CalculoI

CLCULO I

DANTE PINTO JERIA

www. geocities.com/dantecillopinto/inicio.html [email protected]

cel. 72420856 telf. 6223090 Av. Arce 597

S 193451.6 W 654521.6 Potos - Bolivia

2008

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PRLOGO

Este texto tiene el propsito de proporcionar al estudiante, un medio fcil de aprendizaje de esta rama de las matemticas que muchas veces resulta difcil de comprender. Pero el autor cree firmemente que no existe asignatura difcil, tan solo mal explicada. Y para ello se ha elaborado el texto con explicaciones sencillas y sobre todo con muchas grficas en colores. Por favor no fotocopien el texto en blanco y negro, el color es muy importante y es parte de la didctica que tiene este trabajo. Quiero agradecer a mi linda computadora IBM ThinkPad 770, sin cuya ayuda no hubiera podido realizar el texto. Espero sea de ayuda para el que lo lea. Dante Pinto Jeria Potos,2008

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NDICE CAPTULO I : FUNCIONES DE VARIABLE REAL 1.1 PRODUCTO CARTESIANO____________________________________________7 1.2 INTERVALOS FINITOS E INFINITOS___________________________________7 1.3 FUNCIONES________________________________________________________8 1.4 FUNCIONES DEFINIDAS A TRAVS DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA 12 1.5 FUNCIONES PARES E IMPARES______________________________________14 1.6 TRANSFORMACIN DE FUNCIONES_________________________________15 1.7 FUNCIN INVERSA________________________________________________17 1.8 CLASIFICACIN GENERAL DE LAS FUNCIONES______________________18 CAPTULO II: LMITES 2.1 DEFINICIN DE LMITE_____________________________________________22 2.2 PROPIEDADES Y TEOREMAS DE LMITES____________________________26 2.3 CLCULO DE LMITES______________________________________________28 2.4 LMITES INFINITOS________________________________________________34 2.5 CONTINUIDAD DE FUNCIONES______________________________________37 CAPTULO III: LA DERIVADA 3.1 DEFINICIN DE DERIVADA_________________________________________41 3.2 REGLAS BSICAS DE DERIVACIN__________________________________46 3.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR__________________________________52 3.4 DERIVACIN IMPLCITA___________________________________________53 3.5 DETERMINACIN DE MXIMOS Y MNIMOS_________________________54 3.6 CONCAVIDAD_____________________________________________________59 CAPTULO IV: INTEG RACIN 4.1 DEFINICIN______________________________________________________62 4.2 TCNICAS DE INTEGRACIN______________________________________66 4.3 INTEGRAL DEFINIDA_____________________________________________83

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CAPTULO I

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

1.1 PRODUCTO CARTESIANO.- Es parte de la teora de conjuntos, y es un producto directo de conjuntos. Para dos conjuntos A y B, el producto cartesiano se define como:

A x B = C = {(x,y) \ x A e y B} El nmero de elementos del producto cartesiano es :

NeC = NeA * NeB (1-1) La expresin (x,y) se llama par ordenado. Ejemplo: Encontrar el producto cartesiano de los conjuntos A={1,2,3,4}y B={3,4,5} C =A x B = {(1,3);(1,4);(1,5);(2,3);(2,4);(2,5);(3,3);(3,4);(3,5);(4,3);(4,4);(4,5)} Como se puede apreciar, el nmero de elementos del resultado es 12 y esto se puede calcular tambin con la frmula (1-1) N e C = 4*3 = 12 Para representar grficamente el producto cartesiano se utilizan las coordenadas cartesianas en dos y tres dimensiones. 1.2 INTERVALOS FINITOS E INFINITOS.- 1.2.1 INTERVALO S FINITO S.- Si se tienen dos nmeros a y b tales que a < b, entonces el conjunto de nmeros x comprendidos entre a y b recibe el nombre de:

a) Intervalo abierto de a y b y se escribe a < x < b, donde no se incluye a sus extremos. Los intervalos abiertos tambin se representan mediante: ] a , b [ o mediante (a , b )

b) Intervalo cerrado de a y b y se escribe a x b, donde se incluye a sus extremos.

Los intervalos cerrados tambin se representan mediante: [ a , b ]

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1.2.2 INTERVALO S INFINITO S.- Si a es un nmero cualquiera, entonces el intervalo x < a es un intervalo infinito. Todos los intervalos infinitos son abiertos x < a tambin se puede representar como: ] , a [ o como ( , a) x a tambin se puede representar como: ] , a] o como ( , a] x a tambin se puede representar como: [ a, [ o como [a, ) x > a tambin se puede representar como: ] a, [ o como (a, )

1.3 FUNCIONES.- 1.3.1 DEFINICI N .- Dados dos conjuntos X y Y, una funcin f es una regla que asigna a los elementos x, tal que x X ,un elemento y, tal que y Y , y se denota por:

f: X Y El elemento y, tal que y Y , tambin se escribe como:

y = f(x) La variable x de una funcin es la variable independiente y la y la dependiente. Tambin puede entenderse una funcin como una mquina, a la que se le suministra un material, en este caso x, y que devuelve ese material transformado en otro tipo de objeto, en este caso y. El valor obtenido despus de darle un valor x se llama imagen de x. Ejemplo: y = f(x) = x2. En este ejemplo el material entregado son todos los nmeros reales y el objeto devuelto por la funcin es el cuadrado de esos nmeros. 1.3.2 CO NDICIO NES PARA LA EXISTENCIA DE UNA FUNCI N.- 1 Condicin de existencia. Todos los elementos de X estn relacionados con elementos de Y, es decir, x X, y \ (x,y) f 2 Condicin de unicidad. Cada elemento de X est relacionado con un nico elemento de Y, es decir, Si ( x , y1 ) f ( x , y2 ) f y1 = y2 Las anteriores condiciones se pueden expresar grficamente mediante: X Y Figura 1.

1

2

3

4

4

5

7

9

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9

1.3.3 DO MINIO .- El conjunto de valores del primer conjunto X, el que asigna valores, es el dominio de la funcin. 1.3.4 RANG O .- El rango es el conjunto de valores obtenidos despus de aplicar la regla a los valores del dominio. El rango tambin es conocido como recorrido. El rango es un subconjunto de Y. X f Y Figura 2. Ejemplo: Dada la funcin y = f(x) = x2 hallar su dominio y rango. Solucin: Realizando una tabla y la grfica de la funcin se observa que, en el rango, no existen valores negativos.

x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y=f(x) 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Figura 3.

Dominio: {x } o tambin ] , [ Rango: {y | y 0} o tambin [ 0, [

Dominio x

Rango y = f(x)

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10

Ejemplo: Dada la funcin y x2 1 hallar su dominio y rango.

Solucin: x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y=f(x) 5.92 4.90 3.87 2.83 1.73 0.00 0.00 1.73 2.83 3.87 4.90 5.92

0

1

2

3

4

5

6

7

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Figura 4.

Dominio: ] , 1] [ 1 , [ Rango: [ 0, [

Ejemplo: Dada la funcin y 25 x2 hallar su dominio y rango.

Solucin:

0

1

2

3

4

5

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figura 5.

Dominio: [5, 5] Rango: [ 0, 5 ]


11

Ejemplo: Dada la funcin y 1

x 3 hallar su dominio y rango. Solucin:

x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y=f(x) -0.09 -0.10 -0.11 -0.13 -0.14 -0.17 -0.20 -0.25 -0.33 -0.50 -1.00 1.00 0.50 0.33 0.25 0.20

-5-4-3-2-1012345

-10 -5 0 5 10

Figura 6.

Dominio: {x \ x 3} Rango: {y \ y 0} 1.3.5 CLASIFICACI N DE FUNCIO NES SEG N EL TIPO DE APLICACI N .- Segn su tipo de aplicacin las funciones se clasifican en: a) Funciones Inyectivas. Son aquellas en que a cada imagen le corresponde un nico origen. O sea que no existen dos o mas fle chas que llegan a un mismo destino.

Figura 7.


12

b) Funciones Sobreyectivas. Son aquellas en las que la aplicacin es sobre todo el codominio. Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen.

Figura 8.

c) Funciones Biyectivas. Una funcin es biyectiva si es que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Figura 9.

1.4 FUNCIONES DEFINIDAS A TRAVS DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA.- 1.4.1 FUNCI N IDENTIDAD.- Dado el conjunto A, la funcin e A: A A Se define por: e A = { ( x , y ) \ y = x } Su grafica es la diagonal.

- 2 .5- 2

- 1 .5- 1

- 0 .50

0 .51

1 .52

2 .5

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

Figura 10.


13

1.4.2 FUNCI N CO NSTANTE.- Se define por : { ( x , y ) \ y = k } Su grfica es:

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figura 11.

1.4.3 FUNCI N VALO R ABSO LUTO .- Se define por: { ( x , y ) \ y = x } donde, x = x, si x > 0 x = 0, si x = 0 x = -x, si x < 0 Su grfica es:

0

2

4

6

8

10

12

-15 -10 -5 0 5 10 15

Figura 12.

