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Cálculo proposicional de FregeCálculo proposicional de Frege, en la Lógica matemática, el cálculo proposicional de Frege fue la

primera axiomatización del cálculo proposicional. Fue inventado por Gottlob Frege, quien también

inventó el cálculo de predicados, en 1879, como parte de su cálculo de predicados de segundo

orden (a pesar de que Charles Peirce fue el primero en utilizar el término "segundo orden" ydesarrolló su propia versión de forma independiente del cálculo de predicados de Frege).

Hace uso de sólo dos operadores lógicos: Implicación y la negación,  y está constituida por

seis axiomas y una regla de inferencia: modus ponens. 

THEN-1:  A → (B → A) THEN-2: (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))  THEN-3: (A → (B → C)) → (B → (A → C)) FRG-1: (A → B) → (¬B → ¬A) FRG-2: ¬¬A → A FRG-3:  A → ¬¬A 

Regla de Inferencia[editar ] 

MP: P, P→Q ⊢ Q

El Cálculo proposicional de Frege es equivalente a cualquier otro cálculo proposicional clásico,como el "Cálculo proposicional" (CP) normal con 11 axiomas. El CP de Frege y CP estándarcomparten dos axiomas en común: THEN-1 y THEN-2. Teniendo en cuenta que los axiomasTHEN-1 al THEN-3 sólo hacen uso (y lo definen) del operador de implicación, mientras que losaxiomas FRG-1 al FRG-3 definen al operador de negación.

Los teoremas siguientes tendrán como objetivo encontrar los otros nueve axiomas del CPestándar en el teorema del CP de Frege, mostrando que la teoría-espacio del CP estándarestá contenido dentro de la teoría del CP de Frege.

(Una teoría, también nombrada aquí, con fines de figuración, un "teorema-espacio, es unconjunto de teoremas que son un subconjunto de un conjunto universo de Fórmulas bienformadas.  Los teoremas están vinculados entre sí en una forma indicada por las Reglas deinferencia,  formando una especie de red ramificada. En las raíces del teorema-espacio seencuentran los axiomas, que "generan" el teorema-espacio muy similar a un generadorgenerando un grupo.)

Reglas y Teoremas

FBF → Fórmula bien formada 

Reglas THEN

Regla THEN-1 

   A ⊢ B→ A

# FBF Razón

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1. A premisa

2. A→(B→A)  THEN-1

3. B→A  MP 1,2.

Regla THEN-2 

   A→(B→C) ⊢ (A→B)→(A→C)

# FBF Razón

1. A→(B→C)  premisa

2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))  THEN-2

3. (A→B)→(A→C)  MP 1,2.

Regla THEN-3 

   A→(B→C) ⊢ B→(A→C)

# FBF Razón

1. A→(B→C)  premisa

2. (A → (B → C)) → (B → (A → C))  THEN-3

3. B→(A→C)  MP 1,2.

Regla FRG-1 

   A→B ⊢ ¬B→¬ A

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# FBF Razón

1. (A→B)→(¬B→¬A)  FRG-1

2. A→B  premisa

3. ¬B→¬A  MP 2,1.

Regla TH1 

   A→B, B→C ⊢ A→C

# FBF Razón

1. B→C  premisa

2. (B→C)→(A→(B→C))  THEN-1

3. A→(B→C)  MP 1,2

4. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))  THEN-2

5. (A→B)→(A→C)  MP 3,4

6. A→B  premisa

7. A→C  MP 6,5.

Teoremas TH[editar ] 

Teorema TH1 

  (A→B)→((B→C)→(A→C)) 

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# FBF Razón

1. (B→C)→(A→(B→C))  THEN-1

2. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))  THEN-2

3. (B→C)→((A→B)→(A→C))  TH1* 1,2

4. ((B→C)→((A→B)→(A→C)))→((A→B)→((B→C)→(A→C)))  THEN-3

5. (A→B)→((B→C)→(A→C))  MP 3,4.

