Caminatas aleatorias. - opmat.orgopmat.org/emalcabolivia2015/Notas/Notas-de... · 2 SEGUNDA PARTE....

Caminatas aleatorias.

Por: Ma Emilia CaballeroInstituto de Matematicas UNAM

16 de septiembre de 2015

1. PRIMERA PARTE.

El problema de los puntos Una fecha fundamental para establecer los orıge-nes de la probabilidad es 1654, ano en el cual se lleva a cabo el famoso intercam-bio de cartas entre Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665).El problema que nos ocupa de esta correspondencia es el famoso: “problemade los puntos” que aparece por primera vez en el libro de Fra Luca de Pacioli(Venecia 1494) y dice asi: Se juega entre dos equipos A y B, cada uno apuestauna cantidad igual (5 ducados) y el juego consta de un cierto numero de etapas.Cada etapa da a quien la gana 10 puntos, cero puntos a quien la pierde y ambosequipos son igualmente capaces de ganar una etapa. Gana el juego, el primeroen llegar a 60 puntos.

El juego debe interrumpirse cuando el equipo A lleva 50 puntos ganados y el Blleva 20 puntos. ?Como debe repartirse la apuesta total (10 ducados) entre losdos jugadores? No se llegao en ese entonces a una respuesta correcta.Algo similar plantea Chevalier de Mere a Pascal y solo las cifras cambian: Dosjugadores A y B apuestan 32 “pistols” cada uno, para tener una bolsa total de 64“pistols”. El juego, nuevamente consta de varias etapas y cada etapa da a quienla gana un punto (ambos jugadores son igualmente capaces de ganarla). Ganael juego y por lo tanto la bolsa total el primero en llegar a tres puntos. El juegodebe interrumpirse cuando A lleva 2 puntos y B cero puntos. La pregunta es lamisma. Este es el problema que Pascal le plantea a Fermal en la correspondenciamencionada. Ambos encuentran la solucion y el resultado fue el mismo a pesarde que sus metods fueron muy distintos.Veremos aqu como lo hizo Pascal.Pascal piensa que debe empezar con un caso mas simple: A lleva 2 puntos y Blleva 1 punto: Si A gana la etapa siguiente ya tendra 3 puntos yse lleva la bolsaentera, es decir, las 64 “pistols”. Si B gana la etapa llevaran cada uno 2 puntosy en ese caso por tratarse de un empate, la bolsa debera repartirse mitad ymitad, esto es, a A le tocaran 32 “pistols”. Se sabe que ambos jugadores tienenigual capacidad de ganar una etapa, por lo que la reparticion justa debera ser:

x =64

2+

32

2= 48.

1

1 PRIMERA PARTE. 2

Al disponer de esta informacion Pascal ya puede tratar el caso que le preguntanoriginalmente, a saber si A lleva 2 puntos y B cero: si A gana se lleva la bolsaentera y si B gana, se llega al caso anterior, ya que A llevara 2 puntos y B unpunto, y ya se sabe que en tal caso a A le corresponden 48 “pistols” y a B las16 restantes.Nuevamente, ambos tienen la misma probabilidad de ganar la etapa por lo quela reparticion justa es

x =64

2+

48

2= 56 .

Por ultimo y aunque esta pregunta no aparece en la correspondencia de estosdos sabios, veamos el caso en que A lleve un punto y B cero puntos: Si A ganala etapa, se estara en la situacion 2 a 0, por nosotros ya conocida y si B ganahay un empate y la bolsa se reparte mitad y mitad: Y ahora

x =56

2+

32

2= 44 .

En su escrito, ademas de resolver el problema planteado por Mere, Pascal manejapor primera vez las siguientes ideas y futuros conceptos matematicos, que en suepoca ni tenıan estos nombres, ni se conocıan, ni se utilizaban:

Variable aleatoria y esperanza matematica.

Probabilidad y esperanza condicionales.

Martingala.

Cadena de Markov.

El concepto de tiempo de paro o tiempo aleatorio tambien apareceimplcıitamente en su mtodos, ya que se interesa por la primera vez que sealcanza cierto nivel:

τ = mınk : Yk = N

y veremos mas adelante la importancia del mismo.

Problema de la ruina al que dedicaremos varias secciones en estad notas.

Solucion elemental al problema de valuacion de una opcion

El metodo de Pascal descrito de manera mas general es el siguiente: gana eljuego y en consecuencia el capital total 2C, el primer jugador alcance N puntos.Cada uno de los jugadores aporto al inicio del juego C pesos.Se define A(r, s) como la cantidad que le tocarıa al jugador A si tiene r puntospuntos cuando ya se han jugado (r+ s) juegos. Entonces por las condiciones deljuego, se cumple, para s, r ∈ (0, N ],

(a.) A(r,N) = 0. r ∈ (0, N)

(b.) A(N, s) = 2C, s ∈ (0, N)

1 PRIMERA PARTE. 3

(c.) A(r, s) = pA(r + 1, s) + qA(r, s+ 1)

En efecto, las afirmaciones (a.) y (b.) son inmediatas de la definicion. La pro-piedad (c.) es consecuencia de lo ya descrito, en el caso que A gane un puntocon probabilidad p ∈ (0, 1) y no lo gane con probabilidad q = 1− p.

Xi =

1 si A gana la i-esima etapa,

0 si no

Es facil ver que a partir de estas relaciones podemos calcular A(r, s) para todar, s ≤ N : Se empieza con A(N − 1, s), s = N − 1, N − 2, ..,0 y se obtiene:

A(N − 1, N − 1) = 2Cp

A(N − 1, N − 2) = 2C(p+ pq)

A(N − 1, N − 3) = 2C(p+ pq + pq2)

. . .

A(N − 1, 0) = 2C(p+ pq + pq2 + · · ·+ pqN−1)

Luego se calcula A(N − 2, s), s = N − 1, N − 2, ...i, 0 y ası sucesivamente. Porejemplo

A(N − 2, N − 3) = p.A(N − 1, N − 3) + qA(N − 2, N − 2)

Se le puede llamar a esta idea de Pascal el metodo de induccion regresiva.Si aplicamos esto al problema de Pascal obtenemos lo mismo (con N = 3):si A lleva 2 puntos y B lleva 1 punto y A(2, 1) = 1/2 + 1/4 = 2C,3/4 Como2C = 64, esto da 48.si A lleva 2 puntos y B lleva 1 punto y A(2, 0) = 2C(1/2 + 1/4 + 1/8) = 2C,7/8lo que nos da 56.si A lleva 2 puntos y B lleva 0 punto y A(1, 0) = pA(3, 0) + q.A(2, 1) lo que nosda 44..

2 SEGUNDA PARTE. CONCEPTOS BASICOS 4

2. SEGUNDA PARTE. conceptos basicos

1.- Independencia y probabilidad condicionalEn todo lo que sigue del texto se trabaja con el espacio de probabilidad (Ω,F,P)en donde Ω es finito o numerable y la familia de subconjuntos F es la potenciade Ω, es decir, se trata de la familia de todos los subconjuntos de Ω. A loselementos de esta familia se les llama eventos; (en textos mas avanzados en vezde trabajar con la familia potencia se trabaja con ciertas subfamilias de esta y lacausa de hacerlo ası obedece a razones teoricas de importancia y trascendenciapero que corresponden a otro nivel.) En estos espacios, la medida de probabilidadP definida en F se da simplemente mediante una serie de numeros

(aω ∈ (0, 1])ω∈Ω tal que∑ω∈Ω

aω = 1

que determinan el valor de P en todo F con la regla:

P(A) =∑ω∈A

aω.

