Calculo Numérico de la Respuesta Dinámica de Estructuras
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7/22/2019 Calculo Numrico de la Respuesta Dinmica de Estructuras
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Calculo Numrico de la
Respuesta Dinmica
Dr. Alberto Salgado Rodrguez
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Calculo Numrico de la
Respuesta Dinmica Para excitaciones con variaciones
arbitrarias con respecto al tiempo o
para el caso de sistemas no lineales,
no es posible determinar la respuestadinmica de forma analtica.
Problemas de este tipo se deben
resolver mediante mtodos numricospaso a paso para integrar las
ecuaciones diferenciales
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Mtodos Paso a Paso
Para un sistema inelstico, la ecuacin del
movimiento a resolverse numricamente es la
siguiente:
Sujeto a las condiciones
iniciales:
En el caso anterior, el amortiguamiento se ha supuesto del tipo lineal
y viscoso.
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Mtodos Paso a Paso
La fuerza aplicada p(t) se conoce en ciertos valores discretos de tiempopi=p(ti)
i=0 a N. El intervalo de tiempo
Se considera generalmente constante
La respuesta dada por el desplazamiento, la velocidad y la
aceleracin del sistema se determina a cada instante i, de forma
tal que en cada instante se cumple la igualdad:
La fuerza (fs)i es la fuerza elstica en el instante i; para sistemas elsticos
valdr kui; para sistemas inelsticos depender de la historia previa de
desplazamientos y velocidades del sistema
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Mtodos Paso a Paso
Dr. Alberto Salgado Rodrguez
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Mtodos Paso a Paso
Mediante el procedimiento numricoes posible determinar la respuesta en
los instantes i=1,2, conociendo las
condiciones iniciales del movimiento(desplazamiento, velocidad y
aceleracin).
Se han desarrollado diversosprocedimientos numricos. Dichos
procedimientos deben cumplir con los
siguientes requisitos: Dr. Alberto Salgado Rodrguez
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Mtodos Paso a Paso
1. Convergencia. Conforme el intervalode tiempo disminuye la solucinnumrica se aproxima a la solucin
exacta.2. Estabilidad. La solucin numrica
debe ser estable en la presencia deerrores de redondeo numricos, y
3. Exactitud. El procedimientonumrico debe proveer resultadossuficientemente cercanos a la
solucin exacta. Dr. Alberto Salgado Rodrguez
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Mtodos Paso a Paso
Mtodos basados en la
interpolacin de la funcin de
excitacin.
Mtodos basados en diferencias
finitas para las expresiones de
velocidad y aceleracin.Mtodos basados en variacin
supuesta de la aceleracin.
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Mtodo basado en la
interpolacin de la excitacin
En el intervalo ti t ti+1, la excitacin est dada por:
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Mtodo basado en la
interpolacin de la excitacin
Por simplicidad algebraica, se analiza en primer termino los
sistemas sin amortiguamiento, posteriormente se incorpora este.
En el instante i+ ( vara de 0 a t), la ecuacin a resolver es la
siguiente:
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Mtodo basado en la
interpolacin de la excitacin
La respuesta en el instante 0ti es la suma de
tres partes:
1)Vibracin libre debido a las condicionesiniciales de desplazamiento y velocidad.
2)Respuesta a fuerza tipo escaln con
condiciones iniciales nulas.
3)Respuesta a fuerza tipo rampa (pi/ti) concondiciones iniciales nulas.
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Mtodo basado en la
interpolacin de la excitacin
Tomando en cuenta las tres partes de la solucin, se
tiene:
Si se evalan las ecuaciones anteriores en el instante =ti, se obtienen el
desplazamiento y la velocidad en el instante i+1
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Mtodo basado en la
interpolacin de la excitacin
Al tomar en
cuenta
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir como
formulas de recurrencia.
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Mtodo basado en la
interpolacin de la excitacin
Para el caso de sistemas subamortiguados, se tendran
expresiones anlogas. Ya que las formulas de recurrencia se
han deducido de las soluciones exactas de la ecuacin del
movimiento, la nica restriccin es el tamao del intervalo de
tiempo t. Este procedimiento es til cuando la excitacin est
definida en intervalos muy cercanos de tiempo como es el
caso de registros ssmicos-. Si el intervalo de tiempo es
constante, los coeficientes A, B, , D solo se calculan una
vez. Este mtodo solo es factible de utilizarse en sistemas
lineales. Es conveniente para sistemas de un grado de libertadpero imprctico para sistemas de mltiples grados de libertad,
a menos que la respuesta del sistema se obtenga por la
superposicin de las respuestas modales.
