Calculo Material de Primer Parcial(Bloque 1)

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LOS NMEROS REALESLos nmeros Naturales.Los nmeros surgieron de la necesidad de contar pertenencias, objetos, personas, etc. Cuando contamos objetos se inicia con 1, luego 2, 3, 4, etc. Qu tan grande es este conjunto de nmeros?, imaginemos que estamos en la playa y tomamos una pizca de arena y la colocamos en nuestra mano, podramos contar el nmero de granos de arena que tenemos sin ninguna dificultad. Pues bien, podramos contar, por dar un ejemplo 34 granos de arena, iniciando la cuenta en 1, 2, 3, 4,., 34. Pero luego imaginemos que quisiramos contar una cantidad mayor de granos de arena, el proceso sera laborioso, pero al fin de cuenta no imposible; algo similar se tiene con las estrellas, pero en este caso sera imposible el contarlas todas. Esto nos da una idea de lo que es el infinito, debido a que el conjunto de nmeros naturales no tiene fin.Existe una polmica acerca de considerar al cero como elemento de los nmero naturales; como se inventaron para contar objetos, que representara el cero, precisamente eso, la ausencia de objetos diran los especialistas en teora de conjuntos (probabilidad y lgica), entonces algunos consideran al cero como elemento de los nmeros naturales, y otros ms conservadores como los especialistas en teora de nmeros que no lo reconocen como tal as es que no lo incluyen.

El conjunto de nmeros que utilizaremos es el de mayor tendencia: el conjunto en el que se excluye el cero como elemento uno de sus elementos.

Los nmeros naturales se representan con la letra N y su notacin de conjunto es:

Los nmeros Enteros.Estos son conocidos como nmeros deudos, dado que nacen como una necesidad de representar deudas. Estos son usados para ubicar posiciones de objetos con respecto a un punto de referencia, como por ejemplo, cuando se quiere ubicar un objetos por encima o debajo del nivel del mar para operaciones prcticas, los que estn por encima del nivel del mar seran los nmeros positivos y los que estn por debajo del nivel del mar son los nmeros negativos. Estos nmeros tienen las siguientes caractersticas: son infinitos, numerables y sirven para contar unidades completas, es decir, podemos tomar dos nmeros consecutivos y no existe un nmero intermedio. Al igual que los nmeros naturales, estos no tienen fin, tanto hacia la derecha como a la izquierda.El conjunto se describe de la siguiente forma:

Los nmeros Racionales.

Investigando los jeroglficos de diferentes civilizaciones como los egipcios, babilonios, griegos, entre otros, se encontr que dichas civilizaciones conocieron las fracciones desde tiempos muy remotos; al analizar los jeroglficos egipcios se encontr que las utilizaban para la construccin y la agrimensura.

Los nmeros racionales se expresan como el cociente de dos nmeros enteros, de ah que se le denomine con la letra Q por quotient, que significa cociente. El trmino racional proviene de razn.

Al nmero racional se le conoce como fraccin, porque puede ser expresado con numerados y denominador de nmeros enteros, a excepcin del cero como denominador. Por ejemplo:

etc. En las dos primeras fracciones se observa de forma clara la estructura de fraccin.

Recordemos que cualquier nmero entero se puede escribir como una fraccin con denominador 1, por ejemplo, el 6 se puede representar de la siguiente forma:

As que al generalizar la definicin en su forma de fraccin de los nmeros racionales, tendramos que expresarlo de la siguiente forma:

Tambin se sabe que cuando tenemos un nmero fraccionarios podemos realizar la divisin entre el numerador y el denominador, como en los siguientes ejemplos:

a)

b)

c)

d)

e)

Como se ve en los ejemplos, los nmeros se expresan con desarrollo decimal y pueden ser finitos, como en el caso a) y b), o infinito peridicos como en el caso c), d) y e). De aqu que, se enuncia la definicin de nmeros racionales con base en la forma de su desarrollo decimal.Los nmeros racionales (Q): Son nmeros con desarrollo decimal finito o infinito peridico.Javier fue a comprar 2/3 de kilo de carne para asar; pero Karla, la dependienta del lugar, le dijo que no poda darle esa cantidad, Javier extraado porque saba que tenan suficiente producto se molest al recibir la respuesta de Karla, se qued pensando por qu la negativa de su solicitud.

