Clculo Proposicional

Clculo ProposicionalINGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES(REVALIDACIN)1temarioEl sistema MIU El sistema mg Sistemas formales La equivalencia La negacin, discrepancia, y false Tcnicas de demostracin y principiosLa disyuncin La conjuncin Usando la Regla dorada Usando lemas La implicacin Prueba de teoremas en donde participa la implicacinLa Regla de Leibniz como axioma2CALCULO PROPOSICIONALEl clculo proposicional est orientado a la programacin, por lo cual provee herramientas para el manejo efectivo de frmulas lgicas de tamao considerable, con la finalidad de introducir un sistema para construir demostraciones que involucren expresiones de la lgica proposicional.3objetivoEl objetivo de un sistema formal consiste en explicitar un lenguaje a travs del cual se realizarn demostraciones y tambin definir las reglas para realizarlas. Esto permite tener una nocin muy precisa de lo que se entiende por una demostracin, como as tambin la posibilidad de precisar la sintaxis y la semntica.4El sistema MIUVamos a suponer que disponemos solamente de tres letras del alfabeto: M, I, U. La sucesin de estas letras o smbolos uno tras otro constituye una cadena. En toda cadena, las letras estn situadas en un orden establecido, por ejemplo las cadenas MI e IM son dos cadenas diferentes.Algunas de las cadenas que pueden formarse con los smbolos M, I y U son: MU UIM MUUMUU UIIMIUUIMMIIUMIIUM5reglasProponemos a continuacin un juego en donde el jugador tiene en su poder la cadena MI y mediante una serie de reglas precisas debe producir otras cadenas. Si bien las cadenas mencionadas arriba son todas cadenas legtimas (pues pueden construirse con los smbolos disponibles) an no pertenecen a la coleccin privada del jugador, ste slo dispone de MI, y slo a travs de las reglas que enunciaremos puede ampliar su coleccin. He aqu la primera regla:

Regla 1: Si se tiene una cadena cuya ltima letra es I, se le puede agregar una U al final.6Para enunciar la segunda regla se recurrir al concepto de variable, entendiendo que con la letra x no se amplia la cantidad de smbolos disponibles en el juego sino que se llamar x a una cadena determinada que s fue construida con los smbolos permitidos.Regla 2: Supongamos que se tiene la cadena Mx, entonces puede agregarse la cadena Mxx a la coleccin.Veamos unos ejemplos de la aplicacin de esta regla: Dado MIU se puede obtener MIUIU Dado MUM se puede obtener MUMUM Dado MU se puede obtener MUU7Observemos que esta regla no dice que MUU est en poder del jugador, sino que lo est si antes estuvo MU. Es decir, primero es necesario obtener MU para luego incorporar MUU.Regla 3: Si en una cadena de la coleccin aparece la secuencia III, puede elaborarse una nueva cadena sustituyendo III por U.Ejemplos: Dado UMIIIMU se puede construir UMUMU Dado MIIII se puede construir MIU o tambin MUI Dado IIMII no podemos aplicando esta regla construir nada, los smbolos III deben serconsecutivos Dado MIII se elabora MU8Regla 4: Si aparece UU en el interior de una cadena, est permitido eliminarlo y formar as otra cadena.

Dado UUU, se obtiene U Dado MUUUIII se obtiene MUIII9Esto es todo lo que hay que saber para obtener cadenas en la coleccin de cada jugador, las cadenas generadas mediante el empleo de las reglas mencionadas se llaman teoremas. El sentido del trmino teorema es aqu distinto al que es comn en matemtica, que llama de esa manera a las afirmaciones formuladas en lenguaje corriente cuya veracidad ha sido probada por medio de una demostracin rigurosa.En los sistemas formales, en cambio, no hay necesidad de considerar a los teoremas como afirmaciones, sino que stos son simplemente una cadena de smbolos y por otra parte, no son demostrados sino producidos, como si los elaborara una mquina de acuerdo a determinadas reglas predefinidas.10Cuando comenzamos este juego dijimos que MI es una cadena disponible para el jugador, en este sentido MI es entonces un teorema, pero en realidad no fue necesario aplicar ninguna de las reglas mencionadas para conseguirlo.Distinguimos entonces a los teoremas que estn disponibles desde el comienzo del juego llamndolos axiomas. Un sistema formal puede tener cero, uno, varios o infinitos axiomas. Todo sistema formal cuenta con reglas de derivacin de smbolos tales como las cuatro reglas del sistema MIU. Estas reglas son denominadas reglas de inferencia. Por ltimo el concepto que ilustraremos ahora es el de derivacin. Lo que sigue es una derivacin del sistema MIU:11(1) MI axioma

