INGENIERIA INDUSTRIAL

CALCULO VECTORIAL

”UNIDAD 1”

Por:

Héctor Figueroa Guerrero.

Ángel Iván Alejandra Rodríguez.

José Raúl García Chavoya

Ángel Horacio Sánchez Vázquez.

PROFESOR:

M.C GABRIEL AGUILAR MENDOZA

La Piedad Mich. Fecha de entrega: de diciembre 2014

Av. Tecnológico 2000, Meseta de los Laureles, C.P. 59370, La Piedad, Mich., Apartado Postal 22,Tels. 01 (352) 5262294, 5262369, 5260680, 5268394, www.itlapiedad.edu.mx

Índice.

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Ganador del Premio Michoacán a la Calidad 2006

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIORDIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICAINSTITUTO TECNOLÓGICO DE LA PIEDAD

UNIDAD1

Que es un vector…………………………………………………………………………4Geometría de las operaciones…………………………………………………………4Multiplicación de un vector por un escalar……………………………………………5Producto punto…………………………………………………………………………..7Producto cruz……………………………………………………………………………8Adición de vectores……………………………………………………………………..8Proyecciones……………………………………………………………………………13Vectorial de 3 dimensiones……………………………………………………………16Ecuaciones de recta y plano………………………………………………………….17Aplicaciones físicas…………………………………………………………………….23UNIDAD 2.Ecuaciones paramétricas……………………………………………………………...26Longitud de arco en forma paramétrica………………………………………………34Calculo con curvas paramétrica………………………………………………………34Coordenadas polares…………………………………………………………………..35UNIDAD 3.Definición de funciones vectoriales…………………………………………………...40Graficación de funciones vectoriales………………………………………………….41Representación de una gráfica mediante una función vectorial…………………...42Límites de funciones vectoriales………………………………………………………44Los vectores normales y binormales………………………………………………….45Continuidad de una función vectorial…………………………………………………45Parámetro longitud de arco…………………………………………………………….46Vector tangente unitario………………………………………………………………..47Integración de funciones vectoriales………………………………………………….48Curvatura…………………………………………………………………………………48UNIDAD 4Límite de una función de 2 variables………………………………………………….50 Grafica de una función de varias variables…………………………………………...50Curvas y superficies de nivel…………………………………………………………..54Derivadas parciales de funciones de varias variables y su interpretación geométrica………………………………………………………………………………55Derivada direccional……………………………………………………………………58Derivada parcial de orden superior…………………………………………………...58Incrementos y diferenciales y regla de la cadena……………………………………59Derivación parcial implícita……………………………………………………………..60Gradiente…………………………………………………………………………………60Campos vectoriales……………………………………………………………………..61Divergencia y rotacional………………………………………………………………..62

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UNIDAD 5Introducción………………………………………………………………………………68Integral de línea………………………………………………………………………….69Integrales iteradas dobles y triples…………………………………………………….74Aplicaciones a áreas y soluciones de problemas……………………………………78Integral doble en coordenadas polares……………………………………………….79Coordenadas cilíndricas y esféricas…………………………………………………...80Aplicaciones de la integral triple en coordenadas cartesianas cilíndricas y esféricas…………………………………………………………………………………..81

Un vector de R3 es toda terna ordenada de números reales v= (v1 , v 2 , v3) para su representación se utilizan 3 ejes ortogonales llamados ejes cartesianos X, Y, z

3

se pueden representar 2 esquemas de representación, denominados “mano derecha” y “mano izquierda” generalmente se usa el de la mano derecha.

Campo vectorial sean M y N funciones de 2 variables X y Y definidas sobre una región R en el plano. La función F definida en por:

F (x, y) = M i+ Nj se llama campo vectorial en R

Geometría de las operaciones vectoriales

Un segmento de recta va dirigido OPque va del origen al punto p (a, b) es una

representación geométrica del vector v. el v= <a, b> se llama vector de posición del punto P (a, b).

Nota: cualquier segmento de una recta dirigido o representativo a la misma dirección y magnitud del tienen como representación av.

La magnitud asociada con un vector V =<a, b> se designa como |V | y se define como |V | = √a2+b2 en R2.

La magnitud asociada de un vector se define como V = 2√a ²+b ²+c ² en R3

Calcular la magnitud del siguiente vector V= <1, -2 >

Si A es el punto inicial y b el punto final hallar sus componentes

A) A(2, -3), B(-5, 4)B) A(0, 8), B(-9, 0)C) A(5, 1) B(6, 5)

Adición de vectores

La suma U+ V de dos vectores

U=<U1, U2> y v=<V1, V2,>

Es el vector U+V=< V1, U2+ V2>

Ejemplo: la suma de U=<4, 3> y V=-<5, 2> es

<4,3>+<-5, 2>=<4+ (-5), 3+2>

=<-1, 5>

La interpretación geométrica del vector adición es por medio de la ley del triángulo por adicción:

4

U - V V

V

<-6, 1> <2, -3 >

Multiplicación de un vector por escalares.

Si U=<V1, V2> y C es un número real el múltiplo escalar CV es el vector

CU=< CU1, CU2> obsérvese que |CV |=√(CU 1)2+¿¿

|C|=√(CU 1)2+¿¿

=|C| |U |

Por lo tanto la longitud de |CU | es |C| cero veces

El inverso aditivo del vector Ves el vectorU= (-1) U= (-U1, V2) con la misma longitud de U pero en sentido opuesto.

La interpretación geométrica de la multiplicación escalar es que CV es el vector de longitud |C| |U | con el mismo sentido que U y |C|<0 en sentido opuesto.

CU Si C>0 V

CV CU

La diferencia U -Vde los vectores U= <U1, U2> y V=<V1, V2> se define como

U -V=U+ (-V )=<U1-V1, U2-V2>

5

V U -V

(-1) V U - V

Suponga que U =<4, -3> y V= <-2, 3> encuentre la magnitud de |U | y los vectores U+V , U -V , 3U , -2V y 2U+4V

P (-2, 3)

|U |=√42+(−3)2

¿ U |=√16+9

|U |=√25

P (4, -3) |U |=5

4-2=<2, 0>

P (2, 0)

P (-2, 3) U=<4, -3> V=<-2, 3>

U -V=U+ (-V )= <U1-V2, U2-V2>

-V=<U1-V2, U2-V2>

=<-4-3, -3-2>

P (4, 3) =<-7, -6>

3U=3<4, -3>

R=<12, -9>

6

-2V=-2<-2, 3> r= <4, -6>

Producto punto

El producto punto de dos vectores será un número escalar y se hará de la siguiente manera

Teniendo dos vectores U=(X1, Y1, Z1) y V=(X2, Y2, Z2)

El producto punto es U .V y sería igual a=X1.X2+Y1.Y2+Z1.Z2=K.

K es el escalar resultante a la multiplicación de dos vectores.

Es decir el producto punto es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores.

Para sacar la magnitud del producto punto de los vectores es elevar el resultado al cuadrado y sacar su raíz, prácticamente igual como lo hacíamos solo que aquí será nada más el escalar. Si se pide la magnitud de los vectores dados es igual que como lo veníamos haciendo.

Pero para la dirección si cambia un poco, existen 2 maneras de sacar la dirección del producto punto.

1) La primera es θ-0 cosa ^-1[U.V( producto punto) /|U| |V|]

Es decir para sacar la dirección es el coseno a la menos 1 de la división del producto punto entre la multiplicación de las magnitudes de los dos vectores.

2) La segunda da el mismo resultado pero es primero sacar beta y después alfa y restar ambas. En formulas seria:β= tan^-1 Y1/X1α= tan^-1Y2/X2θ=β-αAmbas maneras de sacar la dirección deben de llegar al mismo resultado.

Producto cruzEl producto cruz no se puede para todo, para que se pueda sacar el producto cruz a los vectores debe de ser para aquellos vectores en tercera dimensión (3D).

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El producto cruz es el determinante de la matriz que se genera por los vectores con la primera línea de i, j, k. Es decir como resultado un vector y para poder calcularlo hay que hacer uso de determinantes. La manera es la siguiente:U=ai+bj+ckV=di+ej+fkUxV=Dc+ [abc][def][ijk]V xU=De+ [def][abc]

Lo que nos lleva a que UxV= V xU= entonces no importa de que manera efectuemos para sacar nuestro producto igual.Para el producto cruz sacar su magnitud es igual la suma de los cuadrados de sus constantes del vector y su área es de un modo distinto porque se produce un paralelogramo.Para este paralelogramo primero se saca su área, pero lo curioso es que su área es igual que la magnitud solo que añadiendo unidades cuadradas.Y para la dirección se hace de la siguiente maneraΘ=sin^-1[|UxV|/|u||V|]Es decir seno a la menos uno de la división de la magnitud del producto cruz sobre la multiplicación de las magnitudes de los vectores.

Adición de vectoresRestar dos vectores es sumar al primero, el resultado de la multiplicación el escalar 8-1) del segundo vector o más claramente su opuesto porque U (1)= -U

U -V=U+ (-1) V= U+ (-V )Para restar dos vectores libres vector y vector se suma vector con el opuesto de vector.

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores. U -V -V

U

Propiedades de la adición

Conmutativa a+b

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Asociativa a+ (b+ c)= (a+ b)+ c

Identidad aditiva a+ 0= a

Inverso aditivo a+ (-a)=0

K(a+ b)= ka+ kb, k es un escalar

(k1+K2) a=K1a+k2a, k1 y K2 escalares

(K1)(K2)= (K1, K2) a

0a=0

A/a=a

Vector unitario: un vector unitario es el de longitud 1, entonces

U= U / |U |

Es el vector unitario que tiene la misma dirección que U

Encontrar un vector unitario en la misma dirección que U

U=<-3, 7> |U |=√(−3)2+(7)2

U= <-3, 7/√58> |U |=√9+49

U= -3/√58, 7/√58 |U |=√58

U= <-1, 4, 5> ¿ U |=√(−1) ²+(4)2+(5)2

U=<-1, 4, 5/√42> ¿U |=√1+16+25

U=<-1/√42, 4/√42, 5/√42 |U |=√42

Hay tres vectores unitarios que desempeñan un papel importante son los vectores. I=<1, 0, 0>

Ĵ=<0, 1, 0>

K=<0, 0, 1>

El primero apunta en la dirección positiva del eje de las x.

El segundo en la dirección positiva del eje de las y.

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El tercero en la dirección positiva del eje de las z. juntos proporciona una alternativa de notación para vectores. Porque si V=<V1, V2, V3>, entonces V=<V1, 0, 0>+ <0, V2, 0>+ <0, 0, V3>

V= <V1 Î + V2 J + V3 K>

Por lo tanto cada vector es una combinación lineal de Î, Ĵ, Ǩ. La utilidad de esta notación es que cada dichas combinaciones lineales se pueden manejar como si fuesen sumas ordinarias.