Cul fue el motivo por el que Karla no poda darle la cantidad de carne que Javier peda?

Los nmeros Irracionales.Los antiguos griegos notaron que la recta no estaba completa con los nmeros Racionales, al identificar ciertos puntos en ella a los cuales slo se podan aproximar con fracciones.

El filsofo matemtico Pitgoras de Samos, quien estudiando el tringulo rectngulo encontr que dichos nmeros no pueden ser expresados como un cociente, se estaba enfrentando a otro tipo de nmeros que por ser desconocidos desconcertaron de manera alarmante a los estudiosos dado que muchas suposiciones y demostraciones geomtricas eran falsas o incompletas, incluso llegaron a contemplar mantenerlo en secreto porque contradecan su doctrina.

Hasta el siglo XVI fue cuando consideraron llamar nmero irracional a los nmeros con desarrollo decimal infinito no peridico. Algunos de ellos se pueden encontrar al resolver un problema. Como por ejemplo:

Como se observa en los ejemplos, el desarrollo decimal que presentan estos nmeros es infinito no peridico y con base a la definicin planteada en los nmeros racionales, no podramos expresarlos como un cociente de dos nmeros enteros.Analizando todos los conjuntos que se mencionaron anteriormente, se observa que los Naturales estn incluidos en los nmeros Enteros, y stos a su vez estn incluidos en los Racionales. Pero ellos no tienen ninguna relacin con los Irracionales, pues bien, todo ellos forman parte de los nmeros Reales, como se muestra en el siguiente diagrama.

SISTEMA DE COORDENADAS LINEALES Y RECTANGULARESActividad 1.Instrucciones: Identifica los siguientes nmeros con la letra N si son naturales, Z para los enteros, con Q a los Racionales, con I si son Irracionales. Completa la tabla colocando un nmero del conjunto indicado. Represntalos en la recta numrica.

Nmero4-6

ConjuntoIZQ

Grfica

Actividad 2.Nmero2.78198

ConjuntoQZIN

Grfica

Actividad 3. Observa dentro y fuera de tu escuela para que enlistes los elementos ecolgicos que se relacionan con los nmeros Reales, anota la lista en el siguiente espacio:

1.__________________________________________________________________________________________

2.__________________________________________________________________________________________

3.__________________________________________________________________________________________

4.__________________________________________________________________________________________

5.__________________________________________________________________________________________

6.__________________________________________________________________________________________

7.__________________________________________________________________________________________

8.__________________________________________________________________________________________

9.__________________________________________________________________________________________

10._________________________________________________________________________________________

Actividad 4. Comenta con el grupo el resultado de tus observaciones y anota en el siguiente espacio los elementos que te resulten ms interesantes, adems marca con una X al conjunto(s) al cual pertenece cada ejemplo.EJEMPLOSNZQIR

Actividad 5. Localiza en el sistema de coordenadas los siguientes puntos:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Actividad 6. Escribe las coordenadas de los siguientes puntos:

Actividad 7. La siguiente informacin representa una equivalencia aproximada entre la edad de los gatos (o perros) y la de los seres humanos. Los veterinarios a menudo relacionan la edad de un animal con la de un humano comparando el crecimiento relativo de los dientes y huesos, tambin se considera la madurez. La mayora de los animales maduran con mayor rapidez que los humanos.Identifica los pares ordenados y enseguida traza la grfica en un plano cartesiano.

Edad de un gato o perroEdad aproximada equivalente de un ser humano

3 meses5 aos

6 meses10 aos

1 ao15 aos

2 aos24 aos

4 aos32 aos

6 aos40 aos

10 aos56 aos

14 aos72 aos

Actividad 8. Oscar sale de su casa y camina 4 km hacia el Oeste, se detiene y camina 6 km hacia el Norte, enseguida se dirige 8 km hacia el Este y finalmente lo hace 9 km hacia el Sur.

a) Dibuja en un plano cartesiano el recorrido completo de Oscar, considerando que su casa est en el origen.

b) Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos donde cambi de direccin.

