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8/20/2019 calculo propriedades

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UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ - UNOCHAPECÓ

ÁREA DE CIÊNCIAS EXATAS E AMBIENTAS

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

CÁLCULO INTEGRAL: SUA HISTÓRIA E SUAS

APLICAÇ ÕES NAS DIVERSAS ÁREAS DO CONHECIMENTO

JULIANA CRISTINA SCHNEIDER

Chapecó - SC, 2010


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JULIANA CRISTINA SCHNEIDER

CÁLCULO INTEGRAL: SUA HISTÓRIA E SUAS

APLICAÇ ÕES NAS DIVERSAS ÁREAS DO CONHECIMENTO

Relatório de pesquisa apresentado à UNOCHAPECÓcomo parte dos requisitos para aprovação na disci-plina de Pesquisa II, sob orientação da Professora LuciaMenoncini.

Chapecó - SC, Jul. 2010


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Resumo

Nossa pesquisa baseia-se em descrever parte da história do Cálculo Integral, identificando seusprecursores, sua evolução e relação com o avanço tecnológico, bem como mostrar as aplicaçõesdo Cálculo Integral nas diversas áreas do conhecimento. Destacamos a importância de conhecer

a aplicabilidade do Cálculo Integral para entender os seus conceitos e assim poder contribuirpara despertar a motivação por parte dos acadêmicos para o estudo desta temática. O CálculoIntegral é ensinado nos cursos de graduação de diversas áreas, como na Matemática, na F́ısica,nas Engenharias, entre outras. São tantas definições, teoremas, e diversas maneiras de re-solver esses cálculos, que dependendo da forma metodológica como eles são abordados, podemgerar questionamentos quanto a sua aplicabilidade. Assim, o objetivo deste trabalho é identi-ficar algumas destas aplicações nas diferentes áreas do conhecimento, seguido da resolução dasmesmas.

Palavras-chaves: Integrais, cálculo, aplicações.


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Sumário

Introdução 2

1. História da Cálculo 5

1.1 Bonavetura Cavallieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Johann Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Isaac Baron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 John Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Gottfried Wilhelm Leibiniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Cálculo Integral 15

2.1 O Ensino do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Aplicações de Integral nas Diversas Áreas 19

3.1 A integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 A integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 A Integral Como Variação Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 A Integral Via Regra do Ponto Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 A Integral Imprópria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6 A Integral Como Função Densidade da Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 523.7 A Integral Definida Como Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Funções Definidas Como Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


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Para reforçar nossa ideia, a Sociedade Brasileira de Educação Matemática - SBEM,

destaca a importância do conhecimento histórico e da aplicabilidade dos conteúdos matemá-

ticos, particularmente para o acadêmico que pretende ser um educador em Matemática:

Esse corpo de conhecimentos matemáticos - conceitos espećıficos, definições,

convenções, procedimentos, paradigmas de investigação dessa área de conheci-

mento - devem ser selecionados e abordados de forma a possibilitar ao professor

em formação, conhecimento amplo, consistente e articulado da Matemática,

colocando em destaque aspectos de sua construção histórica, suas aplicações

em outras áreas, os principais métodos utilizados por matemáticos ao longo

dos tempos, os desafios atuais dessa área de conhecimento e as pesquisas

matemáticas em desenvolvimento (SBEM 2002, p. 14).

De modo geral, o Cálculo Integral é um componente curricular que merece atenção tanto

por parte do professor que planeja suas aulas como pelos acadêmicos, pois segundo Junior

(2006, p. 87), ”os conhecimentos do Cálculo Integral podem contribuir para que o aluno tenha

ferramentas para resolver problemas de diferentes áreas do conhecimento”.

Entendendo que o Cálculo Integral é uma importante ferramenta que dispomos e que em

alguns momentos não sabemos ou não compreendemos sua aplicação, e defendendo a necessi-

dade de conhecer as construções do conhecimento ao longo dos tempos como aporte teórico,

inicialmente buscamos informações acerca do surgimento e evolução do Cálculo Integral, co-

nhecendo a vida e o trabalho dos seus principais precursores. Tais informações estão contidas

no Caṕıtulo 1 deste trabalho.

No Caṕıtulo 2, direcionamos nossa atenção para entender um pouco sobre o ensino e a

aprendizagem dos conteúdos, uma vez que a aplicação do Cálculo Integral vem ao encontro de

justificar o porquê de estudar tal assunto.

Na sequência, formamos o Caṕıtulo 3, composto pelas aplicações do Cálculo Integral.

Aqui, buscamos enunciar alguns conceitos e resultados do Cálculo Integral e identificar algumas

áreas que utilizam-se destes para resolução de questões especı́ficicas, bem como selecionamos e

resolvemos tais situações.


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1. História do Cálculo

Vamos iniciar esse trabalho fazendo um resgate histórico do Cálculo Diferencial e Integral.

Para tanto contamos com a contribuição de alguns autores. Entre eles destacamos Boyer (1974),o qual aponta que calcular, no passado, significava fazer contas por meio de seixos. Segundo ele

a palavra calcular tem sua origem do latim, do diminutivo de calx, que significa pedra. Já na

idade média, no século XVII, surgem os conceitos mais formais para o cálculo, os quais definem

conceitos que surgiram a mais de dezessete anos antes na nossa era.

O século XVII foi extremamente produtivo para o cálculo, comenta Eves (2004), pois foi

um peŕıodo onde se fizeram grandes e vastas pesquisas em diversas áreas. O autor afirma aindaque para se falar da história do cálculo, precisamos voltar até o século V a.C, na Grécia antiga,

mesmo que a maior parte da história se situe no século XVI.

Em seu livro, Eves (2004), começa falando sobre os Paradoxos de Zenão. Para o autor foi o

filósofo Zenão de Eléia (450 a.C) que chamou a atenção para que se observassem as dificuldades

lógicas ocultas em paradoxos que tiveram forte influência na matemática. Os dois paradoxos

do qual cita o autor são: Dicotomia e a Flecha. O primeiro trata que se um segmento de reta

pode ser subdividido indefinidamente, então o movimento é impossı́vel, pois, para percorrê-lo, é

preciso antes alcançar seu ponto médio, antes ainda alcançar o ponto que estabelece a marca de

um quarto do seu segmento e assim por diante, ad infinitum. Segue-se, então, que o movimento

jamais começará. O segundo paradoxo, a flecha, afirma que se o tempo é formado de instantes

atômicos indivisı́veis, então uma flecha em movimento está sempre parada, posto que em cada

instante ela esteja numa posição fixa. Sendo isso verdadeiro em cada instante, segue-se que a


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flecha jamais se move.

Os primeiros problemas que apareceram na história do cálculo se referiam a problemas

de quadratura, com os processos de medição de terras e áreas. Uma das contribuições mais

antigas, segundo Eves (2004) se refere ao problema da quadratura do ćırculo que foi dada por

Ant́ıfon, que era contemporâneo de Sócrates. Ant́ıfon acreditava que por sucessivas duplicações

do número de lados de um polı́gono regular inscrito num cı́rculo, a diferença entre o cı́rculo e o

polı́gono por fim exaurir-se-ia. Ant́ıfon, continha aqui o método da exaustão grego. O método

da exaustão é creditado a Eudoxo (c. 370 a.C), ainda:

O método admite que uma grandeza possa ser subdividida indefinidamente e

sua base é a proposição: Se uma grandeza qualquer subtrai-se uma parte não

menor que a sua metade, do restante subtrai-se uma parte não menor que asua metade, e assim por diante, se chegará por fim a uma grandeza menor que

qualquer outra predeterminada da mesma espécie. (EVES 2004, p. 419).

Boyer (1974) nos coloca que o método da exaustão é creditado a Eudoxo, mas também é

conhecido como método de Arquimedes:

[...] Arquimedes atribuiu a Eudoxo a primeira prova satisfatória de que o vol-

ume do cone é um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura,

o que parece indicar que o método da exaustão vem de Eudoxo. (BOYER,

1974, p. 67).

Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma

corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda

como base. Ele utilizou o problema da exaustão para determinar a área do ćırculo e descobriu

o número π .

Rocha (1986), aponta que foi com a busca de processos exatos ou mesmo aproximado de

calcular a área em uma região S limitada por uma curva fechada que deu a Arquimedes a glória

de ser considerado um dos mais importantes matemáticos de todos os tempos. Segundo ele foi

pelo método da exaustão que Arquimedes conseguiu calcular a área de vários tipos de curvas.

Nos seus trabalhos sobre áreas e volumes, Arquimedes utilizou o método da exaustão,

pelo qual se aproxima a quantidade desejada pelas somas parciais de uma série ou pelos termos

de uma sequência, conforme Boyer (1974).


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Figura 1: Arquimedes.Fonte: Wikipedia

Por volta do ano de 1450 os trabalhos de Arquimedes chegaram à Europa Ocidental

através de uma tradução que foi achada em Constantinopla, de uma cópia feita no século IX,

de acordo com Eves (2004).

Estas descobertas deram origem ao cálculo. No entanto, o seu desenvolvimento prosseguiu

graças as contribuições iniciais de personagens como Cavalieri, Barrow, Kepler, Wallis, Newton

e Leibinz. Vejamos um pouco da contribuição de cada um desses personagens.

