TRABAJO DE CÁLCULO (INTEGRALES)

1.- calcular ∫ (√x+3 )dx

Solución

M=∫ (√x+3 )dx

M=∫ (x12+3)dx

M=∫ x12 dx+3∫dx

M=23x32+3 x+C

2.−calcular∫ sinhx

(1+cos hx )3dx

Solución

K=∫ sinhx

(1+cos hx )3dx

Si se hace u=1+coshx, entonces du=sinhx dx, por consiguiente

K=∫ du

u3

K=∫u−3du=−u−2

2+C

K= −12 (1+coshx )2

+C

3.−calcular∫ e√x .3e√ x

dx√x

Solución

I=∫ e√x .3e√ x

dx√ x

Si consideramos h=e√x, se tiene dh=e√x

2√ xdx, luego

I=∫ h .3h

√x2√ xe√x dh

I=2∫ 3hdh

I= 3h

ln 3+C

I=2.3e√ x

ln 3+C

4.−calcular∫ 11+sin x

dx

Solución

J=∫ 11+sin x

dx

J=∫ 11+sin x ( 1−sin x1−sin x )dx

J=∫ 1−sin xcos2 x

dx

J=∫ sec2 x dx−∫ sec x . tan x dx

J=tan x−sec x

5.−calcular∫√ ln (x+√ x2+1 )x2+1

Solución

T=∫√ ln ( x+√x2+1 )x2+1

hacemosu=ln(x+√ x2+1)→du=1

x+√x2+1 (1+x

√ x2+1 )dx

dx=√x2+1du

T=∫ √u√x2+1 √ x2+1du

T=∫√udu→T=2u

32

3=23

( ln (x+√ x2+1 ))32+C

6.−calcular∫ sin (8 x )9+sin4 (4 x )

dx

Solución

I=∫ 2sin (4 x )cos(4 x)9+(sin2 (4 x ) )2

dx

seau=sin2(4 x )→du=2sin(4 x)cos(4 x )4dx

I=14∫ du32+u2

= 1413tan−1( u3 )= 1

12tan−1( sin2(4 x )3 )+C

7.−calcular∫ 1+ tan xsin(2x )

dx

Solución

Por identidades trigonométricas tenemos:

L=∫ 1sin(2 x)

dx+∫ tan x2sin xcos x

dx=∫csc(2x )dx+ 12∫ sec2 x dx

L=12ln|csc (2x )−cot (2 x)|+ 1

2tan x+C

8.−calcular∫ (7+x−3 x2 )e−x dx

Solución

Integrando por partes

u=7+x−3 x2du=(1−6x )dx

dv=e−x dx v=−e−x , luego se tiene

F=−(7+ x−3 x2 )e− x+∫ (1−6 x )dx

F=−(7+ x−3 x2 )e− x−3x2+x+C

9.−calcular K=∫ x ln( x−1x+1 )dxpor partes

u=ln( x−1x+1 )du= x+1x−1

.x+1−(x−1)

( x+1 )2dx= 2

x2−1dx

dv=xdx v= x2

2

K= x2

2ln( x−1x+1 )−∫ x2

x2−1dx=¿ x

2

2ln( x−1x+1 )−∫(1+ 1x2 )dx ¿

K= x2

2ln( x−1x+1 )−x−1

2ln ( x−1x+1 )

K= x2−12

ln( x−1x+1 )−x+C

15.CalculeL=∫ tan3(x )dx

Solución:

L=∫ tan3(x )dx

L=∫ sen3 (x )cos3 ( x )

dx=−¿∫ (1−cos2 ( x ) )cos3 ( x )

d (cos ( x ) )=−{−12 cos−2 ( x )−ln (cos (x ))}¿∴L=1

2sec2 ( x )+ ln (cos ( x ) )+c

16.Calcule L=∫ sen (x)sen (2x )sen (3 x)dx

Solución:

L=2∫ sen(x )sen(x )cos (x )(4 sen ( x )−3 sen3(x ))dx

L=2∫ [4 sen3 ( x )−3 sen5 ( x ) ]d (sen ( x ))

∴L=2 sen3 ( x )−12sen6 ( x )+c

17.CalculeL=∫√4+x2dx

Solución:

hacemos x=2 tan y→dx=2 sec2 ydy

→L=2∫ sec2 y secydx=¿2∫ sec3 ydy ¿

u=secy du=secy tany dydv=sec2 ydy v=tany

L=secy tany−∫ sec3 y+∫ secy

L=12secy tany+ 1

2ln|secy+tany|

∴L=12x √4+ x2+ 1

2ln|√4+x2+x|

18.Calcule L=∫ x4

(4−x2)72

dx

Solución:

