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7/24/2019 Clculo lgico - Wikipedia, la enciclopedia libre.pdf

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27/11/2015 Clculo lgico - Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_l%C3%B3gico

Clculo lgicoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

El clculo lgico, o derivacin lgica, es un algoritmo o sistema lgico que permite inferir o deducir uenunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como vlidamente verdaderos.

La inferencia o deduccin es una operacin lgica que consiste en obtener un enunciado como -conclusin

a partir de otro(s) -premisa(s)- mediante la aplicacin de reglas de inferencia.

Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entoncenecesariamente, "T" tiene valor de verdad V.

Las personas en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo partimos denunciados empricos -supuestamente verdaderos y vlidos- para concluir en otro enunciado que se derivde aquellos.

La lgica matemtica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar las reglas que permiten transformacin de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir loperaciones deductivas en un clculo riguroso y eficaz.

Al aplicar las reglas de este clculo lgico a los enunciados que forman un argumento, previa simbolizacin adecuada de los enunciados en frmulas o Expresiones bien formadas (EBF)1 construimun modelo dentro de un sistema deductivo que, referido al lenguaje ordinario, llamamos de Clculo ddeduccin natural.

La representacin grfica de los smbolos (constantes lgicas) no est normalizada, lo que lleva a veces ciertas dificultades de interpretacin.

ndice

1 Sistematizacin de un clculo

1.1 Reglas de formacin de frmulas

2 Concepto de modelo

3 El lenguaje natural como modelo de un clculo lgico

3.1 Reglas de simbolizacin

4 Cadena deductiva

4.1 De qu manera puede obtenerse la conclusin?

5 Reglas del clculo de deduccin natural. Clculo proposicional
https://es.wikipedia.org/wiki/Deducci%C3%B3n_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_formalhttp://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia_formalhttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttps://es.wikipedia.org/wiki/Constante_l%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Deducci%C3%B3n_naturalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_deductivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_(l%C3%B3gica)http://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_formalhttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia_formalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Validez_(epistemolog%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_inferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Validez_l%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_l%C3%B3gicohttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo


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https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_l%C3%B3gico 2

5.1 Reglas primitivas

5.2 Reglas derivadas

5.3 Reglas de Reemplazo

5.4 Clculo como lgica de clases

5.4.1 Elementos y su simbolizacin5.4.2 Operaciones entre las clases y su simbolizacin

5.4.3 Relaciones entre las clases

5.4.4 Proposiciones tipo

5.4.5 Reglas del clculo de clases

6 Reglas del clculo cuantificacional. Clculo de predicados

6.1 Reglas de simbolizacin

6.2 Cuantificadores

6.3 Clases de proposiciones

6.4 Reglas del clculo cuantificacional

7 Clculo de relaciones

8 Referencias

9 Vase tambin

10 Bibliografa

Sistematizacin de un clculo

Reglas de formacin de frmulas

I.- Una letra enunciativa (con o sin subndice) es una EBF (Expresin Bien Formada - en ingls wffo sewell- formed formula que significa frmula bien formada).

II.- Si A es una frmula, A tambin lo es.

III.- Si A es una EBF y B tambin, (A /\ B) (A \/ B) (A B) (A B) tambin lo son.

IV.- Ninguna expresin es una frmula del Clculo sino en virtud de I, II, III.
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_bien_formada


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Nota: A, B,... con maysculas estn utilizadas como metalenguaje en el que cada variable expresa cualquiproposicin, atmica o molecular.

Nota: Para la definicin como funcin lgica de , /\, \/, , y , vase Tabla de valores de verdad

Reglas de transformacin

R.T.1: Dada una tesis EBF del clculo, en la que aparecen variables de enunciados, el resultado de sustitu

una, algunas o todas esas variables por expresiones bien formadas (EBF) del clculo, ser tambin una tesEBF del clculo. Y ello con una nica restriccin, si bien muy importante: cada variable ha de ser sustituidsiempre que aparece y siempre por el mismo sustituto.

Veamos el ejemplo:

1 Regla de Transformacin

2 donde y donde

3 donde

O viceversa

1 Regla de Transformacin

2 donde

3 donde y donde

Esta regla recibe el nombre de regla de sustitucin

R.T.2:Si X es una tesis EBF del sistema y lo es tambin X --> Y, entonces Y es una tesis EBF del sistema

Esta regla recibe el nombre de regla de separacinSobre la base de estas dos reglas, siempre podremos reducir un argumento cualquiera a la forma:

[A /\ B /\ C...... /\ N ] ----> Y

lo que constituye un esquema de inferencia en el que de la verdad de las premisas A, B, N y su productopodemos obtener la conclusin Y.

