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ii
Dedicatoria
A mi esposa Myrian Cecilia, por brindarme siempre su apoyo y comprensión.
A mis hijos Freddy Israel, Natali Cecilia y Lisbeth Carolina, por ser quienes le dan una
razón más a mi vida para seguirme superando.
A mis padres Marcos Manuel y Clara Demerida, por haber sabido guiarme por el
camino del bien y de la superación.
A mi hermano Marco Enrique, por ser un ejemplo de dedicación y superación.
A todas las personas que padecen la enfermedad del cáncer, quienes me impulsaron a
tomar la decisión de ingresar en el campo la Física Médica y realizar esta capacitación,
para así dejar de lado la impotencia que se siente al no poder hacer nada por ellos, y de
alguna manera tratar de ayudarles a mejorar su calidad de vida.
A todos mis amigos, por siempre animarme a la búsqueda de la superación profesional
y personal.
iii
Glosario de Símbolos.
hA Altura del conjunto difuso A
γF Apertura morfológica difusa
� , γ Apertura morfológica tradicional
� Asocia a través de
⇔ Bicondicional (si y sólo si)
( ) ,Card A A Cardinalidad del conjunto difuso A
A Cardinalidad relativa del conjunto difuso A respecto del universo
X
CG Centro de gravedad
•, ϕ Cierre morfológico tradicional
ϕF Cierre morfológico difuso
,CA A Complemento del conjunto A
� Condicional (si … entonces)
∧, C Conjunción
∨, D Disyunción
Y, Z, A, B Conjuntos
Aα Conjunto clásico de los α-cortes del conjunto difuso A
( )X� Conjunto de partes de X
n� Conjunto n-dimensional de números enteros
n� Conjunto n-dimensional de números reales
∀ Cuantificador universal (para todo …)
∃ Cuantificador existencial (existe …)
X Conjunto Universo
∅ Conjunto Vacío
A B⊗ Co-producto cartesiano de los conjuntos difusos A y B
DE Desviación Estándar
A − B Diferencia de los conjuntos clásicos A y B
iv
A B− Diferencia ligada entre los conjuntos difusos A y B
A B∇ , A B∆ Diferencias simétricas entre los conjuntos difusos A y B
≠ Diferente
δF Dilatación morfológica difusa
δ Dilatación morfológica tradicional
d Distancia difusa
⇔ Doble implicación
DB Dominio del elemento estructurante B
Df Dominio de la imagen f
a− Elemento reflejado
≡ Equivalente Fε Erosión morfológica difusa
ε Erosión morfológica tradicional
MSE Error Cuadrático Medio
x, y, z, a, b Elementos de un conjunto
k Factor o parámetro de homotecia
( )X�� Familia de los conjuntos difusos definidos sobre X
Fφ Filtro morfológico difuso secuencial alternado
(inicia con el operador cierre) FΦ Filtro morfológico difuso secuencial alternado
(inicia con el operador apertura)
φ Filtro morfológico tradicional secuencial alternado
(inicia con el operador cierre)
Φ Filtro morfológico tradicional secuencial alternado
(inicia con el operador apertura)
( )A xµ Función característica del conjunto clásico A
( )A xµ Función de pertenencia del conjunto difuso A
G F⊆ Grado de inclusión del conjunto difuso G en el conjunto difuso F
G F� Grado de intersección no nulo de los conjuntos difusos G y F
ρF Gradiente morfológico generalizado difuso
v
Fρ + Gradiente morfológico por dilatación difuso
Fρ − Gradiente morfológico por erosión difuso
ρ Gradiente morfológico generalizado tradicional
ρ + Gradiente morfológico por dilatación tradicional
ρ − Gradiente morfológico por erosión tradicional
IG Imagen en niveles de gris
I Implicación
⊂ Inclusión estricta
⊆ Inclusión
inf Ínfimo
� Intersección
max Máximo
≥ Mayor que
� Medida de la entropía difusa
≤ Menor que
min Mínimo
( )E A Momento del conjunto difuso A de orden uno (o centroide)
( )mE A Momento del conjunto difuso A de orden m
¬ Negación clásica
∼ Negación difusa
⊄ No inclusión
∉ No pertenencia de un elemento
� Operador de intersección no nula
� Operador sumatoria
ψ, ζ Operadores morfológicos
g Parámetro de las normas
∈ Pertenencia de un elemento
( )Ap x Peso relativo del elemento x respecto del conjunto difuso A
T1 Ponderación con la que es adquirida la imagen (tiempo de
relajación)
vi
A B⋅ Producto algebraico de los conjuntos difusos A y B
A B� Producto acotado de los conjuntos difusos A y B
A B× Producto cartesiano de los conjuntos difusos A y B
� Operador de grado de inclusión difuso
↔ Operador equivalencia
→ Operador implicación
A Reflexión del conjunto A (clásico o difuso)
f Representación de una imagen
Θ Resta de Minkowski
ssi Si y sólo si
S S-norma
Sop(A) Soporte del conjunto difuso A
A B+ Suma acotada de los conjuntos difusos A y B
A B+ Suma algebraica de los conjuntos difusos A y B
⊕ Suma de Minkowski
sup Supremo
Tal que
T T-norma
xA Traslación (clásica o difusa) del conjunto A mediante el vector x
� Unión
p, υ(P) Valor de verdad de la proposición P
q,υ(Q) Valor de verdad de la proposición Q
% Valor porcentual
α Valor que permite determinar un alfa corte
vii
Índice de Abreviaturas.
EE Elemento estructurante
ASF Filtros secuenciales alternados
IRM Imagen de Resonancia Magnética
LD Lógica Difusa
MMT Morfología Matemática Tradicional
MMD Morfología Matemática Difusa
INU No uniformidad en la intensidad
PDI Procesamiento Digital de Imágenes
RM Resonancia Magnética
SD Sistemas Difusos
1
Índice de Contenidos Dedicatoria................................................................................................................... ii
Glosario de Símbolos. ................................................................................................. iii
Índice de Abreviaturas.................................................................................................vii
Índice de Contenidos .....................................................................................................1
Resumen .......................................................................................................................3
Abstract.........................................................................................................................4
Introducción. .................................................................................................................5
Capítulo 1: Morfología Matemática. ..............................................................................8
1.1. Introducción........................................................................................................8
1.2. Nociones de la Teoría de Conjuntos. ...................................................................9
1.3. Propiedades básicas de las transformaciones morfológicas................................16
1.4. Morfología Matemática para imágenes binarias. ...............................................18
1.5. Operaciones Morfológicas aplicadas a imágenes binarias..................................20
1.5.1. Erosión. .....................................................................................................20
1.5.2. Dilatación. .................................................................................................22
1.5.3. Residuos de transformaciones elementales: Gradientes Morfológicos.........24
1.5.4. Apertura y Cierre. ......................................................................................27
1.6. Umbralamiento. ................................................................................................34
1.7. Operaciones morfológicas aplicadas a imágenes en niveles de gris....................35
1.7.1. Erosión y dilatación de imágenes en niveles de gris....................................36
1.7.2. Gradientes morfológicos de imágenes en niveles de gris. ...........................40
1.7.3. Apertura y cierre de imágenes en niveles de gris. .......................................41
1.7.4. Filtros Secuenciales Alternados.................................................................43
Capítulo 2: Fundamentos de Lógica Difusa. ................................................................45
2.1. Introducción......................................................................................................45
2.2. Conjuntos difusos. ............................................................................................49
2.3. Funciones de Pertenencia..................................................................................53
2.4. Características de los conjuntos difusos. ...........................................................59
2.5. Operaciones básicas entre conjuntos difusos .....................................................64
2.6. Propiedades básicas de las operaciones fundamentales de la Lógica Difusa.......71
2
2.7. T-Normas y S-Normas. .....................................................................................74
2.8. Paso de la Lógica Proposicional Clásica a la Difusa. .........................................78
2.9. Medidas Difusas. ..............................................................................................82
2.10. Variables lingüísticas. .....................................................................................84
2.11. Fuzzificación y Defuzzificación. .....................................................................85
Capítulo 3: Morfología Matemática Difusa..................................................................86
3.1. Introducción......................................................................................................86
3.2. Extensión de la Morfología Tradicional a la Morfología Difusa. .......................87
3.2.1. Consideraciones para la extensión de la Morfología Tradicional a la Difusa.
............................................................................................................................87
3.2.2. Extensión de las operaciones sobre conjuntos clásicos a conjuntos difusos. 89
3.2.3. Definición de los Operadores de la Morfología Matemática Difusa. ...........93
3.3. Elemento Estructurante Difuso..........................................................................96
Capítulo 4: Diseño Experimental y Resultados. ...........................................................98
4.1. Introducción......................................................................................................98
4.2. Imágenes a ser procesadas. ...............................................................................99
4.3. Equipo Informático. ........................................................................................100
4.4. Diseño del Experimento..................................................................................100
4.5. Resultados. .....................................................................................................103
4.5.1. Primer Experimento: Robustez de los filtros morfológicos básicos. .........104
4.5.2. Segundo Experimento: Eliminación del ruido usando filtros morfológicos
secuenciales alternados. .....................................................................................123
Capítulo 5: Conclusiones. ..........................................................................................139
5.1. Primer Experimento: Robustez de los filtros morfológicos básicos..................139
5.2. Segundo experimento: Eliminación del ruido usando filtros morfológicos
secuenciales alternados. .........................................................................................140
5.3. Conclusiones Generales. .................................................................................141
Apéndice A: Elemento Estructurante tipo Guassiano. ................................................143
Apéndice B: Código del filtro apertura desarrollado y ejecutado en Matlab. ..............147
Bibliografía. ..............................................................................................................158
Agradecimientos .......................................................................................................164
3
Resumen
Las imágenes de Resonancia Magnética constituyen una herramienta muy útil en
Medicina, facilitando el diagnóstico o como guía durante el tratamiento de ciertas
enfermedades.
El objetivo de esta tesis fue realizar un estudio comparativo de la aplicación de
filtros basados en Morfología Matemática Tradicional y en Morfología Matemática
Difusa a Imágenes de Resonancia Magnética de cerebro. Se diseñaron experimentos,
variando el filtro aplicado y el tamaño del elemento estructurante utilizado. Los
operadores de la Morfología Difusa se encuentran definidos a través de las normas T y
S. Estas normas definidas bajo ciertas condiciones constituyen formas alternativas de la
intersección y unión de conjuntos difusos. Se aplicaron los normas de las definiciones:
Algebraica, Estándar, Acotada, Drástica, Dubois and Prade y Hamacher. Como medidas
cuantitativas se utilizaron el error cuadrático medio y su desviación estándar.
La aplicación de filtros basados en Morfología Matemática presenta ventajas sobre
las técnicas lineales, debido a que los operadores morfológicos toman en consideración
el aspecto geométrico de las estructuras de la imagen. Sin embargo, dado que este tipo
de imágenes poseen alto nivel de ruido y poca definición en sus estructuras, los
operadores de la Morfología Tradicional presentaron ciertas limitaciones para el
filtrado, por lo que los operadores de la Morfología Matemática Difusa resultó la opción
más adecuada para dicho procesamiento.
Palabras Claves:
Filtros Morfológicos, Morfología Matemática Difusa, Morfología Matemática
Tradicional, Resonancia Magnética, Elemento Estructurante.
4
“Fuzzy Mathematical Morphology applied to the filtering of Magnetic
Resonance images”.
Abstract
Magnetic Resonance images are a useful tool in medicine, helping in the diagnosis
and treatment of some diseases.
The goal of this thesis was to compare the application of image filters, based on
both Traditional and Fuzzy Mathematical Morphology, applied to brain Magnetic
Resonance images. For this task we designed several experiment varying the filters and
their structuring element. The Fuzzy Mathematical Morphology operators are defined
by T and S norms which, under certain conditions, are alternative forms of intersection
and unions of fuzzy sets. We applied the following norms: Algebraic, Standard,
Bounded, Drastic, Doubois & Prade, and Hamacher. We used the mean square error and
its standard deviation as quantitative measures of goodness of the filters.
Application of Mathematical Morphology filters is preferred over lineal
techniques, because Mathematical Morphology operators consider the geometrical
aspects of the images structures. However, because the Magnetic Resonance images
possesses a high level of noise, and present low structure definition, the operators of the
traditional Mathematical Morphology displayed some difficulties in the filtering
process, and the Fuzzy Mathematical Morphology operators became a more adequate
choice for such processing.
Keywords:
Morphological Filters, Fuzzy Mathematical Morphology, Traditional Mathematical
Morphology, Magnetic Resonance Images, Structuring Element.
5
Introducción.
Las imágenes digitales aportan información muy importante en el diagnóstico
clínico y en la investigación médica. Se puede decir que el campo de las imágenes
médicas surge a raíz de los estudios y pruebas con rayos X, realizados por W. Röntgen
en 1895. En 1980 aparece la Resonancia Magnética (RM), cuyas imágenes presentan
una buena resolución de contraste, lo cual permite discernir fundamentales propiedades
de los tejidos biológicos.
Las imágenes de Resonancia Magnética así como cualquier imagen biomédica
están compuestas por objetos con una amplia variabilidad de formas, tamaños,
intensidades y textura. En general poseen una baja relación señal a ruido y también un
bajo contraste. Estas propiedades tampoco son uniformes dentro del interior de los
objetos o estructuras que la componen, dificultando aún más su correcta distinción. De
ahí la necesidad de que sean procesadas para depurar la información contenidas en las
mismas y aprovecharlas al máximo en el campo que se requieran utilizarlas.
Las Matemáticas, la Informática y los Métodos de Tratamiento de Señales son
necesarios para la adquisición de las imágenes digitales, para el procesamiento de las
mismas y finalmente para su análisis.
Dado que esta tesis se encuentra orientada a una parte del procesamiento de
imágenes como es el caso del filtrado mediante métodos no lineales, se ha considerado
a la Morfología Matemática Tradicional (MMT), la cual presenta técnicas que permiten
el procesamiento de imágenes digitales, y se fundamenta en la teoría de conjuntos
aleatorios. En la actualidad la Morfología Matemática Tradicional tiene una sólida base
teórica y por lo tanto constituye una eficaz herramienta para el Procesamiento Digital de
Imágenes (PDI). Esta teoría fue creada con el propósito de poder caracterizar
propiedades físicas y estructurales de los diversos materiales y se fundamenta en
conceptos de Geometría, Álgebra, Topología y Teoría de Conjuntos. En particular, la
Morfología Matemática Tradicional estudia las estructuras geométricas de los
componentes de las imágenes permitiendo analizar la forma, tamaño, orientación y
6
superposición de los objetos de las imágenes digitales, por lo que la aplicación de filtros
basados en Morfología Matemática presenta múltiples ventajas sobre las técnicas
lineales.
Las imágenes Biomédicas pueden ser imágenes binarias o en niveles de gris,
siendo las imágenes de Resonancia Magnética de este último tipo, y debido a que los
resultados del procesamiento de dichas imágenes mediante la Morfología Matemática
Tradicional no presentan la efectividad requerida, surge la necesidad de buscar otras
teorías alternativas que brinden resultados más satisfactorios.
La teoría de la Lógica Difusa, introducida por Lotfi A. Zadeh en 1965, considera a
los conjuntos como un medio para tratar y representar matemáticamente la
incertidumbre y la vaguedad. Esta teoría proporciona herramientas con un soporte
teórico formal y bien estructurado que permite trabajar con la imprecisión intrínseca
presente en los problemas, siendo de gran utilidad en el procesamiento y manipulación
de la información que se encuentran afectados de incertidumbre e imprecisión no
probabilística. El uso de esta teoría posibilita el manejo y procesado de la información
de las imágenes digitales en niveles de gris, permitiendo sacar provecho de las
imprecisiones presentes en las mismas, basado en el manejo de reglas imprecisas y
aproximadas.
En 1996 es I. Bloch quien logra unir los conceptos de la Morfología Matemática
Tradicional y de la teoría de conjuntos difusos para formular una nueva teoría que
facilite y brinde mejores resultados en el procesamiento de imágenes en niveles de gris.
Esta nueva teoría se conoce como Morfología Matemática Difusa (MMD) y permite
manejar de mejor manera, por ejemplo, los contornos o bordes de dichas imágenes, los
cuales presentan cierta difusidad debido a que las características de las estructuras que
conforman la imagen presentan ciertos rasgos intrínsecos.
En esta tesis se realiza el filtrado de imágenes de Resonancia Magnética (IRM) de
cerebro aplicando los operadores definidos en ambas Morfologías (Tradicional y
Difusa), para poder comparar los resultados que se obtienen con cada una de las teorías
7
en base a medidas cuantitativas. Los algoritmos de los operadores así como de las
medidas realizadas han sido desarrollados y ejecutados en el lenguaje de programación
con aplicaciones matemáticas Matlab.
Esta tesis está constituida de 5 capítulos. En el primer capítulo se presenta el
fundamento teórico de la Morfología Matemática Tradicional, necesario para el
procesamiento de imágenes digitales binarias y en niveles de gris. En el capítulo 2 se
exponen los fundamentos de la Lógica Difusa, haciendo énfasis en la teoría de
conjuntos difusos, la cual permite tratar a la información que contiene imprecisiones de
manera similar a como lo realiza el razonamiento humano. En el capítulo 3 se presenta
el fundamento teórico de la Morfología Matemática Difusa, abordada como una
extensión de la Morfología Matemática Tradicional y de la Lógica Difusa; fundamento
teórico sobre el cual se encuentran definidos los operadores aplicados al filtrado de
imágenes en niveles de gris, y éstos a su vez se encuentran definidos en base a las
Normas S y T. Esta teoría constituye una alternativa que posibilita mejorar los
resultados obtenidos en el filtrado de imágenes de Resonancia Magnética con la
aplicación de los operadores de la Morfología Matemática Tradicional. En el capítulo 4
se presenta una descripción de los materiales utilizados en el desarrollo de la tesis, el
diseño experimental que se aplica para el análisis comparativo del filtrado de las
imágenes utilizadas y, los resultados obtenidos con la aplicación de los algoritmos
diseñados en cada experimento, los cuales están acompañados de su respectivo análisis.
Finalmente, en el capítulo 5 se exponen las conclusiones a las que se ha llegado con el
desarrollo de este trabajo. Como anexos se presentan las matrices y formas que adquiere
el elemento estructurante difuso para los tamaños utilizados, así como el código fuente
desarrollado para uno de los filtros aplicados, acompañado de un experimento diseñado
para ser ejecutado en el lenguaje Matlab.
8
Capítulo 1: Morfología Matemática.
1.1. Introducción.
La Morfología Matemática se fundamenta en la teoría de conjuntos aleatorios,
cuyos primeros trabajos se deben al científico alemán H. Minkowski (1897 y 1901) y
posteriormente fueron continuados por Hadwiger (1957 y 1959). La continuación de
estos trabajos de investigación con ciertas reformulaciones estuvo a cargo de Matheron
y Serra, los cuales se dieron a conocer bajo el nombre de Morfología Matemática,
consistente en técnicas no lineales de procesamiento de imágenes.
La fuerza de esta teoría radica en el hecho de que permite cuantificar el análisis de
estructuras geométricas (objetos) de las imágenes a partir de conjuntos bien definidos
llamados elementos estructurantes, así como también en la simplicidad de
implementación de la misma.
Existe una gran diversidad de aplicaciones biomédicas donde la Morfología
Matemática ha resultado ser una técnica exitosa, según lo menciona la literatura
revisada. Entre ellas se puede citar las siguientes: procesos inflamatorios y desgaste
presentes en imágenes de huesos y prótesis biomédicas, el estudio de cortes histológicos
pertenecientes a biopsias de medula ósea, músculos y otros órganos con fines de
diagnóstico y seguimiento de diversas patologías, detección de células cancerosas y
segmentación de imágenes de microarreglos de ADN y de gels resultado de
electroforesis, entre otras. La Morfología Matemática permite procesar imágenes con
propósitos de realce, filtrado, restauración, segmentación, detección de bordes,
esqueletización, rellenado de regiones, engrosamiento, análisis de estructuras, etc.
9
En la actualidad existe una sólida teoría matemática denominada Morfología
Matemática Tradicional (MMT) que provee eficaces herramientas para el
Procesamiento Digital de Imágenes (PDI). Dicha teoría, creada para caracterizar
propiedades físicas y estructurales de diversos materiales, está basada en conceptos de
Geometría, Álgebra, Topología y principalmente en la Teoría de Conjuntos.
La palabra Morfología tiene su origen a partir de dos palabras griegas: morphe
(forma) y logos (ciencia). La Morfología trata de las formas que la materia puede tomar.
En particular, la Morfología Matemática estudia las estructuras geométricas de los
componentes de las imágenes. Mediante operaciones no lineales se extraen
características relativas a la Geometría y a la Topología de los componentes de las
imágenes. Esta teoría permite analizar la forma, tamaño, orientación y superposición de
los objetos de las imágenes digitales.
1.2. Nociones de la Teoría de Conjuntos.
La Morfología Matemática es una excelente herramienta para extraer componentes
de un objeto de interés, útiles para representar y describir la forma de una región, tales
como fronteras y esqueletos. La morfología matemática se ha utilizado con gran éxito
en el procesamiento de imágenes y el lenguaje utilizado es la teoría de conjuntos, dado
que una imagen puede ser representada por medio de un conjunto. En su forma actual la
Morfología Matemática no termina en el procesamiento de imágenes o señales, y dado
que su única premisa de trabajo es la de utilizar el Álgebra de Conjuntos y sus
propiedades, es de utilidad para cualquier clase de problema y dentro de cualquier área
de trabajo, en donde se modele por medio de conjuntos y la “forma” sea la característica
más relevante.
La notación que se utiliza para representar conjuntos es X, Y, Z, A, B… y para sus
elementos x, y, z, a, b, … y el conjunto vacío será denotado por ∅. A continuación se
presentan algunas definiciones básicas necesarias para la definición de los operadores
morfológicos.
10
Definición 1.1: Dos conjuntos A y B se dicen ser iguales si están formados por los
mismos elementos, es decir:
( ) y A B x A x B x B x A= ⇔ ∈ � ∈ ∈ � ∈ (1.1)
La igualdad de conjuntos cumple con las propiedades reflexiva, simétrica y
transitiva.
Definición 1.2: A es un subconjunto de X si todos los elementos de A pertenecen
también a X, por lo que se cumple:
( )A X x A x X⊆ ⇔ ∈ � ∈ (1.2)
La inclusión es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Definición 1.3: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto constituido por
los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, es decir:
{ }yA B x x A x B= ∈ ∈� (1.3)
La intersección de conjuntos es asociativa, conmutativa e idempotente. Esta última
propiedad en Morfología es muy útil y significa que A A A=� .
Definición 1.4: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto constituido por los
elementos que pertenecen a cualquiera de los conjuntos o a los dos a la vez, es decir:
{ }oA B x x A x B= ∈ ∈� (1.4)
La unión de conjuntos es asociativa, conmutativa e idempotente. Esta última
propiedad indica que A A A=� .
Definición 1.5: La diferencia de conjuntos A⊆X y B⊆X es el conjunto constituido por
los elementos que pertenecen al conjunto A y no pertenecen a B, por lo que se cumple:
{ }yA B x x A x B− = ∈ ∉ (1.5)
11
Esta operación es no conmutativa, y se tiene que ( ) ( )A B B A− − = ∅� . En la
figura 1.1 se muestra a través de diagramas de Venn esta operación.
Figura 1.1. Diferencia de los conjuntos A y B (A − B y B − A).
Una variante de esta operación se conoce como diferencia simétrica de conjuntos,
la cual esta definida como el conjunto constituido por los elementos que pertenecen a
uno u otro de los conjuntos, pero nunca a ambos. La diferencia simétrica es conmutativa
y asociativa.
Definición 1.6: El complemento de un subconjunto A de X (el cual hace las veces de
conjunto de referencia, llamado conjunto universo) es aquel conjunto formado por los
elementos que no pertenecen al conjunto A pero si a X, por lo que se cumple:
{ }yCA A x x X x A= = ∈ ∉ (1.6)
En la figura 1.2. Se muestra un ejemplo de esta operación de conjuntos.
Figura 1.2. Complemento del conjunto A (Gamino Carranza 2004).
12
Definición 1.7: Sea X un Anillo1 (como y n n�� ). La reflexión de A⊆X (o conjunto
reflejado de A) denotado por A , es el conjunto formado por los inversos aditivos de A
(Serra 1989), es decir:
{ }ˆ ,A a a A= − ∀ ∈ (1.7)
Por ejemplo, si se tiene el conjunto dado por:
={(-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), (-1, 4), (-2, 2), (-2, 3)}A
la reflexión de dicho conjunto esta dada por:
ˆ {(1, -1), (1, -2), (1, -3), (1, -4), (2, -2), (2, -3)}A =
lo cual se puede apreciar en la figura 1.3, en donde la cruz dentro de un píxel indica el
origen (para todos los casos posteriores):
Figura 1.3. Reflexión del conjunto A (Gamino Carranza 2004).
Definición 1.8: Sea X un Anillo. La traslación de A⊆X por el elemento x X∈ denotado
por xA , es el conjunto que resulta de sumar cada elemento de A con el elemento x (Serra
1989), por lo que se cumple:
{ },xA a x a A= + ∀ ∈ (1.8)
Por ejemplo, si se tiene el conjunto A dado por:
={(0, 0), (0, -1), (1, 0), (1, -1), (2, 0), (3, -1)}A 1 Un Anillo es una estructura del Álgebra Lineal, formada por un conjunto y dos operaciones del tipo
( ), ,A + • . La estructura algebraica ( ),A + es un Anillo por lo que los elementos del conjunto A
cumplen con las propiedades: clausurativa, asociativa, conmutativa, identidad o del elemento neutro y la del elemento inverso. La estructura ( , )A • cumple con la propiedad asociativa y la estructura
( ), ,A + • relaciona las dos estructuras a través de la propiedad distributiva de • respecto a +.
13
la traslación de dicho conjunto A por el elemento ( )3,4 x = − esta dada como:
( 3,4) {(-3,4), (-3, 3), (-2, 4), (-2, 3), (-1, 4), (0, 3)}A − =
lo cual se puede apreciar en la figura 1.4:
Figura 1.4. Traslación del conjunto A por ( )3,4x = − (Gamino Carranza 2004).
Definición 1.9: Sea X un Anillo. La suma de Minkowski de A⊆X y B⊆X denotada por
A B⊕ , es el conjunto que resulta de sumar cada elemento de A con cada elemento de B
(Serra 1989), es decir:
{ }, bb B
A B a b a A b B A∈
⊕ = + ∈ ∈ =� (1.9)
Por ejemplo, si se tienen los conjuntos A y B dados por:
= {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)}A ,
= {(0, 0), (0, 1), (0, 2)}B
la suma de Minkowski de dichos conjuntos resulta ser:
= {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1), (-1,2), (0,2), (1,2), (-1,3), (0,3), (1,3)}A B⊕
lo cual se puede apreciar en la figura 1.5:
Figura 1.5. Suma de Minkowski de los conjuntos A y B (Gamino Carranza 2004).
14
Definición 1.10: Sea X un Anillo. La resta de Minkowski de A⊆X y B⊆X denotada por
A BΘ , es la operación dual de la suma, la cual está definido como la intersección de los
conjuntos trasladados de A por los elementos de B (Serra 1989), es decir:
bb B
A B A∈
Θ = � (1.10)
Por ejemplo, si se tienen los conjuntos A y B dados por:
= {(-2, -1), (-2,0), (-1, -1), (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (1, -1), (1, 0)}A ,
= {(-1, 0), (0, 0), (1, 0)}B
entonces, la resta de Minkowski de tales conjuntos resulta ser:
= {(-1,-1), (-1,0), (0,-1), (0,0)}A BΘ
lo cual se puede apreciar en la figura 1.6:
Figura 1.6. Resta de Minkowski de los conjuntos A y B.
Definición 1.11: Sea X un Anillo, una relación binaria “≤” en X es un orden parcial si
cumple las siguientes propiedades , , x y z X∀ ∈ (Serra 1989):
a) x x≤ (propiedad reflexiva)
b) e x y y x x y≤ ≤ � = (propiedad antisimétrica)
c) e x y y z x z≤ ≤ � ≤ (propiedad transitiva).
Un conjunto con una relación de este tipo será un conjunto que presenta un orden
parcial y se denota como (X, ≤). Además, el conjunto se dice que es totalmente
ordenado si todos los elementos que lo componen son comparables, es decir, se cumple
que x y≤ o y x≤ , ∀x, y∈X (Ortiz 2002).
15
Definición 1.12: Sea (X, ≤) un conjunto totalmente ordenado y A⊂X un conjunto no
vacío:
a) Un elemento x∈A es el menor elemento de A (mínimo) si x y≤ , ∀y∈A.
b) Un elemento y∈A es el mayor elemento de A (máximo) si x y≤ , ∀x∈A.
c) Un elemento x∈X es cota inferior de A si x≤y, ∀y∈A.
d) Un elemento y∈X es cota superior de A si x≤y, ∀x∈A.
e) Un elemento x∈X es extremo inferior o ínfimo de A si y sólo si es cota inferior de A y
para todas las demás cotas inferiores a∈A se verifica que a x≤ , es decir, es la mayor
de las cotas inferiores. Si este elemento existe es único y se denota por inf.
f) Un elemento y∈X es extremo superior o supremo de A si y sólo si es cota superior de
A y para todas las demás cotas inferiores b∈A se verifica que y b≤ , es decir, es la
menor de las cotas superiores. Si este elemento existe es único y se denota por sup.
