Calentamiento Electromagnético del Petróleo -...
36
Calentamiento Electromagnético del Petróleo Roberto C. Callarotti Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas, IVIC Trabajo de Incorporación a la Academia Nacional de la Ingeniería y el Habitat Julio 2006
Transcript of Calentamiento Electromagnético del Petróleo -...
Calentamiento Electromagnético del Petróleo
Roberto C. Callarotti Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas, IVIC
Trabajo de Incorporación a la Academia Nacional de la Ingeniería y el Habitat
Julio 2006
Calentamiento Electromagnético del Petróleo Roberto C. Callarotti Jefe del Departamento de Ingeniería Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas, IVIC Resumen: En este trabajo describimos detalladamente los procesos de calentamiento de
pozos y yacimientos petroleros mediante el uso de sistemas excitados eléctricamente. La
descripción incluye sistemas de calentamiento concentrados y distribuidos para varios
rangos de frecuencias eléctricas, desde los 60 Hz hasta las frecuencias en el rango de las
micro ondas. Se describen los sistemas que han sido usados en los diferentes campos
petroleros, haciendo énfasis en la eficiencia obtenida en los diferentes casos.
Se describen detalladamente los procesos de pérdidas que permiten la absorción de la
energía eléctrica, y se analizan las ecuaciones que describen tanto el flujo de fluidos en
medios porosos, así como las que describen los procesos de transferencia de calor. Se
incluye la derivación de circuitos equivalentes que facilitan el análisis de los diferentes
procesos, y se presentan los resultados de algunas simulaciones que permiten estimar los
efectos de los diferentes sistemas de calentamiento.
Se concluye con una breve visión de posibles nuevos desarrollos tecnológicos en el sector.
1 Introducción
El calentamiento electromagnético de pozos y yacimientos petroleros se refiere a los
procesos térmicos para la producción mejorada del petróleo contenido en yacimientos
subterráneos. La fuente del calor generado tanto en los pozos o en el yacimiento, es la
energía eléctrica suplida desde la superficie. Esta energía es transmitida al yacimiento
mediante cables o por las tuberías metálicas que llegan al yacimiento. El efecto principal
debido al calentamiento es la reducción en la viscosidad de los crudos pesados extra-
pesados y bitúmenes con el correspondiente aumento en la producción. En este trabajo
describimos los sistemas que han sido usados para el calentamiento electromagnético en
procesos de producción de crudos y bitúmenes, describiendo igualmente los modelos que
permiten predecir los efectos en la producción. La importancia de esos hidrocarburos se
debe a las reservas de crudos pesados en Canadá, Venezuela, en los países de la ex
U.R.S.S., en los Estados Unidos y en la República China.1–3
Tal como se indica en la Figura1, Q(t), la tasa de producción para un determinado
yacimiento (con pozos horizontales o verticales) depende del flujo del petróleo a través del
medio poroso y los pozos productores. En el medio poroso del yacimiento, el flujo depende
de una viscosidad dependiente de le temperatura, (T), porosidad, permeabilidad, y
compresibilidad (, k, y c). En una primera aproximación los últimos tres parámetros son
independientes de la temperatura y por lo tanto no los afecta el calentamiento. En los pozos
el flujo es condicionado por la geometría de los pozos (radio, profundidad y longitud) y
nuevamente por la viscosidad del fluido.
El efecto del calentamiento en el medio poroso del yacimiento se representa
sencillamente en una ley de Darcy con una viscosidad dependiente de la temperatura, μ(T).
kV P( r ,t ).................................................................................................(1)
(T )
donde
V = la velocidad del fluído,
k = la permeabilidad efectiva,
y
P( r ,t ) = la presión dependiente del espacio y del tiempo.
El efecto del calentamiento en un pozo (a lo largo de la dirección z), se representa mediante
una viscosidad dependiente de la temperatura usada en la ley de Hagen-Poiseville. 2
wellz
( R ) P( z,t )V ................................................................................................(2)
8 (T ) z
donde
wellR = el radio del pozo.
La viscosidad, , se relaciona con la viscosidad cinemática, , mediante la relación:
...........................................................................................................................(3)
donde es la densidad del hidrocarburo. La fuerte dependencia en la temperatura para la
viscosidad (para valores de la viscosidad cinemática por encima de 2 mm2/s) viene
dada por la ley indicada en la Ecuación 4.4
1 2log (log( 0.7 )) A A log(T )..................................................................................(4)
donde
A1 y A2 son constantes características para cada hidrocarburo líquido (sin gases disueltos), y
T es la temperatura absoluta. Tal como se indica esquemáticamente en la Figura 2, en el
rango de temperaturas de los yacimientos (30 a 60°C), un incremento de unos pocos grados
puede reducir significativamente la viscosidad, con el correspondiente aumento en la
producción. Para crudos de 9.9 API, un aumento de temperatura de 30 a 40°C reduce la
viscosidad en un 67%, un aumento de 40 a 50°C causa una reducción del 62%, y un
aumento de 50 a 60°C reduce en un 57% la viscosidad. Los correspondientes incrementos
en la producción dependen de la distribución espacial de la temperatura en el yacimiento y
en el sistema del pozo.
Al igual que en el caso de muchas aplicaciones de calentamiento eléctrico, en el
caso del calentamiento de yacimientos existe un amplio rango útil de frecuencias en el
espectro electromagnético. En el límite inferior del espectro, en baja frecuencias (LF), la
energía se obtiene directamente de la red de distribución de 60 Hz.5 El calentamiento
inductivo requiere mayores frecuencias en el rango de radio frecuencias (RF) de 103 a 10
5
Hz, y puede haber calentamiento en el rango de las micro ondas (MW 109 a 3 × 10
10 Hz ).
6
Hasta el presente la mayor parte de los esquemas exitosos para la recuperación mejorada
del petróleo mediante calentamiento eléctrico se han realizado en el rango de bajas
frecuencias. En el pasado el calentamiento por micro ondas ha sido ampliamente usado
industrialmente fuera de la industria petrolera, pero su uso en el calentamiento de
yacimientos ha sido muy limitado auque recientemente ha despertado mayor atención.7–9
El análisis del calentamiento en baja frecuencia puede realizarse mediante un
enfoque circuital basado en la aplicación de las leyes de Kirchhoff : de voltaje (KVL) para
los voltajes a lo largo de un lazo, y de corrientes (KCL) para las corrientes que entran o
salen en un determinado nodo. En este rango de frecuencias, el calentamiento normalmente
se define como eléctrico (y no como electromagnético), y los parámetros usados son
voltaje, corriente, resistencia, inductancia y capacitancia. En el caso del análisis del
calentamiento por micro ondas, el análisis circuital es insuficiente y se requiere la
descripción completa de la teoría electromagnética, descrita por las ecuaciones de campo de
Maxwell en función de los vectores de campo eléctrico y magnético, E
, H
, la densidad
vectorial de densidad de corriente, J
, con propiedades de los materiales representadas por
la permitividad, , la permeabilidad magnética, M, y la conductividad, . En este rango de
frecuencias, el proceso de calentamiento se define correctamente como calentamiento
electromagnético. El caso de calentamiento por inducción puede ser descrito mediante un
enfoque mixto circuital y de campo.
1.1 Esquema de Calentamiento Concentrado: Resistivo de Baja Frecuencia e
Inductivo de Radio Frecuencias. Para el caso de pozos verticales, las Figuras 3a y 3b
ilustran los esquemas posibles que han sido propuestos y usados en la práctica. En este caso
concentrado, una unidad de calentamiento se sitúa en el pozo a la profundidad de la zona
productora. El calentamiento se genera localmente en el calentador, sitio donde la energía
eléctrica se convierte en térmica, y esta última es transferida al resto del sistema. El flujo de
calor se realiza por conducción y convección en el espacio del yacimiento, en el pozo y en
las áreas adyacentes. Debido al bajo rango de temperaturas generadas, se desprecia la
transferencia del calor por radiación.
En el caso de calentamiento resistivo concentrado, el calentador consiste de una o
más resistencias (en la Figura 3a, ilustramos un arreglo trifásico con conexión en
Y),conectadas mediante conductores metálicos a una fuente de poder en la superficie. En
los sistemas más sencillos, una fuente de 60 Hz, se conecta a la red de alimentación a través
de un mecanismo de control de potencia. Tal como se ilustra en la Figura 3b, en el caso de
calentamiento inductivo concentrado, la unidad calentadora consiste en una bobina de
alambre situada alrededor de un núcleo metálico. La bobina se conecta mediante
conductores metálicos a la superficie, donde una fuente de poder conectada a la red de 60
Hz, genera frecuencias de hasta varios kHz.
1.2 Esquema de calentamiento distribuido: Resistivo de Baja Frecuencia. Este caso se
ilustra en la Figura 4. Una fuente externa de poder (generalmente alimentada directamente
de la red de 60 Hz) que genera corrientes y voltajes de baja frecuencia se conecta por cable
a un dispositivo que establece un contacto a la sección perforada del revestidor y un
contacto a la tierra en superficie (A) o a un contacto situado en algún nivel inferior (B).
En ambos casos, hay un flujo de corriente a través de los estratos superiores e
inferiores del yacimiento, y a través del yacimiento mismo. En cada elemento de volumen
donde fluye la corriente se disipa energía eléctrica de acuerdo a los valores de resistencia y
capacitancia de los diferentes materiales. Se requiere el uso de secciones aislantes de
revestidor (fibra de vidrio impregnadas con epoxy), para asegurar un mayor flujo de
corriente en el yacimiento y por ello una mayor disipación de potencia eléctrica en esta
zona. Este esquema ha sido descrito a veces en la literatura técnica como calentamiento
electromagnético, aun cuando este término deber reservarse para frecuencias mucho
mayores que 60 Hz.
1.3 Esquema de calentamiento distribuido por microondas. Tal como se describirá
detalladamente más adelante, se puede transferir energía electromagnética en el rango de
frecuencia de microondas, desde fuentes superficiales al yacimiento mediante las
estructuras indicadas en la Figura 5. En el primer arreglo (A), la energía se transmite en el
espacio anular situado entre la tubería de producción y el revestidor en la forma de ondas
electromagnéticas transversas TEM. En el segundo caso (B), la energía se transmite a lo
largo de la tubería de producción en la forma de ondas transverso-eléctricas (TE), o
transverso-magnéticas (TM). Los esquemas indicados no requieren en principio de cables
desde la superficie, lo que simplifica las instalaciones. Por supuesto la energía también
puede ser transmitida al fondo mediante cables coaxiales o guías de onda adicionales.
2 Perspectiva Histórica
2.1 Calentadores Resistivos de Baja Frecuencia. Calentadores concentrados situados en
fondo de pozo han estado en uso por muchos años. Sus primeras aplicaciones –antes de
1969 – en la anterior URSS y en los Estados Unidos, han sido reseñadas por Farouq Ali
describiendo más de 70 pozos estimulados eléctricamente en la URSS y unos 60 pozos en
California.10
En otra publicación, Farouq Ali discute las primeras patentes otorgadas en la
URSS en 1934, y en los Estados Unidos en 1951. 11
La estructura de los calentadores
indicados en la Figura 6, no ha cambiado significativamente en el tiempo.*,12
Los elementos calentadores consisten en alambres de aleaciones de hierro-níquel-
cromo o de níquel-cromo enrollados sobre materiales de alta conductividad térmica y de
pocas pérdidas eléctricas, rodeando el conjunto por conchas metálicas cilíndricas. Los
alambres resistivos también pueden ser rodeados por polvos compactados de óxido de
magnesio.13–14
De acuerdo a Orfeil, el uso de los elementos de los calentadores se limita a
densidades superficiales de potencia menores a 2 vatios/cm2
debido a restricciones de la
máxima temperatura permisible.5
2.2 Calentamiento Distribuido de Alta Frecuencia. En 1976, Abernethy describió por
primera vez el calentamiento distribuido con microondas (ver la Figura 5), incluyendo un
modelo completo para el proceso propuesto, modelo a ser discutido detalladamente más
adelante en este trabajo. 15
2.3 Calentamiento Distribuido de Baja Frecuencia. En 1979, Gill reportó la aplicación
del primera sistema de calentamiento de baja frecuencia, monofásico y distribuido, en
yacimientos petroleros en Texas, Utah, y Méjico.16
Se describe como un sistema electro-
térmico para recuperación mejorada usando la estructura indicada en la Figura 7, con
excitaciones de 480 voltios y 60 Hz.
