Clculos elementales en mapas topogrficosINTRODUCCIN

El objetivo de la presente gua es que los iniciados en el manejo de planos, especialmente, planos topogrficos, adquieran algunos conocimientos prcticos en cuanto al clculo de parmetros como: escala, distancias, reas, volmenes, altimetra y pendientes. En los tiempos modernos existen programas que se encargan de realizar de forma precisa las tareas que antes se hacan de forma manual, con la ventaja de que el error es ms pequeo; sin embargo, el aprender a manejar planos topogrficos de manera rudimentaria no puede considerarse una tarea obsoleta, ya que el usuario no siempre cuenta con los medios (hardware y software) para llevar a cabo clculos o grficos. Adems, no todo el mundo se encuentra entrenado en cuanto al manejo de dichos medios. Y otra cosa muy importante es que, todo tcnico que necesite hacer investigaciones de campo, como en el caso de las geociencias, debe saber manejar un mapa de forma obligada; pues, de lo contrario, no tendr idea de donde se encuentra ni de cunto ni hacia dnde tiene qu moverse. Por lo tanto, los mapas impresos son ms fciles de manipular mientras se recorre una zona en estudio. Es de agregar que no es justo que el destino de los clculos en planos sea tarea exclusiva de las computadoras, puesto que entonces estaremos pecando ms por ignorantes que por sabios.

LA ESCALA

Es una relacin cuantitativa entre una dimensin en el plano y una dimensin en el terreno. Es decir, por ejemplo, una distancia entre dos puntos en el plano ser equivalente a una dimensin entre los dos mismos puntos marcados en el terreno.

DIMENSIN X (plano) = DIMENSIN Y (terreno)

La dimensin en el plano estar sujeta a un margen de error, puesto que se trata de un dibujo, de una representacin aproximada; mientras que la dimensin equivalente en el terreno pertenece al mundo real, y es la que posee las medidas exactas.

La escala en el plano se divide en dos tipos: numrica y grfica. La primera, como su nombre lo dice, se representa mediante nmeros, por ejemplo:

1:10.000 significa que 1 cm en el plano equivalen en el terreno a 10.000 cm; o lo que es lo mismo, a 100 m lineales. Para este ejemplo de escala, a la hora de hacer clculos de distancias la relacin a utilizar es: 1cm = 100 m.

El ejemplo anterior puede considerarse como una escala grande, puesto que 1:10.000 es lo mismo que una fraccin: 1/10.000. Vale decir que a la escala numrica tambin se le conoce como escala fraccional. Mientras que un ejemplo de escala pequea puede ser: 1:1.000.000, lo que significa que 1 cm en el plano son en el terreno 1.000.000 cm. Se siguen quitando ceros para hacer ms cmoda la relacin final: Luego, 1 cm = 10.000 m, y, por ltimo: 1 cm = 10 km.

Problema 1: Sea un mapa a escala 1:20.000 donde se tienen marcados dos puntos AB, cuya distancia medida con la regla es de 4 cm. Se quiere saber la distancia entre esos dos puntos en el terreno.

Datos:

Escala: 1:20.000

Dist. AB (mapa) = 4 cm

Dist. AB (terreno) = ?

Solucin:

Transformacin de la escala: 1 cm = 20.000 cm; 1 cm = 200 m

Luego, 1 cm ------- 200 m

4 cm--------- x

Resultado: Dist. AB (terreno) = 800 m

Problema 2: Sea un mapa a escala 1:10.000.000 donde se tienen marcados dos puntos AB, cuya distancia medida con la regla es de 2 cm. Se quiere saber la distancia entre esos dos puntos en el terreno.

Datos:

Escala: 1:10.000.000

Dist. AB (mapa) = 2 cm

Dist. AB (terreno) = ?

Solucin:

Transformacin de la escala: 1 cm = 10.000.000 cm; 1 cm = 100.000 m; 1 cm = 100 km

Luego, 1 cm ------- 100 km

2 cm--------- x

Resultado: Dist. AB (terreno) = 200 km

Problema 3: Se tiene un mapa donde la distancia entre dos puntos AB, medida con la regla, es de 10 cm; y se sabe que la distancia en el terreno entre esos dos puntos es de 20 km. Cul es la escala numrica?

Datos:

Dist. AB (plano) = 10 cm

Dist. AB (terreno) = 20 km

Escala numrica = ?

