Calculo Intermedio Aplicado Tema 6 LaplaceTransform

Jos Luis Quintero 1

TEMA 6

TRANSFORMADA DE LAPLACE

6.1. MOTIVACIN En temas anteriores se aprendi cmo resolver ecuaciones diferenciales

lineales con coeficientes constantes sujetas a condiciones dadas llamadas de frontera o

condiciones iniciales. Se recordar que el mtodo consiste en encontrar la solucin

general de las ecuaciones en trminos de un nmero de constantes arbitrarias y luego

determinar estas constantes de las condiciones dadas. Durante el siglo XIX estuvo de

moda para cientficos e ingenieros, encabezados y motivados por el ingeniero

electricista Heaviside, usar mtodos de operador tales como los descritos en el tema

anterior para resolver varios problemas involucrando ecuaciones diferenciales. En estos

mtodos los operadores fueron tratados como smbolos algebraicos y las ecuaciones

resultantes fueron manipuladas de acuerdo a las reglas del lgebra. Admirablemente,

los mtodos condujeron a respuestas correctas.

Algunos matemticos inquietos, viendo que las manipulaciones algebraicas s

conducan a resultados correctos, razonaron que debera haber alguna manera de

colocar los procedimientos en una base matemtica rigurosa. La investigacin hacia

ese objetivo condujo al poderoso mtodo de la transformada de Laplace, el cual se

examina en este tema. Este mtodo tiene ventajas sobre otros mtodos. Primero,

usando el mtodo se pueden transformar ecuaciones diferenciales dadas en ecuaciones

algebraicas. Segundo, cualquiera condiciones iniciales dadas automticamente se

incorporan en el problema algebraico de modo que no se necesita hacer ninguna

consideracin especial sobre ellas. Finalmente, el uso de tablas de transformadas de

Laplace pueden reducir el trabajo de obtener soluciones lo mismo que las tablas de

integrales reducen el trabajo de integracin.

6.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definicin 1. Sea f(t) una funcin definida para t 0 ; entonces la integral dada por b

st st

b0 0{f(t)} e f(t)dt lm e f(t)dt

= =

L se llama transformada de Laplace de f,

siempre y cuando la integral converja.

Simblicamente, la transformada de Laplace de f se denota por L{f(t)} , y

puesto que el resultado depende de s, se escribe L{f(t)} F(s)= .

Jos Luis Quintero 2

Ejemplo 1. Calcule

L

bst sbbst st

b b b0 00

e e 1 1{1} e (1)dt lm e dt lm lm

s s s

+= = = = =

siempre que s 0> .

El uso del smbolo de lmite se vuelve algo tedioso, por eso se adoptar la

notacin 0

para indicar b

0blm ( )

.

Ejemplo 2. Determine L{t} .

Solucin. Se tiene

L

stst st

20 0

0

te 1 1{t} e tdt e dt , s 0

s s s

= = + = > .

Ejemplo 3. Determine L{sen(2t)} .

Solucin. Se tiene

L

stst st

0 00

st

0

stst

00

e sen(2t) 2{sen(2t)} e sen(2t)dt e cos(2t)dt

s s

2e cos(2t)dt, s 0

s

2 e cos(2t) 2e sen(2t)dt

s s s

= = +

= >

=

L 2 2

2 4{sen(2t)}, s 0.

s s= >

Despejando L{sen(2t)}: L L 2 2 2

4 2 21 {sen(2t)} {sen(2t)} , s 0

s s s 4

+ = = >

+ .

Para una suma de funciones se puede escribir

st st st

0 0 0e [ f(t) g(t)]dt e f(t)dt e g(t)dt

+ = + cuando ambas integrales convergen. Por lo tanto, se tiene que

L L L{ f(t) g(t)} {f(t)} {g(t)} F(s) G(s) + = + = + . Ejemplo 4. Determine L{3t 5sen(2t)} .

Solucin. De los ejemplos 2 y 3 y de la linealidad de la transformada de Laplace se

puede escribir

L L L

2

2 2 2 2

1 2 12 7s{3t 5sen(2t)} 3 {t} 5 {sen(2t)} 3. 5. , s 0

s s 4 s (s 4)

= = = >+ +

El teorema siguiente generaliza algunos de los ejemplos precedentes. De aqu

en adelante no se formularn restricciones para s; se sobreentiende que s est lo

suficientemente restringido para garantizar la convergencia de la correspondiente

transformada de Laplace.

Jos Luis Quintero 3

TEOREMA 1.

a. L1

{1}s

=

b. L nn 1

n!{t } , n 1,2,3,...

s += =

c. L at1

{e }s a

=

d. L2 2

k{sen(kt)}

s k=

+

e. L2 2

s{cos(kt)}

s k=

+

f. L2 2

k{senh(kt)}

s k=

g. L2 2

s{cosh(kt)}

s k=

6.3. CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de L{f(t)} son que f

sea continua por tramos en )0, y que f sea de orden exponencial para t T> . Recuerde que una funcin es continua por tramos en )0, si en cualquier intervalo 0 a t b hay, cuando mucho, un nmero finito de puntos kt , k 1,2,...,n=

k 1 k(t t ) < en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo

abierto k 1 kt t t < < .

Definicin 2. Se dice que una funcin f es de orden exponencial c si existen constantes c, M 0> y T 0> , tales que ctf(t) Me para todo t T> .

