ElectrostáticaElectrostáticaCampo electrostático y potencialCampo electrostático y potencial

1. Carga eléctrica1. Carga eléctrica

Electrostática = estudio de las cargas Electrostática = estudio de las cargas eléctricas en reposoeléctricas en reposo

Unidad de carga = el electrón Unidad de carga = el electrón e=e= 1.602177x 101.602177x 10--1919 CC

++ --

repulsión

+-

atracción

1.1 Constituyentes de la materia1.1 Constituyentes de la materia

001.67x 101.67x 10--2727neutrónneutrón+1.6x 10+1.6x 10--19191.67x 101.67x 10--2727protónprotón--1.6x 101.6x 10--19199.1x 109.1x 10--3131electrónelectrón

Carga (C)Carga (C)Masa (Masa (kgkg))PartículaPartícula

Z = número electrones = número protonesA = número protones + neutrones

Elemento

IsótopoUn átomo tiene el mismo número de

electrones que de protones es neutro ;

Ión positivo : le faltan electrones

Ión negativo: tiene electrones añadidos

0=⋅−⋅= ep qZqZQ

ee qnQ ⋅+=

ELECTRÓN

ee qnQ ⋅−=

-+

--

-

++ +

1.2 Conservación de la carga1.2 Conservación de la carga

La carga ni se crea ni se destruye La carga ni se crea ni se destruye se se tranfieretranfiere

Entre átomosEntre átomosEntre moléculasEntre moléculasEntre cuerposEntre cuerpos

La suma de todas las cargas de unsistema cerrado es constante

1.3 Carga por inducción1.3 Carga por inducción

Bolaneutra

Bolacargadanegativa

lanaVarilla deplástico

Electroscopio.Al acercar una bolita cargada las láminas adquieren carga y se separan.

Bola y varilla se repelenIgual carga

2. Conductores y aislantes2. Conductores y aislantesAislantes : materiales en los que la carga Aislantes : materiales en los que la carga eléctrica no se puede mover libremente.eléctrica no se puede mover libremente.

Madera, plástico, roca …Madera, plástico, roca …

Conductores: los electrones tienen libertad de Conductores: los electrones tienen libertad de movimiento.movimiento.

Metales, ..Metales, ..

Semiconductores: se pueden comportar como Semiconductores: se pueden comportar como conductores o como aislantes.conductores o como aislantes.

3.1 Ley de 3.1 Ley de CoulombCoulomb. . FenomenologíaFenomenología

La fuerza entre cargas La fuerza entre cargas puntuales está dirigida a lo puntuales está dirigida a lo largo de la línea que las largo de la línea que las une.une.La fuerza varía La fuerza varía inversamente proporcional inversamente proporcional con el cuadrado de la con el cuadrado de la distancia que los separa y distancia que los separa y es proporcional al es proporcional al producto de las cargas.producto de las cargas.La fuerza es repulsiva si La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo las cargas son del mismo signo y atractiva si son de signo y atractiva si son de signo diferente.signo diferente.

q1

q2

r1

r2

r12

F12

F21

F12 + F21 = 0

r1 - r2 = r12

3.2 Ley de 3.2 Ley de CoulombCoulomb. Fórmula. Fórmula

Fuerza ejercida por q1 Fuerza ejercida por q1 sobre q2sobre q2

kk constante de constante de CoulombCoulombεε00 Permitividad del Permitividad del vacvacííoo

q1

q2

r1

r2

r12

F12

F21

F12 + F21 = 0

r1 - r2 = r12

12212

2112 r̂

rqqkF =

r

2291099.8 CNmk ×=

041πε

=k

22120 1085.8 NmC−×=ε

3.3 Ley de 3.3 Ley de CoulombCoulomb. Sistema de . Sistema de cargascargas

Principio de superposición de fuerzasPrincipio de superposición de fuerzas: La fuerza : La fuerza neta ejercida sobre una carga es la suma neta ejercida sobre una carga es la suma vectorialvectorial de de las fuerzas individuales ejercidas sobre dicha carga las fuerzas individuales ejercidas sobre dicha carga por cada una de las cargas del sistema.por cada una de las cargas del sistema.

Cargas discretas

∑∑ ==i

ii

i

iiTotal r

rqqkFF rrr30 dqr

rqkFdFTotal ∫∫ ==rrr

30

Distribución continua de carga

4. Campo eléctrico4. Campo eléctricoLa fuerza eléctrica supone una acción a distancia.La fuerza eléctrica supone una acción a distancia.Ejemplo: carga Ejemplo: carga AA y carga y carga BB

La carga A causa una modificación de las propiedades La carga A causa una modificación de las propiedades del espacio en torno a ella.del espacio en torno a ella.La carga (prueba) B percibe esta modificación y La carga (prueba) B percibe esta modificación y experimenta una fuerzaexperimenta una fuerza

Consideremos que B puede estar en cualquier punto y Consideremos que B puede estar en cualquier punto y tener cualquier valortener cualquier valor

