Mdulo de ClculoAmaury Camargo y favin Arenas A.ndice1. Generalidades. 31.1. Nombre del curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Programa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Area: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Semestre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Crditos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Prerrequisitos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Funciones y modelos 62.1. Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1. Funciones seccionalmente continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.2. Simetra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.3. Funciones nuevas a partir de funciones antiguas: . . . . . . . . . . . . 82.2.4. Tipos de funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.5. Transformacin de funciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. Lmite y Continuidad de funciones Reales 233.1. Lmites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.1. Clculo de lmites utilizando Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.2. Propiedades de los lmites: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264. Continuidad 344.1. Propiedades de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.1. Lmites innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405. Derivada y Continuidad. 525.1. Recta tengente y recta normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.1.1. Denicin de derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1.2. Derivadas laterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2. Funcin derivada y Reglas de derivacin.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.1. Funcin derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601NDICE Clculo Diferencial5.2.2. Reglas de derivacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.3. Formas indeterminadas Y Reglas de L'Hopital.. . . . . . . . . . . . 786. Aplicaciones de la derivada 906.1. Mximos y mnimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.1.1. Mximos y mnimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.1.2. Concavidad y el criterio de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . 98Arenas A. 2 Camargo B.Clculo Diferencial1. Generalidades.1.1. Nombre del curso:1.2. Programa:1.3. Area:1.4. Semestre:1.5. Crditos:1.6. Prerrequisitos:Arenas A. 3 Camargo B.1.6 Prerrequisitos: Clculo DiferencialIntroduccin.Las Matemticas son una ciencia cuyo objeto de estudio no est en el mundo material pero quesin embargo tiene aplicaciones innitas en l. Son consideradas como uno de los ms poderososlenguajes de la ciencia y sin sta herramienta las posibilidades de aprendizaje y conocimientode otras ciencias se limitaran enormemente.Su utilidad se demuestra al emplear sus leyes y principios para interpretar fenmenos a travsde modelos matemticos, es por eso que tiene aplicaciones en la explicacin de los fen-menos naturales y sociales, por lo cual es importante en Fsica, Qumica, Sociologa, Psicologa,Economa, Ecologa, Biologa, Medicina, y por supuesto en la ingeniera de sistemas.Cuando surgen cuestiones concernientes a la razn entre dos cantidades variables, entramos enlos dominios del Clculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del clculo diferencialtemas como la velocidad (razn entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla)de una partcula en un momento determinado, la pendiente (razn entre la diferencia de lasordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una grcaen un punto dado de sta, etc.Arenas A. 4 Camargo B.1.6 Prerrequisitos: Clculo DiferencialObjetivos del curso.Estudiar los conceptos bsicos de lmite, continuidad y derivada para funciones de una variablereal y utilizar estas ideas en la solucin de problemas de optimizacin, trazado de curvas y raznde cambio.Justicacin.Con este curso se pretende, dar soporte a otras asignaturas de la carrera y a la vez iniciar alestudiante en la comprensin, formulacin y solucin de algunos problemas prcticos medianteel empleo de ciertas herramientas del clculo diferencial.Competencias.Al terminar el curso, el estudiante estar en capacidad de:Dene los conceptos de lmite, continuidad y diferenciacin de funciones reales.Interpreta geomtricamente el signicado de la derivada.Calcula derivadas de funciones reales usando correctamente las propiedades.Resuelve problemas de tipo prctico mediante el uso de la diferenciacin.Arenas A. 5 Camargo B.Clculo DiferencialUNIDAD 12. Funciones y modelos2.1. Relaciones y funcionesLos pares ordenados de nmeros reales desempean un papel importante en el estudio que seva a realizar.Denicin .1 Si c y / son dos elementos de un conjunto, el par ordenado con primera compo-nente c y segunda componente / se simboliza por (c. /) y es por denicin c . c. / . Estoes, (c. /) = c . c. / .Nota .1 Ntese que los pares ordenados (c. /) y (c. d) son iguales si y slo si c = c y c = dDenicin .2 El producto cartesiano de dos conjuntos y 1, que se nota 1, es el conjuntode todos los pares ordenados (c. /) con c y / 1. esto es, 1 = (c. /) : c y / 1Denicin .3Sean A y 1 dos conjuntos. 1 es una relacin de A a 1 de A en 1 s y slo s1 A 1 . Si la pareja (r. ) est en 1 se escribe (r. ) 1, y se dice que r est relacinpor 1 o segn 1, con .Denicin .4El dominio de 1, que se denota 1R, es el conjunto de elementos de A que estanrelacionados por 1 con algn elemento de 1 , esto es,1R = r A : existe algn 1 tal que (r. ) 1 Denicin .5 El recorrido de 1, que se denota 1R, es el conjunto de elementos de 1 queestn relacionados por 1 con algn elemento de A, es decir,1R = 1 : existe algn r A tal que (r. ) 1 Denicin .6Si A y 1 son conjuntos de nmeros reales, la graca de una relacin 1 de A a1 es el conjunto de todos los puntos (r. ) del plano coordenado para los cuales (r. ) 1.2.2. FuncionesDenicin .7 Sean A y B dos conjuntos no vacos. Una funcin , de A en B es una relacin deA en B que satisface la siguiente condicin: Para todo elemento r de A existe un nico elemento en B tal que (r. ) ,.Esto signica que:i). Todo elemento r de A es la primera componente de alguna pareja de ,.ii). Si (r. 1) ,. y (r. 2) ,. entonces 1 = 2. es decir, en , no hay dos parejas distintascon la primera componente igual.Arenas A. 6 Camargo B.2.2 Funciones Clculo DiferencialPrueba de la recta vertical: Una curva en el plano r es la grca de una funcin de rsi y slo si ninguna recta vertical se interseca con la curva ms de una vez.Funcin No es funcin Funcin2.2.1. Funciones seccionalmente continuasLa funcin del ejemplo siguiente est denida por frmulas diferentes en diferentes partes desus dominios.Ejemplo .1 Una funcin f se dene por___r21 if r _ 11 r2if 1 < r _ 12r2+ 1 if 1 < rEvale ,(5). ,(0). ,(5) y trace la grca.Solucin: Para esta funcin en particular, la regla es: primero se considera el valor de la entradar. Si sucede que r _ 1. entonces ,(r) = r2 1. Por otra parte, si r1. entonces ,(r) =2r2+ 1.Como 5 _ 1. se tiene que ,(5) = (5)21 = 24Como 1 < 0 _ 1. se tiene que ,(0) = 1 (0)2= 1Como 51. se tiene que ,(5) = 2(5)2+ 1 = 51Figura 1Arenas A. 7 Camargo B.2.2 Funciones Clculo Diferencial2.2.2. SimetraSi una funcin , satisface ,(r) = ,(r). para todo nmero r en su dominio, entonces , sedenomina funcin par. Por ejemplo, la funcin ,(r) = r21 es par porque,(r) = (r)21 = r21 = ,(r)Si una funcin , satisface ,(r) = ,(r). para todo nmero r en su dominio, entonces , sedenomina funcin impar. Por ejemplo, la funcin ,(r) = r3r es impar porque,(r) = (r)3(r) = r3+r = _r3r_= ,(r)El signicado geomtrico de una funcin par es que su grca es simtrica con respecto al eje. (ver gura 2a), mientras que el signicado geomtrico de una funcin impar es que su grcaes simtrica con respecto origen de coordenadas (ver gura 2b)Figura 2a Figura 2b2.2.3. Funciones nuevas a partir de funciones antiguas:Al resolver problemas de clculo, encontrar que resulta til familiarizarse con las grcas dealgunas funciones cuya presencia es frecuente. En esta seccin clasicaremos varios tiposde funciones y, enseguida , mostraremos cmo se les transforma por el desplazamiento, elalargamiento y la reexin de sus grcas. Tambin mostraremos cmo combinar pares defunciones por medio de operaciones aritmticas estandar o por composicin.2.2.4. Tipos de funciones:Funciones constantes: La funcin constante , (r) = c tiene el dominio R y su rango elnico valor c. Su grca es una recta horizontal.Funciones potencia: Una funcin de la forma , (r) = ra, donde c es una constante, sellama funcin potencia. Considaremos varios casos.c = :, un entero positivo:Arenas A. 8 Camargo B.2.2 Funciones Clculo DiferencialEn la gura que sigue, se muestran las grcas de , (r) = rn, para : = 1. 2. 3. 4 y 5. Yaconocemos la forma de las grcas de = r (una recta que pasa por el origen con pendiente 1y = r2una parbola.).La forma general de la grca , (r) = rndepende de si : es par o impar. Si : es par,entonces, (r) = rnes una funcin par y su grca es similar a la parbola = r2. Si : es impar,entoces , (r) = rnes una funcin impar y su grca es similar a la de = r3. Sin embargo,observe la gura y advierta que, conforme : crece, la graca de = rnse vuelve ms planacerca de 0 y ms empinada cuando [r[ _ 1. Si r es pequea, entonces r2es ms pequea, r3incluso es ms pequea, r4todava es ms pequea y as sucesivamente. = r = r2 = r3 = r4 = r5c = 1:En la gura siguiente se muestra la grca de la funcin reciproca , (r) = r1=1x. Su grcatiene la ecuacin = 1r, o bien, r = 1. Es una hiprbola equiltera con los ejes de coordenadascomo asntotas.c = 1:, : un entero positivo:La funcin , (r) = r1n =n_r es una funcin raz. Para : = 2, es la funcin raz cuadrada, (r) = _r, cuyo dominio es [0. ) y cuya graca es la mitad superior de la parbolar =2[ver g]. Para otros valores pares de :, la grca de =n_r es similar a la de =_r. Para: = 3, tenemos la funcin raz cubica , (r) =3_r, cuyo dominio es R (recurdese que todonmero real tiene una raz cubica y cuya grca se muestra a continuacin. La grca de =n_r para : es impar (:3) es similar a la de =3_r.Arenas A. 9 Camargo B.2.2 Funciones Clculo Diferencial =_r =3_rPolinomios: Una funcin 1 recibe el nombre de polinomio si1 (r) = cxrn+cn1rn1+ +c2r2+c1r +c0donde : es un cociente es un entero no negativop y los nmeros c0;c1;c2. ....... cn son constantesllamadas coecientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es R = (. ). Siel primer coeciente cn ,= 0, entonces el grado del polinomio es :. Por ejemplo, la funcin1 (r) = 2r6r4+ 25r3+_2es un plinomio de grado 6 (o sexto grado).Un polinomio de primer grado es de la forma 1 (r) = cr + / y se llama funcin lineal porquesu grca es la recta = cr+/ (pendiente c, ordenada al origen /). Un rasgo caracterstico delas funciones lineales es que crecen con una razn constante. Por ejemplo, en la gura siguientese muestra una grca de la funcin lineal , (r) = 2r+1 y una tabla de valores muestras. Noteque, siempre que r se incrementa en 1, el valor de = , (r) aumenta en 2. Por tanto, , (r)crece dos veces ms rapido que r. De este modo, la pendiente de la grca = 2r+1, a saber,2, se puede interpretar como la razn de cambio de con respecto a r.r -2 -1 0 1 2 = ,(r) -3 -1 1 3 5Un polinomio de segundo grado es de al forma 1 (r) = cr2+ /c + c y se llama funcincuadrtica. La grca de 1 siempre es la parbola que se obtiene desplazando la parbola = cr2. Un polinomio de la forma1 (r) = cr2+/c +cr +dArenas A. 10 Camargo B.2.2 Funciones Clculo Diferencialse llama funcin cbica. A continuacin se muestra la grca de una funcin cbica, en la partec, y las grcas de polinomios de cuarto y quinto grado en las partes / y c. = r3(c) = r4(/) = r5(c)Comnmente, los polinomios se usan para modelar diversas cantidades que se presentan enlas ciencias naturales y sociales. Ms adelante, explicaremos por qu los economistas usan amenudo un polinomio 1 (r) para representar el costo de producir r unidades de un artculo.Funciones racionales: Una Funcion racional , es una razn de dos polinomios., (r) = 1 (r)Q(r)donde 1 y Q son polinomios. El dominio consta de todos los valores de r tales que Q(r) ,= 0.Por ejemplo, la funcin, (r) = 2r r2+ 1r24 = ,(r)es una funcin racional con dominio r [ r ,= 2. En la gura anterior se muestra su graca.Funciones algebraicas: Una funcin , recibe el nombre de Funcin algebraica s puedeconstruirse usando operaciones algebraicas (adicin, sustraccin, multiplicacin, divisinArenas A. 11 Camargo B.2.2 Funciones Clculo Diferencialy extraccin de raz) a partir de polinomios. Automticamente, cualquier funcin racionales una funcin algebraica. Aqu se tienen dos ejemplos ms:, (r) =_r2 + 1q (r) = r416r2r_r+ (r 2)3_r + 1Cuando tracemos las grcas de las funciones algebraicas, veremos que esas grcas puedentomar diversas formas.Funciones trigonomtricas:En clculo, la convencin es usar la medida radin (exceptocuando se indica lo contrario). Por ejemplo, cuando utilizamos la funcin , (r) = sin r,se entiende que sinr signica el seno del ngulo cuya madida en radianes es r. De estemodo, las grcas de las funciones seno y coseno son como las que muestran en la guraSiguiente.Sen(r) Cos(x)Nota .2 Ntese que tanto para la funcin seno como para la coseno, el dominio es (. ) yel rango es el intervalo cerrado[1. 