Suponga que U= 2Î+3, Ĵ - K V=3Î +4Ĵ -6K exprese 5U – 3V en términos de Î, Ĵ, K

5U - 3U= 10Î +15Ĵ -5Ǩ – (9Î +12Ĵ -18K )

=10Î +15Ĵ - 5Ǩ- 9Î -12Ĵ+18K

= Î+3Ĵ+13K

Nota: los vectores Î, Ĵ, K se denominan vectores de base estándar

Z

Ĵ Î

Î Ĵ

X Y

Hasta el momento se han sumado dos vectores y multiplicado un vector por un escalar, surge la pregunta ¿es posible multiplicar dos vectores de modo que su producto sea una cantidad útil? Un producto de esta clase es el producto punto cuya definición se da a continuación. Otro es el producto cruz que se realiza en la siguiente sesión.

Hasta el momento se han sumado 2 vectores y multiplicado 1vector por escalar surge la pregunta ¿es posible multiplicar 2 vectores de modo que su producto sea

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una cantidad útil? un producto de esta clase es el producto punto cuya definición se da a continuación:

Otro es el punto cruz, que se analiza en la sig. Sección.

Si u=¿u1, u2 , u3> y v=¿ v1, v2 , v3>¿

Entonces el producto punto de u y v es el numero dado por

u . v=u1 v1+u2 . v2+u3 . v3

Ejemplo: obtener el producto punto de:

u=←1,7,4> y v=¿6,2−, 12

u . v=−6+14−2=6

u=i+2 j−3 k u . v=0+4+3=7

v=2 j− k

Propiedades del Producto Punto

siu . v , y w y c Es un escalar entonces

1.-u . u=|u|

2.-u . v= v .u

3.-u . ( v+w )=u . v+u . w

4.-(c u ) . v=c ( u . v )=u .(c v )

5.-o . u=∅

Para encontrar el producto punto

a) u=¿4,4> y v=¿3 ,−1>¿

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b)u=←1,7,4> y v=¿6,2 ,−12>¿

c) u=i+2 j−3κ y v=2 j−κ

a)u . v=12−4=8

b)u . v=−6+14−2=6

c)u . v=0+4+3=7

Teorema

Si ∅ es el angulo entre los vectores u y v=|u||v|u. v

|u||v|=cos∅

∅=cos−1( u . v|u||v|

)

|u|=√a2+b2

|u|=√(4)2+¿¿ |v|=√(3)2+¿¿

¿√32 ¿√10

cos−1( 8√32√10 )=63.43

Nota: u y v son ortogonales si solo si u . v=0

Ejercicio:

Muestre qué 2 i+2 j−κ es perpendicular a 5 i−4 j+2 k

u . v=10−8−2=0

PROYECCIONES.

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Se llama vector proyección de vu se denota por proy u v . puede pensarlo proy v

como una sombra de v

v

u

proy v

v

u

proy v

PRODUCTO CRUZ

El producto cruz u x v a diferencia del producto punto, es un vector. Por esta razón se llama producto, es un vector. Por esta razón se llama producto vectorial. Note que u x v se define solo cuando u y v son vectoriales tridimensionales.

Definición: si u=¿u1 , u2 , u3> y v=¿ v1 , v2 , v3>¿, entonces el producto cruz de u y v es

el vector u x v=| i j ku1 u2 u3

v1 v2 v3|=i (u2v3−v2u3 )− j (u1 v3−v1u3 )+k (u1 v2−v1u2)

Encontrar el producto cruz de u=¿1,3,4> y v=¿2,7 ,−5>¿

u x v=| i j k1 3 42 7 −5|=i (3 ) (−5 )−(7 ) ( 4 )− j (1 ) (−5 )−(2 ) (4 )+ k (1 ) (7 )−(2 ) (3 )=−29

2.- u=¿a1 , a2 , a3>¿

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u x v=| i j ka1 a2 a3

a1 a2 a3|=i (a2 ) (a3 )−(a2 ) (a3 )− j (a1 ) (a3 )− (a1 ) (a3)+ k (a1 ) (a2 )−(a1 ) (a2 )=0

TEOREMA

El vector u x v es octogonal a u y v

u

u x v

v

(u x v¿ . u

| i j ku1 u2 u3

v1 v2 v3|=i (u2 v3−v2u3)− j (u1 v3−v1u3 )+ k (u1v2−v1u2)

Si θes un angulo entre u y v ≤∅ ≤π, entonces |u x v|=|a||b|sin∅

Nota: 2 vectores no nulos a y bson paralelos si solo si a x b=0

Nota 2: La extensión del producto cruz a x bes igual al area del paralelogramo determinado por a y b

Encuentre un vector perpendicular al plano que pasa por los puntos P (1, 4,6),

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Q (-2, 5,-1) Y R (1,-1,1).

Q(-2,5,-1)

PQ X PR=|−3 1 −70 −5 −5|= I (1 ) (−5 )−(−5 ) (−7 )− J (−3 ) (−5 )− (0 ) (−7 )+ K (−3 ) (−5 )−(0 ) (1 )=−40 I−15 J +15 K

Encuentre el área del triangulo con vértices P (1, 4,6), Q (-2, 5,-1), R (1,-1,1)

|U+V|=¿

−40 I−15 J+15 K

|PQ X PR|=√(40)2+¿¿¿

|PQX PR|=√1600+225+2252

|PQ X PR|=√20502

=22.63

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRUZ

Si A,B Y C son vectores de R3 y λun numero real.

1.-AXA=0

2.-0 XA=AX 0=0

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3.-BXA=−AXB ANTICONMUTATIVIDAD

4.-AX (B+C )=AXB+AXC

5.-( λA ) XB=λ ( AXB )=AX( λB)

Vectorial de 3 dimensiones.

DESCOMPOSICION VECTORIAL EN 3 DIMENSIONES

La técnica de bifurcación de un vector en sus componentes en las 3 dimensiones es denominada descomposición de vectores en 3 dimensiones.

Estos componentes actúan en sus respectivas direcciones

El componente X es el componente en el eje X, y el componente Y es el componente a lo largo del eje Y y el componente Z es el componente en el eje Z.

De acuerdo con la ley del triángulo del vector,” si 2 lados de un triángulo son representados por 2 vectores continuos y, entonces el tercer lado del triángulo que está en la dirección opuesta es el resultante de los 2 vectores”.

Estos son vectores perpendiculares entre si, cada uno en una dirección de los 3 espacios tridimensionales.

√ p2x+ p2 y+ p3 z

Px=P cos (0 x )cos ( 0x )=Px /P=A

Py=P cos (0 y ) cos (0 y )=Py /P=B

Pz=Pcos (0 z )cos (0 y )=Pz/P=C

El Volumen del paralelipedo unidos por los vectores u v w, es la magnitud de su producto escalar triple: (volumen=|u x v|) volumen=|u .( v x w)|

El producto v .(u x w)se denomina producto escalar triple

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v . ( u x w )=|v1 v2 v3

u1 u2 u3

w1 w2 w3|

El producto triple escalar para mostrar que los vectores v=¿1,4 ,−7>, u=¿2 ,−1, 4>, y w=¿0 ,−9 ,18>¿

v . ( u x w )=|1 4 −72 −1 40 −9 18|=1 ( (−1 ) (18 )−(−9 ) ( 4 ) )−4 ¿

“ECUACIONES DE RECTAS EN 3DY PLANO 3D”

Una línea en el plano x,y se determinan cuando se dan un punto sobre la línea y la dirección de esta (su pendiente o Angulo de inclinación. la ecuación de la línea se puede escribir, entonces con la forma punto pendiente.

De igual forma, una línea L en el espacio tridimensional se determina cuando se conoce un punto P0 (X0 , Y 0 , Z0 ) sobre L y la dirección de L. en 3 dimensiones la dirección de una línea se describe convenientemente por un vector, asi que sea B un vector paralelo a L.

Si el vector v que da la dirección de la línea L se escribe en forma de componente como: v=¿a ,b , c>¿ entonces se tiene t v=¿ t a ,t b , tc>.

Se puede escribir también r=¿ x , y , z> y r0=¿x0 , y0 , z0>¿ por lo tanto la ecuación vectorial se transforma en:¿ x , y , z≥¿ x0 , y0 , z0>+¿ ta , tb , tc≥¿ x , y , z≥xa+t a , y0+t b , z0+t c>¿

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Las ecuaciones

x=x0+at

y= y0+at

z=z0+a t

Se llaman ecuaciones paramétricas

Encuentre una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la línea L que pasa por el punto ¿5,1,3>¿ y es paralela al vector i+4 j−2 k, además encuentre otros 2 puntos sobre le recta.

r=r0+v t

r=¿5,1,3>+¿1,4 ,−2> t x=5+t

r=¿5+t ,1+4 t ,3−2 t>¿ y=1+4 t

r=(5+t ) i+ (1+4 t ) j+(3−2 t) k z=3−2 t

Otra forma de describir una línea L es eliminar el parámetro T de las ecuaciones paramétricas. Sin ninguna de las literales a, b o c es 0 se puede resolver cada una de estas ecuaciones para T, igualar los resultados y obtener

x−x0

a=y− y0

b=z−z0

c

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Estas ecuaciones se llaman “Ecuaciones simétricas de L”

Ejemplo: encuentre las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta que pasa a través de los puntos A(2,4,-3),B(3,-1,1)

b) en qué punto intercepta esta recta del plan x,y

a)(2,4 ,−3 )b(3 ,−1,1)

v=b−a=¿3 ,−2 ,−1 ,−4,1—3≥(1 ,−5,4 )t

Paramétrica Simétrica

r=¿2+1t ,4−5 t ,−3+4 t>¿ x−2=¿1y−4−5

= z+34

¿

Plano X,Y

x=114

y= 14

z=o P (114, 1

4,0¿

Nota: Ni las ecuaciones paramétricas ni las ecuaciones simétricas de una recta dada son únicasEjemplo: Hallar las ecuaciones paramétricas de una línea que pasa por A(2,1,-

3),B(-3,2,1) B) A(5,-3,-2), B(−23, 23,1¿

A) A(2,1,-3), B(-3,3,1)

V=b−a=¿−3 ,−2,2−1,1 (−3 )≥(−5,1,4 ) t

Paramétrica

r=¿2−5 t ,1+1 t ,−3+4 t>¿ ,x=2−5t ,y=1+t ,z=−3+4 t

B) A(5,-3,-2), B(-2/3,2/3,1)

V=b−a=←23,−5 , 2

3−(−3 ) ,1−2≥(−17

3, 11

3,3)t

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Paramétrica

r=¿5−173t ,−3+ 11

3t ,−2+3 t>¿

Con frecuencia se necesita una distribución no de una línea entera sino de solo un segmento de recta.

