Cálculo una variable 11e, Thomas

1. T H O M A S C L C U L O U N A VA R I A B L E UNDCIMA EDICIN

2. REGLAS DE DERIVACIN Frmulas generales Suponiendo que u y v son funciones diferenciables de x. Funciones trigonomtricas Funciones exponenciales y logartmicas d dx ax = ax ln a d dx sloga xd = 1 x ln a d dx ex = ex d dx ln x = 1 x d dx scot xd = -csc2 x d dx scsc xd = -csc x cot x d dx stan xd = sec2 x d dx ssec xd = sec x tan x d dx ssen xd = cos x d dx scos xd = -sen x d dx ssgsxdd = sgsxdd # gsxdRegla de la cadena: d dx xn = nxn-1 Potencia: d dx a u yb = y du dx - u dy dx y2 Cociente: d dx suyd = u dy dx + y du dx Producto: d dx scud = c du dx Mltiplo constante: d dx su - yd = du dx - dy dx Diferencia: d dx su + yd = du dx + dy dx Suma: d dx scd = 0Constante: Funciones trigonomtricas inversas Funciones hiperblicas Funciones hiperblicas inversas Ecuaciones paramtricas Si y son diferenciables, entonces y = dy dx = dy>dt dx>dt y d2 y dx2 = dy>dt dx>dt y = gstdx = std d dx scoth-1 xd = 1 1 - x2 d dx scsch-1 xd = - 1 x 21 + x2 d dx stanh-1 xd = 1 1 - x2 d dx ssech-1 xd = - 1 x21 - x2 d dx ssenh-1 xd = 1 21 + x2 d dx scosh-1 xd = 1 2x2 - 1 d dx scoth xd = -csch2 x d dx scsch xd = -csch x coth x d dx stanh xd = sech2 x d dx ssech xd = -sech x tanh x d dx ssenh xd = cosh x d dx scosh xd = senh x d dx scot-1 xd = - 1 1 + x2 d dx scsc-1 xd = - 1 x 2x2 - 1 d dx stan-1 xd = 1 1 + x2 d dx ssec-1 xd = 1 x 2x2 - 1 d dx ssen-1 xd = 1 21 - x2 d dx scos-1 xd = - 1 21 - x2

3. C L C U L O U N A V A R I A B L E U N D C I M A E D I C I N George B.Thomas, Jr. Massachusetts Institute of Technology Revisado por: Maurice D.Weir Joel Hass Frank R. Giordano Naval Postgraduate School University of California, Davis Naval Postgraduate School Dr. Carlos Bosh Giral Departamento de Matemticas InstitutoTecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Csar Luis Garca Garca Departamento de Matemticas InstitutoTecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Claudia Gmez Wulschner Departamento de Matemticas InstitutoTecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Mauricio Pedraza Prez Departamento de Matemticas Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica Unidad Azcapotzalco Instituto Politcnico Nacional Mara Elisa Barrn Garca, M.E. InstitutoTecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey campus Guadalajara Roberto Nez Malherbe InstitutoTecnolgico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO) Francisco Javier Gonzlez Pia Departamento de Matemticas, CUCEI Universidad de Guadalajara Carlos J. Zea Rivera Coordinacin de Ciencias Fsico-Matemticas Universidad Iberoamericana campusTorren Jos Botto Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas,Ingeniera yAgrimensura Argentina Emilio Sastre Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas,Ingeniera yAgrimensura Argentina Antonio Merchan Abril Coordinador Clculo Diferencial Departamento de Matemticas Pontificia Universidad Javeriana Colombia scar Andrs Montao Carreo Departamento de Ciencias Naturales y Matemticas Pontificia Universidad Javeriana Colombia Leonardo Snchez Profesor del Departamento de Ingeniera Matemtica Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas Universidad de Chile Ren Jorge Piedra de la Torre Director del Departamento de Matemtica y Fsica Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra Repblica Dominicana Mara Rosa Brito Profesora de Clculo Universidad Simn Bolvar,Venezuela Antonio Jos Syers Hernndez Coordinador de Clculo Universidad Metropolitana,Venezuela TRADUCCIN REVISIN TCNICA Elena de Oteyza de Oteyza Vctor Hugo Ibarra Mercado Instituto de Matemticas, Escuela Superior de Fsica y Matemticas Universidad Nacional Autnoma de Mxico Instituto Politcnico Nacional

4. Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright 2005. All rights reserved. ISBN 0-321-185587 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Thomas calculus 11a ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright 2005. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Miguel B. Gutirrez Hernndez Supervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo Datos de catalogacin bibliogrfica THOMAS, JR., GEORGE B. Clculo. Una variable. Undcima edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2006 ISBN: 970-26-0643-8 rea: Universitarios Formato: 21 27 cm Pginas: 824 Edicin en ingls: Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor: Willliam Hoffman Managing Editor: Karen Wernholm Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily Portwood Production Supervisor: Julie LaChance James Marketing Manager: Phyllis Hubard Marketing Assistant: Heather Peck Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton Associate Media Producer: Sara Anderson Software Editors: David Malone, Bob Carroll Senior Author Suppor/Technology Specialist: Joe Vetere Supplements Production Supervisor: Sheila Spinney Composition and Production Services: Nesbitt Graphics, Inc. Illustrations: Techsetters, Inc. Senior Designer: Geri Davis/The Davis Group, Inc. Cover Design: Barbara T. Atkinson Cover Photograph: Benjamin Mendlowitz UNDCIMA EDICIN, 2006 D.R. 2006 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 500, 5 piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico E-mail: [email protected] Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0643-8 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06 Dedicado a Ross Lee Finney III (1933-2000) profesor, mentor, autor, gran persona, y amigo de todos

5. CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 Preliminares 1 1.1 Los nmeros reales y la recta real 1 1.2 Rectas, crculos y parbolas 9 1.3 Funciones y sus grficas 19 1.4 Identificacin de funciones: modelos matemticos 28 1.5 Combinacin de funciones; traslaciones y cambio de escala en grficas 38 1.6 Funciones trigonomtricas 48 1.7 Graficacin con calculadoras y computadoras 59 PREGUNTAS DE REPASO 68 EJERCICIOS DE PRCTICA 69 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71 2 Lmites y continuidad 73 2.1 Razn de cambio y lmites 73 2.2 Clculo de lmites mediante las leyes de los lmites 84 2.3 La definicin formal de lmite 91 2.4 Lmites laterales y lmites al infinito 102 2.5 Lmites infinitos y asntotas verticales 115 2.6 Continuidad 124 2.7 Tangentes y derivadas 134 PREGUNTAS DE REPASO 141 EJERCICIOS DE PRCTICA 142 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 144 3 Derivadas 147 3.1 La derivada como una funcin 147 3.2 Reglas de diferenciacin 159 iii

6. 3.3 La derivada como razn de cambio 171 3.4 Derivadas de funciones trigonomtricas 183 3.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramtricas 190 3.6 Diferenciacin implcita 205 3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 213 3.8 Linealizacin y diferenciales 221 PREGUNTAS DE REPASO 235 EJERCICIOS DE PRCTICA 235 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 240 4 Aplicaciones de las derivadas 244 4.1 Valores extremos de una ecuacin 244 4.2 El teorema del valor medio 255 4.3 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada 262 4.4 Concavidad y trazado de curvas 267 4.5 Problemas de optimizacin aplicados 278 4.6 Formas indeterminadas y la regla de LHpital 292 4.7 El mtodo de Newton 299 4.8 Antiderivadas 307 PREGUNTAS DE REPASO 318 EJERCICIOS DE PRCTICA 318 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 322 5 Integracin 325 5.1 Estimacin con sumas finitas 325 5.2 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 335 5.3 La integral definida 343 5.4 El teorema fundamental del clculo 356 5.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitucin 368 5.6 Sustitucin y reas entre curvas 376 PREGUNTAS DE REPASO 387 EJERCICIOS DE PRCTICA 388 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 391 6 Aplicaciones de las integrales definidas 396 6.1 Clculo de volmenes por secciones transversales y por rotacin alrededor de un eje 396 6.2 Clculo de volmenes por medio de casquillos cilndricos 409 6.3 Longitudes de curvas planas 416 6.4 Momentos y centro de masa 424 6.5 reas de superficies de revolucin y el teorema de Pappus 436 6.6 Trabajo 447 6.7 Presiones y fuerzas en fluidos 456 iv Contenido

7. PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS DE PRCTICA 461 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 464 7 Funciones trascendentes 466 7.1 Funciones inversas y sus derivadas 466 7.2 Logaritmos naturales 476 7.3 La funcin exponencial 486 7.4 y log 495 7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 502 7.6 Razones de crecimiento relativas 511 7.7 Funciones trigonomtricas inversas 517 7.8 Funciones hiperblicas 535 PREGUNTAS DE REPASO 546 EJERCICIOS DE PRCTICA 547 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 550 8 Tcnicas de integracin 553 8.1 Frmulas bsicas de integracin 553 8.2 Integracin por partes 561 8.3 Integracin de funciones racionales por medio de fracciones parciales 570 8.4 Integrales trigonomtricas 581 8.5 Sustituciones trigonomtricas 586 8.6 Tablas de integrales y sistemas de lgebra por computadora (SAC) 593 8.7 Integracin numrica 603 8.8 Integrales impropias 619 PREGUNTAS DE REPASO 633 EJERCICIOS DE PRCTICA 634 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 638 9 Aplicaciones adicionales de integracin 642 9.1 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 642 9.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 650 9.3 Mtodo de Euler 659 9.4 Soluciones grficas de ecuaciones diferenciales autnomas 665 9.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673 PREGUNTAS DE REPASO 682 EJERCICIOS DE PRCTICA 682 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 683 a xax Contenido v

8. Volumen II 10 Secciones cnicas y coordenadas polares 685 10.1 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas 685 10.2 Clasificacin de secciones cnicas por su excentricidad 697 10.3 Ecuaciones cuadrticas y rotaciones 702 10.4 Cnicas y ecuaciones paramtricas; la cicloide 709 10.5 Coordenadas polares 714 10.6 Grficas en coordenadas polares 719 10.7 reas y longitudes en coordenadas polares 725 10.8 Secciones cnicas en coordenadas polares 732 PREGUNTAS DE REPASO 739 EJERCICIOS DE PRCTICA 739 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 742 11 Sucesiones y series infinitas 746 11.1 Sucesiones 747 11.2 Series infinitas 761 11.3 Criterio de la integral 772 11.4 Pruebas de comparacin 777 11.5 Pruebas de la raz y de la razn 781 11.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 787 11.7 Series de potencias 794 11.8 Series de Taylor y de Maclaurin 805 11.9 Convergencia de series de Taylor; estimacin de errores 811 11.10 Aplicaciones de las series de potencias 822 11.11 Series de Fourier 833 PREGUNTAS DE REPASO 839 EJERCICIOS DE PRCTICA 840 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 843 12 Los vectores y la geometra del espacio 848 12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 848 12.2 Vectores 853 12.3 El producto punto 862 12.4 El producto cruz 873 12.5 Rectas y planos en el espacio 880 12.6 Cilindros y superficies cudricas 889 PREGUNTAS DE REPASO 899 EJERCICIOS DE PRCTICA 900 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 902 vi Contenido

