Campo Electrostático

A. J. Zozaya

17 de noviembre de 2009

Índice

Índice 11. Ley de Coulomb 22. Campo electrostático 2

2.1. Divergencia del campo electrostático, 5. —2.2. Rotacional del campo electrostático, 6.—2.3. Ecuaciones de Maxwell para el campo electrostático, 6.

3. Ley de Gauss 63.1. Utilización de la Ley de Gauss para la resolución del campo eléctrico, 8.

4. Potencial electrostático 85. Medios materiales inmersos en un campo electrostático 10

5.1. Conductores, 11 –5.1.1. Condiciones en la frontera entre un conductor y el vacío, 11 . —5.2.Dipolo eléctrico, 12. —5.3. Interacción entre un dipolo eléctrico y un campo eléctrico uniformeexterno, 13. —5.4. Dieléctricos, 14 –5.4.1. Polarización, 14. –5.4.2. Cargas ligadas o de polarización, 15. –5.4.3. Densidad de flujo y constante dieléctrica, 16. –5.4.4. Condiciones en la frontera entre undieléctrico y el vacío, 16. –5.4.5. Vector de desplazamiento eléctrico o de densidad de flujo eléctrico , 17.

6. Energía electrostática 196.1. Capacitancia, 20.

7. Problemas propuestos 21Índice alfabético 23Referencias 24

1

1. Ley de Coulomb

1r 2r

21R

0

2q1q

Figura 1: Dos cargas puntuales se-paradas una distancia R21.

Coulomb estableció experimentalmente que sobre dos car-gas eléctricas puntuales q1 y q2, separadas un distancia R, actúauna fuerza F , la cual se denomina fuerza electróstatica, que esproporcional al producto de las cargas e inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia:

F ∝ q1q2

R2 (1)

Si q1 y q2 son de polaridad opuesta, la fuerza es de atracción,y si q1 y q2 son de la misma polaridad, la fuerza es de repulsión.Además, la fuerza es colineal con el vector que une las dos cargas. Vectorialmente se escribe(figura 1):

F 21 = keq1q2

R221aR21 (2)

donde R21 = r2 − r1 y aR21 = R21/R21.En el sistema internacional SI de medidas, la constante de proporcional ke tiene un valor

numérico de 9 × 109 y se suele expresar como ke = 1/4πε0, donde ε0 es otra constantedenominada permitividad eléctrica del vacío la cual posee unidades de [Faradios/m]-

2. Campo electrostáticoLa Ecuación (2) no contempla la dependencia temporal de la fuerza electrostática, de

modo que no se puede deducir de ella como transcurre la interacción entre las cargas desdeel momento inicial en el que las cargas son colocadas en sus respectivas posiciones fijas. Ensu época, Coulomb no sabia que estaba proponiendo una ley que solo describe el régimenpermanente de la interacción entre cargas que permanecen quietas por un tiempo oportuna-mente extenso. La ley de Coulomb implica lo que se suele convenir una acción a distancia,una suerte de interacción «mágica» que se propaga a una velocidad infinita. Ciertamente estono es cierto. Hoy día se conviene en aceptar que cada carga altera su entorno, impregnán-dolo de cierta propiedad que convencionalmente se denomina «campo eléctrico», el cual vallenando paulatinamente todo el espacio, a una velocidad, cuando mucho, igual a la de la luz,y que es este campo el que luego interactúa con cualquier otra carga. Cuando este campo hainteresado todo el espacio, pasa a denominarse «campo electrostático». A la luz de lo dichoanteriormente, para apreciar en todos los puntos del espacio un campo electrostático habríaque esperar un tiempo infinito, sin embargo, si se toma en consideración una región limitadaalrededor de la carga, el campo electrostático se podrá apreciar en un tiempo aceptable.

Para medir el campo eléctrico producido por una carga puntual q fija se deberá introduciren los predios de q una carga de prueba Q suficientemente pequeña como para no perturbarel campo de la carga fija, medir la fuerza sobre Q, y dividir la fuerza por el valor de Q.Matemáticamente escribiremos

E = lımQ→0

F

Q(3)

2

Con base en la Ec. (2) y la definición dada mediante la Ec. (3), una carga puntual puesta enr′ produce en r un campo electrostático dado por:

E = q

4πε0

r − r′

|r − r′|3(4)

El vector r′ es el vector de posición del punto fuente y el vector r es el vector de posicióndel punto de observación.

Si se admite el caracter lineal del espacio libre y se postula, artificialmente, que sea posibleagrupar cualquier cantidad de cargas de una misma polaridad en una región del espacio, yque éstas puedan permanecer quietas en sus respectivas posiciones a pesar de la acciónrepulsiva del campo que ellas mismas producen, la Ec. 4 se puede generalizar para describirel campo que producen N cargas discretas fijas en el espacio o infinitas cargas infinitesimalesdistribuidas formando una línea, una superficie o un volumen, igualmente suspendidas en elvacío.

Las expresiones del campo para las distintas distribuciones de carga se resumen en elCuadro 1.Cuadro 1: Expresión del campo electrostático para diferentes distribuciones de carga. Rn = r − rn, aRn

=Rn/Rn, R = r − r′ y aR = R/R.

Distribución Campo Electrostático

Una carga puntual q E(r) = 14πε0

qR2aR

N cargas discretaspuntuales

1q2q

nq

Nq

L E(r) = 14πε0

∑Nn qn

aRnR2n

Distribución lineal decargas ρ` lρ

'Γ

E(r) = 14πε0

∫Γ′ ρ`(r′)aRR2 d`′

Distribuciónsuperficial de cargasρs

)'(rsρ'ds

'S

E(r) = 14πε0

∫S′ ρs(r′)aRR2 ds′

Distribuciónvolumétrica de cargasρν

'νd

)'(rνρ 'V

E(r) = 14πε0

∫V ′ ρν(r′)aRR2 dν ′

La solución del campo eléctrico mediante la integración de las distribuciones de carga es,en general, impracticable. Solo para unas cuantas distribuciones altamente simétricas talesintegrales tienen una solución cerrada.