Solucin:

10 cm ---------- 20 km

1 cm --------- X

X = 2 km; lo que equivale a 2.000 m; que es igual a 200.000 cm

Resultado: La escala numrica es 1:200.000

Los mapas suelen llevar nicamente la escala grfica, pero una gran cantidad de veces llevan consigo la escala numrica. Si se tiene solamente la escala numrica se puede, a partir de esta, dibujar la escala grfica, y viceversa, se puede con la grfica hallar la numrica; as, por ejemplo, para el resultado del problema 3, se traza con la regla una lnea de 4 cm; se marcan pequeos trazos perpendiculares a equidistancias de 1 cm, donde se va acumulando el valor de la relacin; es decir, en el extremo izquierdo de la lnea se coloca cero, en el primer cm se coloca 2, en el segundo cm 4, y as sucesivamente. No hay que olvidar de anotar las unidades que se estn manejando, en este ejemplo son km. (Fig. 1).

Figura 1. Algunos ejemplos de representacin de la escala grfica.

Una cosa es medir la distancia a lo largo de una recta y otra es medirla a lo largo de una lnea curva. En un mapa hay elementos que se ajustan a lneas curvas como: ros, carreteras, divisorias de cuencas, lineamientos geomorfolgicos, lmites territoriales, etc. Para medir la longitud de una lnea curva sobre un mapa se utilizan mtodos simples, como lo es: 1) Colocar un hilo sobre la forma de la lnea; 2) estirar el hilo y medir con la regla; y 3) llevar la longitud obtenida (en centmetros) a la escala del mapa, para de esa manera obtener la distancia en el terreno.

Otro mtodo similar es ir extendiendo el borde de una hoja a lo largo de la lnea irregular, a la vez que se va marcando con un lpiz. El mtodo ms rpido y sofisticado consiste en usar un curvmetro (Fig. 2); ste es un instrumento que posee una rueda que se arrastra sobre la lnea; la lectura obtenida en el reloj corresponder a la distancia en el terreno. Sin embargo, lo ms barato es usar un hilo o el borde de una hoja (se recomienda no usar cabellos, cadenas, cordones de zapatos o cualesquier material inestable o difcil de manipular).

Figura 2. Ejemplo de un curvmetro. Obsrvese la ruedita de la punta y el reloj de lectura. Los hay tambin con reloj digital.

MEDICIN DE REAS

Es muy corriente el clculo de reas o superficies en ciencias de la tierra o cualesquier disciplina que necesite de planos. Las unidades que ms se utilizan son las siguientes: m, hectreas (1 ha = 10.000 m) y km. Los anglosajones utilizan: pies, yardas y millas. En nuestros pases es muy comn la utilizacin de las hectreas, por ejemplo, a la hora de expresar la extensin de propiedades. Cuando se trata de regiones grandes, se utilizan los km (1 km = 1.000.000 m = 100 ha). La medicin de reas depende de la figura geomtrica que se tenga representada en el plano. Si se trata de figuras bien definidas, para ello existen las frmulas correspondientes (Fig. 3).

Figura 3. Las figuras geomtricas ms comunes junto a las frmulas de clculo de sus reas o superficies.

Problema 4. Si se tiene un mapa a escala 1:25.000, donde aparece dibujado un rectngulo de 2 cm de altura por 4 cm de base, cul es el rea en el terreno expresada en ha?

Datos:

Escala 1:25.000

h = 2 cm

b = 4 cm

rea en el terreno = ?

Solucin:

Transformar la escala: 1:25.000 = 1 cm en el plano = 250 m en el terreno, entonces:

La altura en el terreno = 500 m

La base en el terreno = 1.000 m

Luego A (terreno) = 500 m . 1.000 m = 500.000 m

Llevando a ha: 1 ha -------- 10.000 m

X -------- 500.000 m

Resultado: Area = 50 ha

Otra manera de hallar el mismo resultado: Se multiplica en el mapa 2 cm x 4 cm = 8 cm; luego hay que llevar la relacin lineal a una relacin de superficies; es decir: 1 cm en el plano es en el terreno 250 m; pero, elevando esto al cuadrado, se tiene: 1 cm = 62.500 m. Entonces:

1 cm --------- 62.500 m.

8 cm --------- X

Resultado: 500.000 m, equivalentes a 50 ha.

