Cálculo Matricial Y Sistemas Lineales
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CAPÍTULO 2
CÁLCULO MATRICIAL Y SISTEMAS LINEALES
OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es introducir alestudiante a los conceptos básicos del
cálculo matricial. Al final del capítulo elestudiante será capaz de hacer operaciones
básicas sobre las matrices (inversión,determinante, descomposición LU) y de
resolver sistemas de ecuaciones lineales pordiferentes métodos. El estudiante será
igualmente capaz de diagnosticar la calidadde la solución obtenida
MATRICES
nm3n2n1n
m3333231
m2232221
m1131211
ij
a...aaa
.....
.....
a...aaa
a...aaa
a...aaa
}a{][AA
PROPIEDADES• Matriz cuadrada: m = n.• La suma de matrices es conmutativa: A+B = B + A• El producto de matrices NO es
conmutativo: A·B B·A• El producto es distributivo con respecto a la
adición:• C(A+B) = C·A + C·B
MATRIZ IDENTIDADo unitaria
1...000
.....
.....
0...100
0...010
0...001
I
MATRIZ TRANSPUESTA
nmmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
..
......
.....
..
..
..
321
3332313
2322212
1312111
TA
MATRIZ CUADRADA
nnnnn
n
n
n
ij
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
a
...
.....
.....
...
...
...
}{][
321
3333231
2232221
1131211
AA
VECTOR FILA
mj aaaaa 11312111 ...}{][ AA
MATRIZ SIMÉTRICA
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
.......
.......
...
...
...
321
3332313
2232212
1131211
S
MATRIZ TRIDIAGONAL(matriz tipo banda)
nn 1nn
n 1n1n 1n2n 1n
1n 2n2n 2n
3332
232221
1211
0...000
...000
0...000
.........
.........
000...0
000...
000...0
aa
aaa
aa
aa
aaa
aa
T
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
nn
n 1n1n 1n
n 2-n1n 2n2n 2n
n 31n 32n 333
n 21n 22n 22322
n 11n 12n 1131211
00...000
0...000
...000
.........
.........
...00
...0
...
u
uu
uuu
uuuu
uuuuu
uuuuuu
U
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
nn 1nn 2nn 3n 2n 1n
1n 1n2n 1n3 1n2 1n1 1n
2n 2n3 2n2 2n1 2n
333231
2221
11
...
0...
00...
.........
.........
000...
000...0
000...00
llllll
lllll
llll
lll
ll
l
L
TRAZA Y RANGO
• Se llama traza de una matriz a la suma de los valores pertenecientes a su diagonal.
• El rango de una matriz es la mínima dimensión de la misma tal que sus filas y/o columnas sean linealmente independientes.
INVERSO DE UNA MATRIZ
• Se llama inverso de una matriz a la matriz denotada A-1 tal que su producto por la matriz A sea igual a la matriz identidad.
I =A A 1-
SISTEMAS LINEALES
nnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...........
...........
...
...
...
2211
33232131
22222121
11212111
SISTEMAS LINEALES
nnnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
.
.
.
..
...
.......
.......
...
...
...
3
2
1
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
A x = b, A-1A x = A-1 b, x = A-1 b
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
• Calculando el inverso de la matriz A. Poco
recomendable (x = A-1 b).• Utilizando métodos directos. Los más
convenientes.• En caso de que los métodos directos no
funcionen, se pueden utilizar los métodos iterativos.
Métodos directosMétodo de Gauss (triangularización)
• Método eficiente para resolución de sistemas lineales.
• Se basa en un método de sustitución.• El objetivo es reemplazar por elementos
nulos todas las posiciones por debajo de la diagonal.
Sustitución Gaussiana• El método se basa en obligar a que ciertos
valores de una línea o de una columna se vuelvan nulos, combinando hábilmente las filas(o las columnas) entre sí.
nm3n2n1n
m3333231
m2232221
m1131211
ij
a...aaa
.....
.....
a...aaa
a...aaa
a...aaa
}a{][AA
Método de Gauss (triangularización)Primera reducción
1 1
1 ij 1j i
1j i a
aaaa con i1 y 1jn+1
1 1
1 i1i
1i a
abbb con i1 y 1jn+1
Método de Gauss (triangularización)
1
13
12
1
3
2
1
113
12
13
133
132
12
123
122
1131211
.
