UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA. PACHECO VARGAS JANETH

UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA

OBJETIVO: El alumno aplicara la derivada en la solucin de problemas de ingeniera.5.1 Teorema del valor medio. Teorema de Rolle.

5.2 Definicin e interpretacin de las derivadas de orden superior.

5.3 Criterios de la primera y segunda derivada para determinar los puntos crticos, mximos, mnimos y puntos de inflexin.

5.4 Solucin de problemas.

5.5 Regla de L Hopital.

5.6 Diferencial y sus aplicaciones.

5.1 Teorema del valor medio. Teorema de Rolle.

Teorema del valor medio.

Sea funcin continua en y diferenciable en . Entonces existe un nmero en tal que:

(1)

Demostracin: Dentese por la distancia vertical entre un punto de la grfica y la recta secante que pasa por y . Puesto que la ecuacin de la recta secante es:

Se tiene que:

(2)

Figura 1Puesto que y es continua en y diferenciable en , el teorema de Rolle implica que hay algn nmero en para el cual . En vista de (2):

Y as es lo mismo que

Geomtricamente el teorema del valor medio afirma que la pendiente de la recta tangente en es igual a la pendiente de la secante que pasa por y . Tambin puede haber ms de un nmero en para los cuales las rectas, tangente y secante, son paralelas. (Ver figura 2b).

Figura 2a Figura 2b

Ejercicio: Dada la funcin , en el intervalo . Existe algn valor de que satisfaga la conclusin del teorema del valor medio?

Tarea: Dada la funcin definida en , existe algn nmero en que satisfaga el teorema del valor medio?

Teorema de Rolle.

Sea una funcin continua en el intervalo cerrado. Si es derivable en el intervalo y si . Entonces existe al menos un punto en tal que

Figura 3

Tambin puede haber ms de un punto para los cuales es vlida la conclusin del teorema de Rolle.

Figura 4

Demostracin:

a) Si , es un caso trivial, donde puede tomar cualquier valor entre .

b) Si , entonces es el mximo, ya que en , .

c) Si , entonces es el mnimo, ya que en , .

Ejercicio: Verificar el cumplimiento del teorema de Rolle, si en el intervalo de .

Tarea: Verificar el cumplimiento del teorema de Rolle, si , en el intervalo de y de .

5.2 Definicin e interpretacin de las derivadas de orden superior.

La derivada de una funcin, es tambin otra funcin, por lo tanto se puede a su vez derivar, obteniendo as la llamada segunda derivada; sta al derivarse determinar la tercera derivada, y as sucesivamente.

A partir de la segunda derivada, se le llaman derivadas de orden superior.

Las condiciones de existencia de las derivadas de orden superior, son las mismas que las de la existencia de la primera derivada.

Si es la funcin de posicin de un objeto que se mueve, sabemos que la primera derivada es la razn del cambio de la distancia con respecto al tiempo.

Y la razn de cambio de la velocidad instantnea, con respecto al tiempo se llama aceleracin y es la derivada de la funcin velocidad, y es la segunda derivada de la funcin de posicin:

La segunda derivada se denota comnmente por:

o bien

Normalmente se usan los primeros tres smbolos.

Podemos interpretar como la pendiente de la curva en el punto . En otras palabras, es la razn de cambio, de la curva .

La tercera derivada se puede interpretar como la pendiente de la curva o como la razn de cambio de .

La tercera derivada podemos interpretarla fsicamente, cuando la funcin de un objeto que se mueve a lo largo de una lnea recta es la funcin de posicin . Dado que , la tercera derivada de la funcin de posicin es la derivada de la funcin aceleracin y se conoce como tirn. Es la razn de cambio de la aceleracin y significa un cambio sbito en la aceleracin, lo cual produce un movimiento abrupto en un vehculo.

De manera general, si es un entero positivo, entonces la ensima derivada se define por:

Otras notaciones para las primeras derivadas, son:

Ejercicios:

1.- Hallar hasta la cuarta derivada de las funciones:

2.- Hallar la derivada de ensimo orden de

5.3 Criterios de la primera y segunda derivada para determinar los puntos crticos, mximos, mnimos y puntos de inflexin.

EXTREMOS DE FUNCIONES.