9. 13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 906 13.1 Funciones vectoriales 906 13.2 Cmo modelar el movimiento de un proyectil 920 13.3 Longitud de arco y el vector tangente unitario T 931 13.4 Curvatura y el vector unitario normal N 936 13.5 Torsin y el vector unitario binormal B 943 13.6 Movimiento de planetas y satlites 950 PREGUNTAS DE REPASO 959 EJERCICIOS DE PRCTICA 960 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 962 14 Derivadas parciales 965 14.1 Funciones de varias variables 965 14.2 Lmites y continuidad en dimensiones superiores 976 14.3 Derivadas parciales 984 14.4 Regla de la cadena 996 14.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 1005 14.6 Planos tangentes y diferenciales 1015 14.7 Valores extremos y puntos de silla 1027 14.8 Multiplicadores de Lagrange 1038 14.9 Derivadas parciales con variables restringidas 1049 14.10 Frmula de Taylor para dos variables 1054 PREGUNTAS DE REPASO 1059 EJERCICIOS DE PRCTICA 1060 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1063 15 Integrales Mltiples 1067 15.1 Integrales dobles 1067 15.2 rea, momentos y centros de masa 1081 15.3 Integrales dobles en forma polar 1092 15.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 1098 15.5 Masas y momentos en tres dimensiones 1109 15.6 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas 1114 15.7 Sustitucin en integrales mltiples 1128 PREGUNTAS DE REPASO 1137 EJERCICIOS DE PRCTICA 1138 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1140 Contenido vii

10. 16 Integracin en Campos Vectoriales 1143 16.1 Integrales de lnea 1143 16.2 Campos vectoriales, trabajo, circulacin y flujo 1149 16.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales y campos conservativos 1160 16.4 Teorema de Green en el plano 1169 16.5 rea de superficies e integrales de superficie 1182 16.6 Superficies parametrizadas 1192 16.7 Teorema de Stokes 1201 16.8 El teorema de la divergencia y una teora unificada 1211 PREGUNTAS DE REPASO 1222 EJERCICIOS DE PRCTICA 1223 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1226 Apndices AP-1 A.1 Induccin matemtica AP-1 A.2 Demostracin de los teoremas de lmites AP-4 A.3 Lmites que aparecen comnmente AP-7 A.4 Teora de los nmeros reales AP-9 A.5 Nmeros complejos AP-12 A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22 A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23 A.8 El rea de la proyeccin de un paralelogramo en un plano AP-28 A.9 Frmulas bsicas de lgebra, geometra y trigonometra AP-29 Respuestas R-1 ndice I-1 Breve tabla de integrales T-1 Crditos C-1 viii Contenido

11. PREFACIO INTRODUCCIN Al preparar la undcima edicin de Clculo de Thomas, hemos querido mantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas. Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores caractersticas de las ediciones clsicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nues- tros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estndares en mente, hemos reconstruido los ejercicios y aclarado algunos temas de difcil comprensin. De acuerdo con el autor, George Thomas, hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisin como ha sido posible. Adems, hemos restablecido los contenidos para que sean ms lgicos y congruentes con los programas de estudio de mayor difusin. Al revisar esta labor en re- trospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudado a crear un texto de clculo til y atractivo para la siguiente generacin de ingenieros y cientficos. En su undcima edicin, el texto no slo presenta a los estudiantes los mtodos y las aplicaciones del clculo, sino que plantea tambin una manera de pensar totalmente matemtica. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revela la teora en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicacin de ideas matemticas. El clculo tiene gran relacin con muchos de los paradigmas clave de las matemticas, y establece los fundamentos reales para la reflexin precisa y lgica en torno de temas fsicos y matemticos. Nuestro propsito se centra en ayudar a los estudiantes a alcanzar la madurez matemtica necesaria para dominar el material y aplicar sus conocimientos de manera ntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensin de lo analizado en las pginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creacin valga la pena. Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarn bien instruidos en el lenguaje matemtico que se necesita para aplicar los conceptos de clculo a numerosas situaciones de ciencias e ingeniera. Tambin estarn preparados para tomar cursos de ecuaciones diferenciales, lgebra lineal o clculo avanzado. Cambios en la undcima edicin EJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje del clculo. En esta edicin hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecan en versiones anteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejercicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero los problemas computacionales para luego abordar los relativos a la teora y las aplicaciones. Esta disposicin permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los m- todos del clculo y adquieran una comprensin ms profunda de sus aplicaciones en el marco de una estructura matemtica coherente. ix

12. RIGOR En comparacin con las ediciones anteriores, en esta versin el contenido del tex- to es ms riguroso y consistente. En l se brindan anlisis formales e informales, haciendo una clara distincin entre ambos; adems, se incluyen definiciones precisas y demostracio- nes accesibles para los estudiantes. Este texto est organizado de manera que el material pueda ser cubierto informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por ejemplo, a pesar de que no se prueba que una funcin continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un mximo ah, el teorema correspondiente se expone con todo cuidado para comprobar varios resultados subsecuentes. Ms an, el captulo de lmites ha sido reorganizado de manera sustancial, haciendo hincapi tanto en su claridad como en su precisin. Como en las ediciones anteriores, el concepto de lmite se basa en la importante idea de obtener la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella. CONTENIDO En la preparacin de esta edicin hemos puesto especial atencin a las sugerencias y comentarios de los usuarios y revisores de las versiones anteriores de Clculo de Thomas. Esto ha dado como resultado extensas modificaciones en varios de los captulos. TOMO I Preliminares Hemos reescrito el captulo 1, de manera que proporcione una breve revisin de las funciones elementales. Aunque muchos profesores podran optar por obviar este captulo, su estudio permite a alumnos un fcil repaso de conocimientos para que unifiquen notaciones. Tambin contiene material til que muchos estudiantes podran desconocer, como los errores que se producen al confiar totalmente en las calculadoras o computadoras para construir la grfica de una funcin. Lmites En el captulo 2 se incluyen las definiciones epsiln-delta, las demostra- ciones de muchos teoremas, as como lmites en el infinito y lmites infinitos (y sus relaciones con las asntotas de una grfica). Antiderivadas En los captulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus aplicaciones ms importantes, concluyendo con el concepto de antiderivada, con lo cual se establecen las bases para la integracin. Integracin Despus de discutir varios ejemplos de sumas finitas, en el captulo 5 introducimos la integral definida en la forma tradicional del rea debajo de la curva. Continuamos con el anlisis del teorema fundamental del clculo, relacionando derivadas y antiderivadas, y con la presentacin de la integral indefinida, junto con la regla de sustitucin para integracin. Luego proseguimos con el captulo tradicional de aplicaciones de las integrales definidas. Tcnicas de integracin En el captulo 8 se presentan las principales tcnicas de integracin, incluyendo integracin numrica. Despus se ofrece una introduccin a las funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la integral y la funcin exponencial como su inversa. Ecuaciones diferenciales La mayor parte del material para resolver ecuaciones diferenciales bsicas ahora est organizado solamente en el captulo 9. Esta disposicin permite que los profesores encuentren la flexibilidad idnea para cubrir los temas correspondientes. TOMO II Cnicas Atendiendo a la demanda de muchos usuarios, el captulo 10 ha sido totalmente reescrito. Por otro lado, este captulo completa el material de ecuaciones paramtricas, dando las parametrizaciones para las parbolas, las hiprbolas y las cicloides. Series En comparacin con ediciones anteriores, en el captulo 11 hemos desarrollado de manera ms completa los criterios de convergencia para series. Tambin in- cluimos, al final del captulo, una breve seccin para presentar las series de Fourier (cuyo estudio puede omitirse, segn convenga). x Prefacio

13. Vectores Para evitar la repeticin de los conceptos algebraicos y geomtricos fun- damentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensiones en un solo captulo, el 12. A esta presentacin le sigue el captulo de funciones de valores vectoriales en el plano y en el espacio. Los nmeros reales Hemos escrito un nuevo apndice para analizar brevemente la teora de los nmeros reales y su aplicacin en el clculo. ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de gran importancia en el aprendizaje del clculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras de este libro, buscando mayor claridad en la relacin entre stas y los conceptos a que hacen referencia. Esto resulta especialmente evidente en las grficas tridimensionales, en las que podemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotacin (vea las figuras siguientes). y x 0 a x b y R(x) y r(x) 0 x y y 0 x (x, R(x)) (x, r(x)) Arandela xx 4 1 0 2 y y x x 2 y , y 2 yx 2 yx 2 yR(y) 2 yR(y) 0 1 4 y 2 (a) (b) y Prefacio xi FIGURA 6.13, pgina 403 Las secciones transversales del slido de rotacin generado aqu son arandelas, no discos. FIGURA 6.11, pgina 402 Determinacin del volumen del slido generado al hacer girar la regin (a) alrededor del eje y.

14. Otras caractersticas PROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE CAPTULO Adems de los problemas que aparecen despus de cada seccin, los captulos terminan con preguntas de repaso, ejercicios prcticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de ejercicios adicionales y avanzados en donde se plantean problemas sintetizados o que plantean retos de mayor envergadura. Asimismo, casi todos los captulos incluyen la descripcin de varios proyectos para que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente o en equipo, en periodos ms largos. Estos proyectos requieren el uso de una computadora y de material adicional, disponible en www.pearsoneducacion.net/thomas. EJERCICIOS DE DESARROLLO TERICO Los ejercicios de desarrollo terico que aparecen a lo largo de todo el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una variedad de conceptos y aplicaciones del clculo. Adems, al final de cada captulo se halla una lis- ta de preguntas para que los estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos de estos ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de contenido terico. RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas de los ejercicios impares cuando es adecuado; la correccin de tales respuestas ha sido revisada cuidadosamente. EXACTITUD MATEMTICA Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidado en afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista matemtico. Cada definicin, teorema, corolario y demostracin han sido revisados para garantizar su claridad y exactitud matemtica. LEGILIBILIDAD Y APLICACIN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este texto bus- ca ser fcil de leer, interactivo y matemticamente rico. Cada tema nuevo ha sido abordado con claridad, ilustrado con ejemplos de fcil comprensin y reforzado con aplicaciones a problemas reales que involucran el clculo en ciencias e ingeniera, y que resultan de inte- rs para los estudiantes. Estos problemas de aplicacin se han actualizado, mejorado y am- pliado a lo largo de las ltimas ediciones. TECNOLOGA Aunque seguimos proporcionando apoyo para las aplicaciones tecnolgicas del clculo, a partir de la dcima edicin esto resulta menos evidente dentro de los captulos. Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fcilmente la tecnologa segn los propsitos del profesor. Para ello, cada seccin contiene ejercicios que requieren el uso de la tecnologa, identificados de cualquiera de las siguientes maneras: Con una si se requiere una calculadora o computadora para su resolucin. Con el texto EXPLORACIN CON COMPUTADORA si se necesita un software matemtico (como Maple o Mathematica) para contestarlos. Complementos multimedia y soporte en lnea (en ingls) MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOS Maple Manual, escrito por Donald Hartig, de la California Polytechnic State University Mathematica Manual, preparado por Marie Vanisko, de la California State University Stanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth College TI-Graphing Calculator Manual, por Luz DeAlba, de la Drake University. Estos manuales cubren los programas Maple 9 y Mathematica 5, y las calculadoras TI-83 Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92 Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofrece gua detallada para la integracin de un paquete de software o una calculadora graficadora a lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos. T xii Prefacio