3

EjemplosCuando la integración de las cargas para determinar el campo es posible, el trabajo ma-

temático se facilita si se descubre, anticipadamente, el sistema de coordenadas en el cualla expresión buscada del campo resulta más simple. Dicho sistema de coordenadas se deno-minará «natural» para ese campo y le conferirá el nombre a la simetría del problema. Porejemplo, el campo producido por una línea infinita de cargas, distribuidas uniformemente, seexpresará de manera natural en un sistema de coordenadas cilíndricas, y por ende diremosque dicho problema presenta simetría cilíndrica.

Línea de carga infinita y uniforme

El campo producido por una distribución de carga a lo largo de una línea infinita con unadensidad lineal uniforme de ρ` [C/m] vale E = ρ`

2πε0

aρρ. Este resultado se obtiene al resolver

la integral E(r) = 14πε0

∫Γ′ ρ`(r′) r−r′

|r−r′|3 d`′ para los puntos de un plano cualquiera transversala la distribución y poniendo la distribución coincidente con el eje z. Sobre dicho plano eldiferencial de campo vale dE = ρ`dz′

4πε0

ρaρ−z′az(ρ2+z′2)3/2 , como la componente en az se cancela, resulta

E(ρ) = ρ`4πε0

∫ ∞−∞

ρdz′ aρ(ρ2 + z′2) 3

2

= ρ`4πε0

1ρ

(z′√

ρ2 + z′2

)∞−∞aρ

= ρ`2πε0

aρρ

Plano infinito y uniforme

El campo producido por una distribución de carga en un plano infinito con una densidadsuperficial uniforme de ρs [C/m2] vale E = ρs

2ε0an, siendo an un vector unitario normal al

plano. Este resultado se obtiene al resolver la integral E(r) = 14πε0

∫S′ ρs(r′) r−r′

|r−r′|3 ds′ paralos puntos de un eje cualquiera perpendicular a la distribución y poniendo la distribucióncoincidente con el plano z = 0. Sobre la porción positiva de dicho eje el diferencial de campovale dE = ρsρ′dρ′dϕ′

4πε0

−ρ′a′ρ+zaz

(ρ′2+z2)3/2 , como la componente en aρ se cancela, resulta

E = ρs4πε0

∫ 2π

0

∫ ∞0

ρ′zdρ′dϕ′

(ρ′2 + z2) 32az

= ρs2ε0

z

(−1√ρ′2 + z2

)∞0az

= ρs2ε0az

4

2.1. Divergencia del campo electrostáticoCalcularemos la divergencia del campo electrostático basándonos en la expresión general

del campo E = 14πε0

∫V ′ ρν(r′)aRR2 dν ′:

∇ ·E = ∇ ·[ 14πε0

∫V ′ρν(r′)

aRR2 dν ′

]

(a) (b)

Figura 2: Representación gráfica de la distribución volumétrica de carga y el punto de observación. En 2(a) semuestra un punto fuera de la distribución. En 2(b) se muestra un punto dentro de la distribución, aislado del restode los puntos fuentes mediante un volumen Vσ.

Tomando en cuenta que el operador divergencia opera sobre las variables no primadas sepuede ingresar dentro de la integral:

∇ ·E =∇ ·[ 14πε0

∫Vρν(r′)

aRR2 dν ′

]1

4πε0

∫V ′ρν(r′)∇ ·

(aRR2

)dν ′

y como:

∇ ·(aRR2

)=

0 r 6= r′

4πδ(r − r′) r = r′

resultando que para cualquier punto fuera de la distribución –ver Fig. 2(a)– la divergenciadel campo electrostático es nula, lo cual era de esperarse ya que las fuentes escalares delcampo electrostático son las propias cargas eléctricas. En el interior de la distribución –verFig. 2(b)–, para el cáculo de ∇ ·E, procederemos a aislar el punto de observación y a dividirla integral en dos partes: una parte sobre el volumen de la distribución menos el punto deobservación considerado, y otra parte sobre el propio punto de observación. Llamando elvolumen del punto de observación Vσ, y siendo éste en principio de forma esférica, de radioσ, tal que σ tienda a cero a partir de un valor inicialmente ya pequeño, se tiene:

∇ ·E = 14πε0

∫V ′−Vσ

ρν(r′)∇ ·(aRR2

)dν ′ + 1

4πε0

∫Vσρν(r′)∇ ·

(aRR2

)dν ′

en la primera de las integrales, r′ se paseará solo por los puntos de V − Vσ por lo que r 6= r′

y ∇ · (aR/R2) = 0, mientras que en la segunda de las integrales, ρν se comportará como

5

una constante, en particular asumirá el valor que le corresponde en el punto de observaciónr′ = r, y allí ∇ · (aR/R2) = 4πδ(r − r′), de tal suerte que se obtiene:

∇ ·E = 14πε0

∫V−Vσ

ρν(r′)∇ ·(aRR2

)︸ ︷︷ ︸

0

dν ′

︸ ︷︷ ︸0

+ 14πε0

∫Vσρν(r′)︸ ︷︷ ︸ρν(r)

∇ ·(aRR2

)︸ ︷︷ ︸

4πδ(r−r′)

dν ′

︸ ︷︷ ︸ρν(r)4π

= ρν(r)ε0

(5)

2.2. Rotacional del campo electrostáticoEl rotacional del campo electrostático se puede calcular tomando el rotacional de la ex-

presión general del campo eléctrico E = 14πε0

∫V ′ ρν(r′)aRR2 dν ′, ingresando el operado ∇× al

interior de la integral y resolviendo el rotacional de aRR2 .

Facílmente se puede comprobar que

− ∂

∂x

1R

= ∂

∂x′1R

= x− x′

R3

y por tanto−∇ 1

R= ∇′ 1

R= arR2

resultando ∇× (∇ 1R

) = 0, y de esta manera

∇×E = 0 (6)

2.3. Ecuaciones de Maxwell para el campo electrostáticoJuntando los resultados anteriores, Ecs. (5) y (6), se obtienen las denominadas Ecuaciones

de Maxwell para el Campo Electrostático:

∇ ·E = ρνε0

(7)

∇×E = 0 (8)

3. Ley de GaussDada una distribución volúmetrica de carga ρν(r′), distribuida en un volumen V ′, se desea

conocer el valor del flujo de su campo eléctrico E a través de cierta superficie cerrada S, cuyovolumen interior V contiene una fracción ∆V de V ′ (∆V = V ∩ V ′), tal y como se muestraen la Fig. 3.

