Cambios de Base

Bases Coordenadas

Aplicaciones en MatLab

R. Pardo

M. Salas

Departamento de Ingeniera

Universidad Privada Boliviana

27 de junio de 2013

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Indice

1. Introduccion 4

1.1. transfotmaciones de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Traslacion de ejes de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Rotacionde ejes de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Aplicaciones en MatLab 5

2.1. Cambios de Base y Rotacion de ejes . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Bases Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Conclusiones 12

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Indice de figuras

1. Punto Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Punto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Grafico en distintas coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. Giro Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. En los 360 grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96. Giro en sentido contrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. La figura con sus nuevas coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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Resumen

En el artculo que veremos a continuacion, podremos apreciar diferen-

tes funciones del software MatLab. Nos enfocaremos primordialmente a

los cambios de base y a las bases coordenadas; donde mostraremos di-

ferentes ejemplos de como podemos calcular y demostrar esta funciones

vectoriales en MatLab.

1. Introduccion

1.1. transfotmaciones de coordenadas

Una transformacion es una operacion por la cual una relacion, expresiono figura se cambia por otra siguiendo una ley dada. Analticamente la ley seexpresa mediante una o mas ecuaciones llamadas ecuaciones de transformacion.

1.2. Traslacion de ejes de coordenadas

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen,es el punto (h , k),y si las coordenadas de cualquier punto antes y despues de la traslacion son (x, y) y ( x , y) respectivamente, las ecuaciones de transformacion del sistemaprimitivo al nuevo sistema de coordenadas son:

x = x + h (1)

x = h (2)

y = y + h (3)

y = y h (4)

1.3. Rotacionde ejes de coordenadas

Si los ejes coordenados giran un angulo ? en torno de su origen como centrode rotacion y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y despues de larotacion son (x, y) y (x, y) respectivamente, las ecuaciones de transformaciondel sistema original al nuevo sistema estan dadas por:

x = xcos() + ysen() (5)

y = xsen() + ycos() (6)

1.4. Cambio de base

Sea W un espacio vectorial de V , B1 = w1....wn,B2 = w1...wn dos bases deW. Dado un vector w que pertenece al espacio vectorial V ,sabemos que existenunos unicos escalares x1.....xn,B1......Bn pertenecen a V tal que :v=

(

v1 . . . vn)

4

v1. . .

. . .

vn

por otro lado cada vector be B1 e puede expresar con una combinacion linealde B2 esto es:

(

v1 . . . vn)

=(

u1 . . . un)

x1 . . . xm. . . . . . . . .

xn . . . xn m

Entonces v=(

v1 . . . vn)

v1. . .

. . .

vn

y esto es igual a:

x1 . . . xm. . . . . . . . .

xn . . . xn m

Se llama matriz de cambio de coordenadas (de base) de B1 a B2 y tiene coor-denadas de los vetores de la base B1 en la base B2 escritas por columnas. Esdecir,en la primera columna apareen en las coordenadas de v1 en la base B2, enla segunda columna viene las coordenadas de v2 en la base B2, y asi sucesiva-mente.Lo denotaremos or M de base B1 y B2.

Ejemplo.- Si tomamos el R-espacio vectorialR4 y las bases, B1 = (1,1,1,1),(0,1,1,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1)y B2 = (-1,1,1,1),(0,1,1,1),(0,0,1,1),(0,0,0,1) la matriz de cambio de coordenadasB1 a B2 cuando empleamos la notacion por columnas viene dada por:

1 0 0 02 1 0 00 0 1 00 0 0 1

2. Aplicaciones en MatLab

A continuacion presentaremos algunos ejemplos de como podemos demostrarlos cambios de base, bases coordenadas y rotacion de ejes.

