Cálculo Integral UTN
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTEFICAYA
MATEMÁTICA III
MAGISTER: Daniel Sono
CLASE 1.- Miércoles 20/01/2015
CAPÍTULO V INTEGRACIÓN DE
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
MAGISTER: Daniel Sono
CAPÍTULO V: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
• 5.1. Integrales de senos y cosenos, siendo m y n enteros positivos pares o impares.
• 5.2. Integrales de tangentes y cotangentes, siendo m y n enteros positivos pares o impares.
• 5.3. Integrales de productos entre senos y cosenos.
• 5.4. Integrales de productos entre tangentes y cotangentes.
DESARROLLO:
• 5.1. Integrales de senos y cosenos, siendo m y n enteros positivos pares o impares.
• 5.3. Integrales de productos entre senos y cosenos.
CASO 1:
Identidades Trigonométricas
Ejercicio 5:
Ejercicio 8:
CASO 2:
Ejercicio:
CASO 3:
FÓRMULAS
• cos2x= 2 cos2x -1 ≡
Ejercicio 9:
Ejercicio 7:
CASO 4:
Ejercicio 15:
-
INTEGRACIÓN DE TANGENTES Y
COTANGENTES SIENDO m Y n NÚMEROS ENTEROS
POSITIVOS PARES E IMPARES
MAGISTER: Daniel Sono
CLASE 2.-Jueves 21/01/2016
CASO 1:
Ejemplo:
CASO 2:
Ejemplo 9:
Ejercicio 10:
CASO 3:
Ejercicio:
Ejercicio:
CLASE 3.- Miércoles 27/01/2016 CASO 4:
MAGISTER: Daniel Sono
Ejemplo 15:
Ejercicio 17:
CASO 5:
Ejercicio:
CASO 6:
Ejercicio:
න𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥= නሺ𝑠𝑒𝑐2𝑥− 1ሻ 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥
න(𝑠𝑒𝑐5𝑥− 𝑠𝑒𝑐3𝑥) 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥
a b
• Resolución de a:u= du= 3 dxdv= v= tan x
Todo:
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
• CASO 1:
u=a senѲ x=a senѲ
MAGISTER: Daniel Sono
CLASE4.- Jueves 28/01/2016
Definición de las funciones trigonométricas
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B
A
��ଶ ൌ���ଶ �ଶ
Teorema de Pitágoras
Ejercicio:
CASO 2:
• u=a tanѲ
Ejercicio 3:
u=a secѲ
CLASE5.- Miércoles 03/02/2016
MAGISTER: Daniel Sono
Ejercicio 21:
MEDIDA DEL ÁREA DE UNA REGIÓN R
MAGISTER: Daniel Sono
CLASE 6.- Jueves 04/02/2016
Definición:
Sea R la región limitada por la gráfica de la curva , las rectas , y el eje x, se define la medida A del área de la región R de la siguiente forma:
Siempre que .La ecuación anterior significa que para cualquier existe un tal que , y N pertenece a los enteros positivos.
f(ci)= Número absoluto de la función.En el intervalo cerrado
INTEGRAL DEFINIDA
• Definición:Si f es una función definida en entonces la integral definida f desde , se denota por:
Notas:
• En la integral es igual:f(x)= integrandoa= límite inferior
b=límite superior
TEOREMA:
Una función f es continua en el , entonces F es integrable en . • Definición:Sea la función f continua en el y para toda x en el . Sea R la región acotada por la curva y , el eje x y las rectas . Entonces la medida del área de la región “R” está dada por:
• Definición:Si , entonces la integral de a hasta b
• Definición:Si existe, entonces:
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si k es una constante, entonces:
2. 3. , donde
TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO
a. Primer teorema fundamental del cálculoSea la función f continua en el y sea x cualquier número en el . Si F en la función definida por donde es igual a la entonces,. Si , la derivada (2) puede ser una derivada por la derecha, y si , la derivada en (2) puede ser una derivada por la izquierda.b. Segundo teorema fundamental del cálculo Si la función f es continua en el y siendo g una función total que . Para toda x en , entonces:, si , la derivada de (8) puede ser una derivada por la derecha y si , la derivada en (8) puede ser una derivada por la izquierda.
EJERCICO 9.8
CLASE 7.- Miércoles 10/02/2016
MAGISTER: Daniel Sono
•
CÁLCULO DE ÁREAS• Ejercicio 5.9
V (0,4)
MAGISTER: Daniel Sono
CLASE 8.- Miércoles 11/02/2016
X -2 -1 0 1 2
Y 0 3 4 3 0
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.51
1.52
2.53
3.54
4.5
Valores Y
Valores Y
2.
V (2,4)
X -1 0 1 2 3 4 5Y -5 0 3 4 3 0 -5
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Valores Y
Valores Y
•
, considere elementos de área perpendiculares al eje x.
V (0,1)
CLASE 9.- Miércoles 17/02/2016
MAGISTER: Daniel Sono
1)2)
X -2 -1 0 1 2
Y 5 2 1 2 5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
1
2
3
4
5
6
Valores Yxy
X 0 -1
Y 0 0
∫0
1
𝑦𝑑𝑥=𝐼
4.
Ecuación 2 en Ecuación 1
1 -9 24 -16 1 -18 16 11 -8 16 /
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y 2,5 2,08 1,6 1 0 1 1,6 2,08 2,5
X 0 5
Y 1,3 3
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Valores Y
Valores Y
•
5.-• Determine m de tal forma que la región sobre
la curva , a la derecha del eje y, y bajo la recta tenga un área de k unidades cuadradas, donde k
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50
0.5
1
1.5
2
2.5
Valores Y
Valores Y