1.1 Bonavetura Cavallieri

Bonaventura Cavallieri nasceu em Milão e aos 15 anos de idade foi aluno de Galileu.

Trabalhou como professor de matemática na Universidade de Bolonha de 1629 até 1647, quando

faleceu.

Suas obras, de acordo com Eves (2004) abrangeram óptica e astronomia e foi ele o re-

sponsável pela introdução dos logaritmos na Europa. A obra de sua autoria que mais o projetou

foi Geometria Indivisibilibus publicada em 1635.

Os prinćıpios de Cavalieri representaram para a época e continuam até hoje, poderosas

ferramentas para o cálculo de volumes e áreas.


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Figura 2: Cavalieri.Fonte: Wipikédia

1.2 Johann Kepler

Segundo Eves (2004), Johnann Kepler desenvolveu ideias baseadas em três leis que de-

screvem o movimento dos planetas em torno do Sol. Kepler intuitivamente descreveu o prinćıpio

da continuidade, onde os casos-limite eram cobertos por definições mais gerais. Ele recorreu à

integração para calcular áreas envolvidas com a segunda lei do movimento planetário e também

conseguiu calcular o volume de diversos sólidos. Um dos seus trabalhos que foi muito discutido

refere-se à maneira correta de calcular o volume de barris de vinho.

Figura 3: Johann Kepler.Fonte: Wipikédia

1.3 Isaac Baron

Como conta Eves (2004), Isaac Barrow nasceu em Londres em 1630. Barrow terminou seus

estudos em Cambridge em 1648. Formaou-se em F́ısica, Matemática, Astronomia e Teologia.


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1.4 John Wallis

A história de John Wallis é contada por Eves (2004). Wallis nasceu em 1616 e foi con-

siderado em dos matemáticos mais capazes e originais de seu tempo. Seus trabalhos no campo

da análise contribúıram muito nos estudos de Newton. Wallis foi um dos primeiros a discutir

as cônicas como sendo curvas do segundo grau. O śımbolo ∞ (infinito), surgiu após os seusestudos. Ele obteve resultados para o cálculo e seus métodos eram mais aritméticos do que

geométricos.

Wallis empenhou-se em determinar π buscando uma expressão para π buscando

uma expressão para a área,π4 ,de um quadrante do ćırculo x2 + y2 = 1. Isso

equivale a calcular o limite 1

0 (1

−x2)( 12 )dx o que ele não tinha condições de

fazer diretamente, uma vez que desconhecia o teorema geral do bin ômio. [...]o que ele procurava era o valor interpolado dessa lei para n = 12 . (EVES, 2004,

p. 432).

As principais contribuições de Wallis para o cálculo estão relacionadas à teoria da in-

tegração. Foi Wallis quem explicou de maneira satisfatória o significado dos expoentes zero,

negativos e fracionários.

Figura 5: John Wallis.Fonte: Wipikédia

Até aqui, já haviam sido descobertos e desenvolvidos muitos dos conceitos do c álculo como

a existência do limite e conceitos de continuidade. O avanço tecnológico estava acentuado e

havia uma necessidade, segundo Eves (2004), da criação do simbolismo geral como um conjunto

de regras e procedimentos que tornasse o cálculo manipulável e proveitoso. Essa sistematização


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Figura 6: Isaac Newton.Fonte: Wipikédia

tarde sobre ondulatória. Entre os anos de 1673 a 1683, dedicou-se a álgebra e a teoria das

equações. Já em 1679, verificou a teoria da gravitação. Escreveu seu primeiro livro Principia

no verão de 1685, escrevendo outros dois livros logo na sequência. Em 1692, foi acometido de

uma doença, que provocava distúrbios mentais e que durou cerca de dois anos. Depois disso

dedicou boa parte da sua vida em estudando qúımica, alquimia e teologia.

Em 1696, foi inspetor da Casa da Moeda e em 1699 passou a ser diretor da institui ção.

Já em 1703 foi eleito presidente da Royal Society, onde permaneceu até a sua morte. Newton

faleceu em 1727, tendo 84 anos de idade.

1.6 Gottfried Wilhelm Leibiniz

Leibiniz foi o grande gênio universal do século XVII e ”rival”de Newton quando se trata

da invenção do cálculo. Nasceu em 1646, em Leipzig. Aprendeu falar latim por conta própria

e aos doze anos dominava conhecimentos matemáticos, teólogos e filosóficos. Foi nesta época

que ele desenvolveu as primeiras ideias de sua obra Characterstica Generalis. Devido a sua

pouca idade foi negado a ele o t́ıtulo de doutor em leis na Universidade de Leipzig.

Em 1672, quando cumpria uma missão diplomática em Paris, Leibiniz exibiu uma máquina

de calcular para a Royal Society.

O sı́mbolo de um S alongado (śımbolo atual) para a Integral é resultado de seus estudos.


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Figura 7: Gottfried Wilhelm Leibiniz.Fonte: Wipikédia

Ele usou a primeira letra latina summa (soma), para indicar uma soma de indiviśıveis. As

notações que usamos ainda hoje para representar derivadas como dx/dy, sendo y = y(x) e

integrais

f (x)dx surgiram através dos escritos de Leibiniz. Dedicou-se pelo resto da vida no

serviço diplomático, falecendo em 1676, a serviço da corte de Hanover.

Até aqui falamos da parte histórica, dos fatores que contribúıram para o desenvolvimento

do cálculo.

Mas afinal, o que é cálculo? Thomas (2003, p. XV) define cálculo como a ”matemática

dos movimentos e das variações”. Para ele, onde há movimento e força sendo empregadas,

também existe o cálculo. Thomas, afirma ainda que o cálculo foi inventado inicialmente para

atender às necessidades matemáticas - basicamente mecânicas - dos cientistas dos séculos XVI

e XVII.

O autor ainda explica que o cálculo diferencial busca calcular as taxas de variação, per-

mitindo que as pessoas definissem os coeficientes angulares, calculassem a velocidade e a acel-

eração de corpos em movimento e determinassem os ângulos. Também, aproveita para ar-

gumentar que o Cálculo Integral lidou com problemas de determinar as funções a partir de

informações a respeito de sua taxa de variação, possibilitando assim:


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[...] que as pessoas calculassem a posição futura de um corpo a partir de sua

posição atual e do conhecimento das forças que atuam sobre ele determinassem

as áreas de regiões irregulares no plano, medissem o comprimento de curvas e

determinassem o volume e a massa de sólidos arbitrários. (THOMAS, 2003, p.

XV).

Boyer (1974) afirma que o pioneiro no desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral

foi Newton (1665-66) e que independentemente a isso, em (1673-76) Leibiniz, chega às mesmas

conclusões. Os dois viam o cálculo separadamente: Newton o via de forma mais geométrica,

enquanto Leibniz o via de forma mais anaĺıtica. Os trabalhos de Leibniz sobre Cálculo Integral

foram publicados em 1684.

O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira

vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690. O Cálculo de Newton foi sim-

plesmente visto como derivadas ”reversas”, ho je conhecidas como Integrais. Na mesma época

da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu o chamado

método das frações parciais.

Sabe-se que primeiramente surgiu o Cálculo Integral e que depois surgiu o Cálculo Difer-

encial. Porém hoje eles são vistos como um sendo a operação inversa.

O século XVII foi um dos séculos mais produtivos na ampliação dos conceitos

matemáticos, graças, em grande parte, às novas e vastas áreas de pesquisa que

nela se abriram. [...] É curioso que o desenvolvimento histórico do cálculo

seguiu a ordem contrária à daquela dos textos e cursos básico sobre o assunto:

ou seja, primeiro surgiu o cálculo integral e só muito depois o cálculo diferencial.

(EVES, 2004, p. 417).

Para o autor, a diferenciação originou-se de problemas relativos às tangentes de curvas

e a determinação de máximos mı́nimos. O cálculo surgiu para atender uma necessidade deresolução de problemas insolúveis na época.

Atualmente diversas áreas do conhecimento utilizam dos conceitos do cálculo integral e

diferencial para provar ou explicar suas teorias.


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2. Cálculo Integral

2.1 O Ensino do Cálculo Integral

Da parte histórica do Cálculo Integral explorada no caṕıtulo anterior, percebe-se que ele

se desenvolveu ao longo do tempo e não foi simplesmente uma descoberta momentânea. Muitos

foram os seus precursores e muitas contribuições foram dadas à sociedade.

Assim, o desenvolvimento do Cálculo Integral está diretamente ligado ao contexto social,

e apresenta uma importante relação com a evolução cientı́fica e tecnológica da sociedade.

De acordo com Frescki e Pigatto (2009), nos séculos XVI e XVII, o cálculo integral teve

seu foco direcionado principalmente ao estudo do cálculo da posição futura de um corpo em

relação a sua posição atual, conhecendo-se as forças atuantes sobre ele; à determinação de

áreas de figuras planas não-regulares, de seu volume e da massa de corpos sólidos; assim como

questões relativas ao comprimento de curvas. Estes estudos se voltavam às tecnologias daquela

época.

No século atual, o estudo do Cálculo Integral continua relacionado, e porque não dizer

fortemente relacionado, aos avanços cientı́ficos e tecnológicos. Neste contexto, Whipkey e Whip-

key (apud SCHLICKMANN, CUSTODIO e SILVA, 2008, p. 32) afirmam que:

a aplicação atual do Cálculo está presente nos problemas que afetam a hu-

manidade, entre os quais podemos citar a construção de modelos abstratos

para o estudo de Ecologia de populações, da Cibernética e seu impacto social

sobre o homem, além das práticas no campo da administração, da economia e

medicina.