.
.
..
...0
.......
.......
...0
...0
...
nnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaaa
Método de Gauss (triangularización)Segunda reducción
12 2
12 i1
j 21
j i2j i
a
aaaa
12 2
12 i1
212
a
abbb ii
2
23
12
1
3
2
1
223
23
233
12
123
122
1131211
.
.
.
..
...00
.......
.......
...00
...0
...
nnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aa
aa
aaa
aaaa
Método de Gauss (triangularización)Fórmula general
1kkk
1kk i1k
jk 1k
j ikj i
a
aaaa 1k
kk
1kk i11
a
abbb k
kki
ki
1
23
12
1
3
2
1
1
23
233
12
123
122
1131211
.
.
.
..
...000
.......
.......
...00
...0
...
nnn
nnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa
Método de Gauss (triangularización)Resolviendo x
1nnn
1
a
bx
nn
n 2-n1)-1)(n-(n
n2n1)n-(n
2n1n
1na
xabx
1-ii i
n
1ijj
1ij i
1ii
ia
xab
x
DETERMINANTE
1
det( )n
ij iji
a S
A A
1111 a = )det(a = )det(A
211222112221
1211det)det( aaaaaa
aa
A
DETERMINANTE
)()(
)(det)det(
31223221133123332112
3223332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaa
aaaaa
aaa
aaa
aaa
A
Resolver un determinante de orden superior con esta técnica no es recomendable, pues se hace inoperante.
Sustitución Gaussiana:Cálculo del determinante
1nnn
2n3
233
1n2
123
122
n1131211
a...000
.......
.......
a...a00
a...aa0
a...aaa
det)det(A
n
1i
)1i(iia)det(A
Método de Gauss-Jordan (diagonalización)
• Es una modificación del método de Gauss.• Las sustituciones se hacen sobre todas las
líneas, excepto las del pivote.• El objetivo es obtener una matriz diagonal.
Método de Gauss-Jordan
1 1
1 ij 1j i
1j i a
aaaa
1 1
1 i1i
1i a
abbb
1
13
12
1
3
2
1
113
12
13
133
132
12
123
122
1131211
.
.
.
..
...0
.......
.......
...0
...0
...
nnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaaa
Método de Gauss-Jordan
1kkk
1kk i1k
jk 1k
j ikj i
a
aaaa 1k
kk
1kk i11
a
abbb k
kki
ki
2 2 2111 13 1 1
1 1 1 1222 23 2 2
2 2 2333 3 3
2 2 23
0 ...
0 ...
0 0 ....
.. . . ... . .
.. . . ... . .
0 0 ...
n
n
n
nn nn n
xa a a b
xa a a b
xa a b
xa a b
Método de Gauss-Jordan
111 1 1
1 122 2 2
2 133 3 3
1 1
0 0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 0.
. . . ... . . .
. . . ... . . .
0 0 0 ...
n
n
n
n nnn n n
a x b
a x b
a x b
a x b
1kkk
1kk i1k
jk 1k
j ikj i
a
aaaa 1k
kk
1kk i11
a
abbb k
kki
ki
Método de Gauss-Jordan
• El vector solución se obtiene directamente desde la última transformación como:
xi=bin-1/aii
n-1
Problemas Gauss y Gauss-Jordan
• División entre 0, esto debido a la presencia de un pivote nulo.
• Errores de redondeo, depende del número de cifras significativas usadas.