6

Figura 3: Cierta distribución de carga ρν(r′) se dis-tribuye en el volumen V ′ produciendo un campoeléctrico E. Se desea calcular el flujo de este cam-po a través de un superficie cerrada S, cuyo interiorcontiene una porción ∆V = V ∩ V ′ del volumenV ′. El punto r′

2 ∈ ∆V . El punto r′1 ∈ V ′ − ∆V .

La Carga Q «atrapada» en el interior de S coincidecon la contenida en ∆V : Q =

∫∆V ρν(r′) dν′.

El flujo del campo eléctrico vale

ΦES =

∮SE · ds

=∮S

[ 14πε

∫V ′ρν(r′)

arR2 dν ′

]· ds

= 14πε

∫V ′ρν(r′)

∮S

arR2 · ds dν ′ (9)

donde la cantidad subintegral aR/R2 · ds se co-noce como diferencial de ángulo solido.

En efecto, el ángulo sólido subtendido desdeel punto fuente r′ por la superficie ds con centroen el punto de observación r vale:

dΩ = aRR2 · ds (10)

Se observa que los puntos de la distribución que se encuentran en el volumen común ∆V =V ∩V ′, e.g. r′2 en la Fig. 3, subtienden un diferencial de ángulo sólido que se mantiene de unsolo signo mientras la superficie S es recorrida en el proceso de integración del flujo, e.g. ds2en la Fig. 3 barre un ángulo sólido siempre positivo, o siempre negativo, que se contabilizauna sola vez. Por otro lado, al recorrer la misma superficie desde los puntos restantes de V ′,externos a S, e.g. r′1, cada ángulo sólido ha de contabilizarse por partida doble, una vez conun signo y otra vez con signo contrario (e.g. al pasar por ds1 y −ds1 en la Fig. 3). De aquísigue:∮SE · ds = 1

4πε

∫V ′ρν(r′)

∮S

dΩdν ′

= 14πε

∫V ′−∆V

ρν(r′)∮S

dΩ dν ′ + 14πε

∫∆V

ρν(r′)∮S

dΩdν ′

= 14πε

∫∆V

ρν(r′)∮S

dΩdν ′ = Q

ε(11)

donde Q es la carga encerrada por S, o, lo que es lo mismo, la contenida en ∆V : Q =∫∆V ρν(r′) dν ′.

La Ley de Gauss se la puede obtener, también, a partir de la integración en un volumende la Ec. (7) mediante la aplicación del teorema de la Divergencia∫

V∇ ·E dν = 1

ε0

∫Vρν dν∮

S(V )E · ds = Q

ε0

donde Q es la carga contenida en V . Por esta razón, la Ec. (7) se conoce como Ley de Gausspuntual o diferencial y la Ec. (11) como Ley de Gauss en forma integral.

7

3.1. Utilización de la Ley de Gauss para la resolución del campoeléctrico

En algunos casos de elevada simetría de la distribución de cargas es posible resolverfacílmente el campo eléctrico usando la Ley de Gauss en forma integral. Para ello es necesariopoder inferir a priori la estructura del campo en un sistema de coordenadas en el cual dichaestructura quede plasmada de manera natural. Si, inferida la estructura del campo, resultaposible concebir una superficie cerrada especial SG, de modo que el campo eléctrico sea encierta porción de SG normal y uniforme, y en el resto de SG simplemente tangente, entoncesla componente perpendicular E⊥ se podrá factorizar de la integral de flujo y se la podrácalcular como la razón de la carga contenida en el interior de SG al área de la porción de SGnormal al campo E pesada por 1

ε0:

E⊥ = 1ε0

Q contenida en el interior de SGárea de la porción de SG⊥E

(12)

EjemploSe desea calcular el campo eléctrico producido por la distribución de cargas ρν = 2x2

[nC/m3].Sol.: después de pensarlo un poco nos podemos convencer de que el campo eléctrico

producido por esta distribución de cargas deberá tener la estructura E = Ex(x)ax. Eviden-temente, un cubo centrado en el origen y con sus caras paralelas a los planos coordenados,de aristas de longitud unitaria en las direcciones de los ejes y y z, y de arista que se extiendedesde −x a x en la dirección del eje x puede servir a nuestros propósitos para resolver Ex(±x)según la Ec. (12) como

Ex(x) = 1ε0

∫ 12

− 12

∫ 12

− 12

∫ x

02x2dxdydz

= 1ε0

23x

3 [nV/m]

de tal suerte que el campo eléctrico vale E = 1ε0

23x

3ax [nV/m].

4. Potencial electrostáticoEn virtud de las Ecuaciones (7) y (8), el campo electrostático se puede escribir como

E = −∇V , donde V = V (r) es una función auxiliar o potencial que se conviene en llamarfunción potencial eléctrico, o simplemente potencial eléctrico. Esta función potencial, deacuerdo al teorema de Helmholtz, tiene la siguiente apariencia:

V (r) = 14π

∫V ′

∇ ·E|r − r′|

dν ′

= 14πε0

∫V ′

ρν(r′)R

dν ′ (13)

donde R = |r − r′|.

8

¿Tiene el potencial eléctrico algún sentido físico?