Teorema TH2 

   A→(¬A→¬B) 

# FBF Razón

1. A→(B→A)  THEN-1

2. (B→A)→(¬A→¬B)  FRG-1

3. A→(¬A→¬B)  TH1* 1,2.

Teorema TH3 

  ¬A→(A→¬B) 

# FBF Razón

1. A→(¬A→¬B)  TH 2

2. (A→(¬A→¬B))→(¬A→(A→¬B))  THEN-3

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3. ¬A→(A→¬B)  MP 1,2.

Teorema TH4 

  ¬(A→¬B)→A 

# FBF Razón

1. ¬A→(A→¬B)  TH3

2. (¬A→(A→¬B))→(¬(A→¬B)→¬¬A)  FRG-1

3. ¬(A→¬B)→¬¬A  MP 1,2

4. ¬¬A→A  FRG-2

5. ¬(A→¬B)→A  TH1* 3,4.

Teorema TH5 

  (A→¬B)→(B→¬A) 

# FBF Razón

1. (A→¬B)→(¬¬B→¬A)  FRG-1

2. ((A→¬B)→(¬¬B→¬A))→(¬¬B→((A→¬B)→¬A))  THEN-3

3. ¬¬B→((A→¬B)→¬A)  MP 1,2

4. B→¬¬B  FRG-3, with A := B

5. B→((A→¬B)→¬A)  TH1* 4,3

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6. (B→((A→¬B)→¬A))→((A→¬B)→(B→¬A))  FRG-1

7. (A→¬B)→(B→¬A)  MP 5,6.

Teorema TH6 

  ¬(A→¬B)→B 

# FBF Razón

1. ¬(B→¬A)→B  TH4, with A := B, B := A

2. (B→¬A)→(A→¬B)  TH5, with A := B, B := A

3. ((B→¬A)→(A→¬B))→(¬(A→¬B)→¬(B→¬A))  FRG-1

4. ¬(A→¬B)→¬(B→¬A)  MP 2,3

5. ¬(A→¬B)→B  TH1* 4,1.

Teorema TH7 

   A→A 

# FBF Razón

1. A→¬¬A  FRG-3

2. ¬¬A→A  FRG-2

3. A→A  TH1* 1,2.

Teorema TH8 

   A→((A→B)→B) 

# FBF Razón

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1. (A→B)→(A→B)  TH7, with A := A→B 

2. ((A→B)→(A→B))→(A→((A→B)→B))  THEN-3

3. A→((A→B)→B)  MP 1,2.

Teorema TH9 

  B→((A→B)→B) 

# FBF Razón

1. B→((A→B)→B)  THEN-1, with A := B, B := A→B. 

Teorema TH10 

   A→(B→¬(A→¬B)) 

# FBF Razón

1. (A→¬B)→(A→¬B)  TH7

2. ((A→¬B)→(A→¬B))→(A→((A→¬B)→¬B)  THEN-3

3. A→((A→¬B)→¬B)  MP 1,2

4. ((A→¬B)→¬B)→(B→¬(A→¬B))  TH5

5. A→(B→¬(A→¬B))  TH1* 3,4.

Nota: ¬(A→¬B)→A (TH4), ¬(A→¬B)→B (TH6), y A→(B→¬(A→¬B)) (TH10), entonces¬(A→¬B) se comporta como A∧B. (Compara con los axiomas AND-1, AND-2, y AND-3).

Teorema TH11 

  (A→B)→((A→¬B)→¬A) 

# FBF Razón

1. A→(B→¬(A→¬B))  TH10

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2. (A→(B→¬(A→¬B)))→((A→B)→(A→¬(A→¬B)))  THEN-2

3. (A→B)→(A→¬(A→¬B))  MP 1,2

4. (A→¬(A→¬B))→((A→¬B)→¬A)  TH5

5. (A→B)→((A→¬B)→¬A)  TH1* 3,4.

TH11 es un axioma NOT-1 de calculo proposicional estándar, llamado "reductio ad absurdum".

Teorema TH12 

  ((A→B)→C)→(A→(B→C)) 

# FBF Razón

1. B→(A→B)  THEN-1

2. (B→(A→B))→(((A→B)→C)→(B→C))  TH1

3. ((A→B)→C)→(B→C)  MP 1,2

4. (B→C)→(A→(B→C))  THEN-1

5. ((A→B)→C)→(A→(B→C))  TH1* 3,4.