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Mtodo basado en la
interpolacin de la excitacin
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Mtodo de la diferencia
centralEst basado en la aproximacin, en diferencias finitas, de lasderivadas del desplazamiento. Si se tienen intervalos de tiempo
constantes, ti=t, las expresiones de la velocidad y aceleracin en el
tiempo i, son las siguientes:
Si se sustituye en la ecuacin del movimiento y asumiendo que el
sistema es elstico, se tiene
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Mtodo de la diferencia
central
Para obtener ui y ui-1, se utilizan las siguientes
expresiones:
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Mtodo de la diferencia
centralfinalmente
Se considera que el desplazamiento y la velocidad inicial son conocidos,
y mediante la ecuacin del movimiento en el instante 0
Se obtiene la aceleracin en el instante0
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Mtodo de la diferencia
central
NOTA: Para evitar que los
errores de redondeonumricos disparen el
mtodo, se recomienda
que
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Mtodo de Newmark
El mtodo de Newmark es un procedimiento basado en la variacin
supuesta de la aceleracin del sistema. Las ecuaciones bsicas del
mtodo son las siguientes:
Los parmetros y definen la variacin de la aceleracin en el intervalo
de tiempo y determinan las caractersticas de estabilidad y exactitud del
mtodo. Generalmente, se escoge igual a 1/2 y debe estar entre 1/6 y
para obtener resultados satisfactorios.
Se observa que debido a que las incgnitas tambin aparecen en el
lado derecho de las ecuaciones, se requiere iterar pata encontrar la
solucin. No obstante lo anterior, es posible modificar la formulacin
original para obtener la solucin sin iteracin.
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Mtodo de NewmarkSe explican a continuacin dos casos especiales del mtodo de Newmark
Se observa quepara el caso de
aceleracin
constante =1/2 y
=1/4; y para el caso
de variacin lineal
de la aceleracin=1/2 y =1/6
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Mtodo de Newmark-formulacin no iterativa-
Si en las ecuaciones del mtodo de Newmark, se utilizan cantidades
incrementales, se tiene lo siguiente:
La formulacin incremental puede evitarse en el caso de sistemas
lineales, sin embargo, dicha formulacin es clave en el caso de
los sistemas no lineales. Las ecuaciones de Newmark quedan dela siguiente forma:
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Mtodo de Newmark
-formulacin no iterativa-
De la ecuacin decremental del
desplazamiento
Al sustituir en la ecuacin decremental de la velocidad, seobtiene:
Al sustituir las ecuaciones anteriores en la ecuacin decremental
del movimiento:
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Mtodo de Newmark
-formulacin no iterativa-
Se obtiene
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Mtodo de Newmark
-formulacin no iterativa-
El mtodo de Newmark es estable
si:
Para = y = (aceleracin constante), lacondicin anterior se convierte en:
Lo anterior significa que el mtodo de aceleracin constante esincondicionalmente estable para cualquiert; sin embargo, la
exactitud se ve afectada si t es muy grande.
Para el caso de variacin lineal de la aceleracin, es
estable s
551.0
nT
t
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Estabilidad y Error
en los Clculos
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Anlisis de la respuesta no lineal
-Mtodo de Newmark-
En este caso, el procedimiento con t constante conduce a errores
significativos, debido a que, por un lado, se utiliza la rigidez tangente en
lugar de la rigidez secante, y, por otro, el uso de un constante retrasa la
deteccin de las transiciones en las relaciones fuerza-deformacin
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Anlisis de la respuesta no
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Anlisis de la respuesta no
lineal
-Mtodo de Newmark-Procedimiento Iterativo (Newton-Raphson)
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Anlisis de la respuesta no lineal
-Mtodo de Newmark-
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Tarea
Determinar la respuesta dinmica de un sistema de un grado de libertadcon las siguientes propiedades: Tn=0.5seg, =5%. Considere como
excitacin ssmica el registro acelerogrfico sctd, visto en clase. Utilice
los siguientes mtodos:
a) Interpolacin lineal de la excitacin
b) Newmark, aceleracin constantec) Newmark, aceleracin variacin lineal
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