L=∫ x4

(4−x2)72

dx

hacemos x=2 seny→dx=2cosy dy

L=∫ 24 sen4 y27 cos7 y

2cosydy=¿2−2∫ sen4 ycos6 y

dy=14∫ tan4 y sec2 ydy¿

hacemos z=tany dz=sec 2 ydy

L=14∫ z5dz=¿ 1

24z6+c ¿

∴L= 124

x6+c

19.Calcule L=∫ 1

(x2−1)(x2−2)12

dx

Solución:

hacemos x=√2 sect dx=√2 sect tant dt

L=∫ √2 sect tant dt(2 sec2 t−1 )√2 tant

L=∫ √2 sect tant dt(2 sec2 t−1 )√2 tant

=∫ dt1+sen2t

=arctan ( sent )+c

∴L=arctan (√ x2−2x

)+c

20.Calcule L=∫ 1

(9−x2)3dx

Solución:

hacemos x=3 senz dx=3cosz dz

L=∫ cosz dz

(9cos2 z)3=3−6∫sec 5 z dz

hacemosu=sec3 z du=3 sec3 z tanz dz

dv=sec2 zdz v=tanz

L=tanz sec3 z−3∫ sec3 z tan2 z dz

L=tanz sec3 z−3∫ sec3 z(sec2 z−1)dz

L=tanz sec3 z−3∫ sec5 zdz+3∫sec 3 z dz

4 L=tanz sec 3 z+32

[secz tanz+ ln|secz+tanz|]

L=14tanz sec3 z+ 3

8[ secz tanz+ln|secz+tanz|]

L=14tanz sec3 z+ 3

8[ secz tanz+ln|secz+tanz|]

∴L= 136

x(9−x2)2

+ 1216

x(9−x2)

+ 34ln|(3+ x)29−x2 |+c

21.Calcule L=∫ x2

1−x6dx

Solución:

hacemosu=x3du=3 x2dx

L=13∫ du

1−u2dx=1

6ln( u+1u−1 )

∴L=16ln( x3+1x3−1 )+c

22.Calcule L=∫ 2 x

x4+x2+1dx

Solución:

L=∫ 2 x

(x2+ 12)2

+ 34

dx

hacemosu=x2+ 12du=2 xdx

L=∫ du

u2+34

= 2

√3arctan ( 2u

√3)

∴L= 2√3

arctan( 2 x2+1√3 )+c

24.Calcule L=∫ dx

x2√x2+1

Solución:

x=tanz dx=sec2 zdz

L=∫ sec2 z dztan 2 z secz

=∫ cosz dzsen2 z

= −1senz

+c

∴L=√ x2+1x

+c

25.Calcule L=∫ 2 x3dx

(x2+1 )4

Solución:

u=x2+1du=2x dx

L=∫ u+1u4

du=∫ u

u4du+∫ 1

u4du=−1

2u2− 1

3u3

∴L= −1

2 (x2+1 )2− 1

3 (x2+1 )3+c

25.Calcule el área entre las curvas : y=x3+3x2+2 , y=x3+6 x2−25

Solución:

Encontrado sus puntos de intersección:

x3+3x2+2=x3+6 x2−25

x2−9=0 x=±3

Graficando:

Entonces:

L=∫−3

3

[ x3+3x2+2−(x3+6 x2−25 ) ]dx=∫−3

3

(−3x2+27)dx

L=2 [−x3+27 x ]30=108u2

∴L=108u2

23.−calcular I=∫ x2

x6−10 x3+9dx

Solución

hacemosu=x3−9du=3x2dx

I=13∫

duu (u+8 )

, como1

u (u+8 )=Au

+Bu+8

=

18u

+

−18u+8

, entoces

I=13 [∫ 1

8udu+∫

−18u+8

du]= 124ln| u

u+8|= 124ln|x3−9x3−1|+C

10.- Calcular I=∫eax senbx .dx

Solución

Aplicando integración por partes:

u=eax→ du=aeaxdx

dv=sen (bx ). dx→ v=−cos (bx)

b

∫udv=uv−∫ vdu

I=−1beaxcos (bx )+ a

b∫eaxcos (bx )dx

Aplicando de nuevo integración por partes.

u=eax→ du=aeaxdx

dv=cos (bx) . dx→ v=sen (bx)

b

I=−1beaxcos (bx )+ a

b( 1beax sen(bx )−a

b∫ eax sen (bx )dx )

I=−bb2

eax cos (bx )+ ab2eax sen (bx )−a2

b2I

I+ a2

b2I= eax

b2(asen (bx )−bcos (bx ))

I ( a2+b2

b2)= eax

b2(asen (bx )−bcos (bx ))

I= eax

a2+b2(asen (bx )−bcos (bx ))

11.- Calcular I=∫ x4−arctan (x )¿¿ ¿

Solución

I=∫ x4

¿¿ ¿

I=∫ (x¿¿4+2 x2+1)−2 x2−1¿¿ ¿¿

I=∫dx−∫ 2 x2+1¿¿ ¿¿

I=x−2∫ dx

1+x2+∫ 1

¿¿ ¿¿

I=∫ xarctan(x )¿¿ ¿

Escogemosu=arctan ( x )→du= 1¿¿

dv= xdx¿¿

Luego

I=x−2arctanx+∫ 1¿¿ ¿

I=x−2arctanx+ arctanx2 (1+x2 )