Pues si. Para visualizar el sentido físico del potencial eléctrico, procederemos primero acalcular el potencial eléctrico producido por una carga puntual q. Un carga puntual en r′ sepuede representar como una distribución volumétrica de la forma: ρν(r′) = qδ(r − r′), queal sustituir en la Ec. (13) nos permite obtener:

V (r) = 14πε0

∫V ′

ρν(r′)R

dν ′

= 14πε0

∫V ′

qδ(r − r′)|r − r′|

dν ′

= q

4πε0

1|r − r′|

(14)

Poniendo la carga q, por comodidad, más bien en el origen, la Ec. (14) da lugar a laexpresión:

V (r) = q

4πε0

1r

(15)

Esta carga puntual produce, como sabemos, un campo electrostático que viene dado por:

E = −∇V

= −∇(

q

4πε0

1r

)= − q

4πε0∇(1r

)= q

4πε0

arr2 (16)

Procuremos ahora mover una segunda carga Q desde un punto r2 hasta un segundo puntor1, con r2 > r1, asumiendo que la única fuerza a vencer sea la fuerza Coulombiana que produceel campo electrostático de q sobre Q. El trabajo W que hay realizar vale W =

∫ r1r2F · d`,

donde F = −QE, y E es el campo dado por la Ec. (16) . Este trabajo vale:

W = −Q∫ r1

r2E · d`

= −Q∫ r1

r2

q

4πε0

arr2 · (drar + rdθaθ + r sin θdϕaϕ)

= − Qq

4πε0

∫ r1

r2

drr2

= Qq

4πε0

( 1r1− 1r2

)(17)

Si en la Ecuación (17) la carga Q se traslada al primer miembro se obtiene:

W

Q= q

4πε0

( 1r1− 1r2

)(18)

9

que es el trabajo por unidad de carga que es necesario realizar, en contra del campo eléctricoproducido por q, para mover cualquier carga desde r2 hasta r1. En particular, si el punto r2se colocara en el infinito, la Ec. (18) asumiría la forma:

W

Q

∣∣∣∣∣r2=∞

= q

4πε0

1r1

(19)

Facilmente se comprueba que –ver la Ec. (15)–:

W

Q

∣∣∣∣∣r2=∞

= V (r1)

A la luz de lo anterior, el potencial eléctrico en un punto r cualquiera del espacio se puedeinterpretar como el trabajo por unidad de carga que es necesario realizar en contra del campoeléctrico1, para mover cualquier carga desde el infinito hasta r. De esta forma, la Ec. (18) esla diferencia de los potenciales eléctricos en los puntos r1,2, o simplemente la diferencia depotencial entre tales puntos:

W

Q= q

4πε0

( 1r1− 1r2

)=V (r1)− V (r2)

De aquí sigue que:−∫ r1

r2E · d` = V (r1)− V (r2) (20)

ProblemaDado el campo electrostático E = K aρ

ρ, calcule el trabajo necesario para traer una carga

Q hasta ρ desde el infinito si se sabe de antemano que el trabajo necesario para traer (desdeel infinito también) una unidad de carga hasta ρ0, con ρ < ρ0, vale 1 [C×V].

Resp.: W = Q[K ln(ρ0/ρ) + 1].

5. Medios materiales inmersos en un campo electros-tático

Hasta ahora hemos estudiado el campo electrostático producido por cargas eléctricas«suspendidas» en el vacío. Queremos a partir de este punto comprender y caracterizar entérminos tanto cualitativos como cuantitativos la interacción entre el campo electrostático yalgunos tipos de medios materiales. Nos ocuparemos de revisar este asunto para dos tipos demateriales ampliamente usados en la ingeniería eléctrica: los conductores y los dieléctricos.

1En el caso de estudio el campo eléctrico considerado es producido por una carga puntual q, pero losresultados obtenidos bien valen para un campo eléctrico genérico producido por una distribución arbitrariade cargas.

10

5.1. ConductoresEn un medio conductor «perfecto», normalmente abreviado PEC –por su nombre en inglés

perfect electric conductor–, la capa de conducción se encuentra idealmente conectada a la capade valencia y los electrones de está última capa, mediante una aportación de energía eléctricaexterna nula, pueden «saltar» a la capa de conducción y moverse allí libremente, a lo largoy ancho del material. En un conductor real este salto entre capas la realizan los electronesde valencia absorbiendo una pequeña cantidad de energía del campo eléctrico externo. Alestudiar varios materiales, en la medida en que la energía eléctrica externa necesaria paraproducir el salto de electrones de valencia a la capa de conducción se incrementa, tales mediosdeberán considerarse como peores conductores. Cuando la energía eléctrica externa requeridapara producir el salto se hace infinita el material es un medio dieléctrico perfecto.

Ahora nos centraremos en describir cualitativamente los buenos conductores, los cualesasumiremos como ideales. En un conductor (ideal), sea que en él se depositen cargas libresen exceso desde el exterior (conductor cargado), o que, poseyendo una carga eléctrica nula(conductor descargado) se le exponga a un campo eléctrico externo, se cumple:

+ Las cargas en exceso en el interior, o parte de sus propias cargas, se ponen en movimientodebido a la acción del propio campo, o del campo externo, respectivamente, y terminandistribuyéndose sobre la superfice. Una vez que ha cesado todo movimiento se dice quese ha alcanzado el equilibrio electrostático y el interior del conductor queda libre decargas –en exceso–: ρν = 0.

+ Alcanzado el equilibrio electrostático el campo eléctrico resultante en el interior es nulo(E = 0) y por tanto el conductor presenta el mismo potencial en todos sus puntos.

5.1.1. Condiciones en la frontera entre un conductor y el vacío

Asumamos que cierto campo E0 actua en el vacío –ver Fig. 4(a)– y que luego incorpo-ramos cierto conductor neutro en el escenario. Esperamos que transcurra el transitorio deredistribución de la carga en el conductor y que haya cesado todo movimiento.

(a) Campo electrostático actuando en elvacío.

(b) Campo electrostático actuando en elvacío en presencia de un cuerpo conduc-tor.

Figura 4: Interacción del campo electrostático E0 con un medio conductor.

11

En ese momento se habrá alcanzado el equilibrío electrostático y cierta carga aparecerádistribuida sobre la superficie del conductor en forma de una ρs. Esta ρs inducirá un campoEs que se superpondrá a E0 dando lugar a un campo E resultante en el vacío y a un camponulo en el interior del conductor –ver Fig. 4(b)–. En la superficie de separación entre el vacíoy el conductor el campo electrostático está obligado a satisfacer la condiciones de borde quese derivan de las ecuaciones ∇×E = 0 y ∇ ·E = ρν

ε0. Tomando en cuenta que el campo en

el interior del conductor es nulo será:

an ×E = 0

an ·E = ρsε0

5.2. Dipolo eléctrico

Figura 5: Dipolo eléctrico.