1]. Por tanto, para todos los valores de r, tenemos1 _ sin r _ 1 1 cos r _ 1Asmismo, los ceros de la funcin senose tienen en los multiplos enteros de :, es decir,sin(r) = 0 cuando r = :: : un enteroUna propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son periodicas y tienen unperiodo 2:. Esto signica que, para todos los valores de r,sin (r + 2:) = sin r cos (r + 2:) = cos rLa naturaleza peridica de estas funciones las hace apropiadas para modelar fenmenos repeti-tivos, como mareas, resortes vibrantes y las ondas sonoras. La funcin tangente esta relacionadacon las funciones seno y coseno por la ecuacinArenas A. 12 Camargo B.2.2 Funciones Clculo Diferencialtan r = sin rcos ry su grca no est denida cuando cos r = 0, es decir, cuando r = :2. 3:2 . ...Su rango es(. ). = tan rNote que la funcin tangente tiene perodo :.Las tres funciones trigonometricas restantes(cosecante, secante y cotangente) son las recprocasde las funciones seno, coseno y tangente.Funciones exponenciales: Son las funciones de la forma , (r) = cx, donde la base c esuna constante positiva. En la gura que sigue se presentan las grcas de = 2x. =2xy = 2x. En los dos casos, el dominio es (. ) y el rango es (0. ).2x2x2xFunciones logartmicas: Son las funciones , (r) = logar, donde la base c es una con-stante positiva. Son las funciones inversas de las funciones exponenciales y se estudiaranen la otra seccin En la gura siguiente se encuentran las grcas de cuatro funcioneslogartmicas con diversas bases. En cada caso, el dominio es (0. ), y el rango (. )Arenas A. 13 Camargo B.2.2 Funciones Clculo Diferencialy la funcin crece con lentitud cuando r1.Funciones trascendentes: Se trata de las funciones que no son algebraicas. El conjuntode las funciones trascendentes incluye las trigonomtricas, las trigonomtricas inversas,las exponenciales y las logartmicas., as como un vasto nmero de otras funciones quenunca han sido nombradas.2.2.5. Transformacin de funciones:Al aplicar ciertas transformaciones a la graca de una funcin dada podemos obtener las gracasde ciertas funciones relacionadas y, de este modo, reducir el trabajo al trazar esas gracas. Enprimer lugar, consideraremos las traslaciones. Si c es un nmero positivo, entonces la gracade = , (r) + c es precisamente la de = , (r) desplazada hacia arriba una distancia de cunidades(debido a que cada coordenada se incrementa el mismo nmero c). Del mismo modo, si q (r) = , (r c), donde c0, entonces el valor de q en r es el mismo que el valor de , enr c(c unidades a la izquierda de r). Por lo tanto, la graca de = , (r c) es precisamentela de = , (r) desplazada c unidades a la derecha(vase la g. 14)Desplazamientos verticales y horizontales: Supngase que c0. Para obtener la gracade1. = ,(r) +c, se desplaza la graca de = , (r) una distancia de unidades c hacia arriba.2. = ,(r) c, se desplaza la graca de = , (r) una distancia de unidades c hacia abajo.3. = , (r c), se desplaza la graca de = , (r) una distancia de unidades c hacia laderecha.4. = , (r +c), se desplaza la graca de = , (r) una distancia de unidades c hacia laizquierda.Arenas A. 14 Camargo B.2.2 Funciones Clculo Diferencial =_r =_r 2 =_r 2 = _r =_rConsideremos ahora las transformaciones de alargamiento y reexin. Si c1, entonces lagraca de = c, (r) es la de = , (r) alargada al factor de c en la direccin vertical(porquecada coordenadad y se multiplica por el mismo nmero c ). La graca de = , (r) es la de = , (r) reejada respecto al eje r, porque el punto (r. ) remplaza al punto (r. ). (Vasela lista y la gura a continuacin, donde tambin se dan los resultados de otras transformacionesde alargamiento, comprensin y reexin).Alargamientos y reexiones verticales y horizontales: Supngase que c1. Para obtenerla graca de1. = c,(r), alrguese la graca de = , (r) verticalmente en un factor de c.2. =_1c_,(r), comprmase la graca de = , (r) verticalmente en un factor de c3. = , (cr), comprmase la graca de = , (r) horizontalmente en un factor de c.4. = ,_xc_, alrguese la graca de = , (r) horizontalmente en un factor de c.5. = , (r), rejese la graca de = , (r) respecto al eje r.6. = , (r), rejese la graca de = , (r) respecto al eje .Arenas A. 15 Camargo B.2.2 Funciones Clculo DiferencialFunciones exponencialesLa funcin , (r) = 2xse llama funcin exponencial porque la variable, r, es el exponente.No debe confundirse con la funcin ppotencia q (r) = r2, en la cual la variable es la base. Engeneral, una funcin exponencial es una funcin de la forma, (r) = cxdonde c es una constante positiva. Recordemos qu signica esto. Si r = :, un entero positivo,entoncescn= ccc: factoresSi r = 0, entonces c0= 1 y, si r = :, donde : es un entero positivo, entoncescn=1cnSi r es un nmero racional, r = pq, donde j y son enteros y 0, entoncescd= cpq =q_cpEn la gura 3 se presentan las gracas de los miembros de la familia de funciones = cxparavarios valores de la base c. Note que todas estas gracas pasan por el mismo punto (0.1) porquec0= 1 para c ,= 0. Note tambin que a medida que la base c se vuelve ms grande, la funcinexponencial crece con mayor rapidez (para r0)Leyes de los exponentes:Si c y / son nmeros positivos y r y son cualesquieras nmeros reales, entonces1. cx+y= cx+cy2. cxy= axay3. (cx)y= cxy4. (c/)x= cx/xEjemplo .2Graque la funcion = 3 2xy determine su dominio y su rango.Solucin: En primer lugar, reejamos la grca de = 2x(g. a) respecto al eje r, para obtenerla grca de = 2xgura b. Luego, desplacemos la gura de = 2xtres unidades haciaarriba para obtener la graca de = 3 2xgura c. El dominio es R y el rango es (. 3).Arenas A. 16 Camargo B.2.2 Funciones Clculo DiferencialFig. (a) Fig. (b) Fig. (c)Ejemplo .3 La vida maedia del estroncio 90, 90Sr, es de 25 aos. Esto signica que la mitadde cualquier cantidad dada de 90Sr se desintegrar en 25 aos.Si una muestra de 90Sr tiene una masa de 24 mg, encuentre una expresin para la masa:(t) que queda despues de t aos.Encuentre la masa restante despus de 40 aos, correcta hasta el miligramo ms cercano.Use un gracador para trazar la graca de :(t) y utilice est ltima a n de estimar eltiempo requerido para que la masa se reduzca hasta 5 mg.Solucin: En un inicio la masa de 24 mg y se reduce a la mitad durante cada 25 aos, por tanto:(0) = 24:(25) =12 (24):(50) =12 12 (24) = 122 (24):(75) =12 122 (24) = 123 (24):(100) =12 123 (24) = 124 (24)Con la base en este patrn, parece que la masa restante despues de t aos es::(t) =12 t25(24) = 242t25Esto es una funcin exponencial con base c = 2125 =12 125 .La masa que queda despus de los 40 aos es:(40) = 2424025 - 7.9:qArenas A. 17 Camargo B.2.2 Funciones Clculo DiferencialUsamos una calculadora gracadora o una computadora para trazar la grca de la fun-cin :(t) = 242t25 . Tambin trazamos la grca de la recta : = 5 y utilizamos elcursor para estimar que :(t) = 5 cuando t - 57. Por tanto, la masa de la muestra dereducir hasta 5mg despus de alrededor de 57 aos.:(t) = 24(2t25 )El nmero cDe todas las bases posibles para una funcin exponencial existe una que es la ms convenientepara los nes del clculo, se trata del nmero irracional c = 2.71828...Ejemplo .4 Graque la funcin = 12cx1 y d el dominio y el rango. = cx = 12cx = 12cx1Solucin: Partimos de la grca de = cx, y la reejamos respecto al eje para obtener lagraca de = cx, (Ntese que la grca cruza el eje con una pendiente : = 1 ) Luego,comprimimos, verticalmente la grca, un factor de 2 para obtener la graca de = 12cx. Porltimo, la desplazamos hacia abajo una unidad para lograr la grca deseada. el dominio es Ry el rango es (1. ).Funciones inversas y logartmicasDenicin .8 Se dice que una funcin , es una funcin uno a uno si nunca toma el mismovalor dos veces; es decir,Arenas A. 18 Camargo B.2.2 Funciones Clculo Diferencial, (r1) ,= , (r2) siempre que r1 ,= r2Prueba de la recta horizontal: Una funcin es uno a uno si slo si ninguna recta hori-zontal interseca su graca ms de una vez.No es 1-1 Es 1-1 No es 1-1Denicin .9 : Sea , una funcin uno a uno, con dominio y rango 1. Entonces su funcininversa ,1tiene dominio 1 y rango y la dene,1() = r == , (r) = (1)para cualquier en 1.Esta denicin expresa que si , mapea r en , entonces ,1mapea de regreso a r. (Si , nofuera uno a uno, entonces ,1no estara denida de manera nica). Note quedominio de ,1=rango de ,rango de , =dominio de ,1Tradicionalmente, la letra r se usa la como variable independiente, de modo que cuando nosconcentramos en ,1, en lugar de ,,solemos invertir los papeles de r y en la ecuacin (1) yescribimos,1(r) = == , () = r (2)Si en la misma ecuacin (1) se sustituye , as como en (2), se obtienen las siguientes ecuacionesde cancelacin:,1(, (r)) = r para toda r en ,(,1(r)) = r para toda r en 1Cmo hallar la funcin inversa de una funcin , uno a unoArenas A. 19 Camargo B.2.2 Funciones Clculo DiferencialPaso 1: Escribimos = , (r)Paso 2: Resolvemos esta ecuacin para r en terminos de (si es posible)Paso 3: Para expresar ,1como funcin de r, intercambiamos r y . La ecuacin resultante es = ,1(r)Ejemplo .5 Encuentre la funcin inversa de , (r) = r3+ 2.Solucin: Primero escribimos = r3+ 2.Luego resolvemos esta ecuacin para r:r3= 2r =3_ 2Por ltimo, intercambiamos r y : =3_r 2Por lo tanto, la funcin inversa es:,1(r) =3_r 2,(r) = r3+ 2 ,1(r) =3_r 2 ,(r) y ,1(r)El principio de intercambiar r y a n de hallar la funcin inversa tambin nos proporcionael mtodo para obtener la grca de ,1, a partir de la de ,. Dado que , (c) = / si slo si, (/) = c, el punto (c. /) est en la grca de ,1. Pero obtenemos el punto (c. /) por reexinrespecto de la recta = r (g. 8).Por lo tanto, como se ilustra en la gura siguiente:Se obtiene la graca de ,1al reejar la graca de , respecto a la recta = r.Ejemplo .6Trace la graca de , (r) =_1 r y de su funcin inversa, usando los mismosejes de coordenadas.Arenas A. 20 Camargo B.2.2 Funciones Clculo DiferencialSolucin: Primeo gracamos la curva = _1 r (La mitad superior de la parbola 2=1 r, o bien, r = 2 1) y luego la reejamos respecto a la recta = r para lograr lagrca de ,1(g. 10). Como comprobacin de la graca, note que la expresin para ,1es,1(r) = r2 1. r0. De modo que la graca de ,1es la mitad derecha de la parbola = r21 y, a partir de la gura , esto parece razonable.,(r) =_1 r ,1(r) = r21 ,(r) y ,1(r)Funciones logartmicasSi c0 y c ,= 1, la funcin exponencial , (r) = cxest creciendo o decreciendo y, por tanto,es uno a uno. Por consiguiente, tiene una funcin inversa ,1, la cual se conoce como funcinlogaritmica con base a y se denota con loga. Si usamos la formulacin de funcin inversa queda ,,1(r) = == , () = rentonces tenemoslogar = == cy= rPor tanto, si c0, entonces logar es el exponente al que debe elvarse la base para c para darr. Por ejemplo, log10 0.001 = 3, porque 103= 0.001. Cuando las ecuaciones de cancelacinse aplican a , (r) = cxy ,1(r) = logar, quedan comologa(r) = r para toda r 1cloga= r para toda r0La funcin logartmica loga tiene dominio (0. ) y rango 1. Su graca es la reexin de lagraca de = cxrespcto a la recta = r.En la gura se muestra el caso en dondec1(Las funciones logartimicas ms importantestienen base c1). El hecho de que = cxsea una funcin que aumenta con mucha rapidezpara r0 se reeja en que = logar es una funcin que aumenta con mucha lentitud parar1.Leyes de los logaritmos: Si r y son nmeros positivos, entonces:Arenas A. 21 Camargo B.2.2 Funciones Clculo Diferencial1. loga (r) = logar + loga2. loga_xy_= logar loga3. loga (rr) = : logar(en donde : es cualquier nmero real)Logaritmos naturalesDe todas las bases c para los logaritmos, veremos que la eleccin ms conveniente de una basees el nmero c, el cual ya se deni anteriormente. El logaritmo con base c se conoce comologaritmo natural y tiene una notacin especial:loger = ln rSi en las ecuaciones anteriores ponemos c = c y loge= ln, entonces las propiedades dedenicin de la funcin logaritmo natural quedanln r = == cy= rln (cx) = r r 1cln x= r r0En particular, si se hace r = 1, obtenemosln c = 1Arenas A. 22 Camargo B.Clculo DiferencialUNIDAD 23. Lmite y Continuidad de funciones RealesDenicin .10 Escribimoslmx!a, (r) = 1y decimos el lmite de , (r), cuando r tiende a c, es igual a 1si podemos acercar arbitrariamente los valores de , (r) a 1(tanto como deseemos) escogiendouna r lo bastante cerca de c, pero no igual a c.En trminos generales, esto arma que los valores de , (r) se aproximan cada vez ms alnmero 1 cuando r se acerca a c(desde cualquiera de los dos lados de c), pero r ,= c. Unanotacin alternativa es:lmx!a, (r) = 1, (r) 1 conforme r cque suele leerse , (r) tiende a 1 cuando r tiende a c.Advierta la frase pero r ,= c en la denicin de lmite. Esto signica que al hallar el lmite de, (r) cuando r tiende a c, nunca consideramos r = c. De hecho, incluso no es necesario que, (r) est denida cuando r = c. Lo nico que importa es cmo esta denida , cerca de c.Ejemplo .7 Encuentre el valor de lmx!1r 1r21 = ,(r)Solucin: Note en la grca que la funcin , (r) = r 1r21 no est denida cuando r = 1, peroeso no importa porque la denicin de lmx!a, (r) dice que consideremos valores de r prximosa c pero diferentes de c. En las tablas de la izquierda se dan los valores de , (r)(correctos hastaArenas A. 23 Camargo B.3.1 Lmites laterales Clculo Diferencialseis cifras decimales) para valores de r que tienden a 1(pero no son iguales a 1). Con base enlos valores de las tablas, conjeturamos quelmx!1r 1r21 = 0.5El ejemplo 1 se ilustra mediante la grca de , de la gura 3. Cambiemos ahora ligeramente elvalor de ,, ddole el valor de 2 cuando r = 1 y segn la funcin resultante como q.q (r) =_r 1r21si r ,= 12 si r = 1Esta nueva funcin q todava tiene el mismo lmite cuando r tiende a 1 (c: ,iq.) = q(r)3.1. Lmites lateralesEn el ejemplo 6 hicimos ver que H (t) tiende a 0 cuando t lo hace a 0 desde la izquierda y queesa funcin tiende a 1 cuando t lo hace a 0 desde la derecha. Indicamos simblicamente estasituacin escribiendolmx!t0H (t) = 0 y lmx!t+0H (t) = 1El smbolo t 0