Concepto de modelo
https://es.wikipedia.org/wiki/Inferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_valores_de_verdadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Proposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Metalenguaje


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Cuando en un Clculo C, se establece una "correspondencia" de cada smbolo con elementos determinadoindividuales distinguibles entre s, de un Universo L, real (tal universo L no es un conjunto vaco, por lamismas condiciones que hemos establecido), ENTONCES se dice que L es un MODELO de C.

El lenguaje natural como modelo de un clculo lgico

Naturalmente el clculo lgico es til porque puede tener aplicaciones.

Pero en qu consiste o cmo se hacen tales aplicaciones?

Para el clculo de enunciados podemos considerar que el lenguaje natural es un modelo de C si podemosometerlo, es decir, aplicarle una correspondencia en C. Este proceso es lo que se llama formalizacidel lenguaje.

El lenguaje cientfico necesita "formalizar el lenguaje" a fin de evitar ambigedades en las expresiones y elos contenidos semnticos de las palabras.

Cuando es posible se llega a una formalizacin completamente sometida a reglas previamente establecidacomo se pretende en este caso, y los elementos que constituyen las Expresiones bien formadas (EBF)s dlenguaje natural se pueden sustituir por variables sin significado, sin contenido semntico alguno porqurealizaran la misma funcin que cualquier expresin de la lengua que cumpla la funcin sintctica de expresin. Entonces podemos proceder como en un clculo.

No siempre es posible, pero es, sera, el lenguaje ideal de la ciencia,2 porque evitara la necesidad d"interpretacin". No habra ms que sustiuir variables por variables lingsticas y constantes por suexpresiones lingsticas formalizadas.

Es lo que se pretende en este apartado: someter las expresiones del lenguaje natural a unas variabl

simblicas mediante unas reglas de simbolizacin:

Reglas de simbolizacin

Regla I.

Cada uno de los enunciados simples del lenguaje natural se sustituir por variables proposicionalesimbolizadas por letras minsculas: p, q, r, s, t,.....

Regla II.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "no", "no es cierto", "no es el caso que" "es falso", "imposible" y todas aquellas que sean equivalentes, se sustituirn por el smbolo de negacin lgica:

Llueve: p No llueve: p

Regla III.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "y", "ni", "pero", "que", "mas", y todas las que seaequivalentes, se sustituyen por el smbolo de conjuncin lgica:
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunci%C3%B3n_l%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Negaci%C3%B3n_l%C3%B3gicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_proposicionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolohttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)http://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Cienciahttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculohttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_inferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_formalizadohttps://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_formalizado


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Llueve: p Hace fro: q Llueve y hace fro: p q

Regla IV.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "o", "o...o", "bien...bien", "ya...ya", y sus equivalentes, ssustituyen por el smbolo de disyuncin lgica:

Llueve: p Hace fro: q O llueve o hace fro: p q

Regla V.

Las expresiones naturales tales como "si.... entonces", "luego...", "por tanto", "por consiguiente", "con tque...", "se infiere", "se deduce" y sus equivalentes se sustituirn por el smbolo de implicacin lgica condicional material:

Llueve: p Hace fro: q Si llueve entonces hace fro: p q

Regla VI.

Las expresiones del lenguaje natural tales como "...si y solo si...", "...equivale a...", "...es igual a...", "vapor...", "...es lo mismo que...", y sus equivalentes se sustituirn por el smbolo bicondicional:

Llueve: p Hace fro: q Llueve si y solo si hace fro: p q

Uso de parntesis:

1.- No se utiliza parntesis en aquellos casos en que los conectores afecten a enunciados simples atmicos.

2.- Se utiliza parntesis cuando el conector afecte a toda una conjuncin, disyuncin, condicional bicondicional.

3.- Se utiliza el parntesis en las expresiones conjuntivas y disyuntivas precedidas o seguidas de ucondicionador o bicondicionador.

4.- Se utiliza el parntesis en las expresiones que nos interese precisar la dominancia del conector, o bieporque los conectores posean la misma dominancia -como en el caso del conjuntor y del disyuntor que soidempotentes- o bien porque el sentido de la expresin exige la alteracin de la dominancia de lconectivas fuertes -el condicionador y el bicondicionador que son las conectivas fuertes.

Cadena deductivaEs una secuencia finita de enunciados de los cuales uno, la conclusin, se sigue necesariamente de loanteriores. Cada enunciado que forma parte de una determinada cadena deductiva constituye una lnea dderivacin.