Se pide al lector verificar que P definida de esta manera en F satisface las trescondiciones que definen a una medida de probabilidad, a saber,

1. P es una funcion definida en F y con valores en [0, 1].

2. P(∅) = 0 y P(Ω) = 1.

3. Si (An)n∈N es un sucesion de eventos ajenos dos a dos (i.e. Ai ∩ Aj = ∅para i 6= j, i, j ∈ N) se cumple

P(⋃

n∈NAn) =

∑n∈N

P(An),

y en consecuencia tiene las propiedades usuales de una medida de probabilidad,entre ellas que es (finitamente) aditiva, es decir,

P(⋃n=m

n=1An) =

n=m∑n=1

P(An),

siempre que los eventos A1, A2, ....Am sean ajenos dos a dos. Tambien tiene laspropiedades de continuidad:

1. Si (An)n∈N es un sucesion decreciente de eventos, es decir, si An ∈ F, An ⊂An−1 para todo n ∈ N, entonces

lımn→∞

P(An) = P(⋂n∈N

An).


2. Si (An)n∈N es un sucesion creciente, entonces

lımn→∞

P(An) = P(⋃n∈N

An).

A estas dos propiedades se les llama de continuidad de la probabilidad.Veamos la demostracion de la segunda. La otra se obtiene por complementacion.Sea Bk = Ak −

⋃k−1j=1 Aj = Ak − Ak−1 Los conjuntos Bk, k = 1, 2, 3 . . . son

ajenos dos a dos y

Ak =

k⋃j=1

Bj

∞⋃k=1

Bk =

∞⋃k=1

Ak = A.

Por la propiedad de aditividad numerable de la medida de probabilidad se tiene:

P(A) =∑k∈N

P(Bk) = lımk→∞

k∑j=1

P(Bj) = lımk→∞

P(

k⋃j=1

Bj) = lımk→∞

P(Ak).

Una vez establecido el marco de trabajo podemos dar las definiciones de proba-bilidad condicional

Definicion 1. dados dos eventos A,B tales que P(B) > 0, def inimos laprobabilidad de que ocurra A dado que ya sabemos que sucedio B como

P(A|B) =P(A ∩B)

P(B).

dado un evento A y una variable aleatoira Z : E → R def inimos la pro-babilidad de que ocurra A dada la variable Z como una nueva variablealeatoria definida como

U = P(A|Z) =∑z∈EEE

P(A|Z = z)1(Z=z)

Ejemplo 1.-.En el caso de que Ω sea finito es muy usual trabajar con la regla de equipro-babilidad, es decir, cada punto del espacio es igualmente probable. En este casoaω = 1

K si K ∈ N es el numero de elementos de Ω y P(A) = #AK , donde #A es

el numero de elementos de A. Si ahora tengo dos eventos A,B 6= ∅,

P(A|B) =P(A ∩B)

P(B)=

#(A ∩B)

#B.

Es decir, si ya se sabe que B ocurrio, es inutil contar los elementos de A∩Bc, solonos interesa saber cuantos elementos tiene el conjunto A ∩ B, debemos dividir


entre #B, que es el numero de resultados posibles. En este caso la definicion deprobabilidad condicional es clara y esto explica el porque de la definicion general**Pruebe que si P(B) > 0 entonces la funcion Q : F → [0, 1] definida mediantela igualdad Q(A) = P(A|B), A ∈ F, es una nueva medida de probabilidad en(Ω,F,P) que asigna medida nula a todo evento contenido en Bc = Ω−B.Si ahora se quiere definir el concepto de eventos independientes, es razonablepedir que la informacion sobre uno de ellos no afecte la probabilidad del otro,es decir, dos eventos A y B son independientes si

P(A|B) =P(A ∩B)

P(B)= P (A).

Ejemplo 2.-.Si se modela un juego de dados y se supone que el dado esta equilibrado (esdecir, que la probabilidad de que salga cada una de las seis caras del dado es 1

6 ),se pueden hacer varias preguntas, con la hipotesis de que el resultado de cadalanzamiento no afecta lo que suceda con los demas. Por ejemplo:

1. Si en la primera jugada obtuve un seis (evento A), cual es la probabilidadde que en la segunda tambien obtenga un seis (evento B)?

2. Si en la primera jugada obtuve un seis (evento A), cual es la probabilidadde que la suma de los dos primeros resultados sea mayor que 9 (eventoC)?

Claramente en la primera pregunta se trata de eventos independientes y en la

segunda de eventos dependientes. La respuesta a la primera es 16 = P(A∩B)

P(B) y la

respuesta a la segunda es 36 , ya que hay tres formas para que la suma sea mayor

que nueve y si aplicamos la formula, se obtiene:

P(C|A) =P(C ∩A)

P(A)=

33616

=3

6.

La definicion general de eventos independientes es

Definicion 2. Una coleccion de eventos (Ai)i∈I es un coleccion independientesi para todo subconjunto f inito J ⊂ I se cumple

P(⋂

i∈JAi) =

∏i∈J

P(Ai).

Como se observa, la coleccion puede ser finita o infinita. Tambien es importantereconocer que si los eventos(Ai)i∈I son independientes, entonces son indepen-dientes dos a dos pero la recıproca es falsa: existen colecciones (Ai)i∈I de eventostales que, para toda pareja i, j ∈ I, Ai es independiente de Aj , pero no resultaser una coleccion independiente.Ejemplo 3.-.Sea Ω = 1, 2, 3, 4 y P la medida equiprobable en Ω. Si A = 1, 2, B = 1, 3y C = 3, 2, entonces A, B y C son independientes dos a dos pero no sonindependientes.


Proposicion 1. 1.-Si A y B son independientes tambien lo son

Ay Bc,

Ac y Bc, y

Ac y B.

2.-Sea B un evento con probabilidad estrictamente positiva:A y B son independientes si y solo si P(A|B) = P(A)

**Las demostraciones se dejan como ejercicio al lector o pueden ser consultadasen los textos basicos dados en las referencias. Como ejemplo, veamos que siA y B son independientes tambien lo son A y Bc: El conjunto A se puededescomponer como union ajena: A = (A ∩B) ∪ (A ∩Bc) por lo que,

P(A) = P(A ∩B) + P(A ∩Bc) = P(A)P(B) + P(A ∩Bc),

por lo tanto,P(A)[1− P(B)] = P(A ∩Bc),

es decir,P(A)P(Bc) = P(A ∩Bc).

Para el manejo del concepto de independencia de variables aleatorias en el casoque interesa en estas notas, a saber, cuando el espacio de estados EEE ⊂ R esdiscreto , es decir cuando es finito o numerable, la definicion se puede formularası

Definicion 3. SeaXi : Ω→ EEE, i ∈ I

una familia de variables aleatorias: Decimos que (Xi)i∈I es independiente si paracada familia (xi)i∈I de elementos de EEE se cumple que la coleccion de eventos(Xi = xi)i∈I es independiente, o sea si para todo subconjunto J f inito de I ypara cada familia (xi)i∈J de elementos de EEE se tiene:

P(⋂

i∈J(Xi = xi)) =

∏i∈J

P(Xi = xi).

En la ultima parte se presentara la definicion de esperanza ası como algunaspropiedades basicas de ella que se usan en el texto. Para mayor informacion alrespecto se recomienda consultar la bibliografıa. 2.- Esperanza y esperanzacondicional

Definicion 4. Se define la esperanzade una variable aleatoria

X : Ω→ EEE

comoE(X) =

∑y∈EEE

y P(X = y).


La esperanza de una variable aleatoria es una integral y como tal comparte suspropiedades, como la linealidad, monotonıa etc. Aquı solo veremos de maneraexplıcita dos de ellas.

Lema 1. Si A1, A2, . . . son eventos ajenos dos a dos y A =⋃k∈NAk, entonces

E(1A) =∑k∈N

E(1Ak).