indica que sllo consideramos valores de t menores que 0. Del mismomodo, t 0+ indica que slo consideramos valores de t mayores que 0.Denicin .11 Escribimoslmx!a

, (r) = 1y decimos que el lmite izquierdo de , (r) cuando r tiende a c (o el lmite de , (r) cuandor se acerca a c desde la izquierda) es igual a 1, si podemos aproximar los valores de , (r) a1 tanto como queramos, escogiendo una r lo bastante cerca de c pero pero menor que c.Arenas A. 24 Camargo B.3.1 Lmites laterales Clculo DiferencialAdvierta que la denicin 2 diere de la 1 slo en que r debe ser menor que c. De maneraanloga, si requerimos que r sea mayor que c, obtenemos el lmite por la derecha de , (r)cuando r tiende a c es igual a 1 y escribimoslmx!a+, (r) = 1Por lo tanto, el smbolo r c+ signica que consideremos slo rc. en la gurasiguiente se ilustran estas deniciones.Al comparar la denicin 1 con las deniciones de los lmites laterales, vemos que se cumplelo siguientelmx!a, (r) = 1 si slo si lmx!a+, (r) = 1y lmx!a

, (r) = 1Ejemplo .8 Encuentre lmx!01r2, si existe.1 =1r2Arenas A. 25 Camargo B.3.1 Lmites laterales Clculo DiferencialSolucin: Conforme r se aproxima a 0. r2tambin se aproxima a 0 y1x2 se hace muy grande.(Ver grco anterior.) De hecho, en la grca de la funcin , (r) =1r2, parece que los valoresde , (r) se puede aumentar arbitrariamente, si se escoge una r lo bastante cerca de 0. De estemodo, los valores de , (r) no tienden a un nmero, de modo que lmx!0_ 1r2_no existe.Al iniciar esta seccin, consideramos la funcin , (r) = r2 r + 2 y, con base en evidencianumrica y grca, vimos quelmx!1_r2r + 2_= 4Segn la denicin 1, esto signica que los valores de , (r) pueden acercarse a 4 tanto comodeseemos, siempre que escojamos una r sucientemente cerca de 2.3.1.1. Clculo de lmites utilizando Propiedades3.1.2. Propiedades de los lmites:Supngase que c es una constante y que los lmiteslmx!a, (r) y lmx!aq (r) Existen.Entonces1. lmx!a[, (r) +q (r)] = lmx!a, (r) + lmx!aq (r)2. lmx!a[, (r) q (r)] = lmx!a, (r) lmx!aq (r)3. lmx!a[c , (r)] = c lmx!a , (r)4. lmx!a[, (r) q (r)] = lmx!a, (r)lmx!aq (r)5. lmx!a, (r)q (r)= lmx!a, (r)lmx!aq (r) si lmx!aq (r) ,= 0Estas leyes se pueden expresar verbalmente como sigue:El lmite de una suma es la suma de los lmites.El lmite de una diferencia es la diferencia de los lmites.Arenas A. 26 Camargo B.3.1 Lmites laterales Clculo DiferencialEl lmite de una constante multiplicada por una funcin es la constante multiplicada porel lmite de la funcin.lmx!a[ , (r)]n=_lmx!a, (r)_ndonde : es un entero positivoEn la aplicacin de estas seis leyes de los lmites, necesitamos usar dos lmites especiales:lmx!ac = c lmx!ar = cEstos lmites son obvios desde un punto de vista intuitivo(establzcalo verbalmente ograque = c y = r). Si en la propiedad 6 ponemos ahora , (r) = r y aplicamos lapropiedad 8, obtenemos otro til lmite especial.lmx!arn= cndonde : es un entero positivo.Se cumple un lmite similar para las races, como sigue:lmx!a n_r =n_c donde : es un entero positivo(Si : es par, consideramos que c0)De modo ms general, tenemos la siguiente ley:lmx!an_,(r) =n_lmx!an_,(r) donde : es un entero positivo_Si : es par, suponemos que lmx!a, (r)0_Ejemplo .9Evale los lmites siguientes y justique cada paso.1. lmx!52r23r + 42. lmx!2x3+2x2153xSolucin (1).lmx!52r23r + 4 = lmx!5_2r2_ lmx!5(3r) + lmx!54= 2 lmx!5r23 lmx!5r + lmx!54= 2_52_3 (5) + 4= 39Arenas A. 27 Camargo B.3.1 Lmites laterales Clculo DiferencialSolucin (2).Empezamos con la ley 5, pero su aplicacin slo se justica plenamente en la etapa nal, cuandovemos que los lmites del numerador y del denominador existen, y este ltimo no es 0.lmx!2r3+ 2r215 3r=lmx!2r3+ 2r21lmx!25 3r=lmx!2r3+ 2 lmx!2r2 lmx!21lmx!25 3 lmx!2r=(2)3+ 2 (2)215 3 (2)= 111Si hacemos , (r) = 2r23r+4, entonces , (5) = 39. ( En otras palabras, habramos obtenidola respuesta correcta.) sustituyendo r con 5. De manera anloga, la sustitucin directa da larespuesta correcta en el inciso b). Las funciones del ejemploanterior son un polinomio y unafuncin racional, respectivamente, y el uso semejante de las leyes de los lmites prueba quela sustitucin directa siempre funciona para ese tipo de funciones. Expresamos este hecho delmodo siguiente:Si , es un polinomio o una funcin racional y c est en el dominio de ,,entonces:lmx!a, (r) = , (c)Ejemplo .10 Encuentre lmx!1r21r 1Solucin: Sea , (r) = (r21)(r 1) . No podemos hallar el lmite al sustituir r = 1 porque , (1) noest denido. Tampoco podemos aplicar la ley del cociente porque el lmite del denominador es0. En lugar de ello, necesitamos algo de lgebra preliminar. Factorizamos el nmero como unadiferencia de cuadrados:lmx!1(r21)(r 1) = (r 1) (r + 1)(r 1)El numerador y el denominador tienen un factor comn de r 1. Cuando tomamos el lmitecuando r tiende a 1, tenemos r ,= 1, por tanto, r 1 ,= 0. Por consiguiente, podemos cancelarel factor comn y calcular el lmite como sigue:lmx!1(r21)(r 1)= lmx!1(r 1) (r + 1)(r 1)= lmx!1(r + 1)= 1 + 1 = 2Arenas A. 28 Camargo B.3.1 Lmites laterales Clculo DiferencialEjemplo .11 Encuentre lmx!1q (r), dondeq (r) =_ r + 1 si r ,= 1: si r = 1Solucin: En este caso, q est denida en r = 1 y q (1) = :, pero el valor de un lmite cuandor tiende a 1 no depende del valor de la funcin en 1. Como q (r) = r + 1 para r ,= 1, tenemoslmx!1q (r) = lmx!1(r + 1) = 2Note que los valores de las funciones de los dos ejemplos anteriores son idnticos, exceptocuando r = 1 , de modo que tienen el mismo lmite cuando r tiende a 1.Ejemplo .12 Evale lmh!0(3 +/)29/Solucin: Si denimos1 (/) = (3 +/)29/entonces, como en el ejemplo 3, no podemos calcular lmh!01 (/) haciendo / = 0, ya que 1 (0)no est denido. Pero si simplicamos 1 (/) algebraicamente, encontramos1 (/) = (9 + 6/ +/2) 9/= 6 +/2/= 6 +/(Recuerde que slo consideramos / ,= 0 cuando se hace que / tienda a 0.) De este modo,lmh!0(3 +/)29/= lmh!0(6 +/) = 6Ejemplo .13 Encuentre lmt!0_t2 + 9 3t2Solucin: No podemos aplicar la ley del cociente de inmediato, puesto que el lmite del de-nominador es 0. En el presente caso, el lgebra preliminar conciste en la racionalizacin delnumerador:lmt!0_t2 + 9 3t2= lmt!0_t2 + 9 3t2= lmt!0_t2 + 9 + 3_t2 + 9 + 3= lmt!0(t2+ 9) 9t2__t2 + 9 + 3_= lmt!0t2t2__t2 + 9 + 3_= lmt!01_t2 + 9 + 3= lmt!01_lmt!0(t2 + 9) + 3=13 + 3 = 16Arenas A. 29 Camargo B.3.1 Lmites laterales Clculo DiferencialEste clculo conrma lo que se conjetur en el ejemplo 2 de la seccin 2.Teorema .1 lmx!a, (r) = 1 si y slo si lmx!a, (r) = 1 = lmx!a+, (r) = 1Teorema .2 Si , (r) _ q (r), cuando r est cerca de c(excepto posiblemente en c), y loslmites de , y q existen cuando r tiende a c, entonceslmx!a, (r) _ lmx!aq (r)Teorema .3 (Teorema de la compreson) Si , (r) _ q (r) _ /(r), cuando r est cerca dec(excepto quiz en c), ylmx!a, (r) = lmx!a/(r) = 1entonces:lmx!aq (r) = 1EJERCICIOS .1I Dado que:lmx!a, (r) = 3. lmx!aq (r) = 0 lmx!a, (r) = 8encuentre los lmites que existan. Si ellmite no existe, explique por qu:1. lmx!a, (r)/(r)2. lmx!a, (r)q (r)3. lmx!a[, (r)]24. lmx!a[, (r)]25. lmx!aq (r), (r)6. lmx!a2, (r)/(r) , (r)7. lmx!a[, (r) +/(r)]8. lmx!a3_/(r)Se dan las grcas de , y q. selas para evaluar cada lmite, si existe. Si el lmite no existe,explique por qu:Arenas A. 30 Camargo B.3.1 Lmites laterales Clculo Diferencial1. lmx!2[, (r) +q (r)]2. lmx!1[, (r) +/(r)]3. lmx!0[, (r) +/(r)]4. lmx!1, (r)q (r)5. lmx!2r3, (r)6. lmx!1_3 +, (r)III Evale el lmite y justique cada pasoindicando la(s) leye(s) de los lmitesapropiada(s):1. lmx!4(5r22r + 3)2. lmx!2(t + 1)9(t21)3. lmx!4

_16 r24. lmx!1r 2r2 + 4r 35. lmx!1_r3 + 2r + 7IVa). Qu est mal en la siguienteecuacin?r2+r 6r 2= r + 3b). En vista del inciso a), explique porqu la ecuacin:lmx!2r2+r 6r 2= lmx!2(r + 3)es correcta.V Evale el lmite, si existe:1. lmx!3r2r + 12r + 32. lmx!3r2r 12r + 33. lmh!0(/ 5)225/4. lmx!1r31r215. lmt!99 t3 _t6. lmx!1r2+r 2r23r + 27. lmt!0_2 t _2t8. lmx!2r416r 29. lmx!1_1r 1 2r21_10. lmh!0(3 +/)131/11. Aplique el teorema de la compresinpara demostrar que lmx!10r2cos :r =0.Ilustre gracando las funciones, (r) = r2.q (r) = r2cos 20:ry /(r) = r2en la misma pantalla.Arenas A. 31 Camargo B.3.1 Lmites laterales Clculo Diferencial12. Aplique el teorema de la com-presin para demostrar quelmx!10_r3 +r2 sin_:r_=0. Ilustregracando las funciones ,. q y /(enla notacin de ese teorema)en la mis-ma pantalla.13. Si 1 _ , (r) _ r2+2r+2, encuentrelmx!1, (r)14. Si 3r _ , (r) _ r3+2 para 0 _ r _2, evale lmx!1, (r)15. Pruebe que lmx!0r4cos 2r = 016. Pruebe que lmx!0+_rcsin