Vinsome et al. describen versiones recientes de sistemas distribuídos disponibles
comercialmente.17
La corriente desde la fuente de poder superficial fluye mediante tuberías,
cables, o una combinación de ambos. La Figura 8 ilustra un sistema posible donde la fuente
de poder se encuentra conectada por cable a la sección inferior de la tubería de producción
en contacto eléctrico con el yacimiento a través del revestidor metálico perforado.
2.4 Calentamiento Concentrado de Alta Frecuencia. En 1979, Bridges et al. Publicaron
un trabajo acerca del uso conceptual de potencia eléctrica en el rango de radio frecuencias
(10 KHz a 10 MHz), para el calentamiento de arenas bituminosas de UTA. La potencia se
aplica mediante un conjunto de electrodos metálicos insertados en la superficie del
* J. Rau, Petrotherm, Comunicación Personal, Tía Juana, Venezuela (1997).
yacimiento, en forma similar a un conjunto de condensadores.18
El esquema se ilustra en la
Figura 9.
Carlson et al. y Sresty et al.
Reportaron los resultados de pruebas de campo en
UTA, para calentamiento de alta frecuencia (2.2875 MHz y 13.56 MHz) y niveles de
potencia de 20 a 40 Kw.19,20
En la primera prueba exitosa se usó un esquema horizontal de
electrodos metálicos implantados que abarcaban un volumen de 1m3
de material. Una
segunda prueba con electrodos insertados verticalmente abarcando un volumen de 25m3 de
material, tuvo que ser interrumpida debido al colapso de la mas de arenas bituminosas, y
solo pudo ser completada al reforzar el soporte de los electrodos superiores.
2.5 Calentamiento de Baja Frecuencia Distribuido a lo Largo del Pozo. Calentadores
eléctricos de tiras flexibles (strip heaters), comercialmente disponibles en longitudes
continuas entre 1.000 y 3.500 pies, situados a los largo de la tubería de producción, han
sido usados por varios años para la reducción de depósitos de ceras. Recientemente el uso
de calentadores eléctricos ha sido aplicado para la reducción de depósitos de hidratos de
metano en tuberías superficiales.21
Los resultados de pruebas de campo publicadas en 1995 por Cheng et al., ilustran la
aplicación de calentamiento distribuido aplicado en varios pozos, mediante cables situados
dentro de las cabillas de producción.22
El arreglo usado se indica en la Figura 10, y es
representativo como esquema de calentamiento distribuido de baja frecuencia para pozos.
2.6 Calentamiento Distribuido de Baja Frecuencia para el Calentamiento de
Conjuntos de Pozos Verticales y Horizontales. McGee y Vermeulen describen la
aplicación de calentamiento distribuido para combinaciones de pozos horizontales y
verticales.23
La estructura propuesta en los sistemas indicados es esencialmente la que se
indica esquemáticamente en la Figura 11.
2.7 Modelos para el Calentamiento: Teóricos y Físicos. En 1957, Schild realizó el primer
modelo completo para estado estacionario para calentadores concentrados indicando los
primeros usos de estos esquemas de calentamiento.24
Abernethy fue el primero en reportar
un esquema teórico para describir la propagación de ondas de alta frecuencia en un
yacimiento.15
El mismo autor comparó la distribución estacionaria de temperatura,
producida por el esquema de alta frecuencia con la distribución de temperatura producida
por calentamiento concentrado. No se compararon las distribuciones transitorias de
temperatura.
En 1978, Todd y Howell publicaron un análisis numérico para un sistema de
calentamiento distribuido basado en una patente Canadiense. 25
No tomaron en cuenta
efectos debidos a la convección de los fluidos producidos y la distribución de la potencia
eléctrica se determinó mediante una red circuital resistiva.
Newbold and Perkins determinaron las pérdidas eléctricas debidas a la transmisión
de potencia de baja frecuencia (60 Hz a 2.400 Hz) desde la superficie hasta la profundidad
del yacimiento.26
Tanto las pérdidas debidas a las corrientes de Eddy así como las pérdidas
debidas a histéresis magnética fueron tomadas en cuenta en la transmisión tanto mediante
cables o por la tubería de producción.
Harvey et al. discutieron uns simulación de laboratorio para procesos de
waterflooding y calentamiento resistive distribuído. 27
Harvey y Arnold modelaron los
flujos concurrentes de agua y de corrientes eléctricas de baja frecuencias, sin considerar el
flujo calórico en las zonas inferior y superior del yacimiento. 28
Vermeulen y Chute describieron modelos físicos para el calentamiento resistive
distribuído y para calentamiento inductivo concentrado,29,27–28
y McPherson et al.30
modelaron la excitación estacionaria de bitúmenes de Athabasca para frecuencias en el
rango de 60 Hz a 250 kHz usando la teoría de líneas de transmisión para mejorar el modelo
de los electrodos metálicos. Bridges et al. discutieron la estimulación electromagnética para
pozos de petróleo pesado. 31,32
Killough y Gonzalez
presentaron un modelo numérico para calentamiento
distribuído de baja frecuencia pozo a pozo, comparándo los resultados con resultados
experimentales de El-Feky.33,34
En 1986, Hiebert et al. presentaron un simulador numérico bidimensional (2D) para
el calentamiento distribuído de baja frecuencia (60 Hz) que no toma en cuenta el flujo de
calor por convección.35
En el trabajo incluyeron una lista de patentes relacionadas a este
esquema de calentamiento.
Casey y Bansai calcularon el campo cercano producido por una antena dipolar.36
En
1989, Callarotti describió las limitaciones en frecuencia de circuitos R-C: resistivos-
capacitivos.37
Pizarro y Trevisan presentaron un modelo para interpretar los resultados de
una prueba de campo de calor distribuido de baja frecuencia, realizado en el campo de Río
Panon en Brasil.38
El modelo presentado no incluyó términos debidos a la convección ni
pérdidas calóricas a las zonas adyacentes al yacimiento. Tomaron en cuenta la existencia de
una fase de crudo y otra de agua.
En 1990, Fanchi examinó la propagación de ondas electromagnéticas cilíndricas
transversas en el yacimiento, corroborando la validez del modelo usado por Abernethy si se
considera que la fuente de radiación está lejos del yacimiento. 39,15
También en 1990,
Baylor et al. discutieron la respuesta estacionaria para el calentamiento distribuído de baja
frecuencia.40
En 1991 Islam et al. discutieron el calentamiento distribuído de baja
frecuencia para pozos horizontals.45
En la conferencia UNITAR realizada en el mismo año
en Caracas, el tópico del calentamiento eléctrico fue discutido ampliamente incluyendo
calentamiento por microondas y modelaje para altas frecuencias.42–46
En 1992, Callarotti y Di Lorenzo usando modelos circuitales R-C para analizar
tomografía de núcleos, y Sumbar et al. presentaron un modelo numérico para calentamiento
distribuído de baja frecuencia para crudo incompresible.47,48
En 1993, Dolande y Datta
derivaron soluciones analíticas para problemas de transferencia conductiva de calor en una
dimensión (1D) en presencia de potencia eléctrica irradiada y decreciente
exponencialmente en el espacio.49
A mediados de los 1990, Callarotti publicó la aplicación del modelaje circuital para
determinar las soluciones transitorias del flujo de fluidos en medios porosos usando un
nuevo modelo numérico que evita la iteración temporal – el método de autovalores
apropiados.50,51
Callarotti y Mendoza luego compararon las soluciones estacionarias y
transitorias para calentamiento concentrado y distribuido en presencia de diferentes tasa de
producción de petróleo.52
El flujo de crudo estaba desacoplado del proceso de
calentamiento.
En 1999 Soliman presentó un modelo numérico aproximado para describir el
calentamiento eléctrico de un yacimiento para niveles de potencia donde el agua presente se
vaporiza.53
En el mismo año, Hu et al. Presentaron los resultados de un modelo físico para
calentamiento en alta frecuencia de 5 a 20 MHz. 54
2.8 Medidas de Propiedades de Crudos y Yacimientos. La conductividad eléctrica para
crudos medianos y pesados y su dependencia de temperatura fueron medidas por Kendall
en 1978.55
Snow y Bridges, del Illinois Institute of Technology, reportaron experimentos
donde se aplicó potencia eléctrica en el rango de radio frecuencias (100 a 300 KHz) a
arenas bituminosas, comparando los resultados con los efectos debido a procesos de
pirólisis. 56,57
A comienzos de los 1980, Butts et al. midieron el calentamiento en el rango de
microondas (2.450 MHz) para arenas bituminosas de New Brunswick.58
Briggs et al.
midieron la respuesta de las mismas arenas en tres bandas de alta frecuencia: 10 a 1.000
MHz, 2 a 4 GHz, y 8 a 12 GHz, reportando un valor de permitividad relativa de = 0
(3.5–j0.2) a 915 MHz; Vermeulen y Chute
midieron muestras de los depósitos de
Athabasca en un rango de frecuencia de 50 Hz a 1 GHz.59,29
El efecto debido a la polarización interfacial, donde corrientes de difusión y la
presencia de carga especial fueron tomadas en cuenta, fue discutido por Sen y Chew.60
Ellos incluyeron una discusión de los altos valores anómalos de la constante dieléctrica de
rocas mojadas (hasta 1.000) previamente analizados por Poley et al.61
Ciertamente la
situación que ocurre en estos sistemas heterogéneos sólido/líquido es muy compleja – un
hecho bien conocido en experimentos donde se mide la impedancia electroquímica.
El caso referente a petróleo como material aislado es mucho más sencillo. Se encuentra
caracterizado por una muy pequeña conductividad eléctrica: = 2.5 × 10–8
siemens/m para
crudos medianos de gravedad de 0.9.55
La medida de la constante dieléctrica en el rango de
100 Hz a 3 GHz, no presenta comportamientos extraños, midiéndose una permitividad
relativa de = 0 (2.3 – j0.011) para las frecuencias más altas. **
2.9 Referencias Generales. En 1987, Prats publicó una nueva versión de su monografía de
1982 acerca de métodos térmicos de producción petrolera, incluyendo una revision de los
métodos de calentamiento eléctrico.62
En el mismo año, Vermeulen y Chute sugirieron una
nomenclatura a ser usada en procesos de calentamiento electromagnético de acuerdo a
diferentes aproximaciones de las ecuaciones de Maxwell.63
Chute and Vermeulen
analizaron actuales y potenciales aplicaciones del calentamiento eléctrico para la
producción petrolera incluyendo referencias completas acerca de este tópico.64
Duncan
revisó los esquemas de calentamiento eléctrico incluyendo esquemas de diseño y
terminaciones de pozos.65
Selyakov y Kadet publicaron un libro referente a procesos de percolación en medios
porosos, donde se discuten los efectos de corrientes alternas, ondas acústicas y efectos
disipativos. 66
Otros libros editados por Kraszewski y por Kinston and Haswell, representan
excelentes referencias para entender la interacción de la energía electromagnética con
diferentes materiales.67,68
3 Consideraciones de Ingeniería Eléctrica
En la mayor parte de las aplicaciones prácticas nos encontramos con campos que varían
periódicamente en el tiempo – generalmente el estado estacionario sinusoidal. En estos
**
Comunicación personal con W.B. Westphal, previamente asociado al MIT Laboratory for Insulation
Research, Cambridge, Massachusetts (1994).
casos los fenómenos eléctricos encuentran adecuada descripción mediante las ecuaciones
de Maxwell en termino de intensidades vectoriales complejas para los campos eléctricos y
magnéticos ( E and H ); densidades de campos eléctrico, magnético y corrientes
( D , B , J ); concentraciones complejas de carga (c); y parámetros complejos para los
materiales: conductividad, permitividad y permeabilidad magnética (, , M). En el caso
de excitaciones sinusoidales [exp (jt)] y en la ausencia de corrientes de difusión, las
ecuaciones de Maxwell, son:
c
E j B.
H J j D.
D .
B 0............................................................................................................................(11)
D ( ) E [ '( ) j "( )] E.