Definición 1.13: Un conjunto totalmente ordenado (X, ≤) es un reticulado completo si
todos los subconjuntos de X poseen un ínfimo y un supremo (Ortiz 2002).
Definición 1.14: Sean X, Y dos reticulados completos. La función :f X Y→� es una
anamorfosis si y sólo si f� es una biyección que conserva el ínfimo y el supremo (Ortiz
2002), es decir:
{ }( ) ( ){ }{ }( ) ( ){ }
inf inf
sup sup
i i
i i
f x i I f x i I
f x i I f x i I
∈ = ∈
∈ = ∈
� �
� �
para cualquier familia { }ix i H∈ en X, donde H es un conjunto de índices.
La definición de reticulado completo es la base para la formulación de la
Morfología Matemática, pues los operadores morfológicos deben en principio conservar
el orden presente en la estructura de reticulado, es decir, deben ser crecientes. Así, un
operador ψ en un reticulado completo X es creciente si cumple:
( ) ( )x y x yψ ψ≤ � ≤ (1.11)
16
1.3. Propiedades básicas de las transformaciones morfológicas.
Toda operación morfológica es el resultado de una o más operaciones de
conjuntos (de las anteriormente definidas) haciendo intervenir por lo menos dos
conjuntos A⊆X y B⊆X siendo X un Anillo (que también tiene estructura de espacio
vectorial, como y n n�� ), donde B recibe el nombre de elemento estructurante, el cual
para operar con A se desplazará a través del espacio X.
Las operaciones morfológicas, las cuales son transformaciones de conjuntos
(imágenes) del tipo ( )
( ) ( ):X X
X Xψ
ψ →�
� � , donde ( )X� representa el conjunto de partes
de X.2 El resultado de dicha transformación es otro conjunto (otra imagen), el cual debe
satisfacer como mínimo las siguientes propiedades:��
Invariabilidad a la Traslación: Si x X∈ , se cumple:
( ) ( )( ), x xA X A Aψ ψ∀ ⊆ = (1.12)
Compatibilidad con las homotecias3: Supóngase que k A es una homotecia de un
conjunto de puntos A X⊆ , por tanto, las coordenadas de cada punto del conjunto A se
multiplican por alguna constante k , lo cual equivale a cambiar de escala con respecto a
un cierto origen, por lo que { },k A y y k x x A= = ∈ . Si el operador ψ depende del
parámetro de escala k, lo cual se denota por ψk, se dice que el operador ψk es compatible
con los cambios de escala y se cumple (Ortiz 2002):
( ) ( ) , ,k kk A k A A X kψ ψ= ∀ ⊆ ∀ (1.13)
2 El conjunto de partes de un conjunto clásico X, denotado por ( )X� , es aquel conjunto formado por
todos los subconjuntos de X. 3 Una homotecia es una transformación lineal de tipo geométrico de los elementos de un espacio
vectorial, definida a través de un punto fijo llamado centro y de un número llamado factor de homotecia. Esta transformación es tal que a cada punto del espacio vectorial le hace corresponder otro punto del mismo espacio, en donde el vector geométrico que se forma al unir el centro con el punto transformado es el resultado de multiplicar el vector original por el factor de homotecia.
17
Conocimiento local uniforme: Ya que en muchas situaciones no se tiene acceso a todo
el conjunto X sino a una parte del mismo. La transformación morfológica ψ posee el
principio del conocimiento local uniforme si para cualquier conjunto de puntos M
acotado y subconjunto del dominio N también acotado, la transformación del conjunto X
restringido al dominio de M, y después restringido al dominio N, es equivalente a
aplicar la transformación ψ(X) y restringir el resultado en M (Ortiz 2002), por lo que se
cumple:
( ) ( )X N M X Mψ ψ=� � � (1.14)
Continuidad monótona: Este principio afirma que la transformación morfológica ψ no
exhibe ningún cambio abrupto. La noción de continuidad depende de la noción de
vecindad, es decir, de la topología del conjunto.
Dependiendo del tipo de operación morfológica se cumplirán otra serie de
propiedades como el crecimiento, la extensividad, antiextensividad e idempotencia, así:
• Se dice que un operador es creciente si se cumple que:
( ) ( )A B A Bψ ψ⊂ � ⊂ (1.15)
• Un operador es extensivo si el resultado de aplicar dicho operador al conjunto
contiene al conjunto original, es decir:
( )A Aψ⊂ (1.16)
• Un operador es antiextensivo si el resultado de aplicar dicho operador al conjunto
está contenido en la imagen original, es decir:
( )A Aψ ⊂ (1.17)
• Un operador es idempotente si al aplicar dicho operador dos o más veces al
conjunto, el resultado es el mismo que si solo se aplicara una sola vez dicho
operador, por lo que se cumple:
( )( ) ( )A Aψ ψ ψ= (1.18)
Un operador puede no ser ni extensivo, ni antiextensivo y tampoco idempotente.
Las propiedades de las transformaciones morfológicas que se acaban de mencionar se
fundamentan principalmente en el concepto de Morfología de espacios continuos, por lo
18
que se pueden aplicar a operadores definidos en el espacio n� , sin embargo, las mismas
también son aplicables en el espacio n� .
1.4. Morfología Matemática para imágenes binarias.
La aplicación de la Morfología Matemática a imágenes ha sido ampliamente
desarrollada por Georges Matheron y Jean Serra a partir de los años sesenta (Serra,
1989, 1992). Estos autores definieron operaciones morfológicas basadas en la suma y
resta de Minkowski. Las operaciones morfológicas se aplican tanto a imágenes binarias
como a imágenes en niveles de gris.
La Morfología Matemática es una técnica no lineal del procesado de imágenes que
se fundamenta en las operaciones de conjuntos y las características geométricas de los
objetos que conforman la misma.
Una imagen binaria se define como el conjunto que representa objetos, o de
manera equivalente por la función { }: 0,1f X → con 2 2 o X X= = �� ; sin embargo,
en la Morfología Matemática es más usual tomar la representación de conjunto para
representar éste tipo de imágenes, representación que se adoptará para lo que sigue de
esta tesis. Cada conjunto formado por todos los píxeles negros o blancos de una imagen
binaria es una descripción completa de la imagen, donde blanco=1 y negro=0 o
viceversa. Así se definen dos planos:
( ){ }
( ){ }1
2
Primer plano: ( , ) , 1
Fondo: ( , ) , 0
A x y f x y
A x y f x y
= =
= =
por lo que en una imagen binaria, los conjuntos existentes son puntos de un espacio 2D,
donde cada elemento (píxel) tiene coordenadas ( ),x y en el plano bidimensional de la
imagen.
Definición 1.15: Un elemento estructurante es un conjunto completamente definido
que se caracteriza por su forma y tamaño y posee un punto de referencia de dicho
conjunto, el cual se llama origen. Este conjunto se desplaza de manera tal que el origen
19
se sitúa sobre cada píxel de la imagen original, aplicando la operación morfológica
establecida sobre los puntos situados bajo dicho elemento.
Al hablar del elemento estructurante, este puede ser simbolizado por EE. Cuando
el elemento estructurante cumple la relación B B= se dice que es simétrico, por lo que,
un elemento estructurante es simétrico si éste coincide con su reflejado. Por facilidad de
operación se suelen tomar elementos estructurantes simétricos con el origen en el centro
del mismo.
Desde un punto de vista geométrico, la Morfología Matemática consiste en
comparar los objetos a analizar con el elemento estructurante elegido. Este elemento
recorre la imagen píxel a píxel y a través de operaciones basadas en el Álgebra de
Conjuntos compara si el elemento esta contenido o no dentro de la imagen.
La potencialidad de la Morfología Matemática radica en la elección de la forma y
tamaño del elemento estructurante según la información que se desee obtener de la
imagen (Facon 1996). La forma y tamaño del elemento estructurante posibilitan evaluar
y cuantificar en que medida se encuentra el elemento contenido (o no) dentro de la
imagen, es decir, las operaciones algebraicas aplicadas cuantifican el parecido de los
componentes de la imagen con el elemento estructurante elegido.
En base a este elemento se definen diversas operaciones de conjuntos según sea el
tipo de imagen que se desea procesar (binaria o en niveles de gris). En el caso de la
Morfología en niveles de gris los elementos estructurantes que se utiliza pueden ser
planos o en tres dimensiones, mientras que en la Morfología Binaria los elementos
estructurantes necesariamente son planos. Ejemplos de elementos estructurantes planos
básicos utilizados en la práctica se muestran en la figura 1.7:
Figura 1.7. Ejemplo de formas básicas de elementos estructurantes planos.
20
1.5. Operaciones Morfológicas aplicadas a imágenes binarias.
La Morfología Binaria se define a partir de dos operaciones básicas denominadas
erosión y dilatación. Estas operaciones comparan los subconjuntos dentro de la imagen
binaria con el elemento estructurante. Este elemento es bidimensional y puede tener
distintas formas, como se mencionó anteriormente, pudiendo tener forma de disco,
cuadrado, rectángulo, octágono o cualquier otra forma plana.
La forma y tamaño del elemento estructurante son elegidos dependiendo del tipo
de análisis que se desee realizar y de la forma de los objetos que componen las
imágenes. El elemento estructurante es trasladado, de manera que recorre la imagen
completa píxel a píxel. El resultado es una nueva imagen binaria que contiene el
resultado de dicha comparación.
1.5.1. Erosión.
La Erosión del conjunto 2A ⊂ � (o 2� ) por el elemento estructurante 2B ⊂ � (o
2� ) se define como el conjunto de todos los puntos x pertenecientes al conjunto A, de
forma que cuando el elemento estructurante B se traslada a ese punto, el elemento queda
incluido en A (Serra 1989, 1992), por lo que se cumple:
( ) ˆ{ } =B xA x B A A Bε = ⊆ Θ (1.19)
La aplicación de la erosión elimina grupos de píxeles donde el elemento
estructurante no cabe, es decir, elimina píxeles de menor tamaño que el elemento
estructurante (pequeñas islas y protuberancias). La figura 1.8 representa la erosión de
un conjunto binario a través de un elemento estructurante cuadrado simétrico de tamaño
3 3× .
El resultado de la erosión es uno si el elemento estructurante queda incluido
dentro del subconjunto de la imagen binaria analizada y es cero cuando no esta
totalmente incluido en el subconjunto.
21
Figura 1.8. Erosión de un conjunto binario con un EE cuadrado y simétrico de 3 3× .
En la figura 1.9 se muestra la erosión de un conjunto utilizando un elemento
estructurante lineal no simétrico con orientación horizontal, de tamaño 1 2× . En la
figura 1.10 se muestra la erosión de un conjunto utilizando un elemento estructurante
simétrico cuadrado y un elemento estructurante simétrico rectangular:
Figura 1.9. Erosión de una imagen binaria A con un EE B lineal no simétrico.
Figura 1.10. Erosión del conjunto A mediante el EE simétrico B (Gonzalez et al., 2002).
22
La erosión es creciente para A y decreciente para B, además es antiextensiva, no
idempotente, no conmutativa ni asociativa, por lo que se cumple:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) { }( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 12 1 2 1 1 2y
, si 0
, 0
,
C
B B B B
B
B B B
B A
C BB
A A A A B B A A
A A A B
A A B
A B A B
A Aε
ε ε ε ε
ε
ε ε ε
ε ε
ε ε ε
• ⊆ � ⊆ ⊆ � ⊆
• ⊆ ∀ ∈
• ≠ ∀ ≠
• ≠ ∀ ≠
• ≠
1.5.2. Dilatación.
La dilatación es la operación dual de la erosión. La dilatación del conjunto 2A ⊂ � (o 2
� ) por el elemento estructurante 2B ⊂ � (o 2� ) se define como el
conjunto de todos los puntos x pertenecientes al conjunto A tales que la reflexión del
elemento estructurante con respecto a su origen y trasladado x contiene algún elemento
del conjunto A (Serra 1989, 1992), por lo que se cumple:
( ) ˆ ˆ{ }B xA x B A A Bδ = ≠ ∅ = ⊕� (1.20)
cabe indicar que la intersección no nula a través de la cual se define la dilatación en
muchas ocasiones tiene una representación propia dada por ˆ ˆx xB A B A� ≡ ≠ ∅� ,
siendo esta alternativa una notación muy utilizada.
La aplicación de la dilatación añade todos los puntos del fondo que tocan el borde
de un objeto, es decir, rellena contrastes en los que no quepa el elemento estructurante
(pequeños agujeros y bahías). La figura 1.11 representa la dilatación de un conjunto
binario a través de un elemento estructurante cuadrado simétrico de tamaño 3 3× .
El resultado de la dilatación es uno si el elemento estructurante contiene algún
píxel dentro del subconjunto de la imagen binaria analizada y es cero cuando no
encuentra ningún píxel en dicho subconjunto.
23
Figura 1.11. Dilatación de un conjunto binario con un EE cuadrado y simétrico de 3 3× .
En la figura 1.12 se muestra la dilatación de un conjunto utilizando un elemento
estructurante lineal no simétrico, con orientación horizontal de tamaño1 2× . En la figura
1.13 se muestra la dilatación de un conjunto utilizando un elemento estructurante
simétrico cuadrado y un elemento estructurante simétrico rectangular.
Figura 1.12. Dilatación de una imagen binaria A con un EE B lineal no simétrico.
Figura 1.13. Dilatación del conjunto A con el EE simétrico B (Gonzalez et al., 2002).
24
La dilatación es creciente en A y en B, además es extensiva, no idempotente,
conmutativa y asociativa, por lo que se cumple:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) { }( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 12 1 2 1 2 1y
, si 0
, 0
,
C
B B B B
B
B B B
B A
C BB
A A A A B B A A
A A A B
A A B
A B A B
A Aδ
δ δ δ δ
δ
δ δ δ
δ δ
δ δ δ
• ⊆ � ⊆ ⊆ � ⊆
• ⊆ ∀ ∈
• ≠ ∀ ≠
• = ∀ ≠
• =
Tanto la erosión como la dilatación son operaciones dependientes del elemento
estructurante elegido. La erosión y la dilatación no son operaciones inversas, pues al
aplicar la dilatación a la erosión o la erosión a la dilatación de un determinado conjunto
mediante el mismo elemento estructurante, en general, no se logra obtener el conjunto
original, por lo cual se cumple usualmente ( )( ) ( )( )B B B BA Aδ ε ε δ≠ .
La erosión y la dilatación son operaciones duales con respecto al complemento,
esto significa que el complemento de la erosión de la imagen binaria es equivalente a la
dilatación del complemento de dicha imagen (pero con el reflejado del elemento
estructurante aplicado a la erosión) y viceversa, por lo que se cumple:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )ˆ ˆoC CC C
B BB BA A A Aε δ δ ε= = (1.21)
además, por la propiedad de antiextensividad de la erosión y extensividad de la
dilatación también se cumple que:
( ) ( )B BA A Aε δ≤ ≤ (1.22)
los demás operadores morfológicos se definen en base a la combinación de estos dos
operadores fundamentales.
1.5.3. Residuos de transformaciones elementales: Gradientes Morfológicos.
El residuo de dos operaciones o transformaciones morfológicas ψ y ζ es la
diferencia de éstas transformaciones. En el caso de conjuntos se define esta diferencia
como (Jain, 1989; Ortiz, 2002):
25
( ) ( ) ( )X X Xρ ψ ζ= − (1.23)
la cual guarda concordancia con la definición presentada a través de la ecuación (1.5).
El primer residuo de operaciones que se puede definir en Morfología Matemática
es el gradiente morfológico. El gradiente, conocido en morfología como gradiente de
Beucher (Serra 1992), es la diferencia entre una dilatación y la imagen original, entre la
imagen original y su erosión o entre la dilatación y la erosión.
El primero de los gradientes a definir se conoce como gradiente por erosión o
gradiente interno y constituye la diferencia entre la imagen binaria original A y la
erosión con un elemento estructurante B (Serra 1989), de lo que se tiene:
( ) ( )B BA A Aρ ε− = − (1.24)
ésta operación extrae el borde interno de los objetos. La figura 1.14 muestra la detección
de los bordes internos del conjunto A mediante el elemento estructurante B resultando
en el gradiente interno ( )B Aρ − :
Figura 1.14. Detección de bordes internos utilizando el gradiente por erosión con EE
3 3× simétrico (Gonzalez et al., 2002).
El segundo de los gradientes a definir se conoce como gradiente por dilatación o
gradiente externo y está dado por la diferencia entre la dilatación con un elemento
estructurante B y la imagen binaria original A (Serra 1989), de lo que se tiene:
26
( ) ( )B BA A Aρ δ+ = − (1.25)
este gradiente extrae los bordes externos de los subconjuntos binarios de la imagen
original. La figura 1.15 muestra la detección de los bordes externos del conjunto A
mediante el elemento estructurante B resultando en el gradiente externo ( )B Aρ + :
Figura 1.15. Detección de bordes externos utilizando el gradiente por dilatación con EE
3 3× simétrico.
El tercero de los gradientes a definir se conoce como gradiente morfológico
generalizado o simplemente gradiente morfológico y está dado por la diferencia entre la
dilatación y la erosión de una imagen con un mismo elemento estructurante B (Serra
1989), de lo que se tiene:
( ) ( ) ( )-B B BA A Aρ δ ε= (1.26)
En comparación con el gradiente externo e interno, el gradiente morfológico
generalizado da como resultado contornos más anchos y siempre conectados. En la
figura 1.16 se muestra la detección de los bordes del conjunto A mediante el elemento
estructurante B resultando en el gradiente morfológico ( )B Aρ .
La elección de un operador gradiente depende de la geometría y la intensidad de
los objetos a destacar en la imagen. El gradiente morfológico es invariante a la
complementación (Ortiz 2002), por lo que se cumple:
( ) ( )( )C
B BA Aρ ρ= (1.27)
27
Figura 1.16. Detección de bordes utilizando el gradiente morfológico con EE 3 3× simétrico.
También, el gradiente por erosión y el gradiente por dilatación son operaciones
complementarias entre sí, por lo que el gradiente generalizado se puede obtener a través
de la combinación de los gradientes por erosión y por dilatación, pues se cumple que:
( ) ( ) ( )B B BA A Aρ ρ ρ− += � (1.28)
En comparación con los gradientes lineales convencionales, los gradientes
morfológicos son significativamente menos sensibles al ruido y permiten su aplicación a
imágenes complejas obteniendo resultados sumamente satisfactorios. Otra ventaja
importante de la utilización de gradientes morfológicos es su bajo costo computacional
para su implementación debido a que su determinación consiste en sencillas operaciones
de conjuntos.
1.5.4. Apertura y Cierre.
Debido a la dualidad de los operadores erosión y dilatación es posible, mediante la
aplicación secuencial de operadores básicos, aproximarse a la forma original (de los
objetos que lo conforman) a través de la imagen procesada, para lo cual se debe aplicar
primero una de las operaciones y posteriormente al resultado obtenido la otra operación.
28
A la aplicación secuencial de las dos operaciones básicas se conoce como filtros
morfológicos básicos.
La apertura de un conjunto 2A ⊂ � (o 2� ) por un elemento estructurante
2B ⊂ � (o 2� ) se define como la erosión de A por el elemento estructurante B, seguida
de la dilatación de dicho resultado a través del mismo elemento estructurante (Serra
1989, 1992), por lo que se cumple:
( ) ( )( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ ˆB B BA A B A A B B A B Bγ δ ε= = = Θ ⊕ = Θ ⊕� (1.29)
Pese a que tanto la dilatación como la erosión dependen de la ubicación del origen
del elemento estructurante, la apertura no depende del mismo ya que la erosión se
corresponde con una intersección de traslaciones (según la definición basada en la resta
de Minkowski), mientras que la dilatación que sigue posteriormente es la unión de
traslaciones en la dirección opuesta (según la definición dada a través de la suma de
Minkowski), por lo que, en el sentido general de conjuntos se puede afirmar que la
apertura es la unión de los elementos estructurantes que se encuentran totalmente
contenidos dentro del conjunto original (Ortiz 2002), lo cual se puede expresar como:
( ) { }B x xA B B Aγ = ⊆� (1.30)
Esta operación suaviza contornos eliminando pequeñas protuberancias o islas así
como también bordes afilados, además elimina conexiones entre objetos de menor
tamaño que el elemento estructurante. La apertura mantiene en gran medida el tamaño
original de los objetos debido a la dilatación final. La figura 1.17 representa el
comportamiento de la operación apertura en un conjunto binario cuando se utiliza un
elemento estructurante cuadrado de 3 3× simétrico. La figura 1.18 esquematiza el
comportamiento de la operación apertura de un conjunto A con un elemento
estructurante B cuadrado de 2 2× no simétrico.
El tamaño y forma de los elementos estructurantes que se utilicen en la apertura
tienen fundamental importancia ya que de esto dependerán las estructuras que se lleguen
a eliminar.
29
Figura 1.17. Aplicación del operador apertura morfológica a un conjunto binario con un
EE cuadrada de 3 3× simétrico.
Figura 1.18. Aplicación del operador apertura morfológica al conjunto A con un EE B
cuadrado de 2 2× no simétrico (Wangenheim et al., s. f.).
En la figura 1.19 se muestra la apertura de un determinado conjunto a través de un
elemento estructurante circular, en la que se observa el comportamiento de la operación
al aplicarse sobre pequeñas estructuras.
Figura 1.19. Aplicación del operador apertura morfológica con un EE circular
(Gonzalez et al., 2002).
30
Una interpretación geométrica simple de la operación de apertura para una región
del plano real, si el elemento estructurante es un disco euclidiano es la siguiente: dada
una región 2A ⊂ � y un disco euclidiano de radio r como elemento estructurante B, la
apertura ( )B Aγ está formada por todos los puntos de A tal que B⊆A, mientras que B
“rueda” en el interior de A (Gamino Carranza 2004), lo cual se puede observar en la
figura 1.20:
Figura 1.20. Interpretación geométrica del operador apertura morfológica (Gamino
Carranza 2004).
La apertura es creciente en A, idempotente, antiextensiva e invariante ante
traslaciones, por lo que se cumple:
( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 1 2 1 ,
, ,
,
,
B B
B B B
B
B B
A A A A B
A A A B
A A A
A y A y y
γ γ
γ γ γ
γγ γ
• ⊆ � ⊆ ∀
• = ∀
• ⊆ ∀
• + = + ∀
El cierre de un conjunto 2A ⊂ � (o 2� ) por un elemento estructurante 2B ⊂ �
(o 2� ) se define como la dilatación de A por el elemento estructurante B, seguida de la
erosión de dicho resultado a través del mismo elemento estructurante (Serra 1989,
1992), por lo que se cumple:
( ) ( )( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ ˆB B BA A B A A B B A B Bϕ ε δ= • = = ⊕ Θ = ⊕ Θ (1.31)
Tal como sucede en el caso de la apertura, pese a que dilatación y la erosión
dependen de la ubicación del origen del elemento estructurante, el cierre no depende del
31
mismo, por la antes indicado. En el sentido general de conjuntos se puede afirmar que el
cierre es la intersección de todas las traslaciones del complemento del elemento
estructurante tal que éstos contienen al conjunto A (Ortiz 2002), lo cual se puede
expresar como:
( ) ( ) ( ){ }C CB x x
A B A Bϕ = ⊆� (1.32)
Esta operación tiende a alisar porciones de contornos, rellenando pequeñas
protuberancias o lagos, así como también rajaduras o entrantes más pequeños que el
tamaño del elemento estructurante, además funde estrechos cuya anchura sea menor que
el elemento estructura y conecta objetos vecinos. El cierre mantiene en gran medida el
tamaño original de los objetos debido a la erosión final. La figura 1.21 representa el
comportamiento de la operación cierre en un conjunto binario cuando se utiliza un
elemento estructurante cuadrado de 3 3× simétrico. La figura 1.22 esquematiza el
comportamiento de esta operación para un conjunto A con un elemento estructurante B
cuadrado de 2 2× no simétrico.
Figura 1.21. Aplicación del operador cierre morfológico a un conjunto binario con un
EE cuadrada de 3 3× simétrico.
Figura 1.22. Aplicación del operador cierre morfológico al conjunto A con un EE B
cuadrado de 2 2× no simétrico (Wangenheim et al., s. f.).
32
El tamaño y forma del elemento estructurante que se utilice en el cierre y la
apertura tienen fundamental importancia ya que de éste dependerán las estructuras que
se lleguen a agregarse o a eliminar. La figura 1.23 muestra el cierre de un dado conjunto
a través de un elemento estructurante circular, en la que se observa el comportamiento
de la operación al aplicarse sobre pequeñas estructuras.
Figura 1.23. Aplicación del operador cierre morfológico con un EE circular (Gonzalez
et al., 2002).
Una interpretación geométrica simple de la operación de cierre para una región del
plano real, si el elemento estructurante es un disco euclidiano es la que siguiente: dada
una región 2A ⊂ � y un disco euclidiano de radio r como elemento estructurante B, el
cierre ( )B Aϕ está formada por todos los puntos de A con la unión de todos los puntos
de AC tal que B⊄AC, mientras que B “rueda” en el exterior de A (Gamino Carranza
2004), lo cual se puede observar en la figura 1.24:
33
Figura 1.24. Interpretación geométrica del operador cierre morfológico (Gamino
Carranza 2004).
El cierre es creciente en A, idempotente, extensiva e invariante ante traslaciones,
por lo que se cumple:
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 1 2 1 ,
, ,
,
,
B B
B B B
B
B B
A A A A B
A A A B
A A A
A y A y y
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕϕ ϕ
• ⊆ � ⊆ ∀
• = ∀
• ⊆ ∀
• + = + ∀
Por la propiedad de antiextensividad de la apertura y extensividad del cierre
también se cumple que:
( ) ( )B BA A Aγ ϕ≤ ≤ (1.33)
además, por la propiedad de idempotencia para la apertura y el cierre morfológico se
cumple que la erosión de la apertura con el mismo elemento estructurante es la erosión
del conjunto original, y la dilatación del cierre es la dilatación de la imagen original, por
lo que se cumple:
( )( ) ( )( )( ) ( )B B B B B BA A Aε γ ε δ ε ε= = (1.34)
( )( ) ( )( )( ) ( )B B B B B BA A Aδ ϕ δ ε δ δ= = (1.35)
Similar a lo que sucede con la erosión y la dilatación, los operadores de apertura
y cierre morfológico también son operaciones duales respecto del complemento, por lo
que el complemento del cierre morfológico es equivalente a la apertura del
34
complemento de la imagen original (a través del reflejado del elemento estructurante
utilizado en el cierre morfológico) y viceversa (Ortiz 2002), por lo que se cumple:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )ˆ ˆoC CC C
B BB BA A A Aϕ γ γ ϕ= = (1.36)
1.6. Umbralamiento.
Conocida también como “thresholding”, consiste en tomar una imagen en escala
de grises y definir un valor (tono de gris) conocido como umbral, a través del cual los
píxeles con un niveles de gris por debajo del umbral se le asigna una única intensidad de
gris. En el caso particular, cuando el problema consiste en distinguir dos objetos
diferentes en la imagen original constituidos por el objeto de interés y el fondo
(background), el umbralamiento se conoce como binarización, transformación que
permite aprovechar todas las operaciones y propiedades que se pueden realizar con una
imagen binaria (Glasbey et al., 1995).
El valor del umbral debe ser escogido de acuerdo a un criterio particular no sólo
para cada problema sino también para cada imagen, debido a las variaciones en la
iluminación o en el nivel de gris de la imagen original; por lo que es bastante útil la
información que pueda proporcionar el histograma de la imagen.
Los métodos de umbralamiento pueden dividirse en seis categorías diferentes:
1. Método basado en la forma del histograma: El cual tienen presente los máximos y
mínimos, la curvatura, o cualquier otra característica especial del histograma de la
imagen original.
2. Método basado en clustering: Consistentes en buscar como clasificar los distintos
niveles de intensidad en dos o más grupos diferentes.
3. Métodos basados en la entropía: El cual se basa en tomar como referencia la
entropía del frente y el fondo de la imagen, o la entropía cruzada entre la imagen
original y la umbralada.
4. Método basado en atributos de objetos: El cual se fundamenta en medidas como la
coincidencia de bordes, similitud de formas, entre otras características destacables
de una imagen.
35
5. Método espacial: El cual se esta basada en distribuciones de probabilidad o en la
correlación entre los píxeles de la imagen.
6. Método local: Que adopta el umbral de acuerdo a las características de la región
que se desea analizar.
Un problema con esta técnica es la variación de la iluminación sobre distintas
zonas de la misma imagen, por lo que una alternativa que elimina este problema es el
umbralamiento por regiones, en donde se fija el umbral para cada región de acuerdo a lo
que se desee destacar.
1.7. Operaciones morfológicas aplicadas a imágenes en niveles de gris.
Aunque las técnicas morfológicas fueros desarrolladas originalmente para
conjuntos o imágenes binarias, estas posteriormente fueron extendidas a imágenes en
niveles de gris (Serra 1992).
Las imágenes en niveles de gris requieren de una dimensión más que las imágenes
binarias para su representación debido a la intensidad que posee cada píxel, por lo que la
altura es la dimensión adicional que se toma para representar dicho valor; así, una
imagen en niveles de gris se define a partir de los píxeles que lo conforman y de la
intensidad (nivel de gris) que posee cada punto de la misma. Si IG representa una
imagen de este tipo, ésta se define de la siguiente manera:
( )( ) { }{ }, : 0,1, , 255fIG x f x f D= → (1.37)
donde 2 2 3 3 (o ) e (o )fD IG⊂ ⊂� �� � .
Cuando se aplican las operaciones morfológicas a imágenes en niveles de gris el
elemento estructurante, además de poder adquirir diferentes tamaños y formas
bidimensionales como en el caso de las imágenes binarias, también puede ser
tridimensional, por lo que puede ser caracterizado por el volumen que éste ocupa.