Si f es una funcin creciente, la condicin ctf(t) Me , t T> slo expresa que la grfica de f en el intervalo (T, ) no crece con ms rapidez que la grfica de la

funcin exponencial ctMe , donde c es una constante positiva. Las funciones f(t) t= ,

tf(t) e= y f(t) cos t= son todas de orden exponencial c 1= para t 0> porque,

respectivamente, tt e , t te e y tcos t e (ver figura 1).

Jos Luis Quintero 4

Figura 1. Orden exponencial para algunas funciones

Una funcin como 2tf(t) e= no es de orden exponencial porque, su grfica

crece ms rpido que cualquier potencia lineal positiva de e para t c 0> > .

En este tema se estudiarn solamente funciones que son continuas parte por

parte y de orden exponencial. Sin embargo, se hace notar que estas condiciones son

suficientes pero no necesarias para la existencia de la transformada de Laplace. La

funcin 1 /2f(t) t= no es continua parte por parte para t 0 pero su transformada de

Laplace existe (ver ejercicio propuesto).

TEOREMA 2. Si f(t) es continua por tramos en el intervalo )0, y de orden exponencial c para t T> , entonces L{f(t)} existe para s c> .

Ejemplo 5. Evale L{f(t)} cuando 0 0 t 3

f(t)2 t 3

.

6.4. LA TRANSFORMADA INVERSA

Usando la definicin integral de la transformada de Laplace de una funcin f se

determina otra funcin F, esto es, una funcin del parmetro s de la transformada. Simblicamente, se denota esto por L{f(t)} F(s)= .

Ahora se invierte el problema, es decir, dada F(s) se quiere encontrar la

funcin f(t) que corresponde a esta transformacin. Se dice que f(t) es la

transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe -L1f(t) {F(s)}= .

Jos Luis Quintero 5

TEOREMA 3.

a. L 11

1s

=

b. L n 1n 1

n!t , n 1, 2, 3,...

s

+

= =

c. Lat 11

es a

=

d. L 12 2

ksen(kt)

s k

=

+

e. L 12 2

scos(kt)

s k

=

+

f. L 12 2

ksenh(kt)

s k

=

g. L 12 2

scosh(kt)

s k

=

Ejemplo 6. Determine L 15

1

s

.

Solucin. Se multiplica y se divide por 4! y luego se usa la parte b del teorema 2. Se

tiene que - -L L1 1 45 5

1 1 4! 1t .

4! 24s s

= =

Ejemplo 7. Determine L 12

1

s 7

+ .

Solucin. Para coincidir con la forma del inciso (d) del teorema 3, se define 2k 7= ,

por lo que k 7= . Se acondiciona la expresin multiplicando y dividiendo por 7 :

L L1 1

2 2

1 1 7 1sen 7t

s 7 s 77 7

= =

+ + .

TEOREMA 4. La transformada inversa de Laplace tambin es lineal; esto es, para

constantes y , { } { } { }L L L1 1 1F(s) G(s) F(s) G(s) + = + , donde F y G son las transformadas de ciertas funciones f y g.

Ejemplo 8. Determinar L 12

2s 6

s 4

+

+ .

Solucin. Primero se reescribe la funcin de s como la suma de dos expresiones,

mediante divisin trmino a trmino, a continuacin:

L L L L1 1 1 1

2 2 2 2 2

2s 6 2s 6 s 6 22 2cos(2t) 3sen(2t)

2s 4 s 4 s 4 s 4 s 4

+ = + = + = +

+ + + + +

Jos Luis Quintero 6

6.5. COMPORTAMIENTO DE F(s) CUANDO S TIENDE A INFINITO TEOREMA 5. Si f es continua por tramos en )0, y de orden exponencial para t T> , entonces { }L

slm f(t) 0

= .

Demostracin. Dado que f(t) es continua por tramos en 0 t T , necesariamente es

acotada en el intervalo; esto es, 0t1 1f(t) M M e = . Tambin, t

2f(t) M e para t T> . Si

M representa el mximo de 1 2M ,M y c indica el mximo de 0, , entonces se tiene

que { }

L

(s c)tst st ct

0 00

e Mf(t) e f(t) dt M e e dt M

s c s c

= =

para s c> . Cuando

s , se tiene { }L f(t) 0 , de modo que { }L f(t) 0 .

Ejemplo 9. 2F(s) s= no es la transformada de Laplace de ninguna funcin continua parte por parte de orden exponencial ya que F(s) no tiende a cero cuando s tiende a

infinito. Por consiguiente { }L 1 F(s) no existe. 6.6. TEOREMAS DE TRASLACIN No es conveniente usar la definicin 1 cada vez que se quiera evaluar la

transformada de Laplace de una funcin f(t). En la discusin que sigue se presentarn

varios teoremas que permiten ahorrar trabajo y stos, a su vez, permiten construir

una lista ms extensa de transformadas sin que sea necesario recurrir a la definicin

de transformada de Laplace.

TEOREMA 6. (PRIMER TEOREMA DE TRASLACIN). Si a es un nmero real cualquiera, entonces L at{e f(t)} F(s a)= en donde LF(s) {f(t)}= .

Demostracin. La demostracin es inmediata ya que por la definicin 1 se tiene

Lat st at (s a)t

0 0{e f(t)} e e f(t)dt e f(t)dt F(s a)

= = = . Por consiguiente, si ya se conoce L{f(t)} F(s)= se puede calcular L at{e f(t)} sin

otro esfuerzo adicional que al trasladar, o cambiar, F(s) por F(s a) .

Ejemplo 10. Calcule L 5t 3{e t }.

Solucin. Los resultados se desprenden del teorema 6. L 5t 34

6{e t }

(s 5)=

.