El segmento de línea r0a r1se determina mediante la ecuación vectorial r (t )=(1−t ) r0+r1 ,0≤+≤

Planos

Un plano en el espacio se determina por un punto p0(x0,y0,z0) en el plano y un vector n que es ortogonal al plano. Este vector ortogonal n se llama vector normal. Sea P(x,y,z) un punto arbitrario en el plano, y sean r0 y r los vectores de posición de p0 y p. entonces el vector r-r0 se representan por pop el vector normal n es ortogonal a todo vector en el plano dado en particular n es ortogonal a r-r0 y por lo tanto se tiene en particular n (r-r0)=0 que se puede escribir comon . r=n.r0

r P(x,y,z) n

r-r 0 p0(x0,y0,z0)

La ecuación anterior recibe el nombre ecuación vectorial del plano. Para obtener una ecuación escalar del plano se escribe n=<a,b,c> , r=<x, y, z>, y r 0 <x0,y0,z0> entonces la ecuación vectorial se transforma en: <a,b,c> . <x-x0, y-y0, z-z0>=0 a(x-x0 )+b (y-y0)+c (z-z0

)=0

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Ejemplo.

Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto <2,4,-1> con vector n=<2,3,4>. Determina las intersecciones con los ejes y bosqueje el plano.

2(x-2)+3(y-4)+4(z+1)=0

2(x-2)+3(0-4)+4(0+1)=0 2(0-2)+3(y-4)+4(0+1)=0 2(0-2)+3(0 4)+4(z+1)=0

2x-4-12+4=0 -4+3y-12+4=0 -4-12+4z+4=0

2x=12 3y-12=0 -12+4z=0

X=12/2 3y=12 4z=12

X=6 p (6,0,0) y=12/3 z=12/4

Y=4 z=3

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Encuentra una ecuación del plano que pasa por los puntos p(1,3,2), Q(3,-1,6), R(5,2,0)

PQ<3-1,-1-3,6-2> Q

PQ<2,-4,4>

PR<5-1,2-3,0-2> P

PR<4,-1,-2> R

i j k2 −4 44 −1 −2

=i((-4)(-2)-(-1)(4))- j((2)(-2)-(4)(4))+k ((2)(-1)-(4)(-4))

n =12i+20 j+14k

Encuentre en el punto en el cual las líneas con ecuaciones paramétricas x=2+3t, y=-4t, z=5+t corta al plano 4x+5y-2z=18

4(2+3t)+5(-4t)-2(5+t)=18 x=2+3(-2)=-4

8+12t-20t-10-2t=18 y=-4(-2)=8

-2-10t=18 z=5+(-2)=3

-10t=18+2

-10t=20 4(-4)+5(8)-2(3)=18

t=20/-10 P(-4,8,3)

t=-2

nota: dos planos son paralelos si sus vectores son paralelos.

Encuentre el ángulo entre los planos x+y+z=1 y x-2y+3z=1. Obtenga las ecuaciones simétricas para la línea de ecuación L de estos planos.

u ∙ v=|u∨¿|v|cos∅

u=<1,1,1> v=¿<1-2+3>

|u∨¿=√ 12+12+12= √ 3 |v|=¿=√ 12+22+32 =14

∅=cos−1 2√ 3√14 =72°

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u× vi j k1 1 11 −2 3

=i((1)(3)-(-2)(1))- j((1)(3)-(1)(1))+k ((1)(-2)-(1)(-1))= n =<5,-2,-3>

Proyecciones

proyab=|a|| b∨¿cos∅ ¿

proyab=| b∨¿cos∅ ¿

proyab= a . b¿ a∨¿¿

proyab= a . b¿ a∨¿ a¿

a=a

¿ a∨¿¿

Halle la proyección escalar y vectorial de b=<1,1,2> sobre a=<-2,3,1>

proyab=←2,3,1>¿<1,1,2> ¿|a|=√−22+32+12

¿=−2+3+2√14 =

3√14

proyab= a . b¿ a∨¿ a¿¿

)(<-2,3,1)=¿ −614

, 914

, 1314

,>

Aplicaciones físicas.

Un uso de las proyecciones ocurre en física para calcular el trabajo se define el trabajo hecho por una fuerza constante F al mover un objeto por una distancia “d” como W=FD, pero esto se aplica solo cuando la fuerza se dirige a lo largo de la línea de movimientos del objeto. Sin embargo suponga que la fuerza constante es un vector F=PR que apunta en alguna otra dirección si la fuerza mueve al objeto de PQ, entonces es el vector de desplazamiento esD=PQ . El trabajo hecho por esta fuerza se define como el producto de la componente de la fuerza a lo largo de D y la distancia recorrida.

W=(|F∨cos∅ |D∨¿

W=F ∙ D

R

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F

p S Q

D

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Un carrito es jalado una distancia de 100m a lo largo de una trayectoria horizontal por una fuerza constante de 70n. la manija del carrito se mantiene a un ángulo de 35° sobre la horizontal.

| F∨¿¿=70N

35°

|D|=100M

W=(| F∨¿cos∅ ¿|D|=| F∨¿ D|cos∅=(70)(100)cos35°=5734.06N∙M

=5734.06J

Una fuerza que está dada por un vector F=3i+4j+5k y mueve una particula del punto P(2,1,0) al punto Q(4,6,2). Encuentre el trabajo hecho

Q-P=(4,6,2)-(2,1,0)=<2,5,2>

W= ¿F∨¿ D|=<3,4,5>∙<2,5,2>=6+20+10=36J

La idea de un producto cruz ocurre con frecuencia en física. En particular se considera una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido en un punto dado por un vector de posición r. por ejemplo si se aprieta u perno una fuerza a una llave como en la figura, se produce un efecto de giro. El par de torsión τ (relativa al origen) se define como el producto cruz de los vectores de posición y fuerza.

25

Indique la tendencia del cuerpo a girar respecto al origen. La dirección del par de torsión indica al eje de rotación. De acuerdo con el teorema 6 la magnitud del vector de par de torsión es

|τ∨¿=¿ r × F∨¿¿=¿ r∨¿F∨¿sin∅ ¿.

Donde teta es el ángulo entre vectores de posición y fuerza.

Ejemplo:

Se aprieta un perno aplicando una fuerza de 40n a una llave de .25m como se muestra en la figura. Encuentre a magnitud de tal torsión respecto al centro de perno.

¿ τ∨¿=|r |¿ F|sin∅

|τ |¿=(0.25)(40)sin 75 °

|τ |=9.66n.m

|τ |=9.66J

Una llave de 30cm de largo lace a lo largo de eje y positivo y sujeta un perno en el origen. Se aplica una fuerza en la dirección <0.3,-4> y al final de la llave. Encuentre la magnitud de la fuerza necesaria para suministrar 100n.m de par de torsión al perno.

¿ τ∨¿=100n.m 100m.n (0.3)(F)sin∅ √ 02+32+(−4)2=5

¿ r |= (0.3) ∅=cos−1¿) √ 02+0.32+02=0.3

F=? u ∙ v=(0)(0)+(0.3)(3)+(0)(-4)=.9

sin∅=? ∅=cos−1( .91.5

)=53°

26

Ecuaciones paramétricas.

Determine la gráfica de x=cos 2t y=sin2 t 0≤ t ≤2π

X 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1Y 0 1 0 -1 0 -1 0 1 0t 0 π /4 π /2 3 π /4 π 5 π /4 3 π /2 7 π /2 2π

2 1 1 2

2

1

1

2

27

Bosqueje la curva y elimine el parámetro de x=4cosθ y=5 sin θ

X 0 2.82 4 2.82 0Y -5 -3.53 0 3.53 5T −π /2 −π /4 0 π /4 π /2

4 2 2 4

4

2

2

4

cosθ= x4

sin θ= y5

cos ²θ+sin ²θ=1

( x4 )²( y5 )²=1

x ²16

+ y ²25

=1 Ecuación de elipse x≥0

28

Bosqueje la curva y elimine el parámetro x=2sin t y=5cos t 0≤ t ≤π2

X -0.05 -0.02 0 0.02 0.05Y 4.9 4.9 5 4.9 4.9t −π

2−π

40 π

4π2

sin θ= x2

cosθ= y5

cos ²θ sin ²θ=1

( x2 ) ²( y5 ) ²=1

x ²4y ²25

Bosqueje la curva y elimine el parámetro x=2+cos t y=1+sint 0≤ t ≤2π

x−2=3 cos t

x−23

=cos t

y−1=2 sin t

y−12

=sin t

( x−23 ) ²+( y−1

2 )²=1

29

2 1 1 2

4

2

2

4

1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

( x−29 )²+( y−1

4 ) ²

El empleo de la técnica presentada en ejemplo anterior permite concluir que la gráfica en las ecuaciones paramétricas.

X=h+a cos t 0≤ t ≤2π

Y=k+b sin t

En sentido contrario de las manecillas del reloj dada por

( x−h )2

a2 +( y−k )2

b2 =1

La gráfica de las ecuaciones paramétricas también es una elipse trazada en sentido de las manecillas del reloj dada por

X=h+a cos t

Y=k+b sin t

Hallar ecuaciones paramétricas

Ahora se investigara ¿Cómo determinar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una gráfica o una descripción física dada?

Ejemplo

Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de

y=1−x ² Usando cada una de las ecuaciones siguientes

a) T=x y=1−t ² B(x2,y2)b) M=-2x

x=−m/2

y=1−(−m2

) ² A(x1, y1)

y=1−m2/4

x=x 1+(x2 , y 2)

30

y= y1+( y2− y1) 0≤ t ≤1

Encuentre las ecuaciones paramétricas para representar el segmento de línea de (-2,7) a (3,-1)

x1=−2+(3−(−2 ) ) t

x1=3−2+5 t o≤ t ≤1

y 1=7+(−1+7 )t

y 1=−1

Encuentre las ecuaciones paramétricas para la trayectoria de una partícula que se mueve a lo largo del círculo x ²+( y−1 )2=4

( x−h )²+( y−k )/r ²= r2

r2 0≤ t ≤2π

( x−h )2

r 2 +( y−k )2

r2 =1 cos t=x /2 x=2cos t

sin t= y−1 /2 y=2sin t+1

Observando el ejemplo anterior podemos deducir que las ecuaciones paramétricas para el circulo con centro h, k y radio r

x=h+rcos t 0≤ t ≤2π

y=k+r sin t

La cicloide

La curva trazada por un punto P sobre la circunferencia de un círculo cuando el círculo rueda a lo largo de una recta se llama cicloide.