Conos, discos, esferas, cubos, cilindros, entre otros, son algunos de los elementos
estructurantes tridimensionales que son utilizados comúnmente.
36
Cuando el elemento estructurante es bidimensional se procesan los niveles de gris
de la imagen original que quedan comprendidos en el entorno delimitado por la forma y
tamaño del elemento estructurante. Por el contrario, cuando el elemento estructurante es
tridimensional el procesado se lo realiza píxel a píxel, modificando los niveles de gris
correspondientes a la imagen original por los del elemento estructurante tridimensional;
por lo que en este caso las operaciones se determinan basándose en ambos conjuntos de
niveles de gris y no solamente en las intensidades de la imagen original como es el caso
bidimensional. El elemento estructurante se desplaza por toda la imagen obteniendo de
esta manera una nueva imagen en niveles de gris.
1.7.1. Erosión y dilatación de imágenes en niveles de gris.
Al igual que en la Morfología Matemática para imágenes binarias, las operaciones
morfológicas para imágenes en gris se definen a partir de las operaciones de erosión y
dilatación, por lo que para este tipo de imágenes se definen primero estas operaciones
fundamentales.
Dado una imagen ( ),f x y con un dominio Df y un elemento estructurante ( ),B x y
con un dominio DB, se define la erosión de f con B para cada píxel como el ínfimo de
las diferencias de las intensidades correspondientes de la imagen original y las
intensidades del elemento trasladado (Serra 1992), lo cual se puede expresar mediante:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ },inf , , , ; ,B f Bs t
f f s x t y B x y s x t y D x y Dε = + + − + + ∈ ∈ (1.38)
la cual es análoga al caso de imágenes binarias, ya que el elemento estructurante tiene
que estar completamente contenido en el conjunto que esta siendo erosionado; pero si se
recuerda que las imágenes en niveles de gris son funciones definidas sobre conjuntos
finitos { }( )0,1, , 255 , entonces los ínfimos locales de la definición anterior se
convierte en el mínimo de los valores de tales diferencias.
La figura 1.25 muestra un comportamiento intuitivo de la operación de erosión
aplicada al caso de una imagen unidimensional, en la cual se tiene las intensidades
37
correspondientes a una fila de la imagen ( )f x en niveles de gris y, al elemento
estructurante ( )B x recorriendo las intensidades de dicho perfil para determinar la
mínima diferencia entre las intensidades de la fila y las intensidades correspondientes al
elemento estructurante desplazado.
Figura 1.25. Representación intuitiva de la erosión morfológica de un perfil de
intensidades de una imagen en niveles de gris.
Para los elementos estructurantes generalmente utilizados (cuyos valores son
positivos), la erosión acentúa pequeñas zonas oscuras reduciendo los detalles brillantes
que son más pequeños que el elemento estructurante, siendo el grado de reducción
dependiente de los niveles de gris que rodean al detalle así como de los valores, forma y
tamaño del elemento estructurante. Esto se debe a que se toma la mínima de las
diferencias obtenidas al operar la imagen original con el elemento estructurante
(Gonzalez et al., 2002), por lo que una imagen erosionada se observa más ennegrecida u
opacada que la original, lo cual se puede observar en la figura 1.26:
Figura 1.26. Erosión de una imagen es niveles de gris con un elemento estructurante
cuadrado 3 3× , a) Imagen original, b) Imagen erosionada (Ortiz 2002).
38
Dada una imagen ( ),f x y con un dominio Df y un elemento estructurante
( ),B x y con un dominio DB se define la dilatación de f con B para cada píxel como el
supremo de las sumas entre las intensidades del elemento estructurante reflejado las
intensidades correspondientes de la imagen original (Serra 1992), lo cual se puede
expresar mediante:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ },sup , , , ; ,B f Bs t
f f s x t y B x y s x t y D x y Dδ = − − + − − ∈ ∈ (1.39)
la cual es análoga al caso de imágenes binarias, en la que los dos conjuntos (imagen y
elemento estructurante) tienen que solaparse al menos en un punto (píxel); pero
nuevamente al recordar que las imágenes en niveles de gris son funciones definidas
sobre conjuntos finitos, entonces los supremos locales de la definición anterior se
convierte en el máximo de los valores de tales sumas.
En la figura 1.27 se muestra un comportamiento intuitivo de la operación de
dilatación aplicada al caso de una imagen unidimensional, en la cual se tiene las
intensidades correspondientes a una fila de la imagen ( )f x en niveles de gris y, al
elemento estructurante ( )B x (al reflejado de ( )B x ) recorriendo las intensidades de
dicho perfil para determinar la mínima diferencia entre las intensidades de la fila y las
intensidades correspondientes al elemento estructurante desplazado.
Figura 1.27. Representación intuitiva de la dilatación morfológica de un perfil de
intensidades de una imagen en niveles de gris.
Para los elementos estructurantes generalmente utilizados, la dilatación acentúa
pequeñas zonas claras y los detalles oscuros son reducidos o eliminados dependiendo
del elemento estructurante utilizado (forma, tamaño y valores), debido a que se toma la
máxima suma obtenida al comparar la imagen original con el elemento estructurante
39
(Gonzalez et al., 2002), por lo que una imagen dilatada se observa más clara o más
brillante que la original, lo cual se puede observar en la figura 1.28:
Figura 1.28. Dilatación de una imagen es niveles de gris con un elemento estructurante
cuadrado3 3× , a) Imagen original, b) Imagen erosionada (Ortiz 2002).
En la figura 1.29 se presenta una imagen en niveles de gris y los resultados de
aplicar las dos operaciones morfológicas básicas.
Figura 1.29. Imágenes en niveles de gris. a) Imagen original, b) Imagen dilatada y c) Imagen erosionada (Gonzalez et al., 2002).
40
Estas operaciones en niveles de gris cumplen las mismas propiedades
mencionadas en el caso de conjuntos binarios.
1.7.2. Gradientes morfológicos de imágenes en niveles de gris.
Dado que una imagen en niveles de gris se la define a través de funciones y que
los operadores morfológicos ( )fψ de dichas imágenes también son funciones,
entonces los residuos morfológicos se definen a través de restas funcionales, las cuales
están dadas por:
( ) ( ) ( )f f fρ ψ ζ= − (1.40)
Los gradientes morfológicos de niveles de gris constituyen residuos morfológicos
de este tipo de imágenes, los cuales se define a partir de la erosión y de la dilatación al
igual que para las imágenes binarias (Serra 1992), conservando el objetivo de extraer los
bordes de los objetos.
El gradiente morfológico por erosión para niveles de gris, permite extraer los
bordes internos de dichas imágenes, el cual esta definido como:
( ) ( )B Bf f fρ ε− = − (1.41)
El gradiente morfológico por dilatación para niveles de gris, permite extraer los
bordes externos de tales imágenes, el cual esta definido como:
( ) ( )B Bf f fρ δ+ = − (1.42)
El gradiente morfológico generalizado para niveles de gris, permite extraer bordes
anchos y continuos de la imagen, y este residuo esta definido como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )B B B B Bf f f f fρ ρ ρ δ ε− += + = − (1.43)
41
Estos operadores morfológicos también cumplen con las mismas propiedades y
características que en el caso binario. En la figura 1.30 se muestra el comportamiento de
estos operadores morfológicos:
Figura 1.30. Gradientes morfológicos de una imagen en niveles de gris con un elemento
estructurante cuadrado simétrico de tamaño 3 3× , a) imagen original, b) gradiente por erosión, c) gradiente por dilatación y d) gradiente generalizado.
1.7.3. Apertura y cierre de imágenes en niveles de gris.
La apertura y el cierre de imágenes en niveles de gris también tienen
comportamientos similares a las operaciones correspondientes en conjuntos binarios
(Serra 1992), por lo que la apertura para imágenes en niveles de gris se define a partir
de la erosión y dilatación definidas para este tipo de imágenes. La apertura morfológica
está dada por (Serra 1989, 1992):
( ) ( )( )B B Bf fγ δ ε= (1.44)
42
La apertura morfológica que se acaba de definir elimina picos positivos (picos más
estrechos que el elemento estructurante) reduciendo los detalles brillantes, pero para
niveles oscuros no se aprecia efectos importantes. La figura 1.31 muestra el
comportamiento del operador apertura para imágenes en niveles de gris:
Figura 1.31. Filtrado morfológico de la imagen eliminando objetos claros. a) Imagen
original, b) Imagen aplicada el operador apertura (Ortiz 2002).
El cierre morfológico esta definido como (Serra 1989, 1992):
( ) ( )( )B B Bf fϕ ε δ= (1.45)
El cierre morfológico que se acaba de definir elimina picos negativos (valles más
pequeños que el elemento estructurante) reduciendo los pequeños detalles u oscuros
pero para niveles claros no se aprecia efectos importantes. La figura 1.32 muestra el
comportamiento del operador cierre para imágenes en niveles de gris:
Figura 1.32. Filtrado morfológico de la imagen eliminando objetos oscuros. a) Imagen
original, b) Imagen aplicada el operador cierre (Ortiz 2002).
La apertura y el cierre morfológico para imagen en niveles de gris cumplen con las
mismas propiedades y características que en el caso de imágenes binarias; además, éstas
43
operaciones son también independientes de la ubicación del origen del elemento
estructurante similar al caso binario.
1.7.4. Filtros Secuenciales Alternados.
La aplicación de filtros secuenciales alternados, a los cuales se simboliza por ASF
debido a sus siglas en inglés, es de gran utilidad en el procesamiento de imágenes en
niveles de gris (Serra, 1992). En la ecuación (1.46) se presenta la definición matemática
de los filtros secuenciales alternados dobles por apertura-cierre (una apertura seguida de
un cierre) por un mismo elemento estructurante:
( ) ( )( )B B Bf fϕ γΦ = (1.46)
en la ecuación (1.47) se presenta la definición matemática de los filtros secuenciales
alternados dobles por cierre-apertura (un cierre seguido de una apertura) por un mismo
elemento estructurante:
( ) ( )( )B B Bf fφ γ ϕ= (1.47)
las ecuaciones (1.46) y (1.47) pueden ser redefinidas para el caso que se utilice
elementos estructurantes creciente, la cual constituye una alternativa de los filtros
secuenciales alternados dobles.
Estos filtros pueden ser generalizados para más aperturas y cierres secuenciales,
dependiendo de lo que se requiera filtrar, siendo muy utilizado para el caso de requerir
filtrar “ruido speckle” (ruido de tipo moteado), sobre todo para el caso de imágenes
satelitales (Glasbey et al., 1995). Las definiciones más generales de filtros secuenciales
alternados son las siguientes:
( ) ( )( )( )( )( )( )1 4 3 2 1N NB B B B B Bf fϕ γ ϕ γ ϕ γ−
� �Φ = � ��
(1.48)
( ) ( )( )( )( )( )( )1 4 3 2 1N NB B B B B Bf fφ γ ϕ γ ϕ γ ϕ−
� �= � ��
(1.49)
Las ecuaciones (1.48) y (1.49) pueden tener ciertas variantes, como aquella en la
que los elementos estructurantes aplicados en el par de operaciones apertura-cierre (o
44
viceversa) tienen un mismo tamaño; otra variante posible puede ser que no se aplique
igual número de aperturas y cierres, por lo que uno de los operadores puede ser aplicada
una vez más que el otro, dependiente de cual sea el que primero se aplicó (Facón 1996).
Los filtros secuenciales alternados tienen la potencialidad de filtrar componentes
irrelevantes de pequeño tamaño sin afectar en gran medida la forma y tamaño original
de los demás objetos. La figura 1.33 presenta el resultado de aplicar la secuencia
apertura-cierre tres veces con un elemento estructurante tipo cruz de tamaño inicial
3 3× , en la figura 1.34 se presenta la eliminación de ruido impulsivo a través de la
aplicación de un filtro secuencial alternado de tipo cierre-apertura compuesto de dos
cierres y dos aperturas:
Figura 1.33. a) Imagen original, b) Imagen aplicada un filtro secuencial alternado.
Figura 1.34. Eliminación de ruido impulsivo. a) Imagen original con ruido impulsivo
del 15%, b) Imagen aplicada el filtro cierre-apertura (Ortiz 2002).
En las dos últimas figuras se puede apreciar el suavizado que presentan las
imágenes cuando se ha realizado la eliminación de ruido mediante la aplicación de
filtros secuenciales alternados, afectando lo menos posible aquellos componentes
relevantes de la imagen.
45
Capítulo 2: Fundamentos de Lógica Difusa.
2.1. Introducción.
Los conjuntos difusos fueron introducidos por Lotfi A. Zadeh en 1965 para
procesar o manipular información y datos afectados de incertidumbre e imprecisión no
probabilística, tales como días fríos, meses calurosos, personas altas, salarios bajos,
alimentos con mucho condimento, profesionales poco valorados, entre otros. Estos
conjuntos fueron diseñados para representar matemáticamente incertidumbre y
vaguedad y proporcionar herramientas formales para trabajar con la imprecisión
intrínseca en muchos problemas (Kecman 2001).
La palabra “fuzzy” es un término fotográfico que alude a la condición de movido o
borroso en el sentido de imágenes con los contornos mal definidos. De ahí la traducción
de Difuso o Borroso que se emplea en castellano. La idea de Zadeh fue la de introducir
una teoría en la que el rango de valores de pertenencia de un elemento a un conjunto
pueda variar en el intervalo [0,1] en lugar de limitarse a uno de los valores del par {0,1}
(o lo que es lo mismo Falso, Verdadero) de la teoría de conjuntos y la lógica booleana
(D’Negri et al., 2006).
Esta teoría nos permite manejar y procesar cierto tipo de información en la cual se
utilizan términos inexactos, imprecisos o subjetivos, de manera similar a como lo hace
el cerebro humano, por lo que es posible ordenar un razonamiento basado en reglas
imprecisas y en datos incompletos.
La historia de la Lógica Difusa comienza mucho antes de las publicaciones de
Lotfi A. Zadeh (Elkan et al., 1994). Si nos remontarnos a la época de Aristóteles, se
sabe que fue él quien introdujo las denominadas leyes del pensamiento, como base para
desarrollar una teoría concisa de la Lógica y posteriormente las Matemáticas.
Trescientos años A.C., Aristóteles estableció su llamada Ley de Bivalencia que
afirma que cualquier sentencia es verdadera o falsa (1 o 0), pero no ambas cosas a la
46
vez. La lógica aristotélica nos ha sido útil por más de 2000 años y está en los cimientos
de la Matemática y en el principio de funcionamiento de nuestras computadoras.
Otros investigadores posteriormente sugirieron que el mundo está lleno de
contradicciones, de cosas que son y no son a un cierto tiempo y que por tanto una
tercera región debía ser considerada.
En el siglo XVIII el filósofo y obispo anglicano irlandés David Hume, creía en la
lógica del sentido común, el razonamiento basado en el conocimiento que la gente
adquiere en forma ordinaria mediante sus vivencias en el mundo. La corriente del
pragmatismo fundada a principios de este mismo siglo por Charles Sanders Peirce, fue
la primera en considerar “vaguedades”, más que falso o verdadero, como forma de
acercamiento al mundo y al razonamiento humano. El filósofo y matemático británico
Bertrand Russell, a principios del siglo XX, estudió las vaguedades del lenguaje, siendo
quien concluye con precisión que la vaguedad es un grado de verdad. El filósofo
austríaco Ludwing Wittgenstein estudió las formas en las que una palabra puede ser
empleada para muchas cosas que tienen algo en común (Meschino 2008).
La primera lógica de vaguedades fue desarrollada en 1920 por el filósofo Jan
Lukasiewicz, quien visualizó los conjuntos con posibles grados de pertenencia con
valores de 0 y 1; propuso inicialmente una lógica trivalente, posteriormente experimentó
con lógicas de cuatro y cinco valores y finalmente llegó a la conclusión que una lógica
con infinitos valores entre 0 y 1 era tan posible como una lógica con un conjunto finito
de ellos. La Lógica Difusa es precisamente eso, una lógica con infinitos valores que
puede verse como una generalización de la lógica bivalente tradicional (Lukasiewicz
1970).
Se ha considerado de manera general que la lógica difusa se inició en 1965, en la
Universidad de California en Berkeley por Lotfi A. Zadeh. Esta simple idea nació en un
artículo de Lotfi A. Zadeh publicado en dicho año y titulado "Fuzzy Sets" o “Conjuntos
Difusos” (Zadeh 1965). En 1971, Zadeh publica el artículo, “Quantitative Fuzzy
Semantics”, donde introduce los elementos formales que conforman el cuerpo de la
47
doctrina de la Lógica Difusa y sus aplicaciones tal como se conocen en la actualidad.
Además, en 1973 Zadeh presenta la teoría básica del control difuso. A partir de ésta
publicación, otros investigadores comenzaron a aplicar la Lógica Difusa al control de
diversos procesos, por ejemplo, el británico Ebrahim Mamdani, quien en 1974 desarrolla el primer sistema de control Fuzzy práctico consistente en la regulación de un
motor de vapor (Mamdani 1974).
Tras las primeras publicaciones de Lotfi A. Zadeh, se comenzó rápidamente a usar
la lógica difusa en distintas aplicaciones prácticas, llegando a su máximo desarrollo a
principios de los años noventa, y continuando éste hasta la época actual.
La idea básica sobre la cual se fundamenta el uso de la teoría de la Lógica Difusa,
es la posibilidad de la mayor aproximación al pensamiento humano, en el cual se va a
llevar a cabo un racionamiento en base a múltiples variables medidas de forma difusa,
de esta manera se intenta imitar la inteligencia humana, teniendo en cuenta todos los
factores posibles, la capacidad de análisis del entorno y de la toma de decisiones
teniendo en cuenta todas las entradas posibles, las cuales han sido medidas de una forma
no matemática (Zadeh 1996).
La Lógica Difusa se utiliza cuando la complejidad del proceso en cuestión es muy
alta y no existen modelos matemáticos precisos para este tipo de procesos no lineales
y/o cuando se envuelven definiciones y conocimiento no estrictamente definido
(impreciso o subjetivo), como es el caso de las imágenes médicas, en las cuales la
textura y los bordes son imprecisos (difusos). En cambio, no es una buena idea usarla
cuando algún modelo matemático ya soluciona eficientemente el problema, cuando los
problemas son lineales o cuando no tienen solución.
En los últimos años la Lógica Difusa se ha utilizado fundamentalmente para
realizar sistemas de control de procesos o de ayuda a toma de decisiones, porque
permite aprovechar la experiencia de un experto e implementar un sistema rápido y
eficiente. La Lógica Difusa propone operar con conceptos aparentemente vagos o
subjetivos pero que en realidad contienen mucha información, de los que se pueden
48
obtener conclusiones útiles, proporcionando un medio efectivo de captar más fácilmente
la naturaleza inexacta del mundo real (D’Negri et al., 2006). En última instancia, la
filosofía de la Lógica Difusa es que el razonamiento exacto es un caso particular y
límite del razonamiento aproximado.
Las bases teóricas de la Lógica Difusa, en las que está basado el control difuso, se
encuentra más cercano a la manera de razonar de los humanos y del uso del lenguaje
natural, que lo que se logra con los sistemas lógicos tradicionales (Martín et al., 2001).
El adjetivo “difuso” aplicado a estas lógicas se debe a que en ellas los valores de
verdad no deterministas utilizados tienen, por lo general, una connotación de
incertidumbre. Por ejemplo, un vaso medio lleno con agua, independientemente de que
también esté medio vacío, no está lleno completamente ni está vacío completamente.
Qué tan lleno puede estar, es un elemento de incertidumbre, es decir, de difusidad,
entendida esta última como una propiedad de indeterminismo. Así entonces, los valores
de verdad asumidos por enunciados aunque no son deterministas, no necesariamente
son desconocidos (D’Negri et al., 2006). Por esta razón, es importante establecer que
existen diferencias entre grados de verdad o posibilidad. La verdad difusa (los distintos
tipos de verdad) indica que existe una pertenencia a conjuntos vagamente definidos, que
no indica probabilidad o algún tipo de condición (Meschino 2008).
De acuerdo con Zadeh, las características más notables de la Lógica Difusa (LD)
son (Zadeh 1965, 1975):
• En LD todo es cuestión de grado.
• El razonamiento exacto es un caso límite del razonamiento aproximado.
• En LD el conocimiento se interpreta como una colección de restricciones
elásticas (difusas, más no deterministas) sobre un conjunto de variables.
• En LD la inferencia puede verse como la propagación de un conjunto de
restricciones elásticas.
• Un Sistema Difuso (SD) es el resultado de la “fuzzificación” de un sistema
convencional.
• Los SD operan con conjuntos difusos en lugar de números.
49
• En esencia, la representación de la información en sistemas difusos imita el
mecanismo de razonamiento aproximado que realiza la mente humana.
Por lo mencionado, parecería que la Lógica Difusa se fundamenta simplemente en
un razonamiento aproximado y el uso de variables lingüísticas, es decir, en puras
consideraciones filosóficas, sin embargo, es preciso señalar que la misma tiene un
formalismo matemático muy bien desarrollado y fundamentado. En la temática
subsecuente del presente capítulo se desarrolla una parte de la misma.
2.2. Conjuntos difusos.
En contradicción con la Lógica Binaria que admite solo dos posibilidades
verdadero - falso o 1 – 0, la Lógica Multivariada admite varios valores de verdad
posibles y la Lógica Difusa es una forma de lógica multivariada que intenta cuantificar
esa incertidumbre, pues ya no solo existe blancos y negros, sino también grises
(D’Negri et al., 2006).
Los conjuntos difusos se basan en vagas definiciones de conjuntos, más no en la
aleatoriedad. Es por esto que la Lógica Difusa permite incluir a ella conjuntos cuyos
valores varíen de 0 a 1 (ambos incluidos), es decir, acepta la inclusión parcial en un
conjunto a diferencia de la Lógica Booleana que solo admite la inclusión total. La clave
de esta adaptación al lenguaje se basa en comprender los cuantificadores de nuestro
lenguaje como “mucho”, “poco”, “la mayoría”, “ligeramente”, “bastante”, “escaso”,
“suficiente”, “alto”, entre otros (Zadeh 1996).
Dado que la Lógica Difusa se basa en información con cierto grado de
incertidumbre, se puede decir que las fuentes de incertidumbre son diversas o tienen
orígenes variados, como por ejemplo (D’Negri et al., 2006):
1. Información imprecisa
• Información imprecisa
• Información incompleta
• Información errónea
50
2. Características del mundo real
• Mundo real no determinista, donde las mismas causas produce efectos diferentes
en circunstancias o condiciones diferentes.
3. Deficiencias del modelo que intenta explicar
• Modelo incompleto
• Modelo inexacto.
O se deben a factores tales como:
• Confiabilidad de la información
• Difusidad
• Aleatoriedad
• Imprecisión del leguaje de representación mediante reglas lingüísticas
• Información agregada
• Precisión de la representación
• Declaración en conflicto
• Reglas de combinación evidentes.
La Lógica Difusa es una rama de la Inteligencia Artificial que se fundamenta en el
concepto “todo es cuestión de grado”, lo cual permite manejar información vaga o de
difícil especificación, si se quisiera hacer cambiar con esta información el
funcionamiento o el estado de un sistema específico (Kecman 2001). En cierto nivel,
puede ser vista como un lenguaje que permite trasladar sentencias sofisticadas en
lenguaje natural a un lenguaje matemático formal. Con la Lógica Difusa, es posible
gobernar un sistema por medio de reglas de “sentido común”, las cuales se refieren a
cantidades indefinidas, estableciendo una frontera gradual entre la no pertenencia y la
pertenencia, y por tanto conformando una herramienta para el modelado de la
imprecisión o la incertidumbre (Zadeh 1996).
Para poder definir formalmente un conjunto difuso, a continuación se procede a
recordar las definiciones de Universo y Conjunto:
• Un universo es un conjunto o colección clásico de objetos, de los que se hablará en
una lógica específica, al cual lo representaremos por X. Por ejemplo, el universo de
51
los números reales, el universo de las edades, el universo de las aves, el universo de
las plantas, entre otros.
• Un conjunto definido en un universo de discurso, se define como una colección de
objetos tal que sea posible decidir cuándo un objeto del universo está o no en dicha
colección. En base a esta definición, se puede considerar que un conjunto A se puede
representar por una función del universo en el conjunto de valores { }0,1 el cual
asocia el valor 1 a los elementos que estén en el conjunto y el valor 0 a los que no
se encuentran en el mismo a través de la llamada función característica, la cual se la
representa por ( )A xµ (Dubois et al., 1980), por lo que se cumple:
( ) 1 si 0 si A
x Ax
x Aµ
∈= � ∉�
(2.1)
Lotfi A. Zadeh dio una definición de conjunto difuso, la cual se basa en la idea de
que existen conjuntos en los que no está claramente determinado si un elemento
pertenece o no a éste. Un conjunto difuso A sobre un universo de discurso X (ordenado)
es un conjunto de pares el cual esta expresado como (Zadeh 1965):
( )( ) [ ]{ }, , : 0,1A AA x x x X Xµ µ= ∈ → (2.2)
donde ( )A xµ es la llamada función de pertenencia y su valor (para el elemento x y
perteneciente al intervalo [ ]0,1 ) indica el grado de pertenencia del elemento x al
conjunto difuso A. Cuando se tiene ( ) 0A xµ = , significa que x no pertenece en lo
absoluto al conjunto difuso A, mientras que si ( ) 1A xµ = , indica que x pertenece
totalmente al conjunto difuso A y cuando ( )0 1A xµ< < , x pertenece al conjunto difuso
A de una manera parcial.
Por lo tanto, para cada conjunto difuso A, existe asociada una función de
pertenencia ( )A xµ de los elementos x, la cual indica en que medida el elemento forma
parte de ese conjunto difuso. Las funciones de pertenencia cuando X = � pueden tener
diferentes formas, así éstas pueden ser lineales, trapezoidales, curvas o con formas
mucho más complejas.
52
Por ejemplo, para representar la función característica de un conjunto definido
como “caliente”, haciendo uso de la teoría clásica, se lo puede hacer a través del uso de
una función como la que se representa en la figura 2.1:
Figura 2.1. Representación gráfica de la función característica del conjunto “caliente”.
Es difícil dar una definición exacta de cuándo un valor de temperatura pasa del
conjunto “frío” al “caliente”. Se acepta la imprecisión como una consecuencia natural
de “la forma de las cosas en el mundo”. La manera más apropiada de dar solución a este
problema es considerar que la pertenencia o no de un elemento x al conjunto no es
absoluta sino que lo es gradual, definiéndose este conjunto como un Conjunto Difuso.
Se evitaría la separación estricta entre éstos conjuntos, permitiendo la pertenencia
si o no al conjunto pero suavizando su función de pertenencia con frases del tipo:
“pertenece un poco menos a…” o “casi pertenece a…”; es decir, ya no adoptará valores
en el conjunto discreto {0,1} (Lógica Booleana), sino en el intervalo cerrado [0,1] como
se puede apreciar en la figura 2.2 (Sabadí s. f.):
Figura 2.2. Representación gráfica de una función de pertenencia del conjunto difuso
“caliente”.
53
La función de pertenencia se establece de una manera arbitraria, lo cual es uno de
los aspectos más flexibles de los Conjuntos Difusos. Así, en el ejemplo, se puede
convenir que la temperatura de 900 ºC pertenece al conjunto con grado 1, la de 500 ºC
con grado 0.4 y la de 200 ºC con grado 0. Estos límites son difusos y, por ende el
conjunto que delimita también lo es. En consecuencia, se puede afirmar, que cuanto
mayor sea el valor de una temperatura, mayor es su grado de pertenencia al conjunto
“caliente” (Sabadí s. f.).
Por lo mencionado, todo conjunto en el sentido usual es también un conjunto
difuso. Los conjuntos clásicos merecen un nombre especial. En inglés, por ejemplo, se
les llama de manera convencional crisp sets (Popov 1996). En español no hay tal
convención, así que aquí se los llamará sencillamente conjuntos clásicos (D’Negri et al.,
2006).
2.3. Funciones de Pertenencia�(Martín et al., 2001; Galindo s. f.; Sabadí s. f.).
Entre las funciones de pertenencia más utilizadas en la Lógica Difusa tenemos
las siguientes:
1. Función Triangular.
Esta función depende de sus límites inferior a y superior b, y el valor modal m, tal
que se cumple que a m b< < y su definición es:
( )
0 si ( )
si ( )( )
si ( )
0 si
x a
x aa x m
m ax
b xm x b
b m
x b
µ
≤ − < ≤
− = � − < < − ≥�
(2.3)
En la figura 2.3 se presenta la función de pertenencia de tipo triangular:
54
Figura 2.3. Función de pertenencia tipo triangular.
2. Función ΓΓΓΓ (gamma).
Esta función depende de su límite inferior a y el valor 0k > y se define de la
siguiente manera:
( ) 2( )
0 si
1 si k x a
x ax
e x aµ
− −
≤ = �− > �
(2.4)
En la figura 2.4 se presenta la función de pertenencia de tipo gamma definido a
partir de la ecuación (2.4):
Figura 2.4. Función de pertenencia tipo Γ.
Otra forma de definir matemáticamente esta función de pertenencia es a través de
la siguiente expresión:
( ) 2
2
0 si
( )si
1 ( )
x ax k x a
x ak x a
µ≤
= −� > + −�
(2.5)
55
La función de pertenencia Γ se caracteriza por un crecimiento rápido a partir de a
y cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es aún más rápido. La definición de la
ecuación (2.4) tiene un crecimiento muy rápido. Esta función nunca toma el valor 1,
aunque tienen una asíntota horizontal en 1.