En efecto, se define Bk =⋃kj=1Aj y entonces,

B1 ⊂ B2 ⊂ · · · ⊂ Bn · · ·

y por la propiedad de continuidad de la probabilidad,

E(1A) = P(A) = lımk→∞

P(1Bk)

= lımk→∞

P(

k⋃j=1

Aj) = lımk→∞

(

k∑j=1

P(Aj))

=∑j∈N

P(Aj) =∑j∈N

E(1Aj).

Lema 2. Si X : Ω→ N, entonces

E(X) =∑k∈N

P(X ≥ k).

Esto es inmediato si se escribe

E(X) =∑k∈N

j=k∑j=1

P(X = k)

=∑j∈N

∑k≥j

P(X = k)

=∑j∈N

P(X ≥ j),

ya que se trata de una serie doble de terminos positivos y se puede intercambiarel orden en que se hace la suma.

Ejemplos 4.-

Si X es el resultado de un lanzamientoto de un dado equilibrado, E(X) =1/6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7/2.


X es una variable aleatoria que toma el valor es 1 si el resultado dellanzamiento de una moneda equilibrada es aguila (cara) y es −1 si sale sol(cruz), en este caso, E(X) = 1/2 + (−1)1/2 = 0 (variable de Bernoulli deparametro 1/2) .

X es una variable aleatoria que toma el valor es 1 con probabilidad p ∈(0, 1) y toma el valor −1 con probabilidad q = (1 − p), entonces E(X) =p+ (−1)(1− p) = 2p− 1 (variable de Bernoulli de parmetro p).

Y es una variable aleatoria que toma el valor es 1 con probabilidad p ∈(0, 1) y toma el valor 0 con probabilidad q = (1 − p), entonces E(Y ) =p+ (−1),0 = p.

**Sea T la variable aleatoria igual al numero de volados requeridos paraobtener aguila por primera vez. Calcule E(T ).

**Si X es una variable de Poisson* de parametro λ es decir si P(X = k) =

exp(−λ)λk

k! pruebe que E(X) = λ.

Recordemos ahora, en su version discreta y sin usar temas avanzados de teorıade la medida, los importantes conceptos de esperanza condicional: primero conrespecto a un evento y luego con respecto a otra variable aleatoria.

Definicion 5. La Esperanza Condicional de una variable aleatoria X

dado un evento U ⊂ Ω:

E(X|U) =∑y∈E

y P(X = y|U) =∑y∈E

yP((X = y) ∩ U)

P(U)

dada otra variable aleatoria Z

E(X|Z) =∑y∈E

y P(X = y|Z) =∑z∈E

∑y∈E

y P(X = y|Z = z)1Z=z

De hecho lo que se hace es desarrollar la expresion P(X = y|Z) cuya definicion yase vio. Una propiedad de la Esperanza condicional es que no cambia la esperanzaes decir,

E(E(X|Z)) = E(X) (1)

En efecto,

E(E(X|Z)) = E

∑z∈E

∑y∈E

y P(X = y|Z = z)1(Z=z)

=

∑y∈E

∑z∈E

y P(X = y|Z = z)P(Z = z)

=∑y∈E

y P(X = y) = E(X)


problemas

En el ejemplo (2.) del juego de dados, X1 es el resultado del primer lan-zamiento X2 el del segundo.

1.-Sea X la variable aleatoria definida por el maximo de los dos nume-ros obtenidos, X = max(X1, X2). Calcule la esperanza de esta variablealeatoria.

2. Misma pregunta si ahora

Y =

X1 +X2 si X1 +X2 es par

−(X1 +X2) si X1 +X2 es non

3.-Calcule E(X|X1 = 1) y E(Y |X1 = 1).

4. Calcule E(Y |X1)

En el esquema de Pascal calcule E(X4|X3).

3 TERCERA PARTE : PROBLEMA DE LA RUINA 11

3. TERCERA PARTE : Problema de la Ruina

El problema basico de la ruina, es decir cuando tenemos un modelo aleatorio queevoluciona en el tiempo, tambien llamado proceso estocastico que tome valoresreales, como podemos conocer, bajo ciertas condiciones dadas, la probabilidadde que se llegue por primera vez a tener valores negativos ( i.e. llegar a la ruina)o bien lograr rebasar un nivel positivo prefijado. Presentamos los casos massencillos, y los metodos de solucion son elementales. Claro que si se cuenta conmas herramientas, los resultados son mucho mas faciles de demostrar.Las caminatas aleatorias simples pueden verse como un modelo para unjuego de volados: hay dos jugadores que llamaremos A y B; cada jugador apuestaen una jugada un peso ( o un boliviano). Gana ese peso el jugador A conprobabilidad p ∈ (0, 1) ( sale aguila) y lo pierde con probabilidad q = 1 − p (sale sol). Para hacer el modelo se parte de una sucesion de variables aleatoriasindependientes e identicamente distribuidas (que describen a los resultados delos volados sucesivos), (Xn)n∈N, y cada una de ellas es una variable Bernoulli deparametro p ∈ (0, 1), es decir, X1 toma el valor 1 con probabilidad p y toma elvalor −1 con probabilidad (1− p) . Si el capital inicial de A es a ∈ N pesos y elde B es de b ∈ N pesos, el capital de A al tiempo n se denotar Sn, n = 0, 1, 2, ...y esta dado por :

Sn = a+

n∑i=1

Xi

y el capital de B sera

Rn = b−n∑i=1

Xi.

Cuando alguno de los dos pierda todo su dinero, el juego termina y el jugadorque gano todo el capital c = (a + b) es quien gana el juego. Esto se puedevisualizar como un arbol binario, que describe todas las posibilidades para eljuego: a continuacion lo describimos hasta el cuarto juego.Cual es la probabilidad de que gane el jugador A? Cual la que gane B? Clara-mente esto va depender del valor de p. Una forma de resolver el problema esusando probabilidad condicional. Para ello dejaremos variar los montos de loscapitales iniciales:Sea J el evento (A pierde), es decir, Sn alcanza primero el nivel 0 antes que elnivel c. Llamemos h(u) a la probabildad de que A pierda habiendo empezadocon u ∈ 1, 2, · · · (c− 1) pesos.

h(u) := P(J |S0 = u)

con u ∈ 1, 2, ....., c− 1. Es claro que podemos utilizar la infomacion de lo quepasa en el primer juego ( A gana o pierde un peso ) para escribir lo siguiente

h(u) = P(J |S0 = u) = P((J ∩ (S1 = 1 + u)) ∪ (J ∩ (S1 = u− 1))|S0 = u

)lo que por aditividad y por la definicion de probabilidad condicional es igual a

P(J ∩ (S1 = 1 + u) ∩ S0 = u) + P(J ∩ (S1 = u− 1) ∩ S0 = u)

P(S0 = u)=


P(J |(S1 = 1 + u))P(S1 = 1 + u, S0 = u) + P(J |(S1 = u− 1)P(S1 = 1− u, S0 = u)

P(S0 = u)=

P[J |(S1 = u+ 1))P(S1 = u+ 1|S0 = u)] + P[J |(S1 = u− 1))P(S1 = u− 1|S0 = u)] =

= ph(u+ 1) + qh(u− 1).