Un dipolo eléctrico se puede definir a partir de un sistema dedos cargas de igual magnitud, pero de signo contrario, separadasuna distancia δ` (ver Fig. 5), haciendo disminuir esta distancia enla medida que se hace crecer el valor las cargas de tal suerte que elproducto qδ` se mantenga constante [1].

Esta idea abstracta se corresponde con la idea física de observarel par de cargas desde una distancia muy grande en comparación conla distancia δ`, desde donde el sistema discreto tiene la aparienciade un sistema puntual en el cual el campo de una carga no anula,sin embargo, el campo de la otra. El potencial en r producido por el

sistema de cargas que se muestra en la Fig. 5 vale :

V (r) = q

4πε0

(1

|r − r′ − δ`|− 1|r − r′|

)(21)

Expresando la distancia |r−r′−δ`| como |r−r′−δ`|=[|r−r′|2 + δ`2− 2(r−r′) ·δ`] 12 ,

y despreciando el término δ`2 en comparación con las cantidades |r− r′|2 y 2(r− r′) · δ`, laraíz cuadrada se la puede resolver mediante la siguiente expansión binomial

|r − r′ − δ`|−1 ≈ |r − r′|−1[1− 2(r − r′) · δ`

|r − r′|2

]− 12

≈ |r − r′|−1[1 + (r − r′) · δ`

|r − r′|2+ . . .

](22)

donde no se han incluido explícitamente los términos que contienen potencias iguales o ma-yores a dos de la distancia δ`. Sustituyendo la Ec. (22) en la Ec. (21) y despreciando lostérminos que contienen potencias del tipo δ`n, con n ≥ 2, se obtiene

V (r) ≈ q

4πε0

δ` · (r − r′)|r − r′|3

(23)

Si nos alejamos lo suficiente del sistema, como anunciábamos al principio, de tal suerteque δ` → 0, en cuyo caso toma sentido el haber despreciado los términos del tipo δ`n, con

12

n ≥ 2, en la Ec. (23), y que q → ∞, y tal que el producto qδ` se mantenga constante, elsistema de la Fig. 5 se convierte en un dipolo eléctrico al cual se asocia unmomento dipolareléctrico p definido como p = qδ` [C·m]. En este caso, la Ec. (21) se puede reescribir de laforma compacta

V (r) ≈ 14πε0

p · (r − r′)|r − r′|3

(24)

El campo eléctrico producido por un dipolo eléctrico se puede obtener por superposición ymediante la aplicación de aproximaciones similares a las contenidas en la expansión binomialde la Ec. (22)[1]:

E(r) = q

4πε0

(r − r′ − δ`|r − r′ − δ`|3

− r − r′

|r − r′|3

)

≈ 14πε0

[3p · (r − r′)|r − r′|5

(r − r′)− p

|r − r′|3

](25)

Para un dipolo ubicado en el origen, sobre el eje z, y orientado en la dirección de az, lasexpresiones del potencial y del campo eléctrico dadas en las Ecs. (24) y (25), respectivamente,se especializan de la forma

V (r) ≈ 14πε0

p · arr2

E(r) ≈ 14πε0

1r3 [(3p · ar)ar − p]

las cuales, resolviendo los productos escalares, dan lugar a las siguientes expresiones aún másdetalladas

V (r) ≈ p

4πε0

cos θr2

E(r) ≈ 14πε0

p

r3 [2 cos θar + sin θaθ]

5.3. Interacción entre un dipolo eléctrico y un campo eléctricouniforme externo

Al someter un dipolo eléctrico a la acción de un campo eléctrico externo E, uniforme, suscargas constitutivas experimentan una fuerza de igual magnitud pero de orientación opuesta.Por esta razón, el dipolo no se traslada. El dipolo, sin embargo, experimenta un torque T ,cuyo valor se puede calcular independientemente del punto de referencia. Tomando comopunto de referencia la carga negativa del dipolo, se obtiene que este torque vale:

T = δ`× F= δ`× qE=p×E (26)

Al utilizar la regla de la mano derecha, facilmente se comprueba, a partir de la Ec. (26)que el torque tiende a alinear el dipolo con el campo eléctrico.

13

5.4. DieléctricosEn los átomos de los materiales dieléctricos la última capa se encuentra bastante llena de

electrones por lo que, a menos que éstos materiales sean expuestos a campos eléctricos muyintensos, el fenomeno de la conducción, así como se presenta en los conductores, no ocurre.

Desde el punto de vista eléctrico, los medios materiales dieléctricos se pueden pensar comoconstituidos de moléculas de dos tipos: las polares –6(a)– y las no polares –6(b)–. En las delsegundo tipo, los centros geometricos de la cargas negativa y positiva coinciden, y ante laacción de un campo eléctrico externo éstos se separan formando un pequeño dipolo eléctricoelemental que tiende a orientarse paralelamente al campo.

+- +-

+-

+-

+

-

+ -

+

-

+-

+-

+- +

-

+-

+-

+-

(a) Moléculas pola-res.

±±

± ±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

(b) Moléculas nopolares.

+- +-

+-

+-

+-

+-+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

(c) Medio polariza-do.

Figura 6: Polarización de un dieléctrico: aproximación macroscópica.

En los medios materiales constituidos por moleculas polares, ya éstas constituyen dipoloseléctricos elementales, pero orientados aleatoriamente –ver Fig. 6(a)– de tal forma que ningúnefecto electrico promedio se puede medir de ellos. Ambas moléculas, ante la acción de uncampo eléctrico externo, uniforme, experimentan un torque que las tiende a alinear con elcampo eléctrico –ver Fig. 6(c)–.

5.4.1. Polarización

La reacción anteriormente descrita de las moléculas de un dieléctrico ante la acción de uncampo eléctrico externo, o primario, se conoce como «polarización eléctrica». La polarizaciónelectrica se define formalmente mediante una cantidad macroscópica denominada vector dePolarización eléctrica P . El vector de polarización eléctrica P es una suerte de promediovolumétrico del momento dipolar y es una función de la posición dentro del medio material:

P = lım∆V→0

∑Nn pn∆V (27)

donde N es el número de dipolos eléctricos elementales presentes en un volumen ∆V , pn esel momento dipolar asociado al dipolo n-ésimo y ∆V es un pequeño volumen incremental encuyo centro se desea definir a P .

