TRABAJO COLABORATIVO

FASE IIl

WILLIAM ANDRES ESTUPIÑAN NIÑO

CODIGO: 9375058

GRUPO: 100411_317

TUTOR

MIRYAN PATRICIA VILLEGAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

CALCULO INTEGRAL

MARZO DE 2014

1. Hallar el área que hay entre las gráficas de f ( x )=x2+2 y f ( x )=1−x entre x = 0 y x = 1.

La fórmula del área bajo la curva es,

A=∫a

b

(f ( x )−g(x ))dx

Entonces, el área bajo la curva es

A=∫0

1

((x2+2 )− (1−x ) )dx

A=∫0

1

(x2+x+1 )dx

A= x3

3+ x2

2+x|10

A=116U 2

f ( x )=1−x

f ( x )=x2+2

2. Hallar el área de la región limitada por las graficas f ( x )= (x−1 )2 y g (x )=−x+3

Según la gráfica, los puntos de intersección (−1,4 ) y (2,1 ) representan las fronteras para hallar el área bajo la curva.

Según la fórmula de área bajo la curva, tenemos

A=∫−1

2

((−x+3 )−( x−1 )2 )dx

A=∫−1

2

(−x+3−x2+2 x−1 )dx

A=∫−1

2

(−x2+x+2 )dx

Integrando,

A=−x3

3+ x2

2+2 x| 2−1

g ( x )=−x+3

f ( x )= (x−1 )2

A=92U 2

3. Hallar el área de la superficie lateral del solido que se obtiene al rotar la gráfica de y=2√ x entre x=3 y x=8 alrededor del eje x

Para hallar el área de la superficie lateral se usa la formula,

Entonces,

f ( x )=2√ xf ´ ( x )= 1

√ x

Reemplazando en la formula

A=2π∫3

8

2√x √1+( 1√x )2

dx

A=2π∫3

8

2√x √1+( 1x )dx

A=4 π∫3

8 √ x(1+( 1x ))dx

A=4 π∫3

8

√ x+1dx

Integrando,

A=2∗4 π3

( x+1 )32|83

A=1523

π U 2

4. Hallar la longitud de y= x3

6+ 12 x

entre x=1 y x=3

La fórmula para la longitud de la función,

L=∫a

b

√1+[ f ´ ( x ) ]2dx

f ( x )= x3

6+ 12 x

f ´ ( x )= x2

2− 12 x2

Reemplazando en la formula,

L=∫1

3 √1+[ x22 − 12 x2 ]

2

dx

Despejando,

L=∫1

3

√1+ x4

4−12+ 1

4 x4dx

Simplificando,

L=∫1

3

√ 12+ x4

4+ 1

4 x4dx

Ordenando,

L=∫1

3

√ 2x4+x8+14 x4dx

L=∫1

3

√ ( x+1 )2

(2x2 )2dx

Simplificando,

L=∫1

3x+12 x2

dx

L=∫1

3x2x2

+ 12 x2

dx

L=∫1

312x

+ 12x2

dx

Integrando,

L= ln x2

− 12 x |31

L=0,8826U 2

Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución, momentos o centros de masa.

5. La región limitada por las gráficas de f ( x )=xy f ( X )=0.5 x2gira alrededor del eje X. ¿Cuál es el volumen del sólido que resulta de esta rotación?

f ( X )=0.5 x2

La fórmula para hallar el volumen en revolución es,

V=∫a

b

π [ (R ( x ) )2−( r ( x ) )2 ]dxEntonces,

R ( x )=x

r ( x )=0.5 x2

V=∫0

2

π [ ( x )2−(0.5x2 )2 ]dx

V=π∫0

2

[ x2−0.25 x4 ] dx

Integrando,

V=π ( x33 −0.255

x5)|20V=16

15π U 3

6. La región limitada por las gráficas de y= (x−1 )2y y=1+xse hace girar alrededor del eje X. Hallar el volumen del sólido resultante.