15. COURSECOMPASS CourseCompass es una plataforma para cursos en lnea que Pearson Educacin ofrece de manera exclusiva como apoyo para sus libros de texto. Este libro cuenta con un curso precar- gado en CourseCompass, que incluye ejercicios y recursos en MyMathLab y en MathXL, el sistema de tutoriales, tareas y evaluacin en lnea de Addison Wesley. MyMathLab proporciona un amplio conjunto de materiales relacionados con el curso, as como ejercicios generados algortmicamente para repasar tanto como se desee un tema. Los alumnos pueden utilizar tambin herramientas en lnea, como clases en vdeo, animaciones, una versin electrnica del libro y proyectos de Maple/Mathematica para mejorar su comprensin y desempeo. Adems, los estudiantes pueden responder exmenes por captulo y obtener un plan de estudio personalizado de acuerdo con sus resultados. Por su parte, los profesores pueden emplear los administradores de tareas y exmenes que proporciona CourseCom- pass para seleccionar y asignar ejercicios en lnea relacionados directamente con el libro, as como importar exmenes de TestGen para obtener ms flexibilidad. El libro de notas de MyMathLab diseado especficamente para matemticas y estadstica lleva un registro automtico de las tareas y los resultados de los exmenes de los alumnos, y da control al profesor para calcular las notas de fin de curso. CourseCompass est disponible para quienes adopten el libro. Para obtener ms informacin, visite nuestro sitio Web en www.coursecompass.com, o pida una demostracin del producto al representante de ven- tas de Pearson Educacin que lo atiende. TESTGEN CON QUIZMASTER TestGen permite a los profesores crear, editar, imprimir y administrar exmenes mediante un banco de preguntas computarizado, desarrollado para cubrir todos los objetivos del tex- to. TestGen se basa en algoritmos, gracias a lo cual los profesores pueden crear mltiples versiones de la misma pregunta o del mismo examen con slo hacer clic en un botn. Los maestros pueden tambin modificar las preguntas del banco de exmenes o agregar nuevos reactivos utilizando adems el editor integrado para crear o importar grficas, insertar notacin matemtica, nmeros variables o texto. Los exmenes pueden imprimirse o dis- tribuirse por Internet o en una red local, o pueden ser importados en CourseCompass o Blackboard. TestGen incluye QuizMaster, que permite a los estudiantes realizar las pruebas en una red de rea local. El software est disponible en un CD-ROM para las plataformas Windows y Macintosh. SITIO WEB www. pearsoneducacion.net/thomas El sitio Web del libro Clculo de Thomas proporciona al alumno biografas ms amplias de los personajes histricos referidos en el libro, as como artculos relacionados. Asimis- mo, pone a su disposicin un conjunto de mdulos de Maple y Mathematica que puede utilizar como proyectos individuales o en grupo. Este sitio tambin ofrece al profesor un vnculo hacia el sitio de descarga de materiales (en ingls) de este libro. Agradecimientos Deseamos expresar nuestra gratitud a quienes hicieron muchas y muy valiosas contribu- ciones durante las distintas etapas de desarrollo de esta edicin. Editores de desarrollo Correctores Elka Block William Ardis David Chelton Karl Kattchee Frank Purcell Douglas B. Meade Robert Pierce Frank Purcell Marie Vanisko Thomas Wegleitner Prefacio xiii

16. xiv Prefacio Jefatura de revisin Harry Allen, Ohio State University Rebecca Goldin, George Mason University Christopher Heil, Georgia Institute of Technology Dominic Naughton, Purdue University Maria Terrell, Cornell University Clifford Weil, Michigan State University Revisin tcnica Robert Anderson, University of WisconsinMilwaukee Charles Ashley, Villanova University David Bachman, California Polytechnic State University Elizabeth Bator, University of North Texas William Bogley, Oregon State University Kaddour Boukaabar, California University of Pennsylvania Deborah Brandon, Carnegie Mellon University Mark Bridger, Northeastern University Sean Cleary, The City College of NewYork Edward Crotty, University of Pennsylvania Mark Davidson, Louisiana State University Richard Davitt, University of Louisville Elias Deeba, University of Houston, Downtown Campus Anne Dougherty, University of Colorado Rafael Espericueta, Bakersfield College Klaus Fischer, George Mason University William Fitzgibbon, University of Houston Carol Flakus, Lower Columbia College Tim Flood, Pittsburg State University Robert Gardner, East Tennessee State University John Gilbert, The University of Texas at Austin Mark Hanish, Calvin College Zahid Hasan, California State University, San Bernardino Jo W. Heath, Auburn University Ken Holladay, University of New Orleans Hugh Howards, Wake Forest University Dwanye Jennings, Union University Matthias Kawaski, Arizona State University Bill Kincaid, Wilmington College Mark M. Maxwell, Robert Morris University Jack Mealy, Austin College Richard Mercer, Wright State University Victor Nestor, Pennsylvania State University Michael OLeary, Towson University Bogdan Oporowski, Louisiana State University Troy Riggs, Union University Ferinand Rivera, San Jose State University Mohammed Saleem, San Jose State University Tatiana Shubin, San Jose State University Alex Smith, University of Wisconsin-Eau Claire Donald Solomon, University of Wisconsin-Milwaukee Chia Chi Tung, Minnesota State University William L. VanAlstine, Aiken Technology College Bobby Winters, Pittsburg State University Dennis Wortman, University of Massachusetts at Boston Participantes en encuestas Omar Adawi, Parkland College Siham Alfred, Raritan Valley Community College Donna J. Bailey, Truman State University Rajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State University Robert C. Brigham, University of Central Florida (retired) Thomas A. Carnevale, Valdosta State University Lenny Chastkofsky, The University of Georgia Richard Dalrymple, Minnesota West Community & Tech- nical College Lloyd Davis, College of San Mateo Will-Matthis Dunn III, Montgomery College George F. Feissner, SUNY College at Cortland Bruno Harris, Brown University Celeste Hernandez, Richland College Wei-Min Huang, Lehigh University Herbert E. Kasube, Bradley University Frederick W. Keene, Pasadena City College Michael Kent, Borough of Manhattan Community Colle- ge Robert Levine, Community College of Allegheny County, Boyce Campus John Martin, Santa Rosa Junior College Michael Scott McClendon, University of Central Okla- homa Ching-Tsuan Pan, Northern Illinois University Emma Previato, Boston University S.S. Ravindran, University of Alabama Dan Rothe, Alpena Community College John T. Saccoman, Seton Hall University Mansour Samimi, Winston-Salem State University Ned W. Schillow, Lehigh Carbon Community College W.R. Schrank, Angelina College Mark R. Woodard, Furman University

17. Agradecemos a todos los profesores que han sido leales usuarios y han impartido la materia de Clculo en los pases de habla hispana con el apoyo del reconocido libro de Thomas. Sus valiosos comentarios han servido para enri- quecer el desarrollo de la actual edicin. Espe- ramos que con el uso de este texto cumplan sa- tisfactoriamente los objetivos del programa del curso y preparen a sus alumnos para enfrentar los retos actuales dentro del mbito de las Ma- temticas. En especial deseamos agradecer el apoyo y retroalimentacin que nos han dado los siguientes profesores: COLOMBIA Escuela Colombiana de Ingeniera Julio Garavito Ana Alicia Guzmn Benjamn Rafael Sarmiento Bernarda Aldana Boris Mauricio Pulido Campo Elas Velosa Carlos Abel lvarez Carlos Enrique Frasser Carmenza Moreno Clara Teresa Trivio Claudia Castro Diego Parada Edgar Obonaga Edith Zoraida Pinzn Eduardo Brieva Ernesto Acosta Gloria Ins Bernal Guiomar Lleras Guiomar Mora Gustavo Erazo Herbert Alonso Dueas Isabel Carlota Lpez Jaime Alonso Castillo Jaime Arango Jairo Scarpeta Jorge Augusto Prez Jorge Bateman Jos Francisco Amador Juan Manuel Bedoya Juan Manuel Cordero Juan Manuel Ospina Juan Manuel Sarmiento Luis Alejandro Fonseca Luis Miguel Acosta Manuel Casabianca Manuel Daz Margarita Mnica Rey Mara Consuelo Corts Mara Viviana Bernal Nstor Ral Pachn Olga Maritza Camacho scar Antonio Pulido scar Daro Zrate Rafael Guzmn Ricardo Mancipe Ricardo Quintana Sandra Isabel Gutirrez Vctor Ardila William Estrada Fundacin del rea Andina Mario Duarte Rosario Granados INPAHU Edgar Borras Pontificia Universidad Javeriana Abrahan Jimnez Antonio Merchan Diego Guerrero Eddy Herrera Eduardo Estrada Fabio Molina Fernando Surez Francisco Soler Gerardo Tole Guillermo Arias Gustavo Nieto Harold Noriega Hctor Orlando Linares Irina Reyes Ismael Garca Ivn Castro Jess Fernando Novoa Jos Humberto Serrano Jos Severino Nio Juan Carlos Quintero Julio Csar Melo Lennin Reyes Liliana ngel Liliana Barreto Luis Alejandro Bello Luis Alfonso Meja Luz Marina Moya Luz Mary Ariza Mara C. Rodrguez Martha Alvarado Martha Moreno Matilde Pez Nelson Urrego Nicols Civetta Rafael Castro Vladimir Moreno Universidad Antonio Nario Orlando Vanegas Universidad Autnoma Gladys Villamarn Marco Tulio Milln Universidad Catlica de Colombia Ana Mercedes Mrquez Carlos Daza Carlos Hernando Pinzn Felipe Lara Gerardo Ardila Germn Beltrn Javier Manotas Libardo Ortegn Lorenzo Zubieta Miguel ngel Martnez Rgulo Miguel Hernndez Rubn Daro Castaeda Universidad de Amrica Edgar Rodrguez Hctor Lozano Jaime Bolaos Margarita Ruiz Universidad de la Sabana Hctor Lpez Mara Lilia Perilla Universidad de San Buenaventura Elmer Villegas Hernn Pineda Patricia Mateus Wilson Soto Universidad de San Martn Jaime Preciado Universidad del Bosque Libardo Munevar Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas Abrahan Jimnez Adrin Ricardo Gmez Carmen Leonor Pulido Claudia Vela Clemencia Garavito Gloria Neira Ignacio Rodrguez Janeth Galeano Jos Mara Pino Jos Villada Luis Martn Mara Astrid Cuida Mara del Pilar Bohrquez Nayive Nieves Pablo Acosta Rodrigo Javier Herrera Zulima Ortiz Universidad INCCA de Colombia Jorge Elicer Rodrguez Agradecimientos a los profesores