Ya que P(S1 = u+ 1|S0 = u)] = p y P(S1 = u− 1|S0 = u)] = q.Como ademas se sabe que h(0) = 1 y h(c) = 0, el problema se traduce en resolver laecuacion en diferencias finitas:

h(u) = ph(u+ 1) + qh(u− 1), h(0) = 1, h(c) = 0

En el caso de que p = 1/2 = q se tiene

h(u) =1

2

(h(u+ 1) + h(u− 1)

), h(0) = 1, h(c) = 0

es decir, la funcion h es lineal y como se conocen sus valores en la frontera seobtiene directamente la solucion (unica)

h(a) =c− ac

=b

a+ b

Para resolver el sistema en el caso que p 6= q se procede asi:

(p+ q)h(u) = ph(u+ 1) + qh(u− 1),

lo que es equivalente a

p(h(u)− h(u+ 1)

)= q(h(u− 1)− h(u)

)Sea du = h(u) − h(u + 1), r = q/p , la igualdad anterior la podemos escribirahora asi:

du = rdu−1,

y por iteracion se llega adu = rud0,

1 = h(0)− h(c) =

c−1∑j=0

dj = d0

c−1∑j=0

rj = d01− rc

1− r ,

h(j) = h(j)− h(c) =

c−1∑i=j

di = d0

c−1∑i=j

ri = d0rj − rc

1− r

De la primera ecuacion se obtiene el valor de d0 que se sustituye en la segunday se obtiene

h(j) =rj − rc

1− rc


De esta manera hemos obtenido la probabilidad de que el jugador A pierda el juego siempieza con j pesos.

Por otra parte, si M denota al evento (B pierde) y a k(u) = P(M |S0 = c− u), se llegaal resultado analogo:

k(u) = pk(u+ 1) + qk(u− 1), u ∈ 1, 2, ....., c− 1

(** pruebe la igualdad anterior).

(p+ q)k(u) = pk(u+ 1) + qk(u− 1), k(c) = 1, k(0) = 0

El sistema en diferencias finitas es ahora un poco diferente , porque las condicionesala frontera son diferentes y al hacer los calculos se llega a

k(j) =1− rj

1− rc , p 6= q.

Otra forma de ver este resultado es intercambiar los papeles de A y B, a r por s =1/r = p/q y a u por (c− u) y aplicar el calculo hecho con h para obtener

k(j) =sc−j − sc

1− sc =1− rj

1− rc , p 6= q

Lo extraordinario es ver que si el jugados A empieza con u pesos, y el jugados B con(c− u) pesos

h(u) + k(u) = 1 · · · · · · (∗)en cualquier caso y para toda u = 0, 1, . . . c.Otra forma en que se pueden escribir los resultados anteriores es mediante el uso de”tiempos de paro”. Se define

τx = ınfn ∈ N : Sn = x

y el problema se puede escribir as La probabilidad de que el jugador A pierda , siempezo con u ∈ , 2, · · ·n− 1 pesos es

P(τc > τ0) = Pu(τc > τ0)

ya que esa probabilidad indica que se llego primero al nivel 0 antes que al c.

Consecuencias Del simple calculo que se ha hecho, podemos obtener propiedadesnotables de la caminata aleatoria: aquı usaremos las notaciones h(c, u) y k(c, u) enlugar de h(u) y k(u) para hacer enfasis en que el resultado depende de la barrerasuperior c ( no se menciona la inferior cuando se mantenga fija e igual a cero).


toda caminata aleatoria simple sale de un intervalo dado con probabilidad 1 estopor la igualdad (*).

si r < 1, lımc→∞ h(c, u) = ru lo que significa que tiene una probabilidad positiva(1 − ru) de no arruinarse. Si el jugador A empieza con un capital mas grande,la probablidad de no arruinarse tambien crece , como es logico esperar.

si r > 1, lımc→∞ h(c, u) = 1, lo que significa que eventualmente se arruinara conprobabilidad 1, lo que es tambien razonable al saber que en cada juego tienemayor probabilidad de perder que de ganar( q > p.

Se puede probar que la esperanza de h(u) y de k(u) son finitas para toda u ∈1, 2, · · · c− 1.Si se empieza en el punto a > 0 , al trasladar S0 al origen el intervalo [0, c] setraslada al [−a, b] y el resultado anterior se traduce en:

P(τ−a < τb|S0 = 0) = ra, r < 1

yP(τ−a < τb|S0 = 0) = 1, r > 1.

problemas

Si el jugador A inicia el juego con 10 pesos y el jugador B con 90 pesos yp = 1/4 calcule la probabilidad de ruina del jugados A. Si ahora p = 3/4 ,misma pregunta.

En el contexto del juego planteado y con las misma notaciones, si R es el evento(A gana), encuentre la ecuacion que satisface V (u) = P(R|S0 = a).

4 CUARTA PARTE. 15

4. CUARTA PARTE.

Caminatas aleatorias. Las caminatas aleatorias se obtienen a partir de una sucesion(Xn)n∈N, de variables aleatorias definidas en un cierto espacio (Ω,F,P) de probabilidady se les pide que sean independientes e identicamente distribuidas. con valores en uncierto espacio EEE, que puede ser un subconjunto finito, numerable de R o bien unintervalo, R mismo o bien subconjuntos de R o de Rn. En ciertos casos, se le ponenbarreras, es decir, se acota el espacio de estados y tamben ( por un abuso de notacion)se les llama caminatas aleatorias o caminata aleatorias con barreras, vea los ejemplosa continuacion.

Definicion 6. Una caminata aleatoria con valores en EEE es un proceso estocastico(Sn)n∈N definido como

Sn = So +

n∑k=1

Xn, n ∈ N

donde (Xn)n=1,2,3,... es una sucesion de variables aleatorias independientes e identi-camente distribuidas. con valores en EEE y S0 es una constante.. Decimos que una tra-yectoria del proceso es el conjunto de valores que toma el proceso para cada ω ∈ Ω fijoy que la variable Xi representa el salto de la caminata.

Pueden ser modelos muy sencillos o mas elaborados segun la forma que tengan lavariablesXn. S0 generalmente sera una constante , pero puede ser tambien una variablealeatoria. Veremos inicialmente los ejemplos mas sencillos.Ejemplos:

1. Las caminatas aleatorias simples . Si Xn)n∈N,son variables aleatorias inde-pendientes y cada una de ellas es una variable Bernoulli de parametro p ∈ (0, 1),es decir, X1 toma el valor 1 con probabilidad p y toma el valor −1 con probabi-lidad (1− p), se trata de la caminata aleatoria simple. Esto se puede visualizarcomo un arbol binario.

2. Las caminatas aleatorias simples crecientes en la cual Xn toma el valor1 con probabilidad p y el valor 0 con probabilidad q = 1− p.

3. Las caminatas aleatorias perezosas en la cualXn toma tres valores 0, 1,−1. El valor 1 lo toma con probabilidad p y el valor 0 con probabilidad q y el valor−1 con probabilidad r y se pide que p, q, r > 0, p+ q + r = 1.

4. La caminata aleatoria con barreras absorbentes . Aquı el espacio de es-tados es EEE = 1, 2, . . . , n y si se parte de un punto x ∈ 2, . . . , n − 1, laprobabilidad de ir a los puntos vecinos es p = 1/2 para cada uno de ellos; si lle-ga a 1 o a n con probabilidad 1 se queda ahı. Este ejemplo es el que correspondeal problema de la ruina planteado en la seccion anterior.

5. *La caminata aleatoria con barreras pegajosas . Aquı el espacio de estadoses EEE = 1, 2, . . . , n y si se parte de un punto x ∈ 2, . . . , n−1, la probabilidadde ir a los puntos vecinos es p = 1/2 para cada uno de ellos; si se parte de 1 o den con probabilidad s ∈ (0, 1) se queda ahı y con probabilidad 1− s va al puntovecino en EEE.

6. Caminata aleatoria con barreras repelentes . Igual al anterior con s = 0.

7. Caminata aleatoria en Z2.

4 CUARTA PARTE. 16

A partir de un punto (n,m) de la retıcula se puede ir a cualquiera de los ochopuntos vecinos

((n+i,m+j) : i, j = 0, 1,−1−(n,m)

)de manera equiproba-

ble. Para una caminata aleatoria Snn≥0 llamaremos a las variables aleatoriasX1, X2, . . . variables de salto, y a F la llamaremos la ley de salto de Snn≥0.Ademas denotaremos por L al espacio de estados de la caminata aleatoria S,que es el conjunto donde esta toma valores.