Teorema TH13 

  (B→(B→C))→(B→C) 

# FBF Razón

1. (B→(B→C)) → ((B→B)→(B→C))  THEN-2

2. (B→B)→ ( (B→(B→C)) → (B→C))  THEN-3* 1

3. B→B  TH7

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4. (B→(B→C)) → (B→C)  MP 3,2.

Teorema TH14 

   A→(B→P), P→Q⊢ A→(B→Q)

# FBF Razón

1. P→Q  premisa

2. (P→Q)→(B→(P→Q))  THEN-1

3. B→(P→Q)  MP 1,2

4. (B→(P→Q))→((B→P)→(B→Q))  THEN-2

5. (B→P)→(B→Q)  MP 3,4

6. ((B→P)→(B→Q))→ (A→((B→P)→(B→Q)))  THEN-1

7. A→((B→P)→(B→Q))  MP 5,6

8. (A→(B→P))→(A→(B→Q))  THEN-2* 7

9. A→(B→P)  premisa

10. A→(B→Q)  MP 9,8.

Teorema TH15 

  ((A→B)→(A→C))→(A→(B→C)) 

# FBF Razón

1. ((A→B)→(A→C))→(((A→B)→A)→((A→B)→C))  THEN-2

2. ((A→B)→C)→(A→(B→C))  TH12

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3. ((A→B)→(A→C))→(((A→B)→A)→(A→(B→C)))  TH14* 1,2

4. ((A→B)→A)→ ( ((A→B) →(A→C))→(A→(B→C)))  THEN-3* 3

5. A→((A→B)→A)  THEN-1

6. A→ ( ((A→B) →(A→C))→(A→(B→C)) )  TH1* 5,4

7. ((A→B)→(A→C))→(A→(A→(B→C)))  THEN-3* 6

8. (A→(A→(B→C)))→(A→(B→C))  TH13

9. ((A→B)→(A→C))→(A→(B→C))  TH1* 7,8.

El teorema TH15 es la Conversión lógica del axioma THEN-2.

Teorema TH16 

  (¬A→¬B)→(B→A) 

# FBF Razón

1. (¬A→¬B)→(¬¬B→¬¬A)  FRG-1

2. ¬¬B→((¬A→¬B)→¬¬A)  THEN-3* 1

3. B→¬¬B  FRG-3

4. B→((¬A→¬B)→¬¬A)  TH1* 3,2

5. (¬A→¬B)→(B→¬¬A)  THEN-3* 4

6. ¬¬A→A  FRG-2

7. (¬¬A→A)→(B→(¬¬A→A))  THEN-1

8. B→(¬¬A→A)  MP 6,7

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9. (B→(¬¬A→A))→((B→¬¬A)→(B→A))  THEN-2

10. (B→¬¬A)→(B→A)  MP 8,9

11. (¬A→¬B)→(B→A)  TH1* 5,10.

Teorema TH17 

  (¬A→B)→(¬B→A) 

# FBF Razón

1. (¬A→¬¬B)→(¬B→A)  TH16, con B := ¬B

2. B→¬¬B  FRG-3

3. (B→¬¬B)→(¬A→(B→¬¬B))  THEN-1

4. ¬A→(B→¬¬B)  MP 2,3

5. (¬A→(B→¬¬B))→((¬A→B)→(¬A→¬¬B))  THEN-2

6. (¬A→B)→(¬A→¬¬B)  MP 4,5

7. (¬A→B)→(¬B→A)  TH1* 6,1.

Compara TH17 con el teorema TH5.

Teorema TH18 

  ((A→B)→B)→(¬A→B) 

# FBF Razón

1. (A→B)→(¬B→(A→B))  THEN-1

2. (¬B→¬A)→(A→B)  TH16

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3. (¬B→¬A)→(¬B→(A→B))  TH1* 2,1

4. ((¬B→¬A)→(¬B→(A→B)))→(¬B→(¬A→(A→B)))  TH15

5. ¬B→(¬A→(A→B))  MP 3,4

6. (¬A→(A→B))→(¬(A→B)→A)  TH17

7. ¬B→(¬(A→B)→A)  TH1* 5,6

8. (¬B→(¬(A→B)→A))→ ((¬B→¬(A→B))→(¬B→A))  THEN-2

9. (¬B→¬(A→B))→(¬B→A)  MP 7,8

10. ((A→B)→B) → (¬B→¬(A→B))  FRG-1

11. ((A→B)→B)→(¬B→A)  TH1* 10,9

12. (¬B→A)→(¬A→B)  TH17

13. ((A→B)→B)→(¬A→B)  TH1* 11,12.