Si una funcin est definida en un intervalo . Los valores mximo y mnimo de en (si los hay) se llaman extremos de la funcin.

Extremos absolutos.

Se llaman extremos absolutos de una funcin al mximo y (o) mnimo absolutos de la funcin.

a) Un nmero es un mximo absoluto de una funcin si , para todo en el dominio de .

b) Un nmero es un mnimo absoluto de una funcin si , para todo en el dominio de .

Los extremos absolutos tambin se conocen como extremos globales.

Figura 5 a) b) c) d)

Ejemplos:

1) Para la funcin , su mximo absoluto es y su mnimo absoluto es

2) La funcin tiene el mnimo absoluto pero no tiene mximo absoluto.

3) no tiene mximo absoluto ni mnimo absoluto.

Es muy importante el intervalo en el que una funcin est definida.

Ejemplo:

1) La funcin , definida solamente en el intervalo cerrado tiene el mximo absoluto y el mnimo absoluto . Ver figura 1.

2) Si est definida en el intervalo abierto entonces no tiene extremos absolutos. En este caso y no estn definidas.

3) Si , est definida en tiene el mximo absoluto , pero ahora el mnimo absoluto es . Ver figura 6.

Figura 6a Figura 6b

Extremos relativos.

Los extremos relativos o locales de una funcin se definen as:

a) Un nmero es un mximo relativo de una funcin si , para todo en algn intervalo abierto que contenga a .

b) Un nmero es un mnimo relativo de una funcin si , para todo en algn intervalo abierto que contenga a .

Se puede concluir que todo extremo absoluto, con excepcin de un extremo en la frontera, es tambin relativo.

Si una funcin posee un mximo o un mnimo relativo, se dice que posee un extremo relativo.

Por la interpretacin geomtrica de la derivada, se concluye que: toda vez que se tiene un mximo o mnimo relativo, la pendiente o derivada es cero y la grfica de debe tener una recta tangente horizontal, en el punto .

Teorema: Si est definida en el intervalo abierto. Y si posee un extremo relativo en , entonces .

Ejercicio:

Grafique la funcin . Encuentre los extremos relativos.

PUNTOS CRTICOS.

Teorema: Si est en el dominio de y se cumple que , o si no existe, entonces en se tiene un punto crtico.

En la prctica para hallar los puntos crticos de una funcin, se deriva e iguala con cero. (O en su caso se busca el punto donde no existe derivada).

Un punto crtico puede o no determinar extremos de una funcin (mximos o mnimos relativos).

Ejercicios: hallar los puntos crticos para las siguientes funciones y determinar si son o no extremos relativos.

1)

2)

3)

CARACTERSTICAS DE FUNCIONES.

Utilizando el concepto de derivada, se pueden estudiar diversas caractersticas de una funcin, como: su crecimiento, su concavidad, etc.

Definimos previamente los siguientes conceptos:

Funciones crecientes y decrecientes.

1) Si , y en un intervalo , entonces es creciente en .

2) Si , y en un intervalo , entonces es decreciente en .

Prueba de las funciones crecientes y decrecientes.

a) Si sobre un intervalo , entonces es creciente en ese intervalo.

b) Si sobre un intervalo , entonces es decreciente en ese intervalo.

Prueba de la primera derivada.

Supngase que es un nmero crtico de una funcin continua .

a) Si cambia de positiva a negativa en , entonces tiene un mximo relativo en .

b) Si cambia de negativa a positiva en , entonces tiene un mnimo relativo en .

c) Si no cambia de signo en (es decir, si es positiva en ambos lados de , o negativa en ambos lados), entonces no tiene mnimo ni mximo relativos en .

Prueba de la segunda derivada.

Supngase que es continua cerca de c.

a) Si y , entonces tiene un mnimo relativo en .

b) Si y , entonces tiene un mximo relativo en .

Concavidad y convexidad.

Si en cada punto de un intervalo, la grfica de una funcin, est por encima de la tangente, entonces se dice que la curva es cncava en el intervalo.

Si la curva est por debajo de su tangente, entonces se dice que la curva es convexa en el intervalo.

Suele utilizarse la expresin cncava hacia arriba en lugar de cncava, y cncava hacia abajo en lugar de convexa.

El punto en el cual una curva pasa de cncava a convexa, o de convexa a cncava se llama punto de inflexin. Se encuentra cuando .