1.4.4 FUNCI N PO LIN MICA.- Se define por: {( x, y ) \ f (x) = an xn + an-1 xn-1 + + a2 x2 + a1 x + a0 an 0 }


14

1.4.5 FUNCI N LINEAL.- Es un caso particular de funcin polinmica . Se define por: {( x, y ) \ y = a x + b a b } 1.4.6 FUNCI N CUADRTICA.- Es un caso particular de funcin polinmica Se define por: {( x, y ) \ y = a x2 + b x + c a b c } 1.5 FUNCIONES PARES E IM PARES.- 1.5.1 FUNCI N PAR.- Se define por: { ( x , y ) \ f (x) = f (x) } Su grfica es simtrica respecto del eje Y.

02468

101214161820

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figura 13.

1.5.2 FUNCI N IMPAR.- Se define por: { ( x , y ) \ f (x) = f (x) } Su grfica es simtrica respecto del origen.

-2 .5-2

-1 .5-1

-0 .50

0 .51

1 .52

2 .5

-15 -10 -5 0 5 10 15

Figura 14.


15

1.6 TRANSFORM ACIN DE FUNCIONES .- 1.6.1 ARITMTICA DE FUNCIO NES.- Para dos funciones f y g con dominios D1 y D2 se pueden realizar las siguientes operaciones: f + g = (f + g) (x) = f(x) + g(x) f g = (f g)(x) = f(x) g(x) f * g = (f * g) = f(x) * g(x) f / g = (f / g)(x) = f(x) / g(x) Ejemplo: Para f(x) = x-1 y g(x) = 1/x. Realizar: a)f + g, b) 8fg, c) f / g Solucin:

a) (f +g)(x) = x1 + 1/x b) (8f-g)(x) = 8x81/x c) (f/g)(x) = (x-1)/(1/x)= x2 x

1.6.2 CO MPO SICI N DE FUNCIO NES .- La composicin de funciones es una operacin no aritmtica. La composicin de dos funciones f y g se denota por f g y se define como

(f g ) (x) = f(g(x))

para todo x en el dominio de g tal que g(x) est en el dominio de f.

Figura 15. Otra forma de interpretar la composicin de funciones es la siguiente:


16

Figura 16.

La composicin de funciones no es conmutativa. Esto quiere decir que f g g f Ejemplo: Dadas las funciones f(x) = x2 + 1 y g(x) = cos x , hallar las composiciones a) f g y b) g f Solucin: a) (f g) (x) = f(g(x)) = f (cos x) = (cos x)2 + 1 b) (g f) (x) = g(f(x)) = g(x2 +1) = cos (x2 +1) 1.6.3 TRASLACIO NES Y REFLEXIO NES DE LAS FUNCIO NES.- Para una funcin f(x) y c>0 se tiene: a) Traslacin horizontal de c unidades a la derecha : y = f(x c) b) Traslacin horizontal de c unidades a la izquierda: y = f(x + c) c) Traslacin vertical de c unidades hacia abajo: y = f(x) c d) Traslacin vertical de c unidades hacia arriba: y = f(x) + c e) Reflexin respecto del eje x: y = f(x) f) Reflexin respecto del eje y: y = f(x) g) Reflexin respecto del origen: y = f(x)


17

1.7 FUNCIN INVERSA.- Dada una funcin f: A B, se denomina funcin inversa de f, f1: BA si cumple con las siguientes condiciones: f1 f = eA f f1 = eB Las condiciones indican que la funcin es inversa por la izquierda y por la derecha. Solo algunas funciones tienen inversa. La condicin suficiente y necesaria para que una funcin tenga inversa es que sea biyectiva.

Figura 17.

De la figura anterior la funcin f es: f = {(1,5), (2,6),(3,7),(4,8)} y la inversa sera: f1 = {(5,1),(6,2),(7,3),(8,4)} Ejemplo: Si la funcin es f(x)= x +5, hallar su inversa. Y luego la composicin f1 f Solucin: f: y = x + 5 x y x = y + 5, luego se despeja y f1: y = x 5 (f1 f )(x)= f1(x + 5)= x + 5 5 = x


18

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-15 -10 -5 0 5 10 15

y = x + 5y = x -5

Figura 18.

Ejemplo: Hallar la funcin inversa de f(x) = x2 . Solucin: No tiene inversa ya que la funcin no es biyectiva. Pero alguien podra decir que la raz cuadrada de x es la inversa de x elevado al cuadrado, sin embargo si por ejemplo x = 3 aplicando la raz cuadrada a la funcin original resulta: (-3)2 = 9 = 3, que no es igual a 3. 1.8 CLASIFICACIN GENERAL DE LAS FUNCIONES.- La clasificacin que se da a continuacin repite algunas de las funciones ya citadas anteriormente, pero se la presenta debido a que concuerda con la que realizan muchos libros de clculo. 1.8.1 PO LIN MICAS .- Estn definidas por un polinomio. f (x) = an xn + an-1 xn-1 + + a2 x2 + a1 x + a0 , an 0 (1-2) Ejemplo: y = f(x) = x3-2x2-5x+6

-30-25-20-15-10

-505

10152025

-4 -2 0 2 4 6

Figura 19.


19

El coeficiente an en la ecuacin (1-2) se llama coeficiente dominante y puede servir, con la ayuda de si n es par o impar, para determinar como crece o decrece la funcin polinmica a la izquierda y a la derecha, de la siguiente manera:

n e s pa r n e s im pa r a n> 0 a n< 0 a n> 0 a n< 0

A la iz qu ie rda A la de re cha A la iz qu ie rda A la de re cha A la iz qu ie rda A la de re cha A la iz qu ie rda A la de re cha Cre ce Cre ce De cre ce De cre ce De cre ce Cre ce Cre ce De cre ce

1.8.2 RACIO NALES .- Estn definidas por el cociente de dos polinomios. f(x) = p(x) / q(x) , q(x)0

Ejemplo: y x 1

x2 5x 6

-1 1 2 3 4 5

-40

-20

20

Figura 20.

1.8.3 IRRACIO NALES .- Son aquellas en las que la variable independiente est bajo el signo radical.

Ejemplo: y x2 5

0

2

4

6

8

10

12

-15 -10 -5 0 5 10 15

Figura 21.


20

1.8.4 EXPO NENCIALES .- Son aquellas en las que la variable independiente est en el exponente. Ejemplo: y = 2x

0

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

1 0 0 0

1 2 0 0

- 2 0 2 4 6 8 1 0 1 2

Figura 22.

1.8.5 LO G ARTMICAS.- Son las inversas de las funciones exponenciales. Ejemplo: y = log x

- 0 .8- 0 .6- 0 .4- 0 .2

00 .20 .40 .60 .8

11 .2

- 2 0 2 4 6 8 1 0 1 2

Figura 23.

1.8.6 TRIG O NO MTRICAS .- Son las que dan el valor de una razn trigonomtrica en funcin del ngulo. Ejemplo: y = sen x


21

- 1 .5

- 1

- 0 .5

0

0 .5

1

1 .5

- 2 0 - 1 5 - 1 0 - 5 0 5 1 0 1 5 2 0

Figura 24.

1.8.7 FUNCIO NES DEFINIDAS PO R MS DE UNA ECUACI N.- Ejemplo: f(x) = x2 , para 0 x


22

CAPTULO II

LMITES

2.1 DEFINICIN DE LM ITE.- La nocin que se tiene de lmite, en la vida, cotidiana tiene el mismo significado en clculo. Es as que se puede definir, inicialmente, el lmite como un valor fijo al que puede acercarse cada vez m s, una cantidad, sin llegar a igualarlo. Para entender mejor este concepto se usarn mtodos numricos y grficos. As si se

tiene la funcin fx sen x

x , se puede apreciar, a simple vista, que la misma no est definida en x = 0. Pero qu es lo que ocurre en valores cercanos a cero?. Para responder esto se hace una tabla en la que se acerca, a cero, tanto por la izquierda como por la derecha.

x f(x) -1 0.84147098

-0.1 0.99833417 -0.01 0.99998333

-0.001 0.99999983 -0.0001 1

-0.00001 1 -0.000001 1

0 ? 0.000001 1

0.00001 1 0.0001 1

0.001 0.99999983 0.01 0.99998333

0.1 0.99833417 1 0.84147098

Realizando la grfica se puede apreciar que, efectivamente, el valor de f(x) se aproxima a 1 mientras que x se aproxima a 0, tanto por la izquierda como por la derecha. Pero tiene un hueco cuando x = 0.

x se aproxima a 0 por la izquierda

x se aproxima a 0 por la derecha

f(x) se aproxima a 1 por la izquierda

f(x) se aproxima a 1 por la derecha


23

Figura 26.

Utilizando la notacin de lmites se escribe:

limx 0

sen xx

1 Se lee: el lmite de sen x /x cuando x tiende a 0 es 1

Del anterior anlisis se puede extraer una definicin informal de lmite: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un nmero L cuando x se aproxima a un valor c, tanto por la izquierda como por la derecha, entonces el lmite de f(x), cuando x se aproxima a c, es L y se escribe

limx c

fx L

La aproximacin por la izquierda y por la derecha se llaman lmites laterales y se denotan por:

limx c

fx L Lmite lateral por la izquierda

limx c

fx L Lmite lateral por la derecha

De todo lo anterior se concluye que: un lmite existe si, y solo si, los dos lmite s laterale s existen y son iguale s.