• Sistemas mal condicionados• Sistemas singulares, posee 2 ecuaciones
linealmente dependientes, determinante nulo
Gauss y Gauss-Jordan con Pivote
• Se utiliza la técnica del pivoteo para evitar la división entre 0 o entre números pequeños
• Pivoteo parcial: se intercambian filas de tal forma que el pivote es el mayor, en valor absoluto, elemento de la columna (equivale a cambiar el orden de las ecuaciones)
• Pivoteo total: Se intercambian filas o columnas para que el pivote sea el mayor posible. Al intercambiar columnas se intercambia el orden de las variables
Método de Gauss (Pivote Parcial)
11 12 13 14 1 11 1 122 23 24 2 21 1 132 33 34 3 31 1 142 43 44 4 4
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
11 12 13 14 1 11 1 142 43 44 2 41 1 132 33 34 3 31 1 122 23 24 4 2
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
Pivóte Máximo
11 12 13 14 1 11 1 122 23 24 2 21 1 132 33 34 3 31 1 142 43 44 4 4
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
Método de Gauss (Pivote Total)
11 13 12 14 1 11 1 123 22 24 3 21 1 133 32 34 2 31 1 143 42 44 4 4
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
Pivóte Máximo
Método de Gauss paramatrices simétricas
• Las matrices simétricas tienen datos redundantes.
• Se puede almacenar la mitad de la matriz en un arreglo monodimensional, ahorrando la mitad de la memoria.
Método de Thomas para matrices tridiagonales
• Este método de resolución de matrices tridiagonales se basa en un método tradicional de sustitución.
• Debido a la poca densidad de términos en este tipo de matriz, la secuencia de cálculos puede ser conducida de tal forma que se reduzca considerablemente el número de operaciones.
Método de Thomas
n
1n
2n
3
2
1
n
1n
2n
3
2
1
nn 1nn
n 1n1n 1n2n 1n
1n 2n2n 2n
3332
232221
1211
b
b
b
.
.
b
b
b
x
x
x
.
.
x
x
x
aa0...000
aaa...000
0aa...000
.........
.........
000...aa0
000...aaa
000...0aa
Método de Thomas
• Este sistema de ecuaciones es equivalente a:
nnnn 1n1nn
i1i1i iii i1i1i i
122 111 1
bxaxa
.....................
bxaxaxa
.....................
bxaxa
Método de Thomas
• El proceso de sustitución que se aplica a cada línea es equivalente al método de Gauss con pivote, pero se simplifica debido a la presencia de los numerosos ceros:
1i 1-i
1-i ii 1-ii i
'i i a
aaaa
1i 1i
1i i1iii a
abb'b
Método de Thomas• Los ai i-1 transformados son siempre nulos
(posición por debajo del pivote) y los ai i+1 quedan inalterados por que el valor en la posición superior a ellos es también siempre nula. El sistema se transforma en:
n
1n
2n
3
2
1
n
1n
2n
3
2
1
nn
n 1n1n 1n
1n 2n2n 2n
2n 3n
33
2322
1211
'b
'b
'b
.
.
'b
'b
b
x
x
x
.
.
x
x
x
'a00...000
a'a0...000
0a'a...000
..a......
......0..
000...'a00
000...a'a0
000...0aa
Método de Thomas
• Una vez terminada la fase de sustitución en todas las ecuaciones, se puede proceder al cálculo del vector solución mediante las ecuaciones:
nn
nn a'
b'x
i i
1i1i iii a'
xa'bx
Método de LU
• En el método de Gauss tradicional, el hecho de que se pueda llegar a una forma triangular simplifica sustancialmente los cálculos al tener solamente una sustitución inversa que realizar. La premisa del método LU es justamente la descomposición en matrices triangulares, razón por la cual esta característica pueda ser aprovechada.
CÁLCULO MATRICIAL
MÉTODO LU (lower y upper)• Técnica muy utilizada en la resolución de
sistemas de ecuaciones.• El objetivo es descomponer una matriz en
dos triangulares equivalentes, tal que se cumpla que:
A = L U
Método de LU El problema a resolver es:
Ax=b
La introducción de la descomposición LU conduce a:LUx=b
Si ahora se introduce la variableintermedia z igual al producto Ux, se llegaa:
Lz=b
Método de LU• Esta última ecuación permite obtener por
simples sustituciones el vector z ya que z1=b1/l11, z2=(b2-l21z1)/l22 y así sucesivamente.
n
3
2
1
n
3
2
1
nn3n2n1n
333231
2221
11
b
.
.
b
b
b
z
.
.
z
z
z
l...lll
.......
.......