Se recomienda, a la hora de hacer mediciones con la regla, que la vista sea colocada (cerrando un ojo) en lnea perpendicular a la graduacin de la regla, ya que si se mira de lado pueden generarse hasta 2 mm de error. Para determinar la altura de un tringulo escaleno es necesario utilizar dos escuadras o una regla y una escuadra; la regla se coloca sobre la lnea base, mientras que la escuadra se mueve sobre la regla para as poder trazar una lnea perpendicular (h) hacia el vrtice de arriba. Si la altura se traza a ojo puede quedar inclinada generando cierto margen de error. Es bueno realizar estas medidas de la mejor manera posible, ya que para el caso del valor de la tierra por cada m o por cada ha, los vendedores no se pueden dar el lujo de perder dinero por clculos defectuosos, y los compradores tampoco deben estar dispuestos a comprar una superficie ms pequea que la que le estn ofertando.

Otro mtodo para calcular reases el de las coordanadas de los vrtices de una poligonal de lados rectos. Se usa sobretodo en aquellos casos en que hay exceso de puntos.Cuando aparezca en el mapa una zona irregular, en algunos casos puede ajustarse la forma de la figura geomtrica que mejor se parezca, bajo el riesgo de error tanto por exceso como por defecto. Sin embargo, existe un mtodo sencillo que permite superar el problema: se le conoce como el mtodo de la cuadrcula. Para ello es preciso colocar sobre el mapa una hoja de papel milimetrado transparente (Fig. 4), y se procede a marcar los puntos que caen adentro y aquellos que caen justo en el borde de la zona que se est midiendo. Es recomendable marcar los puntos de adentro de una forma distinta a los puntos de la orilla para no confundirlos. Luego, se cuentan los puntos de adentro y aparte se cuentan los de la orilla. El total de puntos de la orilla se dividen entre 2 y se le suman a los puntos que caen adentro. El total general ser el rea aproximada en cm; es decir, el rea en el papel. La regla es:

EL NMERO DE PUNTOS = NMERO DE Cm

Figura 4. Colocacin de una cuadrcula sobre una zona irregular y marcaje de los puntos de adentro y del borde.

Pero el objetivo es calcular el rea en el terreno. Para ello ser necesario entonces utilizar la escala del mapa, tal como sucede en el ejemplo siguiente.

Problema 5: Calcular el rea (ha) de la zona irregular representada en la Fig. 4.

Solucin:

Al superponer un papel milimetrado transparente, se procede a marcar las esquinas de los cm. Los puntos contados son:

Adentro = 23

Borde = 4/2 = 2

Total = 25 cm

Luego, como en la escala de la figura se est indicando que cada cuadro posee de lado una distancia de 200 m; eso significa que, 1 cm = 40.000 m (aunque si la figura se reduce o se aumenta de tamao, los cuadros pueden ser diferentes a 1 cm). Entonces:

1 cm -------- 40.000 m.

25 cm ------------ X

Resultado: Area = 1.000.000 m, lo que equivale a 100 ha.

Nota: En caso de que se imprima el mapa es posible que los cuadros no midan de lado 1 cm; lo que no quiere decir que los resultados van a salir malos, pues se obtendr el mismo resultado..

Es bueno aclarar que el mtodo de la cuadrcula da resultadosalgo defectuosos. En caso de que el trabajo se haga bien, probablemente el error no supere el 4 o 5%. Para aquellas personas que deseen obtener resultados ms precisos, pueden montar el papel milimetrado unas tres veces sobre el mapa y es posible que en las tres veces se obtengan valores ligeramente distintos. En este caso lo ms sencillo es sacar un promedio y esa ser el rea ms representativa. Tambin, lo otro que puede hacerse es contar cuadritos de 1/4 de cm;con esto se alarga la tarea, pero se obtienenresultados ms aproximados. Inclusive, se pueden contar los milmetros.

El mtodo puede tener otra variante: en vez de contar puntos, se cuentan cuadros completos, medios cuadros y pedacitos de cuadros (estas fracciones de cuadros son las que quedan en el borde). De una manera similar al caso anterior, se debe marcar de maneras distintas los tres grupos; por ejemplo, con una X los cuadros completos; con una M los medios cuadros y con otro smbolo los pedazos ms chicos. El asunto es que el que hace el ejercicio tiene que tener cierta habilidad para estimar a ojo las fracciones de los cuadrados, ya que algunos sern la mitad, otros sern cuartos y otros sern menos de un cuarto, lo que significara el marcaje de unos cuatro grupos de unidades. Y no es de extraar, en caso de que el trabajo se haga bien, que el resultado sea muy parecido al obtenido mediante el conteo de puntos.