B
M ( ) H [ '( ) j "( )] H .
J ( ) E [ '( ) j "( )] E.
Tal como indicado, los parámetros materiales son números complejos generalmente
dependientes de la frecuencia. La frecuencia angular (en radianes por segundo) es = 2 f,
donde la frecuencia f se expresa en ciclos por segundo (Hz).
Los vectores físicamente significativos corresponden a la parte real del campo
vectorial complejo por [exp (jt)]. Por ejemplo, el vector físico que representa al campo
eléctrico viene dado por Real[ E exp (jt)].
La potencia irradiada por unidad de área viene dada por el vector complejo de
Poynting, S , definido como
donde * indica complejo conjugado.
Para un volumen, V, encerrado por una superficie, A, indicados en la Figura 12, la
integral sobre volumen de la divergencia del vector complejo de Poynting, S , nos da
Esta ecuación representa el balance de potencia para el volumen indicado.69 El término en
el lado izquierdo representa la potencia total que entra al volumen a través de su superficie.
Los primeros dos términos de la derecha representan la potencia almacenada en el volumen,
mientras que los últimos dos términos representan la potencia disipada en el volumen. Esta
potencia disipada depende de la parte real de la conductividad y de la magnitud del campo
eléctrico local, de las partes imaginarias de la permitividad y de la permeabilidad y de las
magnitudes de los campos eléctricos y magnéticos respectivamente. Si la permitividad y la
* * *
* * *
j jS dA ( ' H H ' E E ) dV " ( E E )dV
2 2
1'( ) ( E E )dV " H H " E E dV ......................................(13)
2 2
*1S E H ...................................................................................................................(12)
2
permeabilidad fueran reales la única potencia disipada dependería de la parte real de la
conductividad.
Resumiendo: la potencia irradiada hacia la parte interior del volumen es igual a la
suma de la tasa de incremento de la energía almacenada en el volumen más la potencia
disipada en el mismo.
Luego la potencia real disipada por unidad de volumen, PPUV, es
Este es el término que entra en las ecuaciones diferenciales que describen la transferencia
de calor. Los campos indicados son locales, lo que implica que en el caso de transmisión de
potencia desde la superficie al yacimiento, ellos deben ser debidamente evaluados tomando
en cuenta las pérdidas debidas a la transmisión.
La ecuación vectorial de ondas para excitación exp (jt), propiedades constantes en el
espacio (, , M), sin corrientes de difusión, y sin carga espacial C=0.
El entendimiento apropiado de los argumentos relacionados a la transmisión y
disipación de la potencia eléctrica para el calentamiento de pozos y yacimientos solo puede
derivarse del examen de las soluciones de las ecuaciones vectoriales de onda. Las
ecuaciones de onda, que se derivan de las ecuaciones de Maxwell70–72
, son
La constante de propagación, , se define como
Para apreciar su relevancia en el problema del calentamiento del petróleo, comenzamos
considerando soluciones en el sistema de coordenadas Cartesianas rectangulares x, y, z y en
el sistema de coordenadas cilíndricas, r,, z. Comenzamos discutiendo el caso de
coordenadas rectangulares.
Coordenadas rectangulares: propagación de ondas planas en la dirección z (z es la
dirección asumida para el flujo de energía).
Bajo estas condiciones tenemos:
Luego las ecuaciones de onda tienen las siguientes soluciones:
* *
PUV
1P '( ) "( ) ( E E ) "( ) ( H H ) .................................(14)
2
2 2 2 2E E 0 ; H H 0...................................................................................(15)
2 2
M M( ) ( ) j ( ) ( ) ...................................................................(16)
yH H( z ) i .................................................................................................................................(18 )
0 ; 0...............................................................................................................................(17)x y
xE E( z ) i ...................................................................................................................................(19)
.
A+ y A– son constantes de integración definidas por las condiciones de borde del problema.
Para el caso de propagación a lo largo del eje z en el espacio libre ( = 0, = 0 = 8.854 ×
10–12
farads/m, la permitividad del vacío, M = 0 = 4 × 10–7
henrys/m, la permeabilidad
del vacío) las soluciones son:
Estas ecuaciones representan ondas propagándose en la dirección +z con velocidad, V0 (la
velocidad de la luz en el vacío), una longitud de onda, 0, y una impedancia de onda, Z0
La Tabla 1 indica la variedad de longitudes de onda disponibles para propagación en el
espacio libre para diferentes valores de frecuencia, f.
La presencia de pérdidas ( = '– j", = '– j", M = ' + j") en las soluciones
del problema, convierte a la constante de propagación, , en
donde j es la unidad compleja, y los campos vienen dados por:
M
H( z ) A exp( j z ) A exp( j z ) exp( j t )..........................................(121)
FS 0 0 0E ( z ) A exp( j t j z ) A exp j z V t ...............................................( 22 )
' j " ' j " j ' j " j ,
Real ( ), Imag ( ) ...................................................................................( 28 )
8 1
0
0 0
1V 3.0x10 ,ms .......................................................................................( 25 )
( )
E( z ) A exp( j z ) A exp( j z ) exp( j t )................................................(20)
FS 0
0
1H ( z ) A exp( j t j z )......................................................................................(23)
Z
0 0 0
0
2( ) ....................................................................................................(24)
00
0 0
V2....................................................................................................( 26 )
f( )
00
0
Z ( 377,ohmios...................................................................................................(27)
y
Si < 0, la amplitud de la onda decrecerá a medida que ella viaja en la dirección +z . La
potencia real irradiada por unidad de área (PPUA) es
Coordenadas cilíndricas: propagación de ondas en la dirección r (r es la dirección
asumida para el flujo de energía o de potencia).
En este caso, para una propagación uniforme de una onda en la dirección r, tenemos:
Las ecuaciones de onda son
y
Para propagación en la dirección positiva de r, las soluciones surgen de las soluciones de
las ecuaciones de Bessel 73
en función de las funciones de Hankel: ( 2 )
0H y ( 2 )
1H .74
E ( x ) A exp j t exp j x exp x .....................................................................( 29 )
0 ; 0...............................................................................................................( 32 )z
21 E( r )r E( r ) 0,..................................................................................( 35 )
r r r
( 2 )
0
( 2 )
1
M
E( r ) A H ( r ) exp( j t ) ................................................................................( 37 )
jH( r ) A H ( r ) exp( j t )...............................................................
.....( 38 )
2*
PUA *
M
1 jP Real E H 0.5 A Real exp( 2 x ) ..............................(31)
2
M
H ( x ) A exp j t exp j x exp x .......................................................( 30 )
zE E( r ) i ....................................................................................................................( 33 )
H H( r ) i ..................................................................................................................( 34 )
2
2
1 H( r ) H( r )r H( r ) 0.................................................................( 36 )
r r r r
La naturaleza de las ondas propagándose en la dirección +r se aprecia claramente de las
funciones de Hankel en el límite de grandes argumentos ( r >> 1).
Esencialmente esta es la aproximación de campo lejano usada por Abernethy.15
La parte
real de la potencia por unidad de área irradiada en la dirección positiva de las r, es
3.1 Electrodos cuya Geometría Permite la Propagación de Ondas Electromagnéticas
Transversas (TEM). Las configuraciones de electrodos indicadas en la Figura 13,
permiten propagación TEM, para todo valor de frecuencia. Tanto el caso monofásico (dos
cables) así como en el caso de transmisión trifásica (normalmente usado en las redes de
transmisión de potencia de 60 Hz), la energía se encuentra distribuida tanto en la sección
transversal de los cables (la menor parte) así como en el espacio que los rodea. Los cables
metálicos simplemente guían a la energía eléctrica a lo largo de la línea. En las otras
estructuras indicadas, la energía se encuentra confinada entre los electrodos metálicos. La
estructura coaxial existe naturalmente en pozos horizontales y verticales donde
conceptualmente puede ser usada para transmitir energía eléctrica a alta frecuencia, de la
superficie al yacimiento.
3.2 Transmisión TEM en Líneas Coaxiales. La solución correspondiente a un cable
coaxial alineado con la dirección z (radio interno = ar , radio externo = br ) se encuentra en
la Ref. 75. Para un coaxial lleno con un material con M = 0 y = 0, los campos y la
constante de propagación son
Si incluimos las pérdidas debidas a la conductividad de las paredes metálicas (ver detalles
en la sección referente a guías de onda en este trabajo), y si esa conductividad es
suficientemente grande, tendremos:
( 2 ) ( 2 )
0 1
2H ( r ) H ( r ) exp j r .............................................( 39 )
r 4
2* ( 2 ) ( 2 ) *
PUA 0 1*
M
1 jP Real( E H ) 0.5 A Real H ( r ) H ( r ) ................( 40 )
2
coax coax
D M
1H ( z ) A exp j z exp j t exp z exp z .................( 45 )
r
r
1E ( z ) A exp j z exp j t ......................................................................( 41)
r
0
1H ( z ) A exp j z exp j t ...........................................................( 42 )
r
2
0 ( ' j ").................................................................................................( 43 )
coax
r D M
1E ( z ) A exp j z exp j t exp z exp z ..............................( 44 )
r
y
donde hemos indicado separadamente el factor de atenuación debido a la conductividad
finita de las paredes metálicas ( M ) y el factor de atenuación debido a la parte imaginaria
de la permitividad (D ), los cuales son:
y
Las pérdidas del coaxial debidas a las paredes metálicas son un mínimo para cables con
( br / ar ) 4 .
3.3 Guías de Onda. Las estructuras metálicas indicadas en la Figura 14, fueron
desarrolladas para la transmisión de energía electromagnética en el rango de frecuencia de
las microondas (3 a 300 GHz), ya que presentan pocas pérdidas a estas frecuencias.
Reciben el nombre de guías de onda y las circulares tienen potencial importancia para la
excitación de pozos y yacimientos a muy altas frecuencias.
La ondas que pueden ser transmitidas a lo largo de las estructuras indicadas tienen
componentes de campo a lo largo de la dirección de propagación, aquí asumida como el eje
z. Se llaman modos transverso magnéticos (TM) aquellas ondas que no tengan componente
de campo magnético en la dirección z (Hz = 0). Se definen como modos transverso
eléctricos (TE) las ondas que no tienen componente de campo eléctrico en la dirección de
propagación z (Ez = 0). La constante de propagación, , depende de las propiedades de los
materiales (, , y M del medio encerrado en la guía, y de mw de las paredes metálicas) y
de las dimensiones de las guías. De acuerdo a la frecuencia aplicada, una determinada guía
presentará ondas que viajan a lo largo de la guía (modos que propagan), o ondas que se
atenúan definidas como modos evanescentes. Examinamos detalladamente el caso de guías
cilíndricas en vista de su importancia en la propagación en tuberías petroleras roscadas o en
tuberías continuas - coil tubing.
3.4 Guias de Onda Cilíndricas: Modos TM ( Hz = 0, = 0, " = 0, M =0 , radio = a,
mw = ).
La constante de propagación para estos modos es 75
coax
D
"...................................................................................................................( 48 )
2 '
coax
0 ' ..................................................................................................................( 46 )
b aM
mw bb a
a
( r r )1.....................................................................................( 47 )
2 2 rln ( r r )
r
Las diferentes constantes n ,m
TMp surgen al imponer las condiciones borde en las paredes
metálicas. 75
Los menores valores son: 0 ,1
TMp = 2.405, 1,1
TMp = 3.382, y 0 ,2
TMp = 5.135. Para cada
valor existe un determinado modo de solución. De acuerdo al valor de la frecuencia, la
constante de propagación será real (propagación) o imaginaria (atenuación). Se define
como frecuencia de corte, C, el menor valor de , para el cual hay propagación ( real).
3.5 Guías de Ondas Cilíndricas: Modos TE. ( Ez = 0, = 0, " = 0, M =0, radio = a,
mw = ).