Desde el punto de vista matemático, el límite de la Ec. (27) implica reducir el volumenincremental ∆V a dimensiones infinitesimales, pero desde el punto de vista macroscópico,

14

que es el escenario donde tiene sentido nuestro modelo, no se debe empujar este límite másallá de la continuidad de la materia.

Con base en la definición anterior, un diferencial de volumen –en el punto r′– de undieléctrico polarizado, en cuyo interior se encuentran millones y más moléculas polarizadas,tendrá asociado un momento dipolar promedio que vale: dp(r′) = P (r′)dν ′, y produce en unpunto r de observación, un diferencial de potencial eléctrico que, de acuerdo con la Ec. 23,tiene la forma:

dV (r) = 14πε0

P (r′)dν ′ · aRR2

De esta forma, todo el dieléctrico produce un potencial eléctrico en r dado por la superposiciónde las infinitas contribuciones que hacen los infinitos dipolos promedios presentes en él quevale:

V (r) = 14πε0

∫V ′

P · aRR2 dν ′ (28)

5.4.2. Cargas ligadas o de polarización

La Ecuación (28), tomando en cuenta que aR/R2 = −∇(1/R) = ∇′(1/R), puede sermanipulada matemáticamente de la siguiente manera:

V (r) = 14πε0

∫V ′

P · aRR2 dν ′

= 14πε0

∫V ′P (r′).∇′

( 1R

)dν ′

y usando la propiedad: ∇ · (Aϕ) = ϕ∇ ·A+A · ∇ϕ:

V (r) = 14πε0

∫V ′∇′ ·

[P (r′)R

]dν ′ + 1

4πε0

∫V ′

−∇′ · P (r′)R

dν ′

= 14πε0

∮S′

P (r′)R· ds′ + 1

4πε0

∫V ′

−∇′ · P (r′)R

dν ′

= 14πε0

∮S′

ρspo`(r′)R

ds′ + 14πε0

∫V ′

ρνpo`(r′)R

dν ′

donde S ′ es la superficie exterior del dieléctrico, ρspo`(r′) = P (r′) · an(r′) es una densi-dad superficial de cargas ligadas de polarización y ρνpo`(r′) = −∇′ · P |r′ es una densidadvolumétrica de cargas ligadas de polarización.

Al introducir estas densidades de cargas ligadas, el cuerpo dieléctrico puede ser extraídodel problema y ser sustituído por aquellas. De esta forma, el problema de obtener el potencialelectrostático que el medio polarizado produce en el espacio es reconducido a la integración delas cargas de polarización, en lugar del propio Vector de Polarización. En todo caso, el gradode dificultad del problema reconducido permanece inalterado respecto del original, porqueel conocimiento de las densidades de cargas de polarización pasa por conocer el Vector dePolarización. Este procedimiento solo tiene valor didáctico, porque en un problema dado, estasdensidades de cargas (o el Vector de Polarización) no pueden conocerse a priori, sino despuésde haber resuelto el campo eléctrico resultante. En este sentido, debemos tener presente quela polarización del dieléctrico se produce no solo por la acción de campo eléctrico primario,

15

sino también por la acción del campo electrico que la polarización inducida va creando, elcual se superpone al primario, dando lugar a un campo eléctrico total que va produciendomás polarización, y que por tanto, la descripción que hemos hecho tiene sentido cuando sehaya alcanzado el equilibrio electrostático.

5.4.3. Densidad de flujo y constante dieléctrica

Asumamos que cierto campo E0 actua en el vacío –ver Fig. 7(a)– y que luego incorpo-ramos cierto dieléctrico neutro en el escenario. Esperamos que transcurra el transitorio dereacomodación de los dipolos elementales en el dieléctrico y que haya cesado todo movimiento.

(a) Campo electrostático actuando en elvacío.

(b) Campo electrostático actuando en elvacío en presencia de un cuerpo dieléctri-co.

Figura 7: Interacción del campo electrostático E0 con un medio dieléctrico.

En ese momento se habrá alcanzado el equilibrío electrostático y el dieléctrico se habrápolarizado. La polarización del dieléctrico se podrá tratar mediante la incorporación en elproblema de cierta carga distribuida sobre la superficie del dieléctrico, en forma de unaρsp = P ·an, y, si el dieléctrico no fuese homogéneo, de cierta carga distribuida en el interior,en forma de una ρνp = −∇ · P –ver Fig. 7(b)–. Estas cargas de polarización inducirán uncampo Es fuera y un campo Et dentro, los cuales se superpondrán a E0 dando lugar alcampo E2 en el vacío y al campo E1 en el interior del dieléctrico.

5.4.4. Condiciones en la frontera entre un dieléctrico y el vacío

En la superficie de separación entre el vacío y el dieléctrico el campo electrostático estáobligado a satisfacer la condiciones de borde que se derivan de las ecuaciones ∇×E = 0 y∇ ·E = ρν

ε0. De esta forma tenemos:

an × (E2 −E1) = 0

an · (E2 −E1) = ρsε0

16

5.4.5. Vector de desplazamiento eléctrico o de densidad de flujo eléctrico

Si entre los intersticios microscópicos de un cuerpo dieléctrico infinito, no homogéneo,se lograrán introducir cargas libres en forma de una distribución estática, éstas produciríanun campo eléctrico inicial que polarizaría el dieléctrico dando lugar a la aparición de ciertadensidad volúmetrica de cargas ligadas en él. Alcanzado el equilibrio electrostático, tanto lascargas libres introducidas inicialmente, como las inducidas de polarización, se constituiránen fuentes del campo eléctrico resultante. Por esta razón, al tomar la divergencia del campoelectrico en el interior del dieléctrico será: ∇ · E = 1

ε0(ρv|libres + ρνpol). Tomando en cuenta

que ρνpo` = −∇ · P , se podrá escribir

∇ · (ε0E + P ) = ρv|libres

Ahora bien, en el interior de ciertos dieléctricos, la polarización P es directamente propor-cional al campo eléctrico que se establece: P ∝ E. En estos casos, la relación entre ambosvectores se puede espresar de la forma

P = ε0χeE (29)

donde χe, la cual es una cantidad adimensional, es un parámetro propio (intrínseco) de cadamaterial denominado susceptibilidad eléctrica.