La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el campocampo

La fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado es La fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado es ejercida por el campo eléctrico creado por otros ejercida por el campo eléctrico creado por otros cuerpos cargadoscuerpos cargados

)(3 ABAB

BAAB rr

rrqqkF rrr

−−

=

)(3 AA

AA rr

rrqkqF rrr

−−

=

AA EqFrr

=

4.1 Campo eléctrico cargas 4.1 Campo eléctrico cargas puntualespuntuales

Carga positiva = Carga positiva = fuentefuente

Carga negativa = Carga negativa = sumiderosumidero

-+

rrqkrE rr3)( −=r

rqkrE rr3)( =

RadialesProporcionales a la cargaInversamente proporcionales al cuadrado de la

distancia

4.2 Campo eléctrico. Sistema de 4.2 Campo eléctrico. Sistema de cargascargas

Principio de superposición de camposPrincipio de superposición de campos: El : El campo neto creado por un sistema de cargas campo neto creado por un sistema de cargas es la suma es la suma vectorialvectorial de los campos creados por de los campos creados por cada una de las cargas del sistema.cada una de las cargas del sistema.

Cargas discretas

∑∑ ==i

ii

i

iiTotal r

rqkEE rrr3 dq

rrkEdETotal ∫∫ == 3

rrr

Distribución continua de carga

4.3 Campo creado por un dipolo4.3 Campo creado por un dipoloDipolo = carga positiva y carga Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) negativa de igual valor (q) situadas a una distancia muy situadas a una distancia muy pequeña ( pequeña ( ll = 2a ).= 2a ).Campo total = suma de camposCampo total = suma de campos

Aproximación r>> Aproximación r>> ll

- +-a a

rr-a

r+a

)()( 33 ararqkar

arqkE rr

rrrr

rrr

++

−+−

−=

lqprr

= Momento dipolar - +l

−

⋅= p

rr

rrp

rkE r

rrrr )(33

- +p

ykE rr32

=

pzkE rr3−=

pzkE rr3−=

pykE rr32

=

X

Z

Y

pxkE rr3−=

pxkE rr3−=

4.4 Líneas de campo eléctrico4.4 Líneas de campo eléctricoCampo = deformación del espacio Campo = deformación del espacio causada por un cuerpo cargado.causada por un cuerpo cargado.Se puede representar mediante líneas.Se puede representar mediante líneas.El vector campo en un punto es tangente El vector campo en un punto es tangente a la línea de campo a la línea de campo Dos lDos lííneas de neas de campo nunca pueden cruzarse.campo nunca pueden cruzarse.La densidad de líneas es proporcional a La densidad de líneas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico.la intensidad del campo eléctrico.A grandes distancias las líneas son las A grandes distancias las líneas son las de una carga puntual.de una carga puntual.

Líneas de campo en esferas y Líneas de campo en esferas y planosplanos

Esfera con carganegativa Plano positivo

Simetría esférica Simetría planar

Dos cargas positivas

Carga positiva y carga negativaDipolo eléctrico

Líneas de campo para dipolosLíneas de campo para dipolos

5. Teorema de Gauss. Enunciados5. Teorema de Gauss. Enunciados

1. La dirección del flujo del campo eléctrico a 1. La dirección del flujo del campo eléctrico a través de una superficie depende del signo través de una superficie depende del signo neto de la carga encerrada.neto de la carga encerrada.2. Las cargas fuera de la superficie no 2. Las cargas fuera de la superficie no generan flujo de campo eléctrico neto a generan flujo de campo eléctrico neto a través de la superficie.través de la superficie.3. El flujo de campo eléctrico es directamente 3. El flujo de campo eléctrico es directamente proporcional a la cantidad neta de carga proporcional a la cantidad neta de carga dentro de la superficie pero independiente del dentro de la superficie pero independiente del tamaño de ésta ( = Si S1 encierra a S2 por tamaño de ésta ( = Si S1 encierra a S2 por ambas pasa el mismo flujo).ambas pasa el mismo flujo).

5.1 Cálculo del flujo de un campo5.1 Cálculo del flujo de un campoAnalogía con un campo Analogía con un campo de velocidades en un de velocidades en un fluido.fluido.Volumen que atraviesa la Volumen que atraviesa la superficie A en un superficie A en un tiempo tiempo dtdt

Flujo ~ Volumen por Flujo ~ Volumen por unidad de tiempounidad de tiempo

dtAvAdtvVrr⋅== θcos

A

Acosθθ

vdt

AvdtdV rr

⋅==Φ

Una superficie se caracteriza con unvector perpendicular a la misma y demódulo su área.

5.2 Flujo del vector campo 5.2 Flujo del vector campo eléctricoeléctricoSuperficie Gaussiana Flujo infinitesimal

E es constante enla superficie dA

AdEdrr

⋅=Φ

Flujo totalSe debe sumar

(= integrar) a toda lasuperficie.

∫ ⋅=Φ AdErr

Unidades

=Φ 2mCN

dA

dA dA

5.3 Ley de Gauss5.3 Ley de Gauss

El flujo del vector campo eléctrico a El flujo del vector campo eléctrico a través de una superficie cerrada es través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada en su interior igual a la carga encerrada en su interior dividida por la dividida por la permitividadpermitividad del medio.del medio.