La constante de propagación para estos modos es
Nuevamente las constantes n ,m
TEp surgen al imponer las condiciones borde en las paredes
metálicas. 75
Los menores valores son: 1,1
TEp = 1.841, 1,2
TEp = 3.054, y 0 ,1
TEp = 3.832. La
frecuencia de corte para modos TE es
Para guías cilíndricas el primer modo en propagarse a medida que se aumente la frecuencia
es el modo TE11 ya que presenta la menor frecuencia de corte. Si la guía es vacía o llena
con un material con las mismas propiedades similares al vacío (0 y 0), este modo tendrá
una longitud de onda a la frecuencia de corte, dada por C0,TE11 = 3.41a. La situación para
este y otros modos se ilustra en la Figura 15.
3.6 Atenuación Causada por las Paredes Metálicas. Las relaciones indicadas arriba
asumieron una conductividad infinita para las paredes de las guías mw = . Sin embargo,
las paredes metálicas reales tienen una conductividad grande pero no infinita, mw, de
manera que las ondas se atenuarán a medida que la onda viaje a lo largo de la guía aunque
la frecuencia sea mayor que la frecuencia de corte. Las atenuaciones para los modos TE y
TM son
n ,m
TM 2
TM 2
n,m 0 2
( p )................................................................................................( 49 )
a
TM TM
C 01
0
2.405.....................................................................................................( 50 )
a
n ,m
n ,m
TE 2
TE 2
0 2
( p )...............................................................................................( 51)
a
TE TE
C 11
0
1.841...................................................................................................( 52 )
a
y
donde
Estas constantes de atenuación determinan las pérdidas de energía que ocurren en las
paredes metálicas (donde la energía eléctrica se convierte en calor), limitando la cantidad
de potencia disponible a una distancia L a lo largo de la guía. La Figura 16 ilustra la
dependencia de frecuencia de la atenuación para los modos TE11, TE01, y TM01 en el caso
de una guía circular vacía( M 0 0, , 0 ) de radio a . La figura ilustra igualmente
la atenuación de un cable coaxial vacío con un radio externo, a, y un conductor interno de
radio, a/4.
El modo TE01 presenta una atenuación que decrece monotónicamente a medida que
la frecuencia aumente, lo que implica que este modo es el más conveniente para
transmisión a alta frecuencia. Ya que la potencia transmitida depende de productos (E,H) la
atenuación para la transmisión de potencia será el doble de la atenuación de los campos.
TM mn,m mw
TM 2
c,n,m
0 2
0
R( ) { } .................................................................................( 54 )
( k )aZ (1 )
k
0m
mw
R ...................................................................................................................( 55 )2
TE 2 2TE c,n,mmn,m mw 2 TE 2 2
TE 20 n,m
c,n,m
0 2
0
( k )R n( ) { }{ } ....................................( 53 )
k [( p ) n ]( k )aZ 1
k
0Z ........................................................................................................................( 56 )
TM
TM c,n,m
c,n,m
pk ..................................................................................................................( 57 )
a
TE
TE c,n,m
c,n,m
pk ..................................................................................................................( 58 )
a
0 0k .................................................................................................................( 59 )
La atenuación puede ser medida en nepers/m o en decibeles, y la relación entre estos dos
tipos de unidades es
La Figura 17 indica la fracción de la potencia aplicada a la entrada de una guía de onda o de
un cable coaxial, que llega al final de una línea de 1 Km de largo, en función de la
frecuencia usada. Las guías son mucho mejor transmisores de potencia a alta frecuencia. La
potencia que se “pierde” se convierte en calor en las paredes.
En ambas estructuras, guías o cables coaxiales que encierren materiales que no
absorben ( M 0 0, , 0 ), para frecuencias mayores a la frecuencia de corte, la
atenuación se debe a la inducción de corrientes eléctricas en una capa superficial en las
paredes metálicas. Este es el mismo mecanismo presente en cualquier alambre que
conduzca una corriente eléctrica.
La potencia eléctrica que se “pierde” en las paredes, se convierte en calor, lo que
puede ser conveniente para ciertas aplicaciones petroleras. Seleccionando una frecuencia
determinada, la relación entre pérdidas en las paredes y la potencia transmitida puede ser
seleccionada a voluntad.
3.7 Calentadores Inductivos Concentrados. Los calentadores inductivos han tenido
múltiples aplicaciones fuera de la industria petrolera, en fundiciones de acero para fundir
aleaciones livianas (aluminio y magnesio), y en fundiciones de cobre y cinc. 5,6
El sistema
fundamental consiste en un núcleo metálico es excitado por una bobina de alambre que
conduce una corriente eléctrica alterna, en la forma indicada en la Figura 18. Los metales se
caracterizan por altas conductividades ( =107 siemens/m) y por permitividades y
permeabilidades reales ( 0 , 0).
Para un campo magnético alterno de magnitud, H0, en la dirección z a lo largo del
eje del núcleo, los campos eléctricos y magnéticos en el interior del núcleo metálico son
J0 y J1 son funciones de Bessel de argumento complejo. Si se selecciona la frecuencia
aplicada, , de manera que 0 , tenemos
La potencia promediada en el tiempo, que entra al núcleo en r = a (en la dirección –r) es
2
0j .........................................................................................................(63 )
2 2 01
real 0 0 R
0
j aJ ( a )P ( a ) H Re H Re ................(64 )
2 J ( a ) 4
10atenuacion ( decibeles / m ) atenuacion ( nepers / m ) 20 log ( e )
9.6858 atenuacion ( nepers / m ) .................................................................................(60 )
0z 0
0
J ( r )H ( r,t ) H exp( j t ) .................................................................................(61)
J ( r )
10
0
J ( r )E ( r,t ) H exp( j t ) ............................................................................(62 )
J ( r )
donde
Es una permeabilidad relativa efectiva, R, indicada en la Figura 19.76,77
La potencia real
por unidad de área que entra al núcleo es
La potencia real por unidad de área crece como ()1/2
para altos valores de frecuencia, pero
a medida que crece la frecuencia, la potencia se concentra cerca de la superficie del núcleo,
tal como se indica en la Figura 20. Para altas frecuencias el calentamiento se induce cerca
de la superficie del núcleo.
3.8 Ganancia de Potencia (GP) en Procesos de Calentamiento Eléctrico Usados en
Producción Mejorada de Petróleo. En cualquier proceso de producción mejorada de
petróleo donde se aumenta la producción mediante la aplicación de algún proceso que
requiera una determinada cantidad de potencia, es muy importante considerar la ganancia
de potencia (GP) del proceso. Para un determinado proceso de calentamiento eléctrico que
logre aumentar la producción en una cantidad de (Q) barriles por día, aplicando una
potencia de PE kw de potencia eléctrica (generada mediante un proceso de eficiencia, ),
nosotros definimos una ganancia de potencia, GP, como
donde es del orden del 30% para la generación térmica de energía eléctrica, 85% en el
caso de generación hidroeléctrica, y 15% en el caso de la generación de microondas. El
factor de eficiencia, , representa la relación entre la energía eléctrica de 60 Hz generada en
un determinado proceso (térmico / hidroeléctrico) y la energía de entrada al sistema. La
energía eléctrica en el rango de las microondas se genera a partir de energía de 60 Hz con
una eficiencia aproximada del 50%.
El factor 68,366 se origina de la equivalencia energética de un barril estandard de
crudo cuyo contenido calórico es de 5.6 millones de Btu, y de la equivalencia de 1 kw-h =
3,413 Btu.78
Luego, 1 barril de crudo por día es equivalente a 68,366 kw. Para los
diferentes procesos de generación de energía eléctrica, las diferentes ganancias serán
aproximadamente
Este concepto de ganancia de potencia es útil para la comparación de diferentes procesos de
producción mejorada, en nuestro caso para comparar procesos que usen calentamiento
eléctrico con inyección de vapor. Este ultimo proceso ha sido el más aceptado para la
E
68,366 ( Q )GP ..................................................................................................(67 )
P
Termica Hidro Micro Termica Hidro.
E E
20 Q 58 QGP , GP , GP 0.5 GP 0.5 GP .......(68 )
P P
' "1R R R
0
J ( a )2j ...........................................................................(65 )
a J ( a )
2 "0real 0 R
aP ( a ) ( H ) .................................................................................(66 )
4
producción de crudos pesados y extrapesados en las últimas cuatro décadas, y se caracteriza
por un valor de GP del orden de 10.†
3.9 Origen de las Pérdidas Dieléctricas. Para el cálculo del calentamiento eléctrico de
pozos o yacimientos, podemos despreciar pérdidas asociadas a la permeabilidad magnética
de los yacimientos o del crudo ya que 0. En las estructuras metálicas que llegan al
yacimiento pueden existir pérdidas debidas a la histéresis del movimiento de los dominios
magnéticos. En un determinado volumen de yacimiento o de crudo, la potencia disipada en
un determinado volumen, V, viene dada por
Las pérdidas debidas a la presencia de "(), se definen como pérdidas dieléctricas. Son
causadas por diferentes procesos: electrónicos, iónicos, de orientación, y debidos a carga
espacial o interfaciales.79
Todos estos procesos ocurren debido el efecto del campo
eléctrico sobre las distribuciones de cargas eléctricas que existen en los materiales. La
naturaleza de los diferentes mecanismos se indica en la Figura 21.
Los mecanismos (A) y (B) implican la existencia de dipolos inducidos por el campo,
mientras que (C) ocurre en materiales polares con dipolos permanentes. El proceso (D)
ocurre debido a complicadas distribuciones de carga en las superficies entre dos materiales
- como las que existen entre un sólido y un líquido. Cada uno de los mecanismos implica
pérdidas energéticas que se asocian a fuerzas “friccionales” presentes en el movimiento de
los dipolos al seguir las variaciones del campo eléctrico. Las diferentes pérdidas ocurren en
diferentes rangos de frecuencia tal como indicado en forma esquemática en la Figura
22.67,68
Las pérdidas en el rango de frecuencia de las microondas se deben a la presencia de
moléculas polares (como las del agua) o debido a la existencia de efectos complicados
debidos a la presencia de cargas espaciales.
Ya que los crudos (sin agua) son principalmente un conjunto de moléculas no
polares, ellos son prácticamente transparentes para energías electromagnéticas en los
diferentes rangos de frecuencia ('/0 = 2 a 4, " 0). La situación es diferente en un
yacimiento puede haber agua asociada a la matriz sólida, bien sea adsorbida sobre la
superficie de los granos o asociada químicamente con otras moléculas. La resonancia del
agua libre ocurre cerca de 20 GHz (a temperatura ambiente), mientras que la absorción del
agua ligada a otros elementos ocurre a menores frecuencias.
La curva básica que describe cada absorción presenta resonancias descritas por
curves de Debye, en función de permitividades relativas a cero frecuencia y a muy alta
frecuencia, y en función de una constante de tiempo, ,
Esta expresión implica la existencia de un diagrama semicircular Cole-Cole, tal como se
indica en la Figura 23. En términos circuitales este diagrama es similar al diagrama que
describe el comportamiento de una combinación paralela de una resistencia y una
† Comunicación Personal con H. Mendoza, PDVSA División de Producción y Exploración, Lagunillas,
Venezuela, (1998).
21
Pdisipada ( ) dV "( ) ( ) E ..............................................................(69 )2
'( ) '(0 )( ) '( ) ....................................................................................(70 )
1 j
capacitancia. En la práctica generalmente se observa el comportamiento indicado por la
elipse segmentada, lo que se atribuye a la existencia de múltiples mecanismos con
diferentes constantes de tiempo.
4 Consideraciones Acerca del Modelaje del Flujo de Fluidos
En el proceso de modelar a un sistema determinado, uno siempre se enfrenta con el
problema de seleccionar el nivel de complejidad que permita predecir correctamente la
respuesta de interés. In el caso del calentamiento eléctrico de pozos y yacimientos para
crudos pesados y extra-pesados, para frecuencias inferiores a las frecuencias en el rango de
las microondas y considerando una sola fase líquida (sin fases gaseosas), el sistema de
ecuaciones a ser presentadas en esta sección (en coordenadas cilíndricas), se consideran
suficientes. El problema permanece no resuelto para el calentamiento de yacimientos por
microondas, donde un modelo completo que correctamente considere las pérdidas del
sistema de granos sólidos, líquidos con gases y sales disueltas – en presencia de corrientes
de difusión y cargas espaciales – aún no está disponible.