:r! = 0VI Encuentre el lmite, si existe. Si no lohay, explique por qu:17. lmx!4[r 4[18. lmx!2[r 2[r 219. lmx!0

_1r 1[r[_20. lmx!0+_1r 1[r[_21. Sea/(r) =___r si r < 0r2si 0 < r _ 28 r si r222. Evale cada uno de los lmites sigu-ientes, si existe:i. lmx!0+/(r)ii. lmx!0/(r)iii. lmx!1/(r)iv. lmx!2

/(r)v. lmx!2+/(r)vi. lmx!2/(r)b) Trace la grca de /.25. Sea 1 (r) = r21[r 1[a) Encuentre:i. lmx!1+1 (r)ii. lmx!1+1 (r)b) Existe lmx!11 (r)?c) Trace la grca de 1.26. Si el simbolo | denota la funcinmayor entero denida en el ejemplo9, evale:i. lmx!2+r|ii. lmx!2r|iii. lmx!2;4r|b) Si : es un entero, evale:i. lmx!n

r|ii. lmx!n+r|c) Para cales valores de c existe? lmx!ar|27. Sea , (r) = r r|a) Trace la grca de ,.b) Si : es un entero, evale:i. lmx!n

,(r)ii. lmx!n+,(r)c) Para cules valores de c existelmx!a,(r)?28. Si , (r) = r| + r|, demuestreque lmx!2,(r) existe pero no es iguala , (2).Arenas A. 32 Camargo B.3.1 Lmites laterales Clculo Diferencial29. En la teoria de la rela tividad, la for-mula de la contraccin de lorenz1 = 10_1 2c2expresa la longitud 1 de un objeto comofuncin de su velocidad respecto a un ob-servador, donde 10 es la longitud del obje-to en reposo y c es la velocidad de la luz.Encuentrelmv!c 1 e interprete el resul-tado.Por qu se necesita un lmite en laizquierda?30. Si j es un polinomio, demestrue quelmx!aj (r) = j (c).31. Si : es una funcin racional, apliqueelresultado delejercicio 35 parademostrar que lmx!a: (r) = : (c),para todo nmero c en el dominio de:.32. Muestre por mediode unejem-plo que lmx!a[, (r) +q (r)] pedeexixtir aunque lmx!a, (r) nilmx!aq (r) existan.33. Muestre por medio de un ejemplo quelmx!a[, (r) q (r)] pede exixtir aunquelmx!a, (r) ni lmx!aq (r) existan.34. Hay un nmero c tal quelmx!23r2+cr +c + 3r2 +r 2exista? Si es as, encuentre los valores de cy del lmite.Arenas A. 33 Camargo B.Clculo Diferencial4. ContinuidadEl trmino continuo tiene el mismo sentido en matemticas que en el lenguaje cotidiano. Decirque una funcin , es continua en r = c signica que su grca no sufre interrupcin en c, queni se rompe ni tiene saltos o huecos. Por ejemplo, (c: ,iq) muestra tres valores de r en los que, no es continua. En los dems puntos del intervalo (c. /) la grca no se interrumpe y decimosque , es continua en ellos. As pues, la continuidad de una funcin en r = c se destruye poralguna de estas causas:1. La funcin no est denida en r = c.2. El lmite de , (r) en r = c no existe.3. El lmite de , (r) en r = c existe, pero no coincide con , (c).Todo ello conduce a la siguiente denicin.Denicin .12 ( continuidad ) Continuidad en un punto: Una funcin , se dice continua enc si se verican las condiciones:1. , (c) est denido.2. lmx!c , (r) existe.3. lmx!c , (r) = , (c).Continuidad en un intervalo abierto: Una funcin , se dice continua en un intervalo (a. b) silo es en todo los puntos de ese intervalo.Ejemplo .14 Determinar si las siguientes funciones son continuas en el intervalo dado.1. , (r) = 1r ; (0. 1)2. , (r) = r21r 1 ; (0. 2)3. , (r) = r31; (. )Solucin: Sus grcas se recogen en la gura 2.16.1. Puesto que , es racional y su denominador no se anula en el intervalo (0. 1), podemosaplicar el Teorema 2.5 que nos garantiza su continuidad en (0. 1) .2. Al no estar denida , en r = 1, concluimos que esdiscontinua en r = 1. Es continua entodos los dems valores de r en el intervalo (0. 2).3. Como las funciones polinmicas estn denidas sobre toda la recta real, se puede aplicarel Teorema 2.4 para llegar a la conclusin de que , es continua en (. ).Arenas A. 34 Camargo B.Clculo DiferencialNota .3 En la parte b) del ejemplo precedente, la discontinuidad en r = 1 es evitable. Msconcretamente, bastara denir , (1) = 2 para obtener con ello una funcin continua ya entodo el intervalo (0. 2). = r2r = r21r 1 = 1rDenicin .13 ( continuidad en un intervalo cerrado) una funcin , es continua en el inter-valo cerrado [c. /] si es continua en el intervalo abierto (c. /) y ademaslmx!a+, (r) = , (c) y lmx!b

, (r) = , (/)La funcin , se dice que es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.Ejemplo .15 Discutir la continuidad deq (r) =_5 r if 1 _ r _ 2r21 if 2 < r _ 3Solucin: Por la seccin anterior sabemos que los polinomios 5 r y r2 1 son continuospara todo r real. Luego para ver que q es continua en [1. 3] basta estudiar el comportamientode q en r = 2. Tomando laterales para r = 2, vemos quelmx!2

q (r) =lmx!2

(5 r) = 3 (por la izquierda)ylmx!2+q (r) =lmx!2+ (r21) = 3 (por la derecha)Arenas A. 35 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo DiferencialComo esos dos lmites coinciden, el Teorema 2.8 prmite concluir quelmx!2q (r) = q (2) = 3Luego q es continua en r = 2, y en consecuencia en el intervalo [1. 3]. Su grca se presentaen la gura anterior.4.1. Propiedades de la continuidadEn la seccin anterior analizamos varias propiedades de los lmites. Cada una de ellas propor-ciona una propiedad asociada para la continuidad de una funcin.Teorema .4 Propiedades de las funciones continuas: Si / es un nmero real y ,, q continuasen r = c, tambin son continuas en c, las funciones:1. Mltiplo escalar:/,.2. Suma y diferencia :, q.3. Producto:,q.4. Cociente:,q, si q (c) ,= 0.Resumimos a continuacin algunos tipos comunes de funciones que son continuas en todo puntode su dominio.1. Funciones polinmicas: j (r) = cnrn+cn1rn1+ +c1r +c02. Funciones racionales: : (r) = j (r) (r). (r) ,= 03. Funciones radicales(o raices): , (r) =n_rEste resumen, junto con el Teorema 2.9, permiten probar que una gran cantidad de funcioneselementales son continuas en todos los puntos de sus dominios. A titulo de ejemplo, la funcinsiguiente es continua en todo su dominio:, (r) = r2+ 1_rEl prximo Teorema, demostrar la continuidad de una funcin compuesta , tal como , (r) =_r2 + 1.Teorema .5 (Continuidad de una funcin compuesta ): Si q es continua en c y , lo es en q (c),la funcin compuesta dada por , = q (r) = , (q (r)) es continua en c.Nota .4 Obsrvese que, como consecuencia del teorema, si , y qsatisfacen las condicionesimpuestas, podemos determinar el lmite , (q (r)), cuando r tiende a c, as:lmx!c, (q (r)) = ,( lmx!cq(r)) = ,(q(c))Arenas A. 36 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo DiferencialEjemplo .16 Hallar los intervalos en los que las tres funciones de la gura son continuas. =_1 r2 =1_1 r2 = [r21[Solucin:1. La funcin , (r) =_1 r2 es continua en el intervalo cerrado[1. 1].2. La funcin , (r) =1p1x2 es continua en el intervalo abierto (1. 1).(Notese que , estsin denir en todo r tal que [r] _ 1.)3. En r = 1, los lmites laterales son cero. As pues, , (r) = [r21] es continua en todarecta real, o sea en el intervalo (. ).Teorema .6 (El teorema del valor intermedio): Si , es continua en [c. /] y ` es cualquiernmero entre , (c) y , (/), existe al menos un nmero c en [c. /] para el que , (c) = `.El teorema del valor intermedio arma que una funcin continua toma todos los valores inter-medios entre los valores de la funcin ,(c) y ,(/). Este hecho se ilustra en la siguiente gura.Ntese que el valor N se puede tomar una vez [como en la primera gura] o ms de una vez[como en la segunda gura].En trminos geomtricos, el teorema dice que si se da cualquier recta horizontal = ` entre = ,(c) y = ,(/) [ver gura siguiente], entonces la grca de , no puede saltar sobre larecta. Debe intersecar = ` en alguna parte. Es importante que la funcin , a la cual se reereArenas A. 37 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo Diferencialel teorema del valor intermedio sea continua. En general, el teorema del valor intermedio no secumple para funciones discontinuas.EJERCICIOS .2 : Realice la grca decada funcin y halle los puntos de discon-tinuidad (si los hay).1. , (r) = r322. , (r) = r21r3. , (r) = r21r + 14. , (r) =1r245. , (r) =_r si r < 12r 1 si r16. , (r) = r|2+rHallarlas discontinuidades (silashay) de la funcin dada.cales sonevitables?7. , (r) = r22r + 18. , (r) =1r 19. , (r) =rr2 + 110. , (r) =r + 2r23r 1011. , (r) =1r2 + 112. , (r) =rr2113. , (r) = r 3r2914. , (r) =r 1r2 +r 215. , (r) =_ r r _ 1r2r116. , (r) =_ 2r + 3 r < 1r2r _ 117. , (r) =_x2 + 1 r _ 23 r r218. , (r) =_2r r _ 2r24r + 1 r219. , (r) = [r + 2]r + 220. , (r) = [r 3]r 321. , (r) =_ [r 2] + 3 r < 0r + 5 r _ 022. , (r) =_3 +r r _ 2r2+ 1 r223. , (r) = |r 1|24. , (r) = r |r|Arenas A. 38 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo DiferencialDiscutir la continuidad de la funcincompuesta /(r) = , (q (r)).25. , (r) = r2. q (r) = r 126. , (r) =1_r. q (r) = r 127. , (r) =1r 1. q (r) = r2+ 528. , (r) =_r. q (r) = r229. , (r) = 1r. q (r) =1r 130. , (r) =1_r. q (r) = 1rEsbozar la grca de la funcin dadapara localizar sus puntos de discon-tinuidad.31. , (r) = r216r 432. , (r) = r38r 233. , (r) = [r21]r34. , (r) = |r| rGraque la funcin y halle el interva-lo (o intervalos) donde la funcin escontinua35. , (r) =r2r23636. , (r) = r_r + 337. , (r) =rr2 + 138. , (r) = r + 1_rDemostrar que la funcin dada tiene uncero en el punto indicado.39. ,( r) = r24r + 3 . [2. 4]40. , (r) = r3+ 3r 2 . [0. 1]Usar el teorema del valor interme-dio para aproximar el cero de la fun-cin dada en el intervalo [0. 1]. a) Em-pezar localizando el cero en un subin-tervalo de longitud 0. 1. b) Renar laaproximacin localizando el cero enun subintervalo de longitud 0. 01.41. , (r) = r3+r 142. , (r) = r3+ 3r 2Comprobar que es aplicable el teore-ma del valor intermedio en el inter-valo que se indica y hallar el valor cgarantizado pr el.43. , (r) = r2+r1. [0. 5] . , (c) =1144. , (r) = r26r+8. [0. 3] . , (c) =045. , (r) = r3r2+r 2. [0. 3] . , (c) = 446. , (r) = r2+rr 1 . _ 52. 4_. , (c) =647. Hallar un valor para la constante cde modo que la siguiente funcin seacontinua en toda la recta real., (r) =_ r3r _ 2cr2r248. Hallar valores para las constantes c y/ de modo que la siguiente funcinsea continua en toda la recta real., (r) =___2 r _ 1cr +/1 < r < 32 r _ 349. Es continua en r=1 la funcin, (r) = _1 r2? Razonar la re-spuesta.Arenas A. 39 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo Diferencial50. Un convenio laboral garantiza un in-cremento salarial del 9 por 100 du-rante 5 aos. Para un salario inicial de$28500, el salario viene dado poro = 28500 (1. 09)btcdonde t = 0 corresponde a 1985. Es-bozar una grca de la fucin y discutir lacontinuidad.51. Una conferencia telefnica interur-bana cuesta 104pesetas los dosprimeros minutos y 36 pesetas cadaminuto adicional o fraccin. Usar lafuncin parte entera para escribir elcoste C de una llamada en trminosdel tiempo t (en minutos). Dibujar lagrca de esa funcin y discutir sucontinuidad.52. El nmero de unidades en el almacnde una pequea empresa es:` (t) = 25_2_t + 22_t_donde el tiempo t se mide en meses. Es-bozar la grca de la funcin y discutir lacontinuidad. Cada cunto tiempo debe re-poner su mercanca esa empresa?53. Con ayuda de una calculadora grca,representar la funcin , y determinarsi es continua en toda recta real., (r) =_2r 4 r _ 3r22r r354. Probar que si , es continua y no tieneceros en [c. /], entonces es:, (r)0 para todo r en [c. /]y, (r) < 0 para todo r en [c. /]4.1.1. Lmites innitosEn esta funcin analizamos otra causa importante de inexistencia de lmite. Empezaremos porun ejemplo. Sea la funcin:, (r) =3r 2La tabla y la gura que se observan a continuacin nos dicen que la funcin , (r) decrece sintope cuando r tiende a 2 (2

