Calculo variacional
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Cálculo de Variaciones
René J. Meziat y Jorge Villalobos
Departamento de Matemáticas
Universidad de los Andes
Problemas Geométricos
Braquistocrona: encontrar la curva que se recorre en el menor tiempo posible por una partícula que parte del reposo bajo la acción de la gravedad
Catenaria: encontrar la curva (fija en dos extremos) que da la mínima superficie de revolución
Métodos del Cálculo de Variaciones (1)
En su forma unidimensional el problema se puede ver como: Se tiene una función Definida en un camino y = y(t)
entre dos valores t1 y t2
Se quiere encontrar un camino y(t) tal que la integral de línea I de f entre t1 y t2 tenga un valor estacionario
Se consideran, solamente, variaciones entre caminos para los que y(t1) = y1 y y(t2) = y2
dttyyfI
dt
dyy
t
t
2
1
,,
Métodos del Cálculo de Variaciones (2)
f debe ser estacionario para el camino correcto relativo a cualquier camino vecino
Tomamos un conjunto de caminos vecinos identificados por un parámetro infinitesimal : {y(x,)} con y(x,0) el camino correcto, y se utiliza una función (x) llamada variación, que toma el valor 0 en x = x1 y x = x2
Ahora I es un funcional de
xxyxy 0,,
dxxxyxyfIx
x2
1
,,,,
Métodos del Cálculo de Variaciones (3)
La condición para obtener un punto estacionario es
Que nos lleva a la siguiente ecuación diferencial para y
00
d
dI
0
y
f
dx
d
y
f
Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange (1)
La variación de I con respecto a se puede escribir como:
0
;,;,
2
1
2
1
2
1
2
1
dxxy
f
dx
d
y
f
dxdx
xd
y
fx
y
f
dxy
y
fy
y
f
dxxxyxyfd
d
d
dI
x
x
x
x
x
x
x
x
Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange (2)
Por lo tanto la variación de I con respecto a es
Puesto que (x) es arbitrario obtenemos las ecuaciones diferenciales de Euler- Lagrange
0
2
1
dxxy
f
dx
d
y
f
d
dI x
x
0
y
f
dx
d
y
f
Métodos del Cálculo de Variaciones
Sistemas de Varias Variables f puede depender de varias variables independientes yi y sus derivadas
Para este caso se debe cumplir el sistema de las ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange Las soluciones de éstas
ecuaciones representan curvas para las que la variación del integrando I es cero
dxxxyxyxyxyfI 2
1 2121 ;,,;,,
0
ii y
f
dx
d
y
f
Solución de Problemas Geométricos
Braquistocrona (1) Si v es la velocidad de la partícula, el tiempo que le toma caer una longitud ds es ds/v
El problema es, entonces, encontrar el mínimo de
Si se mide x hacia abajo desde 1 podemos escribir
Además
dxgx
yt
2
1
2
12 2
1
2
112 v
dst
gxv 2
dxydxdx
dydydxds 2
222 11
Solución de Problemas Geométricos
Braquistocrona (2) Identificamos f como
La ecuación de Euler-Lagrange es
Que tiene como solución (parametrizada) la cicloide
ayx
y
yd
f
dx
d
dy
f
2
1
1
0
2
2
2/121
x
yf
sin
cos1
ay
ax
Solución de Problemas GeométricosCatenaria (1) Tenemos una curva fija en
dos extremos (x1,y1) y (x2,y2) queremos que el área que se genera al dar una revolución alrededor del eje y sea mínima
El área del segmento sombreado de la figura es 2xds =
El área total está dada por la integral de la derecha, este es el integrando del problema variacional
2
2
1
122
1
yxf
dxyxx
x
dxyx 212
Solución de Problemas GeométricosCatenaria (2) Las ecuaciones de Euler-
Lagrange nos dan la ecuación diferencial
Que tiene solución
Esta es la ecuación de una catenaria
La gráfica de la curva es (en el plano xy)
a
byax
ax
a
dx
dy
cosh
22
Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica (1)
Principio de Hamilton: Describe el movimiento de un sistema mecánico Para sistemas monogénicos (toda fuerza es derivable a partir
de un potencial escalar):El movimiento de un sistema del tiempo t1 al tiempo t2 es tal que la integral de línea
donde L = T – V, tiene un valor estacionario para el camino corrrecto del movimiento.T es la energía cinética del sistema y V el potencial al que este está sujeto
I se conoce como la acción o integral de acción
,2
1
dtLIt
t
Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(2)
El principio de Hamilton se puede expresar diciendo que el movimiento es tal que la variación de la integral de línea I es cero para t1 y t2 fijos
qi se llaman coordenadas generalizadas y sus derivadas son las velocidades generalizadas
Siempre y cuando las restricciones del sistema sean holonómicas
Este es un problema variacional
0;,;,2
111 dttqqqqLI
t
t nn
Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(3)
En mecánica las ecuaciones de Euler- Lagrange son
Cada coordenada genera-lizada representa un grado de libertad
Se debe resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
Los momentos generali-zados se definen como
0
ii q
L
dt
d
q
L
ii q
Lp
Ventajas de la Formulación Variacional
Involucra cantidades físicas (energía cinética y potencial) independientes de las coordenadas con que se especifique el sistema. Esto hace que la formulación sea invariante con respecto a los sistemas de coordenadas.