12.4.1 Procesos Térmicos. El flujo de energía calórica por unidad de area y por unidad de
tiempo ( TQ ) en presencia de convección forzada debida a la velocidad del fluido, V , viene
dado por
T T PQ K T C V T ......................................................................................(71)
donde KT es la conductividad térmica, es la densidad del líquido, y es el calor específico a
presión constante.80
En presencia de disipación de potencia eléctrica, un balance energético
descrito por
2
PUV
T T T
1 1 T 1T (V T ) P .....................................................................(72 )
t K
donde T es la difusividad térmica, y PPUV la potencia disipada por unidad de volumen
(eléctrica en nuestro caso). Luego, en un sistema de coordenadas cilíndricas con simetría
axial con respecto al eje z, las ecuaciones diferenciales para una región de parámetros
independientes del espacio es 2 2
r z2 2
T
r zPUV
T T
T 1 T T 1 T T(V V )
r r r z K r z
V V 1 T 1T ( ) P ...............................................................................(73 )
r z t K
El tercer término a la izquierda, el producto de la temperatura por la divergencia de la
velocidad, no ha sido considerado en muchos modelos de calentamiento de yacimientos y
es nulo para el caso de fluidos incompresibles.
4.2 Flujo de Fluidos en Medios Porosos. La ecuación para el flujo de fluidos en medios
porosos, asumida como válida para representar un mecanismo de empuje por gas (gas
solution drive), es
2 2
2 2
P 1 P P c P...................................................................................(74 )
r r r z k t
donde P es la presión, (T) la viscosidad dependiente de la temperatura, k es la
permeabilidad, c es la compresibilidad, y es la porosidad.81–83
La velocidad del fluido, V
(asumiendo que solamente tenemos petróleo presente) tiene las siguientes componentes
r
k PV ..................................................................................................................(75 )
r
z
k PV ...................................................................................................................(76 )
z
El flujo de masa de fluido por unidad de área, mQ , y la viscosidad cinemática dependiente
de la temperatura, , son
mQ V .....................................................................................................................(77 )
y
(T )(T ) ..................................................................................................................(78 )
4.3 Procesos Eléctricos. En el caso de calentamiento eléctrico concentrado, donde una
corriente sinusoidal de valor efectivo (RMS) I ( maxI I 2 ) fluye en un alambre de
resistencia, R, la potencia real disipada es I2R. La potencia por unidad de volumen es
uniforme sobre el volumen del alambre si la profundidad de penetración es mucho mayor
que el radio del alambre. La profundidad de penetración, S , indica como los campos
electromagnéticos penetran en un material con conductividad , y viene dada por
S
M
2.............................................................................................................(79 )
El comportamiento de la profundidad de penetración, en función de la frecuencia, se indica
en la Figura 24 para materiales típicos para resistencias (aleaciones de níquel-cromo con
conductividad de 107
siemens/m). A medida que la frecuencia aumenta, se llega al régimen
de calentamiento inductivo previamente discutido.
En el caso de calentamiento distribuido de baja frecuencia, donde las corrientes
fluyen en el yacimiento y en las regiones adyacentes, las conductividades de los materiales
involucrados son mucho más pequeñas (0.021 a 0.10 siemens/m), que las conductividades
metálicas. Luego las correspondientes profundidades de penetración son grandes, lo que
implica la penetración de los campos en las regiones consideradas. La determinación de la
energía disipada por unidad de volumen se puede obtener de la solución de las ecuaciones
de Maxwell en el límite de baja frecuencia
E j H , E 0 .........................................................................( 80 )
lo que nos permite definir un potencial
E ........................................................................................................................( 81)
y la densidad de corriente es
0J ( j ) E .....................................................................................................( 82 )
Luego, cada elemento de volumen, indicado en la Figura 25, puede ser representado por
una serie de resistencias, capacitancias e inductancias que lo conectan a otros elementos. El
circuito equivalente resultante se ilustra en la Figura 26, y los correspondientes valores de
conductancia y capacitancia son indicados a continuación.47
2 2π ( rd rc ) 2 π ( z )Yz ; Yr ...................................................................( 83 )
rb( z )ln ( )
ra
2 2
0 0π ( rd rc ) 2 π ( z )Cz ; Cr .................................................................( 84 )
rb( z )ln ( )
ra
Para frecuencias de 60 Hz o menores – usadas en calentamiento distribuido – las
capacitancias son despreciables. Para obtener la solución de los sistemas es suficiente
resolver las ecuaciones generadas aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo,
obteniéndose los voltajes de dichos nodos. Al conocerse los voltajes, se determina la
potencia eléctrica disipada por unidad de volumen de yacimiento, factor que entra en las
ecuaciones de transferencia de calor.
Aun cuando no sea necesario, la visualización de las ecuaciones de transferencia de
calor y las ecuaciones de flujo mediante circuitos eléctricos equivalentes es de gran
utilidad.46,47,50,51,84
Este enfoque es particularmente útil para tratar el caso de regiones cuyos
parámetros varían espacialmente. Para los elementos de volumen indicados en la Figura 25,
los circuitos equivalentes para el flujo de fluidos en medios porosos y para la transferencia
de calor con convección forzada y disipación volumétrica de potencia se ilustran en las
Figuras 27 y 28.
Para flujo de fluido, los valores de las componentes circuitales son 2 2π k ( rd rc ) 2 π k ( z )
YVz ; YVr ............................................................( 85 )rb(T ) ( z )
(T ) ln ( )ra
2 2CV c π ( rd rc )( z ) .......................................................................................( 86 )
y 2 2IVexc P( z,r,0 ) c π ( rd rc )( z ) ............................................................( 87 )
donde las corrientes de excitación (IVexc) introducen las condiciones iniciales para la
presión.
En el caso térmico, los valores de los diferentes elementos circuitales son 2 2
T Tπ K ( rd rc ) 2 π K ( z )YTz ; YTr ........................................................( 88 )
rb( z )ln ( )
ra
2 2T
T
KCT π ( rd rc )( z ) .......................................................................................( 89 )
y
2 2TPUV
T
KITexc T( z,r,0 ) P π ( rd rc )( z ) ..................................................( 90 )
donde las corrientes de excitación (ITexc) introducen las condiciones iniciales para la
temperatura y las potencias disipadas por unidad de volumen.
Tal como indicamos antes el enfoque circuital es muy útil en el caso de regiones
cuyos parámetros varían en el espacio. Por ejemplo, las ecuaciones que describen el flujo
de fluido en un medio poroso se originan de un balance de masa dado por
( )( v ) ....................................................................................................( 91)
t
de donde, para el caso de compresibilidades y porosidades independientes del espacio, se
obtiene
k P( P ) c ........................................................................................( 93 )
(T ) t
lo que permite derivar las ecuaciones indicadas al comienzo de esta sección, solamente si k
y (T) son independientes de posición. En el caso del calentamiento de yacimientos, la
temperatura varía en el espacio, lo que implica una dependencia espacial de la viscosidad, y
la ecuación de flujo se convierte en
2k k P
( P ) P ( ) c ....................................( 94 )( T( r,z ) ) ( T( r,z ) ) t
12.4.4 Flujo de Fluido en el Pozo. Para el caso de un flujo laminar de un fluido
monofásico, la velocidad del fluido en la dirección z alineada con el eje del pozo, para un
pozo de radio Rwell viene dada por la relación de Hagen-Poisseuille 2
wellz
( R ) PV ......................................................................................................( 95 )
8 (T ) z
4.5 Solución del Modelo para Pozos Verticales: Calentamiento Concentrado vs.
Calentamiento Distribuido. Cerramos esta sección presentando la comparación del
calentamiento concentrado vs. calentamiento distribuido de baja frecuencia (60 Hz y de
acuerdo con el esquema (B), sindicado en la Figura 4). Las condiciones para el yacimiento
y el pozo, coinciden con aquellas indicadas en la prueba de campo realizada en Tía Juana
en Venezuela. 85
La Figura 29 indica las respuestas calculadas para ambos tipos de calentamiento,
para diferentes niveles de potencia aplicada. A medida que aumenta la potencia aplicada, el
calentamiento distribuido indica una mejor producción, aunque requiere unos días
adicionales para llegar a estado estacionario. En ambos casos la respuesta es rápida,
coincidiendo con lo reportado en la mayoría de las pruebas de campo.
La Figura 30 presenta la respuesta en producción para ambos casos de
calentamiento para una potencia aplicada de 30 Kw. La respuesta indicada para el caso
concentrado corresponde a diferentes condiciones de control de temperatura en el
calentador. Cuando la temperatura supera un determinado punto de referencia (85 C en este
caso) el calentador se apaga, para prenderse nuevamente cuando la temperatura decrece. En
la mayoría de las situaciones de campo reportadas en la literatura, no se especifica la
temperatura de referencia – o la potencia promedio aplicada, y esto impide realizar un
cálculo real de las diferentes ganancias de potencia.
La Figura 31 ilustra la dependencia temporal de la temperatura. En el caso de
calentamiento concentrado, la reducción de la temperatura se debe al aumento de la
convección a medida que aumenta la producción. La ganancias de potencia dadas por los
modelos – en el caso sin limites de temperatura – se resumen en la Tabla 2.
Como nota adicional, es conveniente indicar que los controles de los calentadores
implican el uso de dispositivos no-lineales (tales como rectificadores de control de silicio)
que cambian la naturaleza sinusoidal de las ondas aplicadas. La presencia de harmónicos
implica la presencia de frecuencias adicionales a los 60 Hz iniciales, y pueden afectar la
medida de los medidores de potencia que se encuentran usualmente en el campo.
5 Pruebas de Campo
Con algunas excepciones, solamente indicamos aquellas pruebas de campo para las cuales
se indica tanto la potencia aplicada, así como el aumento observado en la producción. Ya
que se reporta normalmente la máxima potencia instalada (y no la potencia real aplicada)
las ganancias energéticas indicadas serán menores que las reales.
5.1 Southwest Texas Proprietary Lease. Reportado por Gill.16
Año: 1983; calentamiento
distribuido de baja frecuencia (60 Hz); profundidad del yacimiento: 3,000 ft; tipo de crudo:
parafínico y asfáltico , 11 API; producción inicial : 0 B/D; producción final: 76 B/D con
150 Kw aplicados y 10 B/D con 12 Kw;
GP: 20 × 76/150 = 40 y 20 × 10/12 = 17.
5.2 Eastern Utah (Small Independent Company). Reportado por Gill.16
Año: 1983;
calentamiento distribuido de baja frecuencia (60 Hz); profundidad del yacimiento: 2,800 ft;
tipo de crudo: parafínico y asfáltico , 22 API; producción inicial : 4 BOPD, 25 BWPD;;
producción final: 50 BOPD y 10 BWPD con 60 Kw aplicados;
GP: 20 × 46/60 = 15.
5.3 Oil Shales, Avintaquin Canyon, Utah. Reportado por Sresty.20
Año: 1980;
calentamiento distribuido de alta frecuencia (5 a 20 Kw para 13.56 MHz) aplicado a
sistemas de electrodos insertados en el yacimiento (1 metro cúbico de material); depósitos
superficiales; producción final: 20 galones por un período no especificado, GP no se puede
determinar.
5.4 Tar Sands, Asphalt Ridge, Utah. Reportado por Sresty.20
Año: 1981; calentamiento
distribuido de alta frecuencia (40 a 75 Kw para 13.56 MHz) aplicado a sistemas de
electrodos insertados en el yacimiento (25 metros cúbicos de material); depósitos
superficiales; producción inicial: 0 B/D; producción final: 8 B/D por un período de prueba
de 20 días;
GP: 20 × (8/20)/40 = 0.2.
Comentario. El cálculo de GP asume que la potencia indicada es la potencia de la
fuente de 60 Hz usada para generar las micro ondas..
5.5 South Central Oklahoma. Reportado por Gill.16
Año: 1983; calentamiento
distribuido de baja frecuencia (60 Hz); profundidad del yacimiento: 7,200 ft; tipo de crudo:
11 API; producción inicial: 20 BWPD – con inyección de diluente ; producción final: 50
BOPD con 56.6 Kw y 80 B/D con 100 Kw;
GP: 20 × 30/56.6 = 10.6 y 20 × 60/100 = 12.