5

Figura 1: Punto Inicial

Figura 2: Punto Final

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2.1. Cambios de Base y Rotacion de ejes

En el editor:

A=[cos(45) sin(45);-sin(45) cos(45)]B=[6;2]C=A*B

En el command window:

A =

0.5253 0.8509-0.8509 0.5253

B =

64

C =

6.5555-3.0041

P1=[0 0;6 4];a=45;an1=a*pi/180;axis squareset (gca,nextplot,replacechildren);grid onaxis([-5 5 -5 5])for q=0:0.01:an1A1=[cos(q) sin(q);-sin(q) cos(q)];X1=A1*P1;fill(X1(1,:),X1(2,:),r+)pause(0.1)end

Graficamente:

Punto inical: [Vease la Figura 1]Punto luego de la rotacion: [Vease la Figura 2]

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Figura 3: Grafico en distintas coordenadas

Figura 4: Giro Inicial

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Figura 5: En los 360 grados

Figura 6: Giro en sentido contrario

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Figura 7: La figura con sus nuevas coordenadas

2.2. Bases Coordenadas

En el editor:

clearload rai.txtx = rai(:,1);y = rai(:,2);z = x;z(:)=1;Q=20;q=(Q/180)*pi;tx=10;ty=1;sx=3;sy=2;At=[1 0 tx ; 0 1 ty ; 0 0 1];Ar=[cos(q) -sin(q) 0 ; sin(q) cos(q) 0 ; 0 0 1];As=[sx 0 0 ; 0 sy 0 ; 0 0 1];X=[x y z];X1=Ar*As*At*X;hold onaxis equalgrid onfill(x,y,r)fill(X1(1,:),X1(2,:),b)

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Graficamente: [Vease la Figura 3]

Codigo para una figura en movimiento:A continuacion observaremos un codigo para un texto que gira 360 grados, yuna vez realizada la vuelta, este gira en sentido contrario nuevamente 360 gra-dos. Y finalmente este cambia sus coordenadas ,trasladandose a un nuevo punto.

En el editor:

clearload rai.txtx=rai(:,1);y=rai(:,2);z=x;z(:)=1;Q=20;q=(Q/180)*pi;tx=1;ty=1;sx=3;sy=2;At=[1 0 tx ; 0 1 ty ; 0 0 1];Ar=[cos(q) -sin(q) 0 ; sin(q) cos(q) 0 ; 0 0 1];As=[sx 0 0 ; 0 sy 0 ; 0 0 1];X=[x y z];X1=Ar*As*At*X;hold onaxis equalgrid onfill(x,y, r)axis squareset (gca, nextplot,replacechildren);load rai.txtgrid onaxis([-10 10 -10 10])for q=0:.01:2*pia=[cos(q) -sin(q);sin(q) cos(q)];X1=a*rai;fill(X1(1,:),X1(2,:), r)pause(.005)end

axis squareset (gca, nextplot,replacechildren);load rai.txtgrid on

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axis([-10 10 -10 10])for q=0:.01:2*pia=[cos(q) sin(q);-sin(q) cos(q)];X1=a*rai;fill(X1(1,:),X1(2,:), r)pause(.005)end

axis squareset (gca, nextplot,replacechildren);load rai.txtgrid onaxis([-10 10 -10 10])q=pi/4;a=[cos(q) -sin(q);sin(q) cos(q)];X1=a*rai;fill(X1(1,:)+3,X1(2,:)+3, r)pause(.005)

Graficamente:

Giro Inicial: [Vease la Figura 4]En los 360 grados: [Vease la Figura 5]Giro en sentido contrario: [Vease la Figura 6]La figura con sus nuevas coordenadas: [Vease la Figura 7]

3. Conclusiones

Una vez mas tenemos que destacar el trabajo del software MatLab, podemosver su capacidad a la hora de desarrolar distintas funciones que nos ayudan aresolver y demostrar los diferentes problemas de algebra lineal en su totalidad.Pudimos observar como funcionas las bases coordenadas, tener un mejor estudiode los ejes en 2D y 3D, ademmas calcular de forma teorica algunos ejercicios.Sin duda es un artculo indispensable para futuros conocimientos.

Referencias

[1] http://www.ma.uva.es/~antonio/Industriales/Apuntes_09-10/MatI/05_Tema-04_09-10.pdf

[2] http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-27a.pdf

[3] http://www.slideshare/transformcionesdecoordenadas.net

[4] http://www.wikipedia/cambiodebases.com

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