31

Si un círculo tiene radio r y circula a lo largo del eje x, y si una posición de P está en el origen, determine las ecuaciones paramétricas para la cicloide.

x=|OT|−¿ PQ∨¿ ΘƐR

rθ−r sin θ

x=¿

y=|Tc|−¿cQ∨¿ r−cosθ

y=r¿)

Calculando con curvas paramétricas

Anteriormente se vio que algunas curvas definidas por ecuaciones paramétricas x= f (t ) y y=g (t) se pueden expresar también al eliminar el parámetro, en forma y=F (x ), si se sustituye x=f (t) y y=g (t ) en la ecuación y=F (x ), se obtiene g ( t )=F ( f (t ) ) y, se esa manera si g F y f son derivables, la regla de la cadena da g´ (t )=F´ ( f (t ) f ´ (t ) ) f ´ (t)≠0 se puede resolver f´(x)

F ´ ( x )=g ´ (t )f´ (t )

Puesto que la pendiente de la tangente a la curva y=f (x ) en (x , f ( x )) es f ´ (x) la ecuación anterior permite hallar tangentes a las curvas paramétricas sin tener que eliminar el parámetro. Si se emplea la notación de Leibniz, se puede reescribir la ecuación en una forma que se puede recordar con facilidad.

Si dxdt≠0 dy

dx=

dydt

/dx

dt

Nota: se puede ver en la ecuación anterior que la curva tiene una tangente

horizontal cuando dydt≠0 y tiene una tangente vertical siempre y cuando

dxdt

=0

tomando en cuenta que dydt≠0

32

Una curva C se define por las ecuaciones paramétricas x=t ² y y=t ³−3 t

a) Muestre que C tiene 2 tangentes en el punto (3,0)

dydt

=3 t ²−3 dydx

=3 t ²−32 t

=3 ( t ²−1)2 t

=32(t−1

t)

dxdt

=2t x=t ² y=t ³−3 t

t=±√3

Tangente dydx

=32(√3− 1

√3)

b) Determine los puntos en C donde la tangente es horizontal o vertical

3 t 2−3=0 dxdt

=t=0 se tieneuna tangentevertical

3 (t 2−1 )=0

t ²−1=03

t ²=1 dydt

=se tiene tangentehorizontal en+1 y−1 cuando sehace cero

t=±√1

t=1

33

t=−1

c) Determine donde la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo

si f ´ ´ (x )>0es concavahacia arriba d ² ydx

=

ddt ( dydx ¿

¿)dxdt

= ddt

¿¿

si f ´ ´ ¿ dydx

=3(t−1t )

ddt ( dydx )= d

dt¿¿

32 [1−(−1 t ˉ 2 ) ]

2 t

32 [1+ 1

t 2 ]2t1

=34

(t 2+1 ) /4 t ³Del ejemplo anterior encuentre las ecuaciones paramétricas

de las 2 tangentes en el punto (3,0)

Áreas

Se sabe que el área bajo la curva g=f (x ) de A a B es A=∫a

b

f ( x )dx donde f (x)≥0

si la curva está dada por ecuaciones paramétricas

x= f (t )

y=g (t)

34

Ejemplo

Encuentre el área bajo el área de la cicloide de

x=r (θ−sin θ)

y=r¿ 0≤θ≤2π

0 2π

f ´ (θ )= ddθ r (θ−sin θ) r 1−cosθ

¿ r ddθ ¿ r (1−cosθ )

∫0

2π

r (1−cosθ )r (1−cosθ )dθ

r ²∫0

2π

r (1−cosθ ) ²dθ

∫a

b

g (t )− f (t )dt

r ²∫0

2π

(1−2 cosθ+cos ²θ ) dθ

r ² ¿

r ² [θ∫02π

−2sin θ∫0

2π

+∫0

2π

( 12+ 1

2cos2θ)dθ]

r ² [(2 π−0 )−(2sin 2π−2 sin 0 )+ 12∫0

2π

θ+ 12∫0

2π

cos2θdθ] r ² [2 π+1

2θ∫

0

2 π+12 (1

2 )∫0

2π

cos2θ2dθ] r ² [2 π+1

2(2π−0 )+ 1

4sin 2θ ¿0

2π] r ² [2 π+π+ 1

4sin 4 π−1

4sin 0]

35

3 πr ²

Longitud de arco en forma paramétrica.

Teorema: si una curva suave C está dada porx= f (t ) y=g (t) y C no se corta así misma en el intervalo a≤ t ≤b (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la

longitud de arco de C en ese intervalo está dado por ∫a

b

√(dx /dt)2+¿¿¿ ∫a

b

√¿¿¿

Ejemplo

Hallar la longitud de una arcada de la cicloide que tiene ecuaciones paramétricas

x=t−sin t 0≤ π2

y=1−cos t

1−cosθ=2 sin ² θ2

sin ²θ+cos ²θ=1

s=∫0

2π

√(1−cos t )²+sin ² t dt

∫0

2π

√1−2cos t+cos ² t+sin ²dt=∫0

2π

√1−2cos t+1dt

∫0

2π

√2−2 cos t dt

∫0

2π

2√1−cos t dt

∫0

2π

√1−cos t dt=√2∫0

2π

√2 sin ² t2dt

√2√2∫0

2π

√sin ²( t2 )dt=√2√2∫0

2π

sin( t2 ) dt

(√2 ) ²∫0

2π

sin( t2 ) 12

(2 )dt

36

2 (2 )∫0

2π

sin t2

12dt

¿−4 cos t2

¿02π

¿−4 ( (−1 )−1 )

¿−4 (−2 )=8

Coordenadas polares

Un sistema coordenado representado en el plano mediante un par ordenado de números llamados coordenadas.

El sistema coordenado polar introducido por newton es más conveniente para muchos propósitos.

Se elige un punto en el plano que se llama polo u (origen) y se identifica con O. Luego se dibuja un rayo (semirrecta) empieza en O llamado eje polar. Este se traza por lo común horizontalmente a la derecha.

Si P en cualquier punto en el plano sea r la distancia de O a P y sea θ el ( por lo general en radianes) entre el eje polar y la recta OP, por lo tanto el punto P representa mediante el par ordenado (r, θ) y se llaman coordenadas polares de P.

P (r, θ)

r

0 θ x

Eje polar

θ π8

π4

3π8

π2

5π8

3π4

7π8

π 9π8

5π4

11π8

6π4

13π8

7π4

15π8

2π

R 0.70 1 0.70 0 -0.70 -1 -0.70 0 0.70 1 0.70 0 -0.70 -1 -0.70 0

37

0.5 0.5

0.5

0.5

θ π8

π4

3π8

π2

5π8

3π4

7π8

π 9π8

5π4

11π8

6π4

13π8

7π4

15π8

2π

R 0 0.62

1.08

1.25

1.40

1.53

1.65

1.77

1.87

1.98

2.07

2.17

2.25

2.34

2.42

2.50

Relación entre coordenadas polares y cartesianas.

38

2 2 4 6

4

3

2

1

1

Las coordenadas polares (r, z) de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares (x, y).

P cosθ= xr

Y X= r cosθ

θ r=√x ²+ y ²

X sin θ= yr

y=rsin θ

θ=tan−1 yx

Transformar a forma polar

a) A punto P(-1, 1)b) B (-2,-6)

r=√ (−1 )²+ (1 )² θ=tan−11/1

r=√2 θ=−45

r=√ (−2 )²+ (−6 ) ² θ=tan−16 /2

r=√40 θ=71.56

39

a)

P (-1,1) ¿

x

b)

(√40 ,4.38¿

Dada la ecuación polar r ²=4 sin2θ encontrar la ecuación cartesiana

r ²=x ²+ y ²

r ²=4 sin2θ

√ x ²+ y ²=4 sin 2θ

x²+y²=4 sin 2θ cosθ

x²+y²=4 (2

yr∗x

r)

x²+y²=4 ( 2 yxr2 )

x²+y²=4 ( 2 yxx ²+ y ² )

40

( x ²+ y ²4 ) ²=2 yx

( x ²+ y ²4 )²−2 yx=0

Pendientes y rectas tangentes en coordenadas polares.

Para encontrar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar se considera una

r=f (θ )

Para encontrar la pendiente en fusión polar se usan las ecuaciones paramétricas

x=r cosθ=f (θ )cosθ

y=rsin θ=f (θ )sin θ

Mediante el uso de la forma paramétrica de dydx se obtiene:

dydx

=

dydθdxdθ

=

drdθ

sin θ+rcos θ

drdθ

cosθ−r sin θ

Para la fusión r=cos2θ encuentre la pendiente de la línea tangente cuando θ=3 π4

dydθ

=−2sin 2θ sinθ+cos2θ cosθ

dxdθ

=−2sin 2θ sinθ−cos2θ cosθ

dydx

=−2 sinθ sinθ+cos2θ cosθ/−2sin 2θ sin θ−cos2θ sin θ

dydx

∨3 π4

=−2sin 6 π4

sin3 π+cos 6 π4

cos 3π4

/−2 sin 6 π4

sin 3 π4

−cos 6π4

sin 3 π4

=−1

“FUNCIONES VECTORIALES”

41

En general, una función es una regla que asigna a cada elemento del dominio un elemento del rango. Una función con valores vectoriales, es decir, una función vectorial que es simplemente una función cuyo dominio es un conjunto de números reales cuyo rango es un conjunto de vectores. El interés se centra más en funciones vectoriales r cuyos valores son vectores tridimensionales. Esto quiere decir que para cada número T en el dominio de r hay un vector único en v3 , que se denota con r ( t ) . si f (t ) , g ( t ) , h ( t ) son las componentes del vector r (t ) , entonces f , g y h , son funciones de valores reales llamadas funciones componentes de r y podemos escribir r ( t )=¿ f ( t ) , g ( t ) ,h (t )≥f (t ) i+g (t ) j+h(t )k

Nota: Al menos que se especifique otra cosa se considera el dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes f , g , h

Ejemplo: Encontrar el dominio de la Función

r ( t )=ln t i+√1−t j+k 1−t ≥0

f (t )=ln t −t ≥−1

g ( t )=√1−t t ≤1

h ( t )=1

r (t )=t 3 i+ln (3−t ) j+√ t R

f (t )=t 3(−∞,∞)

g ( t )=ln (3−t ) 3−t>0−1 (−t>−3 )→t<3

42

h ( t )=√ t→t ≥0

[ 0,3 ]

“GRAFICACION DE FUNCIONES VECTORIALES”

Para hacer un tipo de Graficación lo mejor es usar un software de aplicación lo cual es de gran ayuda