5.6 Rio Panon, Brazil (Petrobras). Reportado por Pizarro y Trevisan.38
Año: 1987;
calentamiento distribuído de baja frecuencia (60 Hz – pozo a pozo); profundidad del
yacimiento: aproximadamente 1,000 ft; espesor de la zona productora: 28 ft; permeabilidad:
4 darcy; porosidad: 27%; tipo de crudo: densidad 0.9612; viscosidad: 2,500 cp en
condiciones de yacimiento; temperatura de fondo de pozo: 37.7°C; presión de fondo: 284
psi; producción inicial: 1.2 B/D; producción final: 6.3 B/D para 20 Kw y 12.6 Kw para 30
Kw;
GP: 20 × (5.1)/20 = 5.1 and 20 × 11.4/30 = 7.6.
Comentario. La prueba se suspendió a los 70 días debido a problemas en el sistema
de control de voltaje.
5.7 Sparky Formation, Frog Lake, Canada (Pozo de la Empresa Mazzei Oil and Gas
Ltd. Reportado por Vinsome et al.17
Año: 1988; calentamiento distribuido de baja
frecuencia (2 a 60 Hz) con secciones aisladas de revestidor y de tubería de producción, con
control de temperatura en fondo de pozo; profundidad: 1270 ft; espesor de la zona
productora: 18 ft; porosidad: 0.25 a 0.35; tipo de crudo: 11.5 API; viscosidad: 10,000 cp;
producción inicial: 18.8 B/D; producción final: 75.4 B/D con una potencia promedio de 15
Kw;
GP: 20 × (56.6)/15 = 75.5.
5.8 Lloydminster Heavy Oil Reservoirs (Pruebas Realizadas en Wildemere,
Northminster and Lashburn). Reportado por Davison.86
Años: 1989/1990; calentamiento
distribuido de baja frecuencia (60 Hz) con revestidor aislado y control de temperatura en
fondo de pozo; calentamiento de la tubería de producción en Lashburn; tipo de crudo: 11.4
API; para calentamiento del yacimiento - producción inicial: 25 B/D y producción final: 69
B/D con una potencia de 15.5 Kw; para calentamiento de pozo - producción inicial: 25
B/D y producción final: 50.3 B/D con una potencia de 24 Kw
GP: 20 × 44/15.5 = 56.7 (yacimiento)
GP: 20 × 25.3/24 = 21 (tubería de producción)
Comentario. Los proyectos fallaron en Northminister y en Lashburn debido a fallas
de aislamiento y en Wildemere debido a problemas en el yacimiento.
5.9 Pozos JOC-570 y 571 de Lagoven-PDVSA, Campo Jobo (Cerca de Morichal en
Venezuela). Datos. Años: 1992/1993; calentamiento distribuido de baja frecuencia,
secciones aisladas del revestidor con contol de temperatura en el fondo, profundidad del
yacimiento: 3,800 ft; espesor de la zona productora: 44 ft; resistividad 500 ohm/m, 22% de
agua;
producción inicial: JOC-570 (con inyección concurrente de diluyente) 125 B/D; producción
final: JOC-570 (con inyección concurrente de diluyente y 50 Kw) 470 B/D con una bomba
de 9 SPM (strokes per minute) y 240 B/D con una bomba de 6 SPM;
GP (JOC-570): 20 × (470–125)/50 = 138 y 20 × (240–125)/50=46
producción inicial: JOC-571 (con inyección concurrente de diluyente) 175 B/D; producción
final: JOC-571 275 B/D luego de calentar con 30 Kw por algunos días;
GP (JOC-571) 20 × (100)/30 = 67.
Comentarios. Ambos pozos presentaron problemas fuertes de arenamiento que
causaron su cierre. Se presentó una historia de cortocircuitos tanto en las conexiones
superiores a la fuente así como en la sección aislada del revestimiento. Nótese la alta
producción de agua.
5.10 Campo Dagang en China, Pozo Zao 1269-2. Reportado por Cheng et al.22
Año:
1995; calentamiento resistive distribuído de baja frecuencia – un cable a lo largto de las
cabillas huecas usadas para operar las bombas (longitud del cable 2,850 ft); tipo de crudo
pesado; temperatura de fondo de pozo: 87°C; producción inicial: 31.5 B/D; producción
final: 94.5 B/D con 44.8 Kw aplicados;
GP: 20 x 63/44.8 = 28.
5.11 Frog Lake, 80 Km al Norte de Lloydminster, Alberta, Canada. Reportado por
McGee et al.87
Año: 1995; calentamiento resistive distribuído de baja frecuencia (60 Hz) en
pozos verticals, y de pozos horizontals a verticals; profundidad del yacimiento: 1,500 ft;
espesor de la zona productora: 9 a 15 ft; permeabilidad: 2 darcy; porosidad: 35%; tipo de
crudo: 10-14 API; temperatura de fondo: 20°C; presión de fondo: 2,758 KPa.
Comentarios. Varios tipos de problemas afectaron las pruebas, principalmente
arenamiento. Los sistemas de cables para alimentar al fondo de los pozos verticales
requirieron la situación de la bomba varias secciones de tubería por encima de la zona
productora. Esto requirió el uso de un “tail pipe” que regularmente se llenaba de arena. Se
tuvo que eliminar la medida de la temperatura en el fondo debido a problemas de
cortocircuitos en el sistema de detección. Se utilizó a la tubería de producción como
conexión eléctrica y ello implicó que el cabezal del pozo operara a altos niveles de voltaje.
5.12 Campo Tia Juana Field (Venezuela), Pozo LSE 4622 de Maraven-PDVSA. Datos.
Año: 1997; calentamiento resistivo concentrado de baja frecuencia (calentador de 30 Kw
alimentado por un sistema trifásico de 480 volt rms a 60 Hz) diseñado para 200°F con
control de temperatura en fondo de pozo; profundidad del yacimiento: 1,040 ft; espesor de
la zona productora: 100 ft; permeabilidad: 2 darcy; porosidad: 35%; tipo de crudo: asfáltico
10API; viscosidad: 19,000 cp a 110°F; temperatura del fondo: 110°F; presión del fondo:
350 psi; producción inicial: 20 B/D; producción final: 40 B/D;
GP: 20 × 20/30=13.3.
6 Resumen
Las ventajas derivadas de la estimulación eléctrica de pozos y yacimientos son múltiples:
La aplicación de la potencia eléctrica no interrumpe al proceso de producción.
Energéticamente aparece como un proceso más eficiente que la estimulación por
vapor (aunque esto debe ser confirmado con medidas mucho más precisas en prueba
de campo debidamente instrumentadas.
Puede ser ciertamente usada en pozos someros donde no se pueda usar vapor.
El calentamiento eléctrico no requiere de las inversiones necesarias para construir
un sistema de distribución de vapor. La mayoría de los pozos ya tienen conexiones
eléctricas a la red de distribución, para la alimentación de los motores de los
balancines. En muchos casos la potencia disponible en los diferentes pozos es
suficiente para alimentar adicionalmente a los calentadores.
La aplicación generalizada de sistemas de bombeo electrosumergibles (que operan a
altos voltajes de Kv) ha difundido en la industria petrolera el conocimiento
necesario para la debida instalación de cables de conexión eléctrica de la superficie
al fondo de pozo. Estos procesos se han convertido en rutinarios.
La eficiencia de las bombas electrosumergibles es del orden del 10 al 20% en el
caso de crudos pesados y extrapesados. La instalación de calentadores eléctricos en
fondo de pozo – en cercanía de las bombas y alimentados por los mismos cables que
alimentan a los motores de las bombas, ciertamente mejoraría significativamente
estas eficiencias.
Podemos decir adicionalmente:
El uso de la electricidad generada en plantas que usan combustibles fósiles (carbon,
petróleo y gas) para incrementar la producción del crudo puede parecer
contradictorio. Sin embargo este mecanismo ciertamente debería ser usado
masivamente si es energéticamente más eficiente que la estimulación por vapor.
Muchos sistemas de calentadores resistivos concentrados han sido instalados y
operados sin control de temperatura en el fondo del pozo. El flujo de burbujas de
gas puede causar grandes aumentos de temperatura y producir la falla irreversible
del calentador. El uso de medidores de temperatura en el fondo (resistencias
metálicas, termopares u otros detectores) complica las tareas de instalación de los
calentadores pero es esencial.
El calentamiento eléctrico distribuido se ha visto asociado al uso de secciones de
revestidor o de tuberías de producción eléctricamente aisladas (estructuras de fibra
de vidrio rellenadas con epoxy) las cuales son esencialmente débiles
estructuralmente al ser sometidas a la rutinaria operación petrolera. Adicionalmente
la presencia de intervalos de agua en la producción, pueden cortocircuitar algunos
de estas secciones, con las fallas correspondientes.
A pesar de que el calentamiento distribuido fue inicialmente probado en alta
frecuencia, su uso ha sido generalmente implementado a bajas frecuencias, cercanas
a 60 Hz.
Muy pocos estudios han comparado la respuesta transitoria de calentadores
concentrados vs. los distribuidos. No se han implementado comparaciones de
campo entre los dos sistemas debidamente instrumentados y en condiciones
similares.
El calentamiento electríco – o electromagnético en general – requiere de un enfoque
multidisciplinario. La empresas petroleras limitan generalmente el uso de sus
ingenieros electricistas a los problemas de generación y distribución de potencia
eléctrica a los motores y sistemas de bombeo de los diferentes pozos e instalaciones.
Conversamente, el tópico del calentamiento eléctrico aplicado a la industria
petrolera no representa un tópico importante en los programas docentes
universitarios de ingeniería eléctrica o electrónica. Este es cierto aun en aquellos
países – como Venezuela – cuya economía depende muy significativamente de la
producción de crudos pesados y extrapesados.
7 Desarrollo Tecnológico Futuro
El calentamiento distribuido de baja frecuencia (60 Hz) implica el uso de secciones
eléctricamente aisladas de tubería, cuyo comportamiento en aplicaciones de campo ha sido
defectuoso. El desarrollo de nuevos sistemas y la aplicación de nuevos materiales debería
obviar esta situación.
Ciertamente aumentará el uso de calentadores resistivos de baja frecuencia para
mejorar la producción de crudos pesados y extrapesados. El uso de termopares u otros
sensores en fondo de pozo, será mejorado con el desarrollo de sistemas de control que no
requieran conexión por cable al fondo. La instalación de los calentadores se verá así
simplificada.
En la actualidad pocos sistemas de calentamiento eléctrico se compran
habitualmente, ya que ellos aún se consideran como experimentales. El tamaño de los
calentadores y sus fuentes de poder, requeridos para un pozo determinado son generalmente
sobre estimados, lo que implica costos mayores a los requeridos.
Los calentadores inductivos concentrados han sido muy pocos usados. Los que se
han probado se desarrollaron a partir de calentadores resistivos y se operan a baja
frecuencia 88
. Ciertamente evaluaciones de campo futuras, deberán establecer si el tiempo
de vida de un calentador inductivo es major o peor que el tiempo de vida de un calentador
resistivo.
El calentamiento de alta frecuencia en el rango de las microondas (300 MHz a 300
GHz) no ha sido realmente probado significativamente a nivel de campo. Sabemos que en
el caso de crudos pesados y extra-pesados (en ausencia de agua), la absorción de potencia
en este rango de frecuencia es sumamente baja. Sin embargo, este rango de frecuencias
puede representar una opción para el calentamiento de las secciones de tuberías circulares
metálicas (tanto roscadas o de tubería continua – coil tubing) al comportarse estas como
guías de ondas con pérdidas. Este calor generado en las paredes metálicas se puede
transferir luego al yacimiento y al crudo en el interior de la tubería. El uso de diferentes
frecuencias de excitación, permitiría en principio diferentes perfiles de calentamiento a lo
largo de los pozos.
Debe medirse experimentalmente la atenuación de secciones de tuberías roscadas en
el rango de las microondas para asegurar que las pérdidas de las zonas de acoplamiento
roscado son despreciables. De igual manera la atenuación en el rango de microondas debe
ser evaluado experimentalmente en tuberías continuas (coil tubing) de espesor variable de
paredes (diámetro externo uniforme y diámetro interno variable).