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Também Schlickman, Custodio e Silva (2008) enfatizam outros fatos, que relacionados ao

Cálculo, o torna, junto com as tecnologias, um ferramenta essencial para o mundo moderno, a

saber:

[...] a previsão de tempo, fluxo de ar passando por um autom óvel, representação

de imagem da medicina e estrutura do DNA, pois com os avanços na ressonância

magnética é possı́vel verificar a estrutura de moléculas relacionadas com a du-

plicação do DNA, além do controle do comportamento caótico do coração hu-

mano, exploração do espaço profundo e alguns ainda arriscando modelar o

futuro do mundo. (SCHLICKMAN, CUSTODIO E SIVA, 2008, p. 32-33).

Esta relação de caŕater cient́ıfico e tecnoĺogico, talvez seja um dos fatores res-

ponsáveis por introduzir e manter o Cálculo Integral no curŕıculo de muitos cursos superiores.

Assim, o Cálculo Integral tem por finalidade, em conjunto com as demais disciplinas, servir

de base para que muitos conceitos especı́ficos de cada curso de graduação sejam desenvolvidos.

No entanto, uma das exigências do Cálculo é a necessidade de conhecimentos matemáticos

gerais. Neste sentido Stewart (2009, p. XVII) afirma que ”o sucesso no cálculo depende

em grande parte do conhecimento da matemática que precede o cálculo: álgebra, geometria

analı́tica, funções e trigonometria”.

Já Leithold (1994, p. 01) se direciona aos acadêmicos que cursam Cálculo atestando que

“”aprender Cálculo pode ser sua experiência educacional mais empolgante e estimulante pois é

a base para quase toda a Matemática e para muitas grandes realizações no mundo moderno”.

Entretanto, o ensino de Cálculo Integral baseado em métodos tradicionais pode se tornar

um tema de médio ou dif́ıcil entendimento. Aqui, entende-se por forma tradicional aquela que

utiliza o modelo cartesiano de curŕıculo, centrado na exposição teórica e formal que enfatiza a

memorização e a transmissão de conhecimento.

Um modelo pedagógico bastante comum no ensino superior de matemática é

aquele em que a apresentação dos conteúdos é organizada nos moldes de sua

estrura formal. Em particular, os conceitos são introduzidos a partir de sua

definição formal. [...] O comportamento esperado pelos professores é que os

alunos sempre recorram à definição de conceito antes de dar a resposta, mas

não é isso que se observa em geral. (ESCARLATE, p. 02).

Quanto a este aspecto, Moraes e Mendonça (2003, p. 02) destacam que em geral,

”um livro texto é normalmente adotado, aulas expositivas introduzem a teoria ao aluno, exe-


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mplos são resolvidos em sala de aula a fim aplicar a teoria apresentada e exerćıcios e/ou prob-

lemas são propostos com o intuito de solidificar o conhecimento”.

Skovsmose (2000), faz menção de que em algumas de suas observações sobre o ensino

da Matemática pode evidenciar que o ensino enquadra-se no “”paradigma do exerćıcio”, onde

o professor apresenta idéias e técnicas matemáticas e em seguida os alunos trabalham com

exerćıcios selecionados. Geralmente estes exerćıcios, constantes nos livros didáticos, tiveram

sua formulação realizada por “”uma autoridade externa à sala de aula”o que denota que a

importância ou relevância dos exerćıcios não faz parte da aula. Para ele, desafiar o paradigma

do exerćıcio, pode significar para alguns professores sair da “”zona de conforto”para a “”zona

de risco”. Isso tudo porque historicamente o professor é visto como detentor de todo o saber e

não como uma facilitador ou ainda como uma ”ponte”que permite a ligação entre o conteúdo

cientı́fico e o estudante.

Na visão de D’Ambrósio (1998, p. 69), o ponto central do ensino é a “”passagem do

curŕıculo cartesiano, estruturado previamente à prática educativa, a um curŕıculo dinâmico,

que reflete o momento sociocultural e a prática educativa inserida”.

O currı́culo dinâmico defendido por D’Ambrósio pode ser alcançado ao se reestruturar

os métodos pedagógicos de ensino de Cálculo Integral, ou seja, pensar em novas alternativas

metodológicas, que contemplem os aspectos teóricos e formais, mas que também tratem dos

aspectos históricos e evidenciem suas aplicações nas diferentes áreas do conhecimento.

Para Junior (2006) a abordagem de conceitos matemáticos por meio de situações-problema

pode justificar o ensino, servir de motivação, ou contribuir para o fortalecimento de conceitos

ensinados.

[...] a maioria das pessoas sente-se mais motivada ao estudo quando é capaz

de perceber que o conhecimento adquirido será útil para sua vida. Portanto,

acreditamos que partir de um problema para chegar a um conceito matem ático

é muito mais significativo para o aluno. (JUNIOR, 2006, p. 84).

Ferruzzi (2003, p. 38) destaca a importância de aplicar os conhecimentos matemáticos e

a necessidade de avaliar os resultados obtidos:


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A simples memorização de conceitos matemáticos não garante o reconheci-

mento de uma situação problema e da aplicação dos conceitos necessários para

solucioná-la. É importante desenvolver nos alunos a capacidade de aplicação

dos conhecimentos matemáticos em situações do dia-a-dia, e mais do que isso,

é preciso que os estudantes desenvolvam a capacidade de refletir acerca dos

resultados destas aplicações.

De acordo com Frescki e Pigatto (2009, p. 05), “”é de extrema importância que os alunos,

ao cursarem a disciplina de Cálculo, aprendam não só a resolver expressões ou equações, mas que

compreendam a sua finalidade aplicada à realidade, resolvendo problemas que são de interesse

social”.

Para salientar a importância de apresentar aplicações dos conteúdos do Cálculo, e, por-

tanto, do Cálculo Integral, Ferruzzi (2003, p. 37) elenca:

Uma das indagações feitas pelos alunos, geralmente é sobre a falta de visão da

aplicabilidade dos conteúdos matemáticos estudados, em sua vida acadêmica e

futuramente em sua vida profissional. Geralmente as disciplinas com conteúdo

matemático, entre elas o Cálculo, são tratadas de forma independente das dis-

ciplinas especı́ficas da área, provocando assim, a falta de visão de aplicação

da Matemática em seu curso e possuem a caracteŕıstica da ênfase ser dada

às técnicas de resolução, não levando em conta a elaboração dos conceitos e

ignorando as aplicação em cada área.

De modo geral, o Cálculo Integral é uma ferramenta que proporciona a resolução de

inúmeros problemas do mundo moderno e possui aplicações em muitas áreas do conhecimento,

como na Matemática, na F́ısica, na Qúımica, na Psicologia, nas Engenharias, nas Ciências

Sociais, entre outras.

Então, mostrar a aplicabilidade do Cálculo Integral nos cursos superiores talvez seja um

diferencial que contribua para minimizar as dificuldades no processo de aprendizagem e resgatar

a motivação em aprender conceitos relativos a este tema.

Com este propósito, no caṕıtulo seguinte serão exploradas aplicações do Cálculo Integral

em diversas áreas do conhecimento.


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3. Aplicações de Integral nas Diversas

Áreas

Este capı́tulo está voltado às aplicações do Cálculo Integral em algumas áreas do co-

nhecimento. Para tanto, vamos primeiramente apresentar alguns conceitos relativos a integrais

e em sequência resolver algumas aplicações.

3.1 A Integral Indefinida

Segundo afirma Stewart (2009), em virtude da relação dada pelo Teorema Fundamental

do Cálculo entre as funções primitivas e integrais a notação

f (x)dx é tradicionalmente usada

para a primitiva de f e é chamada de integral indefinida. Portanto temos que:

f (x)dx = F (x)

significa que F (x) = f (x).

Segundo Flemming (1992, p. 329) podemos definir a Integral Indefida como: ”uma

função F (x) é chamada uma primitiva da função f (x) em um intervalo I (ou simplesmenteuma primitiva de f (x), se para todo x ∈ I , temos F (x) = f (x)”.

Vejamos algunas aplicações de Integral Indefinida:


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Economia

Ex 3.1.1 Um produtor descobre que o custo marginal é de 3q 2 − 60q + 400 u.m. por

unidade, quando q unidades do produto são produzidas. O custo total de produzir as primeiras

2 unidades é de R 900,00. Qual é o custo total de produzir as primeiras 5 unidades?

Resolução: O custo marginal é a derivada da função custo total C (q ). Assim temos

C (q ) = 3q 2 − 60q + 400 e portanto C(q) deve ser a antiderivada (integral)dada por:

C (q ) =

C (q )dq =

(3q 2 − 60q + 400)dq = q 3 − 30q 2 + 400q + C , onde C é uma

constante que precisamos encontrar.

Sabendo que para 2 unidades o custo é R 900,00 ou seja, C (2) = 900, podemos encontrar

o valor de C, fazendo

900 = (2)3 − 30(2)2 + 400(2) + C , o que implica C = 212.

Assim, C (q ) = q 3 − 30q 2 + 400q + 212.