Ejemplo 11. Calcule L 2t{e cos(4t)} .

Solucin. L 2t2

s 2{e cos(4t)}

(s 2) 16

+=

+ +.

Jos Luis Quintero 7

La forma recproca del teorema 6 puede escribirse como { }Lat 1e f(t) F(s a)= .

Ejemplo 12. Calcule L 12

s

s 6s 11

+ + .

Solucin.

L L L L

L L

1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 3t

2 2

s s s 3 3 s 3 3

s 6s 11 (s 3) 2 (s 3) 2 (s 3) 2 (s 3) 2

s 3 13 e cos( 2t

(s 3) 2 (s 3) 2

+ + = = =

+ + + + + + + + + +

+ = =

+ + + +

3t3) e sen( 2t)2

Ejemplo 13. Determine L 13 2

1 1

(s 1) s 2s 8

+

+ .

Solucin.

L L L L

1 1 1 13 2 3 2 3 2

t 2 t

1 1 1 1 1 2! 1 3

2! 3(s 1) s 2s 8 (s 1) (s 1) 9 (s 1) (s 1) 9

1 1e t e senh(3t)

2 3

+ = + = +

+ + +

= +

En ingeniera se encuentran a menudo funciones que pueden conectarse o

desconectarse. Por ejemplo, una fuerza exterior que acta sobre un sistema

mecnico o un voltaje suministrado a un circuito pueden ser desconectados despus de

un cierto perodo. Es por lo tanto, conveniente definir una funcin especial llamada

funcin escaln unitaria.

Definicin 3. La funcin U(t a) se define como U0 0 t a

(t a)1 t a

, entonces

L U Las as{f(t a) (t a)} e {f(t)} e F(s) = = .

Demostracin. De la definicin 1 se tiene

L U U U

ast st st

0 a a{f(t a) (t a)} e f(t a) (t a)dt e f(t a) (t a)dt e f(t a)dt

= + = . Ahora bien, sea v t a= , dv dt= ; entonces

Jos Luis Quintero 8

{ }

L U Ls(v a) as sv as

0 0{f(t a) (t a)} e f(v)dv e e f(v)dv e f(t)

+ = = = .

Ejemplo 14. Evale { }L U3(t 2) (t 2) . Solucin. { } { }L U L3 2s 3 2s 2s4 43! 6(t 2) (t 2) e t e es s = = = .

Ejemplo 15. Evale { }L U(t 5) . Solucin. { } { }L U L 5s5s e(t 5) e 1

s

= = .

Ejemplo 16. Determine { }L Usent (t 2 ) pi . Solucin. { } { } { }L U L U L 2 s2 s

2

esent (t 2 ) sen(t 2 ) (t 2 ) e sent

s 1

pi pi

pi = pi pi = =+

.

La forma recproca del teorema 7 es { }U L 1 asf(t a) (t a) e F(s) = , en donde a 0> y { }L 1f(t) F(s)= .

Ejemplo 17. Calcule Ls /2

1

2

e

s 9

pi

+ .

Solucin. s /2

1

2

e 1 1sen 3(t ) t cos(3t) t

3 2 2 3 2s 9

pi

pi pi pi = =

+ L U U .

6.7. DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA Si { }LF(s) f(t)= y si se supone que es posible intercambiar el orden de derivacin y el de integracin, entonces

{ }st st st0 0 0

d dF(s) e f(t)dt e f(t)dt e tf(t)dt tf(t)

ds ds s

= = = =

L .

Esto es, { } { }L Ldtf(t) f(t)ds

= . Anlogamente,

{ } { } { } { } { }22 2d d d dt f(t) t.tf(t) tf(t) f(t) f(t)ds ds ds ds = = = = L L L L L .

Los dos casos precedentes sugieren el siguiente teorema:

TEOREMA 8. Para n 1, 2, 3, ...= { } { }L Ln nn n nn nd dt f(t) ( 1) f(t) ( 1) F(s)ds ds= = , en donde { }LF(s) f(t)= .

Jos Luis Quintero 9

Ejemplo 18. Calcule { }L 3tte . Solucin. { } { }L L3t 3t 2d d 1 1te eds ds s 3 (s 3) = = = .

Ejemplo 19. Calcule { }L 2t sen(kt) . Solucin.

{ } { } { }L L L2 2 32 2 2 2 2 2 2 3d d d 2ks 6ks 2kt sen(kt) sen(kt) tsen(kt)ds dsds (s k ) (s k )

= = = = + +

.

Ejemplo 20. Calcule { }L tte cos t . Solucin. { } { }L L 2t t 2 2d d s 1 (s 1) 1te cos t e cos tds ds (s 1) 1 (s 1) 1

+ + = = =

+ + + +

.

6.8. TRANSFORMADAS DE DERIVADAS El objetivo inmediato de este tema es aplicar la transformada de Laplace para

resolver ecuaciones diferenciales. Para ello, se necesitan evaluar cantidades como

Ldy

dt

y L2

2

d y

dt

. Si f es continua para t 0 , por integracin por partes, entonces

{ } { }

L Lst st st

00 0f '(t) e f '(t)dt e f(t) s e f(t)dt f(0) s f(t)

= = + = + o sea { }L f '(t) sF(s) f(0)= .

Se supuso que ste f(t) 0 cuando t . De igual modo, se tiene:

{ } { }st st st00 0

f ''(t) e f ''(t)dt e f '(t) s e f '(t)dt f '(0) s f '(t) s sF(s) f(0) f '(0)

= = + = + =

L L

o sea { }L 2f ''(t) s F(s) sf(0) f '(0)= .