Ejercicio: Grafique las funciones siguientes, observe su concavidad y su posicin con respecto a las rectas tangentes.

Es importante observar que ninguna de las dos funciones anteriores poseen punto de inflexin. La primera es slo cncava y la segunda slo convexa.

Prueba de la concavidad.

a) Si , para todo en el intervalo , entonces la grfica de es cncava hacia arriba sobre .

b) Si , par todo en el intervalo , entonces la grfica de es cncava hacia abajo sobre .

En vista de la prueba de la concavidad, existe un punto de inflexin en cualquier punto donde la segunda derivada cambie de signo.

Teorema: Si la funcin es diferenciable en algn intervalo que contenga a y si es un punto de inflexin de la grfica de , entonces si existe, .APLICACIONES EN EL TRAZO DE LA GRFICA DE UNA FUNCIN.

1) Determinar el dominio de la funcin.

2) Encontrar las intersecciones con los ejes.

3) Determinar si es par o impar

4) Calcular y

5) Determinamos los puntos crticos y aplicamos la prueba de la primera o segunda derivada para determinar los extremos relativos.

6) Determinamos en que intervalos la funcin es creciente o decreciente.

7) Determinamos los puntos de inflexin.

8) Determinamos en que intervalos la funcin es cncava hacia abajo o cncava hacia arriba.

9) Es importante determinar si hay o no asntotas.

Se sugiere utilizar una tabla para vaciar all la informacin y despus construir la grfica.

Ejercicio: Analizar las caractersticas de las siguientes funciones y graficarlas.

1)

2)

3)

5.4 Solucin de problemas.

OTRAS APLICACIONES DE LOS MXIMOS Y MNIMOS.

Usando los conceptos de mximos y mnimos, es posible resolver problemas de aplicaciones prcticas.

Para resolver los problemas de aplicacin de mximos y mnimos, es aconsejable tomar seguir los pasos:

1) Identificar claramente el concepto que se busca: maximizar o minimizar.

2) Bosquejar una grfica del problema (si es posible).

3) Formar una funcin con el concepto a maximizar o minimizar, usando variables auxiliares, que se requieran.

4) Usando condiciones o datos del problema, eliminar las variables auxiliares, de manera tal que la funcin quede de una sola variable.

5) Derivar e igualar con cero, para obtener los mximos o mnimos requeridos.

Ejercicios:

1) Hallar dos nmeros, cuyo producto sea mximo, si su suma es 8

2) Una barra de acero tiene una longitud de 20 m. Determinar las dimensiones en que debe doblarse de manera que forme un rectngulo de rea mxima.

3) Hallar las dimensiones del cilindro de mximo volumen, que puede inscribirse en una esfera de radio .

DERIVADA COMO RAZN DE CAMBIO.

La razn de cambio instantneo de en se define como la derivada , si sta derivada existe.

Si

El cociente entre el cambio en la funcin: , respecto al cambio en la variable , es la razn de cambio: .

Cuando tiende a cero, se tendr la razn de cambio instantneo:

Muchos conceptos de Fsica y de otras ciencias se definen como Razones de Cambio Instantneo.

La velocidad instantnea es el lmite de la razn de cambio del desplazamiento respecto al cambio de tiempo, cuando ste tiende a cero.

La velocidad instantnea es en realidad, la velocidad que posee un mvil en exactamente el tiempo .

Ejemplo: Un mvil se desplaza de acuerdo a la funcin , hallar las velocidades media e instantnea en , desde su inicio en .

Solucin:

Por la funcin de desplazamiento:

Si

Si

Variaciones con respecto al tiempo.

Si la variable independiente es el tiempo , la variacin de otra variable dependiente, respecto al tiempo ser la derivada respecto a .

Ejemplo:

Si

Si

Si , ; son funciones de desplazamiento, sus primeras derivadas son la velocidad, las segundas derivadas son la aceleracin.

Si existieran ms variables, relacionadas entre s, por una ecuacin que a su vez depende de ; sus variaciones respecto de pueden obtenerse mediante derivacin y aplicando la regla de la cadena.

Ejemplo:

Si ,dependen del tiempo; y a su vez estn relacionadas entre s por una ecuacin.

La derivada de la ecuacin respecto de , es la indicada.