El Lagrangiano es indeterminado a una derivada total temporal de cualquier función de coordenadas y tiempo.
Se puede extender a sistemas que no se consideran en la dinámica de partículas
La imposición de la conservación de la energía lleva a la formulación Hamiltoniana de la mecánica
Consecuencias Inmediatas de la Formulación Variacional
Teoremas de Conservación Si el Lagrangiano de un sistema es independiente de una
coordenada qj pero sí depende de la velocidad correspondiente, entonces el momento correspondiente es independiente del tiempo (se conserva)
Propiedades de Simetría La simetría del sistema con respecto a sus coordenadas
generalizadas está íntimamente ligada con la conservación de los momentos con respecto a los ejes de simetría
cte,0 jj p
dt
dp
Ejemplos FísicosOscilador Armónico (1)
Masa m conectada a un resorte de constante k.
La coordenada generalizada es el desplazamiento x de m con res-pecto a la posición de equilibrio del resorte
La energía cinética T y la energía potencial U son
El Lagrangiano del sistema es
La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada x es
txm
k
dt
txd
xmkxx
L
dt
d
x
L
kxxmUTL
tkxUtxmT
2
2
22
22
0
2
1
2
1
2
1;
2
1
Ejemplos FísicosOscilador Armónico (2)
La solución de la ecuación de movimiento para la posición de la masa es
La amplitud A del movimiento y la fase dependen de las con-diciones iniciales del sistema
Para = 1/s, A = 1m y = /2 (posición inicial = 1m, velocidad inicial = 0 m/s) el movimiento es oscilatorio con periodo T = 2s
m
k
tAtx
sin
Ejemplos FísicosPéndulo Simple
Masa m colgada del techo de una cuerda de longitud l, restringida a moverse en el plano xy
La coordenada generalizada es el ángulo de l con respecto al eje y
La energía cinética T y la energía potencial U son
El Lagrangiano del sistema es
La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada es
Para ángulos pequeños la solución es idéntica a la del oscilador armónico
tl
g
dt
td
mlmglL
dt
dL
mgllm
UTL
mglUlm
T
sin
0sin
cos2
cos;2
2
2
2
22
22
Ejemplos FísicosMovimiento Dentro de un Cono
(1) Masa m restringida a moverse en la superficie interior de un cono de ángulo medio . La partícula está sujeta a una fuerza gravitacional.
Las coordenadas generalizadas son: la distancia r al eje z y el ángulo con el eje x. La altura z = r cot
La energía cinética T y la energía potencial U son
El Lagrangiano del sistema es
cot
csc22
22222222
mgrmgzU
rrm
zrrm
T
cotcsc2
1 2222 mgrrrmL
Ejemplos FísicosMovimiento Dentro de un Cono
(2) Para la coordenada tenemos es una coordenada cíclica mr2 es el momentum angular del
sistema que debe conservarse
Para la coordenada r tenemos
La gráfica es para r2=1 r(0)=1
cte
0
2
mrL
L
dt
d
0cossinsin 22 grr
00 r
Ejemplos FísicosPéndulo Soportado en un Aro
(1) El punto de soporte de un péndulo simple de longitud b se mueve sobre un aro (sin masa) de radio a que rota con velocidad angular constante .
La coordenada generalizada es el ángulo que hace el péndulo con el eje y
La energía cinética T y la potencial U son (tomando U=0 en el centro del círculo)
El Lagrangiano del sistema
cossin
sin22
cossin
sin22
2
1
2
1
2222
2222
22
btamg
tabbam
L
btamgU
tabbam
ymxmT
Ejemplos FísicosPéndulo Soportado en un Aro
(2) La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada es
Que se reduce a la ecuación del péndulo simple si tomamos = 0
Tomando = 1/s, b = 2a = 1m y g = 10 m/s2, (0) = 0,
Vs. t x(t), y(t) (paramétrico)
sin
sincos
0
2
b
gb
gt
b
a
0t
Ejemplos FísicosPéndulos Acoplados (1)
Dos masas iguales se ponen en una cuerda, una a a, la otra a 2a. El extremo O de la cuerda está fijo
Las coordenadas generalizadas son los ángulos y de la figura
La energía cinética y potencial del sistema son
El Lagrangiano del sistema
coscos2
cos2
1
coscos2
cos2
1
222
222
mga
maL
mgaU
maT
a
a
Ejemplos FísicosPéndulos Acoplados (2)
Las ecuaciones de Euler-Lagrange para y son
Tomando: a = 0.5 m, g = 10 m/s2, (0) = 0, ’(0) = 0, (0) = 0.5 rad y ’(0) = 0
Vs. t
Vs. t
cossinsin
cossinsin222
2
aaga
aaga
Otras Áreas de la FísicaTeoría de Campos
La formulación Lagrangiana de partículas se puede extender a la descripción de campos.