Se observa la naturaleza recursiva de la transformada de Laplace de las

derivadas. El siguiente teorema define la transformada de Laplace de la n-sima

derivada de f.

TEOREMA 9. Si (n 1)f, f ',..., f son continuas en )0, , son de orden exponencial y si (n)f (t) es continua por tramos en )0, , entonces

{ }L (n) n (n 1) (n 2) (n 1)f (t) s F(s) s f(0) s f '(0) ... f (0) = , donde { }LF(s) f(t)= .

Jos Luis Quintero 10

Ejemplo 21. Calcule { }L kt cos(kt) sen(kt)+ . Solucin.

{ } { } { }L L L L

2 2 2

d d 2kskt cos(kt) sen(kt) (tsen(kt) s tsen(kt) s sen(kt) s

dt ds (s k )

+ = = = =

+

2

2 2 2

2ks

(s k )=

+

Ejemplo 22. Sea f una funcin continua a trozos y de orden exponencial en [0, ) .

Demuestre que L-1{s.F '(s)} f(t) t.f '(t)= .

Solucin. Ld

{t.f '(t)}ds

= Ld

{f '(t)} [s.F(s) f(0)] F(s) sF '(s)ds

= = , entonces,

t.f '(t) f(t)= L-1{s.F '(s)} de donde L-1{s.F '(s)} f(t) t.f '(t)= .

6.9. CONVOLUCIN Definicin 4. Si dos funciones f y g son continuas parte por parte para t 0 entonces su convolucin, denotada por f g , est definida mediante la integral dada por

t

0f g f( )g(t )d = .

Ejemplo 23. La convolucin de tf(t) e= y g(t) sen(t)= es

tt t

0

1e sen(t) e sen(t )d ( sen(t) cos(t) e )

2

= = + .

Es posible obtener la transformada de Laplace de la convolucin de dos

funciones, como la dada con la frmula de la definicin 4, sin que se tenga que evaluar

en realidad la integral. El siguiente resultado se conoce como teorema de la convolucin.

TEOREMA 10. Sean f(t) y g(t) continuas parte por parte para t 0 y de orden exponencial. Entonces { } { } { }L L Lf g f(t) g(t) F(s)G(s) = = . Observacin 1. La convolucin de f y g es conmutativa, es decir, f g g f = .

Observacin 2. Cuando g(t) 1= y G(s) 1 / s= , el teorema de la convolucin implica

que la transformada de Laplace de la integral de una funcin f es

L

t

0

F(s)f( )d

s

=

.

Ejemplo 24. Calcule

L

t

0e sen(t )d

.

Solucin. { } { }

L L L

tt

2 20

1 1 1e sen(t )d e sent .

s 1 s 1 (s 1)(s 1)

= = =

+ + .


A veces, el teorema de la convolucin es til para encontrar la transformada

inversa de Laplace de un producto de dos transformadas de Laplace. En virtud del

teorema 10 se tiene que { }L 1f g F(s)G(s) = .

Ejemplo 25. Demuestre que n 1(n factores) t

1 1 ... 1 , n 2(n 1)!

=

.

Solucin. t

0

t1 1 d t

1! = = =

,

t2 2 2t

00

t t(1 1) 1 t 1 d

2 2 2!

= = = = =

,

t2 2 3 3 3t

00

t t t(1 1 1) 1 1 d

2 2 6 6 3!

= = = = =

. Al generalizar se tiene que:

n 1(n factores) t1 1 ... 1 , n 2

(n 1)!

=

.

Ejemplo 26. Determine la transformada de Laplace de t

2t

0f(t) e u.senudu g(t)= +

,

donde g(t) sen(t) 1 (t ) t (t )= pi + pi U U .

Solucin. L{f(t)} =Lt

2t

0e u.senudu

+

L{g(t)} , usando propiedad de linealidad.

Sea t

0h(t) u.senudu=

, entonces:

L{h(t)} = Lt

0u.senudu

=

L{u.senu}.1 d

s ds= L

2

1 1 d 1{senu}. . .

s s ds s 1=

+

2 2

2

(s 1)=

+.

Luego Lt

2t

2 20

2e u.senudu

((s 2) 1)

=

+

.

L{g(t)} = L{sen(t)} L{sen(t) (t )} pi +U L{t (t )} piU

L{g(t)} =s s

2 2 2

1 e e

s 1 (s ) 1 (s )

pi pi

++ + pi + + pi

Por lo tanto: Ls s

2 2 2 2 2

2 1 e e{f(t)}

((s 2) 1) s 1 (s ) 1 (s )

pi pi

= + + + + + pi + + pi

.

Ejemplo 27. Determine L 1 1(s 1)(s 4)

+ .

Solucin. Sera posible usar fracciones parciales, pero si 1F(s)s 1

=

y 1

G(s)s 4

=

+

entonces { }L 1 tF(s) f(t) e = = y { }L 1 4tG(s) g(t) e = = . Por lo tanto se puede escribir

L

tt t t1 4(t ) 4t 5 4t 5 t 4t

0 0 0 0

1 1 1 1f( )g(t )d e e d e e d e e e e

(s 1)(s 4) 5 5 5

= = = = = +

.


Ejemplo 28. Evale L 12 2 2

1

(s k )

+ .

Solucin. Sea 2 2

1F(s) G(s)

s k= =

+ de modo que L 1

2 2

1 k 1f(t) g(t) sen(kt)

k ks k

= = =

+ .