Ntese que ,, se derivan por reglas usuales. Por la regla de la cadena, en cada caso se multiplica por la derivada de la variable respecto de .

Ejercicios:

1) Derivar con respecto a las siguientes ecuaciones ( dependen de ).

2) Un globo esfrico es inflado con gas, que ingresa a razn de 80; en el instante en que alcanza un radio de 10. Hallar la velocidad a la cual se est incrementando su radio.

El volumen de una esfera de radio es:

3) Una escalera de longitud se desliza en su extremo superior, sobre una pared vertical, alejndose de la misma su extremo inferior a 2. A que velocidad est bajando su extremo superior en el instante en que su extremo inferior est a 5de la pared?

Tarea:

Un barco se encuentra a una distancia de al Este de un punto O, movindose hacia el Oeste a ; otro barco B se encuentra a al Sur de O, movindose hacia el Norte a . Determinar si los barcos se acercan o se alejan al cabo de una hora y a que velocidad.

5.5 Regla de L Hopital.

La Regla de L Hopital, es un nuevo recurso, para calcular lmites que presenten indeterminaciones, haciendo uso de las derivadas.

La Regla de L Hopital, expresa que si se presentan indeterminaciones de las formas:

Entonces se cumple:

EMBED Equation.3 Por lo tanto, para calcular un lmite, se usa tanto la derivada del numerador como la derivada del denominador (no se usa la regla del cociente). Si persiste la indeterminacin, se vuelve a derivar hasta obtener el resultado del lmite.

Ejercicios: Resolver los siguientes lmites, aplicando la Regla de L Hopital.

1)

2)

3)

4)

La Regla de L Hopital, se aplica nicamente en forma directa a las indeterminaciones de la forma e . Sin embargo su uso se puede ampliar a otras indeterminaciones, si estas se llevan a las formas de e .

5.6 Diferencial y sus aplicaciones.

Si , donde es una funcin diferenciable, entonces la diferencial es una variable independiente; esto significa que se puede dar a el valor de cualquier nmero real. La diferencial se define en trminos de , es el diferencial de la variable dependiente .

(1)

Figura 7

En la figura 7 (anterior), se muestra el significado geomtrico de las diferenciales. Sean y puntos sobre la grfica de y considere . El cambio en es

(2)

La pendiente de la recta tangente es la derivada . De donde, la distancia dirigida de a es . Por lo tanto, representa la cantidad que se eleva o cae la tangente (el cambio en la linealizacin), mientras que representa la cantidad que se eleva o cae la curva , cuando cambia en una cantidad .

Ejercicio: calcule el diferencial y el incremento para la siguiente funcin y aprecie la diferencia.

APROXIMACIONES POR DIFERENCIALES.

Es importante recordar que una ecuacin de la recta tangente a la curva , en es:

De modo que la aproximacin

(1)

Se llama aproximacin lineal o aproximacin de la recta tangente de en , y la funcin

EMBED Equation.3 Cuya grfica es la recta tangente, se llama linealizacin de en . La aproximacin lineal es una buena aproximacin cuando est cerca de . Ver figura 8. Figura 8

Para obtener clculos aproximados, mediante diferenciales, se usa la frmula

(3)

La relacin puede demostrarse a partir de la definicin de Incrementos y Diferenciales:

Definicin de Incremento.

Definicin de diferenciales. .

Tomamos la aproximacin

Reemplazamos . Reemplazamos

.

Despejando:

La aproximacin ser mayor, mientras ms pequea sea en relacin a .

Propiedades de los diferenciales.

Los diferenciales de las funciones, De acuerdo a definiciones (en trminos de derivadas) presentan las siguientes propiedades.

Si son funciones y es una constante:

T1:

T2:

T3:

T4:

T5:

Las propiedades de los diferenciales son extensiones de las propiedades de las derivadas. Las demostraciones de estas propiedades, se efectan de acuerdo a la definicin de diferencial y propiedades de las derivadas.

Ejercicios: calcule aproximadamente por diferenciales

1)

2)

3)

4) Determinar aproximadamente el volumen total y la variacin porcentual de una esfera de radio , si este se incrementa en un 10%.