Al igual que en el caso de las distancias en lneas irregulares, existe un instrumento para hallar reas llamado planmetro, el cual posee un reloj mecnico o digital y un brazo con una mira que se arrastra a lo largo del permetro de la zona a medir. La limitante en este caso es el precio del instrumento, por lo cual es mejor optar por lo ms econmico, ya que no todo el tiempo vamos a estar midiendo superficies. Segn informaciones de Internet, si se escanea el rea a medir, mediante el programaAcrobat, se puede calcular la superficie como si de un planmetro se tratara.

Es de resaltar que para efectos de un examen, el estudiante deber realizar el ejercicio una sola vez y con un solo mtodo, debido a las limitaciones de tiempo.

EL CLCULO DEL VOLUMEN

El volumen se refiere a figuras 3D, con un largo, un ancho y una altura; es decir, ya no se trata de un plano. Pero para ello es fundamental que se sepan calcular las reas o superficies. Si el rea de una zona est mal calculada, tambin lo estar el volumen. La frmula para calcular el volumen de una capa superficial, como un suelo arenoso, grava, arena, turbera, etc., es la siguiente:

V = A . e

Donde: V es el volumen expresado en m o en km, dependiendo del caso

A es el rea en m o en km

e es el espesor en m de una capa superficial o la altura promedio de un relieve elevado

Problema 6: Utilizando el rea del problema 5, hallar el volumen de una capa de aluviones cuyo espesor es de 0, 40 m.

Aplicando la frmula, se tiene:

Vol. = 1.000.000 m . 0,40 m = 400.000 m

Este tipo de datos son tiles si deseamos calcular el peso del material geolgico, el cual vara dependiendo desu densidad. Si en el ejemplo anterior conocemos que dichos aluviones tienen un peso aproximado de 1,5 ton/m, entonces dichos materiales pesarn un total de 600.000 ton. Cuestin de suma importancia en geologa aplicada a diversas labores de ingeniera.

Los valores referentes a volumen son muy importantes en prospecciones y explotaciones mineras; por ejemplo, a la hora de estimar la cantidad de oro que pueda existir en algn yacimiento. Tambin para el caso en que se quiera averiguar la cantidad de arena para la construccin en un depsito determinado. (Cuntos viajes de camiones volteos se requeriran para agotar el depsito? Esto es clave para disear el plan de explotacin). Son muy importantes en trabajos de ingeniera civil, donde usualmente participan los gelogos, a la hora de estimar la cantidad de tierra a remover en recortes de terreno, lo que, a su vez, sirve para planificar y realizar un presupuesto previo a la ejecucin de costosas labores de la maquinaria pesada. El clculo del volumen es til para la descripcin y anlisis geolgico-geomorfolgico de una zona determinada, sin que necesariamente existan intereses econmicos.

Un ejemplo simple para calcular el volumen de roca que contiene un relieve elevado se ilustra en la Fig. 5. Obsrvese en la Fig. 6 la representacin grfica para el clculo del volumen de un cono.

Figura 5. Mapa topogrfico esquemtico con una elevacin de forma cnica, la que pudiera tratarse de un volcn.

Figura 6. Dimensiones de un cono asimtrico.

Problema 7: Hallar el volumen del relieve representado en la Fig. 5.

1) Se debe hallar el rea de la base. Ya que se aproxima a un crculo, se utiliza la frmula correspondiente (Fig. 3). Suponiendo que el radio sea de 2 km en el terreno, se tiene:

A = . r ----- > A = 3,1416 . (2.000 m)

A = 12.566.400 m

2) La altura no es ms que la distancia vertical o la diferencia entre la cota superior y la inferior; o sea:

h = DV = Cot. Sup. Cot. Inf.

h = 450 m 100 m = 350 m

La cota superior es un punto estimado ubicado por encima del valor de la curva ms alta.