8. La caminata aleatoria con distribucion de salto Poisson de parametro λ, es lacaminata aleatoria Snn≥0 para la cual

P(Xi = k) =e−λλk

k!, k ≥ 0

para cada una de las variables de salto. Por lo que

P(Sn = k) =e−(nλ)(nλ)k

k!, k ≥ 0.

Tendremos propiedades generales validas para toda caminata aleatoria y otras especıfi-cas para cada caso. En general supondremos que el conjunto de valores posibles EEE esfinito o numerable , lo que nos permite usar el concepto elemental de probabilidady esperanza condicional discretas , aun cuando muchas de estas propiedades seguransiendo validas para variables mas generales.

Proposicion 2. Una caminata aleatoria (Sn)n con valores en Z y con S0 constante .

1. tiene esperanza EEE(Sn) = S0 + nEEE(X1)

2. tiene varianza V ar(Sn) = nV ar(Xn).

3. tiene la propiedad de Markov.

Demostracion. 1. Inmediato por la linealidad de la esperanza.

2. Inmediato por tratarse de una suma de variables aleatorias independientes.

3. La propiedad de Markov comnmente llamada “propiedad de olvidar el pasa-do”, se expresa con precision en terrminos matematicos, ası: para toda n,m ∈N, z, y, zi ∈ EEE i = 1, 2 · · ·n− 1 se cumple

P(Sn+m = y|Sn = z, Sn = zn−1, . . . , Z1 = z1, S0 = a) = P(Sn+m = y|Sn = z)

La demostracion de esta propiedad es sencilla porque es facil comprobar queambos terminos de esta igualdad son a su vez iguales a:

P(

m+n∑i=n+1

Xi = y − z).

Para ello se usa la definicion de probabilidad condicional y las hipotesis de

4 CUARTA PARTE. 17

independencia:

P(Sm+n = y|Sn = z, Sn−1 = zn−1, . . . S1 = z1, S0 = a) =

=P(Sm+n = y, Sn = z, Sn−1 = zn−1, . . . , , S0 = a)

P(Sn = z, Sn−1 = zn−1, . . . , S0 = a0)

=P(Sm+n − Sn = y − z, Sn − Sn−1 = z − zn−1, . . . , , S1 − S0 = z1 − a, S0 = a)

P(Sm − Sn−1 = z − zn−1, . . . , S2 − S1 = z2 − z1, S1 − S0 = z1 − a, S0 = a)

=P[∑m+n

i=n+1Xi = y − z,Xn = z − zn−1, . . . , X1 = z1 − a, S0 = a]

P(Xn = z − zn−1, Xn−1 = zn−1 − zn−2, . . . , X2 = z2 − z1, X1 = z1 − a, S0 = a)

=P(∑m+n

i=n+1Xi = y − z)P(Xn = z − zn−1, · · ·X1 = z1 − a,X0 = a)

P(Xn = z − zn−1, · · · , X1 = z1 − a, S0 = a)

= P(

m+n∑i=n+1

Xi = y − z).

Por otra parte

P(Sm+n = y|Sn = z) =P(Sm+n = y, Sn = z)

P(Sn = z)=

P(∑m+ni=n+1Xi = y − z)P(Sn = z)

P(Sn = z)= P(

m+n∑i=n+1

Xi = y − z)

Problemas 1.– Escriba las matrices de transicion definidas en clase en los ejem-plos (4), (5),(6), para el caso en que E = 1, 2, 3, ..,6, p = 1/3 y s = 1/4. Si Ynes la variable aleatoria que denota la posicion del proceso al tiempo n, calculeen los tres casos:

P(Y4 = 1|Y1 = 2)

E(Y2|Y0 = 3)

E(Y3 = 6|Y0 = 4)

2.- Si X es una variable aleatoria de Poisson de parametro λ y Y es otra va-riable aleatoria de Poisson de perametro µ y si son independientes, calcule ladistribucion de X + Y .

5 QUINTA PARTE. 18

5. QUINTA PARTE.

Algunos resultados para caminatas aleatorias simples. Este material esta ba-sado libros como ([10] o [9]) y es la parte introductoria de la tesis de licenciatura dela M.en C. Marya Bermudez, ([2]).A partir de ahora y hasta el final de esta seccion trabajaremos con la caminata aleatoriasimple que empieza en algun punto a ∈ Z y que puede variar segun el tema tratado.Si A ⊂ N, denotaremos a la cardinalidad de A como |A|.Definimos un camino C de longitud k como la sucesion de k puntos en el plano(0, s0), (1, s1), . . . , (k, sk) y lo denotaremos como (s1, s2, . . . , sk) .Ya que sabemos lo que es un camino, veamos cual es la probabilidad de que unacaminata aleatoria siga en sus primeros k pasos un camino dado, es decir que altiempo 0 este en s0, al tiempo 1 este en s1, y ası hasta que al tiempo k este en sk.

Lema 3. P(S0 = s0, S1 = s1, ..., Sk = sk)) = prql con

s0 = a, si+1 − si ∈ −1, 1, y r = |i : si+1 − si = 1|, l = |i : si+1 − si = −1|, 0 ≤i ≤ k − 1.Es decir r es el numero de saltos positivos que hace la caminata en sus primerosk pasos, y l es el numero de saltos negativos que hace la camianta aleatoria en susprimeros k pasos.

La probabilidad de que la caminata aleatoria Snn≥0 siga el camino (s0, s1, ..., sk),esta dada por P(S0 = s0, S1 = s1, ..., Sk = sk). Notemos que si existe 0 ≤ i < k parala cual |si+1 − s1| /∈ −1, 1, la ultima probabilidad es cero. De otro modo, usando laindependencia de X1, X2, . . . tenemos que

P(S0 = s0, S1 = s1, ..., Sk = sk)

= P(Sk − Sk−1 = sk − sk−1, . . . , S1 − S0 = s1 − s0, S0 = s0)

= P(X1 = s1 − s0, X2 = s2 − s1, . . . , Xk = sk − sk−1

= P(X1 = s1 − s0)P(X2 = s2 − s1), . . . ,P(Xk = sk − sk−1)

= prqk−r,

donde r = |i : si+1 − si = 1|, con 0 ≤ i ≤ k y como p+ q = 1 entonces l = k − r.Ahora veamos la probabilidad de que la caminata aleatoria que empieza en a se en-cuentre en b al tiempo n.

Teorema 1. Para S0 = a

P(Sn = b) =

(n

n+b−a2

)p(

n+b−a2

)q(n−b+a

2),

donde (1/2)(n+ b− a) es un entero que toma valores en el conjunto 0, 1, . . . , n. Enotro caso Pa(Sn = b) = 0. ( la probabilidad en cuestion tambien se puede escribir comoP(Sn = b|S0 = a).)

Demostracion. La probabilidad de que Sn sea igual a b es la probabilidad de que lacaminata aleatoria siga alguno de los caminos de longitud n que empiezan en a yterminan en b. Notemos que si la caminata aleatoria sigue un camino de longitud n,(s0, s1, . . . , sn) que empieza en a y termina en b, es decir s0 = a y sn = b, y definimos a

5 QUINTA PARTE. 19

r y a l como en el lema anterior. Entonces, como en cada uno de los n pasos solo puedesubir o bajar una unidad, el numero de veces que baja una unidad mas el numero deveces que sube una unidad es igual a n, es decir r+ l = n. Tambien notemos que si elcamino de longitud n empieza en a y termina en b, luego de subir r unidades y bajarl unidades a partir de a, la caminata habra avanzado n pasos y se encontrara en laposicion sn = b, por lo que a+ r − l = b. De lo anterior tenemos que

r = b− a+ l (2)

r = n− l. (3)

Sumando las ecuaciones (1.1) y (1.2), se tiene que

r =

(n+ b− a

2

)l =

(n+ a− b

2

).