Agora podemos descobrir o custo de produção para as primeiras 5 unidades:

C (5) = (5)3 − 30(5)2 + 400(5) + 212 C (5) = 1587, 00

Referência:

HOFFMANN e BRANDLEY (1999) p. 254.

Crescimento Populacional

Ex 3.1.2 Estima-se que daqui a x meses a população de uma certa cidade estará variando

a uma taxa de 2 + 6√

x pessoas por mês. A população atual é de 5 000. Qual será a populção

daqui a 9 meses?


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22

S (t) =

dS

dt dt =

(100− 20t)dt = 100t− 10t2 + C , para alguma constante C.

Precisamos descobrir a variável C. Como no instante em que o embarque chega (t = 0) o

custo não existe, então

0 = 100(0)− 10(0)2 + C , o que implica em C = 0 e a função dada por S (t) = 100t− 10t2.

Após 5 meses de armazenamento o custo será

S (5) = 100(5)− 10(5)2 = 250, 00.

Referência:

HOFFMANN E BRANDLEY (1999) p. 254.

Fı́sica

Ex 3.1.4 Após a aplicação dos freios, um carro desacelera a uma taxa constante de 22 pés

por segundo. Se o carro está viajando a 45 milhas por hora (66 pés por segundo) no momento

em que os freios são aplicados, que distância ele percorre antes de parar por completo?

Resolução: Seja s(t) o deslocamento (distância) do carro t segundos após os freios serem

aplicados. Porquanto o carro desacelera a 22 pés por segundo, segue-se que a(t) = −22. Comoa(t) =

dv

dt, então integrando esta equação encontramos:

v(t) = −22dt = −22t + C 1Para calcular C 1 note que v = 66 quando t = 0, de modo que 66 = v(0) = −22(0) + C 1 e

portanto, C 1 = 66. Assim a velocidade no instante t é v(t) = −22t + 66.

Em seguida, para encontrar o deslocamento s(t), vamos usar o fato de que

ds

dt = v(t) = −22t + 66.


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24

limmaxxk→0

nk=1

f (x∗k)xk existir

e não depender da escolha das partições ou da escolha dos pontos x∗k nos subintervalos.

Neste caso, denotamos o limite pelo śımbolo

ba

f (x)dx = limmaxxk→0

nk=1

f (x∗k)xk

que é denominado de integral definida de f de a até b. Os números a e b são denominados

limite de integração inferior e limite de integração superior, respectivamente, e f (x) é

denominado integrando.

Para Stewart (2009, p. 345) o significado da definição de integral é:

Para todo número ε > 0 existe um inteiro N tal que | ba

f (x)dx−n

i=1

f (x∗i )x |< ε paratodo inteiro n > N e toda escolha de x∗i em [xi−1, xi].

Um resultado importante da integral definida é o Teorema Fundamental do Cálculo

(TFC).

Flemming (1992, p. 368) lembra que ”o Teorema Fundamental do Cálculo nos permite

relacionar as operações de derivação e integração”. Isso porque conhecendo uma primitiva

de uma função contı́nua f : [a, b] → R, podemos calcular a sua integral definida ba

f (t)dt.

Formalmente, o TFC pode ser definido:

Teorema 1 (Teorema Fundamental do C´ alculo)

Se f for cont́ınua sobre [a, b] e se F é uma primitiva de f neste intervalo, ent˜ ao

ba

f (t)dt = F (b)− F (a).

Vamos ver algumas aplicações da integral definida:


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Economia

Ex 3.2.1 Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para

descrever a distribuição de renda entre as famı́lias em um dado páıs. Tipicamente uma curva

de Lorenz é definida no intervalo [0,1], tem extremidades (0,0) e (1,1) e é cont́ınua, crescente

e côncava para cima. Os pontos sobre essa curva são determinados classificando-se todas as

famı́lias pela renda e então calculando a porcentagem de famı́lias cuja renda é menor ou igual

a uma porcentagem dada da renda total do páıs. Por exemplo, o ponto(a/100, b/100) está

sobre a curva de Lorenz se a% de famı́lias recebe menos do que ou igual a b% da renda total.

A igualdade absoluta da distribição de renda ocorreria se a parte mais baixa a% das faḿılias

recebesse a% da renda e, nesse caso a curva de Lorenz seria a reta y = x. A área entre a curva

de Lorenz e a reta y = x mede quanto a distribuição de renda difere da igualdade absoluta. O

coeficiente de desigualdade é a razão da área entre a curva de Lorenz e a reta y = x para a área

sob y = x

(a) Mostre que o coeficiente de desigualdade é o dobro da área entre a curva de Lorenz

e a reta y = x, isto é, mostre que o coeficiente de desigualdade C d é definido por C d =

2

10

[x− L(x)]dx.

A área entre a curva de Lorenz e a reta y = x é dada por

10

[x− L(x)]dx.


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A área abaixo da curva é dada por

10

xdx.

Assim, o coeficiente de desigualdade C d será:

C d = 10 [x− L(x)]dx 1

0

xdx

C d =

10

[x− L(x)]dx1

2

C d = 2 1

0

[x

−L(x)]dx

(b) A distribuição de renda para um certo paı́s está representada pela curva de Lorenz

definida pela equação L(x) = 5

12x2 +

7

12x. Qual é a porcentagem da renda total recebida pelas

50% das faḿılias que recebem menos? Encontre o coeficiente de desigualdade.

Usando que L(x) = 5

12x2 +

7

12x e que L(50%) = L(1/2), temos

L(1/2) = 5

12

.1

4

+ 7

12

.1

2

L(1/2) = 19

48 0, 396.

Então o coeficiente de desigualdade C d será

C d = 2

10

[x− L(x)]dx = 2 10

x− ( 5

12x2 +

7

12x)

dx

C d = 2 1

0x−

5

12

x2

− 7

12

x dxC d =

5

36

Referência:

STEWART (2009) p. 374.


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27

Ex. 3.2.2 Suponha que daqui a x anos, um plano de investimentos estará gerando lucro a

uma taxa de R1x = 50 + x2 u.m.(unidades monetárias) por ano, enquando um segundo plano

estará gerando lucro a uma taxa de R2x = 200 + 5x u.m. (unidades monetárias) por ano.

(a) Por quantos anos o segundo plano será mais lucrativo que o primeiro?

(b) Calcule o seu lucro ĺıquido excedente se você investir no segundo plano em vez de no

primeiro pelo peŕıodo de tempo do item (a).

(c) Interprete o lucro excedente no item (b) como uma área entre as curvas.

Resolução: Para ajudar a visualização da situação, começamos esboçando as curvas

y = R1(x) e y = R2(x) como mostra a figura:

(a) Como o gráfico indica a taxa R2(x) na qual o segundo plano gera lucro é ini-

cialmente maior que a taxa R1(x) na qual o primeiro plano gera lucro, o segundo plano será

mais lucrativo até que R1(x) = R2(x), isto é, até que

50 + x2 = 200 + 5x

x2 − 5x− 150 = 0

(x− 15)(x + 10) = 0

x = 15 anos (despreze x = −10)


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(b) Para 0 ≤ x ≤ 15, a taxa na qual o lucro gerado no segundo plano excede o primeiro éde R2(x)−R1(x) u.m. por ano. Portanto, o lucro lı́quido gerado durante o peŕıodo de 15 anospelo segundo plano é dada pela integral definida

150

[R2(x)−R1(x)]dx = 150

[(200 + 5x)− (50 + x2)]dx 150

[R2(x)−R1(x)]dx = 150

[150 + 5x− x2]dx = 1678, 50

(c) Em termos geométricos, a integral definida que fornece o lucro ĺıquido excedente do

item (b) é a área da região sombreada da figura, entre as curvas y = R2(x) e y = R1(x) de

x = 0 at́e x = 15.

Referência:


Medicina

Ex. 3.2.3 A respiração é ćıclica é um ciclo completo que começa pela inalação e acaba

pela exalação, durante cerca de 5 s. A taxa máxima do fluxo de ar para dentro dos pulmões

é e cerca de 0,5 L/s. Isso explica, em parte, por que a função f (t) = 1

2sen(2π/5) tem sido

frequentemente usada para modelar a taxa de fluxo de ar para dentro dos pulmões. Use esse

modelo para encontrar o volume de ar inalado nos pulmões no instante t.

O volume de ar inalado para dentro dos pulmões num tempo t qualquer é:

V (t) =

t0

f (x)dx =

t0

1

2sen(

2πx

5 )dx (1)

Chamando u = 2πx

5 temos du =

2π

5 dx. Substituindo em (1), temos:

V (t) = 1

2

t0

senu. 5

2πdu

V (t) =

1

2 .

5

2π t0 senudu


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29

V (t) = 5

4π.(−cosu)|t0

V (t) = −5

4π cos

2πt

5

+ 1 litros

Referência:

STEWART (2009) p. 382.

Ex. 3.2.4 O método da diluição do contraste é usado para medir a capacidade card́ıaca com

6 mg de contraste. As concentrações de contraste, em mg/L, são modeladas por c(t) = 20te−0,6t,

0

≤t

≤10, na qual t é medido em segundos. Calcule a capacidade cardı́aca.

A capacidade cardı́aca é definida como F = A

I , sendo A o contraste e I =

t0

C (t)dt.