- Las distintas lneas de derivacin se colocarn una debajo de otra numeradas correlativamente a partir duno.
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A9ntesishttps://es.wikipedia.org/wiki/Bicondicionalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Condicional_materialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Implicaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Disyunci%C3%B3n_l%C3%B3gica


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- Las lneas correspondientes a las premisas iniciales irn provistas de un guion que preceder al nmerque tengan asignado.

- Si la lnea corresponde a una frmula inferida, se indicar a su derecha la regla aplicada y las premisas las lneas a las que se ha aplicado la regla.

N lnea EBF Regla Lneas

-1 Premisa-2 Premisa

& EBF Regla S lnea , 2

$ EBF Regla R lnea 1

n-2 EBF Regla X lneas 1, $

n-1 EBF Regla T lneas 2, (n-2)

n EBF Regla U lneas &, (n-1)

Cierre Conclusin

De qu manera puede obtenerse la conclusin?

a) La conclusin puede obtenerse "directamente" aplicando reglas de inferencia sobre las premisas iniciale

b) Cuando en el desarrollo de la derivacin es necesario utilizar premisas adicionales (supuestos ncontemplados en las premisas dadas), decimos que la derivacin es "subordinada", esto es, la obtencin dla conclusin se subordina a la utilizacin de tales supuestos.

c) En caso de que la conclusin no pueda obtenerse por los mtodos ya reseados, recurriremos a

derivacin "indirecta" o de "reduccin al absurdo".Observaciones tcnicas

- Las lneas de derivacin que introducen provisionalmente supuestos no contemplados en las premisainiciales, debern llevar una seal en escuadra mirando hacia abajo. El significado de la seal e"supongamos por el momento..."

Lnea n X Significa que X es un supuesto provisional no contemplado en las premisas.Lnea n+1 Lnea no utilizable fuera del supuesto.

Lneas Lnea no utilizable fuera del supuesto.lnea n+a Y Significa el cierre del supuesto y su cancelancin

- Los supuestos provisionales debern ser cancelados antes de establecer la conclusin. Un supuesprovisional queda cancelado cuando, en una lnea posterior de dicha derivacin, se obtiene una frmula tque permite la deduccin inmediata de otra frmula que es independiente del referido supuesto. Lcancelacin de un supuesto se expresa cerrando la escuadra.

- La reduccin al absurdo consiste en suponer como premisa provisional la negacin de la frmula que pretende demostrar y obtener, mediante este supuesto, una contradiccin. La consecuencia lgica ser negacin del supuesto, es decir, la afirmacin de la conclusin deseada.


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Ejemplo de clculo proposicional

Si dos gases tienen la misma temperatura entoncesus molculas tienen el mismo promedio de energcintica.

Volmenes iguales de dos gases tienen el mismnmero de molculas.

Las presiones de dos gases son iguales si es emismo su nmero de molculas y sus energacinticas son iguales.

Por consiguiente si dos gases tienen la mismtemperatura y el mismo volumen, tienen la mism

presin.Simbolizacin proposicional

Para dos gases:

t: Tener la misma temperatura.

c: Tener las molculas la misma energa cintica.

v: Tener volmenes iguales.

m: Tener igual nmero de molculas.

p: Tener presiones iguales.

Esquema de inferencia, o argumento

t-->c /\ v-->m /\ (m/\c)-->p, |- (t/\v)-->p

Clculo de Deduccin

- Todo supuesto provisional o las frmulas de l derivadas incluidas dentro de las escuadras no podrutilizarse despus de la cancelacin del supuesto como elementos de nuevas inferencias.

Reglas del clculo de deduccin natural. Clculo proposicional

En este clculo la proposicin lgica es considerada como un todo en su condicin de poder ser Vverdadera, o F, falsa.

Se distinguen las reglas primitivas y las derivadas. Las derivadas son producto de las primitivas, perfacilitan y reducen los pasos de la deduccin. Asimismo las de reemplazo significan que una expresi

puede ser sustituida directamente por su equivalente, a veces como definicin.