5) Un tanque cilndrico abierto tendr un revestimiento de de espesor. Si el radio interior tiene y la altitud es de , calcule mediante diferenciales la cantidad aproximada de material de revestimiento que se usar.

EJERCICIOS DE LA UNIDAD V: APLICACIONES DE LA DERIVADA.El alumno resolver mnimo diez ejercicios, cinco del tema de mximos y mnimos y cinco de razn de cambio. Se entregarn al terminar la unidad en el saln de clases en la fecha que la profesora indique.1. Hallar dos nmeros (x,y) de producto P Mximo, sabiendo que la suma del primero ms el doble del segundo es de 24.

2. Hallar el valor del rea A mxima, del rectngulo inscrito en un tringulo equiltero de lado igual a 4.

3. Hallar las dimensiones (radio , altura ) del cilindro de Volumen mximo, a inscribirse en un cono de radio basal ; altura .

;

4. Hallar las dimensiones (radio , altura ) del cilindro de rea Lateral Mxima, que se puede inscribir en una esfera de radio .

5. El material de tapas y fondos de envases de forma cilndrica, cuesta el doble que el de los lados. Hallar la razn de altura al radio ; para que el costo de produccin de envases sea mnimo, si su volumen es fijo.

6. Un granjero desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados ya est cubierto por una cadena de cerros, dispone para ello de 550 m. de malla olmpica. Hallar el rea mxima que se puede cercar.

7. Hallar el rea mxima del rectngulo que puede inscribirse entre y el eje de las abscisas.

8. Hallar el rea mxima del rectngulo que puede inscribirse entre y el eje de las abcisas.

9. Hallar las dimensiones del tringulo issceles de rea mxima, que puede inscribirse en una circunferencia de radio , si el vrtice opuesto al lado debe estar en el centro de la base.

10. Inscribir en una semiesfera de radio , un paraleleppedo de base cuadrada, de manera que su volumen sea mximo.

11. Un depsito en forma de cono invertido, recibe agua a 600 , su altura es 80 y radio 15 El depsito tiene una fuga, hallar la velocidad a la que escapa el agua, cuando el nivel es de 50 , subiendo a 2

12. Un mvil se desplaza horizontalmente de acuerdo a la siguiente ecuacin: . Hallar su velocidad instantnea en est dada en

13. La distancia recorrida por un automvil sobre una trayectoria recta, est dada por ; hallar el intervalo de tiempo en el cual la movilidad se da en sentido contrario al original.

14. El ngulo (radianes) recorrido por un mvil es . Hallar su velocidad y aceleracin al cabo de 3

15. Un cohete se desplaza verticalmente de acuerdo con la ecuacin , hallar el instante en el cual inicia su retorno.

16. Un gas escapa de un globo esfrico, a razn de Hallar la velocidad de disminucin de su radio , en el instante en que

17. Un lquido entra a un tanque cilndrico a razn de Hallar la velocidad de subida del nivel. El radio del tanque es de 50

18. Un globo se eleva verticalmente, desde un punto A de la tierra a velocidad de Un observador sobre la tierra situado a distancia de ocupa el punto . Hallar la velocidad a la cual se aleja el globo del punto , cuando su altura llega a

19. Al inflar un baln esfrico, su volumen aumenta a razn de A qu velocidad se incrementa su rea, cuando el radio es de 2

20. Un muchacho lanza un cometa a una altura de 150, sabiendo que el cometa se aleja del muchacho (manteniendo su altura) a una velocidad de 20 Hallar la velocidad a la que se suelta el hilo, cuando el cometa se halla a una distancia total de 250 del muchacho.

21. Una escalera de longitud de 20 se apoya contra una pared. Hallar la velocidad a la que baja el extremo superior, cuando la escalera resbala, desplazndose el extremo inferior a en el instante en que este extremo se encuentra a 12 de la pared.

22. Un hombre de 1.8 de estatura se aleja a 3.9 de un farol de 4.5 de alto. A qu velocidad la punta de su sombra est alejndose, en el instante en que el hombre se encuentra a 1.8 del farol?

23. Cuando cae arena sobre superficie plana a razn de , se forma un montculo cnico cuyo dimetro en la base es siempre igual al triple de la altura. A qu velocidad crece la altura cuando sta es de 4

PAGE 2PROFESORA: ALEJANDRA CRUZ REYES

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