24

Ejemplo: Encontrar el lmite, si existe, de la siguiente funcin. limx 0

1x

Solucin: Se puede apreciar que la funcin no est definida en x = 0, por tanto se construye una tabla con aproximaciones por la izquierda y por la derecha.

x f(x) -1 -1 -0.1 -10

-0.01 -100 -0.001 -1000

-0.0001 -10000 -0.00001 -100000

-0.000001 -1000000 0 ?

0.000001 1000000 0.00001 100000

0.0001 10000 0.001 1000

0.01 100 0.1 10

1 1

-50-40-30-20-10

01020304050

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Figura 27.

Como los lmites laterales no son iguales, se concluye que

limx 0

1x

no existe

NO son iguales por la izquierda y por la derecha. Por tanto el lmite no existe


25

Todo lo anteriormente mencionado sirve para dar una idea intuitiva sobre el concepto de lmite, pero la definicin rigurosa es la siguiente: Definicin rigurosa de lmite .- Para una funcin f definida en un intervalo abierto que contiene a x = c (pero no necesariamente en el propio c), se dice que

limx c

fx L

si dado cualquier nmero > 0 , existe otro nmero > 0 tal que 0 < |x c| < , garantiza que |f(x) L| < Grficamente se puede expresar lo anterior de la siguiente manera.

L +

L L

c +

c - c

c

Figura 28.


26

2.2 PROPIEDADES Y TEOREM AS DE LM ITES.- 2.2.1 TEO REMAS BSICO S.- Si b y c son nmeros reales y n un entero positivo y adems f y g son funciones con

lmites limx c

fx L y limx c

gx K :

1. limx c

b b

2. limx c

x c

3. limx c

xn cn

4. limx c

bfx bL

5. limx c

fx gx L K

6. limx c

fx gx LK

7.

limx c

fxgx

LK, siempre que K 0

8. limx c

fxn Ln

9. limx c

fx1n L

1n


27

10. limx c

sen x sen c

11. limx c

cos x cos c

12. limx c

x c

13. limx c

ln x ln c, para c 0

2.2.2 TEO REMA DEL SANDWICH O TEO REMA DEL ENCAJE.- Se refiere a si una funcin se encuentra en el medio de otras dos funciones. Como un pedazo de carne entre dos rebanadas de pan.

g

f

h

Figura 29.

Si h(x) f(x) g(x) para todos los x en un intervalo abierto que contiene a c (pero no necesariamente en el propio c) y si

limx c

hx limx c

gx L


28

entonces el limx c

fx existe y es igual a L.

2.3 CLCULO DE LM ITES .- En el proceso de clculo de lmites se utilizan los teoremas y propiedades y adems se realizan algunas operaciones algebraicas de acuerdo al caso especfico.

Ejemplo: Calcular el lmite limx 1

x5 x4 6x3 6x2 x 1x4 x3 2x2 3x 1

Solucin: Si se aplican directamente los teoremas 3 y 7 el resultado sera 0 / 0. Por tanto previamente, para hacer desaparecer esa indeterminacin, se puede inicialmente factorizar el numerador y el denominador de la funcin racional.

limx 1

1 x 1 6 x2 x41 x 1 2 x x3

cancelando los trminos iguales del numerador y denominador

limx 1

1 6 x2 x4

1 2 x x3 aqu ya es posible utilizar los teoremas y propiedades de la siguiente manera

1 612 14

1 21 13 4

Ejemplo: Calcular limx 36

36 x6 x

Solucin: Si se reemplaza directamente el valor de x=1 el resultado es 0 / 0. Por tanto se debe hacer algn tipo de operacin algebraica para hacer desaparecer esa indeterminacin. Racionalizando el denominador

limx 36

36 x 6 x

6 x 6 x


29

limx 36

216 36 x 6 x x32

36 x dividiendo y reemplazando directamente x=36 resulta limx 36

6 x 6 6 12

Ejemplo: Calcular numricamente el lmite limx 0

1 x1x

Solucin:

x f(x) -1

-0.1 2.86797199 -0.01 2.73199903

-0.001 2.71964222 -0.0001 2.71841776

-0.00001 2.71829542 -0.000001 2.71828319

0.000001 2.71828047

0.00001 2.71826824 0.0001 2.71814593

0.001 2.71692393 0.01 2.70481383

0.1 2.59374246 1 2

limx 0

1 x1x

Ejemplo: Calcular el lmite limx 0

1 11x1x

Solucin: Multiplicando por 11 el numerador y denominador del exponente limx 0

1 11x1x

1111

agrupando

limx 0

1 11x1

11x 11

se puede apreciar que tiene la misma forma que el ejemplo anterior por tanto aplicando el teorema 8.

Por la izquierda y por la derecha el valor coincide y se aproxima a 2.7183. Este es el valor de e que es la base de los logaritmos naturales


30

limx 0

1 11x1x 11


x2 4x 2

Solucin: Factorizando el numerador limx 2

x 2 2 xx 2

simplificando y sustituyendo x=2 limx 2

2 x 4


1 cos xx2

Solucin: Multiplicando el numerador y el denominador por (1+ cos x) limx 0

1 cos xx2

1 cos x1 cos x

limx 0

1 cos2xx21 cos x

utilizando la identidad trigonomtrica sen2x = 1- cos2x

limx 0

sen2xx21 cos x

aplicando los teoremas de lmites limx 0

sen xx

2limx 0

11 cos x

12 1

1 112


31


1 cos xx

Solucin: limx 0

1 cos xx

1 cos x1 cos x

limx 0

1 cos2xx1 cos x

limx 0

sen2xx1 cos x

Multiplicando numerador y denominador por x

limx 0

sen2xx1 cos x

xx

limx 0

sen xx

2limx 0

x1 cos x

1 0

1 1 0


x sin2 xx sin3 x

Solucin: Dividiendo entre 2x el numerador y por 3x el denominador y manteniendo externamente estos valores

limx 0

12 Sin2x

2x 2x

13 Sin3x

3x 3x Simplificando las x

limx 0

12 Sin2x

2x 2

13 Sin3x

3x 3 aplicando los teoremas de lmites

1

2 1 2

13 1 3

14


32


sen2xtan3x

Solucin:

limx 0

sen2x2 x 2 x

sen3x3 x

3 xco3x

1 21 3

1

23


x3 1 x4 1

Solucin: Racionalizando por diferencia de cubos, tomando en cuenta que a3 b3 a b a2 a b b2 Haciendo a

x3 y b 1

limx 1

x3 1 1 x13 x23

x4 1 1 x13 x23

limx 1

1 x1 x14 x13 x712 x23 x1112

limx 1

1 x112 x16 x14

1 x112 x16 Reemplazando directamente

43


33


x sen 1x

Solucin: Para resolver este lmite se hace uso del teorema del sndwich. Para ello primero se grafica la funcin f(x)=x sen(1/x)

-1 -0.5 0.5 1

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 30.

La figura es oscilante cerca de cero. Para utilizar el teorema del sndw ich se utilizan funciones g(x)=|x| y h(x)= -|x|

-0.1 -0.05 0.05 0.1

-0.1

-0.05

0.05

0.1

Figura 31.

Calculando los lmites de g y h limx 0

x 0

limx 0

x 0

entonces se concluye que: limx 0

x sen 1x

0


34

2.4 LM ITES INFINITOS.-

Ejemplo: Hallar el lmite limx 0

1x2

Solucin: Trazando la grfica.

0

20

40

60

80

100

120

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 32.

Construyendo una tabla. x f(x)

-1 1 -0.1 100

-0.01 10000 -0.001 1000000

-0.0001 100000000 -0.00001 1E+10

-0.000001 1E+12 0 ?

0.000001 1E+12 0.00001 1E+10

0.0001 100000000 0.001 1000000

0.01 10000 0.1 100

1 1

De la grfica y de la tabla se puede deducir que: limx 0

1x2


35

Ejemplo: Calcular limx

1x2

Solucin: Realizando una tabla

x f(x) 999 1.002E-06

999.9 1.0002E-06 999.99 1E-06

999.999 1E-06 999.9999 1E-06

999.99999 1E-06 999.999999 1E-06

1000 1E-06

1000.00001 1E-06 1000.0001 1E-06

1000.001 1E-06 1000.01 9.9998E-07

1000.1 9.998E-07 1001 9.98E-07

De la tabla se concluye que limx

1x2

0

TEO REMA Para un nmero natural n y una constante k

limx

kxn

0

Ejemplo: Hallar limx

6 x3 6 x2 x 122 x3 x 4

Solucin:

Si se reemplaza directamente le lmite se llega a la indeterminacin , por tanto se

debe eliminar la misma de alguna manera. Y esta es dividir el numerador y denominador por e l trmino con e l exponente mayor que aparezca en e l denominador, en este caso x3 .