y= (x−1 )2

y=1+x

R ( x )=1+x

r ( x )=( x−1 )2

V=∫0

3

π [ (1+x )2−( ( x−2 )2 )2 ]dx

V=∫0

3

π [ (1+x )2−(x2−4 x+4 )2 ]dx

V=∫0

3

π [(1+2x+x2)−(x4−8x3+24 x2−32 x+16 ) ]dx

V=π∫0

3

[1+2 x+x2−x4+8x3−24 x2+32 x−16 ]dx

V=π∫0

3

[−15+34 x−23x2+8 x3−x4 ]dx

Integrando,

V=π [−15 x+17 x2−233 x3+2x4− x5

5 ]|30V=801

5π

7. Hallar el centroide de la región limitada por la grafica y=x2, el eje x y la recta x=2

X=2y=x2

Las fórmulas para hallar el centroide de la región limitada:

x=∫a

b

x [ f ( x )−g (x)] dx

A

y=

12∫a

b

[ f ( x )2−g ( x )2 ]dxA

El Área mencionada se halla así:

A=∫0

2

x2dx= x3

3 |20=83Hallando el centroide,

x=∫0

2

x [ x2 ] dx

8/3

x=∫0

2

x3dx

8/3=

x4

4 |208/3

=16/48 /3

x=32

y=

12∫0

2

[ (x2 )2 ]dx8 /3

y=

12∫0

2

[ x4 ] dx

8/3=

12 [ x55 ]|208/3

=

12 ( 2

5

5 )8/3

=

12 ( 2

5

5 )8 /3

=

12∗32

58 /3

y=65

El centroide es: (3/2, 6/5)

8. Hallar el centro de masa (Ce) de un objeto cuya función densidad es: ρ ( x )= x6+2 para

0 ≤ x ≤ 6.

La fórmula para hallar el centro de masa es,

C e=∫a

b

x ρ (x )dx

∫a

b

ρ ( x )dx

Reemplazando en la ecuación,

C e=∫0

6

x ( x6 +2)dx∫0

6

( x6 +2)dx

C e=∫0

6

( x26 +2x )dx∫0

6

( x6 +2)dxIntegrando,

C e=

x3

18+x2|60

x2

12+2 x|60

C e=4815

=165

C e=3,2Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales.

9. Un objeto se empuja en el plano desde x=0, hasta x=10, pero debido al viento la fuerza que debe aplicarse en el punto x es F ( x )=3 x2−x+10 ¿Cuál es el trabajo realizado al recorrer esta distancia? Especificar el trabajo en Julios.

El trabajo es,

W=∫a

b

F ( x )dx

W=∫0

10

3x2−x+10dx

W=x3− x2

2+10x|100

W=1050 julios

10. Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte 1/2 pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.

W=∫a

b

F ( x )dx ,donde F (x )=kx

Al aplicar las 20 libras, el resorte se estira de 0.5 pulgadas. Por consiguiente la ley de Hook es igual a

35=K (0,5 )

k=70 libras / pulgadas

Planteando la ecuación de trabajo,

W=∫8

11

70x dx

W=35 x2|118 =35 (11 )2−35 (8 )2

W=1995ergios

11. Dadas las funciones demanda D=50− x2

2y oferta S ( x )=26+x , el excedente del

consumidor en el punto de equilibrio es:

El excedente del consumidor es,

E .C=∫0

6

50− x2

2dx−QP

E .C=50x− x3

6 |60−(6 ) (32 )

Punto intersección (6,32)

S ( x )=26+x

D=50− x2

2

E .C=264−192

E .C=72

12. Hallar el Excedente del Productor (EP), el Excedente del consumidor (EC) y el Punto de

Equilibrio (PE) de S ( x )=xy D ( x )=−x3

+4.

El punto de equilibrio es,

S ( x )=D ( x )

x=−x3

+4

x=−x+123

3 x=−x+12

4 x=12

X E=124

=3

Y E=−33

+4=3

Y E=3

El punto de equilibrio es P (3,3)

El excedente del consumidor,

E .C=∫0

3−x3

+4 dx−Q∗P=4 x− x2

6 |30−(3 ) (3 )

E .C=10.5−9

E .C=1.5

El excedente del productor,

E . P=Q∗P−∫a

b

s ( x )dx=9−∫0

3

x

E . P=9− x2

2 |30=9−92E . P=4.5