0...lll
0...0ll
0...00l
Método de LU
• Una vez conocido el vector z, es muy fácil utilizar una técnica similar para obtener x ya que
n
3
2
1
n
3
2
1
nn
n333
n22322
n1131211
z
.
.
z
z
z
x
.
.
x
x
x
u...000
.......
.......
u...u00
u...uu0
u...uuu
Método LU
nnnnn
n
n
n
nn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
.
.....
.....
.
.a
.
.000
.....
.....
.00
.0
.
.
1.
.....
.....
0.1
0.01
0.001
321
3333231
2232221
1131211
333
22322
1131211
3n 2n 1n
3231
21
A = L U
Método LU
a11=1 . u11
nnnnn
n
n
n
nn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
.
.....
.....
.
.a
.
.000
.....
.....
.00
.0
.
.
1.
.....
.....
0.1
0.01
0.001
321
3333231
2232221
1131211
333
22322
1131211
3n 2n 1n
3231
21
nnnnn
n
n
n
nn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
.
.....
.....
.
.a
.
.000
.....
.....
.00
.0
.
.
1.
.....
.....
0.1
0.01
0.001
321
3333231
2232221
1131211
333
22322
1131211
3n 2n 1n
3231
21
Método LU
a12=1 . u12
a1j=1 . u1jEn general,
Método LU
nnnnn
n
n
n
nn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
u
uu
uuu
uuuu
lll
ll
l
.
.....
.....
.
.a
.
.000
.....
.....
.00
.0
.
.
1.
.....
.....
0.1
0.01
0.001
321
3333231
2232221
1131211
333
22322
1131211
3n 2n 1n
3231
21
a21=l21 . u11 a31=l31 . u11
ai1=li1 . u11En general,
Método LU• De esta forma:
1 1
1 1 11
1
1
1
1
Fila 1 de U: ( )
Col. 1 de L: ( )
Fila i de U: ( , 1, 1)
Col. j de L: ( , 1, 1)
j j
i i
i
ij ij ik kjk
j
ij ij jj ik kjk
a u j
a l u i
a u l u j i i j
a l u l u j i i j
MÉTODOS ITERATIVOS
• Los métodos iterativos se basan en hacer una sustitución de una de las variables (distinta para cada ecuación) y expresar esta variable en función de las otras.
• El problema se transforma en un proceso iterativo ya que se requiere tener un primer estimado de lo que podría ser la solución.
MÉTODOS ITERATIVOS• Con este primer vector solución se puede
calcular un nuevo vector modificado de la solución.
• Al repetir estas operaciones numerosas veces, se obtiene una aproximación cada vez mejor de la solución.
• El proceso iterativo se detiene cuando la solución es suficientemente estable entre dos operaciones consecutivas.
MÉTODOS ITERATIVOS
• El primer estimado que suele usarse para hallar el vector solución es el vector nulo.
• Entre los métodos iterativos se encuentran el de Jacobi, Gauss-Seidel y relajación.
Método iterativo de Jacobi
• De todos los métodos iterativos, el método de Jacobi es el más sencillo de aplicar y comprender.
• Sin embargo no es un proceso muy eficiente en cuanto a la obtención del resultado.
Método iterativo de Jacobi
• La ecuación matricial puede ser modificada y reescrita de la forma:
0...xaxabxa
...................
xa...0xabxa
.....................
xa...xa0bxa
2n211n nnnn
nn 211 22222
nn 122 1111 1
Método iterativo de Jacobi• Este conjunto de ecuaciones puede ser
escrito en forma matricial si se descompone la matriz A en la suma de tres matrices (una triangular inferior con ceros en la diagonal, una diagonal y una triangular superior con ceros en la diagonal). A = L + D + U.
• De la igualdad original correspondiente al sistema lineal A x = b se puede entonces obtener:
Método iterativo de Jacobi
• (L+D+U)x=b• Dx=b-(L+U)x• Esta última forma indica que el vector x
puede ser obtenido a partir de un estimado inicial del mismo vector x.
• Esta forma, conocida como forma implícita, permite obtener en forma iterativa una aproximación cada vez mejor del vector x solución del sistema lineal.