36

limx

6x36x2x12x3

2x3x4x3

limx

6 12x3 1x2

6x

2 4x3 1x2

6 0 0 02 0 0

62

3

Ejemplo: Calcular limx

x2 4x 4

Solucin:

limx

x2 4xx 4x

limx

1 4x2

1 4x

1 01 0

1

Ejemplo: Calcular el lmite limx

x3 2x2 x 5x2 5x 4

Solucin:

limx

x3 2x2 x 5x2

x2 5x 4x2

limx

2 5x2

1x x

1 4x2 5x


37

2.5 CONTINUIDAD DE FUNCIONES.-

f(c) no est definida

a bc a bc

lim f(x), no existex->c

a) b)

a bc

lim f(x) = f(c)x->c

c)

Figura 33. Una funcin es continua cuando no hay interrupciones en un punto o en un intervalo. La figura 33 indica en sus tres incisos.

a) La funcin no est definida en x = c. b) No existe el lmite de f(x) en x = c. c) El lmite de f(x) en x = c existe, pero no es igual a f(c).

Si no se dan ninguna de las tres anteriores condiciones, entonces la funcin f e s continua en c .


38

DEFINICI N DE CO NTINUIDAD. Continuidad en un punto: Una funcin es continua en un punto c si se satisfacen las tres condiciones siguientes: 1.- f(c) est definida.

2.- limx c

fx existe.

3.- limx c

fx fc

Continuidad en un intervalo abierto: Una funcin es continua en un intervalo abierto ]a,b[ si es continua en cada punto del intervalo. CLASIFICACI N DE LAS DISCO NTINUIDADES. Discontinuidades removible s o evitable s: Si se puede eliminar la discontinuidad redefiniendo apropiadamente la funcin en el punto de discontinuidad. Discontinuidades no removible s o inevitable s Si es que no se puede eliminar de ninguna manera la discontinuidad.

Ejemplo: Analizar si la funcin fx

x 13 1x es continua. Si no es, determinar

el lmite en los puntos de discontinuidad e indicar si las discontinuidades son evitables o inevitables. Solucin: Primero se realiza la grfica de la funcin

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figura 34.


39

La funcin presenta una discontinuidad en x=0. Luego se determina el dominio, para el rango se debe calcular el lmite cuando x tiende a 0 Dominio: ] - ,0[ ]0, [

limx 0

x 13 1

x Para calcular el lmite se hace la siguiente racionalizacin por diferencia de cubos a3 b3 1 a 1 a a2 a x 13 ; b 1;

limx 0

1 1 x13 1 1 x13 1 x23x1 1 x13 1 x23

lim

x 0x

x 1 1 x13 1 x23 lim

x 01

1 1 x13 1 x23 Reemplazando el valor x=0

limx 0

x 13 1x

13

La discontinuidad es removible definiendo la funcin f0 1

3 La funcin tiene el siguiente lmite cuando x tiende al infinito

limx

x 13 1

x

limx

x 13 1xxx

limx

x 1x3

3 1x3

1


40

limx

1x2

1x3

3 1x3

1

0

1 0

Por tanto tiene una asntota horizontal en el eje x.

Ejemplo: Analizar la continuidad de la funcin fx 1

x 5 Solucin: Primero se realiza la grfica de la funcin

4.5 5 5.5 6

-100

-75

-50

-25

25

50

75

Figura 35. La funcin presenta una discontinuidad en x=5 y no es removible. En ese punto tiene una asntota vertical. Calculando el lmite cuando x tiende al infinito se encuentra una asntota horizontal en el eje x.


41

CAPTULO III

LA DERIVADA

3.1 DEFINICIN DE DERIVADA.- Para explicar geomtricamente la derivada se muestra lo que sucede con una recta secante a una curva, que se va aproximando cada vez mas hasta volverse la tangente a la curva en un punto P. La ecuacin de una recta dada su pendiente m y un punto (x1, y1) por el que pasa est dada por

y = m(x-x1) + y1

donde m y2 y1

x2 x1

x

y

x

y

Figura 36.


42

Figura 37.

La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos Q y P est dada por

msec fc h fc

h

Mientras mas cerca est el punto Q del punto P, la secante se ir acercando a la tangente. Por tanto la pendiente de la tangente estar dada por la ecuacin.

m limx 0

yx

limh 0

fc h fch

La recta que pasa por (c,f(c)) y tiene pendiente m es la recta tangente a la funcin f en el punto (c,f(c)). Definicin de derivada de una funcin La derivada de una funcin f (x) viene dada por

f'x limh 0

fx h fxh

siempre que el lmite exista. El proceso de encontrar la derivada se llama derivacin. La notacin anterior se lee f prima de x , adems existen las siguientes notaciones para la derivada de y=f(x).

f'x,dydx

, y',ddx

fx, Dxy


43

Ejemplo: Calcular la derivada de la funcin y = f(x) = x2 + 1. Solucin: f'x lim

h 0fx h fx

h

f'x limh 0

x2 h x2

h

f'x limh 0

h2 2 h xh

f'x lim

h 0h 2 x

f'x 2 x Ejemplo: Encontrar la ecuacin de la recta tangente a la funcin y = f(x) = x3-2x2-5x+6 en el punto (-1.5, 5.625). Solucin: Aplicando la definicin de pendiente. m lim

h 0fx h fx

h

m limh 0

h x3 2 h x2 5 h x 6 x3 2 x2 5 x 6h

m limh 0

5 h 2 h2 h3 4 h x 3 h2 x 3 h x2

h m lim

h 05 h2 4 x 3 x2 2 h 3 h x

m 3 x2 4 x 5

Ahora se reemplaza el valor de x = -1.5 m 7.75

La ecuacin de la recta tangente en el punto ( -1.5, 5.625) ser

y 7.75x 1.5 5.625


44

La grfica de la funcin original ms la recta tangente es

-3 -2 -1 1 2 3 4

-20

-10

10

20

30

40

50

Figura 38.

La siguiente grfica muestra la funcin original y su derivada en todos los puntos del intervalo, para el anterior ejemplo.

-3 -2 -1 1 2 3 4

-20

-10

10

20

30

Figura 38. La funcin y la derivada

-3 -2 -1 1 2 3 4

-20

-10

10

20

30

40

50

Figura 39. G rfica de la funcin, la derivada y la tangente en un punto


45

La derivada da la ecuacin de todas las pendientes de las tangentes a todos los puntos de la funcin dentro del intervalo considerado. As en la figura 39, la curva roja es la funcin original, la curva verde es la derivada y la recta azul es la tangente en un punto particular (-1.5, 5.625). Ejemplo: Hallar la derivada de la funcin y = f(x) = sin x Solucin: f'x lim

h 0senx h sen x

h lim

h 0cos x sen h cos h sen x sen x

h lim

h 0cos x sen h sen x 1 cos h

h lim

h 0cos x sen h

h sen x 1 cos h

h

cos x lim

h 0sen hh

sen x limh 0

1 cos hh

cos x 1 sen x 0

cos x

Ejemplo: Hallar la derivada de la funcin y = f(x) = cos x Solucin: f'x lim

h 0cosx h cos x

h lim

h 0cos x cos h sen h sen x cos x

h lim

h 0cos x cos h 1 sen h sen x

h lim

h 0cos x cos h 1

h sen x sen h

h

cos x lim

h 01 cos h

h sen x lim

h 0sen hh

cos x 0 sen x 1 sen x


46

Ejemplo: Hallar la derivada de y = f(x) = c, donde c es una constante. Solucin: f'x lim

h 0fx h fx

h f'x lim

h 0c ch

f'x lim

h 00h

f'x lim

h 00

f'x 0 3.2 REGLAS BSICAS DE DERIVACIN.- 3.2.1 DERIVADA DE UNA CO NSTANTE.- Si c es una constante. ddx

c 0

3.2.2 DERIVADA DE PO TENCIAS.- ddx x

n n xn1

3.2.3 DERIVADA DE UNA FUNCI N MULTIPLICADA PO R UNA CO NSTANTE.- ddx c f x c f ' x

3.2.4 DERIVADA DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA.- ddx f x g x f ' x g' x

ddx f x g x f ' x g' x


47

3.2.5 DERIVADA DEL PRO DUCTO .- ddx f x g x f x g ' x g x f ' x

3.2.5 DERIVADA DEL CO CIENTE.- ddx

f xg x

g x f ' x f x g ' xg x2 , g x 0

3.2.6 REG LA DE LA CADENA.- Si y=f(u) es una funcin de u y adems u=g(x) es una funcin derivable de x, entonces y=f(g(x)) es una funcin derivable de x, resulta que dydx

dydu

dudx

en forma equivalente ddx f g x f ' g x g ' x

3.2.7 REG LA G ENERAL DE LAS PO TENCIAS.- Es un caso particular de la regla de la cadena. dydx nu x

n1 dudx

en forma equivalente ddx u

n n un1 u '