Reglas primitivas

Las reglas primitivas son las siguientes:

Introduccin del negador, demostracin indirecta

o absurdo I.N.lnea(n) A

Supuestoprovisional

- Lneas derivadasprovisionales

-no utilizables

fuera delsupuesto

lnea

(n+a)

B /\ B Regla I.C, lnea s,

r_________ Lnea de cierreLnea

(n+a)+1 A Regla I.N.lneas

(n - n+a+1) Conclusin

Eliminacin del negador o Ex contradictionequodlibet ECQ

lnean A

Frmula de lacadena

lnean+a A Frmula de lacadena

_______Lneadecierre

CRegla

E.N.,lneas n,n+a

Conclusin


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- 1 t--> c

- 2 v --> m

- 3 (m /\ c) --> p

4 t /\ v Supuesto

5 t E.C.4 6 v E.C.4

7 c M.P.1,5

8 m M.P.2,6

9 m /\ c I.C.7,8

10 c /\ m C.C.9

11 p M.P.3-9

___________ Cierre supuesto

12 (t /\ v) --> p I.I.4-10

Resulta curiosa esta regla, pero es la que justificaargumentos tales como: "Si esto que dices es verdad,

o soy el Papa de Roma", que, son vlidos aunqueintiles, pues se da por supuesta la falsedad de las

premisas.

Por eso "ex contradictione quod libet", es decir, deuna contradiccin podemos concluir lo quequeramos.

Introduccin del conjuntor o producto: I.C.

lnea n A Frmula de lacadenalnean+a B

Frmula de lacadena

_______ Cierre

A /\ B Regla I.C.,

lneas n, n+a Conclusin

Eliminacin del conjuntor o simplificacin: E.C.

lnean A /\ B

_________ Cierre

A Regla E.C.

lnea n Conclusin

Introduccin del disyuntor o adicin: I.D.

lnea n A Frmula de la cadena_________ Cierre

A \/ B Regla I.D., lnea n Conclusin

Eliminacin del disyuntor o casos: E.D.

lnea n A \/ B

lnea (n+1) A Supuesto provisional - Lneas derivadas provisionales - no utilizables fuera del supuesto lnea (n+ b) C Regla X, lnea s, r

lnea (n+x) B Supuesto provisional

- Lneas derivadas provisionales - no utillizables fuera del supuesto lnea (n+x)+a C Regla T, lnea t, r

_________ Cierre
https://es.wikipedia.org/wiki/Validez_l%C3%B3gica


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C Casos,lneas [(n+1-n+b),(n+x-n+x+a)]

Introduccin del implicador o teora de la deduccin I.I.

lnea (n) A Supuesto provisional - Lneas derivadas provisionales - no utilizables fuera del supuesto

lnea (n+a) B Regla X, lnea s, r _________ Cierre

Lnea (n+b)+1 A B Regla I.I.lneas (n+1-n+b),conclusin

Eliminacin del implicador o Modus ponens E.I.

lnea n A B Frmula de la cadenalnea n+a A Frmula de la cadena

_________ Cierre

B Regla E.I., lneas n, n+aConclusin

Reglas derivadas

Algunas de las reglas derivadas ms utilizadas:

Silogismo hipottico o Transitividad del condicional S.H.

lnea n A B Frmula de la cadenalnea n+a B C Frmula de la cadena

_________ Lnea de cierreA C Regla S.H., lneas n, n+aConclusin

Silogismo disyuntivo o inferencia de la alternativa S.D.

lnea n AB Frmula de la cadena

lnea n+a A Frmula de la cadena_________ Lnea de cierre

B Regla S.D., lneas n, n+aConclusin

Modus tollens M.T.

lnea n A B Frmula de la cadenalnea n+a B Frmula de la cadena

_________ Lnea de cierre A Regla M.T., lneas n, n+aConclusin

Reglas de Reemplazo
https://es.wikipedia.org/wiki/Modus_tollenshttps://es.wikipedia.org/wiki/Silogismo_disyuntivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Silogismo_hipot%C3%A9tico


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En las que las lneas de cierre son dobles indicando que ambas frmulas son equivalentes, es decir, puedesustituirse directamente una por otra puesto que su conexin es un bicondicional

Leyes de De Morgan

lnea n (A /\ B) Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre

( A \/ B) Regla de De Morgan 1., lnea n.

Conclusin

lnea n (A \/ B) Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre

( A /\ B) Regla de De Morgan 2., lnea n.Conclusin

Conmutacin de la conjuncin

lnea n A /\ B Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre

B /\ A Conmutacin conjuncin CC., lnea n.Conclusin

Conmutacin de la disyuncin

lnea n A \/ B Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre

B \/ A Conmutacin disyuncin CD., lnea n.Conclusin

Asociativa de la conjuncin AC.'

lnea n [A /\ (B /\ C)] Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre

[(A /\ B) /\ C] Asociativa conjuncin AC., lnea n.Conclusin

Asociativa de la disyuncin AD.

lnea n [A \/ (B \/ C)] Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre

[(A \/ B) \/ C] Asociativa disyuncin AD., lnea n.Conclusin

Distributiva de la conjuncin

lnea n [A /\ (B \/ C)] Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre[(A /\ B) \/ (A /\ C)] Distributiva de la conjuncin DC., lnea n.Conclusin