) por la izquierda, y crece sin tope cuando r tiende a 2 por laderecha (2+). Simbolicamente, escribimoslmx!2

3r 2 = y lmx!2+3r 2 = r tiende a 2 por la izquierda=)r tiende a 2 por la derecha(=r 1 1. 5 1. 9 1. 99 1. 999 2 2. 001 2. 01 2. 1 2. 5 3. 0,(r)36 303003000 ? 3000 300 30 6 3, (r) Decrece sin tope=), (r) Crece sin tope(=Arenas A. 40 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo Diferencial =3r 2Denicin .14 (Lmites innitos)La armacinlmx!c, (r) = signica que , (r) crece sintope cuando r tiende a c, la armacinlmx!c, (r) = signica que , (r) decrece sin tope cuando r tiende a c.,(r) =1r2El signo de igualdad enlmx!c, (r) = no signica que el lmite existe!. Por el contrario,nos explica cmo falla la existencia del lmite, poniendo de maniesto el comportamiento noacotado de , (r) cuando r tiende a c. As pues, al decir el lmite de , (r) es innito cuandor tiende a c , queremos decir de hecho que el lmite no existe y , tiene una discontinuidadinnita en r = c . Armar que crece sin tope cuando signica que para cada existeun intervalo abierto , que contiene a , tal que para todoen(distinto de ), como ilustra lagura 2.24. Una interpretacin similar dene lo que se entiende al decir que decrece sin tope.Arenas A. 41 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo DiferencialLos lmites infnitos por la izquierda y por la derecha se denen anlogamente. Los cuatroposibles lmites laterales innitos son:lmx!c

, (r) = lmx!c

, (r) = Lmites innitos por la izquierdalmx!c+, (r) = lmx!c+, (r) = Lmites innitos por la derechaSi , (r) (o si , (r) )por la izquierda o por la derecha, decimos que , tiene enr = c una discontinuidad innita.Ejemplo .17 Usando la guras hallar el lmite de cada funcin cuando r 1 por amboslados.Solucin:1. lmx!1

1r 1 = y lmx!1+3r 1 = 2. lmx!23(r 1)2 = y El lmite por ambos lados es 3. lmx!1

1r 1 = y lmx!1+1r 1 = 4. lmx!11(r 1)2 = y El lmite por ambos lados es , (r) =1r 1, (r) =3(r 1)2 , (r) = 1r 1, (r) =1(r 1)2Si fuese posible extender las grcas de la gura 2.25 hacia el innito, veramos que son msprximas a la recta vertical r = 1. Llamaremos a esta recta una asntota vertical de la grcade ,.Asintota vertical Si , (r) tiende hacia + (o ) cuando r tiende a c por la izquierda opor la derecha, diremos que la recta r = c es una asintota vertical de la grca de ,.Teorema .7 : Asintotas verticales: Sean , y q continuas en un intervalo abierto conteniendo ac. Si,(c) ,= 0, q(c) = 0, y existe uun intervalo abierto conteniendo a c tal queq(r) ,= 0 paratodo r ,= c en el intervalo, entonces la grca de la funcin dada por:Arenas A. 42 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo Diferencial/(r) = , (r)q (r)tiene una asntota vertical en r = c.Ejemplo .18 Determinar todas las asntotas verticales de las grcas de estas funciones:1. , (r) =12 (r + 1)2. , (r) = r2+ 1r21Solucin:1. Cuando r = 1, el denominador es cero y el numerador no es cero. Por tanto, el Teorema2.12 nos dice que r = 1 es una asntota vertical, como lo conrma la gura 2.26 a).2. Factorizando el denominador como (r21) = (r 1) (r + 1) , vemos que el denomi-nador es cero en r = 1 y en r = 1. Adems, como el numerador no es cero en esos dospuntos, el Teorema 2.12 vuelve a decir que la grca de , tiene las dos asntotas verticalesque myestra la gura 2.2 b)., (r) =12 (r + 1), (r) = r2+ 1r21El Teorema 2.12 requiere que el numerador no se anule en r = c. Si tanto el denominador comoel numerador se anulan en r = c, estamos ante una forma indeterminada 00 y no podemos cono-cer el comportamiento lmite sin ms investigacin. Ahora bien, en el caso en que numeradory denominador sean polinomios, si podemos calcular ese lmite. Lo conseguiremos cancelandofactores comunes, como ensea el proximo ejemplo.Ejemplo .19 Hallar las asntotas verticales de la grca de, (r) = r2+ 2r 8r24Arenas A. 43 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo DiferencialSolucin: Factorizando numerador y denominador, tenemos:, (r) = r2+ 2r 8r24= (r + 4) (r 2)(r + 2) (r 2) = (r + 4)(r + 2). r ,= 2Salvo en r = 2, la grca de , coincide con la de q = (r) = (r + 4)(r + 2). Asi pues, aplicando elTeorema 2.12 a q deducimos que hay una asntota vertical en r = 2, como se ilustra en lagura 2.27. Observese que r = 2 no es una asntota vertical.,(r) = r2+ 2r 8r24Ya que la grca de ,en el ejemplo 3 tiene una asntota vertical en r = 2, sabemos que ellmite cuando r 2 por la derecha (o por la izquierda) es o . Pero, sin mirar a lagrca, como podemos calcular los siguientes lmites?lmx!2

r2+ 2r 8r24= y lmx!2+r2+ 2r 8r24= Una vez cocnocida la grca tiene uuna asntota verticalen un valor particular de r, sugerimosplantearse la cuestin de si , (r) va hacia un innito positivo o negativo, buscando la respuestaen el mtodo grco esbozado en el proximo ejemplo.Ejemplo .20 Hallar los siguientes lmites:lmx!1

r23rr 1 lmx!1+r23rr 1Solucin:1. Factorizamos, cancelando cualquier factor comn, numerador y denominador., (r) = r23rr 1= r (r 3)r 12. Los restantes factores del numerador dan las r-intersecciones de la funcin. En este caso,son r = 0 y r = 3.Arenas A. 44 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo Diferencial3. Los restantes factores del denominador dan las asntotas verticales. En este caso hay unaen r = 1.4. Determinar unos pocos puntos adicionales de la grca, escogiendo al menos uno entrecada interseccin y asntota. Entonces anotamos la informacin obtenida en los primeroscuatro pasos, como muestrar 2122 4, (r)103522435. Finalmente, completamos el anlisis y concluimos que:lmx!1

r23rr 1= ylmx!1+r23rr 1= Terminamos esta seccin con un teorema acerca de lmites de sumas, productos y cocientes defunciones. = r23rr 1Teorema .8Propiedades de los lmites innitosSi c, 1 son nmeros reales y ,. q son funciones tales quelmx!c, (r) = y lmx!c, (r) = 1entonces las siguientes propiedades son validas:1. Suma o diferencia: lmx!c[, (r) q (r)] = 2. Producto: lmx!c[, (r) q (r)] = . 1 < 03. Cociente: lmx!cq (r), (r) = 0Arenas A. 45 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo DiferencialPropiedades similares son vlidas para lmites laterales y para funciones para las cuales el lmitede , (r) cuando r tiende a c es .EJERCICIOS .3 : Determinar si , (r) tiende hacia o cuando r tiende a 2 por laizquierda y por la derecha.1. , (r) =1(r + 2)2 =1(r + 2)22. , (r) =1r + 2 =1r + 2: Comprobar si , (r) tiende a o a cuando r tiende a 3 por la izquierda y por la derecha.3. , (r) =1r294. , (r) =r3r295. , (r) =rr296. , (r) =r2r29: Hallar la asntotas verticales de la funcin dada.Arenas A. 46 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo Diferencial7. , (r) =r21r2r 2 =r21r2r 28. , (r) =r3r21 =r3r21: Hallar las asntotas verticales (si las hay) de cada funcin.9. , (r) = 1r210. , (r) =r2r2 +r 211. , (r) =r3r2412. , (r) = 1 4r213. , (r) =rr2 +r 214. , (r) =4(r 2)315. , (r) = 2 +rr2 + 416. , (r) = 4rr2 + 417. , (r) =2(r 2)2Arenas A. 47 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo Diferencial18. , (r) =1(r + 3)4: Determinar si la funcin dada tiene una asntota vertical o una discontinuidad evitable enr = 1.19. , (r) = r21r2 + 120. , (r) = r2+ 1r + 121. , (r) = r26r 7r + 122. , (r) = r 1r + 1: Calcular el lmite propuesto23. lmx!2+r 3r 224. lmx!4+r2r 1625. lmx!0

_1 + 1r_26. lmx!1+2r1 r27. lmx!4r2r2 + 1628. lmx!0

_r2 1r_29. lmx!1r2r(r2 + 1) (r 1)30. lmx!1+r2+r + 1r3131. lmx!1r31r2 +r + 132. lmx!0

r22rr3: Calcular el lmite que se indica(si existe), siendo, (r) =1(r 4)2y q (r) = r25r33. lmx!4, (r)Arenas A. 48 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo Diferencial34. lmx!4[, (r) q (r)]35. lmx!4_, (r)q (r)_36. lmx!4q (r)37. lmx!4[, (r) q (r)]38. lmx!4_q (r), (r)_39. El coste en dlares de reducir en un j por ciento la polucin del vertido de una centraltrmica que quema carbn esC = 80000j100 j. 0 _ j < 100a) Calcular el coste de reduccin de un 15 por 100.b) Idem de un 50 por 100.c) Idem de un 90 por 100.d) Calcular el coste C para r 100

.40. El coste de millones de dlares para el gobierno de aprehender un r por 100 de ciertadroga ilegal, a su entrada por las fronteras, viene dado porC =528r100 r. 0 _ r < 100a) Calcular el coste de aprehender el 25 por 100.b) Idem para el 50 por 100.c) Idem para el 75 por 100.d) Hallar el lmite de C cuando r 100