Calculando a integral

I =

t0

C (t)dt = 20

100

te−0,6tdt

Chamando u = t, du = dt, dv = e−0,6t e v = −e−0,6t

0, 6 , temos

I = 20

−t0, 6

e−0,6t + 1

0, 6

10

e−0,6tdt

I = 20

−t0, 6

e−0,6t − 10, 36

e−0,6t|100

I 20[(−0, 04− 6, 88.10−3)− (0− 2, 77)] 54, 46

Logo, a capacidade card́ıaca é F = A

I

= 6

54, 46 0, 11 L/seg ou 6,6 L/min

Referência:

STEWART (2009) p. 524.

Administração


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30

Ex. 3.2.5 A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para

fabricar uma nova calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após semanas é dx

dy =

5000

1− 100

(t + 10)2

calculadoras por semana. (Observe que a produção tende a 5 000 por

semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa, pois os trabalhadoresnão estão familiarizados com as novas técnicas.) Ache o número de calculadoras produzidas do

começo da terceira semana até o fim da quarta semana.

Resolução: O número de calculadoras pode ser encotrado resolvendo:

x(4)− x(2) = 42

5000

1− 100

(t + 10)2

dt

x(4)− x(2) = 5000 42

(1− 100(t + 10)−2)dt

x(4)− x(2) = 5000(t + 100(t + 10)−1)42

x(4)− x(2) = 4048 calculadoras.

Referência:

STEWART (2009) p. 383.

Ex. 3.2.6 Uma empresa possui uma máquina que se deprecia uma taxa cont́ınua f = f (t),

onde t é o tempo medido em meses desde seu último recodicionamento. Como cada vez em

que a máquina é recondicionada incorre-se em um custo fixo A, a empresa deseja determinar o

tempo ótimo T (em meses) entre os recondicionamentos.

(a) Explique porque 1

0

f (s)ds representa a perda do valor da máquina sobre o perı́odo

de tempo T desde o último recondicionamento.

Resolução: Seja F (t) =

t0

f (s)ds. Do TFC temos, F (t) = f (t) = taxa de depreciação.

Assim, F (t) representa a perda do valor no intervalo [0, t].

(b) Seja C = C (t) dado por C (t) = 1

t[A +

10

f (s)ds] o que representa C e por que a

empresa que minimizar C ?


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Resolução: Temos que

C (t) = 1

t

A +

t0

f (s)ds

= A +

F (t)

t , que representa a média de recondicionamentos

por unidade de tempo durante o intervalo [0, t], assumindo que só há uma revisão naquele

peŕıodo de tempo. A empresa deseja minimizar a média de recondicionamentos.

(c) Mostre que C em um valor mı́nimo nos números t=T onde C (T ) = f (T ).

Resolução: Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da derivada do produto,

temos:

C (t) = 1

t2 A + t

0

f (s)ds = 1

tf (t)

C (t) = 1

t (f (t)− f (0)) = 1

tf (t)

Vamos encontrar os pontos cŕıticos, fazendo C (t) = 0, ou seja

tf (t) = A +

t0

f (s)ds

f (t) = 1

t A + t

0

f (s)ds = C (t).Logo, C tem um valor mı́nimo em t = T , onde C (T ) = f (T ).

Referência:

STEWART (2009) p. 366.

Fı́sica

Ex. 3.2.7 Uma part́ıcula move-se ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua

velocidade no instante t é v(t) = t2 − 2t m/s.

(a) Encontre o deslocamento da part́ıcula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 3.

Resolução: Calculando o deslocamento


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d =

30

v(t)dt

d =

30

(t2 − 2t)dt

d =

t3

3 − t2

3

0

= 0

Assim, em t = 3, a part́ıcula está na mesma posição que em t = 0.

(b) Encontre a distância total percorrida pela part́ıcula no intervalo 0 ≤ t ≤ 3.

Resolução: A velocidade pode ser escrita como v(t) = t2 − 2t = t(t− 2t), logo v(t) ≤ 0se 0

≤t

≤2 se 2

≤t

≤3. Desse modo, segue que a distância total percorrida é

d =

30

|v(t)|dt

d =

20

−v(t)dt + 32

v(t)dt

d =

20

−(t2 − 2t)dt + 32

(t2 − 2t)dt

d = −t3

3 − t22

0+t3

3 − t23

2

d = 4

3 +

4

3 =

8

3 m.

Referência:

ANTON (2007) p. 411.

Astronomia

Ex. 3.2.8 O peso de um astronauta (ou, mais precisamente, seu peso terrestre) é a força

exercida sobre ele pela gravidade da Terra. À medida que o astronauta se move para cima no

espaço, a atração gravitacional da Terra decresce e, portanto, o mesmo acontece com raio de

4.000 milhas (cerca de 6.400 km), então, um astonauta que pesa 150 libras (cerca de 68 kg) na


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Terra terá um peso de

w(x) = 2.4000.000.000

x2 lb, x ≥ 4000.

A uma distância de x milhas do centro da Terra. Use essa fórmula para determinar o

trabalho em pés-libras necessário para elevar o astronauta a um ponto que está a 800 milhas

acima da superf́ıcie da Terra.

Como a Terra tem um raio de 4 000 milhas, o astronauta será elevado para um ponto

a 4 800 milhas do centro da Terra. Como 1 milha = a 5 280 pés, o trabalho necessário para

elevá-lo é:

W = 48004000

2400000000x2

dx

W =

−2400000000x

48004000

W = −500000 + 600000

W = 100000 milhas.lb

W = (100000) milhas.lb x 5280 pés/milhas

W = 5, 28 x 108 ṕes.lb

Referência:

ANTON (2007) p. 485.

Engenharia

Ex. 3.2.9 Água está sendo bombeada de um tanque a uma taxa de 5−5e−0,12t litros/minuto,onde t está em minutos a partir do instante em que a bomba foi ligada. Se o tanque continha

1000 litros de água quando a bomba foi ligada, quanta água resta no tanque uma hora depois?


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Resolução: Seja V (t) o volume de água que é bombeada para fora do tanque. Seja

V (0) = 1000l o volume inicial, ou seja, o volume total do tanque antes de iniciar o bombeamento.

Vamos calcular o volume de água que saiu do tanque em 1 hora, ou seja, 60 minutos:

V (60) =

60

0

(5− 5e−0,12t)dt

V (60) =

5t +

5

0, 12e−0,12t

600

V (60) (300 + 0, 031)− (0 + 41, 67)

V (60) 258, 36 litros

Assim, restam 741,63 litros de água aproximadamente no tanque, já que V (0)− V (60) =1000− 258, 36 = 741, 63

Referência:

HALLET (2004) p. 213.

Economia

Ex.3.2.10 Encontre os valores presente e futuro de um fluxo de renda constante de

1000,00 durante um peŕıodo de 20 anos, supondo que a taxa de juros de 10% é composta

continuamente.

Resolução: O valor presente P (t) é encontrado utilizando a fórmula P (t) = ba

A(t)eidt,

onde A(t) é o valor inicial e i a taxa de juros.

O valor presente será

P (t) =

200

1000e−0,1tdt

P (t) = 1000−e−0,1t0, 1

20

0


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3.3 A Integral Como Variação Total

Segundo Stewart (2009), em decorrência do Teorema Fundamental do Cálculo, podemos

ter um teorema que representa a taxa de variação de y = F (x) em relação a x e F (b)−

F (a)

que é a variação em y quando x varia de a até b.

Teorema 2 (Teorema da Variaç˜ ao Total - TVT)

A integral de uma taxa de variaç˜ ao é a variaç˜ ao total:

ba

f (x)dx = F (b)− F (a)

Vejamos algumas aplicações:

Biologia

Ex 3.3.1 Uma colmeia com uma população inicial de 100 abelhas cresce a uma taxa de

n’(t) abelhas por semana. O que 100 +

15

0

n(t)dt representa?

Resolução:

150

ntdt = n(15)− n(0).

Como n(0) é a população inicial de abelhas, então n(0) = 100.

Assim, P (t) =

150

ntdt = n(15) − 100 representa o aumento da população de abelhas

nas 15 primeiras semanas. Então,

P (t) = 100 +

150

ntdt = n(15) representa a população total de abelhas depois de 15

semanas.

Referência:

STEWART (2009) p. 373.


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Ex. 3.3.2 Uma população de bactérias tem inicialmente 400 bactérias e cresce a uma taxa

de r(t) = (450268)e1,1256t bactérias por hora. Quantas bactérias existirão após 3 horas?

Resolução: A fórmula geral de r(t) é r(t) = aebt. Neste caso, a = 450268 e b = 1, 1256

e n(t) representa a população de bactérias após t horas. Como r(t) = n(t), então

n(t) =

30

r(t)dt = n(3)− n(0) o que expressa a população total após 3 horas.

Sabendo que a população inicial é de 400, isto é, n(0) = 400, temos

n(3) = 400 +

30

450268e1,1256tdt

n(3) = 400 +450268

1, 1256 e1,1256t

30

n(3) 11.311.877 bactérias.

Referência:

STEWART (2009) p. 382.

Engenharia

Ex. 3.3.3 A água escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de

r(t) = 200− 4t litros por minutos, onde 0 ≤ t ≤ 50. Encontre a quantidade de água que escoado taque durante os primeiros 10 minutos.