La función de pertenencia definida por la ecuación (2.5) puede ser aproximada
linealmente a través de la siguiente definición:
( )
0 si ( )
si ( )
1 si
x a
x ax a x m
m ax m
µ
≤ − = < <� − ≥�
(2.6)
La figura 2.5 representa la función de aproximación lineal a la función tipo
gamma:
Figura 2.5. Aproximación lineal a la función de pertenencia tipo Γ.
3. Función S:
Esta función depende de su límite inferior a y su límite superior b, y el valor m, o
punto de inflexión tal que a m b< < . La expresión matemática que define esta función
es la siguiente:
( )
2
2
0 si
2 si
1 2 si
1 si
x a
x aa x m
b ax
x bm x b
b ax b
µ
≤
−� � < ≤� � − � = �−� � − < <� � −�
≥ �
(2.7)
56
un valor típico para m es 2
a bm
+= . El crecimiento es más lento cuanto mayor sea la
distancia a b− . En la figura 2.6 se presenta la función de pertenencia tipo S:
Figura 2.6. Función de pertenencia tipo S.
4. Función Gaussiana.
Esta función depende de su valor medio m y el valor 0k > . La expresión
matemática que define esta función es la siguiente:
( ) 2( )k x mx eµ − −= (2.8)
Esta función es la típica campana de Gauss. Cuanto mayor es k, más estrecha es la
campana. En la figura 2.7 se presenta una función de pertenencia de tipo Gaussiana:
Figura 2.7. Función de pertenencia tipo Gaussiana.
5. Función Trapezoidal.
Esta función depende de sus límites inferior a y superior d, y los límites de su
soporte, b y c, inferior y superior respectivamente. La expresión matemática que define
esta función es la siguiente:
57
( )
0 si o
si
1 si
si
x a x d
x aa x b
b axb x c
d xc x d
d c
µ
≤ ≥ − < ≤ −= � < ≤ − < < −�
(2.9)
La figura 2.8 representa la función de pertenencia de tipo trapezoidal:
Figura 2.8. Función de pertenencia tipo trapezoidal
La función trapezoidal se adapta bastante bien a la definición de cualquier
concepto, con la ventaja de su fácil definición, representación y simplicidad de cálculo,
por lo que resulta ser muy utilizada.
6. Función Pseudo-Exponencial.
Esta función depende de su valor medio m y el valor 1k > . La expresión
matemática que define esta función es la siguiente:
( ) 2
11 ( )
xk x m
µ =+ −
(2.10)
Cuanto mayor es el valor de k, el crecimiento es más rápido aún y la “campana” es
más estrecha. La figura 2.9 representa la función de pertenencia de tipo pseudo
exponencial:
58
Figura 2.9. Función de pertenencia tipo pseudo-exponencial.
7. Función Trapecio Extendido.
Esta función depende de los cuatro valores de un trapecio ( ), , , a b c d , y una lista
de puntos entre a y b o entre c y d, con su valor de pertenencia asociado a cada uno de
esos puntos. En ciertos casos, el trapecio extendido puede ser de gran utilidad. Éste
permite gran expresividad a medida que se aumenta su complejidad. La figura 2.10
representa una alternativa de la función de pertenencia de tipo trapecio extendido:
Figura 2.10 Función de pertenencia tipo trapecio extendido.
Es preciso señalar que usar una función de pertenencia cada vez más compleja no
añade mayor precisión, pues se debe recordar que se está definiendo un concepto difuso,
y lo que se está logrando con esto es que el tratamiento matemático cada vez sea más
complejo y laborioso.
Cuando más suave sea la función de pertenencia, el conjunto difuso que define
dicha función presentará menos ambigüedad en su definición, por lo que será más fácil
determinar con mayor certeza el grado de pertenencia de los elementos del universo a
dicho conjunto difuso, con la ventaja que esto lleva consigo respecto a la posibilidad de
conocer mejor como está constituido el conjunto difuso al que lo representa.
59
2.4. Características de los conjuntos difusos.� (Dubois et al., 1980; Martín
2001; Morales s. f.).
Las principales características (o propiedades) que poseen los conjuntos difusos
son las siguientes:
1. Soporte.
El soporte de un conjunto difuso A en el universo de discurso X es un conjunto
numérico que contiene todos los elementos de X que tienen un valor de pertenencia
distinto de cero en A, esto es:
( ) ( ){ }Sop 0,AA x x x Xµ= > ∈ (2.11)
Si el soporte de un conjunto difuso no contiene ningún elemento tendremos un
conjunto difuso vacío. Si el soporte de un conjunto difuso está constituido por un solo
elemento tendremos lo que se conoce como “singleton” difuso. Los elementos x tales
que ( ) 12A xµ = se suelen llamar puntos de cruce de A.
2. Altura.
Representa el mayor grado de pertenencia de los elementos del conjunto, esto es:
( ){ }supA Ah x x Xµ= ∈ (2.12)
3. Núcleo.
Es el conjunto de los elementos x X∈ que pertenecen totalmente al conjunto A,
por lo que se cumple:
( ) ( ){ }Nucleo 1AA x X xµ= ∈ = (2.13)
Al núcleo de un conjunto difuso también se lo conoce como médula de dicho conjunto.
60
4. Conjunto difuso normalizado.
Es un conjunto difuso cuya altura es igual a 1, es decir, que todo conjunto difuso
que posea núcleo es normalizado. Matemáticamente un conjunto difuso normalizado se
expresa como:
( ) es normalizado 1AA ssi x X xµ∃ ∈ = (2.14)
Si un conjunto difuso no es normalizado, se lo puede normalizar dividiendo sus
funciones de pertenencia por la altura de dicho conjunto.
Que un conjunto sea normalizado es muy importante dentro de la Lógica Difusa,
ya que de esta manera se esta garantizando que el mismo posea elementos con
pertenencia total al conjunto de interés y así se los puede relacionar con elementos de
algún conjunto clásico, en donde su función característica toma el valor 1 para los
elementos que pertenecen a dicho conjunto.
5.- Conjunto vacío.
El conjunto vacío ∅ difuso esta definido como aquel conjunto en el cual la
función de pertenencia de dicho conjunto es 0, por lo que se cumple:
( ), 0 x X xµ∅∀ ∈ = (2.15)
y por lo tanto también se tiene que:
( ), 1Xx X xµ∀ ∈ = (2.16)
El conjunto vacío ∅ se lo representa por la función cero y el universo con la
función constante 1.
6. αααα-Corte.
El α-corte de un conjunto difuso A se define como el conjunto clásico Aα de todos
los elementos x X∈ cuyo grado de pertenencia al conjunto A toma como mínimo el
valor α, por lo que se tiene:
61
( ){ } , 0 1AA x X xα µ α α= ∈ ≥ < ≤ (2.17)
Cuando se cumple la desigualdad estricta, se dice que es un α-corte fuerte.
Las funciones de pertenencia de un conjunto difuso A pueden ser expresadas en
términos de las funciones características de sus α-cortes de acuerdo a la siguiente
relación:
( ) ( ){ }( )0 1sup min ,A Ax x
αα
µ α µ< ≤
= (2.18)
en donde se cumple que:
( ) 1
0 en los demás casosA
ssi x Ax
α
αµ∈
= ��
(2.19)
7. Conjuntos difusos convexo y cóncavo.
La noción de convexidad y concavidad pueden ser generalizados a conjuntos
difusos de X. Intuitivamente son conjuntos difusos crecientes, decrecientes o con forma
de campana.
Un conjunto difuso A es convexo si para todo x A∈ tal que 1 2x x x< < , x tiene un
grado de pertenencia mayor que el mínimo valor entre ( ) ( )1 2 y A Ax xµ µ , por lo que se
cumple:
[ ] ( )( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2, y 0,1 ; 1 min ,A A Ax x X x x x xλ µ λ λ µ µ∀ ∈ ∀ ∈ + − ≥ (2.20)
Un conjunto difuso A es cóncavo si para todo x A∈ tal que 1 2x x x< < , x tiene un
grado de pertenencia menor que el máximo valor entre ( ) ( )1 2 y A Ax xµ µ , por lo que se
cumple:
[ ] ( )( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 1 2, y 0,1 ; 1 max ,A A Ax x X x x x xλ µ λ λ µ µ∀ ∈ ∀ ∈ + − ≤ (2.21)
62
8. Cardinalidad.
Con esta noción se puede contar a los elementos de un conjunto difuso. La
cardinalidad escalar o tamaño de un conjunto difuso A sobre X finito es la suma, sobre
los elementos del universo, de los grados de pertenencia al conjunto A, es decir, se tiene:
( ) ( )Ax X
Card A A xµ∈
= = � (2.22)
A veces a A se la suele llamar potencia de A. La cardinalidad de A cuando X no
es finito no siempre existe. Cuando A tiene un soporte finito, su cardinalidad se puede
expresar a través de éste, por lo que se tiene:
( )( )
Ax Sop A
A xµ∈
= � (2.23)
La cardinalidad relativa de A sobre X, la cual se la puede interpretar como la
proporción de elementos de X que se encuentran en A, esta dada por:
A
AX
= (2.24)
En el caso de que el universo X sea no numerable se requiere que el mismo sea
medible, de tal manera que la cardinalidad relativa pueda ser considerada como una
suma ponderada en la medida de cada elemento, de las funciones de pertenencia de los
elementos del conjunto A, es decir, se cumple que ( ) ( ) ( ) y 1AX X
A x dP x dP xµ= =� � ,
siendo P la medida sobre X.
El peso relativo del elemento x del universo, respecto al conjunto A, está dado por:
( ) ( )AA
xp x
Aµ
= (2.25)
el cual indica la contribución a la cardinalidad A por el grado de pertenencia del
elemento x al conjunto A.
63
9. Momentos.
Son parámetros correspondientes a promedios ponderados de los grados de
pertenencia de los elementos del universo al conjunto difuso en consideración.
El valor esperado, o centroide, de un conjunto difuso A del universo X finito y
numerable, es el promedio de los elementos de dicho conjunto ponderados por sus
funciones de pertenencia, por lo que se puede determinarlo a través de:
( ) ( ) ( )1A A
x x
E A x p x x xA
µ= =� � (2.26)
También se define el momento m-ésimo de A como:
( ) ( )mm A
x
E A x p x=� (2.27)
Los momentos de un conjunto difuso proporcionan información sobre la
“distribución” de los elementos en ese conjunto difuso (Morales s. f.).
10. Centro de gravedad.
Sea 0 1α< ≤ , y si recordamos que el α-corte Aα de A consta de todos los puntos
cuyo grado de pertenencia al conjunto A no es inferior al valor α. El centro de gravedad
de altura α de A, si X es finito y numerable, esta dado por:
( ) ( )1, A
x A
CG A x xA
αα
α µ∈
= � (2.28)
y si el universo X es no numerable, se tiene que:
( ) ( )1, A
x A
CG A x x dxA
αα
α µ∈
= � (2.29)
El centro de gravedad ( ),CG A α es el promedio de los elementos en el α-corte de
A (o sea, en Aα ) y Aα es la cardinalidad clásica del α-corte de A. El centro de
gravedad básico es el centro de gravedad de altura 0. El centro de gravedad máximo es
el centro de gravedad de altura ( ){ }= maxA Ah x x Xµ ∈ .
64
2.5. Operaciones básicas entre conjuntos difusos.
Con conjuntos difusos se puede operar del mismo modo que se lo hace con los
conjuntos clásicos. Dado que los conjuntos difusos son una generalización de los
conjuntos clásicos, es posible definir las operaciones de intersección, unión,
complemento y otras adicionales y dado que la función de pertenencia es la que
caracteriza a los conjuntos difusos, las operaciones con tales conjuntos se definen a
través de las mismas.
En lo que sigue se procede a describir algunas de las operaciones básicas de los
conjuntos difusos:
1. Suma. (Flores et al., s. f.; Sabadí s. f.)
La suma algebraica de los conjuntos difusos A y B en el universo X se representa
por C A B= + y su función de pertenencia para cualquier elemento x X∈ está definida
de la siguiente manera:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B A Bµ x µ x µ x µ x µ x+ = + − (2.30)
La suma acotada de los conjuntos difusos A y B en el universo X se representa por
C A B= + y su función de pertenencia para cualquier elemento x X∈ se define
mediante:
( ) ( ) ( ){ } min 1, A BA Bµ x µ x µ x+ = + (2.31)
2. Producto. (Flores et al., s. f.; Sabadí s. f.)
El producto algebraico de los conjuntos difusos A y B en el universo X se
representa por C A B= ⋅ y su función de pertenencia para cualquier elemento x X∈ se
define como:
( ) ( ) ( )A B A Bµ x µ x µ x⋅ = ⋅ (2.32)
65
El producto acotado de los conjuntos difusos A y B en el universo X se representa
por C A B= � y su función de pertenencia para cualquier elemento x X∈ se define de
la siguiente manera:
( ) ( ) ( ){ }max 0, 1A B A Bµ x µ x µ x= + −�
(2.33)
3. Potencia de orden m. (Flores et al., s. f.; Sabadí s. f.)
La potencia de orden m de un conjunto difuso A en el universo X se representa por mA y es un conjunto difuso cuya función de pertenencia para cualquier elemento x X∈
está definida como:
( ) ( )m
m
AAµ x µ x= � �� � (2.34)
4. Unión. (Dubois et al., 1980; Flores et al., s. f.; Sabadí s. f.)
Sean A y B dos conjuntos difusos de X, la unión entre estos conjuntos es el
conjunto difuso C y se representa por C A B= � , y su función de pertenencia para
cualquier elemento x X∈ está dada por:
( ) ( ) ( ){ } max ,A B A Bµ x µ x µ x=�
(2.35)
En la figura 2.11 se presenta un esquema de comportamiento de la función de
pertenencia de la unión de conjuntos difusos:
Figura 2.11. Función de pertenencia de la operación unión de conjuntos difusos.
66
5. Intersección. (Dubois et al., 1980; Flores et al., s. f.; Sabadí s. f.).
Sean A y B dos conjuntos difusos de X, la intersección de dichos conjuntos se
representa mediante =C A B� . La función de pertenencia de la intersección de los
conjuntos difusos A y B para cualquier elemento x X∈ está dado como:
( ) ( ) ( ){ } min ,A B A Bµ x µ x µ x=�
(2.36)
En la figura 2.12 se presenta un esquema de comportamiento de la función de
pertenencia de la intersección de conjuntos difusos:
Figura 2.12. Función de pertenencia de la operación intersección de conjuntos difusos.
Es importante aclarar que, si a la función de pertenencia de un conjunto difuso se
la interpretara como la probabilidad de pertenencia a dicho conjunto, y si ( )A xµ es la
función de pertenencia de x X∈ al conjunto A y ( )B xµ lafunción de pertenencia al
conjunto B, entonces la función de pertenencia del conjunto intersección se debería
definir a través del producto de las funciones de pertenencia individuales, pero dado que
se está trabajando con funciones comprendidas en el intervalo [ ]0,1 es evidente que
( ) ( ) ( ) ( ){ }< min ,A B A Bµ x µ x µ x µ x , es decir, la función de pertenencia del conjunto
intersección, bajo la concepción errónea de ser de tipo probabilístico, tendría un valor
menor y por tanto estaría representando una categoría lingüística inferior a la que
67
realmente debe hacerlo, de ahí que la función de pertenencia está asociada con una
medida del grado de posibilidad y no con la de probabilidad.
6.- Complemento. (Dubois et al., 1980; Flores et al., s. f.; Sabadí s. f.)
Sea A un conjunto difuso en X, el complemento de dicho conjunto se representa
mediante CC A A= = y cuya función de pertenencia para cualquier elemento x X∈ a
este conjunto está dado por:
( ) ( )1 AAµ x µ x= − (2.37)
En la figura 2.13 se presenta un esquema de comportamiento de la función de
pertenencia del complemento de un conjunto difuso:
Figura 2.13. Función de pertenencia del complemento de un conjunto difuso.
7. Producto cartesiano (Flores et al., s. f.; Sabadí s. f.)
Si A y B son dos conjuntos difusos de X e Y, el producto cartesiano de los
conjuntos A y B en el espacio de X Y× se representa mediante C A B= × . La función
de pertenencia del producto cartesiano de los conjuntos difusos A y B para cualquier
elemento ( ),x y X Y∈ × está dado como:
( ) ( ) ( ){ }, min ,A B A Bx y x yµ µ µ× = (2.38)
68
8. Co-producto cartesiano. (Flores et al., s. f.; Sabadí s. f.)
Si A y B son dos conjuntos difusos de X e Y, el co-producto cartesiano de los
conjuntos A y B en el espacio de X Y× se representa mediante C A B= ⊗ . La función
de pertenencia del co-producto cartesiano de los conjuntos difusos A y B para cualquier
elemento ( ),x y X Y∈ × está definida mediante:
( ) ( ) ( ){ }, max ,A B A Bx y x yµ µ µ⊗ = (2.39)
9. Diferencia. (Dubois et al., 1980)
Si A y B son dos conjuntos difusos del universo X, la diferencia ligada de los
conjuntos A y B en el espacio X se representa mediante A B− y está formado por los
elementos con mayor grado de pertenencia al conjunto A que al conjunto B, siendo la
misma una extensión de la diferencia de conjuntos clásica. La función de pertenencia de
la diferencia ligada de los conjuntos difusos A y B para cualquier elemento x X∈ está
dado como:
( ) ( ) ( ){ }max 0, A BA B x x xµ µ µ− = − (2.40)
Si A y B son dos conjuntos difusos del universo X, la diferencia simétrica de los
conjuntos A y B en el espacio X tiene diferentes formas de definirse, a diferencia de lo
que sucede en los conjuntos clásicos donde la definición es única, pues para conjuntos
difusos se tiene dos diferencias simétricas, la primera de las cuales se denota por A B∇
y su función de pertenencia para cualquier elemento x X∈ se define de la siguiente
manera:
( ) ( ) ( )A B A Bx x xµ µ µ∇ = − (2.41)
donde las barras en la ecuación anterior representan valor absoluto. La segunda
definición se denota por A B∆ y su función de pertenencia para cualquier elemento
x X∈ esta dada mediante:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }max min ,1 , min 1 ,A B A B A Bx x x x xµ µ µ µ µ∆ = − − (2.42)
69
Es importante aclarar que la definición de la ecuación (2.41) se utiliza para medir
diferencias de funciones de pertenencia de dos conjuntos difusos. La definición de la
ecuación (2.42) se utiliza para medir el grado con el que las funciones de pertenencia
son distintas entre sí y próximas a los extremos de la escala ([ ]0,1 ); además, ésta
operación cumple con la propiedad asociativa.
10. Traslación. (Chatzis et al., 2000)
Si A es un conjunto difuso de X, la traslación del conjunto A por un vector clásico
(crisp vector) x es un conjunto difuso llamado “conjunto trasladado” (o simplemente
“trasladado”) de A por x y representado por xA . La función de pertenencia al conjunto
xA para cualquier elemento y X∈ está definida mediante:
( ) ( )xA Ay y xµ µ= − (2.43)
11. Reflexión. (Chatzis et al., 2000)
Si A es un conjunto difuso de X, la reflexión (simétrica) del conjunto A es un
conjunto difuso llamado “conjunto reflejado” o simplemente “reflejado” de A y
denotado por A . La función de pertenencia al conjunto A para cualquier elemento
x X∈ está definida mediante:
( ) ( )ˆ AAx xµ µ= − (2.44)
12. Inclusión Difusa (Subconjuntos Difusos).
La teoría de los subconjuntos difusos fue desarrollada con el fin de representar
matemáticamente la imprecisión intrínseca de ciertas categorías de objetos. Los
subconjuntos difusos (o partes difusas de un conjunto) fueron creados para modelar la
representación humana de los conocimientos (por ejemplo, para medir una imprecisión
objetiva) y mejorar así los sistemas de decisión, de ayuda a la decisión, y de inteligencia
artificial (Kecman 2001).
70
Un conjunto difuso A es un subconjunto difuso de B y se denota por A B⊆ , o a su
vez, se dice que A está contenido en B, si se cumple:
( ) ( ), A Bx X x xµ µ∀ ∈ ≤ (2.45)
por lo que la inclusión difusa de A en B se define por la relación entre las funciones de
pertenencia Aµ y Bµ . En el caso que se cumple la desigualdad estricta en la ecuación
(2.45), se dice que la inclusión de A en B también es estricta y se la denota como A B⊂
(Dubois et al., 1980).
Cuando se cumple la igualdad ( ) ( )A Bx xµ µ= para todo x X∈ , se dirá que los
conjuntos son coincidentes, pues cada uno es un subconjunto del otro (Dubois et al.,
1980), lo cual es consistente con la definición clásica, ya que en ésta se cumple que
{ } { }0,1 y 0,1A Bµ µ∈ ∈ .
Además, Sinha y Dougherty introducen el llamado indicador de inclusión difuso u
operador de grado de inclusión de los conjuntos difusos A y B, denotado por � , el cual
se encarga de medir el grado de que A sea un subconjunto de B. Este operador tiene
como argumentos los conjuntos A y B y los hace corresponder con valores del intervalo
[ ]0,1 , el cual para ser un indicador de inclusión, bajo las correcciones de Popov, debe
satisfacer las siguientes propiedades (K�ppen et al., 1999; Chatzis et al., 2000):
• ( ) ( ){ } ( ){ }, 0 1 0A BA B x x x xµ µ= ⇔ = = ≠ ∅�� (2.46)
• ( ) ( ), ,B C A B A C⊂ � ≤� � y ( ) ( ), ,C A B A≤� � (2.47)
• ( ) ( ), , , nx xA B A B x= ∀ ∈�� � (2.48)
• ( ) ( )ˆ ˆ, ,A B A B=� � (2.49)
• ( ) ( ), ,A B B A=� � (2.50)
• ( ){ }, inf ,i iii
B A B A� �=� �� �� � y ( ){ }, sup ,i i
ii
A B A B� �≥� �� �� � (2.51)
• ( ){ }, inf ,i iii
A B A B� �=� �� �� � (2.52)
71
Como ejemplos de este operador tenemos (K�ppen et al., 1999):
( ) 1,
0 en otros casosssi B A
A B⊆
= ��
� (2.53)
el cual se utiliza para la construcción de la Morfología Binaria, y
( ) ( ) ( ){ }, inf max ,1x B AA B x xµ µ= −� (2.54)
utilizado para trabajar en la Morfología con los α-cortes (α-Morfología).
2.6. Propiedades básicas de las operaciones fundamentales de la�Lógica
Difusa (Dubois et al., 1980; Galindo s. f.).
1. Propiedad Conmutativa.
Si A y B son dos conjuntos difusos del universo X, las operaciones de unión e
intersección difusas satisfacen:
A B B A=� � (2.55)
A B B A=� � (2.56)
2. Propiedad Asociativa.
Si A, B y C son conjuntos difusos del universo X, la unión e intersección difusas
cumplen las siguientes propiedades:
( ) ( )A B C A B C A B C= =� � � � � � (2.57)
( ) ( )A B C A B C A B C= =� � � � � � (2.58)
3. Propiedad de idempotencia.
Si A es un conjunto difuso del universo X, la unión e intersección difusas
satisfacen:
A A A=� (2.59)
A A A=� (2.60)
72
4. Propiedad distributiva.
Si A, B y C son conjuntos difusos del universo X, las operaciones difusas de unión
e intersección satisfacen:
( ) ( ) ( )A B C A B A C=� � � � � (2.61)
( ) ( ) ( )A B C A B A C=� � � � � (2.62)
5. Condiciones identidad y de frontera.
Si A es su conjunto difuso del universo X, y ∅ el conjunto vacío difuso, la unión e
intersección difusas cumplen las siguientes propiedades:
A A∅ =� (2.63)
A X X=� (2.64)
A X A=� (2.65)
A ∅ = ∅� (2.66)
6. Involución o doble negación.
Si A es un conjunto difuso del universo X, el complemento difuso satisface:
A A= (2.67)
7. Transitividad.
Si A, B y C son conjuntos difusos del universo X, entonces para la inclusión difusa
se cumple:
y BA B C A C⊆ ⊆ � ⊆ (2.68)
8. Absorción.
Si A y B son conjuntos difusos del universo X, entonces para la unión e
intersección difusas se cumple que:
73
( )A A B A=� � (2.69)
( )A A B A=� � (2.70)
9. Leyes de De Morgan.
Si A y B son conjuntos difusos del universo X, entonces la unión, intersección y
complemento difusos satisfacen lo siguiente:
( )A B A B=� � (2.71)
( )A B A B=� � (2.72)
10. Fórmula de equivalencia.
Si A y B son conjuntos difusos del universo X, entonces la unión, intersección y
complemento difusos satisfacen la siguiente propiedad:
( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B=� � � � � � (2.73)
11. Fórmula de la diferencia simétrica.
Si A y B son conjuntos difusos del universo X, entonces la unión, intersección y
complemento difusos cumplen lo siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B=� � � � � � (2.74)
12. Otras propiedades.
Estas propiedades se deducen de las anteriores y de las características de los
conjuntos difusos. Si A y B son conjuntos difusos del universo X, se cumple que:
A B A A B⊆ ⊆� � (2.75)
y A B A A B B A B⊆ � = =� �
y A B A C B C A C B C⊆ � ⊆ ⊆� � � � (2.76)
A B A B A B+ = +� � (2.77)
74
A A X+ = (2.78)
, 0 1A B A Bα α α⊂ ⇔ ⊆ < ≤ (2.79)
teniendo presente que en las ecuaciones (2.77) y (2.78) las barras representan la
cardinalidad de los conjuntos difusos.
Sin embargo, existen dos leyes fundamentales de la teoría clásica de conjuntos
(crisp set) que no se cumplen en la teoría de conjuntos difusos, que son el principio de
complementaridad y el principio de exclusión. En los conjuntos clásicos, por el
principio de complementaridad se tiene que A A X=� o su equivalencia a través de la
función característica ( ) 1A A xµ =�
, y por el principio de exclusión se tiene que
A A = ∅� o su equivalencia a través de la función característica ( ) 0A A xµ =�
. En los
conjuntos difusos, por ejemplo, se tiene que ( ) ( ) ( ){ }max ,1A AA A x x xµ µ µ= −�
y
( ) ( ) ( ){ }min ,1A AA A x x xµ µ µ= −�
, las cuales pueden ser diferentes de ( ) 1X xµ = y
( ) 0xµ∅ = , respectivamente. En consecuencia, algunas de las teorías derivadas de la
teoría de conjuntos clásica, como por ejemplo, la teoría de probabilidades tendrá una
concepción diferente en la teoría de conjuntos difusos (Dubois et al.,1980).
2.7. T-Normas y S-Normas.
Los operadores que definen la unión y la intersección de conjuntos difusos pueden
tener otras formas alternativas, a condición de cumplir ciertas restricciones (Martín et
al., 2001). Las funciones que cumplen estas condiciones se conocen como Conorma
Triangular (T-Conorma) o S-Norma y NormaTriangular (T-Norma), respectivamente.
Las S-Normas y las T-Normas establecen modelos genéricos para las operaciones
de unión e intersección, las cuales deben cumplir con las propiedades básicas:
conmutativa, asociativa, monotonía y condiciones de frontera.
Por lo antes indicado, la operación:
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1 T × → (2.80)
75
define una T-Norma si cumple las siguientes condiciones (Dubois et al., 1980):
• Propiedad Simétrica: [ ]( , ) ( , ) , 0,1T a b T b a a b= ∀ ∈
• Propiedad Asociativa: [ ]( ( , ), ) ( , ( , )) , , 0,1T T a b c T a T b c a b c= ∀ ∈
• Propiedad de Monotonía: [ ]1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ( , ) ( , ) , , , 0,1a a b b T a b T a b a a b b≤ ≤ � ≤ ∀ ∈
• Condición de Frontera: [ ]( ,1) y ( ,0) 0 0,1T a a T a a= = ∀ ∈
La T-Norma así concebida permite definir la operación de Intersección entre los
conjuntos difusos A y B del universo X, a través de la función de pertenencia de dicha
operación, la cual ahora se define como:
( ) ( ) ( )( ),A B A Bx T x xµ µ µ=�
(2.81)
Los principales operadores que cumplen las condiciones para ser una T-Norma
son el operador mínimo y el producto algebraico, pero además existen otros operadores
que cumplen tales condiciones, por lo que se tienen las siguientes principales T-Normas
[ ], 0,1a b∀ ∈ (Martín et al., 2001; Galindo s. f.):
• Intersección Estándar: ( ) { }, min ,T a b a b= (2.82)
• Producto Algebraico: ( ),T a b a b= ⋅ (2.83)
• Producto Drástico: ( ) si 1
, si 10 en otros casos
a b
T a b b a
= = =� �
(2.84)
• Producto Acotado:
( ) ( )( ){ } ( ), max 0, 1 1 , 1, usualmente 0 ;T a b g a b gab g g= + + − − ≥ − = (2.85)
( ) ( ) ( ), max 0, 1 , 0, usualmente 1g ggT a b a b g g= + − > = (2.86)
• Producto de Hamacher:
( ) ( )( ) ( ), , 0, usualmente 01
abT a b g g
g g a b ab= ≥ =
+ − + − (2.87)
• Familia Yager: ( ) ( ) ( ){ }, 1 min 1, 1 1 , 0g ggT a b a b g= − − + − > (2.88)
76
• Familia Dubois-Prade: ( ) { }, , 0 1
max , ,ab
T a b ga b g
= ≤ ≤ (2.89)
• Familia Frank: ( ) ( )( )1 1, log 1 , 0, g 1
1
a b
g
g gT a b g
g
� �− −� �= + ≥ ≠� �−�
(2.90)
• Producto de Einstein: ( ) ( ) ( ),
1 1 1ab
T a ba b
=+ − + −
(2.91)
• Otras T-normas:
( ) 1, , 0;
1 11
g g
g
T a b ga b
a b
= >− −� � � �+ +� � � �
� �
(2.92)
( ) 1, , 0
1 11
g g
g
T a b g
a b
= >� � � �+ −� � � �� �
(2.93)
Las definiciones dadas por las ecuaciones (2.85) y (2.86) son coincidente cuando
g=0 y g=1, respectivamente y se conocen como T-Norma de Lukasiewicz.