Distributiva de la disyuncin

lnea
https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_De_Morgan


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n [A \/ (B /\ C)] Frmula de la cadena

============ Doble lnea de cierre[(A \/ B) /\ (A \/

C)] Distributiva de la disyuncin DD., lneas n.Conclusi

Doble negacin

lnea n A Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre

A Doble negacin DN., lnea n.Conclusin

Transposicin

lnea n (A B) Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre

(B A) Transposicin., lnea n.Conclusin

Definicin del implicador

lnea n A B Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre

A \/ B Implicacin, Imp., lnea n.Conclusin

Equivalencia 1

lnea n A B Frmula de la cadena

============ Doble lnea de cierre[(A B) /\ (B A) Equivalencia 1., lnea n.Conclusin

Equivalencia 2

lnea n A B Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre[(A /\ B) \/ (A /\ B) Equivalencia 2., lnea n.Conclusin

Exportacin

lnea n [(A /\ B) C] Frmula de la cadena============ Doble lnea de cierre[A (B C)] Exportacin. Exp., lnea n,Conclusin

Identidad

lnea n


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Clase vaco

Clase universal

A Frmula de la cadena

============ Doble lnea de cierreA Identidad, lnea n, Conclusin

Tautologa

lnea n A Frmula de la cadena

============ Doble lnea de cierre(A \/ A) Exportacin. Exp., lnea n.Conclusin

Clculo como lgica de clases

La lgica de clases considera la proposicin considerando la pertenencia o no pertenencia de un elemento individuo a una determinada clase. Es la interpretacin de una proposicin o enunciado lingstico bajo formalizacin de la teora de conjuntos.

Por clase se entiende un conjunto de individuos que tienen una propiedad comn. Ntese que la propieda

define a la clase, no al individuo, lo que lo diferencia esencialmente de la lgica de predicados. En estcaso, por tanto, el valor de verdad viene dado por la pertenencia o no pertenencia a una clase. Por ello, tabla de valores de verdad se explicita como tablas de pertenencia.

As, no es lo mismo decir: "Hs = Scrates es un hombre" (donde atribuimos una cualidad que atae al smismo de Scrates), que decir: "S H = Scrates pertenece a la clase de los hombres."

La clase tiene sentido aun cuando no existan individuos. As, la clase hombre, como concepto de hombrexiste aunque no existan los hombres. De la misma forma que existe el concepto de "caballos con alas", aucuando no existan pegasos.

Actualmente la lgica llamada tradicional, silogstica, se interpreta como lgica de clases.

Elementos y su simbolizacin

Universo: es la clase de todas las clases, de todos los elementos del universoque estemos considerando. Se la llama clase universal. UClase vaca: clase que no tiene ningn elemento : Individuos:Clase: conjunto de individuos que tienen una propiedad en comn. Puedesignificarse de varias maneras:

A = - Por enumeracin

A = (Todos los nacidos en Asturias) - Por definicin de una propiedad

A = ( x/ nacido en Asturias) - Por un funcin proposicional

cuantificada3

Pertenencia: No pertenencia:Generalizador: Todo x.4
http://-/?-http://-/?-http://-/?-https://es.wikipedia.org/wiki/Silogismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Pegasohttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_claseshttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_claseshttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venn1111.svghttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADohttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venn0000.svg


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Clase complementaria

Unin de clases:

Clase interseccin:

Particularizador: Algn x.5

Conectivas: - Definidas de igual forma que en la lgica de enunciados relativas a pertenencia o no pertenencia de un individuo a una clase.La negacinse define como una operacin entre las clases, la clase complementaria.

Operaciones entre las clases y su simbolizacin

a) Clase complementaria: clase complementaria de una clase A esla clase formada por todos los elementos que no pertenecen a esaclase A.

Observemos que equivale a la negacin.

Definicin ClaseComplementaria

b) Clase unin o unin de clases: la clase unin de dos clases A yB es la clase formada por los elementos que pertenecen a una o aotra clase.

A =

B =

=

Observamos que equivale a la disyuncin.

Definicin Clase Unin deClases

b)Interseccin de clases o clase interseccin: clase interseccinde dos clases A y B es la clase formada por los elementos que

pertenecen a una y a otra clase.
http://-/?-https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venn0001.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venn0111.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venn1010.svg


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Clase diferencia:

Clase diferencia simtrica:

A =

B =

=

Definicin Clase Interseccin

de Clases

Observamos que equivale a la conjuncin.

c)Diferencia: clase diferencia es la clase formada por loselementos de A que no pertenecen a B.