Por lo anterior, si queremos que la caminata aleatoria siga un camino de longitud nque empiece en a y termine en b, este tendra que tener (n+b−a

2) saltos positivos y

(n−b+a2

) saltos negativos. Usando esto y el Lema (3) la caminata aleatoria seguira un

camino (s0, . . . , sn) donde s0 = a y sn = b con probabilidad p(n+b−a

2)q(

n−b+a2

).Si hacemos Mr

n(a, b) el numero de caminos de longitud n, con s0 = a, sn = b y r =

|i : si+1 − si = 1|, entonces Mn+b−a

2n (a, b) p1/2(n+b−a)q1/2(n−b+a) es la probabilidad

de que la caminata aleatoria empiece en a y termine en b en n pasos. Por lo que setiene que

P(Sn = b) = M(n+b−a

2)

n (a, b) p(n+b−a

2)q(

n−b+a2

).

Tomando en cuenta que cualquier camino que vaya de a a b en n pasos tiene quetener (n+b−a

2) saltos positivos y (n+a−b

2) negativos, la unica diferencia que puede

haber entre cada uno de ellos es el orden en el que se dan los saltos positivos, por lo

que M(n+b−a

2)

n es el numero que resulta de escoger de los n pasos, (n+b−a2

), es decir

M(n+b−a

2)

n =(

nn+b−a

2

). Por lo tanto

P (Sn = b) =

(n

n+b−a2

)p(

n+b−a2

)q(n+a−b

2),

donde r = (n+b−a2

) ∈ N y 0 ≤ r ≤ n para que

(n

n+b−a2

)tenga sentido.

Los siguientes resultados tratan de caminos mas especificos que los anteriores, por locual es necesario introducir las siguientes definiciones.

Definicion 6.1. Definimos a Nn(a, b) como el numero de caminos de longitud n queempiezan en a y terminan en b.

Definicion 6.2. Definimos a N0n(a, b) como el numero de caminos de longitud n, de

a a b para los cuales existe k ∈ N tal que 0 < k < n y sk = 0.

5 QUINTA PARTE. 20

En el siguiente teorema veremos que el numero de caminos que existen de a a b, delongitud n, que tocan en algun momento a cero, N0

n(a, b) es igual al numero de caminosque existen de −a a b de longitud n, Nn(−a, b). Donde a, b > 0.

Teorema 1.1 (Principio de reflexion). Si a, b > 0 entonces N0n(a, b) = Nn(−a, b).

Demostracion. Sean A = (s0, s1, ..., sk, ..., sn)|s0 = a, sn = b y tal que existe k ∈0, 1, . . . , n, tal que Sk = 0 y B = (s0, ..., sn)|s0 = −a, sn = b. Como −a < 0 yb > 0, para todo camino (−a, s1, ..., b) ∈ B existe 0 < k < n para el cual sk = 0.Sea f : B → A tal que al camino (−a, s1, ..., sk−1, 0, sk+1, ..., sn−1, b) le asocia el ca-mino en A (a,−s1, ...,−sk−1, 0, sk+1, ..., sn−1, b). La funcion f definida de esta maneraresulta ser una funcion biyectiva, por lo que |A| = |B|.

De este teorema tenemos el siguiente resultado.

Corolario 0.1. Si b > 0, yb

n∈ N, entonces el numero de caminos de 0 a b que no

regresan al 0 es (b/n)Nn(0, b).

Demostracion. Notemos primero que si b + n es impar Nn(0, b) = 0 = N0n(0, b). Si

b + n es par, cualquier camino que empieza en cero, que no toca el 0 nuevamente yllega a b, estara en el segundo paso en 1. Por lo que el numero de caminos deseado esel mismo que el numero de caminos de 1 a b de longitud n− 1 que no tocan el 0. Estenumero podemos escribirlo por el Teorema 1.1 como:

Nn−1(1, b)−N0n−1(1, b) = Nn−1(1, b)−Nn−1(−1, b).

Y recordemos que en la demostracion del Teorema 1, vimos que el numero de caminosde longitud n que van de a a b, es

(n

n+b−a2

). Por ello,

Nn−1(1, b)−Nn−1(−1, b) =

(n− 1n−2+b

2

)−

(n− 1n+b2

)

=(n− 1)!

(n−2+b2

)!(n−b2

)!− (n− 1)!

(n+b2

)!(n−2−b2

)!. (4)

Notemos que

(n− b

2)! = (

n− b2

)(n− 2− b

2)!

y

(n+ b

2)! = (

n+ b

2)(n− 2 + b

2)!.

5 QUINTA PARTE. 21

Por lo que tenemos que(4) es igual a

(n− 1)!

(n− 2 + b

2)!(n− 2− b

2)!(n− b

2)− (n− 1)!

(n− 2− b

2)!(n− 2 + b

2)!(n+ b

2)

=(n− 1)!

(n− b

2)!(n+ b

2)!

[(n+ b

2)− (

n− b2

)]

=b(n− 1)!

(n− b

2)!(n+ b

2)!

=b

n

n!

(n+ b

2)!(n− b

2)!

=b

n

(nn+b2

)

=b

nNn(0, b).

Con este resultado podemos encontrar la probabilidad de que una caminata aleatoriaSnn≥0 que empieza en 0 siga un camino de longitud n que termina en b 6= 0 y quenunca regresa a 0.

Teorema 1.2. Si S0 = 0, entonces para todo n ≥ 1 y b 6= 0,

P(S1, S2, . . . , Sn 6= 0, Sn = b) =|b|nP(Sn = b) y P(S1, S2, . . . , Sn 6= 0) =

1

nE|Sn|.

Demostracion. Caso1:Supongamos b > 0.

P(S1, . . . , Sn 6= 0, Sn = b) es la probabilidad de todos los caminos que empiezan en0, no regresan a 0 y terminan en b en n pasos. Por ello y por el Corolario 0.1 tenemos que

P(S1, . . . , Sn 6= 0, Sn = b) =b

nNn(0, b)p1/2(n+b)q1/2(n−b)

=b

nP(Sn = b)

=|b|nP(Sn = b).

Caso 2: Supongamos b < 0.

Sea Bn(a, b) el numero de caminos de longitud n que empiezan en a, terminan en b yno regresan a a. Entonces

P(S1, . . . , Sn 6= 0, Sn = b) = Bn(0, b)p(n+b2

)q(n−b2

).

Sean A=Caminos de 0 a b que no tocan el cero, y

5 QUINTA PARTE. 22

B=Caminos de 0 a −b que no tocan el cero,entonces (s0 = 0, s1, . . . , sn = b) 7→ (0,−s1, . . . ,−sn = −b) es una biyeccion entreA y B, ası |A| = |B|. De donde concluımos que Bn(0, b) = Bn(0,−b). Por lo tanto

P(S1, . . . , Sn 6= 0, Sn = b) = Bn(0,−b)p(n+b2

)q(n−b2

).

Como −b > 0, nuevamente, por el Corolario 0.1 tenemos que

Bn(0,−b)p(n+b2

)q(n−b2

) =−bnNn(0,−b)p(

n+b2

)q(n−b2

).

Ademas Nn(0,−b) = Nn(0, b), de lo cual

P(S1, . . . , Sn 6= 0, Sn = b)

=−bnNn(0, b)p(

n+b2

)q(n−b2

)

=−bn

P(Sn = b)

=|b|nP(Sn = b).