.: Encuentre las asntotas horizontales y verticales de cada curva. Compruebe su respuesta graf-icando la curva y estimando las asntotas.41. = r2+ 4r2142. =r 9_4r2 + 3r + 243. Haga corresponder cada funcin dada en los incisos a) a f) con su grca (marcada del Ial VI), d las razones para las elecciones que haga.a) =1r 1b) =rr 1Arenas A. 49 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo Diferencialc) =1(r 1)2d) =1r21e) =r(r 1)2f ) =rr21I. =1r 1 =1r 11. =rr 1 =rr 12 a) =1(r 1)2 =1(r 1)2Arenas A. 50 Camargo B.4.1 Propiedades de la continuidad Clculo Diferencial3 =1r21 =1r214 =r(r 1)2 =r(r 1)25 =rr21 =rr21Arenas A. 51 Camargo B.Clculo DiferencialUNIDAD 35. Derivada y Continuidad.5.1. Recta tengente y recta normal.Idea intuitiva de recta tangente. Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la rectatangente a una circunferencias en uno de sus puntos, pero si tratamos de generalizar esa idea aotras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve.-Puede la recta tangente cortar a la curva en ms de un punto?-Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?Denicin .15Se llama tangente a una curva en un punto 1 a la recta que pasa por 1 con lamisma direccin que la curva.En un punto de inexin la tangente atraviesa la curva. Pudindose distinguir tres tiposde puntos de inexin: De tangente vertical, horizontal y oblicua.En un punto anguloso, de desvo brusco o de retroceso, la curva o bien no tiene tangente o latangente es vertical ( ver gura de recta vertical). La tangente no puede ser oblicua, ya que esteArenas A. 52 Camargo B.5.1 Recta tengente y recta normal. Clculo Diferencialcaso la correspondencia no sera funcin.En los puntos de discontinuidad no se dene la recta tangenteLa pendiente de la recta tangente. El valor aproximado de la pendiente de la recta tan-gente sera:tan c w , (r) , (r0)r r0Y su valor exacto:tan c wlmx!x0, (r) , (r0)r r05.1.1. Denicin de derivada.Denicin .16 Se llama derivada de la funcin , en el punto r0 al siguiente lmite si existe yes nito.lmx!x0, (r) , (r0)r r0Observaciones:Arenas A. 53 Camargo B.5.1 Recta tengente y recta normal. Clculo DiferencialCuando dicho lmite sea innito se dice que la funcin no es derivable, aunque tiene unaderivada innita. (grcamente signica que la recta tangente en ese punto es vertical)Para que la derivada exista, la funcin tiene que estar denida en un entorno del punto.No olvidar que la derivada es un lmite, aunque buscaremos reglas para calcular derivadassin tener que hacer dicho lmite.A la expresin , (r) , (r0)r r0, se llama cociente incremental y se expresa de la forma:,r = r = , (r) , (r0)r r0Con lo cual la derivada no es ms aue el lmite del cociente incremental cuando el incrementode r tiende a cero., 0(r0) = lmx!0, (r0)rOtra forma de la derivada.De la gura tenemos que :, 0(r0) =lmx!x0, (r) , (r0)r r0Llamando r r0 = /, ser r = r0 +/, con lo cual resulta:, 0(r0) = lmh!0, (r0 +/) , (r0)/Ejemplo .21 Calcular, aplicando la denicin en las dos formas, la derivada de la funcin, (r) = 3r2, en el punto r = 2.Arenas A. 54 Camargo B.5.1 Recta tengente y recta normal. Clculo DiferencialSolucin:, 0(2) =lmx!2, (r) , (2)r 2=lmx!23r212r 2=lmx!23 (r24)r 2=lmx!x03 (r + 2) (r 2)r 2=12, 0(2) = lmh!0, (2 +/) , (2)/= lmh!03 (2 +/)212/= lmh!03 (4 + 4/ /2) 12/= lmh!012 + 12/ + 3/212/= lmh!0(12 + 12/) = 12 + 0 = 125.1.2. Derivadas laterales.Si el lmite que dene la derivada lo tomamos slamente por la derecha o por la izquierda,obtemnemos las derivadas laterales.Denicin .17 Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda, respectivamente,a los siguientes lmites, si existen y son nitos:, 0(r0+) =lmx!0+, (r) , (r0)r= lmh!0+, (r0 +/) , (r0)/, 0(r0) =lmx!0, (r) , (r0)r= lmh!0, (r0 +/) , (r0)/Para que la funcin sea derivable las dos derivadas laterales tienen que coincidir.Ejemplo .22 Calcular las derivadas laterales de la funcin valor absoluto, en el origen decoordenadas.Solucin: = [r[, (r) = [r[, 0(r0+) = lmx!0+, (r) , (0)r 0=lmx!0+[r[r=lmx!0+rr = 1, 0(r0) = lmx!0, (r) , (0)r 0=lmx!0[r[r=lmx!0rr= 1Arenas A. 55 Camargo B.5.1 Recta tengente y recta normal. Clculo DiferencialDerivada y continuidad.Teorema .9 Si una funcin es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Sinembargo, existen funciones que son continuas pero que no son derivables.Ejemplo .23 Comprobar que la funcin , (r) = [r24[ es continua en el punto r = 2, perono es derivable en dicho punto. Comprobar el resultado grcamente. En qu otro punto serderivable?Solucin: , (r) = [r24[ = [r24[1. , es continua en r = 2 . lmx!2, (r) = lmx!2[r24[ = [0[ = 0 = , (0)2. , no es derivable en r = 2lmx!2, (r) , (2)r 2= lmx!2[r24[r 2=_00_=___lmx!2+[r24[r 2=lmx!2+(r + 2) (r 2)r 2= 4lmx!2[r24[r 2=lmx!2(r + 2) (r 2)r 2= 4= lmx!2+,(r) ,=lmx!2,(r)Luego la funcin no es derivable en r = 2.Ejemplo .24 Comprobar que la funcin , (r) =3_r es continua en el punto r = 0, pero no esderivable en ese punto. Comprueba el resultado grcamente.Solucin:Arenas A. 56 Camargo B.5.1 Recta tengente y recta normal. Clculo Diferencial1. , es continua en r = 0; lmx!0, (r) = lmx!2_r = 0 = , (0)2. , no es derivable en r = 0; lmx!0, (r) , (0)r 0=lmx!23_r 0r=_00= lmx!2, (r) , (2)r 2= lmx!2 3_rr2 =lmx!23_ 1r2 = +Luego la funcin no es derivable en r = 0. =3_rSignicado grco de la derivada: Suavidad.Ejemplo .25 Estudiese cul de las tres funciones siguientes atraviesa el origen con ms suavi-dad., (r) =_ sin 1r si r ,= 00 si r = 0q (r) =_ r sin 1r si r ,= 00 si r = 0/(r) =_ r2sin 1r si r ,= 00 si r = 0Solucin: La funcin , no es continua en 0, por lo tanto no lo atraviesa. La funcin q es continuaen 0, luego lo atraviesa, pero sin suavidad. La funcin / es continua y derivable en el origen,luego lo atraviesa con suavidad. = sin 1r = sin 1rArenas A. 57 Camargo B.5.1 Recta tengente y recta normal. Clculo Diferencial = r sin 1r = r sin 1r = r2sin 1r = r2sin 1rLa ecuacin de la recta tangente La pendiente de la recta tangente coincide con la derivadade la funcin, con lo cual; tenemos que:tan c = ,0(r0)tan c = , (r0)r r0___ , (r0)r r0= ,0(r0)de todo resulta la siguiente:Ecuacin de la recta tangente: , (r0) = ,0(r0) (r r0)Ejemplo .26 Hallar la ecuacin de la recta tangente a la curva = _r en el punto r = 1.Comprobar el resultado grcamente.Solucin: Tenemos que:, (r) =_r ==, (1) = 1,0(r) =1_r ==,0(1) = 12___ 1 = 12 (r 1) == = r + 12Arenas A. 58 Camargo B.5.1 Recta tengente y recta normal. Clculo DiferencialEjemplo .27 Demostrar que la recta = r es tangente a la cueva dada por la ecuacin: = r36r2+ 8rHallar el punto de tangencia.Solucin: La pendiente de la recta tangente ha de ser 0 = 1. Como 0 = 3r212r + 8.Resulta, 3r212r +8 = 1, de donde, 3r212r +9 = 0, con lo que, simplicando, resulta:r24r + 3 = 0 ==r = 4 _16 122= 4 22=_ 3 == = 3 ==1 (3. 3)1 == = 3 ==Q(1. 3)Comprobamos las posibles soluciones:_1 (3. 3) == + 3 = (r 3) == + 3 = r + 3 == = rQ(1. 3) == 3 = (r 1) == 3 = r + 1 == = r + 4 NoLas dos soluciones de la ecuacin obedecen a que la curva tiene dos rectas tangentes con lamisma pendiente 0 = 1, una en el punto 1 (3. 3) y otra en el punto Q(1. 3).La ecuacin de la recta normal.Ejemplo .28 Hallar grcamente, un vector perpendicualr al vector ! = (2. 3) e indicar larelacin que existe entre sus componentes y sus pendientes.Solucin: Tenemos que:!= (2. 3)! p = (3. 2)_Las componentes se cambian de orden y una de ellas de signo.Y para las pendientes:: = 32:0 = 32___:0 = 1: la inversa cambiada de signo.Proposicin .1 Dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y cambiadas de signo.Denicin .18 Se llama recta normal a una curva, en un punto de la misma, a la pertendiculaa la recta tangente en dicho punto.La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la funcin, y la de la recta normalcon su inversa cambiada de signo, con lo cual resulta lo siguiente:Ecuacin de la recta tangente: , (r0) = ,0(r0) (r r0)Ecuacin de la recta normal: , (r0) =1,0(r0) (r r0)Arenas A. 59 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialCurvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical. Cuando la derivada se hacecero en un punto, entonces la tangente es una recta horizontal = 0, y la recta normal es larecta vertical que pasa por el punto r = r0. Cuando la derivada se hace innita en un punto,entonces la tangente es la recta vertical que pasa por el punto r = r0, y la recta horizontal quepasa por el punto = 0.5.2. Funcin derivada y Reglas de derivacin.5.2.1. Funcin derivada.Dada una funcin = , (r), si hallamos la derivada en cada uno de los puntos en los que seaderivable se obtiene una nueva funcin llamada funcin derivada de la anterior.Para hallar la frmula de la funcin derivada basta con aplicar la denicin de derivada en unpunto genrico:, 0(r) = lmh!0, (r +/) , (r)/,0(r) = lm4x!0,r0 = lm4x!0,r= ddrEjemplo .29Hallar, aplicando la denicin, la derivada de la funcin: , (r) = r2Solucin: Podemos aplicar la denicin de derivada en cualquiera de sus formas:, 0(c) = lmx!c, (r) , (c)r c= lmx!cr2c2r c= lmx!c(r +c) (r c)r c= 2c ==, 0(r) = lmh!0, (r +/) , (r)/= lmh!0(r +/)2r2/== lmh!0 = r2+ 2/r +/2r2/= lmh!0 = (2r +/) = 2rEjemplo .30 Hallar, aplicando la denicin, la derivada de la funcin: , (r) =_rSolucin: Podemos aplicar la denicin de derivada en acualquiera de sus dos formas:, 0(c) = lmx!c, (r) , (c)r c= lmx!c_r _cr c= lmx!c(_r _c) (_r +_c)(r c) (_r +_c)= lmx!cr c(r c) (_r +_c) = lmx!c1_r +_c =12_c ==,0(c) =12_r, 0(c) = lmh!0, (r +/) , (r)/= lmh!0_r +/ _r/= lmh!0__r +/ _r_ __r +/ +_r_/__r +/ +_r_= lmh!0r +/ r/(r +/_r) = lmh!01_r +/ +_r =12_cArenas A. 60 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo Diferencial5.2.2. Reglas de derivacin.Derivada y operaciones:Funcin Derivada:, :,0, q ,0q0,q ,0q +,q01qq0q2,q,0q ,q0q2Derivada de la funcin compuesta. Regla de la cadena:/(r) = q [, (r)] ==/0(r) = q0[, (r)],0(r) == d/dr = dqd, d,dr == d.dr = d.d ddrDerivada de una funcin recproca o inversa: = , (r) = drd =1ddr==r0y =10xEjemplo .31Derivar las siguientes funciones:1. = rp22. =__2_x3. = c3x4. = 23x+15. = r23xSolucin:1. 