+ 12∫

1¿¿ ¿

CalculandoB=∫ 1¿¿ ¿

B=∫ 1+x2−x2

¿¿ ¿

Haciendou=x→du=dx

dv= x

1+x2dx→v=1

2∫2x

1+x2dx→v= −1

21+x2

B=arctanxdx+ x

2(1+x2)−12∫

dx

1+x2=¿arctanx+ x

2 (1+x2 )−12arctanx+C ¿

B=arctanxdx+ x

2(1+x2)+C

Remplazando BenI tenemos :

I=x−2arctanx+ arctanx2 (1+x2 )

+ 14arctanx+ x

4 (1+x2 )+C

I=x−74arctanx+ arctanx

2 (1+x2)+ 14arctanx+ x

4 (1+ x2 )+C

12.- Calcular N=∫ 9dx

√9 x2−12x+13

N=3∫ 9dx

√(3 x−2)2+32

N=3 ln (3 x−2+√ (3x−2 )2+32 )+9

13.- Calcular M=∫cos5 x dx

Solución

M=∫(1−sen2 x¿)cosxdx ¿

u=senx

M=∫(1−sen2 x¿)d (senx)¿

M=∫(1−u2)2du

M=∫ (u4−2u2+1 )du

M=u5

5−2 u

3

3+u+c

M= sen5

5−23sen3+senx+c

14) calcularM=∫cos 2xsen7 xdx

Solución:

Por la transformación trigonométrica:

cosAxsenBX=12

[cos (A−B)x+cos (A+B) x ]

I=12∫(cos5x+cos 9 x)dx= 1

10sen5 x

118

sen9 x+c

15.- Calcular M=∫ tan5 x √cos3 x dx

Solución

M=∫ sen5 x . (cosx )−72 (cosx)

12dx

M=∫ sen5 x senx (cosx )−72 dx

L=−∫ (1−cos2 x )2 senx(( cosx )¿¿−72d (cosx))¿

Si L=cox

L=−∫ (1+l 4−2 l2 )l−72 dl

L=−∫ (l−72 +l

12−2l

−32 )dl

L=25l−52 −23l−32 −4 l

−12 +c

L=25sec

52 (x)−2

3cos

−32 ( x)−4 sec

12+c

45) calcular I=∫0

+∞

senx dx

Solución I= limx→+∞

∫0

+∞

sexdx=[ limx→+∞−cosx ] t0

limx→+∞

[cost−1 ]=∞

I=∫0

+∞

senx dx , esdivergente

46) calcular I=∫0

+∞arctanx1+x2

dx

I=limt →∞

∫0

tarctanx1+x2

dx , seau=artanx→du= dx1+x2

I= limt→+∞

∫0

t

udu= limt →+∞

u2

2limt→+∞

[arctan2 x ] t0=12limt →+∞

[arctan2t−0 ]

I=12 ( π2 )

2

= π2

8

47) calcular I=∫−∞

+∞dx

ex+e−x

Solución I=∫−∞

0dx

ex+e−x+∫0

+∞dx

ex+e−x= limx→−∞

∫t

0dx

ex+e−x+ limk→+∞

∫0

kdx

ex+e−x

I= limt→−∞

∫t

0exdx

(ex)2+1+ limk→+∞

∫0

kdx

(ex )2+1

I= limt→−∞

[ arc tan ex ] 0t+ limk→+∞

[arc tan ex ]k0

I= limt→−∞

[ arc tan (1 )−arc tan e t ]+ limk→+∞

[arc tan ek−arc tan (1)]

I=π4−0+ π

2− π4=π2

48) hallar el área y=x2+2 x−3 , x=−2 , x=0 , y=0

Solución:

Para graficar consideramos:

y=x2+2 x−3=(x−1)(x+3)

Por lo tanto el área de la región que limita será:

A ( x )=−∫−2

0

( x2+2 x−3 )dx=−[ x33 +x2−3 x] 0−2A ( x )=−[ 83−4−6]=223 u2

49) calcular el que genera la intersección de las parábolas:

y=3 x−x2 , y=x2−x

Solución.

previamente calculemos los puntos de intersección entre las curvas, para la cual intersecamos ambas ecuaciones.3 x−x2=x2−x→ x ( x−2 )=0

→x=0 , x=2

por lo tanto los puntos de intersección es:

x=(0 ,0 ) i(2,2)

→A (x )=∫0

2

(3 x−x2)−(x2−x )dx=∫0

2

(4 x−2x2 )dx ¿¿=[2x2−2x33 ]20

A ( x )=8−163

=83u2