Las pérdidas de potencia eléctrica en tuberías metálicas usadas en la industria
petrolera, debidas tanto a pérdidas por conducción a baja frecuencia, por el efecto de
corrientes inducidas de Eddy 89
, o debidas a radiación de alta frecuencia transmitida en la
tubería usada como guía de onda, ciertamente ayudan el flujo del crudo en la tubería así
como en la reducción de diferentes depósitos.
Finalmente, el uso difundido de calentadores eléctricos de fondo de pozo, llevará al
desarrollo de sistemas de instrumentación de fondo de pozo que aprovechen la existencia
de las conexiones metálicas para transmitir información del fondo a la superficie.
Agradecimientos
Quiero agradecer profundamente a mis profesores de ingeniería eléctrica, principalmente
W.C. Duesterhoeft (Dusty) y Bill Hartwig (ambos de la Universidad de Texas en Austin),
y Lan Jen Chu (del MIT), quienes – en vida- me enseñaron a aprender, a apreciar y a poner
en práctica mi entrenamiento técnico. Agradezco igualmente a Paul Gray (tambien del
MIT), que desde 1960 hasta el presente me ha permitido apreciar lo que es la excelencia en
esta rama de la ingeniería. Quiero reconocer y agradecer las múltiples discusiones con
Alfredo Essis (previamente con Lagoven PDVSA), Roberto Rodríguez y Eli Schwartz
(previamente con PDVSA-INTEVEP), y con Humberto Mendoza (PDVSA Exploración y
Producción), discusiones que me permitieron aumentar mis conocimientos de ingeniería de
petróleo y de las prácticas de campo.
Nomenclatura a = radio
A = superficie
A+, A– = constantes de integración
A1, A2 = constantes para hidrocarburos líquidos
B = vector densidad magnética
c = compresibilidad
Cp = calor específico a presión constante
Cr = capacitancia eléctrica (eje r)
Cz = capacitancia eléctrica (eje z)
CT = capacitancia térmica
CV = capacitancia del fluído
D = vector densidad eléctrica
E
= vector campo eléctrico
PG = ganancia de potencia
f = frecuencia, Hz
H
= vector campo magnético ( 2 ) ( 2 )
0 0H , H = funciones de Hankel
i = vector unitario
I = corriente eléctrica, amperes
IVexc = corriente de excitación para el modelo de fluido
ITexc = corriente de excitación para el modelo térmico
j = unidad de números complejos
J0, J1 = funciones de Bessel de argumentos complejos
J = densidad vectorial de corriente
k = permeabilidad, darcy
KT = conductividad térmica
L = distancia
P = presión, pa
PPUV = potencia eléctrica por unidad de volumen, watts/m3
PPUA = potencia eléctrica por unidad de área, watts/m2
n ,m
TMp = constantes debidas a las condiciones de borde: transmisión TM
n ,m
TEp = constantes debidas a las condiciones de borde: transmisión TE
PE = potencia eléctrica aplicada, kw
Q(t) = tasa de producción de petróleo dependiente del tiempo
TQ = flujo de energía calórica por unidad de área y por unidad de tiempo
mQ = flujo de masa de fluido por unidad de área y por unidad de tiempo
r, φ ,z = coordenadas cilíndricas
ra, rb = radio interno y externo para cable coaxial
Rwell = radio de la tubería de pozo
S = vector complejo de Poynting
t = tiempo
T = temperatura absoluta, Kelvin
TE = modo eléctrico transverso para guías de ondas
TM = modo magnético transverso para guías de ondas
V = velocidad del fluido
V = volumen
Vr = componente de la velocidad del fluido a lo largo del eje r
Vz = componente de la velocidad del fluido a lo largo del eje z
V0 = velocidad de ondas electromagnéticas en el espacio libre, 3.0 x 10+8
m/s
x,y,x = coordenadas cartesianas rectangulares
Yr = conductancia eléctrica a lo largo del eje r
Yz = conductancia eléctrica a lo largo del eje z
YTr = conductancia térmica a lo largo del eje r
YTz = conductancia térmica a lo largo del eje z
YVr = conductancia del fluído a lo largo del eje r
YVz = conductancia del fluído a lo largo del eje z
Z = impedancia e la onda
Z0 = impedancia de la onda en el espacio libre, 377 ohm
α = constante de atenuación
αD = atenuación de cable coaxial debida a pérdidas dieléctricas
αm = atenuación de cable coaxial debida a pérdidas en las paredes metálicas TE
n,m = atenuación de las guías de onda para modos TE, pérdidas en paredes TM
n,m = atenuación de las guías de onda para modos TM, pérdidas en paredes
= constante real de propagación TM
n,m = constante de propagación de modos TM de microondas TE
n,m = constante de propagación de modos TE de microondas
γ = constante de propagación
γ0 = constante de propagación para espacio libre
γcoax
= constante de propagación para cable coaxial
δS = profundidad de penetración
ΔQ = aumento de la producción petrolera, SBLD
ε = permitividad
ε0 = permitividad del espacio libre, 8,854 x 10-10
farad/m
ε’ = parte real de la permitividad
ε” = parte imaginaria de la permitividad
η = eficiencia de proceso
κT = diffusividad térmica
λCO,TE11 = frecuencia de corte para el modo TE11
μ = viscosidad
μ’ = parte real de la permeabilidad magnética
μ” = parte imaginaria de la permeabilidad magnética
μM = permeabilidad magnética
μ0 = permeabilidad magnética del espacio vacío, 4 x 10-7
henry/m
(T) = viscosidad dependiente de la temperatura
ρ = densidad del hidrocarburo
ρc = carga eléctrica por unidad de volumen
σ = conductividad
σ’ = parte real de la conductividad
σ” = parte imaginaria de la conductividad
σM = conductividad metálica
σmw = conductividad de las paredes metálicas
v = viscosidad cinemática
= porosidad
= potencial, voltios
ω = frecuencia angular, radianes/s TM
C = frecuencia de corte para modos TM
TE
C = frecuencia de corte para modos TE
Subíndices
a = radio interno
b = radiu externo
r, φ, z = coordenadas cilíndricas
x, y, z = coordenadas Cartesianas
Referencias 1. Salager, J.L., Briceño, M.I., and Bracho, C.L.: “Heavy Hydrocarbons Emulsions,”
Encyclopedic Handbook of Emulsion Technology, J. Sjöblom (ed.) Dekker, New York
City (2001) 455–95.
2. Smalley, C.: “Heavy Oil and Viscous Oil,” Modern Petroleum Technology, Volume 1
Upstream, sixth edition, R.A. Dawe (ed.) Wiley & Sons Inc., New York City (2000)
Chap. 11, 409–35
3. Layrisse, I.: “Heavy Oil Production in Venezuela: Historical Recap and Scenarios for
the Next Century,” paper SPE 53464 presented at the 1999 SPE Symposium on Oilfield
Chemistry, Houston, 16–19 Febrero.
4. Burger, J., Souriau, P., and Combarnous, M.: Thermal Methods of Oil Recovery,
Technip Editions, Paris (1985) 37-41.
5. Orfeil, M.: Electric Process Heating, Bordan Dunod, Paris (1987) 391-621.
6. Davies, E.J.: Conduction and Induction Heating, Peter Peregrinus Ltd., London (1990)
93-102.
7. Metaxas, A.C. and Meredith, R.J.: Industrial Microwave Heating, Peter Peregrinus
Ltd., London (1990) 1-102.
8. Okress, E.C. (ed.) Microwave Power Engineering, Volumes 1 and 2, Academic Press,
New York City (1968) 1-27.
9. “Historical Perspectives of Microwave Technology,” IEEE Transactions on Microwave
Theory and Techniques, Saad, T.S. (ed.), IEEE Press, New York City, MTT-32, 9
(1984) 955–1271.
10. Farouq, Ali S.M.: “Well Stimulation by Downhole Thermal Methods,” Pet. Eng., 35,
No. 11, 26.
11. Farouq, Ali S.M.: Oil Recovery by Steam Injection, Producers Publishing Co. Inc.,
Bradford PA (1970) 113–116.
12. Howell, J.K. and Hogwood, E.E.: Electrified Oil Production, second edition, Penn Well
Publishing Co., Tulsa (1981) 235–236.
13. The Electric Heaters Handbook, Omega
, Stamford (1995) Z-61.
14. Electric Heating Products, Controls, and Systems Catalog, Chomalox
, Pittsburgh
(1995) A-32.
15. Abernethy, E.R.: “Production Increase of Heavy Oils by Electromagnetic Heating,” J.
Cdn. Pet. Tech., 15, No. 3, 91.
16. Gill, W.: “The Electrothermic System for Enhanced Oil Recovery,” First Intl.
Conference on the Future of Heavy Crude and Tar Sands, McGraw-Hill Book Co. Inc.,
New York City (1979) Chap. 52, 469–473.
17. Vinsome, K. et al.: “Electrical Heating,” J. Cdn. Pet. Tech., 33, No. 4, 29.
18. Bridges, J. et al.: “Radio Frequency Heating to Recover Oil From Utah Tar Sands,”
First Intl. Conference on the Future of Heavy Crude and Tar Sands, McGraw-Hill
Book Co. Inc., (1979) Chap. 44, 396–409.
19. Carlson, R.D., Blasé, E.F., and McClendon, T.R.: “Development of the IIT Research
Institute RF Heating Process for In-Situ Oil Shale/Tar Sands Fuel Extraction—An
Overview,” Proc., 14th
Oil Shale Symposium, Golden, Colorado (1981) 138–145.
20. Sresty, G.C., Snow, R.H., and Bridges, J.E.: “The IITRI RF Process to Recover
Bitumen From Tar Sand Deposits—A Progress Report,” Proc., Second UNITAR Intl.
Conference on Heavy Crude and Tar Sands, Caracas, Venezuela (1982) 7–17.
21. Lervik, J.K, Kulbotten H, and Klevjer G.: “Prevention of Hydrate Formation in
Pipelines by Electrical Methods”, Proceedings of the 1997 7th
International Offshore
and Polar Engineering Conference, Part 2 (of 4), Honolulu, HI, May 23-30.
22. Cheng, Y.M., Guo, C.Z., and Gong, L.: “A Mathematical Model of Electrical Heating
in Hollow Pump Rod and Its Application,” paper SPE 30317 presented at the 1995 SPE
Intl. Heavy Oil Symposium, Calgary, Alberta, 19–21 Junio.
23. McGee, B.C.W. and Vermeulen, F.E.: “Electrical Heating With Horizontal Wells, The
Heat Transfer Problem,” paper SPE 37117 presented at the 1996 SPE Intl. Conference
on Horizontal Well Technology, Calgary, Alberta, 18–20 Noviembre.
24. Schild, A.: “A Theory for the Effect of Heating Oil-Producing Wells,” Trans., ASME
(1957) 210, 1–10.
25. Todd, J.C. and Howell, E.P.: “Numerical Simulation of In-Situ Electrical Heating to
Increase Oil Mobility,” J. Cnd. Pet. Tech., 17, No. 2, 31.
26. Newbold, F.R. and Perkins, T.K.: “Wellbore Transmission of Electrical Power,” J. Cnd.
Pet. Tech., 17, No. 3, 39.
27. Harvey, A.H. and Arnold, M.D.: “Selective Electric Reservoir Heating,” J. Cnd. Pet.
Tech., 17, No.3, 47.
28. Harvey, A.H. and Arnold, M.D.: “A Radial Model for Estimating Heat Distribution in
Selective Electric Reservoir Heating,” J. Cnd. Pet. Tech., 19, No. 4, 37.
29. Vermeulen, F.E. and Chute, F.S.: “Electromagnetic Techniques in the In-Situ Recovery
of Heavy Oils,” J. Microwave Power, 18, No. 1, 15.
30. McPherson, R.G., Chute, F.S., and Vermeulen, F.E.: “Recovery of Athabasca Bitumen
With the Electromagnetic Flood (EMF) Process,” J. Cnd. Pet. Tech., 19, No. 1, 44.
31. Bridges, J.E., Sresty, G.C., and Dev, H.: “In-Situ RF Heating for Oil Sands and Heavy
Oil Deposits,” paper presented at the 1985 UNITAR/UNDP Intl. Conference on Heavy
Crudes and Tar Sands, Calgary, Alberta, 22–31 Julio.