De manera similar a lo anterior, la operación:
[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1 S × → (2.94)
define una T-Conorma ó S-Norma si cumple las siguientes condiciones:
• Propiedad Simétrica: [ ]( , ) ( , ) , 0,1S a b S b a a b= ∀ ∈
• Propiedad Asociativa: [ ]( ( , ), ) ( , ( , )) , , 0,1S S a b c S a S b c a b c= ∀ ∈
• Propiedad de Monotonía: [ ]1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ( , ) ( , ) , , , 0,1a a b b S a b S a b a a b b≤ ≤ � ≤ ∀ ∈
• Condición de Frontera: [ ]( ,0) y ( ,1) 1 0,1S a a S a a= = ∀ ∈
La S-Norma así concebida permite definir la operación de Unión entre los
conjuntos difusos A y B del universo X, a través de la función de pertenencia de dicha
operación, la cual ahora se define como:
( ) ( ) ( )( ),A B A Bx S x xµ µ µ=�
(2.95)
77
Los principales operadores que cumplen las condiciones para ser T-Conorma o S-
Norma son el operador máximo y la suma algebraica, pero además existen otros
operadores que cumplen tales condiciones, por lo que se tienen las siguientes
principales S-Normas [ ], 0,1a b∀ ∈ (Martín et al, 2001, Galindo s. f.):
• Unión Estándar: ( ) { }, max ,S a b a b= (2.96)
• Suma-Producto: ( ),S a b a b ab= + − (2.97)
• Suma Drástica: ( ) si 0
, si 01 en otros casos
a b
S a b b a
= = =� �
(2.98)
• Suma Acotado: ( ) { }, min 1, , 0S a b a b gab g= + − ≥ (2.99)
• Familia Sugeno: ( ) { }, min 1, , 0S a b a b g ab g= + + − ≥ (2.100)
• Familia Yager: ( ) { }, min 1, , 0g g gS a b a b g= + > (2.101)
• Familia Dubois-Prade: ( ) ( ) ( ){ }
1 1, 1 , 0 1
max 1 ,1 ,a b
S a b ga b g
− −= − ≤ ≤
− − (2.102)
• Familia Frank: ( ) ( )( )1 11 1, log 1 , 0, g 1
1
a b
g
g gS a b g
g
− −� �− −� �= + ≥ ≠� �−�
(2.103)
• Suma de Hamacher:
( ) ( )( ) ( )2
, , 0, usualmente 01 1
a b g abS a b g g
g ab+ + −
= ≥ =+ −
(2.104)
• Otras S-normas:
( ) 1, , 0;
11 1
g g
g
S a b ga b
a b
= >� � � �− +� � � �− −� �
(2.105)
( ) 1, 1 , 0;
1 11
1 1
g g
g
S a b g
a b
= − >� � � �+ −� � � �− −� �
(2.106)
( ) ( )( )
1, , 0;
1 1a b ab g ab
S a b gg ab
+ − − −= ≥
− − (2.107)
( ) ( ) ( ){ }, 1 max 0, 1 1 1 , 0g ggS a b a b g= − − + − − > (2.108)
78
La definición dada por la ecuación (2.99) cuando g=0 se conoce como S-Norma
de Lukasiewicz.
Otra característica importante de destacar para las T y S-Normas es que existen T-
Normas que tienen su S-Norma dual o conjugada (y viceversa), por lo que se cumple
(Galindo s. f.):
( ) ( ), 1– 1– ,1– S a b T a b= (2.109)
( ) ( ), 1– 1– ,1– T a b S a b= (2.110)
esto se puede apreciar al comparar las ecuaciones (2.101) y (2.88), como también las
ecuaciones (2.106) y (2.93). Esta característica corresponden a las leyes de De Morgan
de la teoría de conjuntos difusos, las cuales están expresadas como:
A B A B=� � (2.111)
A B A B=� � (2.112)
las cuales son equivalentes a las ecuaciones (2.71) y (2.72) si se aplica la propiedad de
involución dada por la ecuación (2.67).
Como excepción, la T-Norma del producto acotado y S-Norma de la suma
acotada, cuando 0g = , cumplen los Principios de exclusión y complementaridad:
( ) ( ) ( )( ){ }max 0, 1 1 0 ( )A AA A x x x xµ µ µ µ∅= + − − = =�
(2.113)
( ) ( ) ( )( ){ } ( )min 1, 1 1A A XA A x x x xµ µ µ µ= + − = =�
(2.114)
�
2.8. Paso de la Lógica Proposicional Clásica a la Difusa.
Un enunciado o proposición sólo puede asumir los valores de verdad “verdadero”
o “falso”, sin que se admita términos intermedios, por lo cual en muchas ocasiones se
dificulta el poder determinar el valor de verdad de un determinado enunciado.
Es la Lógica Proposicional la que permite manejar las proposiciones a través del
uso de ciertas operaciones, las cuales se basan en los valores de verdad de las
proposiciones con las cuales se opera. Por lo mencionado anteriormente, la Lógica
Proposicional Clásica tiene algunos inconvenientes para expresar conceptos cotidianos a
79
través del uso del lenguaje natural, por lo que se hace necesario buscar una alternativa
que permita superar tal inconveniente.
Clásicamente, las proposiciones pueden combinarse de muchas maneras utilizando
tres operaciones fundamentales. Si las proposiciones son P y Q se tiene:
• Conjunción (P∧Q): las dos proposiciones son ciertas simultáneamente.
• Disyunción (P∨Q): cualquiera de las dos proposiciones es cierta.
• Implicación (P→Q): el cumplimiento de una de las proposiciones tiene como
consecuencia el cumplimiento de la otra.
También se tiene el operador negación (¬P), el cual invierte el sentido de la
proposición.
En la tabla 2.1 se presenta una tabla de verdad con las operaciones básicas de la
Lógica Clásica a más de una combinación de dos de ellas (que suele ser muy utilizada)
(Dubois et al., 1980):
P Q P∧∧∧∧Q P∨∨∨∨Q P→→→→Q ¬P ¬P∨∨∨∨Q
V V V V V F V
V F F V F F F
F V F V V V V
F F F F V V V
Tabla 2.1. Tabla de verdad de las principales operaciones lógicas.
Entre la Lógica Clásica y la Teoría de Conjuntos existen equivalencias
matemáticas que ya se han mencionado anteriormente en el desarrollo de este capítulo,
las cuales se presentan en la tabla 2.2.
Adicionalmente, existe una correspondencia entre la Lógica Clásica y el Algebra
Booleana, por lo que cualquier proposición o predicado que sea verdadero en una teoría
lo será también en la otra, a través de los cambios en la notación indicados en la tabla
2.3 (Meschino 2008).
80
Lógica Clásica Teoría de Conjuntos
AND o Conjunción [∧∧∧∧] Intersección [� ]
OR o Disyunción [∨∨∨∨] Unión [� ]
NOT o Negación [¬] Complemento [ ( ). ]
IMPLICATION o Implicación [→] Inclusión [⊂]
Tabla 2.2. Tabla de equivalencias matemáticas entre la Lógica Clásica y la Teoría de Conjuntos.
Lógica Clásica Algebra de Boole
Verdadero [V] 1
Falso [F] 0
AND [∧∧∧∧] ×
OR [∨∨∨∨] +
NOT [¬] Complemento [′]
Equivalencia [↔] =
Tabla 2.3. Tabla de correspondencias matemáticas entre la Lógica Clásica y el Algebra Booleana.
Así, la tabla 2.1 tiene su equivalencia dentro de la Lógica Binaria o Bivaluada,
donde cada predicado es una función P definida en el conjunto universo X, el cual toma
los valores en el conjunto { }0,1 . Dicha equivalencia se presenta en la tabla 2.4 (Dubois
et al., 1980; D’Negri et al., 2006).
p q p∧∧∧∧q p∨∨∨∨q p→→→→q ¬p ¬p∨∨∨∨q
1 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1
Tabla 2.4. Tabla de valores de verdad de la Lógica Binaria.
81
Por lo antes indicado, se puede observar que existe un isomorfismo4 entre la
Teoría de Conjuntos, la Lógica Proposicional clásica y el Algebra Booleana bajo
transformaciones adecuadas, lo cual permite garantizar que cada teorema enunciado o
regla establecida en una de ellas tiene un homólogo en las otras dos dado que entre ellas
existe una estructura de base similar, por tanto, las definiciones que se hagan cualquiera
de las tres teorías se puede llevar a las otras dos, mediante transformaciones adecuadas
(Galindo s. f.). Estos isomorfismos son los que permiten traducir las reglas difusas a
relaciones entre conjuntos difusos y éstas a términos de operadores algebraicos con los
se puede trabajar sin temor alguno.
Se puede realizar una extensión de la Lógica Proposicional Clásica para que el
valor de verdad no solo sea verdadero (1) o falso (0), sino que tomen un conjunto de
valores en el intervalo [ ]0,1 , por lo que ahora se puede tener, por ejemplo, una nueva
escala de valores de verdad (o de grises) como la que se presenta en la tabla 2.5
(Bouchet et al., 2007; Letitia et al., 2008):
Categoría Categoría en niveles de gris Valor de Verdad
Falso Negro 0
Casi falso Casi negro 0.1
Bastante falso Bastante negro 0.2
Algo falso Algo negro 0.3
Más falso que verdadero Más negro que blanco 0.4
Tan verdadero como falso Tan blanco que negro 0.5
Más verdadero que falso Más blanco que negro 0.6
Algo verdadero Algo blanco 0.7
Bastante verdadero Bastante blanco 0.8
Casi verdadero Casi blanco 0.9
Verdadero Blanco 1
Tabla. 2.5. Tabla de una de las posibles extensiones de los valores de verdad.
4 Término que proviene del griego, donde iso significa igual y morfos significa forma. El isomorfismo
permite pasar de una estructura matemática (de una teoría) a otra sin realizar ninguna distinción, por lo que el estudio que se realiza en una de ellas conduce a la otra.
82
Si los valores de verdad son múltiples, se debe a que se está dentro de la Lógica
Multivaluada. En el caso que se tenga un número infinito de valores de verdad se
encontrará dentro de la Lógica Difusa, y por ende se podrá utilizar conceptos
aproximados o que tengan cierto grado de incerteza, por lo que todo es cuestión de
grado en esta teoría (Zadeh 1996). Como el valor de la función de pertenencia de cierto
elemento determina el grado de pertenencia de dicho elemento del universo al conjunto
en consideración, entonces, las operaciones de la Lógica Proposicional Difusa
guardarán relación con las funciones de pertenencia.
La evaluación de las operaciones básicas de la Lógica Proposicional Difusa,
cuando ( ) ( ) y P p Q qυ υ= = representan los valores de verdad de las proposiciones
difusas P y Q, se realizan usando las siguientes definiciones (Dubois et al., 1980;
Galindo s. f.):
• Conjunción: ( ) ( ) ( ){ } { }min , min ,P Q P Q p q p qυ υ υ∧ = = = ∧ (2.115)
• Disyunción: ( ) ( ) ( ){ } { }max , max ,P Q P Q p q p qυ υ υ∨ = = = ∨ (2.116)
• Negación: ( ) ( ) ( )1 1P P p pυ υ= − = − = (2.117)
• Implicación:
( ) ( ) ( ) ( ){ } { }max 1 , max 1 ,P Q P Q P Q p q p qυ υ υ υ→ = ∨ = − = − = → (2.118)
Las definiciones presentadas en las ecuaciones (2.115) a (2.118) son las más
usadas y las más usuales, sin embargo, se pueden utilizar otras definiciones alternativas,
dependiendo del uso que vaya a dar a dichas operaciones de la Lógica Proposicional.
Cabe recalcar que en esta tesis se está trabajando con la Lógica de Predicados, la
cual se diferencia de la Lógica Proposicional por el uso adicional de otros operadores,
entre los que se destacan los cuantificadores universal y existencial.
2.9. Medidas Difusas.
Dado un conjunto A, se definen ciertas magnitudes medibles del conjunto, que se
conocen como medidas difusas. Una de las principales medidas de dichos conjuntos es
83
el grado de difusidad (fuzziness). El grado de difusidad de un conjunto difuso se asume
para expresar la dificultad que se tiene para decidir cuales elementos pertenecen y
cuales no pertenecen a dicho conjunto.
Matemáticamente una medida de difusidad se la representa por d (pues ésta
representa una distancia) y se define como (Dubois et al., 1980):
[ ): ( ) 0,d X → +∞�� (2.119)
si cumple las siguientes condiciones:
1) ( ) 0 es un subconjunto clásico de ;d A ssi A X=
2) ( )d A es máxima ssi ( ) 1;
2A x x Xµ = ∀ ∈
3) ( ) ( )*d A d A≤ , donde *A es cualquier versión más afinada de A, es decir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *
1 1 si y si ;
2 2A A A A A Ax x x x x xµ µ µ µ µ µ≤ ≤ ≥ ≥
4) ( ) ( )d A d A=
en la ecuación (2.119) ( )X�� representa la familia de los conjuntos difusos definidos
sobre X.
Otra medida que se puede utilizar en conjuntos difusos es la distancia entre dos
conjuntos difusos A y B la cual se define utilizando diversas medidas. Las medidas de
distancia entre conjuntos difusos más frecuentemente utilizadas son (Martín et al., 2001;
Galindo s. f.):
• Hamming: ( ) ( ) ( ), A Bd A B x xµ µ= −� (2.120)
• Euclídea: ( ) ( ) ( )( )( )1
2 2, A Bd A B x xµ µ= −� (2.121)
• Minkowski: ( ) ( ) ( )( )( )1
, con 1w w
A Bd A B x x wµ µ= − ≤ < +∞� (2.122)
• Tchebyschev: ( ) ( ) ( ), sup A Bx X
d A B x xµ µ∈
= − (2.123)
84
Otra medida que puede definirse es la similitud, la cual mide el parecido entre dos
conjuntos, y se puede considerar en su forma básica como una extensión de la distancia
entre conjuntos.
Además, se puede definir la entropía difusa, la cual permite determinar cuánta
información aporta el conjunto A en consideración a la descripción de la variable x. Esta
medida se determina mediante la siguiente relación (Martín et al., 2001; Galindo s. f.):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }log 1 log 1A A A AA x x x xµ µ µ µ= − + − −� � � �� � � ��� (2.124)
2.10. Variables lingüísticas.
Se denominan variables lingüísticas a aquellas variables que pueden tomar por
valor términos del lenguaje natural, como “mucho”, “alto”, “caliente”, “negativo”,
“pesado”, “aproximadamente”, entre otros, las cuales son expresiones que desempeñan
el papel de etiquetas en un conjunto difuso y que pueden ser representados a través de
conjuntos difusos (Jiménez 2000).
Se puede asignar como valor de una variable lingüística palabras o expresiones
tomadas del lenguaje común. Sin embargo, también a éstas variables es posible
asignarles valores numéricos, pero acompañados de ciertas sentencias (Martín et al.,
2001).
Las expresiones del lenguaje común o las sentencias que toma la variable
lingüísticas se llaman valores difusos; así por ejemplo, en la expresión “la velocidad es
alta”, la variable velocidad debe entenderse como una variable lingüística, ya que se le
asigna como valor el conjunto difuso alto; pero también la misma variable puede tomar
valores numéricos como aproximadamente 30 m/s, en donde tanto “alto” como
“aproximadamente 30 m/s” son los valores difusos de la variable lingüística velocidad.
Por lo que un valor concreto (30 m/s) es más específico en comparación con un valor
difuso (Galindo s. f.).
85
2.11. Fuzzificación y Defuzzificación.
La fuzzificación consiste en transformar los elementos concretos de entrada (del
conjunto clásico) en conceptos lingüísticos (con algún grado de vaguedad o
ambigüedad) a través de cierto proceso, asignándoles grados de pertenencia al conjunto
difuso establecido con dicha transformación, para hacer uso de las bondades de la teoría
de conjuntos difusos, pero manteniendo las propiedades características de los elementos
del conjunto clásico. Para realizar este proceso existen múltiples criterios, de acuerdo a
lo que se desea transformar y a lo que se pretende llegar. Los conceptos lingüísticos
utilizados se llaman variables lingüísticas (Jiménez 2000; Martín et al. 2001).
Dado que los conjuntos difusos mantienen un alto grado de vaguedad o
ambigüedad, la defuzzificación consiste en transformar los resultados difusos de un
concepto lingüístico (conjunto difuso ya operado a través de elementos y operadores
difusos) en valores totalmente determinadas y características bien definidas (de un
conjunto concreto o clásico) en el cual a través del lenguaje común puedan ser
comprendidos correctamente. Para realizar esto proceso existen múltiples criterios
dependientes del conjunto que inicial de partida y de manera como se desea manejar la
información difusa (Jiménez 2000; Martín et al. 2001).
Cuando más simples sean las reglas utilizadas para la transformación, y cuando se
tenga un cuidadoso uso de los operadores que se deban aplicar, mejores serán los
resultados obtenidos con dichas transformaciones.
86
Capítulo 3: Morfología Matemática Difusa.
3.1. Introducción.
En el capítulo uno de esta tesis ya se presentó el fundamento teórico de la
Morfología Matemática Tradicional (MMT). Este enfoque del Procesamiento Digital de
Imágenes basado en las características geométricas de los objetos que la componen,
compara píxel a píxel la imagen a procesar con el elemento estructurante. En dicho
capítulo, primero se definieron los operadores para imágenes binarias como conjuntos
descritos por la Lógica Booleana, y posteriormente, se extendieron tales operadores a
imágenes en nivel de gris, en base a funciones.
La MMT en niveles de gris presenta limitaciones en cuanto al procesamiento de
imágenes de Resonancia Magnética, donde los contornos o bordes difusos de las
estructuras son rasgos intrínsecos de este tipo de imágenes. Estas características
conducen a buscar una teoría alternativa que permita hacer énfasis en las imprecisiones
de dichas imágenes.
La Morfología Matemática Difusa (MMD o FMM) es una alternativa para
abordar la problemática de las imágenes en niveles de gris, la cual fundamenta la
definición de sus operadores en la teoría de conjuntos difusos o “fuzzy set” y la Lógica
Difusa o “Fuzzy Logic”, a través de extensiones de operadores sobre el conjunto { }0,1
(Lógica Booleana) a operadores sobre el conjunto continuo [ ]0,1 , que constituye el
conjunto de base sobre el cual trabaja la Lógica Difusa. Además, ésta teoría tiene como
esencia de su fundamento el tratamiento de los conjuntos no bien definidos, los cuales
mantienen presente un cierto grado de imprecisión o ambigüedad en sus definiciones, lo
cual constituye una ventaja para la localización y representación de objetos y píxeles de
una imagen digital en niveles de gris.
87
En este capítulo se presenta una extensión de los operadores de la MMD, los
cuales son aplicados (junto con los de la MMT) para realizar el procesado (filtrado) de
las imágenes de Resonancia Magnética utilizadas en esta tesis.
3.2. Extensión de la Morfología Tradicional a la Morfología Difusa.
Si se toman las definiciones presentadas en el capítulo 1 de esta tesis para el caso
de imágenes en niveles de gris, las definiciones de las características y operaciones
definidas en los conjuntos difusos y la extensión de la Lógica Proposicional Difusa
presentadas en el capítulo 2, se logra definir los operadores morfológicos difusos
aplicables al procesamiento de imágenes en niveles de gris, en base a lo propuesto
originalmente por Isabelle Bloch y Henri Maitre (Bloch 1996).
3.2.1. Consideraciones para la extensión de la Morfología Tradicional a la Difusa.
Para realizar la extensión de la Morfología Matemática Tradicional a la
Morfología Matemática Difusa y poder definir los operadores morfológicos difusos, la
extensión de la teoría se hace bajo las siguientes consideraciones:
1) Las imágenes digitales en niveles de gris se consideran como conjuntos difusos y se
las representa mediante la función f definida como [ ]: 0,1ff D → , donde
2 2 o f fD D⊂ ⊂ �� , siendo ésta una extensión de las imágenes binarias
representadas en el conjunto Booleano { }0,1 .
2) En las imágenes digitales en niveles de gris, cada píxel ( ),x y es considerado como
un elemento del dominio de la función f, es decir ( ), fx y D∈ .
3) Las funciones de pertenencia son las que permiten describir el comportamiento de
un conjunto difuso, y la intensidad de los niveles de gris caracteriza una imagen
(considerada como un conjunto clásico). Así, la función de pertenencia del conjunto
difuso f 5, para cualquier píxel ( ),x y , está definida a través de la relación
5 Por abuso de notación, f y B representan a los conjuntos difusos o a sus funciones de pertenencia, sin
realizar distinción alguna en la notación, pero manteniendo presente sus definiciones.
88
( ) ( ) max, , /f x y F x y F= , donde ( ),F x y representa la intensidad de los píxeles
( ),x y y maxF es el valor de mayor intensidad presente en la imagen (Köppen et al.,
1999).
4) Por lo anterior y, dado que el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto
difuso está representado por el valor que adquiere la función de pertenencia en dicho
elemento, el valor que se obtenga de la razón ( ) max, /F x y F para el píxel ( ),x y ,
representará el grado de pertenencia de dicho elemento al conjunto difuso f.
5) El elemento estructurante utilizado como parte de la definición de los operadores
morfológicos difusos también es difuso, por lo que se lo representa a través de la
función [ ]: 0,1BB D → , donde 2 2 o B BD D⊂ ⊂ �� .
Para que pueda ser aplicable la nueva teoría bajo las consideraciones anteriores, es
necesario realizar las siguientes transformaciones a las imágenes digitales en niveles de
gris originales, las cuales se describen de manera general en la sección 2.11 de esta
tesis:
1) La imagen a ser procesada (considerada como un conjunto clásico), la cual se
encuentra representada en el conjunto { }0, , 255 requiere ser fuzzificada para
poderla tratar como un conjunto difuso (con valores en el conjunto [ ]0,1 ), lo cual se
consigue realizando el procedimiento del tercer inciso de las consideraciones
anteriores, cuya función de pertenencia se la representa por ( ),f x y .
2) La imagen resultante del procesamiento mediante la aplicación de los operadores
morfológicos difusos, la cual se encuentra representada en [ ]0,1 debe ser
defuzzificada, siguiendo un proceso recíproco al realizado en la fuzzificación para
no alterar el comportamiento de la misma, y así regresarla a condiciones de poder
ser representada y visualizada en el conjunto { }0, , 255 , lo cual se logra
multiplicando el grado de pertenencia de cada píxel ( ),x y por el valor de máxima
intensidad ( maxF ) de la imagen original.
89
3.2.2. Extensión de las operaciones sobre conjuntos clásicos a conjuntos difusos.
De la Lógica Proposicional Clásica, presentada de manera rápida en la sección 2.8
de esta tesis, la Implicación Binaria representada por I y la Conjunción Binaria
representada por C, se sabe que cumple lo siguiente:
{ } { } { }( , ) ( )
: 0,1 0,1 0,1p q p q
I→
× →�
(3.1)
( ) ( ) ( ) ( )0,0 0,1 1,1 1 y 1,0 0I I I I= = = = (3.2)
y
{ } { } { }( , ) ( )
: 0,1 0,1 0,1p q p q
C∧
× →�
(3.3)
( ) ( ) ( ) ( )0,0 1,0 0,1 0 y 1,1 1C C C C= = = = (3.4)
donde y p q son los valores de verdad de las proposiciones y P Q , respectivamente.
Las definiciones de la Implicación y Conjunción Binarias, presentadas
recientemente, son extendidas a la Lógica Proposicional Difusa, cuando el dominio
formado a través de conjuntos Booleanos es reemplazado por el dominio rectangular
[ ] [ ]0,1 0,1× , además de exigir que se satisfaga ciertas condiciones adicionales (Deng et
al., 2000). Así, la Implicación Difusa, para las proposiciones y P Q definidos sobre
los conjuntos difusos y A B con valores de verdad ( ) ( ) y p P q Qυ υ= = , se define
como:
[ ] [ ] [ ]( , ) ( )
: 0,1 0,1 0,1p q p q
I→
× →�
(3.5)
la cual debe satisfacer condiciones similares a las presentadas en (3.2), que son descritas
mediante:
( ) ( ) ( ) [ ],1 0, 1 y 1, , 0,1I p I p I p p p= = = ∈ (3.6)
además, dicho operador debe ser decreciente en el primer argumento y creciente en el
segundo argumento (Bouchet et al., 2007). Cuando p toma los valores extremos del
conjunto [ ]0,1 las condiciones dadas por la ecuación (3.6) coinciden con aquellas
presentadas en la ecuación (3.2). Si se considera la definición de la implicación difusa
presentada en la ecuación (2.118), es posible evidenciar el cumplimiento de las
90
condiciones presentadas sobre el comportamiento del operador respecto de sus
argumentos.
La Conjunción Difusa, para las proposiciones y P Q definidos sobre los
conjuntos difusos y A B con valores de verdad ( ) ( ) y p P q Qυ υ= = , se define
como:
[ ] [ ] [ ]( , ) ( )
: 0,1 0,1 0,1p q p q
C∧
× →�
(3.7)
la cual debe satisfacer condiciones similares a las presentadas en (3.4), las mismas que
ahora se expresan a través de:
( ) ( ) ( ) [ ],0 0, 0 y ,1 , 0,1C p C p C p p p= = = ∈ (3.8)
además, este operador debe ser creciente en los dos argumentos (Bouchet et al., 2007).
Cuando p toma los valores extremos del conjunto [ ]0,1 las condiciones dadas por la
ecuación (3.8) coinciden con aquellas presentadas en la ecuación (3.4). Si se considera
la definición de la conjunción difusa presentada en la ecuación (2.115), es posible
evidenciar el cumplimiento de las condiciones presentadas sobre el comportamiento del
operador respecto de sus argumentos.
La Conjunción Difusa e Implicación Difusa así definidas satisfacen la siguiente
condición adicional (Deng et al., 2000):
( ) ( ) [ ], , ; , , 0,1C r q p q I r p r p q≤ ⇔ ≤ ∀ ∈ (3.9)
la cual permite expresar que la Implicación Difusa I y la Conjunción Difusa C son
operadores adjuntos6.
Constituyen ejemplos de los operadores Implicación Difusa y Conjunción Difusa
las siguientes relaciones (Deng et al., 2000):
• G�del – Brouwer:
( ) { }
( )
, inf ,
,,
1,
C r q r q
p p rI r p
p r
=
<= � ≥�
(3.10)
6 Dos operadores se dicen ser adjuntos si uno de ellos se puede definir en función del otro a través del
uso del operador complemento, propiedad conocida también como dualidad de los operadores a través del complemento.
91
• Lukasiewicz: ( ) { }( ) { }
, sup 0, 1
, inf 1, 1
C r q r q
I r p p r
= + −
= − + (3.11)
• Kleene-Dienes: ( )
( ) { }
0, 1,
, 1
, sup 1 ,
q rC r q
q q r
I r p r p
≤ −= � > −�
= − (3.12)
• Reichenbach: ( )
( )
0, 1, 1
, 1
, 1
q rC r q q r
q ra
I r p r r p
≤ − = + −� > − �
= − +
(3.13)
Bajo las definiciones presentadas anteriormente para la Implicación y la
Conjunción Difusas como operadores de la Lógica Proposicional Difusa, y más
formalmente de la Lógica de Predicados, ya que posteriormente se utilizarán
cuantificadores matemáticos, se puede presentar una extensión también para la
Inclusión e Intersección sobre conjuntos difusos, para poderlos aplicar a imágenes en
niveles de gris.
Si se tiene una imagen en niveles de gris con dominio fD ( 2 2o f fD D⊂ ⊂ �� ),
la cual es considerada como un conjunto difuso y representada a través de su función f,
para poder definir los operadores morfológicos sobre la familia de todos los conjuntos
difusos definidos sobre fD , es decir, para elementos de ( )fD�� , se requiere tener
presente las siguientes extensiones:
• Para la Inclusión:
En el caso binario se tiene:
Si ( ), fA B D∈� , donde ( )fD� representa el conjunto de partes del dominio de la
imagen, entonces se cumple (Deng et al., 2000; Burillo et al., 2001):
92
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )( ){ }
,
,
, , 1
inf , 1y D f
f
f A B
f A B
A B
A B y D y A y B
y D y y
y D I y y
I y y
µ µ
µ µ
µ µ∈
⊆ ⇔ ∀ ∈ ∈ � ∈
⇔ ∀ ∈ →
⇔ ∀ ∈ =
⇔ =
(3.14)
donde I denota la Implicación Binaria clásica ( → ) y ( ) ( ) y A By yµ µ representan las
funciones características de los conjuntos clásicos y A B aplicadas al elemento y del
dominio de la imagen binaria.