18. Universidad Militar Nueva Granada Arturo Ramrez Felipe A. Riao Jos Farid Patio Luis Antonio Meza Universidad Nacional Hctor Useche Herbert Dueas Universidad Piloto Carlos Garzn William Arley Rincn Universidad Santo Toms Eunice Chara Gloria Torres Marlene Garzn GUATEMALA Universidad de San Carlos Arturo Samayoa MXICO Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Beatriz Rumbos Pellicer Claudia Gmez Wulschner Lorena Zogaib Mara del Carmen Lpez Laiseca Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Carlos Cruz Prisciliano Aguilar Viveros Universidad Anhuac del Sur Vicente Rivera Universidad Iberoamericana Humberto Mondragn Surez Universidad La Salle Gustavo Velzquez Garduo Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Ecatepec Francisco Javier Vargas Mancilla Gabriel Ramrez Dmaso Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de Mxico FaustinoYescas Martnez Rubn Daro Santiago Acosta Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca Jos Arturo Tar Ortiz Peralta Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Sinaloa Jos Benigno Valdez Torres Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Guadalajara Abel Vzquez Prez Abelardo Ernesto Damy Sols Guillermo Rodrguez Lpez Humberto Hiplito Garca Daz Jess Cuauhtmoc Ruvalcaba lvarez Luis Eduardo Falcn Morales Luz Mara Gonzlez Urea Mara Elisa Barrn Garca Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Len Enrique Garibay Ruiz Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Guadalajara Csar Espinosa Abundis Enrique Rodrguez Ruiz Hctor Vidaurri Aguirre Roberto Nez Malherbe Centro de Enseanza Tcnica Industrial, Guadalajara Michael Vollger Zaepfel Universidad de Guadalajara Francisco Javier Gonzlez Pia Guadalupe Isabel Rodrguez Medina Jorge Mario Arellano Hernndez Jos de Jess Uribe Madrigal Luca Gonzlez Rendn Mara de Lourdes Martnez Silva Mara Esther Meja Marn Toms Ignacio Villaseor Saavedra Universidad Autnoma de Nuevo Len Alejandro Garca Garca Anglica Tovar Gmez Bertha Arellano Silva Gloria Pedroza Cant Mara Magdalena de la Rosa Resndiz Santiago Neyra Rosales Sergio Elizondo Arroyave Yenny Valenzuela Murillo Universidad Regiomontana Luis Alberto Rodrguez Escamilla Ma. Teresa Narvez Flores Neyda Eliza Lpez Leal Universidad Autnoma de San Luis Potos Jos Csar Hernndez Garca Mara Guadalupe Silva Esparza Universidad Autnoma de Tamaulipas Ramiro Garza Molina Instituto Tecnolgico de Veracruz Mario Martnez Cano Universidad Veracruzana Dolores Vera Dector Uriel Garca Ortiz PER Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Agustn Curo REPBLICA DOMINICANA Instituto Tecnolgico de Santo Domingo Coride Prez Mximo A. Campuzano Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra Masako Saito Universidad Autnoma de Santo Domingo Carlos Feliz Snchez Carlos Mayobanet Cabral David Torrez Universidad Apec Justo Bez Universidad Catlica Tecnolgica del Cibao Cristian Mercedes Cruz Universidad Iberoamericana Mximo Santana VENEZUELA Universidad Central de Venezuela Mara de Armas Martha Zerpa Universidad Metropolitana Antonio Syers Lida Nio Universidad Simn Bolvar Mara Rosa Brito Universidad del Zulia Daniel Duque xvi Agradecimientos a los profesores

19. INTRODUCCIN En este captulo se presenta un repaso de las ideas bsicas necesarias para iniciar el estudio del clculo. Entre los temas se incluyen el sistema de nmeros reales, las coordenadas en el plano cartesiano, las lneas rectas, las parbolas, los crculos, las funciones y la trigonometra. Tambin se analiza el uso de calculadoras graficadoras y de programas para graficacin por computadora. 1 PRELIMINARES Captulo 1 Los nmeros reales y la recta real Esta seccin trata de los nmeros reales, las desigualdades, los intervalos y las propiedades del valor absoluto. Nmeros reales Gran parte del clculo se basa en las propiedades del sistema de nmeros reales. Los n- meros reales son aquellos que pueden expresarse como decimales, por ejemplo En cada caso, los puntos suspensivos indican que la sucesin de dgitos decimales con- tina indefinidamente. Cualquier expansin decimal posible representa un nmero real, aunque algunos nmeros tienen dos representaciones. Por ejemplo, los decimales infinitos .999 y 1.000 representan el mismo nmero real, 1. Una afirmacin similar es vlida para cualquier nmero con una infinita fila de nueves. Los nmeros reales pueden representarse geomtricamente como puntos sobre una recta numrica, llamada recta real. El smbolo denota tanto al sistema de nmeros reales como a la recta real. Las propiedades del sistema de nmeros reales se clasifican en tres categoras: propiedades algebraicas, propiedades de orden y propiedad de completez. Las propiedades algebraicas establecen que los nmeros reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse (excepto entre 0) para obtener ms nmeros reales bajo las reglas usuales de la aritmtica. No es posible dividir entre 0. 2 1 0 1 2 3 43 4 1 3 2 22 = 1.4142 1 3 = 0.33333 - 3 4 = -0.75000 1.1

20. En el apndice 4 se dan las propiedades de orden de los nmeros reales. A partir de ellas pueden obtenerse las siguientes reglas tiles, donde el smbolo significa implica.Q 2 Captulo 1: Preliminares Reglas para desigualdades Si a, b y c son nmeros reales, entonces: 1. 2. 3. 4. Caso especial: 5. 6. Si tanto a como b son ambos positivos o ambos negativos, entonces a 6 b Q 1 b 6 1 a a 7 0 Q 1 a 7 0 a 6 b Q -b 6 -a a 6 b y c 6 0 Q bc 6 ac a 6 b y c 7 0 Q ac 6 bc a 6 b Q a - c 6 b - c a 6 b Q a + c 6 b + c Tenga en cuenta las reglas para multiplicar una desigualdad por un nmero. Al multiplicar por un nmero positivo se conserva el sentido de desigualdad; cuando se multiplica por un nmero negativo el sentido de desigualdad cambia. Por otro lado, tomar recprocos invier- te el sentido de desigualdad cuando los nmeros son del mismo signo. Por ejemplo, pero y En el caso del sistema de nmeros reales, la propiedad de completez* es compleja y difcil de definir con precisin; sin embargo, es esencial para comprender el concepto de lmite (captulo 2). A grandes rasgos, la propiedad de completez afirma que hay suficien- tes nmeros reales para completar la recta real, en el sentido que no haya vacos o fal- tantes o huecos en ella. Si el sistema de nmeros reales no cumpliera con esta propiedad, muchos teoremas de clculo careceran de validez. Por conveniencia, el tema se deja para un curso ms avanzado, pero el apndice 4 da una idea de sus implicaciones y de cmo se construyen los nmeros reales. Entre los nmeros reales pueden distinguirse tres subconjuntos especiales. 1. Los nmeros naturales, digamos 1, 2, 3, 4, . . . 2. Los nmeros enteros, como 3. Los nmeros racionales, es decir, aquellos que pueden expresarse como una fraccin m/n, donde m y n son enteros y Por ejemplo Los nmeros racionales son precisamente los nmeros reales con expansiones decimales, que son (a) finitas (terminan con una secuencia infinita de ceros), por ejemplo (b) peridicas (terminan con un bloque de dgitos que se repite una y otra vez), por ejemplo, La barra indica el bloque de dgitos que se repite. 23 11 = 2.090909 = 2.09 3 4 = 0.75000 = 0.75 o 1 3 , - 4 9 = -4 9 = 4 -9 , 200 13 , y 57 = 57 1 . n Z 0. 0, ;1, ;2, ;3, 1>2 7 1>5.-2 7 -5 2 6 5 * A este trmino tambin se le conoce como propiedad de densidad o de completitud.

21. Las expansiones decimales finitas representan un tipo especial de repeticin decimal de final de ceros repetidos. El conjunto de nmeros racionales tiene todas las propiedades algebraicas y de orden de los nmeros reales, pero carece de la propiedad de completez. Por ejemplo, no existe un nmero racional cuyo cuadrado sea 2; esto quiere decir que hay un vaco en la recta racional, donde debera estar . Los nmeros reales que no son racionales se llaman nmeros irracionales, y se carac- terizan por tener expansiones decimales no finitas y no peridicas. Por ejemplo, y Como cada expansin decimal representa un nmero real, resulta evidente que la cantidad de nmeros irracionales es infinita. Podemos encontrar tanto nmeros racionales como irracionales arbitrariamente cercanos a cualquier punto de la recta real. La notacin de conjuntos es muy til para especificar un subconjunto de nmeros reales. Un conjunto es una coleccin de objetos, los mismos que constituyen los elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notacin significa que a es un elemento de S, y significa que a no es un elemento de S. Si S y T son conjuntos, es su unin, y sta consiste de todos los elementos que pertenecen a S o a T (o tanto a S como a T). La interseccin consiste de todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, S y T. El conjunto vaco es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo, la interseccin de los nmeros racionales y los nmeros irracionales es el conjunto vaco. Algunos conjuntos pueden describirse al listar sus elementos separados por comas entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, conformado por los nmeros naturales (o enteros positivos) menores que 6, puede expresarse como El conjunto de todos los nmeros enteros se escribe como Otra manera de describir un conjunto, consiste en encerrar entre llaves una regla que genere todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto es el conjunto de los enteros positivos menores que 6. Intervalos Un subconjunto de la recta real recibe el nombre de intervalo si contiene por lo menos dos nmeros y todos los nmeros reales que estn entre cualquier par de sus elementos. Por ejemplo, el conjunto de todos los nmeros reales x tales que es un intervalo, as como el conjunto de todos los x tales que El conjunto de todos los nmeros reales distintos de cero no es un intervalo; como el 0 no se incluye, el conjunto no cumple con la condicin de contener todos los nmeros reales entre y 1 (por ejemplo). Geomtricamente, los intervalos corresponden a rayos y segmentos de recta sobre la recta real o a lo largo de la misma. Los intervalos de nmeros que corresponden a segmentos de recta son intervalos finitos; los intervalos que corresponden a rayos y a la recta real son intervalos infinitos. Decimos que un intervalo finito es cerrado si incluye sus dos extremos, semiabierto si incluye uno de sus extremos pero no el otro, y abierto si no incluye ninguno de sus extremos. Los extremos tambin se llaman puntos frontera, ya que conforman precisamente la frontera del intervalo. El resto de los puntos del intervalo son puntos interiores, y constituyen el interior del intervalo. Los intervalos infinitos, que corresponden a rayos, son cerrados si contienen su extremo finito, de lo contrario son abiertos. La recta real completa es un intervalo infinito que es tanto abierto como cerrado. Resolucin de desigualdades Al proceso de encontrar el intervalo o intervalos de nmeros que satisfacen una desigualdad en x se le llama resolver la desigualdad. -1 -2 x 5. x 7 6 A = 5x x es un entero y 0 6 x 6 66 50, ;1, ;2, ;3, 6. A = 51, 2, 3, 4, 56. S T S Ta x S a H S log10 3.23 5, p, 22, 22 1.1 Los nmeros reales y la recta real 3

22. EJEMPLO 1 Resolver las siguientes desigualdades y mostrar su solucin en forma de desigualdad, en forma de intervalo y en forma grfica. (a) (b) (c) Solucin (a) Sumar 1 en ambos lados. Restar x en ambos lados. El conjunto solucin es el intervalo abierto (figura 1.1a). (b) Multiplicar por 3 ambos lados. Sumar x en ambos lados. Restar 3 en ambos lados. Dividir entre 7.- 3 7 6 x -3 6 7x 0 6 7x + 3 -x 6 6x + 3 - x 3 6 2x + 1 s- q, 4d x 6 4 2x 6 x + 4 2x - 1 6 x + 3 6 x - 1 5- x 3 6 2x + 12x - 1 6 x + 3 4 Captulo 1: Preliminares TABLA 1.1 Tipos de intervalos Descripcin Notacin del conjunto Tipo Figura Finito: (a, b) Abierto [a, b] Cerrado [a, b) Semiabierto (a, b] Semiabierto Infinito: Abierto Cerrado Abierto Cerrado (conjunto de todos Ambos los nmeros reales) abierto y cerrado s- q, qd 5x x b6s- q, b] 5x x 6 b6s- q, bd 5x x a6[a, qd 5x x 7 a6sa, qd 5x a 6 x b6 5x a x 6 b6 5x a x b6 5x a 6 x 6 b6 a b a b a b a a b b b a 0 0 0 1 1 1 4 (a) 3 7 (b) 11 5 (c) x x x FIGURA 1.1 Conjuntos solucin para las desigualdades del ejemplo 1.