32. Bridges, J.E. et al.: “Electromagnetic Stimulation of Heavy Oil Wells,” paper presented
at the 1985 UNITAR/UNDP Intl. Conference on Heavy Crudes and Tar Sands, Calgary,
Alberta, 22–31 Julio.
33. Killough, J.E. and Gonzalez, J.A.: “A Fully Implicit Model for Electrically Enhanced
Oil Recovery,” paper SPE 15605 presented at the 1986 SPE Annual Technical
Conference and Exhibition, New Orleans, 5–8 Octobre.
34. El-Feky, S.A.: “Theoretical and Experimental Investigations of Oil Recovery by The
Electro Thermal Technique,” PhD dissertation, U. of Missouri, Rolla, Missouri (1977).
35. Hiebert, A.D. et al.: “Numerical Simulation Results for the Electrical Heating of
Athabasca Oil Sand Formations,” SPERE, (Enero 1986) 76.
36. Casey, J.P. and Bansal, R.: “Insulated Dipole Antennas for Heating Oil Shale,” J. Appl.
Phys., 61, No. 12, 5455.
37. Callarotti, R.C.: “Reservoir Simulation for the Calculation of Absorbed Electrical
Energy in EOR Processes With RF Techniques,” Proc., Third Intl. Symposium on
Enhanced Oil Recovery, Maracaibo (1989) 1–18.
38. Pizarro, J.O.S. and Trevisan, O.V.: “Electrical Heating of Oil Reservoirs: Numerical
Simulation and Field Test Results,” paper SPE 19685 presented at the 1990 SPE
Annual Technical Conference and Exhibition, San Antonio, Texas, 8–11 Octubre y JPT
(Octubre 1990) 1320.
39. Fanchi, J.R.: “Feasibility of Reservoir Heating by Electromagnetic Irradiation,” paper
SPE 20483 presented at the 1990 SPE Annual Technical Conference and Exhibition,
New Orleans, 23–26 Septiembre.
40. Baylor, B.A., Maggard, J.B., and Wattenbarger, R.A.: “Improved Calculation of Oil
Production Response to Electrical Resistance Heating,” paper SPE 20482 presented at
the 1990 SPE Annual Technical Conference and Exhibition, New Orleans, 23–26
Septiembre.
41. Islam, M.R., Wadarar, S.S., and Bansal, A.: “EOR of Ugnu Tar Sands of Alaska Using
Electromagnetic Heating With Horizontal Wells,” paper SPE 22177 presented at 1991
Intl. Artic Technology Conference, Anchorage, 29–31 Mayo.
42. McGee, B.C.W., Sigmund, P. and Spencer, H.L.: “Visco-Skin Effect in Heavy Oil
Reservoirs,” Proc., Fifth UNITAR/UNDP Conference on Heavy Crudes and Tar Sands
(1991) Caracas, 2, 157–165.
43. Maggard, J.B. and Wattenbarger, R.A.: “Factors Affecting the Efficiency of Electrical
Resistance Heating Patterns,” Proc., Fifth UNITAR/UNDP Conference on Heavy
Crudes and Tar Sands (1991) Caracas, 3, 519–530.
44. Laine R.E. et al.: “Simplified Heavy-Oil Bottomhole Heating Production Predictions,”
Proc., Fifth UNITAR/UNDP Conference on Heavy Crudes and Tar Sands (1991)
Caracas, 3, 531–537.
45. Marsden, S.S.: “Microwave Heating of Heavy Oil Reservoirs as a Viable Method of
EOR,” Proc., Fifth UNITAR/UNDP Conference on Heavy Crudes and Tar Sands
(1991) Caracas, 3, 515–518.
46. Callarotti, R.C.: “Circuit Modeling for the Numerical Calculation of RF Heating of
Crude Oil in Pipes and Reservoirs,” Proc., Fifth UNITAR/UNDP Conference on Heavy
Crudes and Tar Sands (1991) Caracas, 3, 547–559.
47. Callarotti, R.C. and DiLorenzo, M.: “Resistive Capacitive Tomography,” Proc., Second
LAPEC of the Society of Petroleum Engineers (1992) Caracas, 233–240.
48. Sumbar, E., Chute, S., and Vermeulen, F.: “Electromagnetic In-Situ Heating of Heavy
Oil Reservoirs to Increase Production Rates,” J. Microwave Power & Electromagnetic
Energy, 27, No. 2, 67.
49. Dolande, J. and Datta, A.: “Temperature Profiles in Microwave Heating of Solids: A
Systematic Study,” J. Microwave Power & Electromagnetic Energy, 28, No. 2, 58.
50. Callarotti, R.C.: “Circuital Modeling Applied to Transient Flow Problems in Porous
Media,” Proc., Third Caribbean Congress on Fluid Dynamics and Latin American
Symposium on Fluid Mechanics (1995) Caracas, 2, C1–C9.
51. Callarotti, R.C.: “Proper Eigenvalue Solution for the Transient Response of
Multidimensional Heat Transfer Systems,” Communications in Numerical Methods in
Eng., 11, No. l, 715.
52. Callarotti, R.C. and Mendoza, H.: “A New Approach to the Analysis of the Electrical
Heating of Wells and Reservoirs: Circuital Modeling and Efficient Numerical
Solutions,” paper SPE 36889 presented at the 1996 SPE European Petroleum
Conference, Milan, 22–24 Octubre.
53. Soliman, M.Y.: “Approximate Solutions for the Flow of Oil Heated Using
Microwaves,” J. Pet. Science & Eng., 18, No. 1, 93.
54. Hu, Y., Jha, K.N., and Chakma, A.: “Heavy-Oil Recovery From Thin Pay Zones by
Electromagnetic Heating,” Energy Sources, 21, No. 1, 63.
55. Kendall, E.J.M.: “Electrical Conductivity of Medium Heavy Crude Oil,” J. Cnd. Pet.
Tech., 17, No. 3, 37.
56. Bridges, J.E., Taflove, A., and Snow, R.H.: “Net Energy Recoveries for The In-Situ
Dielectric Heating of Oil Shale,” Proc., 11th
Oil Shale Symposium, Golden, Colorado
(1978) 311–330.
57. Snow, R.H.: “Comparison of Dielectric Heating and Pyrolysis of Eastern and Western
Oil Shales,” Proc., 12th
Oil Shale Symposium, Golden, Colorado (1979) 283–298.
58. Butts, J.R., Lewis, J.E., and Steward, F.R.: “Microwave Heating of New Brunswick Oil
Shale,” J. Microwave Power, 18, No. 1, 37.
59. Briggs, W.E., Lewis, J.E., and Tranquilla, J.M.; “Dielectric Properties of New
Brunswick Oil Shale,” J. Microwave Power, 18, No. 1, 75.
60. Sen, P.N. and Chew, W.C.: “The Frequency Dependent Dielectric and Conductivity
Response of Sedimentary Rocks,” J. Microwave Power, 18, No. 1, 97.
61. Poley, J.P., Nooteboom, J.J., and De Waal, P.J.: “Use Of VHF Dielectric Measurements
for Borehole Formation Analysis,” The Log Analyst, 19, No. 3, 8.
62. Prats, M.: “Procesos Térmicos de Extracción de Petróleo,” Ediciones Técnicas
Intevep, Los Teques (1987) 118-129.
63. Vermeulen, F.E. and Chute, F.S.: “On the Classification of Processes Using Electric
and Magnetic Field to Heat Materials,” J. Microwave Power & Electromagnetic
Energy, 22, No. 4, 187.
64. Chute, F.S. and Vermeulen, F.E.: “Present and Potential Applications of
Electromagnetic Heating in the In-Situ Recovery of Oil,” AOSTRA J. Research, 4, No.
?, 19.
65. Duncan, G.: “Enhanced Recovery Engineering,” World Oil, March 1996, 86.
66. Selyakov, V.I. and Kadet, V.V.: “Percolation Models for Transport in Porous Media,”
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1996) 167-197.
67. Microwave Aquametry: Electromagnetic Interaction With Water-Containing Materials,
A. Kraszewski (ed.) IEEE Press, New York City (1996) 1-34.
68. Microwave Enhanced Chemistry, H.M. Kingston and S.J. Haswell (eds.) American
Chemical Society, New York City (1997) 3-53.
69. Adler, R.B., Chu, L.J., and Fano, R.M.: “Electromagnetic Energy Transmission and
Radiation,” Wiley & Sons Inc., New York City (1960), 22-24.
70. Ramo, S., Whinnery, J.R., and Van Duzer, T.: “Field and Waves in Communication
Electronics,” Wiley & Sons Inc., New York City (1965) 322-370.
71. Stratton, J.: “Electromagnetic Theory,” McGraw-Hill Book Co. Inc., New York City
(1941) 349-362.
72. Moon, P. and Spencer, D.E.: “Field Theory for Engineers,” Van Nostrand, Princeton
(1960), 469-71.
73. Moon, P. and Spencer, D.E.: “Foundations of Electrodynamics,” Boston Technical
Publishers Inc., Cambridge (1965) 174.
74. Handbook of mathematical functions, M. Abramowitz and I.A. Segun (eds.) Dover
Publications, Inc., New York City (1965), 358-364.
75. Collin, R.E.: “Foundations for Microwave Engineering”, McGraw-Hill Book
Kogakusha, Tokyo (1966) 109–111.
76. Callarotti, R.C. and Alfonzo, M.: “Measurement of the Conductivity of Metallic
Cylinders by Means of an Inductive Measurement,” J. Appl. Phys., 43, No. 7, 3040.
77. Callarotti, R.C., Schmidt, P., and Arqué, H.: “Theory of the Measurement of Thickness
and Conductivity of Cylindrical Shells by Means of an Inductive Method,” J. Appl.
Phys., 43, No. 10, 3952.
78. Golan, M. and Whitson, C.H.: “Well Performance”, IHRDC Publishers, Boston (1986)
442.
79. Von Hippel, A.: Handbook of Physics, Part 4: Electricity and Magnetism, “Dielectrics”,
E.U. Condon and H. Odishaw (eds.) second edition, McGraw-Hill Book Co. Inc., New
York (1967) Chap. 7, 4-102.
80. London, E.U.: Handbook of Physics, Part 5: Heat and Thermodynamics, “Heat
Transfer”, E.U. Condon and H. Odishaw (eds.) second edition, McGraw-Hill Book Co.
Inc., New York (1967) Chap. 5, 5–66.
81. Lake, L.W.: “Enhanced Oil Recovery”, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs (1989) 17-
42.
82. Rhagavan, R.: “Well Test Analysis”, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs (1993) 25-35.
83. Bear, J.: “Dynamics of Fluids in Porous Media”, Dover Publications, Inc., New York
(1988), 65-113.
84. Callarotti, R.C.: “Circuital Modeling From Electronic Devices to Oil Production,”
Proc., Fourth Intl. Conference on Devices, Circuits and Systems (2002) Aruba,
Instrumentation Paper IO28, 1-6.
85. Callarotti, R.C.: “On The Complete Modeling of Transient Electromagnetic Heating of
Heavy Crudes in Vertical and Horizontal Wells”, Desarrollos Recientes en Métodos
Numéricos, Müller-Karger C., Lentini M. and Cerrolaza M. (eds.), Proc. VI Congreso
Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería y Ciencias Aplicadas CIMENICS
(2002), Gráficas León SRL, Caracas, CI 1-8.
86. Davison, R.J.: “Electromagnetic Stimulation of Lloydminster Heavy Oil Reservoirs:
Field Test Results,” J. Cnd. Pet. Tech., 34, No. 4, 15.
87. McGee, B.C.W., Vermeulen, F.E., and Yu, L.: “Field Test of Electrical Heating With
Horizontal and Vertical Wells,” J. Cnd. Pet. Tech., 38, No. 3, 46.
88. Sivakumar B.V.C.: “Field Pilot Test of Thermal Stimulation of Rubble Reservoir
Using Down Hole Induction Heaters”, 2001 SPE Middle East Show, Bahrain, 17-20
Marzo 2001.
89. McGee, B.C.W. and Vermeulen, F.E.: “Power Loss in Steel Pipe Delivering Very
Large Currents”, IEEE Transactions on Power Delivery, 17, No.1, 25.