En la Teoría de Campos macroscópica en lugar de trabajar con el vector P se sueleemplear el vector de desplazamiento eléctrico, o de densidad de flujo eléctrico, D, el cual sedefine como

D = ε0E + P (30)El vector D tiene las mismas dimensiones que P : [C/m2] y tiene una relación simple con

E en aquellos materiales en los que P es proporcional a E. En efecto, sustituyendo la Ec.(29) en la Ec. (30) se obtiene:

D = ε0E + ε0χeE

= ε0 (1 + χe)︸ ︷︷ ︸εr︸ ︷︷ ︸ε

E

D = εE (31)

donde εr es la permitividad relativa o constante dieléctrica del medio y es una cantidadadimensional, y ε = εrε0 es la permitividad absoluta o simplemente permitividad delmedio y se mide en [F/m].

Con base en la Ec. (31) podemos escribir:

∇×D = (∇ε)×E∇ ·D = ρν

donde ρν solo comprende las cargas libres. Por esta razón, en la interfaz dieléctrico-vacío secumple

an · (D2 −D1) = 0 (32)

17

Por otro lado, en medios genéricos la relación entre P y E, y por ende entre D y E, noes tan simple como D = εE, donde ε es un parámetro constante. En efecto:

en los medios no lineales, el parámetro ε es una función de la intensidad del campo:ε = ε(E):

D = ε(E)E

en los medios no homogéneos, el parámetro ε varía con el punto ε = ε(r):

D = ε(r)E

y en los medios anisotrópicos, ε es un tensor ya que P , y por ende D, no es paralelo alcampo E: Dx

Dy

Dz

=

εxx εxy εxzεyx εyy εyzεzx εzy εzz

ExEyEz

En este curso, a menos que se especifique otra cosa, estaremos tratando con medios homogé-neos, lineales e isotrópicos, los cuales se denominan medios simples. Los medios simples seránnuestros medios por defecto.

ProblemaDado un medio material caracterizado por

←→ε = ε0

1 0 00 1,6 00 0 1,8

en el que existe un campo eléctrico uniforme E = 2ax + ay − 5az [V/m], calcule: (a) eltensor de susceptibilidad eléctrica←→χe , (b) el vector de polarización P , (c) el momento dipolarpromedio en la dirección de az en un 1 cm3 de material, y (d) el vector de desplazamientoeléctrico D.

Resp.: (a) Como ←→χe =←→εr − I, será:

←→χe =

0 0 00 0,6 00 0 0,8

(b) P = ε0(0,6ay − 4az) [C/m2], (c) ∆p = −4× 10−6ε0az [C×m], (d) D = ε0(2ax +1,6ay − 9az) [C/m2].

18

6. Energía electrostáticaAl conformar una distribución de cargas se debe «gastar» cierta energía que, luego,

mientras perdura la distribución, queda almacenada en el campo eléctrico de la distribuciónen forma de energía electrostática. Se puede admitir que la energía se ha consumido(transformado) en la creación del campo (que la almacena). En un medio lineal, una expresiónanalítica de la energía electrostática, almacenada por un sistema de cargas discretas, se puedeobtener sumando el trabajo individual requerido para poner cada una de las cargas en su lugardentro de la distribución, trayéndolas desde el infinito una por una. En efecto, despreciandoel trabajo original realizado en la «fabricación» de cada carga, al traer la primera carga asu posición virtualmente no es necesario realizar ningún trabajo. Al traer la segunda cargarealizaremos un trabajo par a q2V21, donde V21 es el potencial producido por la carga 1 enel punto ocupado por la carga 2. Al traer q3 realizaremos un trabajo par a q3(V31 + V32),donde V31 + V32 es el potencial producido por las cargas 1 y 2 en el punto ocupado por q3.Así, sucesivamente, tocará finalmente traer la carga última N−ésima, realizando un trabajopar a qN

∑N−1n=1 VNn = qNVN , donde VN = ∑N−1

n=1 VNn es el potencial producido por el restode las cargas en el punto ocupado por qN . La repetición del experimento anterior en ordeninverso nos permite calcular nuevamente el mismo trabajo, cuya suma 2We resulta par a2We = ∑N

n qnVn, de donde se desprende que

We = 12

N∑n

qnVn [J]

donde Vn es el potencial en el punto ocupado por la carga qn debido a las N − 1 cargasrestantes de la distribución.

Cuadro 2: Energía electrostática acumulada por una distribución de cargas. Vn debe leerse como el potencial enel punto ocupado por la carga qn debido a las N − 1 cargas restantes de la distribución. V se debe interpretar demanera análoga.

Distribución Energía almacenada y densi-dad de energía

N cargas puntuales We = 12∑Nn qnVn [J]

Distribución volumétrica decargas

We = 12∫V ρν(r)V (r) dν [J]

We = 12∫V D(r) ·E(r) dν [J]

Densidad de energía eléctrica ωe = 12D ·E [J/m3]

Una generalización de este resultado al caso de una distribución continua de cargas seobtiene usando cargas infinitesimalmente pequeñas qn ρνdν, trayendo un infinito número

19

de éstas y juntándolas de forma continua en cierto volumen. Sobre cada una de estas cargasserá necesario efectuar un trabajo infinitesimal del orden de ρνV dν. La suma de estos trabajosse convierte en una suma continua ∑

∫V . En el cuadro 2 se indican las expresiones

analíticas de la energía eléctrica almacenada en el campo eléctrico de varias distribuciones decargas. Una expresión equivalente de laWe se obtiene expandiendo el volumen de integracióninfinitamente (V V∞) y valiéndonos de la relación ρν = ∇ ·D, de la siguiente manera:

We = 12

∫V∞

ρνV dν = 12

∫V∞

(∇ ·D)V dν

usando la identidad vectorial ∇ · (VD) = V∇ ·D +D · ∇V y el Teorema de la Divergencia12

∫V∞

(∇ ·D)V dν = 12

∫V∞∇ · (VD) dν − 1

2

∫V∞D · ∇V dν

= 12

∫S∞

VD · an ds+ 12

∫V∞D ·E dν

y tomando en cuenta que V ∝ 1R, D ∝ 1

R2 y ds ∝ R2: 12∫S∞ VD · an ds→ 0, sigue que:

We = 12

∫V∞

ρνV dν

= 12

∫V∞D ·E dν (33)

La cantidad subintegral 12D ·E tiene dimensiones de [J/m3] y constituye la densidad de

energía (eléctrica) ωe del campo eléctrico.