La extensión de la relación de inclusión para la familia de todos los conjuntos
difusos definidos sobre fD , es decir, para elementos de ( )fD�� , se realiza de la
siguiente manera:
Si ( ), fF G D∈ �� , se representa por G F⊆ (o por ( ),G F� , como en el capítulo 2) el
grado de inclusión del conjunto difuso G en el conjunto difuso F (en el rango de 0 a 1),
y se define como:
( ) ( )( ){ }: inf ,f
G Fy DG F I y yµ µ
∈⊆ = (3.15)
donde ahora I representa la implicación difusa, la cual cumple la definición dada
anteriormente. Las funciones ( ) ( ) y G Fy yµ µ son las funciones de pertenencia de los
conjuntos difusos G y F aplicadas al elemento y del dominio de la imagen en niveles de
gris, respectivamente. Los dos puntos seguidos del igual significan “por definición”.
• Para la Intersección:
En el caso binario se tiene:
Si ( ), fA B D∈� , entonces se cumple (Deng et al., 2000):
( ) ( )( )( ) ( )( ){ }
,
, , 1
sup , 1f
f
f A B
A By D
A B y D y A y B
y D C y y
C y y
µ µ
µ µ∈
≠ ∅ ⇔ ∃ ∈ ∈ ∧ ∈
⇔ ∃ ∈ =
⇔ =
�
(3.16)
donde C denota la conjunción binaria clásica (∧). La expresión A B ≠ ∅� se suele
representar también por A B� y se dice que A toca a B (A “hits” B).
93
La expresión de la ecuación (3.16) puede ser extendida para la familia de todos los
conjuntos difusos definidos sobre fD , es decir para elementos de ( )fD�� , de la
siguiente manera:
Si ( ), fF G D∈ �� , se representa por G F� el grado de intersección no nulo de los
conjuntos difusos G y F (en el rango de 0 a 1), y se define como:
( ) ( )( ){ }: sup ,f
G Fy D
G F C y yµ µ∈
� = (3.17)
donde C ahora representa la conjunción difusa, la cual cumple la definición dada
anteriormente.
3.2.3. Definición de los Operadores de la Morfología Matemática Difusa.
La extensión de las definiciones de los operadores morfológicos tradicionales a
operadores morfológicos difusos se fundamenta en las extensiones realizadas en la
sección 3.2.2.
Si en la MMT los operadores de erosión y dilatación permiten definir el resto de
operadores de dicha teoría, lo mismo sucede en la MMD, de ahí que todos los demás
operadores dependen de las definiciones que se presentan para la erosión y dilatación
difusas.
El operador erosión difusa para imágenes en niveles de gris, las cuales son
consideradas como conjuntos difusos y representados por su función de pertenencia f,
mediante el elemento estructurante difuso representado por su función de pertenencia B,
se define de la siguiente manera (Deng et al., 2000; Burillo et al., 2001; González et al.,
2004):
( ) ( )( ){ }( ) inf ,f
FB x x xy D
f B f I B y f yε∈
= ⊆ = (3.18)
donde xB representa la traslación de B a través de x, es decir, ( ) ( )xB y B y x= − .
94
El operador dilatación difusa para imágenes en niveles de gris, las cuales son
consideradas como conjuntos difusos y representados por su función de pertenencia f,
mediante el elemento estructurante difuso representado por su función de pertenencia B,
se define de la siguiente manera (Deng et al., 2000; González et al., 2004):
( ) ( )( ){ }ˆ ˆ( ) sup ,f
FB x x x
y Df B f C B y f yδ
∈= � = (3.19)
donde ˆxB representa la reflexión de xB , es decir, ( ) ( )ˆ
x xB y B y= − y además
( ) ( )ˆxB y B x y= − .
Estas definiciones satisfacen la siguiente relación (Deng et al., 2000):
( ) ( ) ( ) ( ); , y F FB B f Bf g f g f g D B Dδ ε≤ ⇔ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈� �� � (3.20)
la cual es equivalente a la ecuación (3.9) para el caso de la Conjunción e Implicación
Difusas, por lo que la erosión y la dilatación son operadores adjuntos o simplemente
adjunciones (lo cual cumplen también la erosión y dilatación de la MMT).
Dado que la Implicación Difusa y la Disyunción Difusa están relacionadas a través
de la negación tal como se lo indica en la ecuación (2.118), se cumple que:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ), ,F G F GI y y D y yµ µ µ µ= (3.21)
en donde el símbolo “ ” representa la Negación Difusa.
Es muy importante recordar que entre la Lógica Proposicional y la Teoría de
Conjuntos tanto clásicos como difusos, siendo el último el de interés para este capítulo,
existe un isomorfismo, lo cual permite hacer el paso de los operadores Conjunción,
Disyunción y Negación Difusos a Intersección, Unión y Complemento Difusos,
respectivamente, mismos que fueron definidos en el capítulo 2 de esta tesis.
También, en el mismo capítulo antes mencionado ya se indicó que la T-norma y
S-norma son formas particulares de expresar la Intersección y la Unión Difusas, por lo
que la erosión y dilatación difusas pueden ser definidas a través de dichos operadores.
Si las imágenes en niveles de gris son consideradas como conjuntos difusos y
representados por su función de pertenencia f, y si el elemento estructurante difuso es
95
representado por su función de pertenencia B, los operadores morfológicos difusos se
definen a través de (Bloch et al, 1996; Köppen et al., 1999):
• Para la erosión difusa:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) inf , inf 1 ,f f
FB x x xy D y D
f S B y f y S B y f yε∈ ∈
= = − (3.22)
• Para la dilatación difusa:
( ) ( )( )ˆ( ) sup ,f
FB x x
y Df T B y f yδ
∈= (3.23)
donde S representa la S-norma (o T-conorma) y T la T-norma, además ˆ y x xB B
representan las traslaciones de B y B por x, respectivamente y ( )xB y representa el
complemento de ( )xB y . Las definiciones presentadas a través de las ecuaciones (3.22)
y (3.23) son las que se aplicarán en esta tesis, para algunas T-normas de aquellas
presentadas en las ecuaciones (2.82) a (2.93), y para algunas S-normas de aquellas
presentadas en las ecuaciones (2.96) a (2.108) (se tomarán T y S-normas
correspondientes).
Los operadores de erosión y dilatación difusos que se acaban de definir
constituyen la base sobre la cual se definen los otros operadores morfológicos difusos.
A continuación se presentan las definiciones de los demás operadores
morfológicos difusos, de manera similar ha como se lo realiza en el capítulo 1, para el
caso de imágenes en niveles de gris, las cuales ahora son consideradas como conjuntos
difusos y representados por f, y con un elemento estructurante difuso representado por
B:
• Residuos Morfológicos Difusos:
� Gradiente por erosión difuso: ( ) ( )F FB Bf f fρ ε− = − (3.24)
� Gradiente por dilatación difuso: ( ) ( )F FB Bf f fρ δ+ = − (3.25)
� Gradiente morfológico difuso:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F F F FB B B B Bf f f f fρ ρ ρ δ ε− += + = − (3.26)
96
• Filtros Morfológicos Difusos:
� Apertura morfológica difusa: ( ) ( )( )F F FB B Bf fγ δ ε= (3.27)
� Cierre morfológico difuso: ( ) ( )( )F F FB B Bf fϕ ε δ= (3.28)
� Filtro secuencial alternado apertura-cierre difuso: ( ) ( )( )F F FB B Bf fϕ γΦ = (3.29)
� Filtro secuencial alternado cierre-apertura difuso: ( ) ( )( )F F FB B Bf fφ γ ϕ= (3.30)
� Filtros secuenciales alternados difusos:
( ) ( )( )( )( )( )( )1 4 3 2 1N N
F F F F F F FB B B B B Bf fϕ γ ϕ γ ϕ γ
−
� �Φ = � ��
(3.31)
( ) ( )( )( )( )( )( )1 4 3 2 1N N
F F F F F F FB B B B B Bf fφ γ ϕ γ ϕ γ ϕ
−
� �= � ��
(3.32)
3.3. Elemento Estructurante Difuso.
El elemento estructurante juega un papel muy importante en el procesamiento de
la imágenes en niveles de gris, pues existe una dependencia del resultado obtenido con
la forma y tamaño del elemento estructurante utilizado tanto para la aplicación de los
operadores de la MMT como para los operadores de la MMD.
En la MMT el elemento estructurante se considera como una imagen; es decir, en
el caso de imágenes binarias éste es de forma plana, y a través de la aplicación de los
operadores morfológicos, opera según lo establecido por el operador aplicado, a través
de los valores de los elementos (píxeles) de la vecindad de la imagen y de los del
elemento estructurante que cubren dicha vecindad. Para imágenes en niveles de gris, el
elemento estructurante utilizado puede ser plano o tridimensional, siendo más usados
los del segundo tipo. Dado que las intensidades de los niveles de gris se encuentran
representados por la altura, cuando se aplica un operador morfológico, realiza la
operación según lo establecido por el operador aplicado, píxel a píxel, a través de la
comparación de las alturas de los elementos de la vecindad de la imagen con los
correspondiente del elemento estructurante tridimensional.
97
En el caso de la Morfología Matemática Difusa el elemento estructurante es
representado por conjuntos difusos, por lo que está caracterizado por la función de
pertenencia de sus elementos (píxeles). El conjunto difuso no se representa de forma
plana sino tridimensionalmente, y la altura representa los valores que adquiere la
función de pertenencia, y éste a su vez la intensidad de los niveles de gris de los
elementos de dicho conjunto, teniendo presente que la altura toma valores sólo dentro
del intervalo [ ]0,1 .
Para definir un elemento estructurante difuso se requiere definir el tamaño y la
forma del mismo, para lo cual se debe definir su dominio (tamaño y forma) así como la
función de pertenencia que define a dicho conjunto difuso (forma que adquiere su
superficie). El elemento estructurante difuso se encuentra caracterizado por el centro y
por los bordes. El centro generalmente tiene grado de pertenencia de valor 1, mientras
que los bordes adquieren valores dependientes de la definición de la función de
pertenencia que caracteriza al elemento (Chatzis et al., 2000).
Para procesar una imagen a través de la Morfología Matemática Difusa se
sobreponen el elemento estructurante con la vecindad que se determina en la imagen a
través de la región cubierta por el elemento estructurante difuso, y se compara píxel a
píxel el grado de pertenencia del elemento de la imagen en niveles gris (conjunto
difuso) con su correspondiente del elemento estructurante difuso, de acuerdo a como
esté definido el operador morfológico, por lo que el resultado obtenido dependerá del
operador aplicado y del elemento estructurante utilizado.
98
Capítulo 4: Diseño Experimental y Resultados.
4.1. Introducción.
La Morfología Matemática Tradicional (MMT) resulta un enfoque interesante para
el filtrado de imágenes en niveles de gris. Sin embargo, para el caso de imágenes de
Resonancia Magnética, donde no existe una buena distinción de texturas y de
estructuras, la MMT resulta limitada. Una alternativa para el filtrado de este tipo de
imágenes es la Morfología Matemática Difusa (MMD), la cual, aprovechando de la
Lógica Proposicional Difusa y de la Teoría de Conjuntos Difusos, permite obtener
ventaja de las ambigüedades o falta de una buena resolución de dichas imágenes para
definir los operadores de esta teoría, logrando de esta manera mejores resultados.
Dado que el objetivo general de esta tesis es realizar un estudio comparativo de la
aplicación de filtros de la Morfología Matemática Tradicional y de la Morfología
Matemática Difusa a Imágenes de Resonancia Magnética, los operadores de las dos
Morfologías (Tradicional y Difusa) se aplican a imágenes de un estudio cerebral,
primero utilizando un solo tipo de filtro básico y posteriormente con la aplicación de
filtros secuenciales alternados. En ambas Morfologías se utilizó el mismo elemento
estructurante (EE) tridimensional de tipo Gaussiano simétrico; por lo que, como
variables experimentales se tiene:
• Tipo de Morfología utilizada,
• Tipo de filtro aplicado,
• Tamaño de elemento estructurante usado.
A través del tipo de Morfología utilizada se puede determinar la robustez de los
operadores de dichas teorías para la eliminación del ruido presente en las imágenes. El
tipo de filtro aplicado permite determinar la calidad de las imágenes procesadas, por lo
que se puede determinar las ventajas y limitaciones que presentan cada uno de éstos, ya
que al comparar con las imágenes sin procesar deben logran mantener las características
deseadas y eliminar aquellas que la hacen perder calidad. Por último, el tamaño del
99
elemento estructurante utilizado, ayuda a la mayor demarcación de ciertas estructuras en
la imagen procesada respecto de lo que se observa en la imagen original, además de
permitir determinar las ventajas computacionales que presentan los operadores respecto
de los resultados obtenidos.
4.2. Imágenes a ser procesadas.
Las imágenes de Resonancia Magnética (IRM) reales no permiten el conocimiento
de muchas de las condiciones en las que son adquiridas, ni de las medidas de calidad de
las mismas, dificultando la comparación de las teorías aplicadas en el procesado de
dichas imágenes; además de que se hace imposible contar con “imágenes de referencia”
(Gold Standard) que permita comparar los resultados obtenidos.
Por lo expuesto, se optó por utilizar IRM de prueba provenientes de simulación,
las cuales son resultado del trabajo de científicos de la Universidad de McGill, quienes
construyeron una base de datos de imágenes simuladas (BrainWeb: Simulated Brain
Database) que contiene un conjunto de datos de RM producidos por un simulador.
Estos datos están disponibles de manera libre en la web, y en éste trabajo, sirven
para evaluar el comportamiento de las técnicas aplicadas para el procesamiento de las
mismas, dado que en este tipo de imágenes es conocida la ubicación de los tejidos (píxel
a píxel) (Montreal Neurological Institute 2006).
Para el trabajo de tesis se toman estudios construidos en función de la información
presentada en la base de datos antes mencionada. Estos estudios posee las siguientes
características: Son imágenes pesadas en T1 y constan de imágenes originales e
inmersas en ruido con niveles del 3%, 7% y 9%; además de que el nivel de no-
uniformidad de la intensidad (INU) es de 0%. Los estudios consisten de 181 cortes de
tamaño 217 181× tomados cada 1 mm y con un volumen de vóxel de 1 mm3, de los
cuales se trabajaron con los cortes comprendidos entre el 11 y el 160 y los restantes se
desecharon ya que sólo contienen hueso.
100
4.3. Equipo Informático.
El equipo informático utilizado para el desarrollo de los algoritmos y la aplicación
de los mismos consta de dos elementos:
• El computador.
• El Software.
El computador utilizado es un AMD Turion 64 2× Dual-Core Mobile
Technología TL-56, 1024 MB DDR2 SDRAM, 200GB HDD 15.4′′ diagonal
widescreen TruBrite display, en el que se ejecutaron los algoritmos elaborados para los
experimentos que se diseñaron en este trabajo de tesis.
El software utilizado es el lenguaje Matlab versión 7.4.0 (R2007a). En este
lenguaje de programación con aplicaciones matemáticas se desarrollaron y se aplicaron
los algoritmos para el filtrado de las imágenes del estudio anteriormente descrito. Este
lenguaje se escogió dada las bondades que tiene tanto para la elaboración de los
algoritmos así como para su implementación, además de las ventajas que presta para el
diseño y aplicación de los experimentos. Otras ventajas de este lenguaje constituyen las
opciones de presentación, manipulación y guardado de imágenes.
4.4. Diseño del Experimento.
Los operadores básicos de dilatación y erosión de la MMD son definidos entre
otras formas a través de las normas T y S, por lo que en esta tesis se utilizaron los
operadores basados en las siguientes normas:
• Algebraica.
• Estándar.
• Acotada.
• Drástica.
• Dubois and Prade.
• Hamacher.
101
Además, debido a que las normas de Hamacher tienen una dependencia del
parámetro g , el cual puede tomar valores del conjunto +� y dado que la definición de
Dubois and Prade también depende del mismo parámetro, pero ahora este toma valores
en el intervalo real [ ]0,1 , por lo que, para esta tesis se asumió el valor de 0.2g = para
dichas normas, valor que fue tomado en base a experiencias de trabajos anteriores.
El EE utilizado para los experimentos, el cual forma parte de la definición de los
operadores morfológicos, es tridimensional de tipo gaussiano simétrico, definido con
una media de valor 0 y una desviación estándar de valor 3, para todos los casos.
Para el procesamiento de las IRM cerebrales el trabajo se planteó a través de la
ejecución de dos experimentos diferentes:
1) Robustez de los filtros morfológicos básicos.
2) Eliminación del ruido usando filtros morfológicos secuenciales alternados.
En el primer experimento, el objetivo planteado es determinar la robustez ante la
presencia de ruido de los filtros morfológicos básicos de la MMD y de la MMT. Para
cumplir este objetivo, se comparan las imágenes originales (sin ruido) y las imágenes
inmersas en ruido, una vez que todas ellas han sido aplicadas el filtro. En este caso los
operadores básicos utilizados son los de apertura y cierre. En la figura 4.1 se
esquematiza el diseño experimental desarrollado para la aplicación de los filtros
básicos:
Figura 4.1. Esquema del primer experimento diseñado.
102
En este experimento se utiliza EE de tamaños 3 3× , 7 7× , 11 11× y 15 15× . Como
medidas cuantitativas, para determinar la calidad de los operadores en base de los
resultados obtenidos en este experimento, se midieron el Error Cuadrático Medio
(MSE) y su Dispersión o Desviación Estándar (DE).
Estos valores son calculados por cada una de las definiciones utilizadas para los
operadores de las dos Morfologías, de la siguiente manera:
• Se determina el error mediante mínimos cuadrados aplicados a los valores de cada
uno de los píxeles (matriz) de la imagen original y de los de la imagen (matriz)
ruidosa, una vez que dichas imágenes han sido procesadas.
• Se promedia los valores obtenidos para cada corte utilizado.
• Se calcula el promedio y la desviación estándar de los valores obtenidos de los
cortes utilizados en el procesado.
Los resultados así obtenidos constituyen el MSE y la DE que se reportan.
En el segundo experimento, el objetivo planteado es determinar la capacidad de
filtrado del ruido y de la conservación de las estructuras a través de la aplicación de los
filtros morfológicos secuenciales alternados. Para cumplir este objetivo, se comparan las
imágenes originales (sin ruido) con las imágenes ruidosas procesadas. En este
experimento se aplicó los operadores de apertura-cierre y cierre-apertura, manteniendo
el tamaño del EE utilizado en la aplicación sucesiva de los filtros básicos. En la figura
4.2 se esquematiza el diseño experimental desarrollado para la aplicación de los filtros
secuenciales alternados:
Figura 4.2. Esquema del segundo experimento diseñado.
103
En este experimento se utiliza EE de tamaños 3 3× , 7 7× y 11 11× . Como
medidas cuantitativas, para determinar la calidad de los filtros en base de los resultados
obtenidos en este experimento, se midieron el Error Cuadrático Medio (MSE) y su
Desviación Estándar (DE). Estos valores son calculados con un proceso similar al del
primer experimento, pero con la diferencia de que inicialmente el error cuadrático
medio se calcula entre los valores de la imagen original (imagen sin ruido y sin
procesar) y los de la imagen ruidosa filtrada.
Ambos experimentos se diseñaron de tal manera de poder comparar los resultados
que se obtienen con el filtrado de las imágenes mediante la aplicación de operadores de
la MMT y los de la MMD, de tal manera de poder determinar cual de las teorías
presenta mejores resultados, así como también para poder comparar entre las diferentes
alternativas (normas) presentadas en la MMD.
Para visualizar el comportamiento de los filtros de la MMT y de la MMD bajo las
diferentes normas utilizadas, los resultados de las mediciones, obtenidos para cada
tamaño de EE, se representan gráficamente. El gráfico es construido a través de los
valores del error cuadrático medio (con su respectiva desviación estándar) en función
del nivel de ruido de las imágenes.
4.5. Resultados.
En esta sección se presentan los resultados obtenidos en cada experimento y para
cada operador aplicado, los cuales están organizados de la siguiente manera:
1) Para cada tamaño de EE utilizado, se presentan a través de tablas los resultados de la
medición del error cuadrático medio y de la desviación estándar para cada uno de
los niveles de ruido presente en las imágenes utilizadas, así como para cada una de
las definiciones de los operadores que se utilizan en las dos Morfologías.
2) Para cada tamaño de EE utilizado, se presenta el gráfico construido para visualizar
los resultados de las tablas mencionadas anteriormente.
3) Para cada tamaño de EE utilizado, se realiza un breve análisis de los resultados
cuantitativos obtenidos, principalmente en función del MSE, ya que ésta es la
104
medida que permite determinar el comportamiento del operador aplicado. En caso
de ser necesario aclarar el comportamiento de la DE, se presenta la misma en dicha
discusión.
4) Para cada tamaño de EE utilizado, se presenta a modo de ejemplo, uno de los cortes
del estudio utilizado, con imágenes sin procesar y también procesadas a través del
uso del operador de la MMT y de una de las normas de mejor comportamiento de la
MMD.
5) Para el operador aplicado, se presenta un análisis final, a modo de resumen, de los
resultados obtenidos por los diferentes tamaños de EE utilizado en el experimento.
4.5.1. Primer Experimento: Robustez de los filtros morfológicos básicos.
En este experimento se aplican los operadores de apertura y de cierre para la
MMT y para las seis normas de la MMD, así como para cuatro tamaños diferentes de
EE.
1. Operador Apertura.
La característica del operador apertura es la de reducir o eliminar los detalles de
zonas brillantes con tamaño menor que aquel del EE, manteniendo aquellas de las zonas
oscuras. Los cortes del estudio de RM cerebral utilizados presentan imágenes
procesadas más oscuras que las no procesadas, además de presentar la eliminación de
cierta cantidad de ruido presente.
La aplicación de este operador bajo las condiciones establecidas en la sección 4.4,
arrojó los siguientes resultados para los cuatro diferentes tamaños de EE aplicados en
este experimento:
105
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.004089 0.002825 0.004066 0.003506 0.003417 0.004131 0.002870
MSE 7 0.016168 0.011179 0.015851 0.013438 0.011981 0.015825 0.011367
MSE 9 0.025897 0.018196 0.025283 0.021987 0.018663 0.025292 0.018309
DE 3 0.001235 0.000861 0.001187 0.001261 0.001171 0.001202 0.000853
DE 7 0.004901 0.003304 0.004656 0.004840 0.004145 0.004645 0.003292
DE 9 0.007855 0.005378 0.007431 0.007728 0.006349 0.007410 0.005338
Tabla 4.1. Error cuadrático medio y desviación estándar para el operador apertura con un EE gaussiano de tamaño 3 3× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.3. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
operador apertura con un EE gaussiano de tamaño 3 3× .
Para el EE de tamaño 3 3× , la aplicación del operador apertura de la MMD en
general entrega mejores resultados cuantitativos en comparación con aquellos que
provee la MMT, siendo una excepción las normas de Dubois and Prade, en la que se
cumple lo manifestado en niveles de ruido mayores al 3%. Los resultados óptimos para
este tamaño de EE se obtienen con las normas Algebraica y de Hamacher (con una leve
ventaja de la Algebraica en MSE y de Hamacher en DE). Para todos los operadores
utilizados, se presenta un incremento marcado en los resultados de ambas medidas
cuantitativas con el aumento del nivel de ruido, con valores porcentuales máximos en el
orden de las unidades para MSE y de las décimas para DE.
106
Original Original - Hamacher Original - Tradicional
3% r - Sin procesar 3% r - Hamacher 3% r - Tradicional
7% r - Sin procesar 7% r - Hamacher 7% r - Tradicional
9% r - Sin procesar 9% r - Hamacher 9% r - Tradicional
Figura 4.4. Corte cerebral de RM sin procesar y aplicado el operador apertura con las normas de Hamacher de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 3 3× .
107
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.003734 0.002381 0.002992 0.003319 0.003417 0.003049 0.002226
MSE 7 0.016914 0.009734 0.012052 0.012975 0.011975 0.012012 0.009193
MSE 9 0.027706 0.015978 0.019249 0.021339 0.018654 0.019145 0.014941
DE 3 0.001078 0.000653 0.000775 0.001208 0.001171 0.000793 0.000585
DE 7 0.004721 0.002616 0.002751 0.004746 0.004152 0.002726 0.002366
DE 9 0.007435 0.004273 0.004218 0.007654 0.006359 0.004151 0.003800
Tabla 4.2. Error cuadrático medio y desviación estándar para el operador apertura con un EE gaussiano de tamaño 7 7× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.5. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
operador apertura con un EE gaussiano de tamaño 7 7× .
Para el EE de tamaño 7 7× , el operador apertura tiene un comportamiento
bastante similar al que se presenta cuando el EE es de tamaño 3 3× . Ahora se evidencia
la superioridad de las normas de Hamacher sobre todos los operadores aplicados.
Constituyen excepciones en la ventaja presentada por la MMD sobre la MMT, las
normas Acotada en el caso de las medidas de DE para todos los niveles de ruido y las
normas Drástica para niveles de ruido del 3%.
108
Original Original - Hamacher Original - Tradicional
3% r - Sin procesar 3% r - Hamacher 3% r - Tradicional
7% r - Sin procesar 7% r - Hamacher 7% r - Tradicional
9% r - Sin procesar 9% r - Hamacher 9% r - Tradicional
Figura 4.6. Corte cerebral de RM sin procesar y aplicado el operador apertura con las
normas de Hamacher de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 7 7× .
109
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.002962 0.002370 0.002779 0.003302 0.003412 0.002824 0.002211
MSE 7 0.013900 0.009697 0.011148 0.012919 0.011953 0.011133 0.009136
MSE 9 0.022943 0.015921 0.017757 0.021257 0.018620 0.017704 0.014853
DE 3 0.000721 0.000662 0.000736 0.001200 0.001175 0.000760 0.000597
DE 7 0.003383 0.002647 0.002664 0.004722 0.004167 0.002650 0.002408
DE 9 0.005543 0.004320 0.004042 0.007624 0.006384 0.003982 0.003864
Tabla 4.3. Error cuadrático medio y desviación estándar para el operador apertura con un EE gaussiano de tamaño 11 11× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.7. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
operador apertura con un EE gaussiano de tamaño 11 11× .
Para el EE de tamaño 11 11× , la aplicación del operador apertura proporciona
resultados cuantitativos con un comportamiento similar a aquellos que presenta para el
EE de tamaño 7 7× . Se mantiene como mejor operador el de las normas Hamacher.
Para las normas Acotada y Drástica, la medida MSE presenta menores valores sobre la
MMT cuando el nivel de ruido es superior al 3%. La medida DE también adquiere
menores valores para niveles de ruido superiores al 3% para las normas Estándar y
Dubois and Prade y siempre se encuentra en desventaja (con valores mayores que los de
la MMT) para las normas Acotada y Drástica.
110
Original Original - Hamacher Original - Tradicional
3% r - Sin procesar 3% r - Hamacher 3% r - Tradicional
7% r - Sin procesar 7% r - Hamacher 7% r - Tradicional
9% r - Sin procesar 9% r - Hamacher 9% r - Tradicional
Figura 4.8. Corte cerebral de RM sin procesar y aplicado el operador apertura con las
normas de Hamacher de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 11 11× .
111
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.002475 0.002364 0.002768 0.003289 0.003395 0.002813 0.002205
MSE 7 0.011845 0.009670 0.011103 0.012870 0.011900 0.011092 0.009114
MSE 9 0.019272 0.015877 0.017682 0.021178 0.018539 0.017639 0.014816
DE 3 0.000745 0.000667 0.000739 0.001208 0.001186 0.000763 0.000601
DE 7 0.003660 0.002669 0.002678 0.004753 0.004201 0.002664 0.002426
DE 9 0.005798 0.004356 0.004063 0.007674 0.006435 0.004004 0.003894
Tabla 4.4. Error cuadrático medio y desviación estándar para el operador apertura con un EE gaussiano de tamaño 15 15× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.9. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
operador apertura con un EE gaussiano de tamaño 15 15× .
Para el EE de tamaño 15 15× , el operador apertura de la MMD de las normas
Algebraica y de Hamacher entregan mejores resultados comparado con el operador de la
MMT. Las resultados de las normas Estándar y Dubois and Prade superan a los del
operador de la MMT para niveles de ruido superiores al 3%, con excepción de la
primera norma en donde la medida DE siempre supera a la MMT. Los operadores de las
normas Acotada y Drástica están en desventaja frente al de la MMT, a excepción de la
Drástica para niveles de ruido superiores al 7%. El comportamiento óptimo para este
tamaño de EE se tiene para el operador de las normas Hamacher.
112
Original Original - Hamacher Original - Tradicional
3% r - Sin procesar 3% r - Hamacher 3% r - Tradicional
7% r - Sin procesar 7% r - Hamacher 7% r - Tradicional
9% r - Sin procesar 9% r - Hamacher 9% r - Tradicional
Figura 4.10. Corte cerebral de RM sin procesar y aplicado el operador apertura con las normas Hamacher de la MMD y la MMT con un EE de tamaño 15 15× .
113
En resumen, para el operador apertura, con tamaños de EE de 3 3 y 7 7× × , los
resultados obtenidos con la MMD son mejores que los de la MMT, con alguna
excepción. Cuando el EE es de 11 11× , se mantiene la ventaja presentada por la MMD,
y sólo cuando el nivel de ruido es del 3% los resultados obtenidos con las normas
Acotada y Drástica son superados por los de la MMT. Cuando el EE es de 15 15× , sólo
las normas de Hamacher y Algebraica prevalecen totalmente sobre la MMT, mientras
que las normas de Dubois and Prade y Estándar lo hacen para niveles de ruido mayores
al 3%. Se puede afirmar que los operadores de las normas Algebraica y Hamacher son
los de mejor comportamiento cuando el EE es de 3 3× y sólo el operador de las normas
Hamacher en los demás tamaños de EE.