Por lo que para toda b 6= 0 y n ≥ 1

P(S1, S2, . . . , Sn 6= 0, Sn = b) =|b|nP(Sn = b).

Ahora veremos que P(S1, S2, . . . , Sn 6= 0) = 1nE|Sn|. Por lo anterior

∑b 6=0

P(S1, S2, . . . , Sn 6= 0, Sn = b)

=∑b 6=0

|b|nP(Sn = b)

=1

n

∞∑b=1

|b|P(Sn = b) + |b|P(Sn = −b).

Por lo tanto,

P(S1, S2, . . . , Sn 6= 0)

=1

n

∞∑b=1

|b|P(Sn = b) + |b|P(Sn = −b)

=1

n

∞∑b=1

|b|P(|Sn| = |b|)

=1

nE(|Sn|).

problemas 1.- Calcule la distribucion de la variable aleatoria que describe el primerregreso al 0 de una caminata aleatoria simple que empieza en 0, es decir calcule

P(T = k|S0 = 0), k = 1, 2, . . . y donde T = mınn > 0 : Sn = 0

.

6 SEXTA PARTE. 23

6. SEXTA PARTE.

Propiedades asintoticas Empezaremos con algunas desigualdades muy ´tiles engeneral y fundamentales para probar la primera ley.Sea X una variable aleatoria conmedia m y varianza σ2

Desigualdad de Markov : si X > 0, P(X > a) ≤ E(X)a

desigualdad de Chebychev: si X tiene varianza finita

P(|X −m| ≥ a) ≤ σ2

a2

para cualquier a > 0.

Su utilidad es muy variada en una amplia gama de situaciones.Pruebas:1.-

(1(X>a)) ≤X

a1(X>a)

y se usa la monotonıa de la esperanza para obtener

P(X > a) = E(1(X>a)) ≤ E[X

a1(X>a)

]≤ E(X)

a.

2.- Inmediato de lo anterior.

Leyes de grandes numeros.

Teorema 2. (Ley debil) Si Xi : i = 1, 2, 3, .... es una sucesion de variables aleatoriasindependientes e identicamente distribuidas con media m y varianza finita, y si (Sn)nes su caminata aleatoria asociada,

P[|Snn−m| ≥ a

]→ 0 n→∞

La prueba es una consecuencia inmediata de la desigualdad de Chebychev.

P[|Snn−m| ≥ a

]= P

[|Snn−m|2 ≥ a2

]≤ var(Sn)

n2a2=var(X1)

a2n

Teorema 3. (Ley Fuerte) Si Xi : i = 1, 2, 3, .... es una sucesion de variables aleato-rias independientes e identicamente distribuidas con media m ahora supondremos queE(X4) es finita. Sea (Sn)n su caminata aleatoria asociada,entonces

P[

lımn→∞

Snn→ m

]= 1

o dicho de otra manera

lımn→∞

Snn

= m c.s.

6 SEXTA PARTE. 24

En el caso de las caminatas aleatorias simples, esto nos dice que en promedio elnumero de exitos es la media.

X1 +X2 + . . . Xnn

→ p

Si recordamos los resultados para una caminata aleatoria simple obtenidos en la

seccion 3 no resultar sorprendente el siguiente resultado

Teorema 4. Dada una caminata aleatoria (Sn)n∈N no trivial, sucede una y solo unade la tres propiedade siguientes:

1.- lımn→∞ Sn = +∞ o

2.-lım infn→∞ Sn = −∞ y lım supn→∞ Sn = +∞ o bien

3.- lımn→∞ Sn = −∞

Dos casos son sencillos de probar: si Xi tiene media finita y positiva ( EEE(Xi) = m ∈(0,∞)) , la ley de las grandes numeros nos permite afirmar que se cumple el caso 1.-En efecto,

lımn→∞

Snn

= m

de donde se deduce quelımn→∞

Sn = +∞

Si Xi tiene media finita y negativa, la misma ley nos dice que se cumple el caso 3.-Es claro que el caso de las caminatas aleatorias simples para p 6= q, queda incluido enestos dos casos.Un poco mas dificil de probar son casos restantes: la media m es cero, m = −∞ om = +∞.Para estudiar el comportamiento asintotico, en estos casos se requiere de la ley 0-1 de Hewitt- Savage y no lo vamos a hacer aquı. Un estudio detallado con enfoqueelemental, se encuentra en ([13].)El caso de una caminata aleatoria simple con p = q la media es cero y el resultado quese dio en la seccio anterior no se deduce de las leyes de grandes nhumeros.3. Otro ejemplos de problemas de ruina. Un ejemplo muy cercano a las caminatas alea-torias son las caminatas aleatorias con retraso o caminatas aleatorias perezo-sas ya mencionadas. El modelo es importante en aplicaciones diversas, por ejemplo enprocesamiento de senales en donde dependiendo del valor del peso de la informacion seenvıan tres posibles numeros a la central que esta procesando toda esta informacion:si el peso el grande, envıa el numero 1 , si es muy pequeo , el (−1) y no transmite nadasi los pesos son intermedios. Cuando se rebasa un cierto nivel se deben tomar medidasadecuadas y al bajar de otro nivel fijo, tambien se debera actuar en consecuencia.Claro que cada modelo debera precisar que es grande y chico as como estos nivelesde los que no podemos salirnos. El modelo matem´tico para esto , es una caminataaleatoria en donde las variables aleatorias de salto Xi son las siguientesXi = 1 con probabilidad p ∈ (0, 1)Xi = −1 con probabilidad q ∈ (0, 1)Xi = 0 con probabilidad r ∈ (0, 1)y donde p+q+r = 1.Es obvio que si r = 0 volvemos a las caminatas aleatorias simples.

6 SEXTA PARTE. 25

Para simplificar el estudio pensemos que el nivel superior es c > 4y el inferior es 0 yempezamos en un punto u ∈ i, 2, ....c − i Si aplicamos las ideas del problema de laruina a esta situacion tendremos la siguiente ecuacion,

h(u) = ph(u+ 1) + qh(u− 1) + rh(u)

que es lo mismo que

h(u)(1− r) = ph(u+ 1) + qh(u− 1)

y que

h(u) =p

p+ qh(u+ 1) +

q

p+ qh(u− 1)

si observamos los calculos hechos para el problema de la ruina veremos que la proba-bilidad de llegar a 0 o a c , son las mismas que el caso de de la caminata simple, y estoporque porque el cociente de los coeficientes r es el mismo.

Problemas

Se sabe que el promedio del numero de piezas que se produce en un ffabrica esde 100 piezas diarias. Si Y denota el numero de piezas producidas diariamente,d una estimacin, o cota superior para P(Y > 95), P(y > 120). Si adems sabemosque la varianza es 400, de una estimacin de estas mismas cantidades. Como secomparan las cotas?

SeaX una variable aleatoria de Poisson con media 20. Use la desigualdad deMarkov para dar una cota superior de P(X > 26). Ahora use Chebychev paraver si puede mejorar la cota.

Por experiencia se sabe que el promedio de estudiantes que presentan su examenfinal es de un 75 %. De una cota superior para la probabilidad de que lo presentenmas del 85 %.