0 =_2rp212. 0 =__2_xln_23. 0 = 3c3x4. 0 = 323x+1ln 25. 0 = 2r3xr23xln 3 = (2r r2ln 3) 3xEjemplo .32Derivar las siguientes funciones:1. = (4r + 7r2)102. = sin32r cos 3rArenas A. 61 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo Diferencial3. = sin2(r + sin r)2Solucin:1. 0 = 10 (4r3+ 7r2)9(12r2+ 14r)2. 0 = 3 sin22r2 cos 2r cos 3r 3 sin32r sin 3r3. 0 = 2 sin (r + sin r)2cos (r sin r)2 2 (r + sin r) (1 + cos r)Ejemplo .33 Derivar , (r) = ln sin23rr3Solucin: Aplicamos las propiedades de los logaritmos, antes de derivar, con lo cual,, (r) = 2 ln (sin 3r) 3 ln rde donde,,0(r) = 23 cos 3rsin 3r 3r = 6 cot 3r 3rDerivada de funciones con un punto aparte. Supongamos una funcin denida con unpunto aparte, (r) =_ q (r) si r ,= c/ si r = cse nos presenta la duda de cul ser el valor de ,0(c), es decir,,0(r) =_ q0(r) si r ,= c? si r = cDerivada de funciones elementales:Funcin Derivada/ 0n n0nr:nr1_nn02_nn_nn0: n_nn1ln nn0ncucun0Funcin Derivadalgbnn0nln / = u0u lgbccucun0ln c,g,g_q0ln , +qf0f_sin n n0cos ncos n n0sin ntan nn0cos2rn = n0sec2nsec n =1cos nsin ncos2n = n0sec ntan nArenas A. 62 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialFuncin Derivadacsc n =1sin ncos nsin2n= n0csc ncot ncot n n0sin n n0csc2narcsin nn0_1 n2arc cos nn0_1 n2arctan nn01 +n2Funcin Derivadaarcsec nn0[n[_n21arccsc nn0[n[_n21arccot nn01 +n2sinh n n0cosh ncosh n n0sinh ntanh nn0cosh2nsi la funcin tiene, en la frmula, un punto aparte, la derivada es ese punto no tiene porquser cero, ya que la derivada depende de los valores que tome la funcin en los alrededores delpunto. Adems, a cualquier funcin le podemos un punto de su frmula, sin que por ello se hagasu derivada cero en dicho punto. Por ejemplo,, (r) = r2=_ r2si r ,= 39 si r = 3==,0(r) = 2r =_ 2r si r ,= 36 si r = 3o bien:, (r) = r =_ r si r ,= 22 si r = 2==,0(r) = 1 =_ 1 si r ,= 21 si r = 2Si la funcin tiene un punto aparte, para derivarla, podemos seguir dos caminos:1. Aplicar la denicin de derivada.2. Comprobar si es continua, si no es continua no es derivable, y si es continua podemoscalcular la derivada en ese punto mediante el lmite, en ese punto, de la derivada en losdems, en el caso que exista. Si el lmite no existe habr que aplicar la denicin.,0(r) = lmx!aq0(r)Es decir:, (r) =_ q0(r) si r ,= c/ si r = c==,0(r) =_q0(r) si r ,= clmx!aq0(r) si r = cBien entendido que si dicho lmite no existe entonces hay que aplicar la denicin.Ejemplo .34 Hallar la derivada de la funcin:, (r) =_ sin rrsi r ,= 01 si r = 0Arenas A. 63 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialSolucin: La derivada para r ,= 0 no tiene ningn problema,q (r) = sin rr==q0(r) = r cos r sin rr2Para hallar la derivada en el origen procedemos de la siguiente forma:1. Estudiamos la continuidad en el origen:lmx!0, (r) = lmx!0sin rr= 1 = , (0) ==, es continua en r = 02. Calculamos la derivada en r = 0, aplicando la denicin:, 0(0) = lmx!0, (r) , (0)r 0= lmx!0sin xx 1r= lmx!0sin r rr2=_00_=aplicando L'Hopital, dos veces resulta,= lmx!0cos r 12r=_00_= lmx!0sin r2= 0Con lo cual la funcin derivada es:,0(r) =_ r cos r sin rr2si r ,= 00 si r = 0En este caso, la derivada en el punto r = 0 tambin se poda haber calmado a partir de laderivada en los puntos r ,= 0, en efecto,, 0(0) = lmx!0r cos r sin rr2=_00_= lmx!0cos r r sin r cos r2r=_00_= lmx!0r sin r2r= lmx!0sin r2= 0El hecho de que ,0(0) = 0, signica que la grca tiene tangente horizontal en el punto r = 0,si hubiramos inclinado la curva habrimos obtenido otro resultado. = sin rrArenas A. 64 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialEJERCICIOS .4 En cada caso halle la derivada de la funcin que se da; el lector debertener en cuenta que: c. /. c. :. :. ,. c y , son constantes reales.1. = sin (r25r) + tan_r2. =_3 sin (r) 2 cos (r)r3. r = csc2t + sec2t4. =3_2cx2x + 1 + ln5r5. = 2r + 5 cos3r6. =1(1 3 cos r)27. =_tan1r _sin1r_38. =_ln r + 1 + ln (_r + 1)9. = tan1(ln r) + ln (tan1r)10. = ln_cx+ 5 sin r 4 sin1r_11. =1tan1r12. = 2r + 5 cos3r13. r = cos sec2t + sec2t14. = 16 (1 3 cos r)215. =13 cos3r 1cos r16. =_3 sin r 2 cos r517. =3_sin2r +1cos2r18. =_1 + sin1(r)19. =_sin1tan (r) _sin1(r)_320. =1tan1(r)21. =_rcx +r22. =3_2cx2r + 1 + ln5r23. = sin 3r + cos r5 + tan_r24. = sin (r25r + 1) + tan cr25. = cos (cr +,)26. , (t) = sin t sin (t +,)27. = 1 + cos 2r1 cos 2r28. = c cot rc.29. = 120 cos (5r2) 14 cos r230. = sin12r31. = sin1 1r232. = cos1(_r)33. = tan1 1r34. = tan1 1 +r1 r35. = ln_cx+ 5 sin r 4 sin1(r)_36. = cot1(ln r) ln cot1(r)37. =_ln r + 1 + ln__r + 1_38. = cos1cx39. = ln (2r + 7)40. = lg sin r41. = ln (1 r2)42. = ln2r ln (ln r)43. = sin35r cos2 r344. =112 (r 2)2 4r 245. = 154 (r 3)4 103 (r 3)3 12 (r 2)246. =r88 (1 r2)4Arenas A. 65 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo Diferencial47. =_2r22r + 1r48. =r33_(1 +r2)349. =323_r2 + 187 r 6_r + 95r 3_r2 +613r26_r50. = 183_(1 +r3)8 153_(1 +r3)551. = 434_r 1r + 252. = r4(c 2r3)253. =_c +/rnc /rn_m54. =95 (r + 2)5 3(r + 2)4+2(r + 2)3 12 (r + 2)255. = (c +r)_c r56. =_(r +c) (r +/) (r +c);57. r =3_ +_58. = ln__1 +cx1_ln__1 +cx + 1_59. = (tan2r 1) (tan4r + 10 tan2r + 1)3 tan3r60. = tan2(5r)61. = 3 sin r cos2r + sin3r62. = 13 tan3r tan r +r63. = cos r3 sin3r + 43 cot r64. =_csin2r +, cos2r65. = sin1(r2) + cos1(r2)66. = 12_sin1(r)_2cos1(r)67. = sin1 r21r268. = sin1r_1 +r269. = cos1(r)_1 r270. =1_/ sin1_r_/c_71. =_c2r2 +c sin1_rc_72. = r_c2r2 +c2sin1_rc_73. = sin1(1 r) +_2r r274. =_r 12_sin1_r + 12_r r275. = ln_sin1(5r)_76. = sin1(ln r)77. = tan1_r sin r1 r cos r_78. = 23 cot1 5 tan r2 + 4379. = cot1__r-(3/ + 2r)_/r r280. = _2 cot1 tan r_2 r81. =_cax82. = csinsr83. =110cx(3 sin 3r cos 3r)84. = rncx285. =_cos rcpcos x86. = ln (cr2+/r +c)87. = ln_r +_c2 +r2_88. = r 2_r + 2 ln (1 +_r)89. = ln_c +r +_2cr +r2_90. =1ln2rArenas A. 66 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo Diferencial91. = ln cos r 1r92. = ln (r 2)5(r + 1)393. = ln (r 1)3(r 2)r 394. = 1sin2r + ln tan r95. = ln ln (3 2r3)96. = 5 ln3(cr +/)97. = ln_r2 +c2 +r_r2 +c2r98. = :2 ln (r2c2) + :2c ln r cr +c99. = 12 ln tan r2 12 cos rsin2r100. =_r2 + 1 ln 1 _r2 + 1r101. = 13 ln r22r + 1r2 + 2r + 1102. = 2sin1(3x)+ (1 cos13r)2103. = 3sin axcos bx + 13 sin3crcos3/r104. =1_3 ln tan r2 + 2 _3tan r2 + 2 +_3105. = cot1ln r106. = ln sin1(r) + sin1(ln r)107. = cot1_ln 1r_108. =_23tan1r_2 + 16 ln r 1r + 1109. = ln 1 +_sin r1 _sin r + 2 tan1_sin rDerivada de funciones denidas a trozos. Para derivar una funcin denida a trozos/(r) =_ , (r) si r _ cq (r) si rc1. Se deriva la funcin en cada uno de los intervalos abiertos en los que est denida.2. Se estudia la derivabilidad de la funcin en los puntos de separacin y en los extremos delos intervalos cerrados, si los hubiera.Para hallar la derivabilidad en los puntos de separacin se estudia primero si es continua, Si noes continua no es derivable, y si es continua se calcula la derivada, bien aplicando la denicinde derivada, o lo que es ms fcil, por sustitucin directa por la derecha y por la izquierda (siobtenemos dos valores iguales, esa es la derivada, y si obtenemos valores diferentes, entoncesla funcin no es diferenciable)./0(r) =_ ,0(r) si r < c [o bien r _ c]q0(r) si rcObservacin .1Si la funcin es derivable ponemos r _ c y si no es derivable r < c.Observacin .2No debe olvidarse comprobar previamente la continuidad, ya que el hecho deque los valores laterales de la derivada sean iguales, por si solo, no signica que la funcinsea derivable, sino que la funcin entra y sale con la misma pendiente en r = c, pero pudieraser en puntos diferentes.Arenas A. 67 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialEjemplo .35 Derivar la siguiente funcin:, (r) =_2r + 3 si r _ 2r22r si r2Solucin: Primero hallamos la derivada en los intervalos abiertos:,0(r) =_2 si r _ 22r 2 si r2Para ver si es derivable en r = 2, estudiamos previamente la continuidad:, (2