Método iterativo de Jacobi
• Para diferenciar las etapas sucesivas de cálculo del vector x, se le suele indicar el orden de la iteración como superíndice. La expresión anterior se transforma entonces en:
• x(k+1) = D-1(b-(L+U)x(k))
Método iterativo de Jacobi• Siendo la matriz D una matriz diagonal, su
inverso se obtiene simplemente reemplazando el termino de la diagonal por su propio inverso (1/aii).
• En cuanto a la operación de cálculo propiamente dicho, su expresión es:
ii
n
ij1j
)k(jiji
)1k(i a
xab
x
Método iterativo de Jacobi
• Como se había mencionado anteriormente, si bien este método es sumamente sencillo para ponerlo en funcionamiento, su rendimiento en cuanto a número de iteraciones hace poco interesante su uso.
Método iterativo de Jacobi
• En lo que se refiere a convergencia, una condición suficiente (pero no necesaria) es que la matriz A inicial sea diagonalmente dominante.
• Esta condición se cumple si:
n
ij,1jijii aa
Método iterativo de Jacobi
• En realidad, estos sistemas lineales pueden llegar a converger aún si todas sus líneas no cumplen con este requisito.
• En los nuevos programas usando procesadores en paralelo, se está usando el método de Jacobi por permitir separar la información y procesarla en forma paralela (Smith, 1992).
Método iterativo de Gauss-Seidel
• El método de Gauss-Seidel es una simple modificación del método original de Jacobi.
• Se diferencia solamente por el hecho de que cuando se quiere calcular el elemento xi
k+1 del vector x se conoce a este nivel del cálculo todas las estimaciones recientes de xj
k+1 (con j<i).
Gauss-Seidel
• Si el proceso es convergente estos valores de xj
k+1 son más cercanos a los anteriores xjk
, razón por la cual el proceso de convergencia debe ser mejor.
• La escritura matricial correspondiente al método de Gauss-Seidel es:
• (D+L)x(k+1)=b-Ux(k)
Gauss-Seidel
ii
i
j
n
ij
kjij
kjiji
ki a
xaxab
x
1
1 1
)()1(
)1(
Gauss-Seidel
• El método de Gauss-Seidel disminuye sustancialmente el número de iteraciones.
• El criterio de convergencia es similar al criterio fijado por el método de Jacobi.
• Sin embargo muchos problemas que convergen con el método de Gauss-Seidel no convergen con el método de Jacobi.
Gauss-Seidel
• De forma general si converge con Jacobi, converge más rápidamente con Gauss-Seidel.
• Esto se debe sin lugar a dudas al hecho que el vector solución se ve forzado a acercarse a la solución real y por ende entra más rápidamente en el dominio de convergencia.
Método iterativo de relajación
• El método de relajación es un método propuesto por Frankel en 1950 para reducir el número de iteraciones en los cálculos de soluciones de sistemas lineales por el método de Gauss-Seidel.
Relajación
• Se basa en obtener en cada iteración un promedio ponderado (solamente para los elementos del vector anteriores a la posición de cálculo) de la solución del método de Jacobi y de la solución del método de Gauss-Seidel.
ii
1i
1j
n
1ij
)k(jij
)1k(jiji
ii
n
1j
)k(jiji
)1k(i a
xaxab
a
xab
)1(x
• La forma matricial correspondiente a esta descomposición es:
(k)1)+(k ) - (1- = xUDLbLx
donde, es el parámetro de relajación.
Relajación
Relajación
• El método de relajación puede ser calculado cualquier sea el valor de w>0.
• En el caso que w sea igual a 1, el método es equivalente al método de Gauss-Seidel.
• Se denomina sub relajación al método cuando w<1 y super-relajación cuando w>1.
Relajación
• Se podría decir que si ®w 0 el método se acerca al método de Jacobi, sin embargo la expresión específica ha de ser usada en este caso.
• Para reducir el número de iteraciones es recomendable utilizar valores de entre 1,1 y 1,3.
Relajación
• No tiene mucho sentido buscar para la solución de un solo sistema lineal el coeficiente de relajación óptimo que minimice el número de iteraciones.