Actividad 9. Ana realiz un experimento en la clase de Biologa, ste consisti en observar el crecimiento de una colonia de bacilos, registr el tiempo y el nmero de bacilos presentes en el experimento en la siguiente tabla. Ubica los pares ordenados de la tabla en un plano cartesiano.

Tiempo

(min)Nmero

De bacilos

6200

12300

18500

241000

301800

Actividad 10. El terreno de Gilberto, tiene coordenadas (4, 2), (10, 2), (4, 9) y (10, 9).

a) Ubica el terreno en un sistema de coordenadas.b) Qu forma tiene el terreno?

c) Calcula el rea del terreno.PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES

La siguiente tabla resume las propiedades de los nmeros reales:

PropiedadOperacinDefinicinSignificadoEjemplo

CerraduraSuma

Multiplicacin

El resultado de sumar o multiplicar dos nmeros reales, tambin es nmero real.

ConmutativaSuma

Multiplicacin

El orden al sumar o multiplicar los nmeros reales, no afecta el resultado.

AsociativaSuma

Multiplicacin

No importa el orden al asociar la suma o multiplicacin de tres o ms nmero reales, el resultado siempre ser el mismo.

NeutroSuma

Multiplicacin

Si a un nmero real se le suma el cero (neutro aditivo), se queda igual.Sin un nmero real se multiplica por 1 (neutro multiplicativo), se queda igual.

InversoSuma

Multiplicacin

Si a un nmero se le suma su inverso, se obtiene como resultado el 0 (neutro aditivo).Si un nmero se multiplica por su inverso multiplicativo, se obtiene como resultado 1 (neutro multiplicativo).

DistributivaSuma respecto a la multiplicacin

El factor se distribuye a cada sumando.

Revisa la propiedad de los nmeros reales que se ilustra con cada ejemplo:

a) Elemento Inverso para la Suma

b) Propiedad distributivac) Propiedad conmutativa para el productoIndica la propiedad de los Nmeros Reales utilizada en cada ejemplo:

1. ______________________________________________________________

2. ___________________________________________________________________

3. _________________________________________________________

4. ___________________________________________________________5. ____________________________________________________________6. _________________________________________________7. ____________________________________________________________________8. _________________________________________________________9. ______________________________________________________________10. ________________________________________________________________Indica la propiedad de los Nmeros Reales utilizada en cada ejemplo:

1. y entonces ________________________________________

2. __________________________________________________________

3. _______________________________________________________

4. entonces ___________________________________________________

5. _______________________________________

6. __________________________________________________________________

7. ____________________________________________________________________

8. ____________________________________________________________________

9. ___________________________________________________________________

10. _________________________________________________________

11. ______________________________________________________________

12. ______________________________________________________

13. _______________________________________________________________________

14. __________________________________________________________

15. ________________________________________________________________

INTERVALOS Y DESIGUALDADSi en una recta numrica localizamos los nmeros -3, 0 y 5 y los marcamos con un punto, obtenemos el siguiente diagrama:

Podemos observar que hay un orden entre los nmeros,, pues -3 se encuentra a la izquierda de 0 y de 5, 0 se encuentra a la derecha de -3 y a la izquierda de 5, y 5 est a la derecha de -3 y de 0. Estas posiciones de los nmeros las podemos representar de la siguiente manera: un nmero es mayor que otro si se encuentra a su derecha y viceversa, un nmero es menor que otro si se encuentra a la izquierda. Para representar matemticamente lo anterior, utilizamos los smbolos y m veamos cmo indicamos as el orden entre los nmeros -3, 0 y 5.