Por consiguiente,

L

t t1

2 2 2 2 20 0

t

2 30

1 1 1sen(k )sen(k(t ))d cos(k(2 t) cos(kt d

(s k ) k 2k

1 1 sen(kt) kt cos(kt)sen(k(2 t)) cos(kt)

2k2k 2k

= =

+

= =

6.10. DIVISIN POR T

TEOREMA 11. Si f(t) es continua parte por parte para t 0 y de orden exponencial y

si existe t 0

f(t)lm

t+ y es finito, entonces

s

f(t)F( )d

t

=

L , donde { }F(s) f(t)= L .

Ejemplo 29. Determine sen(t)t

L .

Solucin. Se puede ver que t 0

sen(t)lm 1

t+= . Se tiene entonces que:

{ }s2

s s

sen(t) dsen(t) ds arctg( ) arctg(s)

t 21

pi

= = = = +

L L .

El resultado puede escribirse de otra forma, como sigue: b

2 2b b b bs s

d d b s b s 1lm lm(arctg(b) arctg(s)) lm arctg arctg lm arctg

1 bs 1 bs s1 1

= = = = = + + + +

Ejemplo 30. Calcule L-11

s.arctg 1s

.

Solucin.

1 1 1

2

1 1

2

1 1 s 1f(t) s.arctg 1 t.f(t) arctg cos(t) arctg

s s ss 1

1 1g(t) arctg t.g(t) sen(t)

s s 1

= = =

+

= = =

+

L L L

L L

Por tanto 2

sen(t) t.cos(t) sen(t) t.cos(t) sen(t)t.f(t) cos(t) f(t)

t t t

= = = .

6.11. TRANSFORMADA DE UNA FUNCIN PERIDICA Si una funcin peridica tiene perodo T, siento T 0> , entonces f(t T) f(t)+ = .

La transformada de Laplace de una funcin peridica puede obtenerse integrando

sobre un perodo.


TEOREMA 12. Sea f(t) continua parte por parte para t 0 y de orden exponencial. Si

f(t) es peridica de perodo T, entonces { }

L

Tst

sT0

1f(t) e f(t)dt

1 e

=

.

Demostracin. La transformada de Laplace puede ser escrita como

{ }

L

Tst st

0 Tf(t) e f(t)dt e f(t)dt

= + . Haciendo t u T= + , la ltima integral se transforma en

{ }

Lst s(u T) sT su sT

T 0 0e f(t)dt e f(u T)du e e f(u)du e f(t)

+ = + = = .

Despejando { }L f(t) resulta { }

L

Tst

sT0

1f(t) e f(t)dt

1 e

=

.

Ejemplo 31. Halle la transformada de Laplace de la funcin peridica dada por t 0 t 1

f(t)0 1 t 2


n n 1 n 1 (n 1) n 2 (n 2)n n 1 0 n 0 n 1 00 0a s a s ... a Y(s) a s y ... y a s y ... y ... G(s)

+ + + = + + + + + + + en donde { }LY(s) y(t)= y { }LG(s) g(t)= . Despejando Y(s) se encuentra y(t) calculando la transformada inversa { }L 1y(t) Y(s)= .

Ejemplo 32. Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial

dy

3y 13sen(2t), y(0) 6dt

+ = = .

Solucin. Primero se calcula la transformada de cada trmino de la ecuacin

diferencial: { } { }L L Ldy 3 y 13 sen2tdt

+ =

. Se sabe que L

dysY(s) y(0) sY(s) 6

dt

= =

,

{ }L2

2sen2t

s 4=

+. De modo que:

2

26sY(s) 6 3Y(s)

s 4 + =

+. Al despejar Y(s) se tiene:

2

2

6s 50Y(s)

(s 3)(s 4)

+=

+ +. Se expresa:

2

2 2 2

6s 50 A Bs C 8 2s 6

s 3 s 3(s 3)(s 4) s 4 s 4

+ + += + = +

+ ++ + + +.

Finalmente: L L L1 1 12 2

1 s 2y(t) 8 2 3

s 3 s 4 s 4

= +

+ + + .

Como consecuencia, la solucin del problema de valor inicial es 3ty(t) 8e 2cos(2t) 3sen(2t)= + .

Ejemplo 33. Resuelva 4ty '' 3y ' 2y e , y(0) 1, y '(0) 5 + = = = .

Solucin. { } { }L L L L2 4t2d y dy3 2 y edtdt

+ =

.

2 1s Y(s) sy(0) y '(0) 3 sY(s) y(0) 2Y(s)s 4

+ = +

2

2 2

s 2 1 s 6s 9Y(s)

(s 1)(s 2)(s 4)s 3s 2 (s 3s 2)(s 4)

+ + += + =

+ + + +

De modo que: { }L 1 t 2t 4t16 25 1y(t) Y(s) e e e5 6 30

= = + + .

6.13. ECUACIN INTEGRAL El teorema de la convolucin es til para resolver otros tipos de ecuaciones en

las que aparece una funcin incgnita bajo un signo de integral. En el ejemplo

siguiente se obtiene f(t) resolviendo una ecuacin integral dada por la forma

t

0f(t) g(t) f( )h(t )d= + . Las funciones g(t) y h(t) son conocidas.

Ejemplo 34. Obtenga f(t) si

t2 t t

0f(t) 3t e f( )e d = .