A =

B =

=

Definicin Clase Diferenciade Clases

Relaciones entre las clases

a) Identidad o equivalencia: puede suceder que todos losmiembros de una clase lo sean tambin de otra, y viceversa. Porejemplo:
https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_de_conjuntos#Diferencia_sim.C3.A9tricahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venn0110.svghttps://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_de_conjuntoshttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venn0100.svg


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Equivalencia de clases:

Inclusin de clases:

A = Todos los nios que tienen un ao de edad. B = Todos losnios nacidos hace un ao.

Pongamos atencin en que la equivalencia se refiere a la extensinde los individuos que pertenecen a la clase, pero formalmente la

propiedad que la define puede ser diversa. Por ello tiene sentidodecir A = B como clases diferentes, pero equivalentes.

b) Inclusin: cuando todos los miembros de una clase pertenecen aotra

c) Disyuncin: cuando ningn elemento de B pertenece a A, niningn elemento de A pertenece a B.

Proposiciones tipo

La clsica clasificacin aristotlica:

Tipo A: todos los S son P. "Todos los hombres son mortales", seinterpreta como:6

Tipo E: ningn S es P. "Ningn hombre es mortal", se interpretacomo:

Tipo I: algn S es P. "Algn hombre es mortal", se interpreta como
http://-/?-https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relation1011.svghttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relation1001.svg


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Disyuncin de clases:

Tipo O: algn S es No-P. "Algn hombre no es mortal", seinterpreta como

Reglas del clculo de clasesComo leyes lgicas, es decir tautologas que se pueden comprobar

mediante tablas de pertenencia, se estableces algunas reglas queresultan tiles para los algoritmos de clculo de deduccin deproposiciones:

Leyes asociativas:

Leyes conmutativas:

Leyes distributivas:

Ley de involucin:

Leyes de De Morgan:

Leyes de absorcin:

Ley de contraposicin:

Ley de la transitividad:
https://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_De_Morganhttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_inferenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Tautolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_inferenciahttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Relation1110.svg


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Junto con estas leyes especficas se mantienen las mismas reglas del clculo de enunciados, en larelaciones de unas proposiciones con otras.

Reglas del clculo cuantificacional. Clculo de predicados

Cuando el argumento no se fundamenta en las relaciones conectivas entre las proposiciones como un todsino en el anlisis de las proposiciones, se hace necesario la ampliacin del clculo lgico como son, ahor

las reglas de cuantificacin, para el clculo cuantificacional.

La cuantificacin permite explicitar el mbito de aplicacin de un predicado a un sujeto o conjunto dsujetos. Por lo que el clculo segn este modo de anlisis de la proposicin se conoce como clculo d

predicados.

Reglas de simbolizacin

La expresin denota cualquier proposicin o funcin proposicional.

Siendo un predicado que se aplica a una variable individual .= ser cuadrado = cualquier cosa = cualquier cosa cuadrada

Una funcin proposicional sin cuantificacin alguna no puede tener valor de verdad V o falsedad F y no epor tanto, una proposicin.

La expresin denota la ocurrencia de en . Siendo a, b, c, d, e. constantes individuales.

= ser cuadrado = esta mesa = Esta mesa es cuadrada

En este caso es una proposicin singular, en que = , y puede tener valor V o F.Una proposicin no puede tener ocurrencias libres, variables sin cuantificar, para poder tener valor V o F.

La sustitucin de una variable en una funcin proposicional ha de hacerse bajo la condicin de qula variable , como variable de individuos, debe estar libre en en todos los lugares en que ocurlibre en . (Si no contiene ocurrencias libres de , entonces y son idnticas y son mismo).

Una ocurrencia libre es la ocurrencia de una variable , , , , etc. no sometida al alcance de ucuantificador universal o existencial.

Por ejemplo:

Sustituyendo la variable = ser una rueda, por la variable = ser una rueda de bicicleta, respecto predicado = ser redondo, cuando el universo, o contexto de que se trata es el de las bicicletas:

y por tanto =

Cuantificadores
https://es.wikipedia.org/wiki/Proposici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Proposici%C3%B3n


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Generalizador Universal

Es el resultado del producto de a/\ b/\ c/\ d/\ e/\f.... en todas las ocurrencias posibles de x. Equivaa Todos los posibles x

Particularizador existencial

Es el resultado de la adicin a \/ b \/ c \/ d \/ e \/ f..... en todas las ocurrencias posibles de x. EquivaExisten algunos, o al menos un individuo que verifica Px.