Se trabaja con la densidad Lagrangiana del sistema
Las ecuaciones de campo que se deducen de esta formulación son
Esta formulación tiene aplicaciones en electromagnetismo, relatividad, mecánica cuántica, etc…
xxxLL ;,~
x
LL
xA
AAA
3,2,1,0~~
Principio Variacional en Elasticidad
En elasticidad se puede aplicar un principio variacional sobre el siguiente planteamiento
La energía de carga es, en general, un término no convexo que favorece la formación de microestructuras en el material Microestructura: estructura
observada en un espécimen con una magnificación óptica ~ x25 a x1500
La energía de superficie es una función que penaliza cambios fuertes en la función que minimiza la energía total
superficie de energía
carga de energíadominio del
geometría
mínE
Dificultad y Motivación de Problemas No Convexos (1)
¿Qué características debe tener el integrando (Lagrangiano) para que existan minimizadores para I en un espacio de funciones? D. Hilbert, 1900
I debe ser débil inferiormente semicontinuo Requisito: convexidad de f en la derivada de y(x). Tonelli,
1930. Si el integrando f no es convexo en la derivada no
se puede garantizar la existencia de minimizadores de I. Dacorogna, 1980 Las ecuaciones de Euler-Lagrange no son un método
efectivo para buscar estos minimizadores
Dificultad y Motivación de Problemas No Convexos (2)
El principio variacional para la elasticidad es no convexo, el término de la energía de superficie hace que el problema tenga solución
La no convexidad de la energía de carga es la responsable de la formación de la microestructura en el material
Se presenta a continuación el método de los momentos Permite encontrar la solución de algunos problemas
variacionales no convexos En caso que el problema no tenga solución, da información
sobre el comportamiento de las sucesiones minimizantes
Problema de BolzaBalance de Energía Para una Barra
Simplificación de un problema de balance energético para una barra unidimensional de longitud 1 Energía de superficie = 0
La barra está bajo el efecto de algunas cargas externas u(x) es la deformación que
experimenta el punto x sobre la barra
u’(x) la deformación unitaria
010
11
0
222
uu
dxxuxuuI
:s.a
Problema de BolzaDificultad y Motivación
El balance energético que propone el problema de Bolza impone condiciones difíciles de cumplir I(u) 0 u(x) 0 u’(x) ±1
Estas condiciones no son compatibles
La ecuación de Euler-Lagrange para u presenta soluciones inestables al utilizar los métodos numéricos convencionales
Además esta ecuación no caracteriza el minimizador
010
11
0
222
uu
dxxuxuuI
:s.a
132
xu
xuxu
Problema de BolzaRelajación
Encuentra la solución o, en caso que esta no exista, da información sobre las sucesiones minimizantes de problemas no convexos Problema variacional
problema de optimización No convexidad en la derivada
se remplaza el integrando por su envolvente convexa
Los minimizadores de esta relajación convexa son los límites débiles de las sucesiones minimizantes del problema original
dxxyyfuI
dxxyyfuI
dxxyyfuI
cxy
xy
,,mín
,,mín
,,
Relajación
Problemas Variacionales No Convexos
Relajación Convexa La relación entre el problema original y el relajado es
Sea un una sucesión minimizante de I, entonces ella converge débilmente a un minimizador de
Teorema de Caratheodory: Dada una función f coerciva y continua f: n su envolvente convexa está definida como
el óptimo se obtendrá en una combinación convexa de n+1 puntos a lo sumo.