Resolução: Como r(t) é a taxa de escoamento da água, usando o TVT, temos com o

tempo t variando de 0 a 10:

Q(t) =

100

r(t)dt

Q(t) =

100

(200− 4t)dt

Q(t) = (200t−

2t2)100


41/66

38

Q(t) = 1800 litros de água escoados nos primeiros 10 minutos.

Referência:

STEWART (2009) p. 374.

Economia

Ex. 3.3.4 A função custo marginal C (x) foi definida como a derivada da função custo.

Se o custo marginal para produzir x metros de um tecido é C (x) = 5 − 0, 008x + 0, 000009x2

(medido em dólares por metro) e o custo fixo é C (0) = 20000, 00, use o Teorema da Variação

Total para achar o custo de produzir as primeiras 2 mil unidades.

Resolução: C (2000)− C (0) = 20000

C (x)dx, sendo C (x) a função custo.

Sendo o custo fixo C (0) = 20000, 00, então

C (2000) = 20000 + 2000

0

(5− 0, 008x + 0, 000009x2)dx

C (2000) = 20000 + (5x− 0, 004x2 + 0, 000003x3)20000

C (2000) = 38000 unidades monetárias.

Referência:

STEWART (2009) p. 523.

Ex. 3.3.5 Sendo a função marginal R(x) como a derivada da função rendimento R(x),

onde x é o número de unidades vendidas. O que

50001000

R(x)dx representa?

Resolução: Temos que

50001000

R(x)dx = R(5000)−R(1000), que reprensenta o aumentono rendimento quando a venda varia de 1000 a 5000 unidades.


42/66

39

Referência:

STEWART (2009)p.373

Biologia

Ex 3.3.6 Um verão úmido está causando uma explosão da população de mosquitos em

uma cidade tuŕıstica. O número de mosquitos aumenta a uma taxa estimada de 2200 + 10e0,8t

por semana (com t medido em semanas). Em quanto aumenta a população de mosquitos entre

a quinta e a nona semana do verão?

Resolução: n(9)− n(5) = 95

2200 + 10e0,8t

dt

Seja n(t) o número de mosquitos na semana t. Assim como queremos encontrar o aumento

da população entre t = 5 e t = 9, temos:

n(9)− n(5) =

2200t + 10

0, 8e0,8t

95

n(9)− n(5) =

2200.9 + 10

0, 8e0,8.9

−

2200.5 + 10

0, 8e0,8.5

n(9)− n(5) 24860 mosquitos.

Referência:

STEWART (2009) p. 524.

3.4 A Integral Via Regra do Ponto Médio

Sterwart (2009) afirma que frequentemente escolhemos um espaço amostral x∗i , como

extremidade direita do i-ésimo intervalo, porque isso é conveniente para o cálculo do limite.

Mas se o propósito for encontrar uma aproximação para uma integral, se torna conveniente


43/66


44/66

41

E i = 2 + 10 + 24 + 36 + 46 + 54 = 172 toneladas.

As informações contidas na tabela podem ser representada graficamente por

Figura 8: Leituras das taxas de erupção.Fonte: Elaborado pela autora

(b) Use a regra do ponto médio para estimar Q(6).

Resolução: Usando a Regra do Ponto Médio e n = 3, temos:

t = 6− 03

= 2

Q(6) =

60

r(t)dt

Q(6) 2.(r(1) + r(3) + r(5))

Q(6) = 2.(10 + 36 + 54)

Q(6) = 200 toneladas.

Referência:

STEWART (2009) p. 374.


45/66

42

Medicina

Ex. 3.4.2 Uma tomografia computadorizada produz vistas e secções trasversais igualmente

espaçadas de um órgão humano, as quais fornecem informções sobre esse órgão que de outra

maneira só seriam obtidas por cirurgia. Suponha que uma tomografia computadorizada de

um f́ıgado humano moste secções transversais espaçadas por 1,5. O f́ıgado tem 15 cm de

comprimento e as áreas das secções tansversais, em cent́ımetros quadrados, são 0, 18, 58, 79,

94, 106, 117, 128, 63, 39 e 0. Use a Regra do Ponto Médio para estimar o volume do tronco.

Resolução: Usando a regra do ponto médio, sabendo que há 10 subintervalos de tamanho

1,5 cm, vamos usar n2

= 102

= 5 subpartições. Assim, o volume do f́ıgado pode ser aproximado

por

V =

150

A(x)dx, onde A(x) é a área do f́ıgado.

V 3(A(1, 5) + A(4, 5) + A(7, 5) + A(10, 5) + A(13, 5))

V = 3(18 + 79 + 106 + 128 + 39)

V = 1110cm3

Referência:

STEWART (2009) p. 406.

Engenharia

Ex. 3.4.3 É mostrada a seção transversal da asa de uma avião. As medidas da espessura

da asa a cada 20 cent́ımetros são 5,8, 20,3, 26,7, 29,0, 27,6, 27,3, 23,8, 20,5, 15,1, 8,7 e 2,8. Use

a Regra do Ponto Médio para estimar a área da seção trasversal da asa.

Resolução: Temos 10 intervalos de 20 cm cada. Logo, tomando n = 5:


46/66

43

s = 10.20− 05

= 40 cm, com s a variação do espaço.

Assim,

2000

wds 40.(5, 8 + 26, 7 + 27, 3 + 20, 5 + 8, 7) 2000

wds 3660 cm2

Referência:

STEWART (2009) p. 396.

Ex. 3.4.4 Há um fluxo de água para dentro e para fora de um tanque de armazenamento.

A seguir, temos um gráfico que mostra a taxa de troca r(t) do volume de água no tanque, em

litros por dia. Se a quantidade de água no tanque no instante de tempo t = 0 é 25 000 litros,

use a Regra do Ponto Médio para estimar a quantidade de água depois de 4 dias.

Resolução: A quantidade de água após 4 dias é:

Q(t) = 25000 +

40

r(t)dt

Q(t) 25000 + M 4, onde M 4 = média de água por dia.

Assim, dividindo o intervalo [0, 4] em 4 partições, temos:

Q(t) = 25000 + 40

r(t)dt


47/66

44

Q(t) 25000 + 4 − 04

(r(0, 5) + r(1, 5) + r(2, 5) + r(3, 5))

Q(t) 25000 + [1500 + 1700 + 750 − 650]

Q(t) 28320 litros

Portanto, a quantidade de água após o quarto dia será de 28 320 litros aproximadamente.

Referência:

STEWART (2009) p. 374.

Ex. 3.4.5 As larguras (em metros) de uma piscina com o formato de rim foram medidas

a intervalos de 2 metros, como indicado na figura. Use a Regra do Ponto Médio para estimar

a área da piscina.

Vamos usar uma partição n = 4. Como as medidas são indicadas de 2 em 2 metros, então

a variação total x = b− an

= 8.2− 0

4 = 4, sendo x a distância.

Assim,

A =

16

0

wd(x)


48/66

45

A = 4(6, 2 + 6, 8 + 5, 0 + 4, 8)

A = 4(22, 8)

A = 91, 2m2

Referência:

STEWART (2009) p. 396.

3.5 A Integral Imprópria

Hallet et al. (2004, p. 271) apresenta a integral imprópria da seguinte maneira:

Definiç˜ ao:

i) Suponha que f (x) é positiva para x ≥ a.

Se limb→∞

ba

f (x)dx é um número finito, dizemos que

∞

a

f (x)dx converge e definimos

∞

a

f (x)dx = limb→∞

ba

f (x)dx.

Caso contrário, dizemos que

∞

a

f (x)dx diverge.


49/66

46

Definimos

a−∞

f (x)dx de maneira análoga.

Vejamos as aplicações:

Psicologia

Ex. 3.5.1 Em um experimento psicológico, descobre-se que a proporção de participantes

que exigem mais do que t minutos para terminar determinada tarefa é dada por

∞

t

0, 07e−0,07udu.

(a) Encontre a proporção de participantes que precisa de mais de 5 minutos para terminar

a tarefa.

Resolução: vamos considerar P (u) = porção de participantes

P (u) =

∞

t

0, 07e−0,07udu

P (u) = limb→+∞ bt 0, 07e

−0,07u

du

P (u) = limb→+∞

(e−0,07u)b5

P (u) = limb→+∞

e−0,07b + e−0,07.5

P (u) 0, 70 70% dos pacientes precisam de mais de 5 minutos para realizar a tarefa.

Referência:


Quı́mica

Ex. 3.5.2 Uma substância radioativa decai exponencialmente: a massa no tempo t é


50/66

47

m(t) = m(0)ekt, onde m(0) é a massa inicial e k, uma constante negativa. A vida média M de

um átomo na substância é

M = k

∞

0

tektdt.

Para o isótopo radiativo de carbono, C 14, usado para a datação, o valor de k é −0, 000121.Calcule a vida média de um átomo de C 14.