) = 7, (2+) = 0_no es continua == no es derivableAl no ser derivable en r = 2 no podemos poner r _ 2, sino r < 2. En este caso, el hecho deque , (2

) = , (2+) no tiene ningn valor.Ejemplo .36 Derivar, (r) = r [r 2[Solucin: Eliminamos el valor absoluto de la formula expresndola a trozos., (r) = r [r 2[ =_r22r si r _ 2r2+ 2r si r < 2Con lo cual la funcin derivada es:,0(r) =_2r 2 si r22r + 2 si r < 2Comprobamos la derivabilidad en el punto r = 2., (2+) = 0, (2

) = 0_no es continua, (2+) = 2, (2

) = 2_no es derivableEjemplo .37Determinar los coecientes c. / para que la funcin, (r) =_ r2+ 1 si r _ 1cr +/ si r < 1Sea derivable en el punto r = 1. Comprobar el resultado grcamente.Solucin: La funcin derivada ha de ser ,0(r) =_ 2r si r _ 1c si r < 1para lo cual ha de cumplir:, (1

) = , (1+) ==c +/ = 2,0(1

) = ,0(1+) ==c = 2_c = 2/ = 0_Arenas A. 68 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialLuego:, (r) =_ r2+ 1 si r _ 12r si r < 1,0(r) =_ 2r si r _ 12 si r < 1La continuidad signica que los dos tramos de la curva estn empalmados. La derivabilidadsignica que le empalme se ha hecho con suavidad, es decir, con una tangente comn.Derivacin de funciones implicitas. Una funcin es uns relacin entre dos magnitudes, cuan-do en la frmula que las relaciona, una de las magnitudes viene despejada en funcin de la otra,entonces se dice que la funcin viene denida de manera explicita. = , (r)Cuando ninguna de las dos magnitudes est despejada en funcin de la otra, sino que las magni-tudes estn relacionadas mediante una ecuacin, se dice que la funcin est denida de maneraimplcita., (r. ) = 0Las funciones denidas de manera implcita se pueden derivar directamente, sin necesidad dedespejar una de las variables. Para ello basta con tener en cuenta que la variable es funcinde la de r y que, por tanto, cada vez que la derivemos hay que multiplicarla por su derivada (setrata de derivar una funcin compusta). Pueden derivarse ecuaciones que no son funciones, peroque podran descomponerse en varias funciones, sin necesidad de descomponerlas, la derivadaobtenida vale para todas las funciones.Ejemplo .38 Derivar la ecuacin:r2+2= 4Solucin: r2+2= 4___1 = +_4 r2 01 =r_4 r2 = r12 = _4 r2 02 = r_4 r2 = r2Sin embargo, no es necesario despejar la funcin, sino que podemos derivar directamente en laecuacin,r2+2= 4 2r + 20 = 0 0 = rArenas A. 69 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialObservacin .3 : Hay que evitar derivar funciones que no existen. Por ejemplo la ecuacinr2+ 2= 2 no representa ningn punto del plano y por tanto no tiene ningn signica-do analtico. No obstante, al ser una expresin algebraica podramos aplicarle las reglas dederivacin y derivarla 2r + 20 = 0, y podramos pensar que 0 = r , sin embargo, estasoperaciones no tienen ningn sentido.Ejemplo .39 Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia:(r 2)2+ 2 ( 2) 0 = 0 0 = r 2 2en los puntos en que r = 3. Comprobar el resultado grcamente.Solucin: Derivamos de manera implcita,2 (r 2) + 2 ( 2) 0 = 0 0 = r 2 2hallamos los puntos correpondientes es a r = 3r = 3 1 + ( 2)2= 2 ( 2)2= 1 2 = 1 = 2 1 =_ 31Con lo cual, para r = 3 tenemos dos puntos de la circurferencia 1 (3. 1) y Q(3. 3). Hallamosla tangente en cada uno de ellos.1 (3. 1) 1 = 11 (r 3) 1 = r 3 = r 2Q(3. 3) 3 = 11 (r 3) 3 = r + 3 = r + 65 3. 75 2. 5 1. 25 03. 752. 51. 250xyxyArenas A. 70 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialDerivacin logartmica. Dada una funcin = , (r), la derivacin logartmica conciste entomar ln en los dos miembros de la igualdad y derivar, despus de simplicar.La derivacin logartmicas se aplica:1. Para derivar funciones exponenciales.2. Para simplicar la derivacin de productos y cocientes.Observacin .4La derivacin logartmica se puede aplicar incluso si la funcin toma valoresnegativos.Ejemplo .40 Derivar = rtan xSolucin: Tomando ln y derivando en ambos miembros resulta:ln = ln rtan xln = tan r ln r 0 =1cos2r ln r + tan r1r 0= _ ln rcos2r + tan rr_= rtan x_ ln rcos2r + tan rr_Observacin .5 La derivacin logartmica tambin se puede hacer aplicando la identidadlogartmica = cln y.As, el ejemplo anterior tendramos: = rtan x= cln xtan x= ctan xln x. entonces0= ctan xln x_ ln rcos2r + tan rr_= rtan x_ ln rcos2r + tan rr_Ejemplo .41 Derivar =r3sin2r(r + 1) (r 2)2Solucin: Tomando ln en los dos miembros de la igualdad:ln = lnr3sin2r(r + 1) (r 2)2Aplicando las propiedades de los logaritmos resulta,ln = 3 ln r + 2 ln (sin r) ln (r + 1) 2 ln (r 2)Derivando0 = 3r + 2 cos rsin r 1r + 1 2r 2de donde, despejamos 0 resulta:0 =r3sin2r(r + 1) (r 2)2_3r + 2 cos rsin r 1r + 1 2r 2_Arenas A. 71 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialDerivadas de orden superior A las derivadas de una funcin se le llama derivada primera; ala derivada de la derivada primera, derivada segunda; y as sucesivamente.00 = (0)0 =ddr (0) =ddrddr = d2dr2Ejemplo .42 Hallar la derivada tercera de la funcin:, (r) = r cos rSolucin:,0(r) = cos r r sin r,00(r) = sin r sin r r cos r = r cos r 2 sin r,000(r) = cos r +r sin r 2 cos r = r sin r 3 cos rEjemplo .43Hallar, por induccin, una frmula para la derivada : :i:c de la funcin:, (r) = ln rSolucin:,0(r) =1r = r1,00(r) = r2,000(r) = +2r3,iv(r) = 32r4Luego, podemos suponer que,,(n)(r) = (1)n1(: 1)!rnPara que quede demostrarlo tenemos que probar que ,(n+1)(r) sigue la misma regla. En efecto,,(n+1)(r) =_,(n)(r)_0 = (1)n1(: 1)! (:) rn1= (1)n:!r(n+1)con lo que queda demostrada la proposicin.Teorema .10 (de rolle)Supngase que:1. , es una funcin continua sobre el intervalo [c. /]2. ,0(r) existe para cada r ( c. /)3. , (c) = , (/) = 0Arenas A. 72 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialEntonces existe al menos un punto c (c. /) tal que ,0(c) = 0, es decir, donde la rectatangente en un punto de la curva de abcisa c es paralela al eje r.Ejemplo .44 Si la funcin , est dada por = 2r2r3, determinar todos los nmeros c entre1 y 1 tales que ,0(c) = 0.Solucin: La gura siguiente ilustra la grca de la funcin , (r) = 2r 2r3.Sabemos que , es continua en [1. 1], entonces debemos vericar que , (1) = , (1) = 0, enefecto:, (1) = 2 (1) 2 (1)3= 2 + 2 = 0, (1) = 2 (1) 2 (1)3= 2 2 = 0Si determinamos la derivada de ,, obtenemos:ddr = ,0(r) = 26r2. Al tomar ddr = ,0(r) = 0para algn valor de r = c, se tiene:ddr[x=c = ,0(c) = 2 6c2= 0 ==c2= 13Luego, ,0(c) = 0 para c =1_3 y c = 1_3Observamos que1_3 y 1_3 pertenecen al intervalo (1. 1).En la gura anterior aparecen las dos rectas tangentes.Observacin .6 Si nos pidieran determinar c entre 0 y 1, encontramos que slo c =1_3pertenece a dicho intervalo, y por tanto 1_3 no sera solucin al problema.Arenas A. 73 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialEjemplo .45 Sea , la funcin deni9da por = r23 1 y continua en [1. 1]. Tenemos que:, (1) = , (1) = 0 yddr = 23r13=23 2_rAhora, para ddr =23 2_r no existe ningn r tal que ddr = 0. Por tanto, ,0(r) = ddr no estdenida en r = 0, y el teorema de Rolle no se puede aplicar por no cumplir la 2 codicin. Elsiguiente teorema es una generalizacin del teorema de Rolle.Teorema .11 (del valor medio)Supongamos que:1. , es una funcin continua sobre el intervalo [c. /]2. ,0(r) existe para todo r (c. /)Entonces existe un nmero c (c. /) tal que ,0(c) = , (/) , (c)/ cAl igual que el teorema de Rolle, la demostracin del teorema del valor medio se hace enun priemer curso de nalisis a nivel universitario. Sin embargo, daremos una interpretacingeomtrica de este importante teorema, en la gura siguiente tenemos la grca de una supuestafuncin , entre los puntos de abcisas c y /.Los puntos j y : tienen como coordenadas (c. , (c)) y (/. , (/)). La pendiente de la recta porj y : es:, (/) , (c)/ cEl teorema nos indica que la recta tangente a lacurva de , en c es paralela (por tener igualpendiente) a la recta determinada por j y :, donde c (c. /)Arenas A. 74 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialEjemplo .46 Si , (r) = r23r4, determinar todos los nmeros c entre 1 y 3 que satisfacenla ecuacin:,0(c) = , (3) , (1)3 (1)Solucin: Segn el teorema del valor medio:, (3) , (1)3 (1)= (3233 4) [(1)23 (1) 4]4= 1Es la pendiente de la recta que pasa por los puntos de abcisas 1 y 3. Ahora ,0(r) = 2r 3.Si esxiste c (1. 3) se debe cumplir que ,0(c) = 1, pero ,0(c) = 2c 3, luego:2c 3 = 1 ==c = 1Ejemplo .47 Determinar todos los valores de c entre c y / que satisfacen ,0(c) = , (/) , (c)/ c,si = r + 2r 2. c = 3 y / = 0.Solucin:, (/) , (c)/ c= , (0) , (3)3=0 + 20 2 3 + 23 23= 653= 25Ahora ,0(r) = ddr = (r 2) (r + 2)(r 2)2=4(r 2)2,0(c) = ddr[x=c =4(c 2)2 y el teorema del valor medio dice que ,0(c) = , (/) , (c)/ cLuego,4(c 2)2= 25 ==20 = 2 (c 2)2==c24c 6 = 0==c = 4 _16 + 242=4 2_102= 2 _10Si 2 _10, tenemos que c , (3. 0) y por tanto no es solucin al problema:c = 2 _10 ==c (3. 0)y por tanto cumple las exigencias del teorema del valor medio.Arenas A. 75 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialEjemplo .48 Si , (r) = 2r + 1 y q (r) = 3r 4 determinar los nmeros c entre 1 y 3 talesque:, (3) , (1)q (3) q (1) = ,0(c)q0(c)Solucin:, (3) , (1) = (2 3 + 1) (2 1 + 1) = 7 3 = 4q (3) q (1) = (3 3 4) (3 1 4) = 5 + 1 = 6Luego,, (3) , (1)q (3) q (1) = 46 = 23Ahora:,0(r) = 2. q0(r) = 3Como:,0(r) = 2. q0(r) = 3==,0(c) = 2. q0(c) = 3==,0(c)q0(c) = 23Por tanto, (3) , (1)q (3) q (1) = ,0(c)q0(c) = 23se cumple para todo c (1. 3)Ejemplo .49 Si , (r) = r2y q (r) = 1r, determinar los nmeros c entre 1 y 2 tales que:, (2) , (1)q (2) q (1) = ,0(c)q0(c)(1)Solucin:, (2) , (1) = 4 1 = 3q (2) q (1) =12 1 = 12Luego, (2) , (1)q (2) q (1) =312= 6Arenas A. 76 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialAhora,0(r) = 2r ==,0(c) = 2cq0(r) =1r2 ==q0(c) = 1c2Luego:,0(c)q0(c) = 2c1c2= 2c3Por (1) 6 = 2c3==c3= 3 ==c =3_3EJERCICIOS .5 En los ejercicios del 1 al 6, determinar los valores de c entre c y / quesatisfacen:,0(c) = , (/) , (c)/ c1. = r2+ 1. c = 0. / = 22. = r2+r + 2. c = 1. / = 33. = r32r2+ 3r 2. c = 0. / = 24. = 1 + 2r +r2. c = 1. / = 45. = r3. c = 4. / = 46. = r 3r + 3. c = 0. / = 47. Si j (1. 4) y :_2. 12_son dos puntos sobre la curva = r 52, determinar las coorde-nadas del punto sobre j: donde la tangente a la curva es paralela a la recta determinadapor j y :.8. Dada la funcin , (r) =r + 22r + 1. c = 1 y / = 2, discutir la validez del teorema del valormedio.9. Discutir al igual que en el ejercicio anterior, para , (r) =1r 1 con c = 0 y / = 2.10. Determinar los valores de c estrictamente entre c y / que satisfacen: , (/) , (c)q (/) q (c) = ,0(c)q0(c)si:a) , (r) = r2+ 2r + 1. q (r) = r2; c = 1. / = 2b) , (r) =_r + 16. q (r) =_r; c = 0. / = 9c) , (r) = r3+ 3r2+ 3r. q (r) = r3; c = 0. / = 3Arenas A. 77 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo Diferencial5.2.3. Formas indeterminadas Y Reglas de L'Hopital.Formas indeterminadas. Las reglas del L'Hopital pretenden resolver los siete casos de inde-terminacin del lmite:00. . 0. 11. 01. 1Hay que hacer notar que las Reglas de L'Hopital slo se pueden aplicar directamente a los doscasos 00 y . Para resolver los cinco casos restantes habr que transformarlos en uno de los dostipos anteriores.No son indeterminados las siguientes expresiones:Ctc= 0 0Ctc = 0 0+1 = 0 0110+1 = _23_+1 = 0_32_+1 = (00d)+1 = 0 (10d)+1 = _23_1 =_32_+1 = _32_1 =_23_1 = 0 (00d)1 = + (10d)1 = 03+1 = 31 = 0 10= 1 70= 1Los siguientes lmites no estn denidos (por oscilacin):lmx!+1sin r lmx!+1cos r lmx!+1tan rlmx!0+ sin 1rlmx!0+ cos 1rlmx!0+ tan 1rlmx!+1sin r43Reglas de L'Hopital. Las reglas de L'Hopital se pueden resumir en el siguiente esquema:lm , (r)q (r) =_00 _= lm ,0(r)q0(r)1. La Regla slo es aplicable mientras se mantiene la indeterminacin00. o , por lo queantes de derivar siempre hay que comprobar.2. Si la indeterminacin se mantiene indenidamente, entonces la regla no es aplicable.3. En cualquier momento se pueden hacer manipulaciones algebricas o aplicar innitsimoscon objeto de simplicar las derivadas.Formalmente una Regla de L'Hopital puede enunciarse de la siguiente manera.Teorema .12 (Regla de L'Hopital) Si , y q son funciones continuas en el intervalo [c. /)y derivables en el intervalo (c. /), con lmite cero por la derecha del punto c, y adems laderivada de la funcin q no se anula en ningn pnto del intervalo (c. /), entonces, si existe ellmx!a+,0(r)q0(r) tambin existe el lmx!a+, (r)q (r) y adems ambos coinciden.Arenas A. 78 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialEjemplo .50 Calcula los siguientes lmites:1. lmx!0cx1sin 2r =_00_=lmx!a+cx2 cos 2r = 122. lmx!11 r + ln r1 + cos :r= _00_= lmx!11 + 1r: sin :r= _00= lmx!1r + 1:r sin :r= _00== lmx!11: sin :r :2r cos :r= 1:23. lmx!0sin rr +r2 =_00= lmx!0cos r1 + 2r = 11 = 14. lmx!1cxr2 +r =__=lmx!1cx2r + 1 =__=lmx!1cx2 = +2= +5. lmx!1r13ln r =__=lmx!113r

231x=lmx!1r3r23=lmx!1r133= +Simplicacin de lmites. Siempre que sea posible, antes de abordar la Regla de L'Hpital,es conveniente intentar simplicar el lmite con objeto de que no complique con la derivacin.Para ello se sacan fuera del lmite los factores que tengan un valor nmerico.Ejemplo .51 Calcular el siguiente lmitelmx!0(1 + cos r) (r33) sin r(r2r) cos rSolucin:lmx!0(1 + cos r) (r33) sin r(r2r) cos r= _00_= lmx!0(1 + cos r) (r33)cos r lmx!0sin rr2r=2 (3)1lmx!0cos r2r 1 = (6)_ 11_= 6El primer lmite lo hemos resuelto directamente por sustitucin, y slo hemos aplicado L'Hpitalen el segundo lmite, lo que ha simplicado notablemente los clculos.Indeterminaciones del tipo 0Se transforman en un indeterminacin del tipo 00. ,mediante operaciones algebraicas, o bien, mediante las siguientes transformaciones., (r)q (r) = , (r)1q (r), (r)q (r) = q (r)1, (r)Arenas A. 79 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialEjemplo .52 Calcular:lmx!+1r ln_r 1r + 1_Solucin:lmx!+1r ln_r 1r + 1_= [ 0] = lmx!+1ln_r 1r + 1_1r=_00_= lmx!+1ddr_ln_r 1r + 1__ddr_1r_= lmx!+12(r 1) (r + 1) 1r2= lmx!+12r2r21 =__. derivando de nuevo, queda= lmx!+14r2r= 42= 2Indeterminaciones del tipo Se transforman en una indeterminacin del tipo 00. o ,mediante operaciones algebraicas, como puede ser: Buscando un comn denominador, multi-plicando y dividiendo por el conjugado; o bien, mediante las siguientes transformaciones. 1 = _1 1_= 111 1 = 1_11 1_=11

111Ejemplo .53 Calcular los siguientes lmites:1. lmx!+0_1r 1sin r_2. lmx!+1__r2 + 3r r_Arenas A. 80 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialSolucin:1.lmx!+0_1r 1sin r_= [] =lmx!+0sin r rr sin r=_00_= lmx!+0sin r rr2=_00_=lmx!+0cos r 12r=_00_= lmx!+0sin r2= 02.lmx!+1__r2 + 3r r_= [] = lmx!+1r__r2 + 3rr1_= [ 0]= lmx!+1r__1 + 3r 1_= lmx!+1_1 + 3x 11r=_00_= lmx!+13r2 2_1 + 3x 11r= lmx!+13r22r2_1 + 3x= 32Este lmite tambin poda haberse resuelto multiplicando por le conjugado, o bien, aplicandoinnitsimos.Indeterminacin del tipo 00. 0. 11Se transforman en un indeterminacin del tipo 00. o, tomando logaritmos neperianos. En efecto, llamando al lmite en cuestin: = lm, (r)g(x)tomando ln en ambos miembros y operando, resulta,ln = ln lm, (r)g(x)= lmln , (r)g(x)= lmq (r) ln , (r)Que es un lmite del tipo 0, y una vez resuelto, resulta: = clmg(x) ln f(x)El lmite tambin puede resolverse aplicando directamente la identidad logartmica = cln x,lm, (r)g(x)= cln lmf(x)g(x)= clmln f(x)g(x)= clmg(x) ln f(x)Arenas A. 81 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialEl tercer caso 11 admite una forma simplicada de resolucin que elimina el ln y puede facilitarla derivacin, en efecto, aplicando innitsimos, resulta,lm, (r)g(x)= clmg(x) ln f(x)= clmg(x) ln(1+f(x)1)= clmg(x) ln(f(x)1)o bien, teniendo en cuenta la denicin del nmero cc = lmz!0(1 +.)12resulta,lm, (r)g(x)= [11] = lm(1 +, (r) 1)g(x)= lm(1 +, (r) 1)1f(x)1g(x)[f(x)1]= c lmq (r) [, (r) 1]Ejemplo .54 Calcular, por lo dos mtodos, el siguiente lmite:lmx!0(cos r) 1x2Solucin:1. lmx!0(cos r) 1x2= [11]Llamamos al lmite : lmx!0(cos r) 1x2, tomamos ln y operamos, con lo que resulta,ln = ln lmx!0(cos r) 1x2=_00_= lmx!0ln cos rr2= lmx!0r2r cos r = 12de donde el lmite pedido es: = c12=1_22. Por el otro mtodo sera:lmx!0(cos r) 1x2= [11]= lmex!01r2 (cos r 1)= lmex!0sin r2r= c12Arenas A. 82 Camargo B.5.2 Funcin derivaday Reglas de derivacin. Clculo DiferencialEjemplo .55 Calcular:lmx!0+rtan xSolucin: lmx!0+rtan x= [