En las imágenes procesadas se visualiza que, cuando el EE utilizado es de 3 3× se
tiene una resolución bastante buena con la aplicación de los operadores de las dos
Morfologías. En las imágenes que resultan de aplicar el operador de la MMT con EE de
tamaño 7 7× o mayores, las estructuras presentes ya no son distinguibles, siendo más
evidente tal degradación con el incremento del tamaño del EE. Las imágenes obtenidas
con la aplicación de las normas que entregan los mejores resultados permiten distinguir
las estructuras presentes en las mismas, siendo excepciones para niveles de ruido del 7%
o superiores y con EE de tamaños 7 7× o mayores, en donde se pierde la calidad de las
mismas.
2. Operador Cierre.
La característica del operador cierre es la de reducir o eliminar los detalles de
zonas oscuras con tamaño menor que aquel del EE, manteniendo aquellas de las zonas
brillantes. Los cortes del estudio de RM cerebral utilizado presentan imágenes
procesadas más claras que las no procesadas, además de presentar la eliminación de la
mayor cantidad de ruido presente.
La aplicación de este operador bajo las condiciones establecidas en la sección 4.4,
arrojó los siguientes resultados para los cuatro diferentes tamaños de EE aplicados en
este experimento:
114
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.002352 0.002237 0.002349 0.003175 0.003416 0.002386 0.002015
MSE 7 0.006362 0.005484 0.006341 0.008096 0.011977 0.006362 0.005020
MSE 9 0.009430 0.007921 0.009369 0.011495 0.018657 0.009382 0.007324
DE 3 0.000964 0.000679 0.000936 0.000982 0.001171 0.000936 0.000685
DE 7 0.002826 0.002025 0.002760 0.002758 0.004148 0.002744 0.002021
DE 9 0.004102 0.002959 0.003990 0.003967 0.006353 0.003965 0.002927
Tabla 4.5. Error cuadrático medio y desviación estándar para el operador cierre con un elemento estructurante gaussiano de tamaño 3 3× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.11. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
operador cierre con un EE gaussiano de tamaño 3 3× .
Para el EE de tamaño 3 3× , el operador cierre de la MMD de las normas
Hamacher, Estándar y Algebraica proporcionan mejores resultados que la MMT. Lo
óptimo se obtiene con las normas Hamacher (excepto para la medida DE, superado por
la Algebraica cuando el nivel de ruidos es del 3%). El operador de las normas de Dubois
and Prade entrega mejores resultados que la MMT sólo cuando el nivel de ruido es
superior al 7%. Las normas Acotada y Drástica presentan mayores valores que los de la
MMT, con cierta excepción para la medida DE. Existe un incremento apreciable en los
resultados de ambas medidas con el aumento del nivel de ruido, con valores
porcentuales máximos del orden de las unidades para MSE y de las décimas para DE.
115
Original Original - Estándar Original - Tradicional
3% r - Sin procesar 3% r - Estándar 3% r - Tradicional
7% r - Sin procesar 7% r - Estándar 7% r - Tradicional
9% r - Sin procesar 9% r - Estándar 9% r - Tradicional
Figura 4.12. Corte cerebral de RM sin procesar y aplicado el operador cierre con las
normas Estándar de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 3 3× .
116
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.002101 0.001926 0.001326 0.003269 0.003411 0.001337 0.001516
MSE 7 0.005007 0.004335 0.002911 0.008144 0.011953 0.002903 0.003289
MSE 9 0.007291 0.006189 0.004100 0.011496 0.018619 0.004080 0.004703
DE 3 0.000846 0.000444 0.000428 0.000972 0.001176 0.000429 0.000359
DE 7 0.002608 0.001215 0.001184 0.002655 0.004167 0.001173 0.000958
DE 9 0.003919 0.001825 0.001701 0.003782 0.006383 0.001686 0.001454
Tabla 4.6. Error cuadrático medio y desviación estándar para el operador cierre con un elemento estructurante gaussiano de tamaño 7 7× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.13. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
operador cierre con un EE gaussiano de tamaño 7 7× .
Para el EE de tamaño 7 7× , se observa ciertas variaciones en los resultados
obtenidos respecto del comportamiento obtenido para el EE de 3 3× . En este caso el
operador cierre de la MMD para los normas Estándar, Dubois and Prade, Hamacher y
Algebraica entrega mejores resultados que la MMT, siendo de mejor comportamiento el
operador de las normas Estándar para niveles de ruido del 3% y de Dubois and Prade
para los demás niveles de ruido, aunque el operador de las normas de Hamacher entrega
los mejores resultados de la medida DE. Los resultados obtenidos con las normas
Acotada y Drástica son superados por la MMT (con alguna excepción).
117
Original Original - Estándar Original - Tradicional
3% r - Sin procesar 3% r - Estándar 3% r - Tradicional
7% r - Sin procesar 7% r - Estándar 7% r - Tradicional
9% r - Sin procesar 9% r - Estándar 9% r - Tradicional
Figura 4.14. Corte cerebral de RM sin procesar y aplicado el operador cierre con las
normas Estándar de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 7 7× .
118
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.002173 0.001912 0.001173 0.003379 0.003384 0.001183 0.001495
MSE 7 0.004876 0.004290 0.002443 0.008342 0.011862 0.002444 0.003213
MSE 9 0.007026 0.006121 0.003418 0.011735 0.018478 0.003411 0.004591
DE 3 0.000869 0.000457 0.000355 0.001050 0.001194 0.000355 0.000369
DE 7 0.002742 0.001236 0.000950 0.002805 0.004229 0.000944 0.000967
DE 9 0.004149 0.001852 0.001387 0.003973 0.006480 0.001381 0.001463
Tabla 4.7. Error cuadrático medio y desviación estándar para el operador cierre con un elemento estructurante gaussiano de tamaño 11 11× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.15. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
operador cierre con un EE gaussiano de tamaño 11 11× .
Para el EE de tamaño 11 11× , se obtienen menores valores cuantitativos cuando se
utiliza las normas Algebraica, Estándar, Dubois and Prade y Hammacher, que aquellos
de la MMT. Los mejores resultados se obtienen con las normas de Dubois and Prade en
niveles de ruido superiores al 7% (para MSE, y para todos los niveles de ruido para
DE) y con las normas Estándar para los demás niveles de ruido. Los resultados de los
operadores de las normas Acotada y Drástica son mayores que los de la MMT, con una
diferencia mayor que aquella que se tiene en el caso del EE de 7 7× .
119
Original Original - Estándar Original - Tradicional
3% r - Sin procesar 3% r - Estándar 3% r - Tradicional
7% r - Sin procesar 7% r - Estándar 7% r - Tradicional
9% r - Sin procesar 9% r - Estándar 9% r - Tradicional
Figura 4.16. Corte cerebral de RM sin procesar y aplicado el operador cierre con las
normas Estándar de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 11 11× .
120
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.002325 0.001891 0.001161 0.003331 0.003338 0.001171 0.001481
MSE 7 0.005011 0.004236 0.002413 0.008218 0.011709 0.002414 0.003177
MSE 9 0.007183 0.006042 0.003375 0.011557 0.018243 0.003370 0.004537
DE 3 0.000905 0.000472 0.000364 0.001082 0.001222 0.000364 0.000380
DE 7 0.002840 0.001274 0.000969 0.002881 0.004319 0.000963 0.000993
DE 9 0.004266 0.001906 0.001413 0.004079 0.006620 0.001407 0.001500
Tabla 4.8. Error cuadrático medio y desviación estándar para el operador cierre con un elemento estructurante gaussiano de tamaño 15 15× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.17. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
operador cierre con un EE gaussiano de tamaño 15 15× .
Cuando el EE es de tamaño 15 15× , el operador cierre tiene un comportamiento
similar al que se obtiene con el EE de 11 11× , por lo que se mantiene la ventaja de las
normas Estándar y Dubois and Prade. Los resultados de la MMT siguen siendo mejores
que los que se obtienen con las normas Drástica y Acotada, pero con una mayor
diferencia respecto de lo que sucede con el EE de 11 11× .
121
Original Original - Estándar Original - Tradicional
3% r - Sin procesar 3% r - Estándar 3% r - Tradicional
7% r - Sin procesar 7% r - Estándar 7% r - Tradicional
9% r - Sin procesar 9% r - Estándar 9% r - Tradicional
Figura 4.18. Corte cerebral de RM sin procesar y aplicado el operador cierre con las
normas Estándar de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 15 15× .
122
En resumen, para el operador cierre, cuando el tamaño del EE es de 3 3× los
resultados obtenidos por la aplicación de las normas Algebraica, Estándar y Hamacher
son favorables respecto a aquellos que entrega la MMT. Para los EE de mayor tamaño
también los resultados entregados por Dubois and Prade, además de los antes
nombrados, logran superar a la MMT. Se puede afirmar que el operador de la MMD de
las normas Hamacher es el de mejor comportamiento cuando el EE es de 3 3× . Para los
demás tamaños de EE aplicados son mejores los resultados obtenidos con las normas
Estándar para niveles de ruido del 7% o menores y los de Dubois and Prade para el
nivel de ruido más alto, siendo excepción cuando el tamaño del EE es de 7 7× en el
cual también son superiores los de ésta norma para niveles de ruido del 7%.
En las imágenes procesadas se visualiza que, cuando el EE utilizado es de 3 3× se
tiene una buena resolución con los operadores de las dos Morfologías. Cuando el
operador es aplicado con un EE de tamaño 7 7× o superior, las imágenes procesadas
presentan una degradación o eliminación de las estructuras más oscuras, siendo esto
más notorio cuando se aplica el operador de la MMT y acentuándose dicha
característica con el incremento del tamaño del EE. Las imágenes obtenidas con la
aplicación de las normas que entregan los mejores resultados, permiten distinguir en
todos los casos las estructuras más claras con la perdida de aquellas que son oscuras,
acentuándose dicho comportamiento con el incremento del tamaño del EE utilizado y
del nivel de ruido, por lo que cada vez son de peor calidad las mismas.
En el primer experimento, en base a los resultados cuantitativos obtenidos, se
puede afirmar que para imágenes de RM con EE de tamaño 3 3× resulta conveniente
aplicar el operador cierre del operador de Hamacher. Las imágenes obtenidas con la
aplicación de dicho operador mantienen distinguibles las estructuras. Para EE de mayor
tamaño también se mantiene la superioridad del operador cierre de las normas Estándar
y Dubois and Prade sobre el operador apertura de las normas Hamacher, aunque
visualmente se note lo contrario.
Con el incremento del tamaño del EE se logra eliminar mayor cantidad de ruido,
y por lo tanto los resultados de las medidas realizadas son mejores para las dos
123
Morfologías, sin embargo, la calidad de las imágenes procesadas cada vez desmejoran,
ya que se pierden ciertas estructuras de la imagen o las mismas ya no son distinguibles,
agudizándose dicho comportamiento con el incremento del nivel de ruido. Además, el
costo computacional se incrementa notablemente con el incremento del tamaño del EE
utilizado.
4.5.2. Segundo Experimento: Eliminación del ruido usando filtros morfológicos
secuenciales alternados.
En este experimento se aplican los filtros secuenciales alternados de apertura-
cierre y de cierre-apertura de la MMT y de las seis normas de la MMD. Teniendo
presente las características propias de los filtros fundamentales, se espera que la
aplicación de los filtros secuenciales alternados permita eliminar el ruido y mantener las
estructuras lo más parecidas a aquellas de la imagen original. Además, debido a que los
operadores de la Morfología dependen del EE utilizado tanto en forma como en tamaño,
por lo que en este experimento también se aplica como variante el tamaño del mismo.
1. Filtro Apertura - Cierre.
La aplicación de este filtro bajo las condiciones establecidas en la sección 4.4,
manteniendo el tamaño del EE tanto para la apertura como para el cierre, los filtros
aplicados arrojó los siguientes resultados para los tres diferentes tamaños de EE
aplicados en este experimento:
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.009333 0.013334 0.010233 0.005946 0.003499 0.009978 0.015602
MSE 7 0.021480 0.019655 0.022612 0.015542 0.012060 0.021839 0.021128
MSE 9 0.031221 0.025347 0.032397 0.023802 0.018740 0.031544 0.026159
DE 3 0.001772 0.005110 0.001939 0.000924 0.001125 0.001885 0.006506
DE 7 0.005296 0.006559 0.005472 0.003989 0.004097 0.005307 0.007576
DE 9 0.008213 0.008060 0.008330 0.006567 0.006300 0.008078 0.008839
Tabla 4.9. Error cuadrático medio y desviación estándar para el filtro apertura-cierre con un elemento estructurante gaussiano de tamaño 3 3× .
124
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.19. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
filtro apertura-cierre con un EE gaussiano de tamaño 3 3× .
Para el EE de tamaño 3 3× , el filtro apertura-cierre de la MMD aplicado a través
de las normas Drástica y Acotada entrega mejores resultados en comparación con el
operador de la MMT. Lo óptimo se obtiene con el filtro de las normas Drástica, siendo
excepción la medida DE de las normas Acotada que entrega mejores resultados cuando
el nivel de ruido es del 7% o menor. Cuando el operador en la MMD se aplica con las
otras cuatro normas, los resultados de la MMT son mejores, excepto para las normas
Algebraica y Hamacher en donde la medida MSE es mejor para niveles de ruido
superiores al 3% y DE para niveles de ruido del 9%. Además, se presenta un incremento
en los resultados de ambas medidas cuantitativas con el aumento del nivel de ruido, con
valores porcentuales máximos en el orden de las unidades para la medida MSE y de las
décimas para la medida DE.
125
Original
3% r - Sin filtrar 3% r - Drástica 3% r - Tradicional
7% r - Sin filtrar 7% r - Drástica 7% r - Tradicional
9% r - Sin filtrar 9% r - Drástica 9% r - Tradicional
Figura 4.20. Corte cerebral de RM sin filtrar y aplicado el filtro apertura-cierre con las
normas Drástica de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 3 3× .
126
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.048276 0.023460 0.054128 0.008583 0.003892 0.054124 0.034772
MSE 7 0.068856 0.028960 0.059627 0.018597 0.012435 0.059082 0.038448
MSE 9 0.084076 0.034094 0.064630 0.027109 0.019102 0.063746 0.042225
DE 3 0.020800 0.009770 0.025457 0.001485 0.001054 0.025619 0.016389
DE 7 0.026612 0.010768 0.026396 0.004297 0.003891 0.026417 0.016568
DE 9 0.030532 0.011875 0.027194 0.006961 0.006081 0.027092 0.017044
Tabla 4.10. Error cuadrático medio y desviación estándar para el filtro apertura-cierre con un elemento estructurante gaussiano de tamaño 7 7× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.21. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
filtro apertura-cierre con un EE gaussiano de tamaño 7 7× .
Para el EE de tamaño 7 7× , el filtro apertura-cierre tiene un comportamiento
diferente de lo obtenido con el EE de tamaño 3 3× . En este caso los resultados de las
medidas obtenidas con la MMD son mejores que los obtenidos con la MMT, excepto
para las normas Estándar y de Dubois and Prade que son superados por la MMT cuando
el nivel de ruido es del 3%. Lo óptimo para este tamaño de EE se obtiene con las
normas Drástica.
127
Original
3% r - Sin filtrar 3% r - Drástica 3% r - Tradicional
7% r - Sin filtrar 7% r - Drástica 7% r - Tradicional
9% r - Sin filtrar 9% r - Drástica 9% r - Tradicional
Figura 4.22. Corte cerebral de RM sin filtrar y aplicado el filtro apertura-cierre con las
normas Drástica de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 7 7× .
128
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.099866 0.024478 0.061889 0.009855 0.005220 0.061898 0.035618
MSE 7 0.124160 0.029973 0.066381 0.019797 0.013702 0.065882 0.039308
MSE 9 0.141140 0.035098 0.070429 0.028258 0.020325 0.069610 0.043088
DE 3 0.054107 0.009423 0.030190 0.001932 0.002177 0.030427 0.016069
DE 7 0.063601 0.010295 0.030764 0.003792 0.003649 0.030863 0.016167
DE 9 0.069450 0.011328 0.031353 0.006321 0.005589 0.031376 0.016594
Tabla 4.11. Error cuadrático medio y desviación estándar para el filtro apertura-cierre por un elemento estructurante gaussiano de tamaño 11 11× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.23. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
filtro apertura-cierre con un EE gaussiano de tamaño 11 11× .
Para el EE de tamaño 11 11× , el filtro apertura-cierre de la MMD tiene un
comportamiento superior respecto del de la MMT. En este caso las normas Drástica
proporcionan los mejores resultados, excepto para la medida DE que para niveles de
ruido inferiores al 7% los mejores resultados se obtienen con las normas Acotada.
También es notorio el incremento que se tiene en los valores de las medidas
cuantitativas con el aumento del nivel de ruido, con valores superiores a aquellos de los
dos tamaños de EE antes utilizados, encontrándose porcentualmente con valores
máximos en el orden de decenas para MSE y de las unidades para DE.
129
Original
3% r - Sin filtrar 3% r - Drástica 3% r - Tradicional
7% r - Sin filtrar 7% r - Drástica 7% r - Tradicional
9% r - Sin filtrar 9% r - Drástica 9% r - Tradicional
Figura 4.24. Corte cerebral de RM sin filtrar y aplicado el filtro apertura-cierre con las
normas Drástica de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 11 11× .
130
En resumen, para el filtro apertura-cierre, cuando el EE es de 3 3× , los resultados
obtenidos con la aplicación del operador de las normas Acotada y Drástica son mejores
que los que se obtienen con la MMT, también los resultados de las normas Hamacher y
Algebraica son mejores para niveles de ruido del 7% y superiores. Cuando el EE es de
7 7× los resultados obtenidos con las normas de Hamacher y Algebraica, además de las
antes nombradas, son siempre superiores a los obtenidos con la MMT, incluyendo a los
resultados de las normas Estándar y Dubois and Prade para niveles de ruido superiores
al 3%. Cuando el EE usado es de 11 11× , los resultados obtenidos con todas las normas
de la MMD son mejores que los de la MMT. Se puede afirmar que para el filtro
apertura-cierre y con todos los tamaños de EE utilizados, los resultados obtenidos con
el operador Drástica presentan los mejores resultados.
En las imágenes filtradas, cuando se utiliza un EE de tamaño 3 3× se visualiza
una aparente eliminación total del ruido por parte del filtro de la MMT, pero también se
evidencia la pérdida en la definición de los bordes con el incremento del nivel de ruido.
Cuando el tamaño del EE utilizado es mayor, la MMT presenta una degradación de las
estructuras presentes en la imagen, por lo que se obtienen imágenes totalmente
destruidas. En el caso de la MMD las imágenes filtradas a través del uso de las normas
Drástica muestran una aparente conservación de la mayoría de ruido, sin embargo, los
valores del error medido indican una mejoría, sin que se haya logrado eliminar la
totalidad del ruido. La gran ventaja de la MMD es que en las imágenes filtradas por
cualquier tamaño de EE se mantienen distinguibles las estructuras que conforman la
imagen, por lo que se hace notoria la superioridad del filtro definido en esta Morfología
respecto de aquel de la Morfología Tradicional.
2. Filtro Cierre – Apertura.
La aplicación de este filtro bajo las condiciones establecidas en la sección 4.4,
manteniendo el tamaño del EE tanto para el cierre como para la apertura, los filtros
aplicados arrojó los siguientes resultados para los tres diferentes tamaños de EE
aplicados en este experimento:
131
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.007086 0.013027 0.007821 0.005110 0.003499 0.007720 0.015408
MSE 7 0.011419 0.016323 0.012234 0.009915 0.012060 0.012050 0.018510
MSE 9 0.014667 0.018750 0.015517 0.013218 0.018740 0.015273 0.020848
DE 3 0.001704 0.005453 0.001821 0.000844 0.001125 0.001816 0.007034
DE 7 0.003591 0.007421 0.003813 0.002594 0.004097 0.003797 0.009146
DE 9 0.004900 0.008755 0.005143 0.003863 0.006300 0.005126 0.010552
Tabla 4.12. Error cuadrático medio y desviación estándar para el filtro cierre-apertura con un elemento estructurante gaussiano de tamaño 3 3× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.25. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
filtro cierre-apertura con un EE gaussiano de tamaño 3 3× .
Para el EE de tamaño 3 3× , el filtro secuencial cierre-apertura de la MMD de las
normas Dubois and Prade, Estándar, Algebraica y de Hamacher proporcionan resultados
con valores mayores que los que se obtienen con la MMT. Sólo se obtiene mejores
resultados por la MMD en comparación con la MMT con las normas Acotada, y en el
caso de las normas Drástica para niveles de ruido del 3%, llegando incluso a superar al
operador de las normas Acotada. Además, se presenta un incremento en los resultados
de ambas medidas con el aumento del nivel de ruido, con valores porcentuales máximos
en el orden de las unidades para la medida MSE y de las décimas para la medida DE.
132
Original
3% r - Sin filtrar 3% r - Acotada 3% r - Tradicional
7% r - Sin filtrar 7% r - Acotada 7% r - Tradicional
9% r - Sin filtrar 9% r - Acotada 9% r - Tradicional
Figura 4.26. Corte cerebral de RM sin filtrar y aplicado el filtro cierre-apertura con las
normas Acotada de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 3 3× .
133
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.033400 0.024381 0.053533 0.006037 0.003892 0.053974 0.037509
MSE 7 0.035177 0.026265 0.054525 0.010191 0.012435 0.054943 0.038857
MSE 9 0.036502 0.027735 0.055199 0.013127 0.019102 0.055558 0.039847
DE 3 0.016642 0.010159 0.028695 0.001003 0.001054 0.028879 0.017587
DE 7 0.018605 0.011584 0.030343 0.002421 0.003891 0.030515 0.019078
DE 9 0.019962 0.012582 0.031316 0.003571 0.006081 0.031451 0.020045
Tabla 4.13. Error cuadrático medio y desviación estándar para el filtro cierre-apertura con un elemento estructurante gaussiano de tamaño 7 7× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.27. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
filtro cierre-apertura con un EE gaussiano de tamaño 7 7× .
Para el EE de tamaño 7 7× , el filtro cierre-apertura de la MMD aplicado con las
normas Hamacher, Estándar y Dubois and Prade entrega errores mayores que aquellos
de la MMT, por lo que sólo se obtiene mejores resultados para la MMD con las normas
Drástica, Acotada y Algebraica, siendo de mejor comportamiento el operador de las
normas Acotada, excepto para niveles de ruido del 3% en donde es superado por el de
las normas Drástica. Se hace notorio el incremento significativo en los valores de la
medida DE al aumentar el nivel de ruido, ya que ahora se encuentran porcentualmente
en el orden de las unidades.
134
Original
3% r - Sin filtrar 3% r - Acotada 3% r - Tradicional
7% r - Sin filtrar 7% r - Acotada 7% r - Tradicional
9% r - Sin filtrar 9% r - Acotada 9% r - Tradicional
Figura 4.28. Corte cerebral de RM sin filtrar y aplicado el filtro cierre-apertura con las
normas Acotada de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 7 7× .
135
Morfología Difusa : Tipo de Normas (T y S) utilizadas
Med.
%
r
Morfolog.
Tradicion. Algebra. Estándar Acotada Drástica Dubois-P. Hamacher
MSE 3 0.054246 0.025397 0.062889 0.007489 0.005220 0.063394 0.038436
MSE 7 0.054909 0.027226 0.063798 0.011528 0.013702 0.064230 0.039718
MSE 9 0.055439 0.028663 0.064452 0.014427 0.020325 0.064807 0.040674
DE 3 0.031882 0.009943 0.034267 0.001923 0.002177 0.034525 0.017609
DE 7 0.032770 0.011340 0.036022 0.002293 0.003649 0.036223 0.019058
DE 9 0.033685 0.012325 0.037125 0.003169 0.005589 0.037259 0.019999
Tabla 4.14. Error cuadrático medio y desviación estándar para el filtro cierre-apertura con un elemento estructurante gaussiano de tamaño 11 11× .
2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Ruido
Err
or
AlgebraicaEstandarAcotadaDrasticaDubois−and−PradeHamacherMorfologica
Figura 4.29. Representación gráfica del MSE y DE en función del nivel de ruido para el
filtro cierre-apertura con un EE gaussiano de tamaño 11 11× .
Para el EE de tamaño 11 11× , el filtro cierre-apertura de la MMD de las normas
Drástica, Acotada, Algebraica y Hamacher proporciona mejores resultados en
comparación con aquellos que se obtienen con la MMT. El filtro de mejor
comportamiento es de las normas Acotada, con excepción de MSE cuando el nivel de
ruido es del 3% en donde es superado por el operador de las normas Drástica.
136
Original
3% r - Sin filtrar 3% r - Acotada 3% r - Tradicional
7% r - Sin filtrar 7% r - Acotada 7% r - Tradicional
9% r - Sin filtrar 9% r - Acotada 9% r - Tradicional
Figura 4.30. Corte cerebral de RM sin filtrar y aplicado el filtro cierre-apertura con las
normas Acotada de la MMD y el de la MMT con un EE de tamaño 11 11× .
137
En resumen, para el filtro cierre-apertura, cuando el EE es de 3 3× los resultados
obtenidos con la aplicación del operador de las normas Acotada son mejores que
aquellos de la MMT, también los resultados de las normas Drástica para niveles de
ruido del 3%. Cuando el EE utilizado es de 7 7× el filtro bajo las normas Algebraica,
Acotada y Drástica permite obtener resultados mejores que los de la MMT. Si el EE
usado es de 11 11× el filtro de las normas Hamacher a más de las antes nombradas,
entrega también mejores resultados en comparación con los de la MMT. Se puede
afirmar que el filtro basado en las normas Drástica entrega los mejores resultados para
niveles de ruido del 3% y por las normas Acotada para los demás casos.
En las imágenes filtradas se visualiza, cuando el EE es de 3 3× , una aparente
eliminación del ruido por parte del filtro de la MMT pero también se evidencia una
pérdida en la definición de los bordes a medida que se incrementa el nivel de ruido.
Cuando el tamaño del EE utilizado es mayor, la MMT presenta una degradación de las
estructuras presentes en la imagen por lo que se obtienen imágenes destruidas. En el
caso de la MMD las imágenes resultantes de aplicar el filtro de las normas Acotada
muestran una aparente conservación de la mayor cantidad de ruido, sin embargo, los
valores del error medido indican una mejoría, sin que se haya logrado eliminar la
totalidad del ruido. A medida que el nivel de ruido se incrementa se observa que las
imágenes filtradas son más oscuras, haciéndose menos distinguibles las estructuras
presentes en la misma, con un comportamiento bastante similar para todos los tamaños
del EE utilizado.
En el segundo experimento, en base a los resultados cuantitativos obtenidos, se
puede afirmar que para imágenes de RM resulta conveniente aplicar el filtro cierre-
apertura de la MMD con un EE de tamaño 3 3× , con las normas Drástica para niveles
de ruido del 3% y por las normas Acotada para los demás niveles de ruido. Para filtros
secuenciales alternados resulta muy notoria la ventaja de la MMD frente a la MMT.
Las imágenes obtenidas con la aplicación del filtro apertura-cierre de las normas
Drástica presenta una aparente superioridad frente a lo obtenido con el filtro cierre-
apertura de las normas Acotada, pero los resultados de la medida MSE demuestran que
138
esto no sucede. Con la aplicación de filtros secuenciales alternados se logra eliminar una
gran parte del ruido presente y se obtiene una imagen filtrada en la que las estructuras
de la misma son distinguibles.
No resulta conveniente, en ninguno de los filtros secuenciales alternados ni de las
teorías (MMT y MMD), utilizar un EE de mayor tamaño al de 3 3× , ya que no se logra
mejoría alguna en los resultados obtenidos, sin embargo, el costo computacional se
incrementa notablemente con el incremento del tamaño del EE utilizado.
Por los resultados obtenidos con los tipos de operadores aplicados en los dos
experimentos, se evidencia que cuando el nivel de ruido presente en la imagen a ser
procesada es mayor, algunos de los operadores de la MMD logran eliminar mayor
cantidad de ruidos en comparación con la MMT sin degradar mayormente las imágenes
resultantes.
Además, aunque siempre existe un dominio de la MMD frente a la MMT, el
comportamiento de las diferentes normas es muy variado respecto del tipo de operador
aplicado y del nivel de ruido presente en las imágenes a ser procesadas, de ahí que
resulta conveniente no despreciar ningún operador de la MMD.
También, no siempre es conveniente realizar conclusiones sobre el
comportamiento de los operadores sólo en base a impresiones visuales, ya que en más
de un caso se puede tener la impresión de que la MMT es superior a la MMD, pero sólo
con la comparación de las medidas del error medido se evidenciará que esto no es así.
139
Capítulo 5: Conclusiones.
Esta tesis tiene como objetivo general, realizar un estudio comparativo de la
aplicación de los filtros de la Morfología Matemática Tradicional y la Morfología
Matemática Difusa a Imágenes de Resonancia Magnética.
Los filtros a comparar se aplicaron a imágenes de estudios cerebrales obtenidas de
la base de datos de imágenes simuladas del Montreal Neurological Institute. Los
algoritmos aplicados fueron desarrollados en el lenguaje Matlab.
Los operados morfológicos difusos básicos fueron definidos en base a las normas
T y S de la lógica difusa. Se utilizaron las normas: Algebraica, Estándar, Acotada,
Drástica, Dubois and Prade y Hamacher.
Para cuantificar el error se utilizó el error cuadrático medio (MSE) y su desviación
estándar (DE).