Solucin. { } { } { } { } { }L L L L L2 t tf(t) 3 t e f(t) e= 3 3 3

2 1 1 1 6 1 s 6 1F(s) 3. F(s). 1 F(s) F(s)

s 1 s 1 s 1 s 1 s 1 s 1s s s

= + = = + + +


4 3 4

6(s 1) s 1 6 6 1 2F(s)

s(s 1) s s 1s s s

= = + + +

. Por lo tanto,

L L L L1 1 1 1 2 3 t

3 4

2! 3! 1 1f(t) 3 2 3t t 1 2e

s s 1s s

= + = +

+ .

6.14. FUNCIN DELTA DE DIRAC A menudo, los sistemas mecnicos estn sometidos a una fuerza exterior (o a

una tensin aplicada en el caso de los circuitos elctricos) de gran magnitud que

solamente acta durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga elctrica

podra caer sobre el ala ya vibrante de un avin o a un peso sujeto a un resorte podra

drsele un golpe seco con un martillo, o bien una pelota de golf inicialmente en reposo

podra ser enviada velozmente a los aires al ser golpeada con violencia por un bastn o

palo de golf. La funcin 1

02aa 0

0

t t a(t t )

0 t t a


Ejemplo 35. Resuelva y '' y (t 2 )+ = pi sujeta a (a). y(0) 1, y '(0) 0= = (b). y(0) 0, y '(0) 0= = Solucin. Estos dos problemas de valores iniciales podan servir como modelos para

describir el movimiento de una masa sujeta a un resorte que tiene lugar en un medio

en el cual la amortiguacin es insignificante. En t 2= pi segundos la masa recibe un

golpe seco. En (a) la masa se suelta desde el reposo, en un punto que est 1 unidad

debajo de la posicin de equilibrio. En (b) la masa est en reposo en la posicin de equilibrio.

(a). La transformada de Laplace de la ecuacin diferencial es 2 2 ss Y(s) s Y(s) e pi + = o

bien 2 s

2 2

s eY(s)

s 1 s 1

pi

= ++ +

. Usando el segundo teorema de traslacin se tiene que,

Uy(t) cos(t) sen(t 2 ) (t 2 )= + pi pi . Puesto que sen(t 2 ) sen(t) pi = , la solucin anterior

se puede escribir como cos t 0 t 2

y(t)cos t sent t 2

< pi=

+ pi.

(b) En este caso la transformada de la ecuacin es simplemente 2 s

2

eY(s)

s 1

pi

=

+ y por lo

tanto U0 0 t 2

y(t) sen(t 2 ) (t 2 )sent t 2

< pi= pi pi = pi

.

Ejemplo 36. Encuentre la solucin de la ecuacin integro-diferencial t

2(t u) t

0y '(t) y(u)e du e (1 (t 2)) , y(0) 0+ = + = .

Solucin. Usando transformada de Laplace se tiene: L{y '(t)} sY(s) y(0) sY(s)= = , usando transformada de una derivada.

L

t2(t-u)

0y(u)e du

=

L

2t{y(t) e } = L{y(t)}L 2t{e }Y(s)

s 2=

, por convolucin.

Lt{e (1 (t 2))}+ =L t t{e e (t 2)}+ = L t{e } + L t{e (t 2)} 2(s 1)1 e

s 1

= +

,

usando propiedades. En consecuencia:

2(s 1) 2(s 1)

2(s 1)

2

Y(s) 1 1 1sY(s) e s Y(s) e

s 2 s 1 s 2 s 1

s(s 2) 1 1 Y(s) e

s 2 s 1

(s 1) 1 Y(s) e

s 2 s 1

+ = + + = +

+ = +

= +

2(s 1)

2(s 1)

3 2

s 2 s 2 Y(s) e

(s 1) (s 1)

= +

2 2s

3 2

2s . 2s2 2

2 3 2

(s 1) 1 (s 1) 1 Y(s) e e

(s 1) (s 1)

1 1 2 e e Y(s) . e . e .

2 s 1(s 1) (s 1) (s 1)

= +

= +

Entonces: L-1 t 2 t 2 t 2 2 t 21

{Y(s)} t.e t e e e u(t 2) e (t 2)e u(t 2)2

= + .


t t ttt.e 1 e u(t 2) (t 2)e u(t 2)2

= +

t t2

e (t(1 ) u(t 2)(3 t))= + .

Ejemplo 37. Resuelva la ecuacin dada por t

02y '(t) y '''(t )d y(t) (t 1)+ + =

sujeta a las condiciones 3t 2

0

e sen (2t)y(0) dt

t

=

, y '(0) y ''(0) 0= = .

Solucin.

{ } { } { }{ } { }

{ } { } { }

t

0

t2

0

2y '(t) y '''(t )d y(t) (t 1)

2y '(t) 2 y '(t) 2 sY(s) y(0)

y ''(0)y '''(t )d y '''(t) 1 y '''(t) 1 s Y(s) sy(0) y '(0)

s

+ + =

= =

= = =

L L L L

L L

L L L L

{ } { }2

s

s Y(s) sy(0)

y(t) Y(s) (t 1) e=

= =

L L

Por lo tanto

{ } { } { }

{ }

t

0

2 s

s2 s

2 2

s1 1 1

2

2y '(t) y '''(t )d y(t) (t 1)

2 sY(s) y(0) s Y(s) sy(0) Y(s) e

e (s 2)y(0)s 2s 1 Y(s) e (s 2)y(0) Y(s)

(s 1) (s 1)

e 1y(t) Y(s) y(0) y(0)

s 1(s 1)

+ + =

+ + =

+ + + = + + = + + +

= = + +

++

L L L L

L L L1

2

t t t

1

(s 1)

y(t) e t (t 1) y(0)(e e t)

+

= + +

L

U

3t 2

0

e sen (2t)y(0) dt F(3)

t

= =

, donde 2sen (2t)

F(s)t

=

L .

