Calculo Matricial - Metodo de La Rigidez

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  • 8/4/2019 Calculo Matricial - Metodo de La Rigidez

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    CLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

    EL MTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ

    ( LECCIN )

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    CONCEPTOS E HIPTESIS BSICAS

    COMPORTAMIENTO LINEAL:DE LA ESTRUCTURA Y MATERIALES

    COMPORTAMIENTO LINEAL:DE LA ESTRUCTURA Y MATERIALES

    MOVIMIENTOS PEQUEOSCOMPARADOS CON LAS DIMENSIONES DE LA

    ESTRUCTURA

    MOVIMIENTOS PEQUEOSCOMPARADOS CON LAS DIMENSIONES DE LA

    ESTRUCTURA

    SE DESPRECIAN LOS FENMENOSQUE AFECTAN Y VARAN LA RIGIDEZ.

    SE DESPRECIAN LOS FENMENOSQUE AFECTAN Y VARAN LA RIGIDEZ.

    MATERIALES HOMOGNEOS E ISTROPOSMATERIALES HOMOGNEOS E ISTROPOS

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    RELACIONES FUNDAMENTALESDEL

    CLCULO ESTRUCTURAL

    1 RF. LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO.( F=0, M=0).

    2 RF. LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DEMOVIMIENTOS.

    Entre los elementos de la estructura y con las condiciones decontorno; as, por ejemplo; en uniones rgidas tendremos losngulos y movimientos solidarios; en uniones articuladas tansolo los movimientos sern solidarios.

    3 RF. LA LEY DE COMPORTAMIENTO.

    Que relaciona las tensiones con las deformaciones(leyes de Hooke, ecuaciones de Lam,...).

    Dentro de la estructura, en cualquier elemento, seccin, nudo,barra, conjunto, y con las cargas exteriores.

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    MTODO DE LA RIGIDEZ

    MTODO DE EQUILIBRIO

    Compatibilidad.

    i = f1( i)) i = f3( i) (R i,F i) = f5( i)

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    Si en [1] o [3] hacemos el alargamiento o giro, respectivamente, unidad:

    = 1

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    COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD

    El coeficiente de rigidez, krs, que relaciona las coordenadas r y s,es la fuerza que aparece en la coordenada r al dar un movimientoexclusivo y unitario en la coordenada s, manteniendo nulos todoslos dems (us=1; uj=0 para j C s).

    El coeficiente de flexibilidad, ars, que relaciona las coordenadasr ys, es el movimiento que aparece en la coordenada r debido a unafuerza exclusiva y unitaria en la coordenada s, manteniendo nulos

    todos los dems (Fs=1; Fj=0 para j C s).

    Fr = krs 1 # u 1 + krs 2 # u 2 + krs 3 # u 3 + ... + krs i # u i,

    Matricialmente.

    F1 k11 k12 k13 k14 k15 k16 u1F2 k21 k22 k23 k24 k25 k26 u2F3 = k31 k23 k33 k34 k35 k36 u3F4 k41 k42 k43 k44 k45 k46 u4

    F5 k51 k52 k53 k54 k55 k56 u5

    F6 k61 k62 k63 k64 k65 k66 u6

    [ F ] = [ K ] [ ]

    F = K u K = matriz de rigidez.u = A F A = matriz de flexibilidad.

    2

    3

    45

    6

    1 2

    1

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    SISTEMAS DE COORDENADAS; DISCRETIZACIN

    A veces, para facilitar ciertas condiciones de contorno (caso de un patn,) ser conveniente definir un

    sistema nodal de coordenadas, distinto del global, operando conjuntamente con ambos.

    Es un sistema cartesiano que permite la definicin geomtrica de la estructura(coordenadas de los nudos, longitudes de los elementos, etc).

    Proceso de disociar la estructura en elementos (unidos en los nodos)DISCRETIZACIN

    En cada barra o elemento de la estructura definiremos un sistema local,al que referiremos los movimientos y fuerzas de cada barra.

    Sistema de referencia

    Sistema local

    Puesto que en el proceso de discretizacin de la estructura se ha supuesto sta formada por un conjunto deelementos y nodos, ser preciso definir un sistema nico, global, que permita referir a l de forma nica y

    para toda la estructura los movimientos y fuerzas de los nodos.