3.2.8 DERIVADA DE LAS FUNCIO NES TRIG O NO MTRICAS.- ddx sen x cos x

ddx cos x sen x

ddx tan x sec

2 x


48

ddx cot x cosec

2 x

ddx sec x sec x tan x

ddx cosec x cosec x cot x

3.2.9 DERIVADA DE LAS FUNCIO NES EXPO NENCIALES.- ddx e

x ex

ddx a

x ax ln a

3.2.10 DERIVADA DE LAS FUNCIO NES LO G ARTMICAS.- ddx ln x

1x

ddx log x

1x ln10

ddx log b x

1x ln b


49

Ejemplo: Hallar la derivada de fx x

Solucin: Se puede escribir de la siguiente manera fx x

12

aplicando la regla de las potencias f'x 1

2x

12 1

f'x 1

2x

12

lo que se puede escribir tambin como f'x 1

2 x

Ejemplo: Hallar la derivada de fx cos 4x

x2 1

Solucin: Se debe derivar primero la funcin exterior que es el coseno y luego la parte interna como cociente. f'x sen 4x

x2 1

ddx

4xx2 1

f'x sen 4xx2 1

x2 1 d

dx4x 4x d

dxx2 1

x2 12

f'x sen 4xx2 1

x2 1 4 4x 2x

x2 12

f'x 4 x2 11 x22

sen 4 xx2 1


50

Ejemplo: Hallar la derivada de fx x sen x Solucin: Se debe derivar como producto. f'x x d

dxsen x sen x d

dx x

f'x x cos x sen x

Ejemplo: Hallar la derivada de fx x 23x2 4

Solucin: Para realizar esta derivada se debe bajar de alguna manera el exponente, para ello se utiliza las propiedades de los logaritmos.

Si se tiene una expresin ab se puede utilizar ab ln ab blna que es la

misma expresin. Por tanto,

fx 3 x24 Ln x2 Derivando resulta, f'x 3x2 4 Lnx 2 d

dx3x2 4 Lnx 2

f'x 3x2 4 Lnx 2 3x2 4 d

dxLnx 2 Lnx 2 d

dx3x2 4

f'x 3x2 4 Lnx 2 3x2 4

x 2 6x Lnx 2

Se puede reagrupar y simplificar los trminos de e y de Ln en la primera expresin. Con lo que resulta finalmente.

f'x x 23x24

3 x2 4x 2

6 x Ln x 2


51

Ejemplo: Hallar dy/dx de y v

2 21 v , pero tambin v 1 x

2

Solucin: Para este tipo de funciones compuestas o funciones de funciones se utiliza la regla de la cadena. dydx

dydv

dvdx

dydv

2 2 v v2

v 12 dvdx

2 x

entonces dy/dx ser dydx

2 2 v v2

v 122 x

reemplazando el valor de v(x) resulta dydx

2 1 x4

x3 Tambin pudo solucionarse de otra forma, reemplazando la funcin v(x) en y(v) antes de derivar. dydx

ddx

2 1 x22

x2

dydx

2 1 x4

x3


52

3.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.- Se obtienen al derivar mas de una vez una funcin, as habr derivadas de segundo, tercer, cuarto, etc., orden. La tercera derivada es la derivada de la segunda, la segunda derivada es la derivada de la primera. La notacin para las derivadas de orden superior es la siguiente:

Primera derivada: y', f'x, dy

dx, d

dxfx, Dxy

Segunda derivada: y'', f''x, d

2ydx2

, d2

dx2fx, Dx2y

Tercera derivada: y''', f'''x, d

3ydx3

, d3

dx3fx, Dx3y

Cuarta derivada: y4, f4 x, d

4ydx4

, d4

dx4fx, Dx4y

n- sima derivada: y n, f n x, d

nydxn

, dn

dxnfx, Dxny

Ejemplo: Hallar la tercera derivada de fx 5x

3 4x2 2 1 Solucin: f'x 15 x2 8 x f''x 30 x 8 f'''x 30 Ejemplo: Hallar la segunda derivada de fx sen x Solucin: f'x cos x f''x sen x


53

3.4 DERIVACIN IM PLCITA.- Una funcin est en forma explcita cuando y es claramente una funcin de x, y=f(x). Como en y = 5 x2 3. Pero algunas funciones pueden estar enunciadas de una manera implcita como en la siguiente ecuacin. x2 6 y2 +y =12 Para derivar este tipo de funciones es necesario utilizar la siguiente tcnica.

1) Se derivan normalmente las expresiones que tienen x como ddx

5x2 10 x

2) Para las expresiones que estn en funcin de y se utiliza la regla de la cadena ddx

8y3 24 y2 dydx

3) Se factorizan, posteriormente, todas las expresiones dydx y se despeja.

Ejemplo: Encontrar dy/dx de y

3 2y2 8y x2 6 Solucin: ddx

y3 ddx

2y2 ddx

8y ddx

x2 ddx

6

3 y2 dy

dx 4 y dy

dx 8 dy

dx 2 x 0

factorizando dy/dx dydx

3 y2 4 y 8 2 x 0

despejando dy/dx dydx

2x

3 y2 4 y 8


54

3.5 DETERM INACIN DE M XIM OS Y M NIM OS.- Una funcin tiene extremos que pueden ser mximos o mnimos y estos son los puntos mas altos o los mas bajos dentro de un intervalo. Para encontrar estos extremos se recurre a la derivada. La derivada es la ecuacin de la pendiente de la tangente a cualquier punto de una funcin, por tanto cuando haya un extremo esa pendiente ser cero.

-4 -2 2 4

-20

-10

10

Figura 40. Por tanto para encontrar esos extremos se debe igualar la derivada a cero y despejar de ah l o los valores de x. Criterio de la primera derivada.- Del anterior ejemplo se puede deducir que es fcil determinar cuando se tiene un mximo o un mnimo teniendo la grfica de la funcin, pero tiene que haber una manera analtica que permita determinar esto mismo, sin necesidad de realizar la grfica de la funcin. A este procedimiento se conoce como criterio de la primera derivada. Consiste en analizar si la pendiente es positiva o negativa. Si el extremo est entre una pendiente negativa y otra positiva, entonces se tiene un mnimo. Y si el extremo est entre una pendiente positiva y otra negativa, entonces se tiene un mximo. Si se tiene un valor extremo en un punto c de un intervalo abierto, tal que a


55

Ejemplo: Determinar los valores mximos y mnimos de la funcin f(x) = x3-2x2-5x+6 Solucin: Es conveniente realizar la grfica de la funcin, y en este caso est representada por la figura 40. Derivando la funcin f'x 3 x2 4 x 5 Igualando a cero 3 x2 4 x 5 0 Resolviendo la ecuacin x1

132 19 0.7862996478468913`

x2

132 19 2.1196329811802244`

Realizando una grfica a igual escala se aprecian mejor los mximos y mnimos


56

-2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

6

8

Figura 41. Reemplazando los valores de x1 y de x2 en la funcin original se encuentran los mximos y mnimos. Mximo f0.7863 8.2088 Mnimo f2.1196 4.0607


57

Ejemplo: Encontrar el valor de a que maximiza el ngulo mostrado en la figura. Cul es el valor aproximado de este ngulo?

99

032 49 3

6

a0 10

Figura 42. Solucin: ArcTan 3

a; ArcTan 6

10 a; ;

ArcTan 6

10 a ArcTan 3

a

Derivando respecto de a e igualando a cero

61 36

10 a 2 10 a2

31 9a2 a

2 0

Realizando operaciones.

3 118 20 a a2

9 a2 136 20 a a2 0

a2 20 a 118 0 Resolviendo la ecuacin de segundo grado a1 10

218 4.7648 a2 10

218 24.7648 Se descarta este valor por no tener sentido La respuesta es a = 4.7648 y el ngulo es = 98.9106


58

Ejemplo: Un rectngulo est delimitado por el eje x y el semicrculo y 25 x2 .Qu

largo y ancho debe tener el rectngulo de manera que su rea sea un mximo?

(x,y)

y= 25-x^2

Figura 43.

Solucin: La mitad del rectngulo tiene un rea de xy. y 25 x2 ; Am x y; Am x 25 x2 Derivando el rea respecto de x e igualando a cero.

x2

25 x2 25 x2 0

25 2 x2 25 x2

0

x 5 2 reemplazando en y y 5 2 Como solo se consider la mitad del rea la longitud x se debe multiplicar por 2. x 2 5 2 5 2 Y finalmente el rea ser A 2x y

A = 25


59

3.6 CONCAVIDAD.- La concavidad se presenta de dos maneras: Concavidad hacia arriba y hacia abajo. La concavidad hacia abajo se presenta cuando las tangentes a la grfica se encuentran por encima y la concavidad hacia arriba cuando las tangentes a la grfica se encuentran por debajo.

-2 2 4

-20

-10

10

20

30

40

-2 2 4

-20

-10

10

20

30

40

-2 2 4

-20

-10

10

20

30

40

Figura 44. Tangente s por encima.

-2 2 4

-20

-10

10

20

30

40

-2 2 4

-20

-10

10

20

30

40

-2 2 4

-20

-10

10

20

30

40

Figura 45. Tangente s por debajo. Existe un punto en el que la grfica pasa de cncava hacia abajo a cncava hacia arriba y viceversa. Este punto se llama punto de inflexin.