23. El conjunto solucin es el intervalo abierto (figura 1.1b). (c) La desigualdad puede satisfacerse solamente si ya que en cualquier otro caso no est definido o es negativo. As, es positivo y la desigualdad no se altera si multiplicamos ambos lados por y tenemos que Multiplicar ambos lados por Sumar 5 en ambos lados. El conjunto solucin es el intervalo semiabierto (1, ] (figura 1.1c). Valor absoluto El valor absoluto de un nmero x, denotado por se define como EJEMPLO 2 Encontrar los valores absolutos Geomtricamente, el valor absoluto de x es la distancia de x a 0 sobre la recta real. Como las distancias siempre son positivas o 0, si vemos que para todo nmero real x, y si y slo si Tambin la distancia entre x y y sobre la recta real (figura 1.2). Como el smbolo denota siempre la raz cuadrada no negativa de a, una definicin alternativa de es Es importante recordar que No se puede escribir a menos que se- pamos de antemano que El valor absoluto tiene las propiedades siguientes. (Se le pedir que pruebe estas propiedades en los ejercicios). a 0. 2a2 = a2a2 = a . x = 2x2 . x 2a x - y = es igual a la distancia entre x y y x = 0. x = 0 x 0 3 = 3, 0 = 0, -5 = -s -5d = 5, - a = a x = e x, x 0 -x, x 6 0. x , 11>5 O x 11 5 . 11 5 x. 11 5x sx - 1d.6 5x - 5 6 x - 1 5 sx - 1d, sx - 1d6>sx - 1d x 7 1,6>sx - 1d 5 s-3>7, qd 1.1 Los nmeros reales y la recta real 5 5 5 3 4 1 1 4 3 5 0 3 1 4 FIGURA 1.2 Los valores absolutos indican las distancias entre los puntos de la recta numrica. Propiedades del valor absoluto 1. Un nmero y su inverso aditivo o negativo tienen el mismo valor absoluto. 2. El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. 3. El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos. 4. La desigualdad triangular. El valor absoluto de la suma de dos nmeros es menor o igual que la suma de sus valores absolutos. a + b a + b ` a b ` = a b ab = a b -a = a

24. Observe que Por ejemplo, mientras que Si a y b tienen distinto signo, entonces en cualquier otro caso, En expresiones como es igual a Las barras que denotan valor absoluto fun- cionan como los parntesis: deben realizarse las operaciones aritmticas del interior antes de tomar el valor absoluto. EJEMPLO 3 Ilustrar la desigualdad triangular La desigualdad indica que la distancia de x a 0 es menor que el nmero positivo a. Esto significa que x debe estar entre -a y a, como puede verse en la figura 1.3. Todos los siguientes enunciados son consecuencia de la definicin de valor absoluto, y suelen ser tiles en la resolucin de ecuaciones o desigualdades con valor absoluto. x 6 a -3 - 5 = -8 = 8 = -3 + -5 3 + 5 = 8 = 3 + 5 -3 + 5 = 2 = 2 6 -3 + 5 = 8 -3 + 5 a + b . a + b a + b . a + b - 3 = -3. -3 = 3, -a Z - a . 6 Captulo 1: Preliminares a 0 ax aa x FIGURA 1.3 significa que x est entre y a.-a x 6 a Valores absolutos e intervalos Si a es cualquier nmero positivo, entonces 5. 6. 7. 8. 9. x a si y slo si x a o x -a x a si y slo si -a x a x 7 a si y slo si x 7 a o x 6 -a x 6 a si y slo si -a 6 x 6 a x = a si y slo si x = ;a En matemtica, el smbolo denota con frecuencia la relacin lgica si y slo si. Tambin significa implica y es implicado por. EJEMPLO 4 Resolver una ecuacin con valores absolutos Resolver la ecuacin Solucin De acuerdo con la propiedad 5, as que hay dos posibilidades: Resolver como de costumbre. Las soluciones de son y EJEMPLO 5 Resolver una desigualdad con valor absoluto Resolver la desigualdad ` 5 - 2 x ` 6 1. x = -2.x = 5 2x - 3 = 7 x = 5 x = -2 2x = 10 2x = -4 Ecuaciones equivalentes sin valores abolutos.2x - 3 = 7 2x - 3 = -7 2x - 3 = ;7, 2x - 3 = 7. 3

25. Solucin Tenemos Propiedad 6 Restar 5. Tomar recprocos. Observe cmo se emplearon aqu las distintas reglas para las desigualdades. Multiplicar por un nmero negativo cambia el sentido de la desigualdad. Sucede lo mismo al tomar recprocos en una desigualdad cuyos dos lados son positivos. La desigualdad original se satisface si y slo si El conjunto solucin es el intervalo abierto ( , ). EJEMPLO 6 Resolver la desigualdad y mostrar el conjunto solucin en la recta real: (a) (b) Solucin (a) Propiedad 8 Restar 3. Dividir entre 2. El conjunto solucin es el intervalo cerrado [1, 2] (figura 1.4a). (b) Propiedad 9 Dividir entre 2. Sumar El conjunto solucin es (figura 1.4b).s- q, 1] [2, qd 3 2 .x 2 o x 1 x - 3 2 1 2 o x - 3 2 - 1 2 2x - 3 1 o 2x - 3 -1 2x - 3 1 1 x 2 2 2x 4 -1 2x - 3 1 2x - 3 1 2x - 3 1 2x - 3 1 1>21>3s1>3d 6 x 6 s1>2d. 3 1 3 6 x 6 1 2 . Multiplicar por - 1 2 .3 3 7 1 x 7 2 3 -6 6 - 2 x 6 -4 ` 5 - 2 x ` 6 1 3 -1 6 5 - 2 x 6 1 1.1 Los nmeros reales y la recta real 7 1 2 1 2 (a) (b) x x FIGURA 1.4 Los conjuntos solucin (a) [1, 2] y (b) del ejemplo 6. s- q, 1] [2, qd EJERCICIOS 1.1 Representacin decimal 1. Exprese 1/9 como un decimal peridico, usando una barra para indicar los dgitos que se repiten. Cules son las expansiones decimales de las siguientes fracciones: 2/9, 3/9, 8/9 y 9/9? 2. Exprese 1/11 como un decimal peridico, usando una barra para indicar los dgitos que se repiten. Cules son las expansiones decimales de las siguientes fracciones: 2/11, 3/11, 9/11 y 11/11? Desigualdades 3. Si cules de las siguientes afirmaciones acerca de x son necesariamente ciertas y cules no son necesariamente ciertas? a. b. c. d. e. f. g. h. -6 6 -x 6 -2-6 6 -x 6 2 x - 4 6 21 6 6 x 6 3 1 6 6 1 x 6 1 2 1 6 x 2 6 3 0 6 x - 2 6 40 6 x 6 4 2 6 x 6 6,

26. 4. Si cules de las siguientes afirmaciones acerca de y son necesariamente ciertas y cules no son necesariamente ciertas? a. b. c. d. e. f. g. h. En los ejercicios 5-12, resuelva las desigualdades y muestre su conjunto solucin en forma grfica (sobre la recta real). 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Valor absoluto Resuelva las ecuaciones en los ejercicios 13-18. 13. 14. 15. 16. 17. 18. Resuelva las desigualdades en los ejercicios 19-34, expresando los conjuntos solucin como intervalos o uniones de intervalos. Asimismo, muestre el conjunto solucin en forma grfica (sobre la recta real). 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. ` 3r 5 - 1 ` 7 2 5 ` r + 1 2 ` 1 2 - 3x 7 5 1 - x 7 1 s + 3 1 2 2s 4` 2 x - 4 ` 6 3 ` 3 - 1 x ` 6 1 2 ` 3 2 z - 1 ` 2` z 5 - 1 ` 1 2y + 5 6 1 3y - 7 6 4 t + 2 6 1 t - 1 3 x 2 x 6 2 ` s 2 - 1 ` = 1 8 - 3s = 9 2 1 - t = 1 2t + 5 = 4 y - 3 = 7 y = 3 - x + 5 2 12 + 3x 4 4 5 sx - 2d 6 1 3 sx - 6d 6 - x 4 6 3x - 4 2 2x - 1 2 7x + 7 6 3s2 - xd 7 2s3 + xd5x - 3 7 - 3x 8 - 3x 5-2x 7 4 y - 5 6 1 1 6 6 1 y 6 1 4 2 6 y 2 6 30 6 y - 4 6 2 y 6 6y 7 4 -6 6 y 6 -44 6 y 6 6 -1 6 y - 5 6 1, Desigualdades cuadrticas Resuelva las desigualdades en los ejercicios 35-42. Exprese el conjun- to solucin en forma de intervalos o uniones de intervalos, y en forma grfica (en la recta real). Use el resultado segn convenga. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. Teora y ejemplos 43. Evite caer en el error de que Para cules nmeros reales a es verdadera esta ecuacin? Para cules nmeros reales es falsa? 44. Resuelva la ecuacin 45. Una demostracin de la desigualdad triangular D una razn que justifique cada uno de los pasos numerados en la siguiente demostracin de la desigualdad triangular. (1) (2) (3) (4) 46. Demuestre que para cualesquiera nmeros a y b. 47. Si y qu se puede decir acerca de x? 48. Trace la grfica de la desigualdad 49. Sea y sea cualquier nmero positivo. De- muestre que implica Aqu la notacin se refiere al valor de la expresin cuando Esta notacin de funcin se explica en la seccin 1.3. 50. Sea y sea cualquier nmero positivo. Demuestre que Aqu la notacin se refiere al valor de la expresin cuando (Vea la seccin 1.3). 51. Demuestre que para cualquier nmero a. 52. Sea a cualquier nmero positivo. Demuestre que si y slo si o 53. a. Si b es cualquier nmero real distinto de cero, demuestre que b. Demuestre que a y b Z 0. 54. Usando induccin matemtica (vea el apndice 1), demuestre que para cualquier nmero a y n un entero positivo. an = a n ` a b ` = a b para cualesquiera nmeros 1>b = 1> b . x 6 -a.x 7 a x 7 a -a = a . x = a. 2x + 3(a) sxd - s0d 6 P siempre que x - 0 6 P 2 . P 7 0sxd = 2x + 3 x = a. 2x + 1(a) sxd - s1d 6 2d. x - 1 6 d d 7 0sxd = 2x + 1 x + y 1. x 7 -1>2, x 3 ab = a b a + b a + b = s a + b d2 = a 2 + 2 a b + b 2 a2 + 2 a b + b2 = a2 + 2ab + b2 a + b 2 = sa + bd2 x - 1 = 1 - x. -a = a. x2 - x - 2 0x2 - x 6 0 sx + 3d2 6 2sx - 1d2 6 4 1 9 6 x2 6 1 4 4 6 x2 6 94 x2 x2 6 2 2a2 = a 8 Captulo 1: Preliminares