    Sistema global

    Sistema nodal

    G

    L

    L

    L L

    1

    2 3

    4

    N

    5

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    1 2

    L, A

    u2 = 0u1 = 1

    u1 = 0 u2 = 1

    1].- BARRA DE CELOSA, ESTRUCTURAS PLANAS(CERCHAS)

    RIGIDECES DE BARRAS ELEMENTALES

    LEY DE HOOCKE:L F A E

    L = A E L

    F = ( L = 1)

    K

    A E A E

    L Lk 11 = k 21 =

    A E A E

    L Lk 12 = k 22 =

    Generalizando para ambos nudos.

    En forma matricial.

    [ F ] = [ K ] [ ]

    F1 A E/L - A E/L u1 = F2 - A E/L A E/L u2

    F 1 = k 11 u1 + k 12 u2

    F2

    = k21

    u1

    + k22

    u2

    F 1 = k 11 u1 + k 12 u2

    F2

    = k21

    u1

    + k22

    u2

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    2].- BARRA EN VOLADIZO

    M = k 32 = M = k 31 = 0

    N = k 13 = 0N = k 12 = 0N = k 11 =

    EA

    L

    M = k 33 = 4EI

    L

    V = k 22 = V = k 21 = 0 V = k 23 = 6EI

    L2

    6EI

    L2

    12EI

    L3

    N EA/L 0 0 u1

    V = 0 12EI/L3 -6EI/L # v2

    M 0 -6EI/L 4EI/L 3

    u1 = 1

    v = 0 = 0

    v2=1

    u = 0

    = 0

    3= 1

    u = 0v = 0

    Matricialmente:

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    4 ].- BARRA DE ESTRUCTURA PLANA(EXTENSIBLE)

    23

    45

    6

    1 2

    1

    COMBINACIN DE LOS CASOS 1 Y 3.-

    N1 EA L

    0 0 EA L

    0 0 u1

    V2 012EI

    L3

    6EI

    L2

    012EI

    L3

    6EI

    L2

    v2

    M3 0 6EI L2

    4EI

    L0 6EI

    L22EI

    L 3

    N4 = EA L

    0 0 EA L

    0 0 u4V5 0

    12EI

    L36EI

    L20

    12EI

    L36EI

    L2v5

    M6 06EI

    L22EI

    L0

    6EI

    L24EI

    L 6

    FF11 KK1111 KK1212 uu11

    FF22 KK2121 KK2222 uu22

    Condensando las particiones:

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    Un elemento kij, representa, la fuerza queaparece en la coordenada i cuando secomunica un movimiento unidad en lacoordenada j, manteniendo nulos todoslos dems.

    La columna j (k1j,k2j,...knj), se genera,analizando las fuerzas que vanapareciendo en todas las coordenadas(1,2,...n) al comunicar un movimientounidad en la coordenada j, manteniendonulos todos los dems.

    La fila i (ki1,ki2,...kin), se genera,

    analizando las fuerzas que aparecen en lacoordenada i, al comunicar unmovimiento unidad, sucesivamente, a lasn coordenadas, manteniendo en cada casonulos todos los dems.

    Los elementos de la diagonal principal nopueden ser negativos pues representan las

    fuerzas que aparecen en una coordenadaal dar justamente movimiento unidad enella misma.

    La matriz de rigidez es simtrica debidoal principio de reciprocidad(kij=kji).

    CARACTERSTICAS DE LA MATRIZ RIGIDEZ

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    5 ].- ELEMENTO DE EMPARRILLADO

    V1 u1

    M2

    T3GIp

    L

    0

    0

    00

    L

    12EI

    L3

    6EI

    L2

    6EI

    2

    4EI

    L

    3

    V4 = u4M5

    T6 6

    GIp

    L

    0

    0

    00

    L

    12EI

    L3

    6EI

    L2

    6EI

    2

    4EI

    L

    2

    GIp

    L

    0

    0

    00

    L

    12EI

    L3

    6EI

    L2

    6EI

    2

    4EI

    L

    GIp

    L

    0

    0

    00

    L

    12EI

    L3

    6EI

    L2

    6EI

    2

    4EI

    L

    5