Figura 46. Para determinar el punto de inflexin se hace uso de la segunda derivada f (c)=0 y por


60

tanto c ser el punto de inflexin. Criterio de la segunda derivada.- Si se tiene un valor extremo en un punto c tal que f (c)=0 entonces.

1) Si f (c)>0 , entonces f tiene un mnimo relativo en (c,f(c)). 2) Si f (c)


61

Para la recta tangente en el punto de inflexin, lo primero es calcular la pendiente en ese punto. m f'2 323 123 9 3

y la ecuacin de la recta tangente es y 3x 2 3 Para la perpendicular a la tangente se utiliza la pendiente recproca y cambiada de signo. yp

13x 2 3

-1 1 2 3 4

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Figura 48.


62

CAPTULO IV

INTEGRACIN

4.1 DEFINICIN .- La integracin es el proceso inverso de la derivacin. As si se tiene la siguiente funcin: f(x)= 2 x3 la derivada de esta funcin es f (x) = 6 x2 por tanto el proceso

f (x) = 6 x2 f(x)= 2 x3

se llama integracin , y este proceso reproduce perfectamente la funcin original. Pero esto no siempre es as, ya que si se tiene la funcin f(x)= 8 x2 + 5 la derivada de esta funcin es f (x) = 16 x , si se hace el proceso inverso

f (x) = 16 x f(x)= 8 x2 + C En el proceso de restituir la funcin original aparece una constante, que se llama constante de integracin, debido a que no se puede saber, sin tener mas datos, cual era el valor de la constante (en este caso era 5) que al derivarse desapareci y se volvi cero, por tanto no se tiene ms informacin sobre este valor. Es por eso que se debe introducir la constante de integracin C que puede tomar cualquier valor. La notacin para indicar este proceso es la siguiente:

f x x F x C

El smbolo de integracin

viene de una S alargada y la S es por suma. Esto se explicar posteriormente.

INTEG RACI N

INTEG RACI N

Variable de Inte gracin

Inte grando

Primitiva o antiderivada


63

Reglas bsicas de integracin .-

1.- ddx

fx dx fx la derivada es la inversa de la integracin

2.- 0x C

3.- kx k x C

4.- k fx x k fx C

5.- fx gx x fx x gx x

6.- xnx

xn 1

n 1 C, n 1

regla de las potencias

7.- gx n g'x x

gx n 1

n 1 C, n 1

8.-

1xx ln x C

9.-

f'xfx

x ln fx C

10.- axx

1ln a

ax C para a>0

11.- exx ex C

12.- e xx e x C

13.- cos xx sen x C

14.- sen xx cos x C


64

15.- tan xx ln cos x C

16.- sec 2xx tan x C

17.- sec x tan x x sec x C

18.- csc 2x x cot x C

19.- csc x cot x x csc x C

20.- cot x x ln sen x C

21.- sec x x ln sec x tan x C

22.-

1x2 a2

x 1aarctan x

a C

23.-

1 a2 x2

x arcsen xa

C

24.-

1

x x2 a2 x 1

aarcsec x

a C

Ejemplo: Hallar la antiderivada de 6x2 2x + 9 Solucin: Aplicando la regla 6 6x2 2x 9 x 6x2 x 2x x 9x

6 x2x 2 xx 9 x

aplicando las propiedades 3 y 6

6 x3

3 2 x

2

2 9x C

2 x3 x2 9 x C


65

Ejemplo: Hallar la antiderivada de sen3x cos x Solucin: sen3 x cos xx

Haciendo g(x) = sen x, entonces g(x) = cos x dx. Aplicando la regla 7

sen3 x cos xx sen4x

4 C

Ejemplo: Hallar la antiderivada de 2x

x2 1 Solucin:

2x

x2 1x

Haciendo f(x) = x2 1 , entonces f (x)=2 x Aplicando la regla 9

2x

x2 1x ln x2 1 C


66

4.2 TCNICAS DE INTEGRACIN .- 4.2.1 INTEG RACI N PO R PARTES.- Esta tcnica se deduce de la regla de derivacin de un producto. ddx

fx gx fx ddx

gx gx ddx

fx

ddx

fx gx fx g'x gx f'x

Integrando ambos miembros de la ecuacin

ddx

fx gx x fx g'x x gx f'x x

fx gx fx g'x x gx f'x x

Despejando, resulta la frmula de la integracin por partes

f x g ' x x f x g x g x f ' x x

Esta tcnica se aplica generalmente a la integracin de dos productos. Y su xito radica en elegir adecuadamente cul de las funciones ser f(x) y cul ser g(x). Ejemplo: Hallar la antiderivada de x sen x Solucin: x sen xx

Se elige f(x) = x , g(x) = sen x por tanto se debe calcular f (x) y g(x) f 'x d

dxx 1

gx g'x x sen x x cos x

en la anterior etapa todava no se aade la constante de integracin. Reemplazando en la frmula de la integracin por partes resulta x sen xx x cos x cos x 1 x x cos x cos xx

x sen xx x cos x sen x C


67

Ejemplo: Hallar la antiderivada de x ex Solucin: xxx

Se elige f(x) = x , g(x) = ex por tanto se debe calcular f (x) y g(x) f 'x d

dxx 1

gx g'x x x x ex

Reemplazando en la frmula de la integracin por partes resulta x xx x x xx

x xx x x x C

Ejemplo: Hallar la antiderivada de x ex , pero utilizando otra eleccin para f(x) y g(x). Solucin: Se elige f(x) = ex , g(x) = x por tanto se debe calcular f (x) y g(x) f 'x d

dxx x

gx g'x x x x x2

2 Reemplazando en la frmula de la integracin por partes resulta

x xx xx2

2

x2

2xx

Como se puede apreciar, se presenta una integral ms complicada que la original. Esto debido a que la eleccin para f(x) y para g(x) no es la correcta. Este ejemplo muestra que una eleccin incorrecta puede complicar la integral, en lugar de ayudar a resolverla.


68

Ejemplo: Hallar la antiderivada de x2 ex Solucin: x 2xx

Se elige f(x) = x2 , g(x) = ex por tanto se debe calcular f (x) y g(x) f 'x d

dxx2 2 x

gx g'x x xx x

Reemplazando en la frmula de la integracin por partes resulta x 2xx x 2x 2x xx x 2x 2 x xx

Esta expresin se calcul antes x 2xx x 2x 2x x x C

x 2xx x 2 2 x x2 C

Ejemplo: Hallar la antiderivada de sen x ex Solucin: sen x xx

Se elige f(x) = sen x , g(x) = ex por tanto se debe calcular f (x) y g(x) f 'x d

dxsen x cos x

gx g'x x xx x

Reemplazando en la frmula de la integracin por partes resulta sen x xx sen x x cos x xx

Ahora se calcula la expresin utilizando tambin la integracin por partes, haciendo f(x) = cos x , g(x) = ex f 'x d

dxcos x sen x

gx g'x x xx x


69

Reemplazando en la frmula de la integracin por partes resulta cos x xx cos x x sen x xx cos x x sen x xx

Reemplazando en la expresin original sen x xx sen x x cos x x sen x x x

sen x xx sen x x cos x x sen x x x

Existen dos expresiones iguales con signo opuesto a ambos lados de la ecuacin, por tanto se puede trasladar a un solo lado los trminos semejantes, en este caso a la izquierda y resulta: sen x xx sen x xx sen x x cos x x

2 sen x xx sen x x cos x x

Despejando sen x xx

sen x xx x2

sen x cos x C

Ejemplo: Hallar la antiderivada de ln x. Tambin comprobar el resultado derivando. Solucin: ln xx

Se elige f(x) = ln x , g(x) = dx por tanto se debe calcular f (x) y g(x) f'x d

dxln x 1

x gx g'x x x

Reemplazando en la frmula de la integracin por partes resulta

ln xx x ln x x1xx x ln x 1x

ln xx x ln x x C


70

Comprobacin: ddx

x ln x x C ddx

x lnx ddx

x ddx

C

x ddx

ln x ln x ddx

x ddx

x ddx

C

x 1x ln x 1 0

1 lnx 1 ln x

4.2.2 CAMBIO DE VARIABLE.- Esta tcnica de integracin se aplica a expresiones de la siguiente forma: fgx g'x x

llamando u gx derivando respecto de x dudx

g'x

despejando du du g'x dx reemplazando en la expresin original fu u

La nueva expresin est en funcin de la variable u y ,generalmente, es ms sencilla que la expresin original.


x2 5 Solucin:

2x

x2 5x

Haciendo u x

2 5 Derivando respecto de x dudx

2x

Despejando du du 2x dx


71

Reemplazando en la expresin original

2x

x2 5x

uu

La expresin

uu es mucho mas sencilla que la original y se puede integrar

inmediatamente.

uu

ln u C

Luego se reemplaza u x

2 5

2x

x2 5x ln x2 5 C

Ejemplo: Hallar la antiderivada de x

x 1 Solucin: x

x 1 x

Haciendo u = x-1, entonces du = dx pero tambin x = u+1 reemplazando en la expresin original x

x 1 x u 1 u u

u

u u u u

u

32 u u

12 u

2 u32

32 u52

5 C

pero u=x-1

x x 1 x

23x 1

32 2

5x 1

52 C


72

Ejemplo: Hallar la antiderivada de

6 x5 x

Solucin:

6 x5 x

x

Haciendo u2 x, entonces 2u du dx

6 u5 u

2u u 26u u2

5 u u

dividiendo 6u u2

5 u u 11u

u 5

26u u2

5 uu 2 u u 22

uu 5

u

Calculando la nueva integral. Llamando v = u+5 entonces dv = du y u = v 5

u

u 5 u

v 5v

v vv v 5

1vv v 5

1v v v 5ln v

reemplazando v = u+5

u

u 5 u u 5 5ln u 5

entonces

26u u2

5 uu u2 22u 110 110ln u 5 C1

C=C1+110 La constante C1 se suma al otro valor constante 110 y se forma la constante final C. Reemplazando u

x

6 x5 x

x x 22 x 110 ln x 5 C


73

Ejemplo: Hallar la antiderivada de ln xx

2

Solucin:

ln xx

2 x

Haciendo el cambio de variable x

y; dx ydy; y ln x , reemplazando resulta

ln xx

2 x

yy

2y y

y y2 y

Integrando por partes, con la frmula fy g'y y fy gy gy f'y y

Se elige f(y) = y2 , g(y) = e -y por tanto se debe calcular f (y) y g(y) f'y 2y; gy y y y2 y yy2 y2y y yy2 2 y yy

y yy

Integrando nuevamente por partes, se elige f(y)= y, g(y)=e y , por tanto se debe calcular f (y) y g(y) f'y dy; gy y y yy y y y y y y yy y y y

Reemplazando en las previas y y2 y yy2 2y y 2 y

Pero y = ln x

ln xx

2 x ln

2xx

2 lnxx

2x

C


74

4.2.3 INTEG RACI N DE FRACCIO NES RACIO NALES.- Una fraccin racional es aquella en la que el numerador y denominador estn formados por funciones racionales enteras. Lo primero que debe hacerse con una fraccin racional es verificar que el grado del numerador sea menor que el grado del denominador, caso contrario se debe dividir las dos expresiones para obtener una expresin mixta. Luego es necesario descomponer en fracciones parciales. Una fraccin racional puede descomponerse de acuerdo al denominador en los siguientes cuatro casos: a) Factores lineale s distintos

A1x a1

A2

x a2 ... An

x an b) Factores lineale s repe tidos

A1x a1

A2

x a12 ... An

x a1 n c) Factores cuadrticos distintos

A1x B1a1x2 b1x c1

A2x B2

a2x2 b2x c2 ... Anx Bn

anx2 bnx cn e ) Factores cuadrticos repe tidos

A1x B1a1x2 b1x c1

A2x B2

a1x2 b1x c12 ... Anx Bn

a1x2 b1x c1 n

Ejemplo: Hallar la antiderivada de 8

x3 4x Solucin:

8

x3 4xx

El denominador puede descomponerse en x3 4x x x 2 x 2 por tanto de acuerdo a los cuatro casos de fracciones parciales se ve que existen factores lineales distintos, por tanto

8x3 4x

8

x x 2 x 2A1x

A2x 2

A3x 2

8 A1x 2 x 2 A2xx 2 A3xx 2 8 4 A1 x2 A1 2 x A2 x2 A2 2 x A3 x2 A3 Igualando los coeficientes correspondientes


75

8 0x 0x2 4 A1 2 A2 A3 x A1 A2 A3 x2 4 A1 82 A2 A3 0A1 A2 A3 0 Resolviendo el sistema resulta: A1 2, A2 1, A3 1

8

x3 4xx

2x

x 1

x 2x

1x 2

x

8

x3 4xx 2 ln x ln x 2 ln x 2 C

Ejemplo: Hallar la antiderivada de 2x2 4x 9

x3 7 x2 15 x 9 Solucin:

2x2 4x 9

x3 7 x2 15 x 9x

El denominador puede descomponerse en x3 7 x2 15 x 9 x 1 x 32 Tiene un factor lineal distinto y dos factores lineales repetidos, por tanto

2x2 4x 9x3 7 x2 15 x 9

2x2 4x 9

x 1 x 32

A1x 1

A2x 3

A3

x 32 Encontrando A 1, A2 y A3 A1

74; A2

14; A3

152

2x2 4x 9

x3 7 x2 15 x 9x

74 x 1

x 1

4 x 3x

152 x 32

x

2x2 4x 9

x3 7 x2 15 x 9x

74 ln x 1

14 ln x 3

152 x 3 C


76


x3 8 Solucin:

6x

x3 8x

El denominador puede descomponerse en x3 8 x 2 4 2 x x2 Tiene un factor lineal distinto y un factor cuadrtico, por tanto 6x

x3 8

6xx 2 4 2 x x2

A1x 2

A2x B24 2 x x2

A1 1; A2 1; B2 2

6x

x3 8x

1x 2

x 2 x

4 2 x x2 x

6x

x3 8x ln x 2

2 x4 2 x x2

x C

2 x4 2 x x2

x 2 x

x 12 3x

completando al cuadrado el denominador realizando el cambio de variable u x 1; du dx; x u 1

2 x

x 12 3x

2 u 1u2 3

u 3 uu2 3

u 3

u2 3u

uu2 3

u

Utilizando las propiedades 9 y 22

3

u2 3u

uu2 3

u 3 ArcTan u 3

12ln 3 u2

reemplazando u = x +1

6x

x3 8x ln x 2 3 ArcTan

x 1 3

12 ln 4 2 x x

2 C


77

Ejemplo: Hallar la antiderivada de x2 x 3

x4 6x2 9 Solucin:

x2 x 3

x4 6x2 9x

El denominador puede descomponerse en x4 6x2 9 x2 32 Tiene dos factores cuadrticos repetidos, por tanto x2 x 3

x4 6x2 9x2 x 3x2 32

A1x B1x2 3

A2x B2x2 32

x2 x 3 3 x A1 x3 A1 x A2 3 B1 x2 B1 B2 x2 x 3 A1x3 B1x2 3 A1 A2 x 3 B1 B2 Igualando los coeficientes correspondientes A1 0B1 13 A1 A2 13 B1 B2 3 Resolviendo el sistema A1 0; B1 1; A2 1; B2 0

x2 x 3

x4 6x2 9x

ArcTan x 3 3

x

x2 32 x

Haciendo el cambio de variable u x2 3; du 2x dx; entonces x dx du

2 Reemplazando

x

x2 32 x

12u2

u 12

1u2

u 12

1u

12u

pero u x2 3

x

x2 32 x 1

2x2 3

x2 x 3

x4 6x2 9x

ArcTan x 3 3

1

2 x2 3 C


78

4.2.4 INTEG RACI N PO R SUSTITUCI N TRIG O NO MTRICA .- Mediante esta tcnica se pueden evaluar integrales que contienen radicales del tipo: a2 x2 , a2 x2 , x2 a2 Mediante sustituciones de identidades trigonomtricas y de las identidades pitagricas, se elimina el radical. Es muy conveniente utilizar un tringulo rectngulo para ubicar en l las distintas expresiones, siempre que sea posible.

Ejemplo: Evaluar la integral

x2 25 x2

x

Solucin: De acuerdo al integrando, se utiliza el siguiente tringulo

Figura 49. De la figura 49 se deduce que sen x

5 por tanto x 5 sen , dx 5 cos d reemplazando en la expresin original resulta

25 sen2

25 25 sen25 cos

simplificando y utilizando la identidad trigonomtrica 1 sen2 cos , resulta

25 sen2

Para evaluar la anterior integral se utiliza las siguientes identidades trigonomtricas: sen2 1 cos2 1 1

2cos 2 1 1

212cos 2


79

25 sen2 2512

14sen 2

pero Arcsen x

5 , ademas sen 2 2sen cos de acuerdo al tringulo

sen 25 x2

5 cos x

5 por tanto

sen 2 2 25 x2

5x5

finalmente

x2

25 x2x

252 Arcsen

x5

12 x

25 x2 C

Ejemplo: Evaluar la integral 1 4x2 x

Solucin: Se utiliza una sustitucin trigonomtrica, de acuerdo al tringulo

Figura 50.