Trace la curva cuya ecuación vectorial es r (t )=cos t i+sin t j+k

Solución

Las ecuaciones paramétricas son

x=cos t x2+ y2=1

y=sen t (x−h)2+( y−h)2=r2

z=t cos2t+sen2t=1

x2+ y2=1

“LA REPRESENTACION GRAFICA MEDIANTE UNA FUNCION VECTORIAL”

Ejemplo: Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas del segmento rectilíneo que une el punto P (1, 3,-2) con el punto Q (2,-1,3)

r (t )=(1−t ) r0+t r , 0≤ t ≤1

B

A (1,3 ,−2 )<1,3 ,−2>¿

r0 P (1,3 ,−2 )Q (2 ,−1,3 )=¿1 ,−4,5>¿

43

r (t )=(1−t )<1,3,2>+t<1,−4,5>¿

r (t )=¿1−t ,3−3 t ,−2+2t>+¿ t ,−4 t ,5 t>¿

r (t )=¿1,3−7 t ,−2+7 t>0≤ t ≤1

Determine una función vectorial que represente la curva de intersección del cilindro x2+ y2=1 y le plano y+z=2

r(t)=cos t i+sin t j+2−sent k

sin t+ z=¿1 x2+ y2=1

Z=2 sint x=cos t

y=sent

44

Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas del segmento rectilíneo que une los puntos P (2, 4,-1) con el punto Q (4,-2,5)

P0 (X0 , Y 0 , Z0 ) V (X ,Y ,Z)

r1 r ( t )=r0+t v

r0 r (t )=r0+t ( r1−r0 )

¿ r0+t (r−t r0)

¿ r0 (1−t )+t r1

r0=¿2,4 ,−1>¿

r1=¿4 ,−2,5>¿

r (t )=¿2,4 ,−1>(1−t )+t(4 ,−2,5)

r (t )=¿2−2 t ,+4−4 t ,−1+t>+¿ 4 t ,−2t ,+5 t>¿

r (t )=¿2+2 t ,4−6 t ,−1+6 t>¿

“LIMITE DE FUNCIONES VECTORIALES”

El vector de una función rse obtiene sacando los límites de sus componentes como se muestra a continuación

si r (t )=¿ f (t ) , y ( t ) ,h ( t )>entonces limt→a

r (t )<limt →a

f (t ), limt →a

y (t ) , limt→a

h(t )

Siempre que exista los límites de las funciones componentes.

Determine el límite der ( t )=(1+t 3 ) i+t e−t j+ sentt

k

45

limt →0

r (t )=lim ¿¿

¿ (1+(0 )3 ) i+(0 ) . e−0 j+1 k

¿1 i+0 j+1k

¿ i+k

Determina el límite r ( t ) , donde r (t )=e−3 t i+ t 2

sen2 tj+cos 2t k

lim r (t )=limt→ 0

e−3 t i+ limt→0

t2

sen2tj+ lim

t→0cos2 t k

¿e−3 (0 ) i+ sent→0

t . sen t j+cos2(0)k

¿1 i+(1 ) (1 ) j+1 k

¿ i+ j+k

“DERIVADA DE FUNCIONES VECTORIALES”

La derivada de r de una función vectorial r está definida de la misma manera para las funciones de valores

d rdt

=r , (t )=limh→0

r (t+h )−r (t)h

Si r ( t )=¿ f (t ) , g ( t ) ,h (t )≥f (t ) i+g ( t ) j+h (t ) k donde f , g y h son f , g y h son derivables , entonces r ( t )=¿ f ( t ) , g ( t ) ,h ( t )≥f (t ) i+g ( t ) j+h(t )k

Calcule la derivada de r (t )=(1+t 3 ) i+t e−t j+sen 2t k

46

¿3 t2+(t e−t ddt

−t+e−t ddtt ) j+cos 2t d

dt2 t k

¿3 t2 i+ (−t e−t+e−t ) j+cos 2t (2) k

¿3 t2 i+ (1−t ) e−t j+2 cos2 k

“VECTOR TANGENTE UNITARIO”

T=r (t )|r (t )|

Determinante el vector tangente unitario de r (t )=(1+t 3 ) i+t e−t j+sen 2t k enel punto cuando t=0

¿( ddt 1+ ddt

+3) i+( ddt e−t+e−t ddtt) j+cos2 t d

dt2 t k

¿ (3 t 2 ) i+( t e−t ddt

(−t )+e−t (1 )) j+cos2 t (2 ) k

¿3 t2 i+ (−t e−t+e−t ) j+2 (0 ) 2 t k

¿3 t2 i+ (1−t ) e−t j+2 cos2t kt=0r (0 )= j+2 k|r|(0 )=√1+4

|r|(0 )=√5 T (0 )= J +2 K√5

Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice de

ecuaciones paramétricas x=2cos t , y=sen t y z=t enel punto(0,1 , π2)

x=2cost y=sent z=t

r (t )=2cost i+sen t j+t k

r (t )=−2 sent i+cos t j+ k

r ( π2 )=−2 sen( π2 ) i+cos( π2 ) j+ k

47

r ( π2 )=−2 j+ k

“LONGITUD DE ARCO Y CURVA”

Suponga que una curva tiene la ecuación vectorial r ( t )=¿ f ( t ) , g (t ) ,h (t )>, a≤t ≤b , o bien de manera equivalente las ecuaciones paramétricas x= f (t ) , y=g ( t ) y z=h (t ) , donde f , g y h soncontinuos . si la curva se recorre exactamente una vez cuando t se incrementa desde a hasta b, entonces su longitud es:

l=∫a

b

√[ f (t )]2+¿¿

¿∫a

b

√¿¿¿

Observe en ambas formulas de la longitud de arco se pueden expresar en una forma más compacta

l=∫a

b

|r (t)|dt magnitud

Teorema: si una curva suave C está dada por x=f (t ) y=g (t ) y cno se corta asi misma en el intervalo a≤ t ≤bcexcepto quizá en los puntos terminales, entonces la longitud del arco de C en ese intervalo esta dado por:

s=∫a

b

√¿¿¿

Ejemplo: Hallar la longitud de una arcada de la cicloide que tiene ecuaciones paramétricas

x=t−sen t sen2∅+cos2∅=1

y=1−cos t 1−cos∅=2 sen2( 02¿)¿

dxdt

=1−cos t

dydt

=sen t

48

S=∫0

2π

√¿¿¿

∫0

2π

√1−2cos t+¿cos2 t+sen2 t dt ¿

∫0

2π

√2−2cos t

2¿

√2√1−cos t

Ejemplo: Encontrar la integral r (t )=2cos t i+sen t j+2 t k de 0a π2

∫ r (t )=2∫0

π2

cos t i dt+∫0

π2

sen t j dt+2∫0

π2

t k dt

¿¿

¿(2 sen π2−2 sen0)i−¿

2 i+ j+ π2

4k

“CURVATURA”

Sea r ( t ) una función vectorial que define a una curva suave C. Si s es el parámetro

de longitud de arco y T= drds

es el vector tangente unitario, entonces la curvatura

de c en un punto P se define como:

K=|DTDS |Es conveniente expresar la ecuación anterior en términos de un parámetro general t al emplear de nuevo la regla de la cadena, es posible escribir:

49

d tdt

=d tds

dsdtconsecuentemente d t /ds

ds /dt

En otras palabras la curvatura definida la ecuación k=|d tds|produce k ( t )=| t( t)r (t )|Ejemplo: Encuentre la curvatura de un circulo de un radio A

xa2

2

+ y2

a2 =1

sen t= xax=a . sent

cos t= yay=a .cos t

r (t )=¿a sent i+acos t j>¿¿

r ( t )=¿acos t i+a (−sen t ) j>¿¿

|r ( t)|=√¿¿

¿√ (a2 cos2t )+(a2 sen2 t)

¿√a2(cos2t+sen2 t)

¿√a2(1)=√a2

k=| t(t )r (t)|=10

T (t )= r (t )r (t )

T (t )=acos t i−asen t ja

T (t )=a¿¿

T (t )=cos t i−sen t j

T (t )=−sen i−cos t j

50

T (t )=√¿¿

T ( t )=√sen2 t+cos2t

|T (t)|=√1

Encuentre la longitud de la curva trazada por la función vectorial dada en el intervalo que se indica

r (t )=e t cos2 t i+e t sen2 t j+et k ; o≤t ≤3 π

r (t )=(et . d cos2t+cos2 tdt

d e t

dt )i+(et . d sen2 tdt

+sen2t . d et

dt ) j+e t kr ( t )=¿

r ( t )=¿

|r ( t)|=√¿¿

|r ,(T )|=√¿¿

√+e2t sen22 t ¿+(e2t)¿

r (t )=√ (4 e2 t sen2 2 t+4e2cos22 t )+¿¿

|r ( t)|=√4e2t ( sen22 t+cos2 2t )+e2 t (cos2 2 t+sen2 2t )+e2 t

|r ( t)|=√4e2t (1 )+e2 t (1 )+e2 t

|r ( t)|=√4e2t+e2t+e2t

|r ( t)|=√6e2 t

|r ( t)|=√6√e2 t

|r (T )|=√6e t

51

L=∫0

3 π

√6e t dt

L=√6∫0

3π

e t dt L=[√6e t]3π

L=¿

“Definición de una función de 2 variables”

Una función de 2 variables es una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) en el subconjunto del plano x y uno y solo un numero z en el conjunto R de números reales.

El conjunto de 2 pares ordenados(x,y) se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondientes de z recibe el nombre de rango. Una función de 2 variables suele escribirse z=f (x , y )y se lee f de xy. Las variables x y y se denominan variables independientes de la función y z es la variable independiente.

Ejemplo: Dado que f ( x . y )=4+√ x2− y2 encuentre f (1,0 ) , f (5,3 ) y f (4 ,−2 ) y dibuje el dominio de la función.

f (1,0 )=4+√12−02 4+√1=5

f (5,3 )=4+√52−32=4+√16

f (5,3 )=4+√25−9=4+4=8

f ( 4 ,−2 )=4+√42−¿

f ( 4 ,−2 )=4+√16−4

f ( 4 ,−2 )=4+√12

¿4+√4 (3 )

¿4+√4 √3

¿4+2√3

52

Ejemplo 2: Encontrar el dominio de f ( x , y )=√25−x2− y2 y hacer un dibujo mostrando una área sombreada en R2

25−x2− y2≥0

25≥x2+ y2

x2+ y2=25

x2+ y2=r2 circunferencia

“Funciones de 3 o más variables”

La definición de 3 0 mas variables son generalizaciones de la determinación de una función de 2 variables. Ejemplo: una función de 3 variables es una regla de correspondencia que asigna a cada triada ordenada de números reales (x,y,z). en el subconjunto del espacio tridimensional uno y solo un numero w en el conjunto Rde números reales

Ejemplo: Encontrar el dominio de f ( x , y , z )= 2 x+3 y+z4−x2− y2− z2

4−x2− y2−z2≠0

4 ≠x2+ y2+z2

x2+ y2+z2=4

Es una esfera de radio 2, por lo tanto el dominio son todos los puntos dentro y fuera de la esfera, menos los que forman la esfera.