2 2

2t 0 t 0

sen (2t) sen (2t)lm lm 4t. 0

t 4t+ + = = .

{ } { } { }2 21 cos(4t) 1 1 1 1 ssen (2t) 1 cos(4t)2 2 2 2 s s 16 = = = + L L L L 2

2

2s s

2

2s

sen (2t) 1 1 1 1d ln( ) ln( 16)

t 2 2 216

1 1 s 16ln ln

2 2 s16

= = + +

+ = =

+

L

Por tanto, 3t 2

0

e sen (2t) 1 5y(0) dt ln

t 2 3

= =

.

En consecuencia, t t t1 5

y(t) e t (t 1) ln (e e t)2 3

= + +

U


6.15. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Para los siguientes problemas, use la definicin para encontrar { }L f(t) :

a. 1 0 t 1

f(t)1 t 1

< y use este resultado para evaluar { }L 1 /2t . 3. Demuestre que la funcin 21 / t no tiene transformada de Laplace. (Sugerencia.

Considere { }

L

1st st

0 1f(t) e f(t)dt e f(t)dt

= + . Use la definicin de integral

impropia para demostrar que

1st

0e f(t)dt no existe).

4. Usando la tabla de transformadas, calcule { }L f(t) en cada caso: a. 5f(t) t= b. f(t) 4t 10=

c. 2f(t) t 6t 3= +

d. 3f(t) (t 1)= +

e. 4tf(t) 1 e= +

f. 2t 2f(t) (1 e )= +

g. 2f(t) 4t 5sen(3t)=

h. tf(t) e senh(t)=

i. f(t) sen(2t)cos(2t)=

j. f(t) cos(t)cos(2t)=

k. 10tf(t) te=

l. 3 2tf(t) t e=

m. tf(t) e sen(3t)=

n. 5tf(t) e senh(3t)=

o. t 2t 2f(t) t(e e )= +

p. t 2f(t) e sen (t)= q. f(t) (t 1) (t 1)= U


r. f(t) t (t 2)= U

s. f(t) cos(2t) (t )= piU

t. f(t) t.cos(2t)=

u. 2f(t) t senh(t)=

v. 2tf(t) te sen(6t)=

w.

t

0f(t) e cos( )d=

x.

tt

0f(t) e d=

y.

t

0f(t) t sen( )d=

z. 3f(t) 1 t=

aa. 2 4f(t) t t=

bb. t tf(t) e e cos(t)=

cc. senh(t)

f(t)t

=

dd. bt ate e

f(t)t

=

ee. 2sen (t)

f(t)t

=

5. Usando la tabla de transformadas, calcule { }L 1 f(t) en cada caso:

a. 3

1F(s)

s=

b. 3

4

(s 1)F(s)

s

+=

c. 2

1 1 1F(s)

s s 2s= +

d. 1

F(s)4s 1

=

+

e. 2

4sF(s)

4s 1=

+

f. 2

1F(s)

s 16=

g. 2

2s 6F(s)

s 9

=

+

h. 2

1F(s)

s 3s=

+

i. 2

sF(s)

s 2s 3=

+

j. 2

2s 4F(s)

(s 2)(s 4s 3)

+=

+ +

k. 2 2

1F(s)

s (s 4)=

+


l. 2

sF(s)

(s 4)(s 2)=

+ +

m. 3

1F(s)

(s 2)=

+

n. 2

1F(s)

s 6s 10=

+

o. 2

sF(s)

s 4s 5=

+ +

p. 2

sF(s)

(s 1)=

+

q. 2 3

2s 1F(s)

s (s 1)

=

+

r. 2s

3

eF(s)

s

=

s. s

2

eF(s)

s 1

pi

=

+

t. se

F(s)s(s 1)

=

+

u. 2 2

sF(s)

(s 1)=

+

v. s 3

F(s) lns 1

= +

w. s

F(s) arctg2 2

pi =

x. 1

F(s)s(s 1)

=

+

y. 1

F(s)(s 1)(s 2)

=

+

z. 2 2

sF(s)

(s 4)=

+

6. Escriba la funcin dada en trminos de la funcin escaln unitaria. Encuentre la transformada de cada funcin.

a. 2 0 t 3

f(t)2 t 3


8. Si { }F(s) f(t)= L , pruebe que { } 1f(t)cosh(at) F(s a) F(s a)2

= + + L . Use el resultado

para encontrar { }sen(kt)cosh(at)L . 9. Si a 0> , demuestre que { }f(at) (1 / a)F(s / a)=L . 10. Si f(t) es continua a trozos y de orden exponencial, demuestre que se cumple la

expresin t 0

a af( )d F(s) / s (1 / s) f( )d

= +

L (a 0> ) en donde { }F(s) f(t)= L . 11. Demuestre que U U21

2t (t a) (t a) (t a) = .

12. Determine L 12 2

2s

(s 1)

.

13. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial dada sujeta a

las condiciones iniciales que se indican: a. y ' y 1 y(0) 0 = =

b. 4ty ' 4y e y(0) 2+ = = c. y '' 5y ' 4y 0 y(0) 1 y '(0) 0+ + = = = d. y '' 6y ' 9y t y(0) 0 y '(0) 1 + = = =

e. 3 2ty '' 4y ' 4y t e y(0) 0 y '(0) 0 + = = = f. y '' y sen(t) y(0) 1 y '(0) 1+ = = =

g. ty '' y ' e cos(t) y(0) 0 y '(0) 0 = = =

h. t2y ''' 3y '' 3y ' 2y e y(0) 0 y '(0) 0 y ''(0) 1+ = = = =

i. y ' y f(t)+ = , en donde 0 0 t 1

f(t)5 t 1


16. Una viga uniforme de longitud L soporta una carga concentrada 0P en x L /2= . La

viga est empotrada en su extremo izquierdo y libre en su extremo derecho. Use la

transformada de laplace para determinar la deflexin y(x) a partir de la ecuacin

4

04

d y LK P x , y(0) 0 , y '(0) 0 , y ''(L) 0 , y '''(L) 0

2dx

= = = = =

.

17. Calcule las siguientes integrales impropias:

a.

10t

0te cos(t)dt

b.

5t 3t

0

e edt

t

c.

0

cos(at) cos(bt)dt ,

t

a y b constantes positivas

d.

t 2

0

e sen (t)dt

t


RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

1. a. s2 1

es s

b. s2 2

1 1e

s s

c. 7e

s 1 d.

2

1

(s 4) e.

2

1

s 2s 2+ + f.

2

2 2

s 1

(s 1)

+

4. a. 6

120

s b.

2

4 10

ss c.

3 2

2 6 3

ss s+ d.

4 3 2

6 6 3 1

ss s s+ + + e.

1 1

s s 4+

f. 1 2 1

s s 2 s 4+ +

g. 3 2

8 15

s s 9

+ h.

1 1

2(s 2) 2s

i. 2

2

s 16+

j. 2 2

1 s s

2 s 9 s 1

+

+ + k.

2

1

(s 10) l.

4

6

(s 2)+ m.

2

3

(s 1) 9 + n.

2

3

(s 5) 9

o. 2 2 2

1 2 1

(s 2) (s 3) (s 4)+ +

p. 2

1 1 s 1

2 s 1 (s 1) 4

+

+ + + q.

s

2

e

s

r. 2s 2s

2

e e2

ss

+

s. s

2

se

s 4

pi

+ t.

2

2 2

s 4

(s 4)

+ u.

2

2 3

6s 2

(s 1)

+

v. 2

2

12s 24

(s 2) 36

+

w. 2

s 1

s (s 1) 1

+

+ +

x. 2

1

s (s 1) y.

2

2 2 2

3s 1

s (s 1)

+

+ z.

5

6

s aa.

8

48

s bb.

2

s 1

(s 1) (s 1) 1

+ +

cc. 1 s 1ln

2 s 1

+

dd.

s aln

s b

+ +

ee. 2

1 4ln 1

4 s

+

5. a. 2t

2 b.

2 33t t1 3t

2 6+ + + c. 2tt 1 e + d.

t / 4e

4

e. t

cos2

f. senh(4t)

4 g. 2cos(3t) 2sen(3t) h.

3t1 e

3 3

i. 3t t3e e

4 4

+

j. t 2t 3te 8e e

3 15 5

+ k. t sen(2t)

4 8 l.

2te cos(2t) sen(2t)

4 4 4

+ +

m. 2 2tt e

2

n. 3te sen(t) o. 2t 2te cos(t) 2e sen(t) p. t te te

q. 2 t

t t 3t e5 t 5e 4te2

r. 2(t 2) (t 2)

2

U s. sen(t) (t ) piU

t. (t 1)(t 1) e (t 1) U U u. tsen(t)

2 v.

t 3te e

t

w. sen(2t)

t

x. t1 e y. t 2te e

3 3

+ z. tsen(2t)

4

6. a. { } 3s2 4f(t) 2 4 (t 3) f(t) es s

= = U L

b. { }2 2

s s s

3 2

f(t) t (t 1) (t 1) (t 1) 2(t 1) (t 1) (t 1)

2e 2e ef(t)

ss s

= = + +

= + +

U U U U

L

c. { } 2s 2s2 2

f(t) t t (t 2) t (t 2) (t 2) 2 (t 2)

1 e 2ef(t)

ss s

= =

=

U U U

L

12. f(t) t.senh(t)=


13.a. ty 1 e= + b. 4t 4ty te 2e = + c. t 4t4e e

y3 3

=

d. 3t 3tt 2 2e 10te

y9 27 27 9

= + + e. 5 2tt e

y20

= f. sen(t) t cos(t)

y cos(t)2 2

=

g. t t1 e cos(t) e sen(t)

y2 2 2

= + h. t / 2 2t t t8e e 5e e

y9 9 18 2

= + + +

i. (t 1)y 5 5e (t 1) = U j. 1

y cos(2t) sen(2(t 2 )) (t 2 )6

= pi piU

k. 3

y cos(t) t cos(t) t2 2

pi pi = +

U U

l. U U2t 2t 2(t ) 2(t 3 )2 1 1y e cos(3t) e sen(3t) e sen(3(t )) (t ) e sen(3(t 3 )) (t 3 )3 3 3

pi pi= + + pi pi + pi pi

14.a. f(t) sen(t)= b. t t t 2 te e 3te t e

f(t)8 8 4 4

= + + + c. tsen(t)

y sen(t)2

=

16.

2 30

20

P L 1x x 0 x L /2

K 4 6y(x)

P L 1 Lx L /2 x L

4K 2 12

Calculo Intermedio Aplicado Tema 6 LaplaceTransform

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