CALCULO MULTIVARIADO

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CALCULO MULTIVARIADO CILINDRO GRUPO No. 01 ALEJANDRO MENDOZA ALBEIRO MONTILLA CLAUDIA PATRICIA SILVA DOCENTE: M. Sc. OSCAR ANTONIO PULIDO CARDOZO
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CALCULO MULTIVARIADO CILINDROGRUPO No. 01 ALEJANDRO MENDOZA ALBEIRO MONTILLA CLAUDIA PATRICIA SILVA DOCENTE: M. Sc. OSCAR ANTONIO PULIDO CARDOZO

UN CILINDRO PUEDE SER: CILINDRO RECTANGULAR: SI EL EJE DEL CILINDRO ES PERPENDICULAR A LAS BASES; CILINDRO OBLICUO: SI EL EJE NO ES PERPENDICULAR A LAS BASES; CILINDRO DE REVOLUCION: SI EST LIMITADO POR UNA SUPERFICIE.

SUPERFICIES CILINDRICAS EL CILINDRO SE FORMA AL GIRAR UN RECTANGULO ALREDEDOR DE UNO DE SUS LADOS, QUE SE MANTIENE FIJO, COMO UNA PUERTA GIRATORIA. LOS ELEMENTOS DEL CILINDRO SON:

LAS BASES: SON DOS CIRCULOS GENERALES. EL RADIO CILINDRO: ES EL RADIO DE LAS BASES. EL EJE: ES LA RECTA SOBRE EL EJE Z, SOBRE LA QUE SE ENCUENTRA EL LADO ALREDEDOR DEL CUAL EL RECTANGULO GIRA PARA FORMAR EL CILINDRO. LA GENERATRIZ: ES EL LADO DEL RECTANGULO OPUESTO AL EJE DE GIRO. LA ALTURA DEL CILINDRO: ES LA LONGITUD DE LA GENERATRIZ. LA SUPERFICIE LATERAL: ES LA CARA CURVA DEL CILINDRO.

LAS SUPERFICIES CILINDRICAS PUEDEN SER: SUPERFICIE CILINDRICA DE REVOLUCION: SI TODAS LAS GENERATRICES EQUIDISTAN DE UN EJE, PARALELO A ELLA. SUPERFICIE CILINDRICA DE NO REVOLUCION: SI NO EXISTE UN EJE QUE EQUIDISTE DE LA GENERATRICES. DESARROLLO DE LA SUPERFICIE CILINDRICA LA SUPERFICIE DE UN CUADRADO REDONDO RECTO DE BASE CIRCULAR EST CONFORMADA POR UN RADIO DE LA BASE, r, Y LA ALTURA, h. SU AREA TOTAL ES: Atotal = Alateral + 2Abase = 2 rh + 2 r2 AREA DE LA SUPERFICIE CILINDRICA SEMICNICA ES EL AREA DE LA SUPERFICIE DE UN CILINDRO A = 2 r (h + r)

VOLUMEN DEL CILINDRO EL VOLUMEN DE UN CILINDRO ES EL PRODUCTO DEL AREA DE LA BASE POR LA ALTURA DEL CILINDRO. EL VOLUMEN DE UN CILINDRO DE BASE CIRCULAR, ES: V = Alateral . altura = r2h

SI CORTAMOS EL CILINDRO POR SU SUPERFICIE LATERAL, EN VERTICAL, Y POR LOS BORDES DE SUS BASES, Y LOS EXTENDEMOS SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA, OBTENEMOS:

CILINDRO: SUPERFICIE CONICA LAS SECCIONES CONICAS SON DE TRES TIPOS: ELIPSES, HIPERBOLAS Y PARABOLAS, QUE SIRVIENDO DE DIRECTRICES, ORIGINAN TRES TIPOS DE SUPERFICIES CILINDRICAS: EL CILINDRO ELIPTICO Ze, EL CILINDRO HIPERBOLICO Zh, Y EL CILINDRO PARABOLICO Zp.

CILINDRO ELIPTICO: TOMANDO COMO DIRECTRIZ UNA ELIPSE, SE PUEDE GENERAR UNA SUPERFICIE CILINDRICA ELIPTICA (QUE INCLUYE A LOS CILINDROS CIRCULARES, CUANDO LOS EJES DE AL ELIPSE SON IGUALES). ES UN SISTEMA ORTOGONAL DE COORDENADAS, TOMANDO COMO EJE Z UNA RECTA CUYA DIRECCION ES PARALELA A LA GENERATRIZ, SI SE ESCOGE COMO ORIGEN EL CENTRO DE SIMETRIA, LA ECUACION DE LA SUPERFICIE CILINDRICA ES SIMILAR A LA SUPERFICIE CNICA CORRESPONDIENTE. LA ECUACION ES:

DONDE a Y b SON LOS SEMIEJES.