Si (Sn =∑i=1)nXi)n∈N es una caminata aleatoria simple que empieza en 0 y

donde Xi es Bernoulli* de parmetro p ∈ (0, 1). Encuentre la distribucio de Sn,calcule su media, su variancia y P(Sn > 3), pr(Sn > 10). (*en los dos casos : siXi toma los valores 0, 1 o los valores −1, 1)

7 SEPTIMA PARTE 26

7. SEPTIMA PARTE

Desarrollos recientes sobre problema de la ruina. Esta parte del curso requierede resultados ms avanzados de la teorıa, sin embargo se dar una idea del problema dela ruina para proceso con tiempo contınuo. Podemos plantear un problema analogopara un proceso en tiempo contınuo, lo que es en general mucho mas difıcil de resolverpero que tiene una gran importancia en una gran variedad de modelos matemticosligados a los mas diversos fenomenos aleatorios de la naturaleza.Si se tiene un proceso mas general que lo tratado en secciones anteriores, la preguntaes la misma: se puede saber con que probabilidad sale de un cierto intervalo dado?.Veamos el caso mas conocido: el del movimiento browniano:El Movmiento Brownianno (Bt)t∈R+ es un proceso estocastico definido en un espaciode probabilidad (Ω,F ,P) que evoluciona en el tiempo de manera contınca, es decir lossubındices del proceso varıan en R+ y queda definido como sigue:

B0 = 0

tiene trayectorias contınuas.

Bt tiene densidad normal N (0, t)

Es un proceso con incrementos independientes, esto significa que para toda n ∈ Ny para cualesquiera tiempos 0 ≥ t1 < t2 < ....tn, las variables aleatorias

(Bti −Bti−1)i∈1,.....n

son variables aleatorias independientes.

Tiene incrementos estacionarios , es decir, la distribucion de (Bt+h − Bt) es lamisma que la de (Br+h −Br) para cualesquiera t, r ≥ 0

Observe que en este caso las trayectorias del proceso son funciones de [0,∞) → R yuna trayectoria es, para cada ω ∈ Ω fijo , la funcion t→ Bt(ω). El proceso que empiezaen x ∈ R se define como (x+Bt : t ≥ 0)Por lo que se ha dicho en la definicion Bt tiene densidad normal de media 0 y varianzat, as que la densidad de x+Bt es:

pt(x, y) =1

(2πt)1/2exp(

−|x− y|2

2t)

y en esta formula la x inicial queda fija. Podemos entonces plantear preguntas similaresal caso de la caminata aleatoria:

Cual es la probabilidad que habiendo empezado en el punto x > 0 llegue primeroa c > x > 0) que a cero? (el jugador A gana)

Si tenemos un MB que empieza en 0 y a > 0, b > 0son dos reales positivos. Cuales la probabilidad de que salga del intervalo (−a, b) por −a y cual la de que salgapor b? Esto por traslacion es equivalente a pensar en el intervalo (0, a + b = c)y en un MB que empiece en a = x.

Es cierto que con probabilidad 1 sale de cualquier intervalo finito?

Teorema 5. Si B es un movimiento Browniano que empieza en x > 0 y sea c > x > 0.Entonces

P(τc < τ0|B0 = x) =x

c; P(τc > τ0|B0 = x) =

c− xc

dondeτu := ınft > 0 : Bt = u u ∈ R

7 SEPTIMA PARTE 27

Podemos de inmediato ver que es el mismo resultado que para las caminatas aleatoriassimetricas ( es decir p = q = 1/2). Si recordamos que existen teoremas que nospermiten aproximar al MB mediante un re-escalamiento cada vez mas fino en el tiempoy el espacio de las caminatas aleatorias simples simetricas , podrıamos pensar que elresultado se deduce de las propiedades correspondientes de ellas. Pero en realidad estono es as. El tpo de convergencia ( topologıa de Skorohod) que se tiene, no respeta, por lo general estas propiedades. La demostracion es totalmente diferente del casodiscreto y no se hara en este texto, Solo indicaremos que se hace basicamente usandoun resultado vinculado con a la densidad de x+Bt. Un calculo elemental muestra queesta funcion , satisface la ecuacion del calor

∂pt∂t

=1

2

∂2pt∂y2

.

Los mtodos empleados son ahora de caractor anaıtico (teor’a probabilista del poten-cial).Otros metodos de prueba utilizan la teorıa de las martingalas.

Ademas de este resultado para el MB , se pueden estudiar otros modelos en la teorıa deriesgo que son procesos en tiempo contındo pero con trayectorias discontınuas. Algu-nos de estos modelos se han desarrollando recientemente por probabilistas mexicanos(ver.....) e incluyen a procesos del tipo:

Cramer- Lundberg

Levy simetricos

Levy espectralmente negativos

Esto ha permitido acceder a modelos mas precisos y utiles en diversas aplicaciones,pero, naturalmente , requieren de conocimientos mas avanzados de probabilidad y deprocesos estocasticos.

REFERENCIAS 28

Referencias

[1] J. Bertoin. Probabilites. Curso Universidad de Paris VI, 1997.

[2] Mayra Bermudez Caminatas aleatorias condicionadas a ser positivas . Tesis delicenciatura, Facultad de Ciencias, UNAM, 2011.

[3] CPP) M.E. Caballero , J.C, Pardo y J.L. Prez Explicit identities for Lvyprocesses associated to symmetric stable processes. Bernoulli 17 (2011), 1, 34–59.

[4] MEC) M.E. Caballero. La martingala de Pascal. Miscelanea Matematica, SMMNo.43.(2006),1-19.

[5] CRUV) M.E. Caballero, V. Rivero, G. Uribe , C Velarde AportacionesMatematicas, Cadenas de Markov. 29.(2008).

[6] Laurent Denis, Begoa Fernndez, Ana Meda Estimation of value at risk andruin probability for diffusion processes.

Journal: Mathematical Finance - MATH FINANC , 19, no. 2, pp. 281-302, 2009

[7] W. Feller. An Introduction to Probability Theory and its Applications. Vol. 1, 3rded., John Wiley, New York, 1968.

[8] J. Garcıa. Valuacion de opciones. Tesis de licenciatura, Facultad de Ciencias,UNAM, 2002.

[9] Ch. Grinstead y L. Snell. Introduction to Probability. American MathematicalSociety, 1997.

[10] G.R. Grimmmet y D.R. Stikzaker. Probability and Random Processes. OxfordScience Publications, 1992.

[11] A.Gut The gamblers ruin problem with delays.. Stats,and Porb Letters. 83, 25-49(2013).

[12] D.B. Hernandez Castanos. Caminatas aleatorias y movimiento browniano. Mo-nografıas del Instituto de Matematicas, 9, UNAM, 1981.

[13] Adrian Hinojosa Generalizacion de la Caminata Aleatoria asociada. . Tesis delicenciatura, Facultad de Ciencias, UNAM, 2013.

[14] P.G. Hoel, S.C. Port y C.J. Stone. Introduction to Stochastic Processes. HoughtonMiffin, 1971.

[15] Kai Lai Chung From discrete to absolutely continuous solutions of indeterminatemoment problems Arab. J. Math. Sci. 4, 1-18 (1998).

[16] KPR) A.E. Kyprianou, J.C. Pardo y V.M. Rivero. Exact and asymptoticn-tuple laws at first and last passage. (with A.E. Kyprianou and V.M. Rivero.Ann. of Appl. Probab. 20 (2010), 2, 522–564.

[17] S. I. Resnick. Adventures in Stochastic Processes. Birkhauser, Boston, 1992.

[18] S.M. Ross Stochastic Processes. Wiley Series in Probability and MathematicalStatistics, 1996.

[19] H. Sagan. Advanced Calculus. Houghton Miffin, Boston, 1974.

[20] Geronimo Uribe Bravo Ley arco seno en caminatas aleatorias, movimiento Brow-niano y en el proceso de Poisson compuesto . Tesis de licenciatura, Facultad deCiencias, UNAM, 2002.

[21] Geronimo Uribe Bravo Notas de Caminatas aleatorias. Bolivia 2014.

Caminatas aleatorias. - opmat.orgopmat.org/emalcabolivia2015/Notas/Notas-de... · 2 SEGUNDA PARTE....

Documents

Transcript of Caminatas aleatorias. - opmat.orgopmat.org/emalcabolivia2015/Notas/Notas-de... · 2 SEGUNDA PARTE....