80

tan 2x dx 1

2sec2 d

1 4x2 1 tan2 sec Reemplazando en la expresin original

sec 12sec2

12 sec3

Para evaluar la anterior expresin se debe recurrir a identidades trigonomtricas

sec3 1

cos3

sen2 cos2cos3

sen2cos3

1

cos

Ahora se evala la integral

sen2cos3

sen sen cos3

En esta ltima parte se utiliza el mtodo de integracin por partes, haciendo u sen ; du cos d dv sen

cos3d ; v

sen cos3

dcos cos3

1

2 cos2 Reemplazando

sen sen cos3

sen 2 cos2

cos 2 cos2

sen 2 cos2

12

1cos

Reemplazando en la expresin de color azul

sec3 sen 2 cos2

12

1cos

1

cos

sec3 sen 2 cos2

12

1cos

Ahora de acuerdo a la regla de integracin 21


81

1

cos sec ln sec tan

por tanto

sec3 sen 2 cos2

12ln sec tan

utilizando identidades trigonomtricas y multiplicando por 1/2 12 sec3

14tan sec 1

4ln sec tan

ahora se debe reemplazar los equivalentes trigonomtricos, utilizando el tringulo de la figura 51

1 4x2 x x2

1 4x2 14 ln

1 4x2 2x C

Ejemplo: Evaluar la integral

13 sen2 sen cos cos2

Solucin: Se hace el cambio de variable trigonomtrico de la siguiente manera tan u ArcTan u d du

u2 1 sen u u2 1

cos 1 u2 1

1

3

u u2 1

2 u u2 1

1 u2 1

1 u2 1

2 1

u2 1 u

realizando operaciones algebraicas

1

3 u2 u 1u

completando al cuadrado el denominador

1

3 u 36

2 1112

u


82

haciendo el cambio de variable

3 u 36

t du 1 3dt

1

3

1t2 1112

dt

utilizando la regla de integracin 22 resulta

1 3

1

t2 1112dt 1 3

1

112 3

ArcTan

t 112 3

2

11ArcTan

2 3 t 11

reemplazando t 3 u

36

1

3 u 36

2 1112

u 2 11ArcTan

2 3 3 u 36

11

1

3 u 36

2 1112

u 2 11ArcTan

6u 1 11

reemplazando u tan

1

3 sen 2 sen cos cos 2 2

11ArcTan

6tan 1 11

C


83

4.3 INTEGRAL DEFINIDA.- 4.3.1 DEFINICI N.-

Si se tiene una funcin f que es continua y se tiene fx x Fx C

entonces la integral definida en un intervalo cerrado [a , b] es:

a

bf x x F b F a

La expresin anterior se llama el teorema fundamental de l clculo. La constante de integracin C desaparece. Si a y b son nmeros entonces el resultado de la integral definida es tambin un nmero, pero si a o b son expresiones algebraicas, entonces el resultado de la integral definida tambin ser una expresin algebraica.

Ejemplo: Evaluar la integral definida 2

3x3 2x2 x 5 x

Solucin:

2

3x3 2x2 x 5 x x

4

423x3 x

2

2 5x

3

2

34

42333 3

2

2 53

24

42323 2

2

2 52

1312

Ejemplo: Evaluar la integral definida 0

2 sen3x cos xx

Solucin: Haciendo el cambio de variable u = sen x, entonces du = cos x dx

u3u u4

4 C

sen4x

4 C

0

2

sen4 2

4 C sen

404

C 14


84

4.3.2 PRO PIEDADES Y TEO REMAS.-

1.- a

afx x 0

2.- a

bfx x

b

afx x

3.- Si se tiene un intervalo cerrado [a, b], [a, c] y [c, b] donde a


85

Figura 52.

La integral definida se puede interpretar como la suma de las reas de pequeos rectngulos, de altura f(x) y de ancho dx . Y cuntos rectngulos se consideran?. Pues se consideran infinitos rectngulos, ya que dx tiende a cero.

Area limx

i1

nf xi x


86

Ejemplo: Hallar el rea definida por la regin debajo de la curva f(x) = x2 , el eje x desde los lmites x = 0 hasta x = 1 Solucin:

Figura 53.

Area 0

1x2x 1

3 Ejemplo: Hallar el rea definida por la curva fx x

3 2x2 5x 6 , el eje x y las ordenadas x = -3, x = 3 Solucin:

Figura 54.


87

Analizando los cruces de la curva con el eje x se observa que: x3 2x2 5x 6 0 x 3 x 1 x 2 0 Existen tres regiones, una que va de x =-3 hasta x =-2, otra de x =-2 hasta x =1 y la ltima de x =1 hasta x =2. La primera y la tercera regiones darn un resultado negativo para el rea, por tanto se debe hallar el rea total sumando los valores absolutos de las reas de los tramos. Area1

3

2x3 2x2 5x 6 x 125

12 Area2

2

1x3 2x2 5x 6 x 63

4 Area3

1

3x3 2x2 5x 6 x 16

3

Area Area1 Area2 Area3 12512

634

163

632


88

Ejemplo: Hallar el rea definida por la interseccin de las curvas fx x2 4x 3 y

gx x2 2x 3 Solucin:

Figura 55. Para hallar los puntos de interseccin de las dos curvas se iguala sus ecuaciones. x2 4x 3 x2 2x 3 2 x2 6 x 0 cuyas races son x 0; x 3 Por tanto para calcular el rea se debe utilizar un rectngulo elemental como el mostrado en la figura 56. La parte superior del rectngulo es la funcin g(x) y la parte inferior es la funcin f(x), por tanto la altura de este rectngulo es g(x)- f(x) y el ancho es dx


89

Figura 56.

Area

0

3x2 2x 3 x2 4x 3 x

Area

0

36 x 2 x2 x

Area 9


90

4.3.4 TEO REMA DEL VALO R MEDIO .- Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces existe un nmero c en el intervalo cerrado [a, b] de modo que

a

bf x x f c b a

Figura 57.

El valor de f(c) recibe el nombre de valor medio de f en el intervalo [a, b], por tanto:

fc 1

b a

a

bfx x

Ejemplo: Hallar el valor medio de fx 3x3 x2 10x , en el intervalo [-2, 2], e

indicar a que valor de c. Solucin:

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

Figura 58.


91

fc 12 2

2

23x3 x2 10x x

f c 43

-2 -1 1 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

Figura 59. Para encontrar c se debe igualar f(c) = f(x) y resolver la ecuacin 3x3 x2 10x 4

3 3x3 x2 10x 4

3 0

x 1.73524, x 0.132278, x 1.93629 Ejemplo: Hallar el valor medio de f(x)= sen x , en los intervalos cerrados : a) [0, 2] , b) [0, ] Solucin:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7

Figura 60.


92

La funcin seno est acotada entre 1 y 1. Como puede verse en la figura 60, en el intervalo de [0, 2] el valor medio sera 0. Esto se prueba a continuacin.

a) [0, 2] fc 1

2 0

0

2 sen x x

fc 0 b) [0, ] fc 1

0

0

sen x x

fc 2

0.6366

Es posible realizar una comprobacin del resultado del inciso b) mediante una tabla en la que se dan valores de x y valores de f(x)=sen x, desde 0 hasta , cada 0.1 No. x f(x)

1 0 0 2 0.1 0.09983342 3 0.2 0.19866933 4 0.3 0.29552021 5 0.4 0.38941834 6 0.5 0.47942554 7 0.6 0.56464247 8 0.7 0.64421769 9 0.8 0.71735609

10 0.9 0.78332691 11 1 0.84147098 12 1.1 0.89120736 13 1.2 0.93203909 14 1.3 0.96355819 15 1.4 0.98544973 16 1.5 0.99749499 17 1.6 0.9995736 18 1.7 0.99166481 19 1.8 0.97384763 20 1.9 0.94630009 21 2 0.90929743 22 2.1 0.86320937 23 2.2 0.8084964 24 2.3 0.74570521 25 2.4 0.67546318 26 2.5 0.59847214 27 2.6 0.51550137


93

28 2.7 0.42737988 29 2.8 0.33498815 30 2.9 0.23924933 31 3 0.14112001 32 3.1 0.04158066

19.9954796 El valor medio se obtiene dividiendo la suma de todos los f(x) que es 19.9955 entre el nmero de elementos que son 32. Valor medio = 19.9955 / 32 = 0.6249. Este valor se aproxima al valor exacto obtenido mediante integracin. 4.3.5 LO NG ITUD DE UNA CURVA.-

f(x)

a

y

bx

dS

dx

dy

Figura 61.


94

La longitud de arco se refiere a la longitud de un trozo de curva en un intervalo dado. Se puede imaginar que el pedazo de curva mostrado en la figura 61 podra desenrollarse y llevarse a una regla, para medir su longitud, esa medida sera la longitud de arco del trozo de la curva f(x) en el intervalo [a, b]. Del tringulo mostrado en la figura 61, por el teorema de Pitgoras, puede demostrase que dS2 dx2 dy2 dividiendo, ambos miembros de la ecuacin por dx

2

dS2

dx2dx2

dx2dy2

dx2 rescribiendo y simplificando dSdx

2 1 dy

dx2

sacando la raz cuadrada a ambos miembros de la ecuacin dSdx

1 dydx

2

despejando dS

dS 1 dydx

2dx

sumando todas las longitudes de arco en el intervalo [a, b]

S a

b 1

dydx

2 x

La anterior expresin es la frmula para calcular la longitud de arco de una funcin y = f(x) en el intervalo [a, b].


95

Ejemplo: Hallar la longitud de arco de fx x2

en el intervalo [-3, 1] Solucin:

-3 -2 -1 1 2 3

2

4

6

8

Figura 62. Para aplicar la frmula de la longitud de arco, primero se debe calcular la derivada de f(x)

f'x dydx

2x

aplicando la formula

S 3

3 1 4x2 x

Esta integral ya se resolvi en el segundo ejemplo de la seccin 4.2.4, tan solo se deben reemplazar los lmites.

S 19.4942

CalculoI

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