6.1. CapacitanciaCuando se fuerza una diferencia de potencial entre dos cuerpos conductores, originalmente

neutros, necesariamente se produce una redistribución de cargas eléctricas a expensas decierto consumo de energía externa (eventualmente química, aportada por una batería, porejemplo). La cargas movilizadas, alcanzado el equilibrio electrostático, terminan distribuidaspreponderantemente sobre las superficies «enfrentadas» de los conductores creando un campoE que almacena, en forma de energía electrostática, el correspondiente trabajo realizado. Eneste sentido, un sistema de dos conductores es capaz de «almacenar energía».

Figura 8: Sistema de dos conductores inmersos en un mediodieléctrico al cual se le puede atribuir una Capacitancia.

La cantidad de energía electrostáticaalmacenada es, en general, una funciónde la geometría del sistema y del mediodieléctrico de relleno. Una medida de lacapacidad de almacenamiento de energíaeléctrica de un sistema como éste bienpodría ser la razón de carga distribuida(∆Q) a trabajo realizado por unidad decarga (∆V ):

C = ∆Q∆V =

∮S εE · ds−∫+− E · d`

(34)

20

C recibe el nombre de capacitancia y es un parámetro geométrico del sistema ampliamenteutilizado en la Teoría de Circuitos. De esta suerte, al comparar dos de estos sistemas, distintosentre si, forzando cierta ∆V entre sus dos cuerpos conductores componentes, almacenarámayor energía aquél donde las cargas redistribuidas sobre la superficie sea mayor.

ProblemaCalcule la capacitancia por unidad de longitud de un sistema constituido por dos cilin-

dros conductores concéntricos si el espacio entre ambos conductores está ocupado por dosdieléctricos como se ilustra en la Fig. 9 (No proceda postulando que 1

C= 1

C1+ 1

C2).

Figura 9: Corte transversal del sistema bajo estudio del problema.

Resp.: C∆` = 2π

ln(c/b)ε2

+ ln(b/a)ε1

[F/m].

7. Problemas propuestos1. Una línea de carga de longitud L finita tiene una densidad de carga lineal ρL [C/m]

uniforme. Suponiendo la linea yacente sobre el eje x, calcule:

a) El potencial V en el plano que divide en dos partes iguales la línea de carga.b) El campo electrostático E directamente a partir de ρL (integrando).

2. Una distribución de carga lineal ρL [C/m] uniforme tiene forma circular con radio a[m]. Calcule:

a) El potencial V en los puntos sobre la línea central y perpendicular a la distribución.b) El campo electrostático E directamente a partir de ρL (integrando).

3. Demuestre que en la superficie interior de un conductor hueco no se depositan cargasa menos que existan cargas libres en la cavidad.

4. Dado el sistema de conductores que se muestra en la Fig. 10, el cual consiste en trescilindros conductores concéntricos e infinitos: un cilindro interno macizo de radio a, uncilindro intermedio hueco de radio interior b y exterior c, y un cilindro externo, tambiénhueco, de radios interior y exterior, d y e, respectivamente, resuelva las densidades decargas libres (ρs|libres) y de polarización (ρspol) en ρ = a, b, c, d, e, una vez alcanzado elequilibrio electrostático, si se depositan en exceso Q0 [C] por unidad de longitud en:

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a) el cilindro interno, si el resto de los conductores se mantienen eléctricamente neu-tros.

b) el cilindro intermedio, si el resto de los conductores se mantienen eléctricamenteneutros.

c) el cilindro externo, si el resto de los conductores se mantienen eléctricamenteneutros.

Figura 10: Vista del sistema de conductores cilíndricos concéntricos del Problema 3. En la región a < ρ < b:ε1 = ε0e−

ρ−ab−a y en la región c < ρ < d: ε2 = 10ε0.

5. Dada una distribución volumétrica de cargas libres ρν = ρ2 [C/m3] (ρ en m), determine:

a) El campo electrostático en todos los puntos del espacio.b) La energía electrostática por unidad de volumen en el espacio.c) Si el espacio se supone ocupado por un medio de permitividad ε, calcule ρνp.

6. Dada una distribución volumétrica de cargas libres ρν = ρ0r [C/m3], determine:

a) El campo electrostático en todos los puntos del espacio.b) La energía electrostática por unidad de volumen en el espacio.c) Si el espacio se supone ocupado por un medio de permitividad ε, calcule ρνp.

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Índice alfabéticoCapacitancia, 20cargas ligadas de polarización, 15conductores, 11constante dieléctrica, 17

densidad de flujo eléctrico, 17dieléctricos, 14diferencial de ángulo solido, 7dipolo eléctrico, 12divergencia del campo electrostático, 5

energía electrostática, 19

fuerza electróstatica, 2

ley de Coulomb, 2ley de Gauss, 6

medios anisotrópicos, 18medios no homogéneos, 18medios no lineales, 18medios simples, 18momento dipolar eléctrico, 13

permitividad, 17permitividad absoluta, 17permitividad relativa, 17Polarización eléctrica, 14potencial electrostático, 8punto de observación, 3punto fuente, 3

rotacional del campo electrostático, 6

susceptibilidad eléctrica, 17

Vector de desplazamiento eléctrico, 17

23

Referencias[1] Reitz/Milford/Christy. Fundamentos de la teoría electromagnética. Addison-Wesley Ibe-

roamericana, USA, 1984.

24