Resolução: Vamos calcular a integral I =

∞

o

tektdt. Usando o método de integração

por partes, chamando u = t e dv = ektdt, temos

I = limb→+∞

b

o

tektdt

I = limb→+∞

t.ekt

k

b0

− 1k

b0

ektdt

I = limb→+∞

t

kekt − 1

k2ektb

0

I = limb→+∞

b

kekb − 1

k2

−

0 + 1

k2e0

I = limb→+∞

b

k ekb − 1

k2ekb − 1

k2 +

I = 1

k2, usando L’Hospital e considerando k


51/66

48

Resolução: Por conveniência, vamos supor que o ćırculo esteja centado na origem; nesse

caso, sua equação será x2 + y2 = r2. Encontraremos o comprimento de arco da parte do ćırculo

que está no primeiro quadrante e, então, vamos multiplicá-lo por 4 para obter a circunfer̂encia

total. Como a equação do semicı́rculo superior é y =√

r2

−x2, temos, a patir da fórmula, que

a circunferência C é

C = 4

r0

1 + (dy/dx)2dx

C = 4

r0

1 +

x√ r2 − x2

2dx

C = 4r r

0

dx

√ r2

− x2

Essa integral é imprópria por causa da descontinuidade infinita em x = r, de modo que

para calcularmos escrevemos:

C = limk→r−

k0

√ r2 − x2dx

C = 4r limk→r−

arcsen

xr

k0

C = 4r limk→r−

arcsen

kr

− arcsen0

C = 4r[arcsen1− arcsen0]

C = 4rπ

2 − 0

= 2πr.

Referência:

ANTON (2007) p. 575.

Medicina

Ex. 3.5.4 Um paciente de um hospital recebe 5 unidades intravenosas de uma certa droga

por hora. A droga é eliminada exponencialmente, de modo que que a fração que permanece


52/66

49

no corpo do paciente por t horas é f (t) = e−t10 . Se o tratamento continua indefinidamente,

aproximandamente quantas unidades da droga estarão no corpo do paciente a longo prazo?

Resolução: N (t) é o número de unidades da droga que permanece no corpo do paciente

e r(t) = 5 é a taxa da droga injetada no paciente por hora. Temos então

N (t) =

+∞0

5e−t10 dt

N (t) = limb→+∞

5

b0

e−t10 dt

N (t) = limb→+∞

−5.10e−t10

b0

N (t) = limb→+∞

−50(e−b10 − 1)

N (t) = 50 unidades da droga.

Referência:


Economia

Ex. 3.5.5 Estima-se que, daqui a t anos, uma determinada usina nuclear estará produzindo

rejeito radioativo a uma taxa de f (t) = 400t libras por ano. O rejeito decai exponencialmente

a uma taxa de 2% ao ano. O que acontecerá com o estoque radioativo da usina a longo prazo?

Resolução: Para encontrar a quantidade de rejeito radioatvo presente após N anos,

divida o intervalo de N anos em n subintervalos iguais de comprimento t e faça t j denotaro ińıcio do j-ésimo subintervalo. Então, o montante de reśıduo produzido durante o j-ésimo

subintervalo 400t jt.

Como o rejeito decai exponencialmente a uma taxa de 2% ao ano, e como há (N − t j)anos entre os instantes t = t j e t = N , seque-se que o montante de resı́duos produzidos durante


53/66

50

o j-ésimo subintervalo ainda presente em t = N é 400t je−0,02(N −t)t.

Assim, o montante de reśıduos presente em N anos será

limn→∞

n

j=1

400t je−0,02(N −tj)

t =

N

0

400te−0,02(N −t)dt

limn→∞

n j=1

400t je−0,02(N −tj)t = 400e−0,02N

N 0

te0,02tdt

O montante de rejeito radioativo presente a longo prazo é o limite desta expressão quando

N tende ao infinito. Isto é:

limn→∞

n

j=1

400t je−0,02(N −tj)t = lim

N →∞400e−0,02N

N

0

te0,02tdt

limn→∞

n j=1

400t je−0,02(N −tj)t = lim

N →∞400e−0,02N (50te0,02t − 2500e0,02t)|N 0

limn→∞

n j=1

400t je−0,02(N −tj)t = lim

N →∞400e−0,02N (50Ne0,02N − 2500e0,02N + 2500)

limn→∞

n

j=1 400t je−0,02(N −tj)t = lim

N →∞400e−0,02N (50N − 2500 + 2500e−0,02N ) = ∞

Isto é, a longo prazo a acumulação de rejeito radioativo da usina crescerá indefinidamente.

Referência:


Economia

Ex. 3.5.6 Uma pessoa deseja fazer uma doação para uma faculdade partiular e fará uma

retirada de 7 000 por ano, perpetuamente, de forma a sustentar a operação do seu centro

de computação. Supondo que a taxa de juros anual permaneceŕa fixa em 10% caitalizados

continuamente, quanto deve a pessoa doar a faculdade? Isto é valor presente da doação?


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51

Resolução: Para encontrar o valor presente de uma doação que gera 7 000 por ano

durante N anos, divida o intervalo de N anos em n subintervalos iguais de comprimento t edenote por t j o ińıcio do j-ésimo subintervalo. Então

Montante gerado durante o j-ésimo subinervalo 7000t. Valor presente do motantegerado durante j-ésimo subintervalo 7000e−0,1tjt.

Assim, o valor presente da doação no n-ésimo ano será dado por

limn→∞

n j=1

7000e−0,1tjt = N 0

7000e−0,1tjdt.

Para encontrar o valor presente da doação total, tome o limite desta integral quando N

tende ao infinito. Isto é,

V (t) = limN →∞

N 0

7000e−0,1tdt

V (t) = limN →∞

(−70000e−0,1t)N 0

V (t) = limN →∞

(−70000e−0,1N − 1)

V (t) = 70000 dólares.

Referência:


Fı́sica

Ex. 3.5.7 Calcular o trabalho necessário para lançar um satélite de 1000 kg para fora do

campo gravitacional. Sabendo que a Lei de Newton da Gravitação Universal afirma que dois

corpos com massas m1 e m2 atraem um ao outro com uma força de F = Gm1.m2

r2 m1 é a massa

da Terra (m1 = 5, 98x1024kg), m2 é a massa do satélite (m2 = 1000kg), R é o raio da Terra

(R = 6, 37.106m) e G a constante gravitacional (G = 6, 67.10−11N.m2/kg).


55/66

52

Resolução: O trabalho é dado por W =

ba

F (t)dt.

Neste caso, podemos definir o trabalho W por:

W = ∞R

Gm1m2r2 dr

W = limt→∞

∞

R

Gm1m2r2

dr

W = limt→∞

Gm1m2v

−1r

tR

=

W = limt→∞

Gm1m2

−1t

+ 1

R

W = Gm1m2

R .

Substituindo os dados do problema temos

W = 6, 67.10−11.5, 98.1024.1000

6, 37.106

W 6, 26.1010J .

Referência:

Stewart (2009) p.488, ex 64

3.6 A Integral Como Função Densidade da Probabilidade

Supondo que desejamos saber como uma certa caracteŕıstica x, que pode ser altura, peso

ou idade, está distribuida pela população. Para analisar a caracteŕıstica x, Hallet(2004) afirma

que podemos utizar a função densidade, a qual pode ser definida da seguinte forma:

Definiç˜ ao A função p(x) é uma função densidade se a fração da população para a qual x

está entre a e b é igual a área sob o gráfico de p entre a e b, ou seja,

ba

p(x)dx.

A função densidade possui área máxima quando atinge o valor unitário, isto é,


56/66

53

+∞−∞

p(x)dx = 1 e p(x) ≥ 0 para todo x.

Essa função deve ser não-segativa, pois sua integral sempre resulta em uma fração da

população. Ela também é frequentemente usada para a aproximação de fórmulas.

Já a função densidade da probabilidade, como encontramos em Stewart(2009), surge com

a análise de comportamento aleatório. Afinal podemos escolher aleatoriamente uma pessoa

entre um grupo de pessoas, para um exame, por exemplo. Essa pessoa seria o que vamos

chamar de variável aleatória cont́ınua, uma vez que os valores que estarão representados por

essa pessoa fazem parte de um conjunto de números reais, embora possam ser medidos ou

registrados apenas como um inteiro. Neste caso, podemos considerar que x é o número que

pegamos dentre um intervalo [a, b], então:

P (a ≤ X ≤ b)

Cada variável x aleatória cont́ınua x, tem uma função densidade de probabilidade

f . Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de x estar entre a e b é encontrada pela

integração de f de a até b:

P (a ≤ x ≤ b) =

b

a

f (x)dx.


Economia

Ex. 3.6.1 Suponha que o tempo médio de espera para um cliente ser atendido pelo

funcionário da firma para a qual ele está ligando seja 5 minutos.

(a) Calcule a probabilidadae de a ligação ser atendida no primeiro minuto.

Resolução: Temos que a média da distribuição exponencial é µ = 5 min, e assim,

sabemos que a função densidade de probabilidade é:


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54

f (x) =

0, se t ≤ 00, 2e−t/5, se t ≤ 0

Então a probabilidadae de a ligação ser atendida no primeiro minuto é

P (0 ≤ T ≤ 1) =

1

0

f (t)dt

P (0 ≤ T ≤ 1) = 10

0, 2e−t5 dt = 0, 2(−5)

e−t5

10

P (0 ≤ T ≤ 1) = 1 − e−t5 0, 1813

Assim, cerca de 18% das ligação dos clientes são atendidas durantes o primeiro minutos.

(b) Calcule a probabilidade do consumidor esperar mais que cinco minutos para ser atendido.

Resolução: A probabilidade de o consumidor esperar mais ue cinco minutos é

P (T > 5) =

∞

5

f (t)dt =

∞

5

0, 2e−t5 dt

P (T > 5) = limx→∞

x5

0, 2e−t5 dt

P (T > 5) = limx→∞(e

−1

− e−x5

)

P (T > 5) = 1

e

P (T > 5) 0, 368.