5.1. Primer Experimento: Robustez de los filtros morfológicos básicos.
El primer experimento tiene como objetivo, determinar la robustez ante la
presencia de ruido de los filtros morfológicos básicos aplicados bajo las definiciones de
la Morfología Matemática Difusa (MMD) y de la Morfología Matemática Tradicional
(MMT).
En este experimento, para el operador apertura se concluye que, el operador de las
normas Algebraicas con un elemento estructurante de 3 3× y con las normas de
Hamacher para los demás tamaños, son las que presentan mayor robustez ante la
presencia de ruido, respecto de todos aquellos que fueron aplicados. El incremento del
tamaño del elemento estructurante mejora la robustez del operador, sin embargo, la
imagen procesada es cada vez más degradada, por lo que no es conveniente utilizar
elementos estructurantes muy grandes.
140
Para el operador cierre se concluye que, el operador de las normas de Hamacher
con un elemento estructurante de 3 3× y para los demás tamaños con las normas
Estándar para niveles de ruido del 7% o menores y de Dubois and Prade para niveles de
ruido del 9%, son las que presentan mayor robustez ante la presencia de ruido, respecto
de todos aquellos que fueron aplicados. No resulta conveniente incrementar el tamaño
del elemento estructurante ya que se gana robustez del operador pero se obtiene una
imagen procesada cada vez más deteriorada.
Como conclusión del primer experimento, se puede afirmar que para imágenes de
RM, el operador de las normas de Hamacher con un elemento estructurante de 3 3× y
para los demás tamaños con las normas Estándar para niveles de ruido del 7% o
menores y de Dubois and Prade para niveles de ruido del 9%, son las que presentan
mayor robustez ante la presencia de ruido. Se tiene un mejor comportamiento de los
operadores de la Morfología Matemática Difusa.
5.2. Segundo experimento: Eliminación del ruido usando filtros
morfológicos secuenciales alternados.
El segundo experimento tiene como objetivo, determinar la capacidad de filtrado
del ruido y de conservación de las estructuras en las imágenes a través de la aplicación
de los filtros morfológicos secuenciales alternados.
En este experimento, para el filtro secuencial alternado apertura-cierre se concluye
que, para imágenes de RM resulta conveniente aplicar el filtro de la MMD de las
normas Drástica, logrando obtener una imagen filtrada que elimina parte del ruido y
conserva las estructuras de la imagen para cualquier tamaño de EE, siendo lo más
conveniente usar este filtro con un EE de 3 3× . Con el incremento del tamaño del EE y
del nivel de ruido el filtro de la MMT entrega una imagen cada vez más degradada.
Para el filtro secuencial alternado cierre-apertura se concluye que, para imágenes
de RM resulta conveniente aplicar el filtro de la MMD de las normas Drástica si el nivel
de ruido es del 3% y de las normas Acotada para los demás niveles de ruido, logrando
141
obtener una imagen filtrada que elimina gran parte del ruido y conserva las estructuras
de la imagen para cualquier tamaño de EE, siendo lo más conveniente usar este filtro
con un EE de 3 3× . Con el incremento del tamaño del EE y del nivel de ruido el filtro
de la MMT entrega una imagen cada vez más degradada.
Como conclusión del segundo experimento, se puede afirmar que para imágenes
de RM resulta conveniente aplicar el filtro cierre-apertura de la MMD con un EE de
tamaño 3 3× , ya que es notorio la ventaja de la MMD frente a la MMT. Si el nivel de
ruido presente en la imagen a ser procesada es del 3% resulta conveniente aplicar el
filtro utilizando las normas Drástica, y si el nivel de ruido es superior a dicho valor lo
mejor es aplicar el mismo filtro con las normas Acotada. Aunque visualmente en las
imágenes procesadas no sea muy notorio la ventaja del filtro cierre-apertura respecto del
filtro apertura-cierre de la MMD, el error medido si muestra dicha superioridad.
5.3. Conclusiones Generales.
Por las imágenes obtenidas y también teniendo presente los resultados
cuantitativos, se puede afirmar que el filtro aplicado que elimina mayor cantidad de
ruido pero manteniendo la mayor cantidad de estructuras en la imagen procesada en
comparación con la original, es el filtro cierre-apertura de las normas Drástica y
Acotada para un EE de 3 3× .
Con los tipos de operadores aplicados en los dos experimentos se evidencia que
cuando el nivel de ruido presente en la imagen a ser procesada es más alto, la MMD
presenta mayor robustez en comparación con la MMT.
Las imágenes procesadas con los filtros secuenciales alternados de la MMD, pese
a que visualmente no presentan mayor diferencia con la variación del tamaño del EE
utilizado, las medidas cuantitativas realizadas muestran que si existe una pérdida en la
calidad de los resultados obtenidos con el incremento del mismo.
142
De las diferentes normas T y S utilizadas en la MMD para los filtros aplicados, los
resultados obtenidos por cada una de ellas son muy variables en dependencia del filtro
aplicado y del nivel de ruido presente, por lo que no existe una ventaja marcada sobre
ninguna de las normas ni tampoco se puede descartar el uso de alguna de ellas.
Pese a que el costo computacional se incrementa notablemente con el incremento
del tamaño del EE utilizado y por los resultados obtenidos tanto cuantitativos como de
las imágenes procesadas, se concluye que cuando se realiza el filtrado de imágenes de
RM aplicando filtros no lineales de la Morfología, resulta conveniente aplicar en
cualquier caso la MMD con un EE de tamaño 3 3× para obtener una imagen filtrada
que conserva sus estructuras.
143
Apéndice A: Elemento Estructurante tipo Guassiano.
A.1. Elemento Estructurante Difuso Guassiano de tamaño 3 3× .
3 3
0.89484 0.94596 0.894840.94596 1 0.945960.89484 0.94596 0.89484
B ×
� �� �= � �� ��
Matriz de los valores que adquiere el elemento estructurante gaussiano de 3 3× .
1
1.5
2
2.5
3
1
1.5
2
2.5
30.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
tamaño transversal
Elemento Estructurante Difuso Gaussiano de 3x3
tamaño horizontal
altu
ra
Visualización tridimensional del elemento estructurante gaussiano de 3 3× .
144
A.2. Elemento Estructurante Difuso Guassiano de tamaño 7 7× .
7 7
0.36788 0.48567 0.57375 0.60653 0.57375 0.48567 0.367880.48567 0.64118 0.75747 0.80074 0.75747 0.64118 0.485670.57375 0.75747 0.89484 0.94596 0.89484 0.75747 0.573750.60653 0.80074 0.94596 1 0.94596 0.80074 0.606530.573
B × =75 0.75747 0.89484 0.94596 0.89484 0.75747 0.57375
0.48567 0.64118 0.75747 0.80074 0.75747 0.64118 0.485670.36788 0.48567 0.57375 0.60653 0.57375 0.48567 0.36788
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
Matriz de los valores que adquiere el elemento estructurante gaussiano de 7 7× .
12
34
56
7
12
34
56
7
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tamaño transversal
Elemento Estructurante Difuso Gaussiano de 7x7
tamaño horizontal
altu
ra
Visualización tridimensional del elemento estructurante gaussiano de 7 7× .
145
A.3. Elemento Estructurante Difuso Guassiano de tamaño 11 11× .
11 11
0.06217 0.10251 0.15124 0.19967 0.23588 0.24935 0.23588 0.19967 0.15124 0.10251 0.062170.10251 0.16901 0.24935 0.32919 0.3889 0.41111 0.3889 0.32919 0.24935 0.16901 0.102510.15124 0.24935 0.36788 0.48567 0.57375 0.6065
B × =
3 0.57375 0.48567 0.36788 0.24935 0.151240.19967 0.32919 0.48567 0.64118 0.75747 0.80074 0.75747 0.64118 0.48567 0.32919 0.199670.23588 0.38890 0.57375 0.75747 0.89484 0.94596 0.89484 0.75747 0.57375 0.38890 0.235880.24935 0.41111 0.60653 0.80074 0.94596 1 0.94596 0.80074 0.60653 0.41111 0.249350.23588 0.38890 0.57375 0.75747 0.89484 0.94596 0.89484 0.75747 0.57375 0.38890 0.235880.19967 0.32919 0.48567 0.64118 0.75747 0.80074 0.75747 0.64118 0.48567 0.32919 0.199670.15124 0.24935 0.36788 0.48567 0.57375 0.60653 0.57375 0.48567 0.36788 0.24935 0.151240.10251 0.16901 0.24935 0.32919 0.3889 0.41111 0.3889 0.32919 0.24935 0.16901 0.102510.06217 0.10251 0.15124 0.19967 0.23588 0.24935 0.23588 0.19967 0.15124 0.10251 0.06217
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
Matriz de los valores que adquiere el elemento estructurante gaussiano de 11 11× .
02
46
810
12
02
46
810
120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tamaño transversal
Elemento Estructurante Difuso Gaussiano de 11x11
tamaño horizontal
altu
ra
Visualización tridimensional del elemento estructurante gaussiano de 11 11× .
146
A.4. Elemento Estructurante Difuso Guassiano de tamaño 15 15× .
15 15
0.004320 0.008895 0.016390 0.027022 0.039866 0.052631 0.062177 0.065729 0.062177 0.052631 0.039866 0.027022 0.016390 0.008895 0.0043200.008895 0.018316 0.033746 0.055638 0.082085 0.108370 0.128020 0.135340 0.128020 0
B × =
.108370 0.082085 0.055638 0.033746 0.018316 0.0088950.016390 0.033746 0.062177 0.102510 0.151240 0.199670 0.235880 0.249350 0.235880 0.199670 0.151240 0.102510 0.062177 0.033746 0.0163900.027022 0.055638 0.102510 0.169010 0.249350 0.329190 0.388900 0.411110 0.388900 0.329190 0.249350 0.169010 0.102510 0.055638 0.0270220.039866 0.082085 0.151240 0.249350 0.367880 0.485670 0.573750 0.606530 0.573750 0.485670 0.367880 0.249350 0.151240 0.082085 0.0398660.052631 0.108370 0.199670 0.329190 0.485670 0.641180 0.757470 0.800740 0.757470 0.641180 0.485670 0.329190 0.199670 0.108370 0.0526310.062177 0.128020 0.235880 0.388900 0.573750 0.757470 0.894840 0.945960 0.894840 0.757470 0.573750 0.388900 0.235880 0.128020 0.0621770.065729 0.135340 0.249350 0.411110 0.606530 0.800740 0.945960 1 0.945960 0.800740 0.606530 0.411110 0.249350 0.135340 0.0657290.062177 0.128020 0.235880 0.388900 0.573750 0.757470 0.894840 0.945960 0.894840 0.757470 0.573750 0.388900 0.235880 0.128020 0.0621770.052631 0.108370 0.199670 0.329190 0.485670 0.641180 0.757470 0.800740 0.757470 0.641180 0.485670 0.329190 0.199670 0.108370 0.0526310.039866 0.082085 0.151240 0.249350 0.367880 0.485670 0.573750 0.606530 0.573750 0.485670 0.367880 0.249350 0.151240 0.082085 0.0398660.027022 0.055638 0.102510 0.169010 0.249350 0.329190 0.388900 0.411110 0.388900 0.329190 0.249350 0.169010 0.102510 0.055638 0.0270220.016390 0.033746 0.062177 0.102510 0.151240 0.199670 0.235880 0.249350 0.235880 0.199670 0.151240 0.102510 0.062177 0.033746 0.0163900.008895 0.018316 0.033746 0.055638 0.082085 0.108370 0.128020 0.135340 0.128020 0.108370 0.082085 0.055638 0.033746 0.018316 0.0088950.004320 0.008895 0.016390 0.027022 0.039866 0.052631 0.062177 0.065729 0.062177 0.052631 0.039866 0.027022 0.016390 0.008895 0.004320
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��
Matriz de los valores que adquiere el elemento estructurante gaussiano de 15 15× .
0
5
10
15
0
5
10
150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tamaño transversal
Elemento Estructurante Difuso Gaussiano de 15x15
tamaño horizontal
altu
ra
Visualización tridimensional del elemento estructurante gaussiano de 15 15× .
147
Apéndice B: Código del filtro apertura desarrollado y
ejecutado en Matlab.
B.1. Código fuente del filtro apertura.
function Test_Errores_Apert_2(Exp) % % Este algoritmo carga un experimento y calcula la apertura de la % morfología tradicional y difusa sobre la imagen original y la imagen % inmersa en ruido. % Luego calcula el error cuadrático medio entre la imagen filtrada % original y la imagen filtrada con ruido. % Utiliza la función de fuzzificación para lo cual divide por el % máximo del rango (255) y el resultado final es obtenido aplicando la % función de defuzzificación multiplicando los valores obtenidos por % 255. % En la morfología tradicional se utilizan imágenes entre 0 y 1 y se % trabaja con el mismo elemento estructurante que en la morfología % difusa. Data = lib_loadparam(Exp); Funct_Ero = str2func(Data.Funct_Ero); Funct_Dil = str2func(Data.Funct_Dil); Ruido = Data.Ruido; g = Data.g; N = Data.N; Sigma = Data.Sigma; R = Data.R; Folder = Data.Folder; pathname1 = '..\..\..\Datos\Imagenes_Simuladas\'; warning off [B] = Elemento_Estructurante(N,Sigma); %% Genera el EE for i = 11 : 160 pathname_Original = ['Ruido _0_Inhom_0\']; filename_Original = ['T1_0_0_' num2str(i,'%.3d') '.bmp']; file_Original = [pathname1 pathname_Original filename_Original]; [X,map] = imread(file_Original); X = double(X); Mask = lt(X,10); Mask = 1-Mask; if exist(['..\Apertura\' Folder ],'dir') ~= 7 mkdir(['..\Apertura\' Folder ]); end
148
if exist(['..\Apertura\' Folder '\Resultados\'],'dir') ~= 7 mkdir(['..\Apertura\' Folder '\Resultados\']); end if exist(['..\Apertura\' Folder '\Imagenes\'],'dir') ~= 7 mkdir(['..\Apertura\' Folder '\Imagenes\']); end [SIZE1,SIZE2] = size(X); Data = []; Data.Fecha = date; Data.Resolucion = [SIZE1,SIZE2]; Data.ElemEstruc = B; Data.Error_Morfologico = []; Data.Error_Morfologico_Promedio = []; Data.Experimento = Folder; Data.Ruido = Ruido; Data.Error_Difuso_Promedio = []; Data.Imagen = filename_Original; Prefi = ['Experimento_' Folder '_Imagen_' filename_Original ]; for Rui = 1 : length(Ruido) pathname2 = ['Ruido _' num2str(Ruido(Rui)) '_Inhom_0\']; filename = ['T1_' num2str(Ruido(Rui)) '_0_' num2str(i,'%.3d')
'.bmp']; file = [pathname1 pathname2 filename]; [Y,map] = imread(file); Y = double(Y); if exist(['..\Apertura\' Folder '\Imagenes\' filename],'dir')
~= 7 mkdir(['..\Apertura\' Folder '\Imagenes\' filename]); end XX = dif_fuzzy_2(X); YY = dif_fuzzy_2(Y); BB = B/10; Se = strel(BB,BB); GG = imopen(XX,Se); %% Apertura MMT - Imagen Original HH = imopen(YY,Se); %% Apertura MMT - Imagen Ruidosa G = dif_desfuzzy_2(GG,R); H = dif_desfuzzy_2(HH,R); [EM]=error_mincuad(G,H,Mask);%%Error MMT por mínimos cuadrados [EMP] = error_promedio(G,H,Mask); %% Error promedio MMT Data.Error_Morfologico(Rui) = EM; Data.Error_Morfologico_Promedio(Rui) = EMP;
149
imwrite(uint8(G),map,['..\Apertura\' Folder '\Imagenes\' filename filesep 'Apert_MM_Original.bmp']);
imwrite(uint8(H),map,['..\Apertura\' Folder '\Imagenes\'
filename filesep 'Apert_MM_Ruido.bmp']); for Fun = 1 : length(Funct_Ero) FunctName = dif_t_norma(Funct_Ero(Fun)); Data.Parametro = g; Data.Error_Difuso = []; [EE] = dif_erosion_2(Funct_Ero(Fun),B,g,X,R); %% Erosión Difusa de la Imagen Original
[E] = dif_dilatacion_2(EE,Funct_Dil(Fun),B,g,R); %% Apertura Difusa = Dilatación Difusa de la Imagen
Original Erosionada
[FF] = dif_erosion_2(Funct_Ero(Fun),B,g,Y,R); %% Erosión Difusa de la Imagen Ruidosa
[F] = dif_dilatacion_2(FF,Funct_Dil(Fun),B,g,R);
%% Apertura Difusa = Dilatación Difusa de la Imagen Ruidosa Erosionada
[ED] = error_mincuad(E,F,Mask); %% Error MMD por mínimos
cuadrados Error_Difuso(Fun,Rui) = ED; Data = setfield(Data,FunctName,Error_Difuso(Fun,:)); [EDP] = error_promedio(E,F,Mask); %% Error promedio MMD Error_Difuso_Promedio(Fun,Rui) = EDP; Data = setfield(Data,[FunctName '_Prom'],
Error_Difuso_Promedio(Fun,:)); imwrite(uint8(E),map,['..\Apertura\' Folder '\Imagenes\'
filename filesep 'Apert_fuzzy_Original' FunctName'.bmp']); imwrite(uint8(F),map,['..\Apertura\' Folder '\Imagenes\' filename filesep 'Apert_fuzzy_Ruido' FunctName '.bmp']);
end end filename2 = ['Resultados_' Prefi '.def']; lib_saveparam(['..\Apertura\' Folder '\Resultados' filesep
filename2], Data); end
150
B.2. Código de la erosión difusa. function [F] = dif_erosion_2(Funct,B,g,Option,R) % % dif_erosion_2 - Calcula la erosión difusa de una imagen % % Input: % Option - Double Matrix. Imagen original. % B - Double Matrix. Elemento estructurante. % Funct - String. Nombre de la T-Norma a utilizar. % g - Real Number. Parámetro. % R - Integer. Rango de las imágenes. % % Output: % F - Double Matrix. Imagen erosionada. % % DIF_EROSION_2 calcula la erosión difusa de una imagen. Ingresa la % imagen original (Option). Se fuzzifica la imagen (A) y luego se % calcula el complemento difuso (C) del elemento estructurante B. % Se calcula la erosión utilizando la S-Norma ingresada como % 'Funct' y se defuzzifica el resultado obtenido (F). if nargin < 4 Option = 'init'; end if strcmp(Option,'init') close all [filename, pathname, filterindex] = uigetfile('*.bmp', 'Pick an
Image'); if isempty(filename) return end Option = imread([pathname filesep filename]); end [A] = dif_fuzzy_2(Option); [C] = dif_c_estandar(B); [D] = dif_ero_s(Funct,A,C,g); [F] = dif_desfuzzy_2(D,R); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [C] = dif_c_estandar(B) % % dif_c_estandar - Calcula el Complemento Difuso Estándar % % Input: % B - Double Matrix. % % Output: % C - Double Matrix. C = 1-B;
151
function [D] = dif_ero_s(Funct,A,B,g) % dif_ero_s - Erosiona la imagen difusa % % Input: % Funct - String. Nombre de la T-Norma a utilizar. % A - Double Matrix. Imagen difusa. % B - Double Matrix. Elemento Estructurante difuso. % g - Real Number. Parámetro de la Norma a utilizar. % % Output: % D - Double Matrix. Imagen Difusa Dilatada. % % DIF_ERO_S erosiona la imagen difusa utilizando la S-Norma ingresada. % El elemento estructurante es el complemento difuso del elemento % estructurante original. D = zeros(size(A)); N = size(B,1); LI = (N+1)/2; LS = (N-1)/2; for i = LI : size(A,1)-LS for j = LI : size(A,2)-LS C = A(i-LS:i+LS,j-LS:j+LS); [T] = dif_t_norma(Funct,C,B,g); D(i,j) = min(min(T)); end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [T] = dif_t_norma(Funcion,A,B,g) % dif_t_norma - Calcula la norma % % Input: % Funcion - String. Nombre de la T-Norma. % A - Double Matrix. Imagen difusa. % B - Double Matrix. Elemento Estructurante difuso. % g - Real Number. Parámetro. % % Output: % T - Double Matrix. Imagen. % % DIF_T_Norma calcula la norma entre las matrices A y B. % % Ejemplo: % A = [0.4 0.5; 1 0.8]; % B = [0.6 0.2; 0.9 0.5]; % g = 0.2; % T = dif_t_norma(@dif_t_algebraic,A,B,g) if nargin < 2 T = Funcion([],[],[]); return end T = Funcion(A,B,g);
152
B.3. Código de la dilatación difusa. function [E] = dif_dilatacion_2(X,Funct,B,g,R) % dif_dilatacion_2 - Calcula dilatación difusa de una imagen. % % Input: % X - Double Matrix. Imagen original. % B - Double Matrix. Elemento estructurante. % Funct - String. Nombre de la T-Norma a utilizar. % g - Real Number. Parámetro. % R - Integer. Rango de las imágenes. % % Output: % E - Double Matrix. Imagen dilatada. % % DIF_DILATACION_2 calcula la dilatación difusa de una imagen. Ingresa % la imagen original (X). Se fuzzifica la imagen (A). Se calcula la % dilatación utilizando la T-Norma ingresada como 'Funct' y se % desfuzzifica el resultado obtenido (E). [A] = dif_fuzzy_2(X); [D] = dif_dil_t(Funct,A,B,g); [E] = dif_desfuzzy_2(D,R); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [D] = dif_dil_t(Funct,A,B,g) % dif_dil_t - Dilata la imagen difusa % % Input: % Funct - String. Nombre de la Norma a utilizar. % A - Double Matrix. Imagen difusa. % B - Double Matrix. Elemento Estructurante difuso. % g - Real Number. Parámetro de la Norma a utilizar. % % Output: % D - Double Matrix. Imagen Difusa Dilatada. % % DIF_DIL_T dilata la imagen difusa utilizando la T-Norma ingresada. % El elemento estructurante utilizado es difuso. La dimensión del % elemento estructurante es NxN, donde N es un número impar mayor o % igual a 3. D = zeros(size(A)); N = size(B,1); LI = (N+1)/2; LS = (N-1)/2; for i = LI : size(A,1)-LS for j = LI : size(A,2)-LS C = A(i-LS:i+LS,j-LS:j+LS); [T] = dif_t_norma(Funct,C,B,g); D(i,j) = max(max(T)); end end
153
B.4. Código para el cálculo del error cuadrático.
function [E] = error_mincuad(A,B,Mask) % % error_mincuad - Calcula el error por mínimos cuadrados. % % [E] = error_mincuad(A,B) % % Input: % A - Double Matrix. Imagen difusa. % B - Double Matrix. Elemento Estructurante difuso. % Mask - Double Matrix. % % Output: % E - Real Number. % % ERROR_MINCUAD calcula el error por mínimos cuadrados entre dos % matrices A y B. La variable de entrada Mask se utiliza cuando no se % quiere tener en cuenta el fondo de la imagen para calcular el error. if nargin < 3 Mask = ones(size(A)); end C = ((double(A)-double(B)).^2).*Mask; D = sum(sum(C)); E = D/sum(sum(Mask));
154
B.5. Código para el cálculo del error promedio.
function [E] = error_promedio(A,B,Mask) % % error_promedio - Calcula el error promedio. % % [E] = error_promedio(A,B,Mask) % % Input: % A - Double Matrix. Imagen difusa. % B - Double Matrix. Elemento Estructurante difuso. % Mask - Double Matrix. % % Output: % E - Real Number. % % ERROR_PROMEDIO calcula el error promedio por mínimos cuadrados entre % dos matrices. Primero se calcula el error por mínimos cuadrados % entre las matrices A y B. Luego, divide ese valor por la cantidad de % píxeles de la matriz. La variable de entrada Mask se utiliza cuando % no se quiere tener en cuenta el fondo de la imagen para calcular el % error. if nargin < 3 Mask = ones(size(A)); end C = error_mincuad(A,B,Mask); D = sum(sum(Mask)); E = C/D;
155
B.6. Código para el cálculo del error cuadrático medio y desviación estándar. function Analisis_Local(Exp) % % Calcula la matriz de medias y la matriz de dispersiones entre los % errores obtenidos para los diferentes cortes.
Data = lib_loadparam(Exp); Folder = Data.Folder; Operador = Data.Operador; Ruido = Data.Ruido; pathname1 = '..\..\..\Datos\Imagenes_Simuladas\'; for Rui = 1 : length(Ruido) Error_Morfologico_Promedio = []; Algebraic_Prom = []; Estandar_Prom = []; Bounded_Prom = []; Drastic_Prom = []; Dubois_Prom = []; Hamacher_Prom = []; for i = 11 : 160 pathname_Original = ['Ruido _0_Inhom_0\']; filename_Original = ['T1_0_0_' num2str(i,'%.3d') '.bmp']; Prefi1 = ['Resultados_Experimento_' Folder '_Imagen_'
filename_Original];
Prefi2 = ['..\' Operador '\' Folder '\Resultados\' Prefi1 '.def'];
Resultados = lib_loadparam(Prefi2);
Exp = Resultados.Experimento; E_M_P = Resultados.Error_Morfologico_Promedio(Rui); A_P = Resultados.Algebraic_Prom(Rui); E_P = Resultados.Estandar_Prom(Rui); B_P = Resultados.Bounded_Prom(Rui); D_P = Resultados.Drastic_Prom(Rui); Du_P = Resultados.Dubois_Prom(Rui); H_P = Resultados.Hamacher_Prom(Rui); Error_Morfologico_Promedio=[Error_Morfologico_Promedio E_M_P]; Algebraic_Prom = [Algebraic_Prom A_P]; Estandar_Prom = [Estandar_Prom E_P]; Bounded_Prom = [Bounded_Prom B_P]; Drastic_Prom = [Drastic_Prom D_P]; Dubois_Prom = [Dubois_Prom Du_P]; Hamacher_Prom = [Hamacher_Prom H_P]; end
156
Morfologico_Media(Rui) = mean(Error_Morfologico_Promedio); Algebraic_Media = mean(Algebraic_Prom); Estandar_Media = mean(Estandar_Prom); Bounded_Media = mean(Bounded_Prom); Drastic_Media = mean(Drastic_Prom); Dubois_Media = mean(Dubois_Prom); Hamacher_Media = mean(Hamacher_Prom); Media_Error(Rui,:) = [Algebraic_Media Estandar_Media Bounded_Media
Drastic_Media Dubois_Media Hamacher_Media]; Morfologico_Disp(Rui) = std(Error_Morfologico_Promedio); Algebraic_Disp = std(Algebraic_Prom); Estandar_Disp = std(Estandar_Prom); Bounded_Disp = std(Bounded_Prom); Drastic_Disp = std(Drastic_Prom); Dubois_Disp = std(Dubois_Prom); Hamacher_Disp = std(Hamacher_Prom); Dispersion(Rui,:) = [Algebraic_Disp Estandar_Disp Bounded_Disp
Drastic_Disp Dubois_Disp Hamacher_Disp]; end Analisis = []; Analisis.Experimento = Exp; Analisis.Morfologico_Media = Morfologico_Media; Analisis.Morfologico_Disp = Morfologico_Disp; Analisis.Media_Error = Media_Error; Analisis.Dispersion = Dispersion; Analisis.Orden = {'Algebraica' 'Estandar' 'Acotada' 'Drastica'
'Dubois-and-Prade' 'Hamacher'}; filename = ['Analisis_' Folder '.def']; lib_saveparam(['..\' Operador '\' Folder '\Resultados\' filesep
filename],Analisis);
157
B.7. Diseño de un experimento a ser cargado en Matlab para la aplicación del filtro
apertura. .c Funct_Ero dif_s_algebraic dif_s_estandar dif_s_bounded dif_s_drastic dif_s_dubois
dif_s_hamacher
.c Funct_Dil dif_t_algebraic dif_t_estandar dif_t_bounded dif_t_drastic dif_t_dubois
dif_t_hamacher
% Vector con valores de ruido de la imagen
.n Ruido 3 7 9
% Parámetro de la t-Norma (Dubois and Prade y Hamacher)
.n g 0.2
% Dimensión del elemento estructurante
.n N 3
% Dispersión para generar el elemento estructurante
.n Sigma 3
% Rango de las imágenes para fuzzificar
.n R 255
.s Operador Apertura
.s Folder Exp_Apert_2
158
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164
Agradecimientos
Presento mi más sincero y fraterno agradecimiento a todas las personas e instituciones
que han hecho posible mi capacitación profesional a través de esta Maestría, así como el
exitoso desarrollo del presente trabajo de tesis, de manera especial:
A los directivos de la Fundación William J. Harrintong-Ecuador, quienes son los
gestores de mi capacitación.
A la OIEA, Institución que financió mi beca.
A las autoridades del Instituto Balseiro, por brindarme la oportunidad de formar parte
de sus aulas.
A todos mis profesores de la Maestría en Física Médica, por los conocimientos y
experiencias impartidas durante mi formación.
A la Dra. Virginia Ballarín y Dr. Marcel Brun, Directora y Codirector del trabajo de
tesis, pilares fundamental en el desarrollo de la misma.
A la Lic. Agustina Bouchet, por la ayuda y aporte brindado con la elaboración de los
algoritmos aplicados en esta tesis.
Al Lic. Juan I. Pastore, por el apoyo y conocimientos compartidos durante el desarrollo
del trabajo de tesis.
A los integrantes del Laboratorio de Procesos y Medición de Señales de la Facultad de
Ingeniería de la Universidad Nacional de Mar del Plata, por la acogida que tuvieron con
mi persona y el apoyo brindado durante la elaboración de esta tesis.
A mis compañeros de la Maestría, por compartir sus experiencias y conocimientos.
