx 3 3

( )( ) =+ dx

x

xx3 2

22 21


FUENTES DOCUMENTALES DE LA UNIDAD 1

RONDON, J.E (2007) Calculo Integral. Primera edicin, UNAD Ciencias bsicas

PURCELL, E (2001) Clculo, Pearson Education: Prentice hall, Octava Edicin, Mxico.

THOMAS Y FINNEY (1987). Clculo con Geometra Analtica Vol. 1. Edicin sexta, Addison Wesley Iberoamericana. Mxico.

STEWART, J. (2001) Clculo de una Variable. Thomsom-Learning. Cuarta edicin, Bogot.

LARSON, R. Y HOSTETLER, R. (1998) Clculo Vol. 1, Mc Graw Hill, sexta edicin, Mxico.

SMITH, R. Y MINTON, R. (2002) Clculo Vol. 1. Segunda Edicin, Mc Graw Hill, Bogot.

BAUM Y MILLES. (1992). Clculo Aplicado. Limusa, Mxico.

LEYTOLD, L. (1987) El Clculo con Geometra Analtica. Harla, Mxico.

PITA, C. (1998) Clculo de una Variable. Pearson educacin, Mxico.

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FUENTES DOCUMENTALES DE LA INTERNET

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http://www.matematicasbachiller.com/temario/calculin/index.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo

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http://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtml

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http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x%5E2*%28x4%29%5E0.5&random=false

http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/tutoriales/integracion/

http://www.matematicasypoesia.com.es/ProbIntegral/problema110.htm

http://usuarios.iponet.es/ddt/logica1.htm

Calculo Integral Unidad 1

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