Instanciacin

Sustituyendo en una funcin proposicional las variables de individuos x,y, z,... por constantes a, b, c..como individuos: Pedro, Juan, este libro, etc.

Ejemplos:

P = Ser cuadradox= cualquier cosa a= esta mesaxPx= Para todox, para cualquierx,xes cuadrado

xPx= Para algnx, se da Px. Existe al menos unxtal quexes cuadrado

Px= Ser cuadrado Pa= Esta mesa es cuadrada

Clases de proposiciones

Singulares:Ma Siendo M = ser mortal a= Antonio Ma Antonio es mortal

Generales:

Siendo:

P = Ser hombre M = Ser mortalx= variable individual, cualquier individuo

x(Px Mx) Para todoxsi Pxentonces Mx Todos los hombres son mortales

x(Px/\ Mx) Existe algnxpara el que Px/\ Mx Algn hombre es mortal

x(Px Mx) Para todoxsi Pxentonces Mx Ningn hombre es mortal

x(Px/\ Mx) Existe algnxtal que Px/\ Mx Algn hombre no es mortal

Proposiciones mltiplemente generales:


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Ejemplo de clculo de predicados

Todos los mdicos curan. Por tanto, si los que cura

saben medicina, entonces Juan, que es mdico, sabmedicina.

Simbolizacin proposicional

M = Ser mdico C = curar S = Saber medicina k =Juan

Esquema de inferencia, o argumento

/\x (Mx-->Cx) |- /\x (Cx-->Sx) -->(Mk-->Sk)

Clculo de Deduccin

- 1 /\x (Mx-->Cx)

2 /\x (Cx-->Sx)

3 Mk

4 Mk--> Ck I.U.1

5 Ck M.P.4,3 6 Ck-->Sk I.U.2

7 Sk M.P.6,5

8 Mk-->Sk I.I.3,7

___________ Cierre supuesto

9 /\x (Cx-->Sx)-->(Mk-->Sk)I.I.2-8

Enunciados compuestos cuyos componentes son proposiciones generales con ms de una variable dindividuos y/o con proposiciones singulares.

Sea el caso de la proposicin:

x(Px Lx)] LdQue podra equivaler a: Si todos los perros ladran, entonces Desko (mi perro) ladra

Si fuera el caso x(Px Lx) Ly

Pxy Lx, son ocurrencias ligadas, sometidas al alcance de un cuantificador.

Ly en cambio es una ocurrencia libre, y por eso puede sustituirse por otra variable o por una constantcomo Ld.

Reglas del clculo cuantificacional

Adems de todas las reglas referidas a lasproposiciones como un todo, se tienen las siguientes:

Instanciacin Universal. I.U.

Lnea n /\xPx lnea de cierre

Lnea n+a Py U.I.lnea n. Conclusin

Generalizacin existencial. E.G.

Lnea n Py

lnea decierreLnean+a \/xPx

E.G. lnea n.Conclusin

Instanciacin existencial. I.E.

lnea n \/xPxlnea(n+1) Py

Supuestoprovisional

Lneas derivadasprovisionales

no utilizables fueradel supuesto lnea(n+a) p Regla &&, lnea s, r

______ Lnea de cierreLnea(n+a)+1 p

Regla E.I. lneas (n- n+a+1) Conclusin


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Con la condicin de que y sea una variable que noocurre libre ni en p ni en ningn rengln que preceda aPy.

Generalizacin universal. G.U.

Lnea n Py lnea de cierre

Lnea n+a /\x

Px G.U.

lnea n.Conclusin

Con la condicin de que y sea una variable que no ocurre libre ni en /\xPx ni en ninguna hiptesis dentrde cuyo alcance se encuentraPy

Negacin de un cuantificador N.C.

/\xPx xPx xPx xPx====== ====== ====== ====== Doble lnea de cierre\/x Px \/xPx \/xPx \/xPx

Principio de identidad Id.

Identidad: Px

y=x Px y=x p Lnea de cierre

Py (y=x) x=y x=x

Clculo de relaciones

En algunas ocasiones la validez de un argumento reside en las relaciones que una o varias proposicionestablecen entre varios individuos.

As la relacin ser ms grande que fundamenta un argumento claramente vlido:

Antonio es ms grande que Pepe, y Pepe es ms grande que Juan. Luego Antonio es ms grande que Juan.