“Limite de una función de dos variables”

Sea f una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x0 , y0 ) ,salvo posiblemente en el punto (x0 , y0 ) , y sea L un numero real. Entonces

lim( x , y )→ (x0 , y0 )

f ( x , y )=L

Si para cada ϵ>0 tal que

|f (x , y )−L|<ϵ siempreque0<√¿¿

53

La definición de límite para una función de dos variables es similar a la definición del límite para una función de una variable. Sin embargo, existe una diferencia crítica. Para determinar si una función de una variable tiene límite, únicamente se necesita probar lo que sucede al acercarse al punto por 2 direcciones, por la derecha y por la izquierda, se concluye que existe el límite. Sin embargo, en el caso de una función de dos variables, la afirmación

( x , y )→ ( x0 , y0 )

Significa que el punto (x,y) puede aproximarse al punto (x0 , y0 ) por cualquier dirección. Si el valor de

lim( x , y )→ (x0 , y0 )

f (x , y)

No es lo mismo al aproximarse a (x0 , y0 ) por cualquier dirección o trayectoria, el límite no existe.

Ejemplo 1: Demuestre que lim( x , y )→(a , b)

x=a

Sea f ( x , y )=xyL=a . se necesita demostrar que para toda ε>0 , existe una vecindad δ alrededor de (a ,b )tal que

|f (x , y )−L|=|x−a|<εSiempre que ( x , y )≠(a ,b) se encuentre en esta vecindad. Observemos que:0<√¿¿|f (x , y )−a|=|x−a| ¿√¿¿≤√¿¿

¿δ

Por lo tanto, puede elegirse δ=ε , con lo que se comprueba que el limite existe.

Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades respecto a la suma, resta, producto y cociente que los límites de funciones de una variable.

“Curva de Nivel”

Si una función de 2 variables está dada por z=f (x , y ) , entonces las curvas definidas por f ( x , y )=c , para una C apropiada, recibe el nombre de curvas de nivel de f

54

Ejemplo: Grafique f ( x , y )=100−x2− y2 y trace lascurvas denivel

Trazaen xy cuando z=0

0=100−x2− y2

x2+ y2=100

x2+ y2=¿

Trazaen xz cuando y=0

z=100−x2

Trazaen yz cuando x=0

z=100− y2

Curvas de nivel

x2+ y2=¿ 75=100−x2− y2

51=100−x2− y2 x2+ y2=100−75

x2+ y2=100−51 x2+ y2=¿

x2+ y2=49 x2+ y2=¿

Z=0

z=51

z=75

Curvas de nivel para funciones de 3 o más variables.

El conjunto de Puntos ( x , y , z ) en el espacio,

donde una función de 3 variables independientes tiene un valor constante f ( x , y , z )=c , es una superficie de nivel f.

Ejemplo: Encuentre las superficies de la función f ( x , y , z )=√ x2+ y2+z2

x2+ y2+z2=r2

55

“Derivadas Parciales”

Si z=f (x , y ) es una función de 2 variables, entonces, la derivada parcial con respecto a x, en un punto(A,Y) es:

∂ y∂ x=lim

n→0

f ( x+h , y )−f (x , y )h

La derivada parcial con respecto a y es:

∂ y∂ x=lim

h→0

f ( x , y+h )−f (x , y )h

siempre que exista el limite

Ejemplo: Encontrar las derivadas parciales de z=4 x3 y2−4 x2+ y6+1¿

∂ y∂ x

= ∂∂ x

=(4 x3 y2−4 x2+ y6+1)

¿ ∂∂ x

4 x3 y2− ∂∂ x

4 x2+ ∂∂ x

y6+ ∂∂x

¿4 y2 ∂∂ x

x3−4 ∂∂ x

x2

¿4 y2 (3 x2 )−4(2x )

¿12x2 y2−8 x

Obtenga ∂ z∂x

y ∂∂ y

z

a¿ z=7 x+8 y2

7 ∂ y∂ x

x+8 ∂∂ x

y28 ∂∂ x

y2

56

7 (1 )=7 8 (2 ) y=16 y

b¿ z=3 x2 y−4 x y8 3∂∂x

x2 y−4 ∂∂ y

x y8=3 x2−4 y8=3 x2−32 y7

3 ∂ z∂x

x2−4 y8 ∂∂ x

x

6 xy−4 y8

c ¿ z= xx+ y

∂∂x

uv=v ddx

u

−u ddx

v

v2

c ¿( x+ y ) d

dxx− ( x ) d

dx(x+ y )

(x+ y )2= x+ y−xx2+2xy+ y2 =

yx2+2 xy+ y2

∂∂x

=( x+ y ) d

dyx−( x ) d

dy(x+ y )

x2+2 y+ y2 =0−x(0+1)x2+2xy+ y2 =

−xx2+2 xy+ y2

“Derivadas de orden superior y mixtas”

Derivadas Parciales de segundo orden:

∂2 z∂x2 =

∂∂ x ( ∂ z∂ x ) y ∂

2 y∂ y2 =

∂∂ y

( ∂ z∂ y

)

Derivadas Parciales de tercer orden:

∂3 z∂ x3 =

∂∂ x ( ∂2 z

∂ y2 ) y ∂3 z∂ y3=

∂∂ y

( ∂2 z∂ y2 )

57

Derivadas Parciales de segundo orden mixtas

∂2 z∂ x ∂ x

= ∂∂ x ( ∂ z∂ y ) y ∂2 z

∂ y ∂ x= ∂∂ y

( ∂ z∂ x

)

Símbolos Alternos: Las derivadas parciales de segundo y tercer orden también se denotan mediante fxx, fyy, fxxx, etc.

La notación de subíndice para las derivadas parciales de segundo orden mixtas es: fxy o fyx.

Encuentre:

a¿ ∂2 z∂ x2 ,

∂3 z∂ x3

∂ z∂x

= y2 ∂∂x

x2− ∂∂ x

y3+3 ∂∂ x

x4+ ∂∂x

5

2 x y2+12x3

2 y2+36x2

72 x

“Gradiente y derivada direccional”

El gradiente de una función cuando el operador diferencial

∇= i∂∂ x

+ j ∂∂ y

o∇=i ∂∂ x

+ j ∂∂ y

+ k ∂∂ t

Se aplica a una función z=f (x , y )ow=f (x , y , z )

Obtenemos una función vectorial muy útil

1) Suponga que f es una función de 2 variables x y y cuyas derivadas parciales fxyfy existen entonces el gradiente de f se define como:

∇ f ( x , y )= ∂ f∂ x

i+ ∂ f∂ y

j

58

2) Suponga que f es una función de 3 variables x,y,z cuyas derivadas parciales fx,fy y fz existen. Entonces el gradiente se define como:

∇ f ( x , y , z )=∂ f∂x

i+ ∂ f∂ y

j+ ∂ f∂ z

k

Calcule ∇ f ( x , y ) para f ( x , y )=5 y−x3 y2

∇ f ( x , y )= ∂∂ x

(5 y−x3 y2) i+ ∂∂ y

(5 y−x3 y2 ) j

¿( ∂∂ x

5 y− y2 ∂∂x

x3) i+(5 ∂∂ y

y−x3 ∂∂ y

y2) j

¿ y2 ( 3x2 ) i+¿

¿−3 x2 y2 i+(5−2 x3 y ) j

Si f ( x , y , z )=x y2+3 x2−z3

Determine ∇ f ( x , y , z ) en (2 ,−1,4 )

∂x∂x

( x y2+3 x2−z3 ) i+ ∂∂ y

(x y2+3 x2−z3 ) j+ ∂∂ z

(x y2+3 x2−z3) k

y2+3 x2−z3 i+2xy+3 x2−z3 j+x y2+3 x2−3 z2

¿ ( y2+6 x ) i+(2 xy ) j−(3 z2 )

¿¿

¿ (1+12 ) i+ (−4 ) j−(48)k

¿ (1+12 ) i+ (−4 ) j−(48)k

¿13 i−4 j−48 k

“Derivada Direccional”

Calculo de una derivada direccional

Si z=f (x , y ) esuna funciondiferenciable de x y y , yu=… .. cos∅ i+sen∅ j esun vector unitario , entonces

59

D .F (X ,Y )=∇ f ( x , y ) .u

Encuentre la derivada direccional de f ( x , y , z )=x y2−4 x2 y+z2en (1 ,−1,2 ) en la direccionde v=6 i+2 j+3 k

v= v|v|

=67i+ 2

7j+3

7k

|v|=√¿¿

¿√36+4+9

¿√49

¿7

a¿ v=P (2,0 )−Q( 12,2)=¿ 1

2−2,2−0>¿

|v|=√¿¿

v= v|v|

−33i+ 2

1j

52

=

−3252

i+

2152

j=−610

i+ 45j

∇ f ( x , y )= ∂∂ x

(x e y) i+ ∂∂ y

(x e y) j

¿ (e y ) i+ (xe y ) j

∇ f ( x , y ) .u=(e y ) i+ (x i ) j .−610

i+ 15j

¿ −610

ey+ 45x ey

¿−6 e10

+ 4(2)5

e0

60

¿ −610

+ 85=−3

5+ 8

5

¿ 55=1

b¿∇ f=ex i+x e y j

¿e(0) i+(2 ) e(0) j=i+2 j

|∇ f|=√¿¿

¿√e2 y+x2 e2 y

√22 y√ (1+x2 )=ey √( 1+x2 )=¿e0 .√ (1+22 )=1.√15=√5¿

“Regla de la cadena”

Recuerde que la regla de la cadena para funciones de una sola variable, da la regla para derivar una función compuesta: si y=f(x) y x=g(t), donde f y g son funciones diferenciables, entonces y es indirectamente una función, diferenciable de t y dy/dt= dy/dx dx/dt

En el caso de funciones de más de una variable la regla de la cadena tiene varias versiones.