Teorema TH19 

  (A→C)→ ((B→C)→(((A→B)→B)→C)) 

# FBF Razón

1. ¬A→(¬B→¬(¬A→¬¬B))  TH10

2. B→¬¬B  FRG-3

3. (B→¬¬B)→(¬A→(B→¬¬B))  THEN-1

4. ¬A→(B→¬¬B)  MP 2,3

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5. (¬A→(B→¬¬B))→((¬A→B)→(¬A→¬¬B))  THEN-2

6. (¬A→B)→(¬A→¬¬B)  MP 4,5

7. ¬(¬A→¬¬B)→¬(¬A→B)  FRG-1* 6

8. ¬A→(¬B→¬(¬A→B))  TH14* 1,7

9. ((A→B)→B)→(¬A→B)  TH18

10. ¬(¬A→B)→¬((A→B)→B)  FRG-1* 9

11. ¬A→(¬B→¬((A→B)→B))  TH14* 8,10

12. ¬C→(¬A→(¬B→¬((A→B)→B)))  THEN-1* 11

13. (¬C→¬A)→(¬C→(¬B→¬((A→B)→B)))  THEN-2* 12

14. (¬C→(¬B→¬((A→B)→B))) → ((¬C→¬B)→(¬C→¬((A→B)→B)))  THEN-2

15. (¬C→¬A)→ ((¬C→¬B)→(¬C→¬((A→B)→B)))  TH1* 13,14

16. (A→C)→(¬C→¬A)  FRG-1

17. (A→C)→((→C→¬B)→(¬C→¬((A→B)→B)))  TH1* 16,15

18. (¬C→¬((A→B)→B))→(((A→B)→B)→C)  TH16

19. (A→C)→ ((¬C→¬B)→(((A→B)→B)→C))  TH14* 17,18

20. (B→C)→(¬C→¬B)  FRG-1

21. ((B→C)→(¬C→¬B))→ 

TH1

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(((¬C→¬B)→ (((A→B)→B)→C) ) → ( (B→C) → (((A→B)→B)→C))) 

22. ((¬C→¬B)→ (((A→B)→B)→C) ) → ( (B→C) → (((A→B)→B)→C))  MP 20,21

23. (A→C)→ ((B→C)→(((A→B)→B)→C))  TH1* 19,22.

Nota: A→((A→B)→B) (TH8), B→((A→B)→B) (TH9), y (A→C)→((B→C)→(((A→B)→B)→C))(TH19), entonces((A→B)→B) se comporta como A∨B. (Compara con los axiomas OR-1, OR-

2, y OR-3.)

Teorema TH20 

  (A→¬A)→¬A 

# FBF Razón

1. (A→A)→((A→¬A)→¬A)  TH11

2. A→A  TH7

3. (A→¬A)→¬A  MP 2,1.

TH20 corresponde al axioma NOT-3 del cálculo proposicional estándar, llamado "tertium nondatur ".

Teorema TH21 

   A→(¬A→B) 

# FBF Razón

1. A→(¬A→¬¬B)  TH2, con B := ~B

2. ¬¬B→B  FRG-2

3. A→(¬A→B)  TH14* 1,2.

TH21 corresponde al axioma NOT-2 del cálculo proposicional estándar, llamado "excontradictione quodlibet".

Todos los axiomas del calculo proposicional estándar derivan del calculo proposicional deFrege.

 A∧B := ¬(A→¬B) yA∨B := (A→B)→B.Estas expresiones no son únicas, por ejemplo, A∨B también podría haber sido definido como(B→ A)→ A, ¬A→B, or ¬B→ A.Nótese, sin embargo, que la definición de A∨B := (A→B)→B no contiene negaciones. Por otraparte, A∧B no puede definirse en términos de solo implicación, sin el uso de la negación.