CILINDRO HIPERBOLICO: EN SIMILARES CONDICIONES, LA ECUACION SUPERFICIE HIPERBOLICA SERA DE LA FORMA:

DE

UNA

CILINDRO PARABOLICO: EN SIMILARES CONDICIONES, LA ECUACION SUPERFICIE PARABOLICA SERA DE LA FORMA:

DE

UNA

ESTAS CONICAS SON ADEMS LAS INTERSECCIONES DE DICHAS SUPERFICIES CON LOS PLANOS x3 c = 0, c R. LAS INTERSECCIONES DE DICHOS CILINDROS CON PLANOS DE ECUACIONES x1 c = 0, SON EL CONJUNTO VACO, O RECTAS DOBLES O PARES DE RECTAS PARALELAS.

EJEMPLO No. 01: ENCONTRAR LAS TRAZAS, EN VARIOS PLANOS, DE LA SUPERFICIE QUE TIENE COMO ECUACIN z = x2 + y2 Y TRACE LA GRAFICA DE LA ECUACIN. RTA./ SUSTITUIMOS A x POR 0 EN LA ECUACIN Y NOS DA QUE z = y2 Y POR LO TANTO LA TRAZA DE LA SUPERFICIE EN EL PLANO yz ES UNA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN Y LA APERTURA HACIA ARRIBA COMO SE MUESTRA EN LA IMAGEN:

EJEMPLO No. 01: RTA./ DEL MISMO MODO, SI SUSTITUIMOS A y POR 0 EN LA ECUACIN Y NOS DA QUE z = x2 Y POR LO TANTO LA TRAZA DE LA SUPERFICIE EN EL PLANO xz TAMBIEN ES NA PARABOLA SE MUESTRA EN LA IMAGEN:

EJEMPLO No. 01:

EJEMPLO No. 01: RTA./ PARA ENCONTRAR LAS TRAZAS EN LOS PLANOS PARALELOS AL PLANO xy, ES DECIR, LOS PLANOS CON LAS ECUACIONES DE LA FORMA z = c. SUSTITUYENDO c POR z EN LA ECUACIN DADA, SE PRODUCE c = x2 + y2. POR LO TANTO, SI c > 0, ENTONCES LA TRAZA EN EL PLANO z = c ES UN CIRCULO DE RADIO c. A ESTA PARABOLA SE LE PUEDE LLAMAR PARABOLA CIRCULAR O DE REVOLUCIN.

EJEMPLO No. 02: DIBUJAR LA GRAFICA (x2/4)+(y2/9)=1. RTA./ LA GRAFICA ES UN CILINDRO EN EL PLANO xy. ESTA ELIPSE ES UNA DIRECTRIZ PARA EL CILINDRO. TODAS LAS TRAZAS EN PLANOS PARALELOS AL PLANO xy SON ELIPSES CONGRUENTES CON ESTA DIRECTRIZ. ESTE GRAFICA NOS MUESTRA UN CILINDRO ELIPTICO:

EJEMPLO No. 03: DIBUJAR LA GRAFICA: (a) y2=9 - z. (b) z= sen x. RTA./ LA GRAFICA (a) ES UN CILINDRO CON LAS RESOLUCIONES PARALELA AL EJE DE LAS ABSCISAS. UNA DIRECTRIZ EN EL PLANO yz ES LA GRAFICA DE y2=9 - z. ESTA SUPERFICIE SE LLAMA CILINDRO PARABOLICO.

EJEMPLO No. 03: DIBUJAR LA GRAFICA: (a) y2=9 - z. (b) z= sen x. RTA./ LA GRAFICA (b) ES UN CILINDRO CON LAS RESOLUCIONES PARALELA AL EJE y CUYA DIRECTRIZ EN EL PLANO xz ES LA GRAFICA DE z= sen x.

BIBLIOGRAFIA

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA ANALITICA. HEINHOLD, J. RIEDMLLER, B. EDITORIAL REVERT S.A., SEGUNDA EDICION, 1981. CALCULO ASCENDENTES TEMPRANAS. STEWART JAMES. EDITORIAL THOMSON LEARNING, CUARTA EDICION, 2002. CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA. SWOKOWSKI EARL W. EDITORIAL PRINDLE, WEBER & SCHMIDT, ALTERNATE EDITION, 1983.