Calendario Eterno

Calendario Eterno

Jaime J. Gutiérrez

Coloquios matemáticosDepartamento de Matemática

13 de abril de 2010

Calendario Eterno

¿Qué es un calendario eterno?

Calendario eternoUn calendario eterno es una fórmula que permite obtener apartir de la fecha (día, mes y año) el día de la semanacorrespondiente al sistema gregoriano.

Calendario Eterno

El calendario gregoriano

EL calendario gregorianoEl calendario gregoriano se inció en 1852.

El primer año bisiesto fue 1600.

Cada 4 años tendremos año bisiesto, pero cada 100 añosno tendremos año bisiesto, con excepción de los añosexactamente divisibles por 4.

Años no bisiestos 1700, 1800 y 1900. El año 2000 fue añobisiesto.

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El calendario gregoriano

EL calendario gregorianoEl calendario gregoriano se inció en 1852.

El primer año bisiesto fue 1600.

Cada 4 años tendremos año bisiesto, pero cada 100 añosno tendremos año bisiesto, con excepción de los añosexactamente divisibles por 4.

Años no bisiestos 1700, 1800 y 1900. El año 2000 fue añobisiesto.

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El calendario gregoriano

EL calendario gregorianoEl calendario gregoriano se inció en 1852.

El primer año bisiesto fue 1600.

Cada 4 años tendremos año bisiesto, pero cada 100 añosno tendremos año bisiesto, con excepción de los añosexactamente divisibles por 4.

Años no bisiestos 1700, 1800 y 1900. El año 2000 fue añobisiesto.

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El calendario gregoriano

EL calendario gregorianoEl calendario gregoriano se inció en 1852.

El primer año bisiesto fue 1600.

Cada 4 años tendremos año bisiesto, pero cada 100 añosno tendremos año bisiesto, con excepción de los añosexactamente divisibles por 4.

Años no bisiestos 1700, 1800 y 1900. El año 2000 fue añobisiesto.

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Asignaciones numéricas

Asignaciones numéricas para los días de la semana.Para los días de la semana:

Domingo = 0Lunes = 1Martes = 2Miércoles = 3Jueves = 4Viernes = 5Sábado = 6

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Asignaciones numéricas

Asignaciones numéricas para los meses.

Enero = 11 Julio = 5Febrero = 12 Agosto = 6Marzo = 1 Septiembre = 7Abril = 2 Octubre = 8Mayo = 3 Noviembre = 9Junio = 4 Diciembre = 10

Calendario Eterno

Buscando la fórmula

Un primer pasoSupongamos que el 1 de marzo de 1600 le corresponde(correspondió) el día a0.Como 365 ≡ 1(mod 7), al primero de marzo del año 1660 + t lecorresponde el número at, dado por

at ≡

(

a0 + t +

⌊

t

4

⌋

−

⌊

t

100

⌋

+

⌊

t

400

⌋)

mod 7

El 1 de marzo de 2001 fue jueves, por lo tanto, para t = 401,tenemos at = a401 = 4 y de la congruencia

4 ≡ a0 + 401 + 100 − 4 + 1(mod 7),

0btenemos a0 = 3. El 1 de marzo de 1600 fue miércoles.

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Buscando la fórmula

Una primera aproximaciónHasta ahora tenemos que el número correspondiente al 1 demarzo del año 1600 + t se puede calcular usando

at ≡

(

3 + t +

⌊

t

4

⌋

−

⌊

t

100

⌋

+

⌊

t

400

⌋)

mod 7

Escribamos el número de año de la forma 100c + d, cond < 100, tenemos que t = 100(c − 16) + d y la fórmula sereescribe:

at ≡

(

3 + 5c + d +

⌊

d

4

⌋

+⌊ c

4

⌋

)

mod 7

Calendario Eterno

Buscando la fórmula

Un paso másPodemos calcular los días para los días 1 de cada mes del añot a través de las relaciones:

(1 abril)t ≡ (1 marzo)t + 3(mod 7)(1 mayo)t ≡ (1 abril)t + 2 ≡ (1 marzo)t + 5(mod 7)(1 junio)t ≡ (1 mayo)t + 3 ≡ (1 marzo)t + 1(mod 7)(1 julio)t ≡ (1 junio)t + 2 ≡ (1 marzo)t + 3(mod 7)(1 agosto)

t≡ (1 julio)t + 3 ≡ (1 marzo)t + 6(mod 7)