27. 1.2 Rectas, crculos y parbolas 9 Rectas, crculos y parbolas En esta seccin hablaremos de coordenadas cartesianas, rectas, distancia, crculos y parbolas en el plano. Tambin se discutir el concepto de incremento. Coordenadas cartesianas en el plano En la seccin anterior identificamos puntos sobre la recta con nmeros reales asignndo- les coordenadas. Los puntos que estn en el plano pueden identificarse como pares orde- nados de nmeros reales. Para empezar, trazamos dos rectas coordenadas perpendiculares que se intersecan en el punto 0 de cada recta. Estas rectas se llaman ejes coordenados en el plano. En el eje horizontal x, los nmeros se denotan mediante x y se incrementan hacia la derecha. En el eje vertical y, los nmeros se denotan mediante y y se incrementan hacia arriba (figura 1.5). En consecuencia, hacia arriba y hacia la derecha son direcciones positivas, mientras que hacia abajo y hacia la izquierda son consideradas como negati- vas. El origen O tambin identificado con un 0 del sistema de coordenadas es el punto del plano donde x y y son cero. Si P es cualquier punto en el plano, puede ser localizado mediante, exactamente, un par ordenado de nmeros reales de la siguiente manera. Se trazan rectas que pasen por P y sean perpendiculares a los dos ejes coordenados. Si estas rectas intersecan los ejes x y y en puntos con coordenadas a y b, respectivamente (figura 1.5), entonces el par ordenado (a, b) se asigna al punto P, y se llama par coordenado. El primer nmero, a, es la coordenada x (o abscisa) de P; el segundo nmero, b, es la coordenada y (u ordenada) de P. La coordenada x de cualquier punto en el eje y es 0. La coordenada y de cualquier punto en el eje x es 0. El origen es el punto (0, 0). Empezando con un par ordenado (a, b), podemos invertir el proceso y llegar al punto P correspondiente en el plano. Frecuentemente identificamos P con el par ordenado y escri- bimos P(a, b). Algunas veces tambin nos referimos al punto (a, b) y el contexto nos permitir saber cuando (a, b) se refiere a un punto en el plano y no a un intervalo abierto en la recta real. En la figura 1.6 se muestran varios puntos identificados por sus coordenadas. Este sistema de coordenadas se denomina sistema rectangular de coordenadas o sistema de coordenadas cartesianas (en honor de Ren Descartes, matemtico francs del siglo XVI). Los ejes coordenados de este plano coordenado o cartesiano dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, numerados en sentido contrario al movimien- to de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 1.6. La grfica de una ecuacin o desigualdad en las variables x y y es el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano, cuyas coordenadas satisfacen la ecuacin o desigualdad. Cuando se grafican datos en el plano cartesiano o se traza la grfica de frmulas con variables que tienen distintas unidades de medida, no es necesario usar la misma escala en los dos ejes. Si graficamos, por ejemplo, tiempo contra fuerza de propulsin al analizar el comportamiento del motor de un cohete, no hay razn para colocar la marca que muestra 1 segundo a la misma distancia del origen sobre el eje del tiempo, que la marca que identifica 1 libra sobre el eje de la fuerza de propulsin. En general, cuando se grafican funciones cuyas variables no representan medidas fsicas y cuando se trazan figuras en el plano cartesiano para estudiar su geometra y trigonometra, se intenta que las marcas de las escalas sean idnticas en ambos ejes. As, una unidad vertical de distancia se ve igual que una unidad horizontal. Como en un mapa topogrfico o en un dibujo a escala, los segmentos de recta que supuestamente tengan la misma longitud se vern de un largo equivalente, y los ngulos que supuestamente sean congruentes se vern congruentes. Las pantallas de calculadoras o computadoras son otro asunto. Las escalas vertical y horizontal de las grficas generadas por computadora suelen diferir, y existen distorsiones en distancias, pendientes y ngulos. Los crculos se pueden ver como elipses, los rectngulos pueden verse como cuadrados, los ngulos rectos como agudos u obtusos, etctera. En la seccin 1.7 estudiaremos con ms detalle estas imgenes y distorsiones. 1.2 Eje x positivo Eje y negativo Eje x negativo Origen Eje y positivo P(a, b) 0 1123 2 3a y 1 1 2 3 2 3 b x FIGURA 1.5 Las coordenadas cartesianas del plano se basan en dos ejes perpendiculares que se intersecan en el origen. x y Segundo cuadrante (, ) Primer cuadrante (, ) Tercer cuadrante (, ) Cuarto cuadrante (, ) 1012 2 (0, 0) (1, 0) (2, 1) (1, 3) (1, 2) ( 2, 1) ( 2, 1) 1 1 2 2 3 FIGURA 1.6 Identificacin de puntos en el plano xy o plano cartesiano. Todos los puntos sobre los ejes tienen un par coordenado, pero usualmente estn marcados con un solo nmero real (de manera que (1, 0) en el eje x se identifica con 1). Observe los patrones de los signos de las coordenadas en los cuadrantes.

28. Incrementos y rectas Cuando una partcula se mueve de un punto del plano a otro, los cambios netos en sus coordenadas reciben el nombre de incrementos. Tales incrementos se calculan restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final. Si x cambia de a el incremento en x es EJEMPLO 1 Si vamos del punto al punto B(2, 5), los incrementos en las coordenadas x y y son De C(5, 6) a D(5, 1), los incrementos de las coordenadas son Vea la figura 1.7. Dados dos puntos y en el plano, llamamos a los incrementos y el avance y la elevacin, respectivamente, entre y Dos puntos determinan siempre una nica lnea recta (por lo general denominada simplemente recta) que pasa por ambos. La llamamos recta Cualquier recta no vertical en el plano tiene la propiedad de que la razn Es la frmula dados dos puntos y en la recta (figura 1.8). Esto se debe a que las razones de los lados correspondientes de dos tringulos semejantes son iguales. P2sx2, y2dP1sx1, y1d m = elevacin corrida = y x = y2 - y1 x2 - x1 P1P2. P2.P1y = y2 - y1x = x2 - x1 P2sx2, y2dP1sx1, y1d x = 5 - 5 = 0, y = 1 - 6 = -5. x = 2 - 4 = -2, y = 5 - s -3d = 8. As4, -3d x = x2 - x1. x2,x1 10 Captulo 1: Preliminares DEFINICIN Pendiente La constante es la pendiente de la recta no vertical P1P2. m = elevacin corrida = y x = y2 - y1 x2 - x1 La pendiente nos indica la direccin (hacia arriba, hacia abajo) a la derecha y la inclinacin de una recta. Una recta con pendiente positiva va hacia arriba a la derecha; una recta con pendiente negativa va hacia abajo a la derecha (figura 1.9). A medida que aumenta el valor absoluto de la pendiente, ms rpido es el ascenso o el descenso de la recta, es decir, mayor es su inclinacin. Una recta con pendiente cero tiene direccin horizontal y no tiene inclinacin. La pendiente de una recta vertical es indefinida. Como el avance es cero en el caso de una recta vertical, resulta imposible evaluar la razn de la pendiente m. La direccin y la inclinacin de una recta tambin pueden medirse con un ngulo. El ngulo de inclinacin de una recta que cruza el eje x es el menor ngulo medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj del eje x a la recta (figura 1.10). La inclinacin de una recta horizontal es 0. La inclinacin de una recta vertical es 90. Si (la letra griega phi, o fi) es la inclinacin de una recta, entonces 0 f 6 180. f x y 8 x 2 A(4, 3) (2, 3) y 5, x 0 D(5, 1) C(5, 6) B(2, 5) 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 1 2 3 y x FIGURA 1.7 Los incrementos de las coordenadas pueden ser positivos, negativos o nulos (ejemplo 1). P1 P2 (x2 , y2 ) x x (corrida) P1 (x1 , y1 ) Q(x2 , y1 ) y (eleva cin) y P2 0 Q L x y FIGURA 1.8 Los tringulos y son semejantes, de manera que la razn de sus lados tiene el mismo valor para cualesquiera dos puntos sobre la recta. Este valor comn es la pendiente de la recta. P1QP2 P1QP2 BIOGRAFA HISTRICA* Ren Descartes (15961650) *Para aprender ms acerca de las figuras histricas y del desarrollo de los elementos y temas principales del clculo, visite www.aw-bc.com/thomas.

29. En la figura 1.11 se muestra la relacin entre la pendiente m de una recta no vertical y el ngulo de inclinacin de la misma: Las rectas tienen ecuaciones relativamente sencillas. Todos los puntos sobre la recta vertical que pasa por el punto a, en el eje x tienen coordenadas x iguales a a. Por lo tanto, es una ecuacin para la recta vertical. De manera similar, es una ecuacin para la recta horizontal que interseca el eje y en b. (Vea la figura 1.12). Podemos escribir una ecuacin para una recta no vertical L si conocemos su pendiente m y las coordenadas, de uno de sus puntos. Si P(x, y) es cualquier otro punto en L, podemos usar los dos puntos y P para calcular la pendiente: de manera que y - y1 = msx - x1d o y = y1 + msx - x1d. m = y - y1 x - x1 P1 P1sx1, y1d y = bx = a m = tan f. f 1.2 Rectas, crculos y parbolas 11 La ecuacin es la ecuacin punto-pendiente de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente m. sx1, y1d y = y1 + msx - x1d EJEMPLO 2 Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente 3/2. Solucin Sustituimos y en la ecuacin punto-pendiente para obtener Cuando as la recta interseca el eje y en EJEMPLO 3 Una recta que pasa por dos puntos Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por y (3, 4). Solucin La pendiente de la recta es Podemos usar esta pendiente con cualquiera de los dos puntos dados en la ecuacin punto- pendiente: Con Con Algunos resultados Esto es, es la ecuacin de la recta (figura 1.13).y = x + 1 y = x + 1y = x + 1 y = 4 + x - 3y = -1 + x + 2 y = 4 + 1 # sx - 3dy = -1 + 1 # sx - s-2dd sx1 , y1d s3, 4dsx1 , y1d s2, 1d m = -1 - 4 -2 - 3 = -5 -5 = 1. s -2, -1d y = 6.x = 0, y = 6 y = 3 - 3 2 Ax - 2B, o y = - 3 2 x + 6. m = -3>2x1 = 2, y1 = 3, x y P1 P2 L y x y x m tan FIGURA 1.11 La pendiente de una recta no vertical es la tangente de su ngulo de inclinacin. este s este no este s este no x x FIGURA 1.10 Los ngulos de inclinacin se miden en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, a partir del eje x. x y P2(4, 2) P1(0, 5) P4(3, 6) P3(0, 2) 10 1 1 2 3 4 6 2 3 4 5 6 L2 L1 FIGURA 1.9 La pendiente de es Esto es, y aumenta 8 unidades cada vez que x se incrementa 3 unidades. La pendiente de es Esto es, y disminuye 3 unidades cada vez que x se reduce 4 unidades. m = y x = 2 - 5 4 - 0 = -3 4 . L2 m = y x = 6 - s-2d 3 - 0 = 8 3 . L1