yIyI
yxyinfmín
uun
n
I
tt
nncn
k kk
tftftf
1
11min
Problemas Variacionales No Convexos
Relajación en Medidas (1) Para lograr la relajación convexa del funcional I se introduce un nuevo funcional Ĩ en medidas
es una familia de medidas de probabilidad x parametrizada por los puntos x del dominio del problema (medida de Young)
Cada medida parametrizada debe cumplir
x
dxdxxyfI
x
x
:
;,~
xdxy
Problemas Variacionales No Convexos
Resultados de Relajación (Pedregal)
El teorema de Caratedory implica que el mínimo de Ĩ se obtiene en las medidas óptimas x* que determi-nan la envolvente convexa de f(y*,y’*;x) respecto a
y*(x) es minimizador de Ī Además se tiene que:
Notación: * solución buscada
*
*
*
;,*;*,*
x
xcc
dxy
dxxyfxxyxyf
IIIyyy
~minmininf
Problemas Variacionales No Convexos
Relajación en Medidas (Pedregal) La medida de Young óptima * contiene la información sobre el comportamiento límite de las sucesiones minimizantes de
Si todos los miembros x* de * están soportados en un único punto, I tiene minimizador en el espacio de funciones correspondientes y
Si alguna de las medidas óptimas parametrizadas x* tiene soporte en dos o más puntos, I no tiene solución. Pero el soporte de cada x* nos indica los valores que puede tomar el gradiente y’*(x) en cada x y para cualquier sucesión minimizante un de I
** xdxy
Problemas Variacionales No Convexos
Relajación Semidefinida (Meziat) Problema variacional generalizado:
f puede ser no convexo sobre pero debe tener estructura polinomial
Si f tiene esta estructura su envoltura convexa está dada por :
x
x
x x
dxy
yxyyxy
dxdxxyfI
1100
a.s
;,~ 1
0
n
k
kk xyaxxyf
2
0
,;,
n
kkkc xmxyaxxyf
2
0
**,;,*
Problemas Variacionales No Convexos
Relajación Semidefinida (Meziat) (2) Con m*(x) la solución al programa matemático:
Las nuevas variables de diseño deben formar una matriz de Hankel, ya que mk(x) representa el momento de orden k de la medida parametrizada
La matriz H(x) es cuadrada (n+1)(n+1), simétrica y los elementos sobre las diagonales secundarias coinciden
0
a.s
,min2
0
xH
xmxyan
kkk
xmk
0
1
21
121
1
nnn
n
n
mmm
mmm
mm
xH
Problemas Variacionales No Convexos
Relajación Semidefinida (Meziat) (3) El problema variacional original se transforma en un problema de optimización (se ha discretizado x)
Este problema se resuelve con métodos de optimización numérica
De los momentos algebraicos mk(xi) se puede extraer la información sobre el soporte y los pesos en los que está soportada la medida en cada xi. Soporte unitario (1 = 1 para todo x)
implica que el problema original tiene solución
Soporte doble (1 < 1 para algún x) implica que el problema original no tiene solución
0
a.s
,min
110
1
2
0
xH
xxmyxy
xxmxxya
j
i
jji
i
N
i
n
kikiik
m
ii
itiitii
xx
xxxxxu
12
21
1
*21
Problemas Variacionales No Convexos
Relajación Semidefinida (Meziat) (4) Los puntos de soporte de la medida t1 y t2 se encuentran a partir de los tres primeros momentos; son las raíces del polinomio P(x) Soporte unitario (t1 = t2 para
todo xi): el problema tiene solución
Soporte doble: el problema no tiene solución
Los pesos 1,2(xi) se encuentran con
ii
iii
ii
iii
xtxt
xtxmx
xtxt
xmxtx
12
1*1
2
12
*12
1
ii
iii
ii
ii
itiitii
xtxt
tt
xmxmxm
xmxm
tP
xx
xxxxxu
21
2
*3
*2
*1
*2
*1
12
21
1
1
1
*21
Problemas Variacionales No Convexos
Comportamiento de las Sucesiones Minimizantes
Soporte unitario: Las sucesiones minimizantes {un} para I no presentan alternancia en la derivada Si esto se presenta para todo
punto de la malla, I tiene minimizador yi* = u’*(xi)
Soporte doble: Las sucesiones minimizantes presentan alternancia en la derivada entre los valores t1 y t2. El problema I carece de solución. La alternancia entre los valores
t1 y t2 está regida por los pesos 1 y 2 respectivamente
ii
yi
xuy
xi
*
*
itiitii xxxxx21 21*
Problema de BolzaSolución con Medidas (1)
Problema de Bolza: No convexo en u’(x)
Tiene forma polinomial en la variable derivada
El problema relajado en momentos es
242
1
0
222
21,,
010
.a.s
1
uuxf
uu
dxxuxuuI
0
1
0
.a.s
21~
432
321
21
1
0 1
0 1
1
0
242
xmxmxm
xmxmxm
xmxm
xH
dssm
dssmxu
dxxuxmxmmI
x
Problema de BolzaSolución con Medidas (2)
Los momentos que se encuentran son
Que llevan a
La sucesión minimizante tiene la forma
11 2
1
2
1* x
m1
m4
m2
m3
Envolvente Convexa de una Función
Una función es convexa si cumple la desigualdad de Jensen
La envoltura convexa es la máxima función convexa que acota inferiormente a la función
En la gráfica se ve, en rojo, la envoltura convexa de
(1-u’(x)2)2.
La línea azul muestra una violación de la desigualdad de Jensen
0
1
,,
1
1
11
1
i
k
nk
kk
kk
aa
afafaaf
R