UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

VECTORES

TRUJILLO - PERÚ

2014

I. INTRODUCCIÓN

• Es una parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.

• Constituye una noción concisa y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático de las situaciones físicas

• Proporciona además una ayuda inestimable en la formación de imágenes mentales de los conceptos físicos.

II. VECTORES Y ESCALARES

1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ej: La masa, el tiempo, la temperatura.

2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido Ej: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc.

3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión

III. VECTOR

• Ente matemático cuya determinación exige el conocimiento de un módulo una dirección y un sentido.

• Gráficamente a un vector se representa por un segmento de recta orientado

• Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima.

OP

ELEMENTOS DE UN VECTOR

1. Dirección: Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos

III. ELEMENTOS DE UN VECTOR2. sentido: Es el elemento que indica la

orientación del vector . Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha.

3. Magnitud : Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta

IV. CLASE DE VECTORES 1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un

aposición fija en el espacio. Tal cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta.

3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un punto de aplicación

V. ALGEBRA VECTORIAL

Antes de describir las operaciones de suma, resta, multiplicación de vectores es necesario definir:

1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos

2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto

ALGEBRA VECTORIAL: SUMA VECTORIAL • Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley de cosenos-

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 cosR A B A B

( )

AR B

sen sen sen

ALGEBRA VECTORIAL: RESTA VECTORIAL • Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud del vector diferencia D es

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 22 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B

( )

AD B

sen sen sen

LEYES DEL ALGEBRA VECTORIAL 1. Conmutatividad.

2. Asociatividad

MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a

cA

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

1. Les asociativa para la multiplicación.Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe

2. Ley distributiva para la adición vectorial.si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dos vectores se tiene

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

3. Ley distributiva para la suma escalar.Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se tiene

SUMA DE VARIOS VECTORES

Para sumar varios vectores se utiliza la ley del polígono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo. Es decir

VI. VECTOR UNITARIO • Es un vector colineal con el vector original• Tiene un módulo igual a la unidad • Se define como el vector dado entre su modulo

correspondiente es decir

ˆAAeA

ˆAA A e

VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna

vectores unitarios

• Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.

ˆˆ ˆ, ,i j k

ˆˆ ˆ 1i j k

VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposición pude ser en un plan o en el espacio.

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL

PLANO

ˆ ˆ

ˆ ˆcosˆ ˆ(cos )

ˆ

ˆ ˆˆ (cos )

x y

x y

A

A

A A A

A A i A j

A A i Asen j

A A i sen j

A Ae

e i sen j

2 2x yA A A

y

x

AAtg

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 2. EN DOS DIRECCIONES NO PERPENDICULARES EN

EL PLANO.Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes

a a b bA A A

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3. En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3. En el espacio.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cosˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k

A A i j k

A Ae

e i j k

2 2 2 2x y zA A A A

cos xAA

cos yAA

cos AzA

VECTOR POSICIÓN

ˆˆ ˆr OP xi yj zk

VECTOR POSICIÓN RELATIVO

1 2 1 2 1 2ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k

VIII. PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar o producto punto de dos vectores denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.

A y B

.A B

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.

6. Producto escalar de dos vectores

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

7. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes . Entonces tenemos

8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares

. 0A B A B

INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR

Geométricamente esta situación se muestra en la figura

VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL

2 2

2

.( ) 0 ( ). 0

( . ) 0

.

c rb a rb rb

r a b r b

a brb

2

.Pr ( ) [ . ]

ˆ ˆPr [ . ]

b

b bb

a b b boy a rb b ab b b

oy a a e e

IX. PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es

C

REGLA DE LA MANO DERECHAa. Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo

índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.

b. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

1. El producto vectorial no es conmutativo

2. El producto vectorial es distributivo

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.

4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es

6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B

7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )

x y z

x y z

y z z y x z z x x y y z

i j kAxB A A A

B B B

AxB i A B A B j A B A B k A B A B

( ) ( )

Area AxB

Area A Bsen A h