3) Ahora se procede a aplicar la frmula para calcular el volumen de un cono (por poseer una forma similar); o sea, Vol. Cono = 1/3. rea (base).h. Sustituyendo:

Vol. Cono = 1/3 . 12.566.400 m . 350 m = 1.466.080.000 m

Como en 1 km hay 1.000.000.000 m, el resultado tambin puede expresarse en: Vol. Cono = 1,47 km

Es de subrayar que no todos los relieves positivos (o elevados), tienen forma cnica, puesto que la topografa terrestre adopta miles de formas geomtricas. Para el caso de una elevacin con forma oval que sobresalga de la superficie, es posible, como en el caso del cono, aplicar la frmula para hallarle el volumen a un cuerpo de forma ovalada (en planta, un elipsoide), cuyo resultado al final deber dividirse entre dos (2), como si se tratara de la mitad de un huevo.

Existen otros mtodos sencillos (aunque largos) para el clculo de volmenes en elevaciones como colinas, lo cual es aplicable tambin al clculo de la capacidad volumtrica de una laguna o de un embalse, tal como se ilustra en la Fig. 7.

Figura 7. Otro mtodoconsiste en desglosar el terreno en varios bloques altitudinales, se halla el volumen y luego se hace una sumatoria.

Para calcular el volumen de un relieve o la capacidad de una depresin (o embalse), para el caso del plano de la izquierda (Fig.7), se aplica la siguiente frmula:

V = (h1 . (A1 + A2)/2) + (h2 . (A2 +A3)/2) + (h3 . (A3 + A4)/2)Donde:Para el ejemplo del grfico, h1 es la diferencia entre las dos curvas; lo que hace suponer que las dems h tendrn un valor de 10 m.A1 es el rea de la curvade 10 m; A2 es el rea de la curva de 20 m, y as sucesivamente.

El error para el clculo de volmenes suele ser mayor que para el clculo de reas, y eso se debe ms que todo a la irregularidad del relieve. La idea en todo caso es tener una cantidad aproximada de lo que existe en la naturaleza; lo cual vale mucho ms que tener nada en absoluto.

LAS CURVAS DE NIVEL

Las curvas de nivel son lneas que unen puntos de igual altitud. La ALTITUD se refiere a la distancia vertical con respecto al nivel del mar, mientras que la altura no es ms que una diferencia de cota. Las curvas de nivel numeradas reciben el nombre de ndices (o principales), que son las que vienen dibujadas en lneas ms gruesas. Estos valores pueden estar expresados en metros y, para el caso de los mapas anglosajones, en pies. A la hora de transformar es bueno tener en cuenta que 1 m = 3,28 pies; o, si no, 1 pie = 0,3048 m.

Las curvas de nivel no numeradas reciben el nombre de secundarias o intermedias. Para calcular el intervalo (I), o la distancia vertical entre una curva y otra se usa la siguiente frmula:

I = (cota ndice superior cota ndice inferior) / N de espacios

Las curvas de nivel nos ayudan a comprender la topografa de una regin, y nos pueden ayudar a identificar los relieves y las estructuras geolgicas. Otra de las ventajas es que nos permiten definir el comportamiento del drenaje y a identificar una serie de relaciones causa-efecto. Los mapas topogrficos tienen infinidad de aplicaciones, no solo en el campo de la investigacin cientfica, sino tambin en planificacin territorial e ingeniera como, por ejemplo, en la seleccin de zonas adecuadas para construir urbanismos, dnde ubicar una represa, cul es la mejor ruta para una va, etc.

A travs de un mapa altimtrico se puede construir un perfil topogrfico, lo que es de suma utilidad a la hora de describir y analizar el relieve y la geologa de una regin determinada.

En el plano topogrfico expuesto en la Fig.7 puede identificarse lo siguiente: El relieve montaoso se orienta de Este a Oeste. En ambas vertientes, Norte y Sur, discurren dos ros en direcciones contrarias. Es importante fijarse que por donde pasan los ros las curvas de nivel se doblan pendiente arriba. Por lo tanto, cuando faltan los ros, los investigadores pueden tranquilamente completar la red de drenaje. Con respecto a las altitudes, por lo general hay que estimar los valores de los topes; para ello puede utilizarse la mitad del intervalo del mapa, tal como se coloc en el punto A.

Figura 8. Plano topogrfico esquemtico.