(2) MII de (1) y Regla 2

( (3) MIIII de (2) y Regla 2(4) MIIIIU de (3) y Regla 1(5) MUIU de (4) y Regla 3(6) MUIUUIU de (5) y Regla 2(6) MUIIU de (6) y Regla 412Una derivacin de un teorema es una demostracin explcita y paso a paso del modo enque se ha producido el mismo, de acuerdo a los axiomas y las reglas de inferencia del sistema formal. En el ejemplo anterior podemos decir que hemos probado MUIIU o bien que se ha derivado MUIIU dentro del sistema MIU. Por lo tanto MUIIU es un teorema del sistema MIU.13Vamos a plantear ahora un acertijo:Es MU un teorema del sistema MIU?

14El sistema mgPara ampliar la perspectiva sobre sistemas formales presentamos ahora otro sistema tambin presentado por Douglas R. Hofstadter en Gdel, Escher, Bach. El sistema mg cuenta con tressmbolos:m gEs decir las letras m y g y el guin.El sistema mg tiene una cantidad infinita de axiomas, en consecuencia vamos a definir los axiomas a travs de lo que se conoce como un esquema de axioma. Es decir, una especie de matriz que moldea todos los axiomas del sistema y de este modo pone a nuestra disposicin un procedimiento que permite determinar si una cadena dada de los smbolos m, g y constituye un axioma. Para esto recurrimos nuevamente al concepto de variable, y esta vez con x estaremos indicando una secuencia de guiones.15Definicin xmgx es un axioma, siempre que con x estemos representando una cadena de guiones.Por ejemplo la cadena mg es un axioma, mientras que la cadena xmgx no es un axioma puesto que x no pertenece a los smbolos disponibles en el sistema mg.El sistema mg tiene solamente una regla de inferencia.

16Regla 1: Si x, y y z representan cadenas de guiones y xmygz es un teorema entonces tambin es un teorema xmygz.Por ejemplo: si x vale , y vale y z vale , la regla nos dice que:Si mg es un teorema, entonces mg es un teorema.Tal como ocurre siempre con las reglas de inferencia, sta establece una vinculacin entre la teoremidad de ambas cadenas, pero no afirma la teoremidad de ninguna de ellas por s misma. Pero supongamos que se nos presenta el problema:Ejemplo: Determinar si mg es un teorema. Solucin Primero, observemos que no se trata de un axioma, pues el esquema establece que xmgx es un axioma para x cadena de guiones, y de acuerdo a la forma de la cadena mg esto no puede ocurrir. Ahora analicemos si fue posible obtener mg usando la regla de inferencia 1, pero en ese caso x vale , y vale y z no representa ningn guin, y es claro que ningn axioma es de la forma xmyg en el sistema mg. Con lo cual la cadena mg no es un teorema.17Observemos que esta regla slo produce cadenas ms largas, con lo cual es posible establecer cules cadenas ms cortas estn en condiciones de ser antecesoras de la cadena en cuestin. De este modo el problema se reduce a determinar si alguna de estas nuevas cadenas ms breves es un teorema y cada una de estas ltimas puede ser sometida al mismo proceso, lo peor que puede ocurrir es la proliferacin de cadenas ms breves. Si se contina con este proceso se lograr llegar muy cerca de la fuente de todos los teoremas: el esquema de axioma, entonces o bien se descubre que una de las cadenas cortas aparecidas es un axioma o bien se llega a la conclusin que ninguna de las cadenas ms reducidas es un axioma y tampoco permiten ser reducidas de acuerdo a la regla. Es decir, el sistema mg cuenta con un proceso de decisin sobre la teoremidad de una cadena dada. Un sistema formal que nos indique cmo elaborar teoremas ms prolongados a partir de otros ms breves, pero nunca lo inverso, es seguro que incluye un proceso de decisin aplicable a sus teoremas.18

Funcin Inyectiva

19Una manera sencilla de entenderlo seria:

20Una funcin f : XY es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente una implicacin directa de lo anterior, es que en una funcin biyectiva la cardinalidad del conjunto de salida o dominio, y el de llegada o codominio, son iguales. Esto tambin se puede ver en el ejemplo, donde |X|=|Y|=4.

Si f es una funcin biyectiva, entonces su funcin inversa f -1 existe y tambin es biyectiva.EjemploLa funcin:f(x) = 6x + 9es biyectiva.Luego, su inversa:f-1(y)= y-9 6tambin lo es.