Simbolizacin

Sea la relacinR = ser ms grande que

a = Antonio

p = Pepe

RapSimboliza la proposicin Antonio es ms grande que Pepe.
https://es.wikipedia.org/wiki/Validez_l%C3%B3gica


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Nota importante: Es fundamental la consideracin del orden de las constantes o variables de la relaciNo es lo mismo Rab que Rba como se comprende fcilmente. Aun cuando pueda haber relaciones en laque el orden no vara la relacin lgica, por ejemplo ser igual a.

Sea ahora el argumento anteriormente considerado, donde

R = ser ms grande que a = Antonio p = Pepe j = Juan

El esquema de inferencia consecuente sera:

(Rap /\ Rpj) Raj

Que nos da la forma de un esquema de inferencia basado en relaciones.

Clases de proposiciones

En funcin del nmero de los individuos entre los que se da la relacin:

Didicas, tridicas, tetrdicas.

Didica Raj Antonio es amigo de Juan

Tridica: Rsmv Segovia est entre Madrid y Valladolid

Tetrdica: Ramjc Antonio cambi la moto a Juan por un coche

Funciones proposicionales

Si sustituimos las constantes individuales por variables de individuos tendramos:

Rxy Rxyz Rwxyz

Proposiciones generales y cuantificadores

Salta a la vista la dificultad que encierra el manejo de tantas variables y sus cuantificadores por essimplificamos la consideracin a relaciones binarias.

Para ejemplificacin de las proposiciones consideramos la relacin A = amar a

/\x /\y Axy Todo ama a todo

/\y /\x Axy Todo es amado por todo

\/x \/y Axy Algo ama a algo

\/y \/x Axy Algo es atrado por algo

/\x /\y Axy Nada ama cosa alguna

/\y /\x Axy Nada es amado por cosa alguna


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Teniendo en cuenta las posibles conectivas entre variables y cuantificadores la simbolizacin requiere uanlisis lgico complejo del lenguaje, teniendo en cuenta que no siempre es necesario explicitar relacionecuando stas no intervienen en la forma lgica del argumento.

La simbolizacin, debido a la ambigedad del lenguaje, y a veces al contenido de las mismas relaciones, nsiempre es clara ni convincente a la hora de determinar el sentido lgico de la expresin lingsticsimbolizada en proposiciones lgicas. Por eso a modo de ejemplo simbolizamos:

Consideremos la expresin: Algn golfista aficionado gana a todos los profesionales.

Consideraremos el caso de alguno que es aficionado = \/x Ax /\y = Todos los que son profesionales y G= ganar a.

Analizamos la expresin:

\/x {(x es un aficionado) /\ (x puede ganar a todos los profesionales)}

luego como:

\/x {(x es un aficionado) /\ /\y (Si y es profesional --> (x gana a y)}

lo que usando nuestras simbolizaciones:

\/x {Ax /\ /\y (Ay --> Gxy)}

Es evidente que la prctica hace innecesarios los pasos intermedios.

Reglas de clculo

No es necesario introducir nuevas reglas para tratar los argumentos que incluyen relaciones. La lista dreglas del clculo proposicional y cuantificacional posibilitan tratar todos los argumentos relacionales,

bien la reduccin de las proposiciones a unidades proposicionales a las que se puedan aplicar las reglas realmente complicado.

Referencias

1. Transformando los enunciados lingsticos en proposiciones lgicas2. Como llegaron a pretender los neopositivistas3. Que se lee: Todo x tal que x pertenece a la clase de los nacidos en Asturias

4. Conjuntor grande equivale a la conjuncin de todos los elementos que pertenecen a la clase5. Disjuntor grande equivale a la disjuncin de todos los elementos que pertenecen a la clase

6. En la formalizacin grfica de los silogismos esta relacin de inclusin, es decir los juicios universalafirmativos tipo A, se representan interpretando la proposicin como: "No hay ningn S que no sea P. VaSilogismo

Vase tambin
https://es.wikipedia.org/wiki/Silogismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Neopositivismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Proposici%C3%B3n_(l%C3%B3gica)


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Convencin para larepresentacin grficadel Juicio tipo A

ProposicinClculoLenguaje formalLgicaLgica proposicional

Bibliografa

COPI, IRVING M. (1982). LGICA SIMBLICA. MEXICO 22 D.F:EDITORIAL CONTINENTAL S.A. DE C.V. ISBN 968-26-0134-7.DEAO, ALFREDO (1974).INTRODUCCIN A LA LGICA FORMAL.MADRID: ALIANZA EDITORIAL. ISBN 84-206-2064-5.

GARRIDO, M. (1974).LGICA SIMBLICA. MADRID: TECNOS. ISBN84-309-0537-5.

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Categora: Lgica matemtica

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