30. La coordenada y del punto donde una recta no vertical interseca el eje y se llama ordenada al origen de la recta. De forma similar, la abscisa al origen de una recta no horizontal es la coordenada x del punto donde interseca el eje x (figura 1.14). Una recta con pendiente m y ordenada al origen b en y pasa por el punto (0, b), tiene la ecuacin y = b + msx - 0d, o, simplemente, y = mx + b. 12 Captulo 1: Preliminares x y 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 A lo largo de esta recta, x 2 A lo largo de esta recta, y 3 (2, 3) FIGURA 1.12 Las ecuaciones estndar para las rectas vertical y horizontal que pasan por (2, 3) son x = 2 y y = 3. La ecuacin se denomina ecuacin pendiente-ordenada al origen de la recta con pendiente m e interseccin con el eje y, u ordenada al origen, b. y = mx + b Las rectas con ecuaciones de la forma tienen interseccin con el eje y 0 y, por lo tanto, pasan por el origen. Las ecuaciones de esas rectas reciben el nombre de ecuaciones lineales. La ecuacin se conoce como ecuacin general lineal en x y y, ya que su grfica siempre representa una recta y toda recta tiene una ecuacin con esta forma (incluyendo las rectas con pendiente indefinida). EJEMPLO 4 Encontrar la pendiente y la ordenada al origen Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta y Solucin Se despeja y de la ecuacin a fin de ponerla en la forma pendiente-ordenada al origen: La pendiente es La ordenada y al origen es Rectas paralelas y perpendiculares Las rectas paralelas tienen el mismo ngulo de inclinacin, de manera que tienen la misma pendiente (si no son verticales). Recprocamente, las rectas con pendientes iguales tienen el mismo ngulo de inclinacin y son, por lo tanto, paralelas. Si dos rectas no verticales y son perpendiculares, sus pendientes y satisfacen de manera que cada pendiente es el recproco negativo de la otra: Para comprobarlo, observe que, de acuerdo con los tringulos semejantes de la figura 1.15, y Por lo tanto, m1m2 = sa>hds -h>ad = -1.m2 = -h>a.m1 = a>h, m1 = - 1 m2 , m2 = - 1 m1 . m1m2 = -1, m2m1L2L1 b = 4.m = -8>5. y = - 8 5 x + 4. 5y = -8x + 20 8x + 5y = 20 8x + 5y = 20. Ax + By = C sA o B distintas de cerod y = mx x y b 0 a L FIGURA 1.14 La recta L tiene una interseccin x a y una interseccin y b. x y 4 02 1 2 3 1 (2, 1) (3, 4) y x 1 FIGURA 1.13 La recta del ejemplo 3.

31. Distancia y crculos en el plano La distancia entre puntos en el plano se calcula a partir de la frmula del teorema de Pit- goras (figura 1.16). 1.2 Rectas, crculos y parbolas 13 x y 0 A D Ba Pendiente m1 Pendiente m2 C L2 L1 h 1 2 1 FIGURA 1.15 es semejante a En consecuencia, tambin es el ngulo superior en A partir de los lados de vemos que tan f1 = a>h.CDB, CDB. f1CDB. ADC x2 x1 P(x1 , y1) y2 y1 C(x2 , y1) Q(x2 , y2) x2 x12 y2 y12 d (x2 x1)2 (y2 y1)2 Esta distancia es x y 0 x1 y1 y2 x2 FIGURA 1.16 Para calcular la distancia entre y aplicamos el teorema de Pitgoras al tringulo PCQ. Qsx2 , y2d,Psx1 , y1d Frmula de distancia para puntos en el plano La distancia entre y es d = 2sxd2 + syd2 = 2sx2 - x1d2 + sy2 - y1d2 . Qsx2, y2dPsx1, y1d (1)(x - h)2 + (y - k)2 = a2 . EJEMPLO 5 Calcular la distancia entre dos puntos (a) La distancia del origen al punto y Q(3, 4) es (b) La distancia entre el origen y P(x, y) es Por definicin, un crculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P(x, y) cuya distancia desde algn punto fijo, llamado centro del crculo, C(h, k) es igual a a (figura 1.17). De acuerdo con la frmula de la distancia, P est en el crculo si y slo si de manera que 2sx - hd2 + s y - kd2 = a, 2sx - 0d2 + s y - 0d2 = 2x2 + y2 . 2s3 - s -1dd2 + s4 - 2d2 = 2s4d2 + s2d2 = 220 = 24 # 5 = 225. Ps-1, 2d La ecuacin (1) es la ecuacin estndar de un crculo con centro en (h, k) y radio a. El crculo de radio y centro en el origen es el crculo unitario, con ecuacin x2 + y2 = 1. a = 1 (x h)2 (y k)2 a2 C(h, k) a P(x, y) 0 x y FIGURA 1.17 Un crculo con radio a en el plano xy y centro en (h, k) .

32. EJEMPLO 6 (a) La ecuacin estndar del crculo de radio 2 y centro en (3, 4) es (b) El crculo tiene y El centro es el punto y el radio es Si la ecuacin de un crculo no est en la forma estndar, para encontrar su centro y su radio primero deber convertirse la ecuacin a dicha forma. La tcnica algebraica para ha- cerlo consiste en completar los cuadrados (vea el apndice 9). EJEMPLO 7 Encontrar el centro y el radio de un crculo Encontrar el centro y el radio del crculo Solucin Convertimos la ecuacin a la forma estndar, completando los cuadrados en x y en y. El centro es y el radio es Los puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad forman la regin interior del crculo con centro en (h, k) y radio a (figura 1.18). El exterior del crculo consiste de los puntos (x, y) que satisfacen Parbolas La definicin geomtrica y las propiedades generales de las parbolas se abordan en la seccin 10.1. Aqu hablaremos de las parbolas que surgen al graficar las ecuaciones de la forma y = ax2 + bx + c. sx - hd2 + s y - kd2 7 a2 . sx - hd2 + s y - kd2 6 a2 a = 4.s-2, 3d sx + 2d2 + s y - 3d2 = 16 sx2 + 4x + 4d + sy2 - 6y + 9d = 3 + 4 + 9 3 + a 4 2 b 2 + a -6 2 b 2 ax2 + 4x + a 4 2 b 2 b + ay2 - 6y + a -6 2 b 2 b = sx2 + 4x d + sy2 - 6y d = 3 x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0 x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0. a = 23. sh, kd = s1, -5da = 23.h = 1, k = -5, sx - 1d2 + s y + 5d2 = 3 sx - 3d2 + s y - 4d2 = 22 = 4. 14 Captulo 1: Preliminares Empezamos con la ecuacin dada. Agrupamos trminos. Pasamos la constante al lado derecho. Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x en ambos lados de la ecuacin. Hacemos lo mismo con y. Las expresiones que estn dentro de los parntesis en el lado izquierdo son ahora cuadrados perfectos. Factorizamos los trinomios cuadrados perfectos, como binomios cuadrados. Exterior: (x h)2 (y k)2 a2 Interior: (x h)2 (y k)2 a2 (h, k) a 0 h x y k En: (x h)2 (y k)2 a2 FIGURA 1.18 El interior y el exterior del crculo sx - hd2 + s y - kd2 = a2 .

33. EJEMPLO 8 La parbola Considere la ecuacin Algunos de los puntos que satisfacen esta ecuacin son y Estos puntos (y todos los dems que satisfacen la ecuacin), forman una curva suave llamada parbola (figura 1.19). La grfica de una ecuacin de la forma es una parbola cuyo eje de simetra es el eje y. El vrtice de la parbola (el punto donde la parbola interseca su eje de simetra) est en el origen. La parbola abre hacia arriba si y hacia abajo si Entre ms grande sea el valor de la parbola ser ms angosta (figura 1.20). Generalmente, la grfica de es una parbola desplazada en forma horizontal y vertical de la parbola En la seccin 1.5 discutiremos con ms detalle el desplazamiento horizontal y vertical de las grficas de las funciones cuadrticas. y = x2 . y = ax2 + bx + c a ,a 6 0.a 7 0 y = ax2 s-2, 4d.s0, 0d, s1, 1d, a 3 2 , 9 4 b, s-1, 1d, s2, 4d, y = x2 . y = x2 1.2 Rectas, crculos y parbolas 15 0 1 212 1 4 (2, 4) (1, 1) (1, 1) (2, 4) 3 2 9 4 , x y y x2 FIGURA 1.19 La parbola (ejemplo 8). y = x2 La grfica de y = ax2 + bx + c, a Z 0 La grfica de la ecuacin es una parbola. La parbola abre hacia arriba si y hacia abajo si El eje x es la recta (2) El vrtice de la parbola es el punto donde el eje y la parbola se intersecan. Su coordenada x es su coordenada y se encuentra sustituyendo en la ecuacin de la parbola.x = -b>2a x = -b>2a; x = - b 2a . a 6 0.a 7 0 y = ax2 + bx + c, a Z 0, Observe que si tenemos la cual es la ecuacin de una recta. El eje, dado por la ecuacin (2), puede encontrarse completando el cuadrado o usando una tcnica que estudiaremos en la seccin 4.1. EJEMPLO 9 Trazar la grfica de una parbola Trazar la grfica de la ecuacin Solucin Comparando la ecuacin con vemos que Dado que la parbola abre hacia abajo. De acuerdo con la ecuacin (2), su eje es la recta vertical x = - b 2a = - s-1d 2s-1>2d = -1. a 6 0, a = - 1 2 , b = -1, c = 4. y = ax2 + bx + c y = - 1 2 x2 - x + 4. y = bx + ca = 0, Ejedesimetra Vrtice en el origen 1 1 4 3 2 2 3 4 y x2 y x2 6 y x2 10 y x2 2 y 2x2 x y FIGURA 1.20 Adems de determinar la direccin en la que abre la parbola , el nmero a es un factor de escalamiento. La parbola se ensancha conforme a se acerca a cero, y se estrecha conforme aumenta. a y = ax2