Desigualdad

Se lee

-3 es menor que 0 o 0 es mayor que -3

5 es mayor que -3 o -3 es menor que 5

0 es menor que 5 o 5 es mayor que cero

Para establecer el orden entre los nmeros reales, existe la Ley de Tricotoma que dice lo siguiente:

Si a y b son nmeros reales, entonces slo una de las siguientes expresiones es cierta:

Por ejemplo, si tenemos los nmeros 8 y -2, slo podemos escribir una de las tres expresiones, la cual sera para este caso:

Ya que las expresiones y no son ciertas.

Desigualdades Lineales.

Recuerdas qu es una ecuacin?As como hay ecuaciones, tambin tenemos expresiones algebraicas en las que aparece un signo de mayor que

o menor que a las que llamamos Desigualdades. Al igual que en una ecuacin, en una desigualdad intervienen una o varias incgnitas y al resolverla, el valor obtenido satisface la expresin inicial. Veamos un ejemplo; tenemos la desigualdad:

En la siguiente tabla, le daremos algunos valores a la variable x y veamos si al sustituirlos producen una expresin verdadera:

Enunciado

3

4

4.1

5

5.5

6

Falso

Falso

Verdadero

Verdadero

Verdadero

Verdadero

La solucin de una desigualdad est formada por aquellos valores de que den como resultado una expresin verdadera.Como podemos ver en el ejemplo anterior, existen varias soluciones a la desigualdad enunciada. Para resolver una desigualdad, se deben obtener todas las soluciones y para lograrlo, aplicamos las propiedades de las desigualdades, las cuales podemos ejemplificar en la siguiente tabla:PropiedadEjemplo

Si y , entonces

Si y , entonces

Si , entonces:

, entonces

Si y , entonces:

y , entonces

Si y , entonces:

y , entonces

Como podemos observar, estas propiedades son similares a las que analizamos para las igualdades, a excepcin de la ltima, pues en sta observamos que cuando multiplicamos o dividimos una desigualdad por un nmero negativo, la desigualdad se invierte, veamos por qu sucede esto en una grfica. Localizamos en una recta numrica los nmeros 2 y 3:

Vemos que podemos establecer entre los nmeros la relacin de orden ; si multiplicamos cada nmero por -2 obtenemos -4 y -6 y si los localizamos en otra recta numrica obtenemos:

Y observamos que el orden se invierte, es decir, obtenemos que ; esto se debe a que al multiplicar un nmero cualquiera por uno negativo, su signo cambia y el orden en los nmeros negativos, recordemos que es inverso al de los positivos. Veamos ahora cmo resolver una desigualdad aplicando las propiedades que mencionamos anteriormente; utilizaremos una desigualdad lineal con una incgnita, es decir, donde el exponente de la variable es 1.

Desigualdad:

Restamos 3 en ambos lados

(la desigualdad se conserva):

Simplificamos:

Restamos 2x en ambos lados:

Simplificamos:

Dividimos entre 2:

Simplificamos y obtenemos la solucin:

Ejercicio. Lee cuidadosamente, determina la notacin de intervalos, la notacin de desigualdad y la grfica.

1) Los nmeros entre -1 y 5.

2) Todos los nmeros mayores a -1.

3) Los nmeros mayores o iguales a 3.

4) Los nmeros mayores que 5 y menores que 8.

5) Los nmeros menores o iguales a -2.

6) Los nmeros menores o iguales a 3 y mayores a -5.

7) Los nmeros entre 2 y 10.

8) Los nmeros mayores a -10.

9) Los nmeros menores o iguales a -5.

10) Los nmeros mayores a 4.

11) Los nmeros menores a 3 y mayores a -1

12) Los nmeros menores o iguales a 10.

13) Los nmeros entre -1 y 0.

14) Los nmeros positivos.

15) Los nmeros negativos.

16) Los nmeros menores a 3 pero mayores a 0.

17) Los nmeros mayores a 5 pero menores a 100.

18) Los nmeros menores o iguales a 4 y mayores a -5.

19) Los nmeros entre 2 y 3.

20) Los nmeros menores o iguales a -5 pero mayores a -6.

Numerador

Denominador

Numerador

Denominador

K

H

L

N

G

M

J

F

I

E

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