CONSTRUCCIN DE UN PERFIL TOPOGRFICO

La elaboracin de un perfil topogrfico es una tarea relativamente fcil, siempre y cuando se sigan una serie de reglas elementales:

1) Elegir en el planoel trazo que permita graficar los rasgos ms representativos. Es posible que un mapa geomorfolgico vaya acompaado de uno o, de ser necesario, de dos perfiles.

2) El largo de la lnea en el mapa tendr la misma longitud que el eje horizontal del perfil. El eje horizontal debe graduarse adaptando la misma graduacin de la escala grfica del plano.

3) Los ejes verticales se gradan generalmente con una escala mayor a la escala horizontal, especialmente en aquellos casos en que el relieve acusa muy ligeros desniveles (relieve poco accidentado). Por ejemplo, si un mapa tiene una escala a 1:40.000, el eje vertical del perfil puede llevarse a una escala doble, es decir: 1:20.000. En caso contrario, cuando el relieve presenta fuertes elevaciones, se utiliza una escala vertical igual a la escala horizontal. A esto se le llama hacer un perfil a escala real. No hay que olvidar dibujar dos ejes verticales; uno en cada extremo. De igual manera, no debe olvidarse de colocar las unidades que se estn manejando en los distintos ejes (m, km, millas, etc.).

4) Para obtener un perfil lo suficientemente fidedigno, lo ms recomendable es plotear todos los puntos que atraviesa la lnea en el mapa (Nota: no es necesario rayar ni doblar los mapas, ya que se deterioran; en su lugar se coloca el borde de un papel milimetrado opacoy se van marcando los puntos que coincidan con las curvas, al igual que los valores correspondientes).Las lneas del papel milimetrado facilitan el ploteohacindolo ms rpido y preciso (Fig. 9).

5) A la hora de unir los puntos, no es necesario remarcar la lnea resultante, y para efectos de un examen es mejor no utilizar creyones, debido a la dificultad para borrar en caso de errores. Es de recordar que el perfil hecho en el papel milimetrado no es ms que un borrador, pues si se trata de un informe tcnico es necesario pasarlo en limpio (digitalizarlo e imprimirlo).

Figura 9. Elaboracin de un perfil topogrfico.

Los perfiles topogrficos muchas veces revelan rasgos del relieve que no son fciles de percibir a simple vista sobre los planos. Los perfiles tienen adems diversas aplicaciones tiles, por ejemplo, se hace un perfil a lo largo de una ruta donde se piensa construir una carretera (tambin puede ser un canal de desage), para as percibir los obstculos que ser necesario atravesar para que la obra sea posible (recortes y rellenos), y hacer previamente un estimado del presupuesto. Otro caso de aplicacin interesante, es en cuanto al trazado de tendidos elctricos y tuberas; en este caso, el perfil se dibuja a escala real y se mide con el curvmetro (o con el hilo) el largo de la curva y se determina un largo aproximado del cable o de la tubera a gastar.

Como apoyo en las geociencias, si se tiene informacin geolgica-estructural obtenida a partir del trabajo de campo, por debajo del perfil se pueden colocar las estructuras existentes, obtenindose as una idea aproximada y, muchas veces, espectacular de los fenmenos estudiados (Fig. 10).

Figura 10.Corte geolgico-geomorfolgico realizadomediante el apoyode informacionesdel campo.

LA MEDICIN DE LA PENDIENTE

La pendiente (o gradiente) de un terreno es el grado de inclinacin que este presenta con respecto a la lnea horizontal. La pendiente se puede expresar en porcentaje, grados y en m/km. Las frmulas a utilizar son las siguientes:

P% = (DV/DH) . 100 = %

P% = tan .100 ( = pendiente angular)

DV = Cot. Sup. Cot. Inf.

P Ang. = arctan (DV/DH) =

P = DV/DH = m/km

Problema 8: Calcular la pendiente (%, y m/km) entre los puntos DF de la Fig. 6.

Solucin:

Utilizando la escala grfica y midiendo con una regla la distancia en el plano entre DF, el resultado de la distancia horizontal (DH) es igual a 750 m.

Para la distancia vertical se aplica la frmula: DV = 1.750 m 1.000 m = 750 m.