Relajación• Pero en caso de necesitar resolver muchos
sistemas lineales parecidos (por ejemplo para un estudio de sensibilidad de los parámetros térmicos en problemas de diferencias finitas o elementos finitos) esta inversión en tiempo de cálculo puede ser recuperada en la solución de todos los sistemas que se resuelven en el desarrollo del proyecto.
CONDICIÓN DE UNA MATRIZ
• Como se ha señalado anteriormente, es claro que cualquiera de los métodos numéricos ya expuestos permite obtener un valor aproximado de la solución y no la solución algebraica.
• Esto se debe fundamentalmente a que en el cálculo, se ha utilizado una representación finita de los números.
CONDICIÓN DE UNA MATRIZ
• Esto implica que se puede cometer errores en las asignaciones mismas de los números de la matriz a las variables binarias de la computadora cuando los números no son enteros.
• Por otra parte, en la secuencia de los cálculos, se genera un segundo tipo de error en las divisiones, sumas y restas con número de magnitud distinta.
CONDICIÓN DE UNA MATRIZ
• La condición de una matriz:
)(cond1 AAAIAA 1
• Si la condición de A es cercana a 1, la matriz está bien condicionada, mientras que se dice que la matriz está mal condicionada cuando cond (A) >> 1 (> 100 para una matriz pequeña).
CONDICIÓN DE UNA MATRIZ
• La norma de una matriz se define como:
– Norma Euclidiana:
– Norma p=1:
– Norma p=∞:
‖ 𝐴 ‖
2
1 1
n n
ijei j
A a
111
maxn
j n iji
A a
11
maxn
i n ijj
A a
CONDICIÓN DE UNA MATRIZ
• La condición de una matriz es un factor de magnificación del error relativo.
• Si la matriz tiende a ser singular, los elementos de la matriz inversa se tornan muy grandes (ya que el determinante tiende a cero) y por ende la norma de la matriz inversa es un número muy grande.
INVERSO DE UNA MATRIZ• Calcular el inverso de una matriz cuadrada
corresponde a obtener la matriz solución de la siguiente igualdad :
• AA-1= A-1A=I
1...000
.......
.......
0...100
0...010
0...001
x.xxx
.....
.....
x.xxx
x.xxx
x.xxx
a.aaa
.....
.....
a.aaa
a.aaa
a.aaa
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
• Eliminación de Gauss.• Método LU.• Matriz triangular.
INVERSO DE UNA MATRIZMétodos
INVERSO DE UNA MATRIZEliminación Gaussiana
• La técnica utilizada se basa, como en el caso anterior, en realizar una serie de combinaciones lineales sobre las diferentes líneas de la matriz con el fin de hacer aparecer en posiciones particulares valores característicos del problema.
Matriz aumentada original
.
1...00a...aa
............
............
0...00a...aa
0...10a...aa
0...01a...aa
nn2n1n
n33231
n22221
n11211
1...000
.......
.......
0...100
0...010
0...001
.
.....
.....
.
.x
.
.
.
.....
.....
.
.a
.
321
3333231
2232221
1131211
321
3333231
2232221
1131211
nnnnn
n
n
n
nnnnn
n
n
n
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
Matrizaumentada
Matriz aumentada final
nn2n1n
n33231
n22221
n11211
a...aa1...00
............
............
a...aa0...00
a...aa0...10
a...aa0...01
Matriz aumentada intermedia
1...0aa...a0
............
............
....0aa...a0
0...1aa...a0
0...0aa...a1
)1(1n
)1(nn
)1(2n
)1(31
)1(n3
)1(32
)1(21
)1(n2
)1(22
)1(11
)1(n1
)1(12
INVERSO DE UNA MATRIZ
• Por ende, la primera fila debe ser dividida por el coeficiente a11, mientras que a cada una de las demás, se le debe aplicar una fórmula idéntica a la mencionada en el caso de eliminación Gaussiana.
Matriz inversa en el lado derecho
)n(nn
)n(2n
)n(1n
n(n3
)n(32
)n(31
)n(n2
)n(22
)n(21
)n(n1
)n(12
)n(11
a...aa1...00
............
............
a...aa0...00
a...aa0...10
a...aa0...01