Suponga que z=f(x,y) es una función de x y y diferenciable, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones de t diferenciables entonces z es una función de t diferenciable y.

dz/dt= df/dt dx/dx + df/dy dy/dt

si z=x2 y+3 x y4, donde x=sen2t y y=cost, determine dz/dt cuando t=0

∂ y∂ x

(x2 y+3 x y 4 )=2 xy+3 y4

∂∂ y

(x2 y+3 x y 4 )=x2+12x y3

∂∂ tx= d

dtsen2t=cos2t d

dt( et )=2cos 2t

dzdt

=(2x0 y+3 y4 ) (2cos2 t )+(x2+12x y3 ) (−sent )

61

¿3 (1 )4 (2 ) x=0

¿6 y=1

“Regla de la cadena (caso 2)”

Suponga que z=f (x , y ) es una función diferenciable de x y y, donde x=g (s , t ) y y=h(s , t) son funciones diferenciables de s y t entonces

∂ z∂ s

=∂ z∂ x∂ x ∂ s

+ ∂ z ∂ y∂ y ∂ s

∂ z∂ t

= ∂ z∂ x

∂x∂ t

+ ∂ z∂ y

∂ y∂ t

si z=ex sen y , donde x=s t2 y y=s2t

Calcule ∂z∂ s

y ∂ z∂ t

∂ z∂ s

=t 2 .e xsen y+2 st . ex cos ∂z∂t

=2 ts .e xsen y+s2 . ex cos y

∂ z∂x

=ex sen y

∂x∂ s

=t 2

∂ z∂ y

=excos y

∂ y∂ s

=2 st

∂ z∂x

=ex sen y

∂x∂ t

=2 ts

∂ z∂ y

=excos y

∂ y∂ t

=s2

62

“Regla de la cadena (versión general)”

Suponga que μ es una función diferencial de la n variable x1 x2… xn y cada xj

Es una función diferenciable de las m variables t 1, t 2…tm Entonces μ es una función de t 1, t 2…tm y .

∂ y∂ t i

= ∂u∂ x1

=∂ x1

∂ t1+ ∂u∂ x2

∂ x2

∂ ti+… ∂u

∂ xn∂xn∂ ti

Si u=x4 y+ y2 z3 , donde x=rse t y=r s2 sen t .

Determine el valor de ∂u∂ s

cuando s=1, t=0 , r=2

(4 x3 y (r e t ))+((x4+2 y z3 ) 2 rs e−t )+3 y2 z2(r 2sent )

4 ¿

4 ¿

128+64=192

x=rs e t=2

y=r s2 e t=2

z=r2 s sent=0

s=1

t=0

r=2

Determine y si x3+ y3=6 x y

f ( xy )=x3+ y3−6 xy=0

∂ f∂ x

=3 x2−6 y

63

∂ f∂ y

=3 y2−6 x

∂ y∂ x

=3 x2−6 y3 y2−6 x

=−3(x2−2 y)3( y2−2 x)

=−( x2−2 y )( y2−2x )

Determine ∂ y∂ x

si√ xy=1+x2 y

f ( x , y )=√ xy−1−x2 y=0

∂ f∂ x

= 12¿

∂ f∂ y

=12¿

∂ y∂ x

=12¿¿

“Rotacional”

Si F=P I+Q J +R Kes una campo vectorial sobre R3y existen las derivadas parciales de P,Q Y R, entonces el rotacional de F es el campo vectorial sobre R3

definido por

Rot F=( ∂ R∂Y −∂Q∂Z ) I+( ∂ P∂Z−∂R

∂Y ) J+( ∂Q∂ X

−∂P∂Y

)K

Como un auxiliar nemotécnico escriba la ecuación usando la notación del operador. Se presenta el operador diferencial vectorial ∇ (habla ) como :

∇=i ∂∂ x

+ j ∂∂ y

+ k ∂∂ z

Tiene significado cuando opera sobre una función escalar para producir el gradiente de F

∇ f=i ∂ f∂x

+ j ∂ f∂ y

+k ∂ f∂ z

= ∂ f∂ x

i+ ∂ f∂ y

j+ ∂ f∂ z

k

Por lo tanto, la manera más sencilla de recordar la definición 1 es por medio de la expresión simbólica

64

∇ xf=| ∂∂ x ∂∂ y

∂∂ z|rot F=∇ xF

Si F=P I+Q J +R K es un campo vectorial sobre R3 y existen∂ P∂X

, ∂Q∂Y

, ∂ R∂ Z entonces

la divergencia de F es la función de 3 variables definida por:

¿ F=∂ P∂ X

+ ∂Q∂Y

+ ∂ R∂Z

Observe que el rotacional de F es un campo vectorial, pero div F es un campo

escalar en términos del operador gradiente ∇=( ∂∂x ) i+( ∂∂ y ) j+( ∂∂z ) k , la

divergencia de F se puede expresar simbólicamente como el Producto Punto de ∇ y f .

¿ F=∇ .F

Ejemplo: Si F ( x , y , z )=xz i+xyz j− y2 k

Encuentre ¿F=∇ .F

¿ F=∇ .F= ∂∂ x

( xz )+ ∂∂ y

xyz− ∂∂ z

y2=z+xz

“Valores Máximos y Mínimos”

Una función de 2 variables tiene un máximo relativo en (a ,b ) si f ( x , y )≤ f (a ,b ) cuando ( x , y ) esta cercade (a ,b ) , (Estoquiere decir que f ( x , y )≤ f (a ,b ) paratodos los puntos ( x , y ) enalgundisco concentro (a ,b ) ) . el numero f (a ,b) recibe el nombre de valor máximo relativo. Si f ( x , y )≥ f (a ,b ) cuando (x , y ) estacercade (a ,b ) , entonces f (a ,b ) esunnumero relativoen (a ,b ) y f (a ,b )

es un valor mínimo relativo.

Teorema

Si f tiene un máximo relativo o mínimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existen ahí, entonces:

f x (a ,b )=0 y f y (a ,b )=0

65

Ejemplo:

Sea f ( x , y )=x2+ y2−2x−6 y+14

Encontrar los puntos críticos y verificar si existe un mínimo o máximo.

dfdx

=2 x−2=¿ dx−2=0

dfdy

=2 y−6=0 x=dd

x=1

dy−6=0

y=d2

y=3

f ( x , y )=x2−2 x+ y2−6 y+14

f ( x , y )=x2−2 x+1+ y2−6 y+9+14−1−9

f ( x , y )=¿

f (1,3 )=¿

f (1,3 )=4

f ( x , y )>4

(1,3,4)

“Prueba de la segunda derivada”

66

Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro (a,b),y suponga que f x (a ,b )=0 y f y (a ,b )=0 , es decir , (a ,b )es un punto critico de f . sea

D=D (a ,b )=f xx (a ,b ) f yy (a ,b )−¿

a¿ siD>0 y f xx (a , b )<0 ,entonces f (a ,b ) esunminimo relativo .

b¿ siD>0 y f xx (a , b )>0 , entonces f (a ,b ) esunmaximo relativo .

c ¿ si D<0 , entonces f (a ,b )no es∋unmaximorelativo∋unminimorelativo

Nota 1: en caso de © el punto (a,b) se llama punto silla de f y la gráfica de f cruza en el plano tangente en (a,b).

Nota 2: si D=D la prueba no proporciona información =f podía tener un máximo relativo o mínimo relativo(a,b) o bien(a,b) podría ser un punto silla de f.

Nota 3: Para recordar la fórmula de D es útil escribirla como un determinante

D=|fxx fxyfyx fyy| ∂ f∂ x=2 x−2=0 ∂

2 y∂ x

=2

∂ f∂ y

=2 y−6=0 ∂2 f∂ y

=2

¿|2 00 2|=4minimo

Determine los valores máximo y mínimo relativo y los puntos de silla de r ( x , y )=x 4+ y4−4 xy+1

∂ f∂ x

=4 x3−4 y 12 x2−4

∂ f∂ y

=4 y3−4 x 12 y2−4

67

4 x3−4 y=0

4 x3=4 y

4 x3

4= y

y=x3

4 y3−4 x

4 (x3 )−4 x=0

4 x9−4 x=0

4 x (x8−1 )=0

4 x (x4−1 ) (x4+1 )=0

4 x¿

4 x (x2−1 ) (x2+1 ) ( x4+1 )=0

4 x ( x−1 ) ( x+1 ) (x2+1 ) (x4+1 )=0

D=|fxx fxyfyx fyy|

|12 x2 −4−4 12 y2|=144 x2 y2−16

Determine y clasifique los puntos críticos de la función f ( x , y )=10 x2 y−5 x2−4 y2−x4−2 y 4

∂ f∂ x

=20 xy−10 x−4 x3 ∂2 f∂ x

=20−10−12 x2

68

∂ f∂ y

=10x2−8 y−8 y3 ∂2 f∂ y

=10−8−24 y2

20 xy−10 x−4 x3=0 P(0,0)

2 x (10 y−5−2 x2 )=0

2 (5 x2−4 y−4 y3 )=0

2 x (10 y−5−2 x2 )=0

(5 x2−4 y−4 y3 )=0 10 y−5−2x2=0

2 x (10 y−5−2 y2 )=0 10 y−5=2x2

2 x=0 10 y−5

2=x2

x=0

5 x2−4 y−4 y3=0 5( 10 y−52 )−4 y−4 y3=0

−4 y−4 y3=0 502y−25

2−4 y−4 y3=0

−4 y (1− y2 )=0

−4 y=0 1+ y2=0 21 y−252

−4 y3=0

y=0 y2=−1

(−1 )−4 y3+21 y−252

=0

y≗−2.5452y≗0.6468

y≗1.8984 4 y3−21 y+ 252

=0

Punto critico Valor de f fxx D Conclusión

69

(0,0) 0.00 -10.00 80.00 máximo(±2.64,1.90) 8.50 -55.93 2488.71 máximo(±0.86,0 .65) -1.48 -5.87 -187.64 silla

5.1 Introducción

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos suman dos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

∫a

b

f ( x )dx

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

5.2Integrales de línea.

70

La noción de integral definida , esto es, integración de una función de una sola variable definida sobre un intervalo, puede generalizarse a la integración de una función de varias variables definidas a lo largo de una curva.

Suponga que C es una curva parametrizada por y que A y B son los puntos inicial y terminal , respectivamente.Afirmamos que:• C es una curva suave si x.(t) y y.(t) son continuas sobre el intervalo cerrado [a,b] y no son simultáneamente cero sobre el intervalo abierto (a, b).• C es una curva suave por partes si consiste en un número finito de curvas suaves C1, C2, . . ., Cn unidas extremo por extremo; esto es, C C1 ´ C2 ´ . .. ´Cn.• C es una curva cerrada si A = B.• C es una curva simple si no se cruza a sí misma entre A y B.• C es una curva cerrada simple si A = B y la curva no se cruza a sí misma.• Si C no es una curva cerrada, entonces la orientación impuesta sobre C es la dirección que corresponde a los valores crecientes de t.Cada tipo de curva definida antes se ilustra en la FIGURA 15.1.1.Esta misma terminología lleva de manera natural a las curvas en espacio tridimensional. Por

Ejemplo, una curva espacial C definida por es suave si las derivadas x., y. y z. son continuas sobre [a, b] y no simultáneamente cero sobre (a, b).Integrales de línea en el plano: Sea z = f (x, y) una función definida en alguna región bidimensional que contiene a la curva suave C definida por

Los siguientes pasos conducen a las definiciones de tres integrales de línea en el plano.