Cerca de 37% dos consumidor esperam mais que cinco minutos antes de terem sua liga ção

atendida.

Referência:

STEWART (2009) p. 528.

Ex. 3.6.2 (a) O rótulo de um tipo de lâmpada indica que ela tem uma vida útil média

de 1 000 horas. É razoável modelar a probabilidade de falha dessas lâmpada por uma função

densidade exponencial com média µ = 1000. Use esse modelo para encontrar a probabilidade


58/66

55

de uma lâmpada:

(i) queimar durante as primeiras 800 horas.

(ii) funcionar por mais de 800 horas.

(b) Qual a mediana da durabilidade dessas lâmpadas?

Resolução: (a) A função densidade de probabilidadae é:

f (t) =

t0

1

u.e

−tu dt, com u a média.

Assim, resolvendo o primeiro item, temos:

i) P (0 ≤ x ≤ 200) = 2000

1

1000e −t1000 dt

P (0 ≤ x ≤ 200) =−e −t1000

2000

P (0 ≤ x ≤ 200) = e −15 + 1

P (0 ≤ x ≤ 200) 0, 181

ou seja, a probabilidade de queimar durante as primeiras 200 horas é de 18,10%.

ii) P (x > 800) =

∞

800

1

1000e −t1000 dt

P (x > 800) = limb→+∞

∞

800

1

1000e −t1000 dt

P (x > 800) = limb→+∞

−e −t1000

b800

P (x > 800) = −e −b

1000 + e−800

1000

P (x > 800) 0, 449isto é, a probabilidade de queimar após 800 horas é de 44,9%.

Referência:

STEWART (2009) p. 531.


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56

3.7 A Integral Definida Como Média

Para Hoffmann e Brandley (1999), existem situações práticas onde nos interessa saber o

valor médio de uma função cont́ınua em um intervalo.

Hallet et al.(2004), por sua vez, destaca que o cálculo da média de n números pode ser

efetuado somando-se os números e dividindo esta soma por n. O autor também questiona a

possibilidade de encontrar o valor médio de uma função que varia continuamente.

Assim, Hallet et al.(2004, p. 200) apresenta a seguinte integral como Valor Médio de f

de a até b.

Valor médio de f de a até b = 1

b− a ba

f (x)dx.

O Valor Médio da função f também é conhecido como Teorema do Valor Médio para

Integrais.



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Economia

Ex. 3.7.1 Suponha que C(t) representa o custo diário para refrigerar sua casa, medido

em reais por dia, onde t é o tempo meddo em dias e t = 0 corresponde a 1◦ de janeiro de 2001.Interprete

900

C (t)dt e 1

90− 0 900

C (t)dt.

Resolução: As unidades para a integral

900

C (t)dt são (reais/dia) x (dias) = reais. A

integral representa o custo total, em reais, para refrigerar a sua casa, durante os 90 primeiros

dias de 2001, isto é, durante os meses de janeiro, fevereiro e março. A segunda expressão é

medida em (1/dias)(reais), ou reais por dia, as mesmas unidades de C(t). Ela representa o

custo médio por dia para refrigerar sua casa durante os 90 primeiros dias de 2001.

Referência:

HALLET (2004) p. 200.

Ex. 3.7.2 Como atacadista, a Tracey Burr Distribuidores (TBD) recebe um carregamento

de 1 200 caixas de barras de choolate a cada 30 dias. A TBD vende o chocolate para varejistas

a uma taxa fixa, e t dias depois que um carregamento chega, seu estoque de caixas dispońıveis

é I (t) = 1200− 40t, 0 ≤ t ≤ 30. Qual o estoque diário médio da TBD para 30 dias? Qual seráo custo diário de estocagem se o custo de estocagem por caixa é de 0,03 por dia?

Resolução: O estoque diário médio é encontrado resolvendo a integral:

E (t) = 1T

t0

I (t)dt

E (t) = 1

30

300

(1200− 40t)dt

E (t) = 1

30

1200t− 20t230

0

E (t) = 1

30(36000− 18000) = 600 barras de chocolate


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O custo diário é dado por

C (t) = E (t).0, 03

C (t) = 600.0, 03

C (t) = 18 dólares por dia.

Referência:

THOMAS (2002) p. 392.

Engenharia

Ex. 3.7.3 Uma engenharia de tráfego monitora o trânsito durante uma hora do horário

de pico da tarde. A partir de seus dados, ela estima que, entre as 4 horas e 30 minutos e às

5 horas e 30 minutos a tarde, a taxa R(t) segundo a qual os carros entram em uma certa via

expressa é dada pela fórmula R(t) = 100(1 − 0, 0001t2) carros por minuto, onde t é o tempo(em minutos) desde as 4 horas e 30 minutos. Encontre a taxa média, em carros por minuto,

segundo a qual os carros entram na via expressa entre as 4 horas e 30 minutos e às 5 horas da

tarde.

Seja R(t) a taxa dada por R(t) = 100(1 − 0, 0001t2). Usando o teorema do valor médiopara integrais, temos:

N (t) = 1

b− a b

a R(t)dt, com N(t) a taxa média de carros por minuto.

N (t) = 1

30− 0 300

100(1− 0, 0001t2)dt

N (t) = 1

30.100

t− 0, 0001t

3

3

300

N (t) = 100

30 (30− 0, 9)


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N (t) = 97 carros por minutos.

Referência:

ANTON (2007) p. 480.

Ex. 3.7.4 Por várias semanas, o departamento de estradas de rodagem vem regis-

trando a velocidadedo tráfego em uma estrada a partir de um certo ponto. os dados sug-

erem que, entre as 13h e 18h de um fim de semana normal, a velocidade do tr áfego no ponto é

de aproximadamente S (t) = t3− 10, 5t2 + 30t + 20 milhas por hora, onde t é o número de horasapós o meio-dia. Calcule a velocidade média do tráfego entre 13h e as 18h.

Resolução: A meta é encontrar o valor médio de S(t) no intervalo 1 ≤ t ≤ 6. Eis entãoa velocidade média

V m = 1

6− 1 61

(t3 − 10, 5t2 + 30t + 20)dt

V m = 1

5 1

4t4 − 10, 5

3 t3 + 15t2 + 20t

6

1

V m = 1

5(228− 31, 75)

V m = 39, 25 milhas por hora

Referência:


Ex. 3.7.5 Após t meses no trabalho, um empregado do correio pode classificar Q(t) =

700 − 400e−0,5t cartas por hora. Qual a taxa média na qual o funcionário classifica as cartasdurante os primeiros 3 meses de trabalho?

C (2160) = 1

b− a ba

(700− 400e−0,5t)dt


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61

Referência:

THOMAS (2002) p. 394.

(c) Função de Fresnel.

É assim conhecida em homenagem ao fı́sico francês Augustin Fresnel (178-1827), famoso

por seu estudo em óptica, como afirma Stewart (2009). Essa função apareceu primeiramente na

teoria de difração das ondas de luz de Fresnel. Ela também tem sido aplicada no planjamento

de autoestradas e é definida por:

S (x) = x0

senπt2

2 dt.

Referência:

STEWART (2009) p. 360.

(d) Capacidade Cardı́aca.

A capacidade cardı́aca pode ser definida pela integral

F = A T 0

C (t)dt

,

onde A é a quantidade total de contraste e C (t) a concetração deste.

Vejamos um exemplo:

A figura abaixo mostra o sistema cardiovascular humano. O sangue retorna do corpo pelas

veias, entra no átrio direito do coração e é bombeado para os pulmões pelas artérias pulmonares

para a oxigenação. Então volta para o átrio esquerdo por meio das veias pulmonares e dai

circula para o resto do corpo pela aorta. A capacidade card́ıaca do coração é o volume de

sangue bombeado pelo coração por unidade de tempo, isso é, a taxa de fluxo na aorta.


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Resolução: O método da diluição do contraste é usado para medir a capacidade card́ıaca.

O contraste (corante) é injetado no átrio direito e escoa pelo coração para a aorta. Uma

sonda inserida na aorta mede a concentração do contraste sáıda do coração em intervalos

regulares de tempo durante um intervalo [0, T ], até que o contraste tenha terminado. Seja C (t)

a concentração do contraste no instante T . Se dividirmos [0, T ] em subintervalos de igual t,então a quantidade de contraste que circula pelo ponto de medição durante o subintervalo de

t = ti−1 a t = ti é aproximadamente

(concentração)(volume) = C (ti)(F t).em que F é a vazão (taxa de escoamento) que estamos tentando determinar.

Então, a quantidade total de contraste é aproximadamente

ni=1

C (ti)F t = F n

i=1

C (ti)t.

Fazendo n →∞, calculamos que a quantidade total de contraste é


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A = F

T 0

C (T )dt.

Então, a capacidade cardı́aca é dada por

F =

A T

0

C (t)dt.

Referência:

STEWART (2009) p. 522-523.

(e) Lei da Radiação de Plank.

A Lei da Radiação de Plank, muito utilizada nas engenharias e na f́ısica também pode

ser definida por uma integral. A saber,

I =

∞

1

dx

x5(e1

x−1)

.

Referência:

HALLET (2004) p. 279.

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