(1 septiembre)t ≡ (1 agosto)t+ 3 ≡ (1 marzo)t + 2(mod 7)

(1 octubre)t ≡ (1 septiembre)t + 2 ≡ (1 marzo)t + 4(mod 7)(1 noviembre)t ≡ (1 octubre)t + 3 ≡ (1 marzo)t + 0(mod 7)(1 diciembre)t ≡ (1 noviembre)t + 2 ≡ (1 marzo)t + 2(mod 7)(1 enero)t ≡ (1 diciembre)t + 3 ≡ (1 marzo)t + 5(mod 7)(1 febrero)t ≡ (1 enero)t + 3 ≡ (1 marzo)t + 1(mod 7)

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Buscando la fórmula

Ya casi llegamosPodemos calcular el día de la semana correspondiente al día n

del mes m del año 100c + d

(n, m)100c+d ≡

(

n + rm + 5c + d +

⌊

d

4

⌋

+⌊ c

4

⌋

)

mod 7

Para rm se tiene la relación

m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12rm 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 0 3

rm =

⌊

13m − 1

5

⌋

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La fórmula

La fórmula

(n, m)100c+d ≡

(

n + 5c + d +

⌊

13m − 1

5

⌋

+

⌊

d

4

⌋

+⌊ c

4

⌋

)

mod 7

¿Sabe usted que día tuvo lugar la separación de Panamá deColombia?Aquí n = 3, m = 9, d = 3, n = 19 y

3 + 5 × 19 + 3 +

⌊

13 × 9 − 1

5

⌋

+

⌊

3

4

⌋

+

⌊

19

4

⌋

≡ 2 mod 7

¡El 3 de noviembre de 1903 fue martes!

Calendario Eterno

La fórmula

La fórmula

(n, m)100c+d ≡

(

n + 5c + d +

⌊

13m − 1

5

⌋

+

⌊

d

4

⌋

+⌊ c

4

⌋

)

mod 7

¿Sabe usted que día tuvo lugar la separación de Panamá deColombia?Aquí n = 3, m = 9, d = 3, n = 19 y

3 + 5 × 19 + 3 +

⌊

13 × 9 − 1

5

⌋

+

⌊

3

4

⌋

+

⌊

19

4

⌋

≡ 2 mod 7

¡El 3 de noviembre de 1903 fue martes!

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La fórmula

La fórmula

(n, m)100c+d ≡

(

n + 5c + d +

⌊

13m − 1

5

⌋

+

⌊

d

4

⌋

+⌊ c

4

⌋

)

mod 7

¿Sabe usted que día tuvo lugar la separación de Panamá deColombia?Aquí n = 3, m = 9, d = 3, n = 19 y

3 + 5 × 19 + 3 +

⌊

13 × 9 − 1

5

⌋

+

⌊

3

4

⌋

+

⌊

19

4

⌋

≡ 2 mod 7

¡El 3 de noviembre de 1903 fue martes!

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La fórmula

La fórmula

(n, m)100c+d ≡

(

n + 5c + d +

⌊

13m − 1

5

⌋

+

⌊

d

4

⌋

+⌊ c

4

⌋

)

mod 7

¿Sabe usted que día tuvo lugar la separación de Panamá deColombia?Aquí n = 3, m = 9, d = 3, n = 19 y

3 + 5 × 19 + 3 +

⌊

13 × 9 − 1

5

⌋

+

⌊

3

4

⌋

+

⌊

19

4

⌋

≡ 2 mod 7

¡El 3 de noviembre de 1903 fue martes!

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La fórmula

La fórmula

(n, m)100c+d ≡

(

n + 5c + d +

⌊

13m − 1

5

⌋

+

⌊

d

4

⌋

+⌊ c

4

⌋

)

mod 7

¿Sabe usted que día tuvo lugar la separación de Panamá deColombia?Aquí n = 3, m = 9, d = 3, n = 19 y

3 + 5 × 19 + 3 +

⌊

13 × 9 − 1

5

⌋

+

⌊

3

4

⌋

+

⌊

19

4

⌋

≡ 2 mod 7

¡El 3 de noviembre de 1903 fue martes!

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Fechas importantes

Fechas importanteSeparación de la Gran Colombia 3 de noviembre de 1903 martes

Independencia de España 28 de noviembre de 1821 miércoles

Gesta de los mártires 9 de enero de 1964 jueves

Llegada a la Luna 20 de julio de 1969 domingo

Fundación de la Universidad de Panamá 7 de octubre 1935 lunes