Sea una partición del intervalo paramétrico [a, b] y considere que los puntos correspondientes sobre la curva C, o puntos de partición, son.

• Los puntos de partición dividen a C en n subarcos de longitudes Considere que la proyección de cada subarco sobre los ejes x y y tienen , longitudes y respectivamente.• Sea la longitud del subarco más largo.• Escoja un punto muestra sobre cada subarco como se ilustra en la FIGURA 15.1.2.Este punto corresponde a un número en el subintervalo k-ésimo

en la partición del intervalo del parámetro [a, b].• Forme las sumas.

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Tomamos el límite de estas tres sumas cuando . Las integrales que resultan se resumen a continuación.

Sea f una función de dos variables x y y definida en una región del plano que contiene una curva suave C.

i) La integral de línea de f con respecto a x a lo largo de C de A a B es.

ii) La integral de línea de f con respecto a y a lo largo de C de A a B es.

iii) La integral de línea de f con respecto a la longitud de arcos a lo largo de C de A a B es.

Es posible demostrar que si es continúa sobre C, entonces las integrales definidas en (1), (2) y (3) existen. Asumiremos la continuidad de f como un hecho.

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Interpretación geométrica: En el caso de dos variables, la integral de línea con respecto a la longitud de arco puede interpretarse de manera geométrica cuando sobre C. En la definición 15.1.1 el símbolo representa la longitud del subarco k-ésimo sobre la curva C. Sin embargo, de la figura 15.1.2

tenemos la aproximación Con esta interpretación de , vemos de la FIGURA 15.1.3a) que el producto es el área de un

rectángulo vertical de altura y ancho La integral representa entonces el área de un lado de una “cerca” o “cortina” que se extiende

a partir de la curva C en el plano xy hacia arriba de la gráfica de y que corresponde a los puntos sobre C. Vea la figura 15.1.3b).

Método de evaluación: C definida paramétricamente Las integrales de línea en la definición15.1.1 se evalúan de dos maneras, dependiendo de si la curva C está definida paramétricamente o mediante una función explícita. En cualquier caso, la idea básica es convertir la integral de línea en una integral definida de una sola variable. Si C es una curva suave parametrizada porEntonces dy = y.(t) dt, dy = y.(t) dt, y por ello (1) y (2) se vuelven, respectivamente,

Evalúe

a) , b) , c) sobre el cuarto de círculo C definido por.

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Método de evaluación: C definida por y = g(x) Si la curva C está definida por una función explícita y=g(x), a ≤ x ≤ b, es posible utilizar x como un parámetro.

Con y las integrales de línea (1), (2) y (3) se vuelven, a su vez,

Una integral de línea a lo largo de una curva C suave por partes se define como la suma de las integrales sobre las distintas curvas suaves cuya unión compone a C. Por ejemplo, en el caso de (3), si C está compuesta por curvas suaves∁1 y ∁2

entonces

∫∁

f ( x , y )ds=∫C1

f ( x , y )ds+∫C2

f ( x , y )ds .

Ejemplo.

Evalué∫Cxy dx+x2dy donde C está dada pory=x3−1≤ x≤2.

Solución La curva C se ilustra en la FIGURA 15.1.5 y se define mediante la función explícita y=x3Por consiguiente, podemos usar x como el parámetro. Con dy=3x2dx, se deduce de (7y (8) que,

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Integrales de línea en el espacio Suponga que C es una curva suave en espacio tridimensional definida por las ecuaciones paramétricas Si f es una función de tres variables definida en alguna región del espacio tridimensional que contiene a C, podemos definir cuatro integrales de línea a lo largo de la curva:

La primera, segunda y cuarta integrales se definen de manera análoga a (1), (2) y (3) de la definición15.1.1. Por ejemplo, si C se divide en n subarcos de longitud ∆ skcomo se muestra en la FIGURA 15.1.8, entonces

La nueva integral en la lista, la integral de línea de f con respecto a z a lo largo de C de A a B,se define como

5.3 Integrales iteradas, dobles, triples.

Introducción: De manera similar al proceso de la diferenciación parcial podemos definir la integración parcial. El concepto de la integración parcial es la clave para un método práctico de evaluación de una integral doble.Integración parcial: Si F (x , y )es una función tal que su derivada parcial con respecto a y es una función f, esto esF y ( x , y )=f (x , y ) entonces la integral parcial de f con respecto a y es

donde la funciónC1( x) desempeña la parte de la “constante de integración”. De manera similar, si F (x , y )es una función tal queF y ( x , y )=f (x , y ) entonces la integral parcial de f con respecto a x es

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Ejemplo.

La integral doble.Sea f una función de dos variables definida sobre una región cerrada R del plano

xy. Entonces la integral doble de f sobre R, denotada por∬Rf ( x , y )dA se define

como

Si el límite en (2) existe, afirmamos que f es integrable sobre R y que R es la región de integración. Para una partición P de R en subregiones Rk con(xk

¿ , y K¿ ) en

Rk, una suma de la forma se denomina suma de Riemann. La partición de R, donde las Rk yacen por completo en R, recibe el nombre de partición interior de R. La colección de rectángulos sombreados en las siguientes dos figuras ilustra una partición interna.Volumen: Sabemos que cuandof (x) para toda x en[a ,b] entonces la integral definida produce el área bajo la gráfica de f sobre el intervalo. De manera similar, sif (x , y )≥0 sobre R, entonces sobre Rk como se muestra en la FIGURA 14.1.3, el productof (xk

¿ , y K¿ )∆ AK puede interpretarse como el volumen de un paralelepípedo,

o prisma, rectangular, de altura f (xk¿ , y K

¿ ) y área de la baseA∆k La suma de n

∑k=1

n

f (xk¿ , yK

¿ )∆ AK volúmenes es una aproximación al volumen V del sólido acotado

entre la región R y la superficiez=(x , y ) El límite de esta suma cuando¿|P|∨→0si existe, producirá el volumen de este sólido; esto es, si f es no negativa sobre R, entonces

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V=∬rf ( x , y )dA

Área Cuandof ( x , y )=1 sobre R, entonces lim¿|p|∨→

∑k=1

n

∆ A k dará simplemente el área A

de la región; esto es,

A=∬RdA.

Integral triple.Definición: Sea f una función de tres variables definida sobre una región cerrada D del espacio tridimensional. Entonces la integral triple de f sobre D, denotada por medio de se define como

Aplicaciones A continuación se listan algunas de las aplicaciones estándar de la integral triple.Volumen: Sif ( x , y , z )=1 entonces el volumen del sólido D es

Masa: Si p(x, y, z) es la densidad (masa por volumen unitario), entonces la masa del sólido D está dada por

Primeros momentos: Los primeros momentos del sólido alrededor de los planos de coordenadas indicados por los subíndices están dados por

Centro de masa: Las coordenadas del centro de masa de D están dadas por

Centroide: Si p(x, y, z) = constante, el centro de masa de D recibe el nombre de centroide del sólido.

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Segundos momentos: Los segundos momentos, o momentos de inercia, de D alrededor de los ejes de coordenadas indicados por los subíndices están dados por f (x, y, z) = 1,

Radio de giro: si I es un momento de inercia del sólido en torno a un eje dado, entonces el radio de giro es,Ejemplo.Encuentre el volumen del sólido en el primer octante acotado por las gráficas de z=1− y2 , y=2 xy , x=3.Solución Como se indica en la FIGURA 14.7.4a), la primera integración con respecto a z será de 0 a 1− y2 Además, de la figura 14.7.4b) vemos que la proyección del sólido D sobre el plano xy es una región de tipo II. Por consiguiente, a continuación integramos, con respecto a x, de y/ 2 a3. La última integración es con respecto a y de 0 a 1. De tal manera,

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5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problemas

Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.

Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente. Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2; 3h + 4h = 7h; 200K + 100K = 300K. Sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética. Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido.

Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste. Calcular:¿Cuál es la diferencia total que recorren?¿Cuál es su desplazamiento? Solución: como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias: Dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos (el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial. Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte,

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representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 Km. al o esté representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos. El origen del vector resultante R es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2. Para calcular la magnitud de R medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo que forma. Así, encontramos que R =5 Km. con un ángulo de 37º en dirección noroeste.

5.5 Integral doble en coordenadas polares.

De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una “integral triple” de una función f (x, y, z) definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la anti derivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

Definición

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido

por la ecuación xn + 1 = f(x1,…, xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T).

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5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas.

En el sistema de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r, θ, z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P.

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =│OP│ es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que

P≥ 0 0≤φ≤ π

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

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Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de, se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas Esféricas

Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene representado por un trío ordenado, donde:

1.- es la distancia de P al origen.

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para.

3.- es el Angulo entre el semieje positivo y el segmento recto.

Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

Coordenadas Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas

5.7- aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Para el cálculo de las integrales triples partiremos de la definición de integral triple que es similar a la de integral doble, solo que ahora consideraremos una tercera variable:

Si f(x, y, z) es continua en un recinto D del espacio R3, tal que D = {(x, y, z) Î R3 |a £ x £ b, c £ y £ d, e £ z £ f, entonces la integral triple de f sobre D, se define como:

Siempre que exista el límite. Nótese que el elemento de volumen es dV = dx dy dz. Tomando en cuenta las consideraciones de continuidad para f(x, y, z) y las consecuencias posteriores de integralidad similares a las hechas para la integral

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doble, se tiene que la integral triple sobre el paralelepípedo D de la función f(x, y, z) se puede expresar como:

Como se puede observar se utilizan integrales iteradas. Para las mismas también se cumple el teorema de Fubini, o sea se puede cambiar el orden de integración obteniéndose el mismo resultado.

Aplicaciones de las integrales triples

La principal aplicación de las integrales triples es en la determinación de volúmenes. Correspondientemente, si se conoce la función de la densidad de un cuerpo en función de las coordenadas, es posible hallar la masa de una porción del cuerpo acotada por determinadas funciones. Esto permite a su vez el cálculo de momentos de inercia, etc.

Integrales triples en coordenadas cilíndricas

Es importante recordar las fórmulas de transformación de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas y las expresiones que ya se vieron de los elementos diferenciales de volumen: x = r cosa q; y = r sin q; z = z ; dV = rdrdqdz . Entonces si f es una función continua en una región R del espacio, tenemos:

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