21FuncionesInyectivaNo inyectivaSobreyectivaNo sobreyectiva

22Supongamos ahora que realizamos una biyeccin entre palabras y smbolos del sistema mg:m msg igual a uno dos tresetc.esta correspondencia entre palabra y smbolo, tiene un nombre: interpretacin.La cadena mg es un teorema de acuerdo a lo que vimos en el problema 2, y de acuerdo a la biyeccin dada en la tabla de arriba, podra enunciarse diciendo dos ms tres es igual a cinco, en tanto que la cadena analizada en el problema 1 no es un teorema y puede enunciarse dos ms tres no es igual a uno.23En la tabla 3.1 vimos una interpretacin de los smbolos del sistema mg, que constituye un nivel inferior de nuestra biyeccin, por otra parte, en un nivel ms alto se sita la correspondencia entre proposiciones verdaderas y teoremas. Pero debe tenerse en cuenta que esta correspondencia de nivel superior puede no ser advertida si no se establece previamente una interpretacin de los smbolos. Sera ms preciso entonces hablar de correspondencia entre proposiciones verdaderas y teoremas interpretados. Cuando uno se encuentra con un sistema formal del que no se conoce nada, con la esperanza de descubrir en l alguna significacin recndita, el problema se traduce en cmo asignar interpretaciones significativas a sus smbolos: en otros trminos, cmo hacerlo de modo tal que surja una correspondencia de nivel superior entre proposiciones verdaderas y teoremas.Es posible elegir otras interpretaciones distintas a las que aparecen en la tabla 3.1, una eleccin al azar corresponder por ejemplo a :m caballog manzana feliz24Tenemos as una nueva interpretacin para mg:manzana caballo manzana feliz manzana manzana. lamentablemente, esta interpretacin tiene muy escasa significacin, los teoremas no dan la impresin de ser ms verdaderos o ms aceptables que los no teoremas. En consecuencia, cabe distinguir entre dos tipos diferentes de interpretaciones. En primer lugar, podemos encontrarnos con una interpretacin no significativa, bajo la cual no se advierte la menor asociacin biyectiva entre los teoremas del sistema formal y la realidad. Un ejemplo de esto aparece en la tabla anterior. Mientras que llamaremos significativa a la segunda clase de interpretacin, bajo sta, los teoremas y las verdades se corresponden: es decir existe una biyeccin entre los teoremas del sistema y una porcin de la realidad. Por lo tanto la interpretacin dada en la primera tabla resulta significativa. Es por ello que conviene distinguir entre interpretaciones y significados. Cualquier palabra podra haber sido adoptada como interpretacin de m, pero se adopt ms porque es la nica eleccin significativa en la que se puede pensar. En sntesis, el significado de m parece ser ms, pese a que sea posible asignarle un milln de interpretaciones diferentes. Volviendo al sistema mg, ste parece obligarnos a reconocer que los smbolos de un sistema formal, aunque inicialmente carezcan de significado, no pueden evitar tomar alguna clase de significado, en cuanto se descubre la biyeccin.

25Ahora bien, hay una diferencia muy grande entre el significado relativo a un sistema formal, y el vinculado al lenguaje: cuando hemos aprendido el significado de una palabra dentro de un dado idioma, pasamos a elaborar nuevos enunciados basados en ese significado. Hasta cierto punto el significado se convierte en activo, ya que acta como una regla de creacin de frases. Esto quiere decir que nuestro dominio del idioma no se asemeja a un producto terminado: las reglas de elaboracin de frases se multiplican en la medida en que aprendemos nuevos significados. En un sistema formal, en cambio, los teoremas son definidos a priori por las reglas de inferencia. Podemos elegir significados que se funden en una biyeccin (si es posible encontrarla) entre teoremas y proposiciones verdaderas, pero ello no nos autoriza a extender el campo, agregando nuevos teoremas a los ya establecidos. En el sistema MIU, por ejemplo, no haba motivo para sentir la tentacin de ir ms all de las cuatro reglas, porque no se busc ni se descubri ninguna interpretacin.SISTEMAS FORMALES26Pero aqu, en el sistema mg, los significados recin hallados para cada smbolo pueden llevarnos a pensar que la cadenammmges un teorema. Cuando menos, uno puede desear que esta cadena sea un teorema, pero eso no cambia el hecho de que no lo es. Y tambin constituye un serio error pensar que debe ser un teorema, slo porque 2 ms 2 ms 2 ms 2 es igual a 8. Tampoco sera correcto atribuirle un significado, puesto que no es una cadena bien formada, y nuestra interpretacin significativa procede exclusivamente de la observacin de cadenas bien formadas.En un sistema formal, el significado debe permanecer pasivo, podemos leer cada cadena siguiendo los significados de los smbolos que la integran, pero no estamos facultados para crear nuevos teoremas sobre la nica base de los significados que hemos asignado a los smbolos. Los sistemas formales interpretados se encuentran en la frontera que separa los sistemas sin significado de los sistemas con significado: puede pensarse que sus cadenas expresan cosas, pero es imprescindible tener en cuenta que ello ocurre exclusivamente como consecuencia de las propiedades formales del sistema.27Sistemas formalesLos ejemplos anteriores pretendan ilustrar el concepto de sistema formal, podemos decir ahora que:Un sistema formal es un conjunto de reglas definidas en trminos de: Un conjunto de smbolos llamado alfabeto. Un conjunto de expresiones bien formadas o frmulas, construidas a partir de los smbolos. Un conjunto de frmulas distinguibles, llamadas axiomas. Un conjunto de reglas de inferencia.El conjunto de frmulas es llamado lenguaje del sistema formal. El lenguaje se define sintcticamente, no existe la nocin de significado o semntica en un sistema formal en s. Las reglas de inferencia permiten derivar frmulas de otras frmulas. Una frmula es un teorema del sistema formal si es un axioma, o puede ser generado a partir de un axioma o de algn teorema ya demostrado usando las reglas de inferencia. 28Una demostracin de que una frmula es un teorema es un argumento que muestra cmo las reglas de inferencia son utilizadas para producir la frmula.El clculo proposicional se presentar como un sistema formal, vamos ahora a dar un detalle de los elementos sealados arriba que sern los que conformen el sistema formal con el que trabajaremos:

Alfabeto: El alfabeto con el que construiremos las expresiones o palabras estar constituido por los siguientes smbolos:Constantes: las constantes true y false se usarn para los valores verdadero y falso respectivamente.Variables: las variables proposicionales o booleanas que representarn los valores true o false. Se usarn generalmente las letras p, q, y r para nombrar a estas variables.Operador unario: negacin .

29Operadores binarios:

Signos de puntuacin: parntesis ( y ).equivalencia disyuncin conjuncin discrepancia implicacin consecuencia 30Frmulas: Las expresiones bien formadas o frmulas del clculo proposicional sern las que se obtienen a partir de las siguientes reglas:i) Las variables proposicionales y las constantes son frmulas.ii) Si E es una frmula, entonces (E) es tambin una frmula.iii) Si E y F son frmulas y es un operador binario, entonces (E F) es una frmula.iv) Slo son frmulas las construidas con las reglas precedentes.

Ya vimos en los captulos anteriores la definicin de expresin booleana, y tambin mencionamos el rol fundamental que stas cumplen en la definicin de un lenguaje artificial libre de las ambigedades y contradicciones usuales del lenguaje corriente. Observemos que el conjunto de frmulas o expresiones bien formadas que tenemos en cuenta en este sistema formal, coincide con el concepto de expresin booleana que hemos estado manejando. Podemos afirmar entonces que las expresiones booleanas o frmulas se construirn usando los smbolos y las reglas anteriores y formarn la sintaxis de nuestro clculo proposicional.31Reglas de Inferencia:Las reglas de inferencia usadas sern las que ya presentamos para la relacin de igualdad en el Captulo 1. Adems, la equivalencia entre expresiones booleanas satisfacer las siguientes propiedades:Transitividad Si P, Q, y R son expresiones booleanas, entoncesP = Q,Q = RP = RRegla de LeibnizSi P y Q son expresiones booleanas, y E es una expresin que involucra a la variable proposicional r, entonces:P = QE [r := P] = E [r := Q]Sustitucin Si P y R son expresiones booleanas, y P involucra a la variable proposicional r, entonces:PP [r := R]32Es importante aprender y comprender la simbologa del calculo proposicional, para ello a continuacin se presentan las mltiples conexiones que existen dentro de este, como en el sistema anterior.

33La lgica proposicional es la ms antigua y simple de las formas de lgica. Utilizando una representacin primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lgica proposicional permite el razonamiento, a travs de un mecanismo que primero evala sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples que la conforman.Una proposicin es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por ejemplo:Hoy es ViernesAyer llovi Hace froLa lgica proposicional, permite la asignacin de un valor verdadero o falso para la sentencia completa, no tiene facilidad par analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este motivo, la representacin de las sentencias del ejemplo, como proposiciones, sera:hoy_es_Viernes ayer_llovihace_fro

34La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos ms complejos. Por ejemplo:hoy_es_Viernes y hace_fro.A la proposicin anterior dada como ejemplo, se la denomina frmula bien formada (well-formed formula, wff). Una frmula bien formada puede ser una proposicin simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. La lgica proposicional proporciona un mecanismo para asignar valores de veracidad a la proposicin compuesta, basado en los valores de veracidad de las proposiciones simples y en la naturaleza de los conectores lgicos involucrados.

Ejercicios

35Resumen

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