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En cierto sentido, las expresiones A∧B y A∨B pueden ser consideradas como "cajas negras".En el interior, estas cajas negras contienen fórmulas compuestas solamente de implicación ynegación. Las cajas negras pueden contener cualquier cosa, siempre y cuando esténconectado dentro de los axiomas AND-1 al AND-3 y OR-1 al OR-3 del cálculo proposicionalestándar y siguen siendo validos. Estos axiomas proporcionan definiciones sintácticascompletas de los operadores de conjunción y disyunción. 

Teoremas ST[editar ] 

El siguiente conjunto de teoremas tratará de encontrar los otros cuatro axiomas del CP deFrege en el "teorema-espacio" del CP estándar, mostrando que la teoría del CP de Frege estácontenido dentro de la teoría del CP estándar.

Teorema ST1 

   A→A 

# FBF Razón

1. (A→((A→A)→A))→((A→(A→A))→(A→A))  THEN-2

2. A→((A→A)→A)  THEN-1

3. (A→(A→A))→(A→A)  MP 2,1

4. A→(A→A)  THEN-1

5. A→A  MP 4,3.

Teorema ST2 

   A→¬¬A 

# FBF Razón

1. A hipótesis

3. A→(¬A→A)  THEN-1

4. ¬A→A  MP 1,3

6. ¬A→¬A  ST1

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7. (¬A→A)→((¬A→¬A)→¬¬A)  NOT-1

8. (¬A→¬A)→¬¬A  MP 4,7

9. ¬¬A MP 6,8

10. A ⊢ ¬¬A sumario 1-9

11. A→¬¬A  DT 10.

ST2 es el axioma FRG-3 del cálculo proposicional de Frege.

Teorema ST3 

  B∨C→(¬C→B)

# FBF Razón

1. C→(¬C→B)  NOT-2

2. B→(¬C→B)  THEN-1

3. (B→(¬C→B))→ ((C→(¬C→B))→((B ∨ C)→(¬C→B)))  OR-3

4. (C→(¬C→B))→((B ∨ C)→(¬C→B))  MP 2,3

5. B∨C→(¬C→B)  MP 1,4.

Teorema ST4 

  ¬¬A→A 

# FBF Razón

1. A∨¬A  NOT-3

2. (A∨¬A)→(¬¬A→A)  ST3

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3. ¬¬A→A  MP 1,2.

ST4 es el axioma FRG-2 del cálculo proposicional de Frege.

Teorema ST5 

  (A→(B→C))→(B→(A→C)) 

# FBF Razón

1. A→(B→C)  hipótesis

2. B hipótesis

3. A hipótesis

4. B→C  MP 3,1

5. C MP 2,4

6. A→(B→C), B, A ⊢ C sumario 1-5

7. A→(B→C), B ⊢ A→C  DT 6

8. A→(B→C) ⊢ B→(A→C)  DT 7

9. (A→(B→C)) → (B→(A→C))  DT 8.

ST5 es el axioma THEN-3 del cálculo proposicional de Frege.

Teorema ST6 

  (A→B)→(¬B→¬A) 

# FBF Razón

1. A→B  hipótesis

2. ¬B hipótesis

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3. ¬B→(A→¬B)  THEN-1

4. A→¬B  MP 2,3

5. (A→B)→((A→¬B)→¬A)  NOT-1

6. (A→¬B)→¬A  MP 1,5

7. ¬A MP 4,6

8. A→B, ¬B ⊢ ¬A sumario 1-7

9. A→B ⊢ ¬B→¬A  DT 8

10. (A→B)→(¬B→¬A)  DT 9.

ST6 es el axioma FRG-1 del cálculo proposicional de Frege.

Conclusión[editar ] 

Cada uno de los axiomas de Frege se pueden derivar de los axiomas estándar, y cada uno delos axiomas estándar se pueden derivar de los axiomas de Frege. Esto significa que los dosconjuntos de axiomas son interdependientes y no hay axioma en un conjunto que sea

independiente del otro conjunto. Por lo tanto los dos conjuntos de axiomas generan la mismateoría: El calculo proposicional de Frege es equivalente a un calculo proposicional estándar .