34. Cuando tenemos El vrtice es Las intersecciones con el eje x se dan en los puntos donde Graficamos algunos puntos, trazamos el eje y usamos las reglas de direccin de la apertu- ra de la parbola para completar la grfica de la figura 1.21. x = 2, x = -4 sx - 2dsx + 4d = 0 x2 + 2x - 8 = 0 - 1 2 x2 - x + 4 = 0 y = 0: s -1, 9>2d. y = - 1 2 s-1d2 - s -1d + 4 = 9 2 . x = -1, 16 Captulo 1: Preliminares Con interseccin en x = 4 y x = 2 Punto simtrico con interseccin y El vrtice es 9 2 1, Con interseccin en y = 4 (0, 4)(2, 4) 0 1 2 3 123 Ejes:x=1 x y y = x2 x + 4 1 2 FIGURA 1.21 La parbola del ejemplo 9. EJERCICIOS 1.2 Incrementos y distancia En los ejercicios 1-4, una partcula se mueve de A a B en el plano coordenado. Encuentre los incrementos y en las coordenadas de la partcula. Determine tambin la distancia de A a B. 1. 2. 3. 4. Describa las grficas de las ecuaciones de los ejercicios 5-8. 5. 6. 7. 8. Pendientes, rectas e intersecciones En los ejercicios 9-12, grafique los puntos y encuentre la pendiente (si existe) de la recta que stos determinan. Encuentre tambin la pendiente comn (si existe) de las rectas perpendiculares a la recta AB. 9. 10. 11. 12. En los ejercicios 13-16, encuentre la ecuacin para (a) la recta vertical, y (b) la recta horizontal que pasa por el punto dado. 13. 14. 15. 16. En los ejercicios 17-30, encuentre la ecuacin de la recta, dados los datos siguientes. 17. Pasa por con pendiente -1s-1, 1d s-p, 0dA0, - 22B A 22, -1.3Bs-1, 4>3d As-2, 0d, Bs-2, -2dAs2, 3d, Bs-1, 3d As-2, 1d, Bs2, -2dAs -1, 2d, Bs-2, -1d x2 + y2 = 0x2 + y2 3 x2 + y2 = 2x2 + y2 = 1 As22, 4d, Bs0, 1.5dAs-3.2, -2d, Bs-8.1, -2d As-1, -2d, Bs-3, 2dAs -3, 2d, Bs-1, -2d yx 18. Pasa por (2, 3) con pendiente 1/2 19. Pasa por (3, 4) y (2, 5) 20. Pasa por (8, 0) y (1, 3) 21. Tiene pendiente 5/4 y ordenada al origen 6 22. Tiene pendiente 1/2 y ordenada al origen 3 23. Pasa por (12, 9) y tiene pendiente 0 24. Pasa por (1/3, 4) y la recta es vertical 25. Tiene y abscisa al origen 4 y abscisa al origen 1 26. Tiene y abscisa al origen 6 y abscisa al origen 2 27. Pasa por (5, 1) y es paralela a la recta 28. Pasa por y es paralela a la recta 29. Pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 30. Pasa por (0, 1) y es perpendicular a la recta En los ejercicios 31-34, encuentre las intersecciones con los ejes x y y, y utilice esta informacin para trazar la grfica de la recta. 31. 32. 33. 34. 35. Encuentra algo especial en la relacin entre las rectas y Justifique su respuesta. 36. Encuentra algo especial en la relacin entre las rectas y Justifique su respuesta. Ax + By = C2 sA Z 0, B Z 0d?Ax + By = C1 Bx - Ay = C2 sA Z 0, B Z 0d?Ax + By = C1 1.5x - y = -322x - 23y = 26 x + 2y = -43x + 4y = 12 8x - 13y = 13 6x - 3y = 5 22x + 5y = 23A - 22, 2B 2x + 5y = 15

35. Incrementos y movimiento 37. Una partcula empieza en y sus coordenadas cambian con incrementos Determine su nueva posicin. 38. Una partcula empieza en A(6, 0) y sus coordenadas cambian con incrementos Encuentre su nueva posicin. 39. Las coordenadas de una partcula cambian con y conforme se mueve de A(x, y) a Determine su nueva posicin. 40. Una partcula empieza en A(1, 0), da una vuelta alrededor del origen, en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, y regresa a A(1, 0). Cules fueron los cambios netos en sus coordenadas? Crculos En los ejercicios 41-46, encuentre la ecuacin para el crculo con el centro C(h, k) y el radio a. Despus, trace el crculo en el plano xy. In- cluya el centro del crculo en su grfica, e identifique, de existir, las intersecciones del crculo con los ejes x y y. Etiquete estos puntos con sus pares coordenados. 41. 42. 43. 44. 45. 46. Grafique los crculos cuyas ecuaciones se dan en los ejercicios 47-52. Determine el centro de cada crculo y las intersecciones con los ejes (si existen) con sus pares coordenados. 47. 48. 49. 50. 51. 52. Parbolas Grafique las parbolas de los ejercicios 53-60. Determine, en cada caso, las coordenadas del vrtice, el eje de simetra y las intersecciones con los ejes si existen. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. Desigualdades En los ejercicios 61-68, describa las regiones definidas por las desigualdades o pares de desigualdades. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. x2 + y2 + 6y 6 0, y 7 -3 x2 + y2 4, sx + 2d2 + y2 4 x2 + y2 7 1, x2 + y2 6 4 x2 + sy - 2d2 4 sx - 1d2 + y2 4 x2 + y2 6 5 x2 + y2 7 7 y = - 1 4 x2 + 2x + 4y = 1 2 x2 + x + 4 y = 2x2 - x + 3y = -x2 - 6x - 5 y = -x2 + 4x - 5y = -x2 + 4x y = x2 + 4x + 3y = x2 - 2x - 3 x2 + y2 + 2x = 3 x2 + y2 - 4x + 4y = 0 x2 + y2 - 4x - s9>4d = 0 x2 + y2 - 3y - 4 = 0 x2 + y2 - 8x + 4y + 16 = 0 x2 + y2 + 4x - 4y + 4 = 0 Cs3, 1>2d, a = 5C A - 23, -2B, a = 2 Cs1, 1d, a = 22Cs-1, 5d, a = 210 Cs-3, 0d, a = 3Cs0, 2d, a = 2 Bs3, -3d. y = 6x = 5 x = -6, y = 0. x = 5, y = -6. As-2, 3d 68. 69. Determine una desigualdad que describa los puntos que estn dentro del crculo con centro en (2, 1) y radio 70. Determine una desigualdad que describa los puntos que estn fuera del crculo con centro en (4, 2) y radio 4. 71. Determine un par de desigualdades que describan los puntos que estn dentro o sobre el crculo con centro en (0, 0) y radio y sobre o a la derecha de la recta vertical que pasa por (1, 0). 72. Determine un par de desigualdades que describan los puntos que estn fuera del crculo con centro en (0, 0) y radio 2, y dentro del crculo que tiene centro en (1, 3) y pasa por el origen. Interseccin de rectas, crculos y parbolas En los ejercicios 73-80, grafique las dos ecuaciones y encuentre los puntos en donde se intersecan las grficas. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. Aplicaciones 81. Aislantes Mida las pendientes de la siguiente figura para esti- mar el cambio de temperatura, en grados por pulgada, para estos aislantes: (a) tablero de yeso; (b) fibra de vidrio; (c) revestimiento de madera. x2 + y2 = 1, x2 + y = 1 x2 + y2 = 1, sx - 1d2 + y2 = 1 y = 1 4 x2 , y = sx - 1d2 y = -x2 , y = 2x2 - 1 x + y = 0, y = -sx - 1d2 y - x = 1, y = x2 x + y = 1, sx - 1d2 + y2 = 1 y = 2x, x2 + y2 = 1 22, 26. x2 + y2 - 4x + 2y 7 4, x 7 2 1.2 Rectas, crculos y parbolas 17 Temperatura(F) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Distancia entre la pared (pulgadas) 0 1 2 3 4 5 6 7 Tablero de yeso Revestimiento de madera Tablas de acabado Aire exterior a 0F Fibra de vidrio Aire dentro de la habita cin a 72F Cambios de temperatura en la pared, ejercicios 81 y 82.

36. 82. Aislantes De acuerdo con la figura del ejercicio 81, cul de los materiales es mejor aislante? Cul es el peor? Explique. 83. Presin bajo el agua De acuerdo con la frmula (k constante), la presin p que experimenta un buzo bajo el agua est relacionada con la profundidad d a la que se encuentra. La presin es de 1 atmsfera en la superficie; a 100 metros es, aproxi- madamente, 10.94 atmsferas. Determine la presin a 50 metros. 84. Reflexin de la luz Un rayo de luz viaja a lo largo de la recta desde el segundo cuadrante, y se refleja sobre el eje x (vea la siguiente figura). El ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin. Escriba la ecuacin de la recta por la que viaja la luz. x + y = 1 p = kd + 1 88. Demuestre que el tringulo con vrtices en A(0, 0), y C(2, 0) es equiltero. 89. Pruebe que los puntos B(1, 3) y son vrtices de un cuadrado, y encuentre el cuarto vrtice. 90. El rectngulo que se muestra enseguida tiene lados paralelos a los ejes, es tres veces ms largo que ancho y tiene un permetro de 56 unidades. Encuentre las coordenadas de los vrtices A, B y C. 91. Tres paralelogramos diferentes tienen vrtices en (2, 0) y (2, 3). Trcelos y encuentre las coordenadas del cuarto vrtice de cada uno. 92. Como se muestra en la figura, una rotacin de 90 alrededor del origen en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, manda el punto (2, 0) a (0, 2) y (0, 3) a A dnde manda cada uno de siguientes pares? a. (4, 1) b. c. d. (x, 0) e. (0, y) f. (x, y) g. De qu punto proviene (10, 3)? 93. Para qu valor de k la recta es perpendicular a la recta Para qu valor de k estas rectas son paralelas? 94. Encuentre la recta que pasa por el punto (1, 2) y por el punto en donde se intersectan las dos rectas y 95. Punto medio de un segmento de recta Demuestre que el punto con coordenadas es el punto medio del segmento de recta que une y Qsx2 , y2d. Psx1 , y1d a x1 + x2 2 , y1 + y2 2 b 2x - 3y = -1.x + 2y = 3 4x + y = 1? 2x + ky = 3 x y (2, 5) (2, 3) (2, 0)(3, 0) (0, 2) (0, 3) (4, 1) s2, -5ds-2, -3d s-3, 0d, s-1, 1d, x y A B D(9, 2) C 0 Cs -3, 2dAs2, -1d, BA1, 23B , 18 Captulo 1: Preliminares ngulo de incidencia ngulo de reflexin x y 1 1 0 1 x y La trayectoria del rayo de luz del ejercicio 84. Los ngulos de incidencia y de reflexin se miden desde la perpendicular. 85. Grados Fahrenheit y grados Celsius Trace la grfica de la ecuacin en el plano FC, que relaciona las temperaturas de grados Fahrenheit y Celsius. Trace en el mismo plano la grfica de la recta C = F. Hay alguna temperatura en la que el termmetro Celsius d la misma lectura numrica que el termmetro Fahrenheit? Si la respuesta es afirmativa, determnela. 86. Va frrea Los ingenieros civiles calculan la pendiente del firme para una va frrea como la razn de la distancia que se sube o baja entre la distancia horizontal que se recorre. Los especialistas denominan esta razn inclinacin del firme de la va, y casi siempre la escriben como porcentaje. A lo largo de la costa, la inclinacin de las vas comerciales suele ser inferior a 2%. En las montaas puede llegar hasta 4%. Las inclinaciones de las autopis- tas son, por lo general, menores que 5%. La parte ms empinada de la va frrea metropolitana Was- hington Cog, en New Hampshire, tiene una inclinacin excepcio- nal, de 37.1%. A lo largo de esta parte del trayecto, los asientos delanteros de los vagones del tren estn 14 pies arriba de los traseros. Qu tan apartadas estn las filas de asientos delanteros y traseros? Teora y ejemplos 87. Para probar que el tringulo con vrtices en los puntos A(1, 2), B(5, 5), y es issceles y no equiltero, calcule las longitudes de sus lados. Cs4, -2d C = 5 9 sF - 32d

Cálculo una variable 11e, Thomas

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