Entonces: P% = (750 m/ 750 m) . 100 = 100%

P Ang. = arctan (1) = 45

P = 750 m/ 0,75 km = 1.000 m/km

Estos resultados se pueden interpretar as: a) por cada 100 m que se avanzan en la horizontal se subirn o se bajarn tambin 100 m en la vertical. Es de aclarar que la marcha se ejecuta a lo largo de la vertiente (longitud de la vertiente = hipotenusa del tringulo); b) si se dibuja un tringulo graduando con la misma escala los dos catetos, y si se procede a medir con un transportador el arco entre la hipotenusa y la lnea horizontal, se obtiene la pendiente angular (o en grados); y c) en un terreno con estas caractersticas, por cada km que se avance en la horizontal se subir o se bajar 1 km en la vertical. La longitud de la vertiente, en caso de que desee obtener un valor aproximado, se puede calcular con la frmula de Pitgoras:

Hip. = Cat.Op. + Cat. Ady.

Tambin se puede obtener mediante la frmula del seno:

Sen = Cat.Op./ Hip.

Obsrvese la Fig.11 para comprender grficamente el problema planteado.

Figura 11. Relaciones entre la longitud de la vertiente (hipotenusa), la distancia vertical (cateto opuesto), la distancia horizontal (cateto adyacente) y la pendiente angular.

La pendiente de un ro se mide de una forma distinta a la de una lnea recta. La diferencia radica nicamente en que, por tratarse de una lnea curva, debe medirse como se explic en la primera parte, y el resultado obtenido (distancia en el terreno) ser la distancia horizontal (DH) que va dentro de las frmulas.

Problema 9. Hallar la pendiente (m/km) del ro principal de la Fig. 11, desde donde nace (altitud de 1.500 m) hasta donde desemboca, conocindose que la longitud del ro en el terreno es igual a 10 km.

Figura 12. Red de drenaje esquemticacon algunos puntos altitudinales.

Datos:

DH = 10 km

DV = Cot.Sup. Cot.Inf. = 1.500 m 0 m = 1.500 m

Luego: P = 1.500 m / 10 km = 150 m/km

Esto significa que si una canoa desciende por ese ro, cada vez que avance 1 km en la horizontal, descender 150 m en la vertical.

Los valores de pendientes son tiles como apoyo en diversos clculos relacionados con hidrologa, lo que a su vez es valioso en el estudio sobre el potencial econmico de las aguas para el consumo humano, generacin de energa y riego. Las pendientes pueden utilizarse tambin como apoyo en los clculos de estabilidad de las vertientes. La realizacin de mapas de pendientes facilita a los planificadores la asignacin de los usos de la tierra ms apropiados. Por ejemplo, las reas de bajas pendientes son los ms ideales para la construccin de urbanismos; mientras que las reas de altas pendientes pueden ser destinadas a la proteccin integral del ambiente.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si en un mapa a escala 1:5.000 la distancia entre AB es de 7,5 cm, cul ser la distancia en el terreno?

2. Imprimir el mapa de la Fig.8 y calcular la escala numrica.

3. Imprimir el mapa de la Fig. 12, hallar la escala numrica en base a la longitud del ro principal (10 km) y construir la escala grfica (se supone que sise imprime dos veces con dos tamaos distintos, la escala ser diferente).

4. Calcular mediante una interpolacin, la altitud correspondiente al punto X de la Fig. 12.

5. Hallar el rea total (ha y km) de la zona representada en la Fig. 8.

6. Cul es el rea (ha) de una parcela circular cuyo dimetro en el mapa es de 4,5 cm, siendo la escala 1:10.000?

7. Hallar el rea (ha) de una parcela triangular cuyos lados en el mapa miden: A = 2,5 cm, B = 3,5 cm y C = 4 cm. La escala es 1: 80.000.

8. Hallar el rea (ha y km) de la poligonal CDBEC de la Fig. 8.

9. Hallar el volumen de una capa de suelo que tiene un espesor de 33 cm, la cual se ubica en la poligonal CDBEC.

10. Hallar la pendiente (% y ) entre los puntos AB de la Fig. 8. Expresar el resultado en un grfico donde la escala vertical = escala horizontal, y comprobar con un transportador la pendiente angular.

11. Calcular la longitud de la vertiente (LV) entre los puntos AB de la Fig. 8.

12. Hallar la pendiente (m/km) del ro tributario que nace en los 1.400 m y desemboca en el punto X de la Fig. 12.

13. Calcular la longitud de un cablequese planea extender entre los puntos EF de la Fig. 8.

14. Explicar cmo se hallara el volumen de un cerro con forma de media esfera.