La superficie La superficie gaussianagaussiana no es una superficie real no es una superficie real ( es matemática).( es matemática).La ley de Gauss simplifica los cálculos de campo La ley de Gauss simplifica los cálculos de campo eléctrico en casos de gran simetría.eléctrico en casos de gran simetría.

0εencQAdE =⋅=Φ ∫

rr

5.4 Cálculos con ley de Gauss5.4 Cálculos con ley de GaussCarga puntualCarga puntualSimetrSimetríía esfa esfééricarica

+

dA

r )4)(( 2rrEAdE π=⋅∫rr

0εencQAdE =⋅=Φ ∫

rr

rr

QrE ˆ4

)( 20πε

=r

5.4 Cálculos con ley de Gauss5.4 Cálculos con ley de GaussConductor infinito con Conductor infinito con densidad lineal de carga densidad lineal de carga λλ..

Plano infinito con densidad Plano infinito con densidad superficial de carga superficial de carga σσ..

)2(2 lREAE π=⋅=Φrr

λ

E

E E

E E

E

00 ελ

εlQenc ==Φ r

RRE ˆ

2)(

0πελ

=r

+ + ++ + ++ + +

EE

A1A3 A2

)2(31 AEAEAE =⋅+⋅=Φrrrr

00 εσ

εAQenc ==Φ ixE ˆ

2)(

0εσ

±=±r

6. Conductores en equilibrio6. Conductores en equilibrio

En un conductor existen cargas con En un conductor existen cargas con libertad de movimiento.libertad de movimiento.Una carga eléctrica es capaz de moverse Una carga eléctrica es capaz de moverse al aplicar un campo.al aplicar un campo.Si el campo se produce una Si el campo se produce una redistribución de cargas en el interior redistribución de cargas en el interior hasta la situación de “equilibrio hasta la situación de “equilibrio electrostático”.electrostático”.

E = 0

E = 0

6.1 Carga y campo en un conductor en 6.1 Carga y campo en un conductor en equilibrio electrostáticoequilibrio electrostático

El campo interior es El campo interior es nulo nulo Las Las cargas se sitúan en cargas se sitúan en la superficie.la superficie.Campo superficialCampo superficial

Componente normalComponente normal

Componente tangencialComponente tangencial

E = 0

0εσ

=nE

0=tE Si no fuera nula existiría desplazamiento superficial de cargas

6.2 Conductor en un campo 6.2 Conductor en un campo eléctricoeléctrico

El campo interior El campo interior siempre es nulo.siempre es nulo.Deforma las líneas Deforma las líneas de campo exterior.de campo exterior.Se produce una Se produce una redistribución de redistribución de carga en la carga en la superficie debido a superficie debido a la fuerza eléctrica.la fuerza eléctrica.

7. Trabajo de la fuerza eléctrica7. Trabajo de la fuerza eléctricardrFrdrFW

CC

rrrr∫∫ ⋅=⋅=21

)()(Para una fuerza conservativa el trabajo realizado para ir de un punto a a un punto b no depende del camino recorrido.

Sólo depende del punto inicial a y del final b.

Podemos asignar una función a cada punto del espacio -> La energía potencial.

)( abFC UUW −−=

¡Unidades de trabajo!J=N·m

La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa

7.1 Función energía potencial 7.1 Función energía potencial Se puede generalizar el trabajo en 3D

donde el gradiente se puede expresar en coordenadas

kzUj

yU

xUrU ˆˆˆ)(

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ιrr

)()( fi

r

rFC rUrUUrdFW

f

i

rrrrr

r−=∆−=⋅= ∫ )(rUF rrr

∇−=

φφθ

θθ

ˆ1ˆ1ˆ)(∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇U

senrU

rr

rUrU rr

Polares Cartesianas

8. Potencial eléctrico8. Potencial eléctricoLa fuerza eléctrica se puede expresar en La fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico.función del campo eléctrico.

Por ser conservativaPor ser conservativa

Potencial eléctricoPotencial eléctrico

Campo eléctrico = gradiente del potencial Campo eléctrico = gradiente del potencial eléctricoeléctrico

Unidades : el VoltioUnidades : el Voltio

)()( rEqrFrr

=

)(rUF rrr∇−=

qUV = Energía potencial

Carga

)(rVE rrr∇−=

[ ] [ ]CJVV /==

Se puede elegir el origen de potencial

8.1 Superficies equipotenciales8.1 Superficies equipotencialesEl potencial es constante en todos sus puntos.

El vector gradientees ortogonal a S.

El gradiente va de menores a mayores valores de V.

1U

ctezyxV =),,(

V0

V1

V2

VN

0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii VVrVrE rrrr

El gradiente y r||

son ortogonales

ij

ij

VV

VVrVrE

>

<−−=∆⋅∇−=∆⋅ ⊥⊥ 0)(rrrr

Vectores campo eléctrico

8.1 Superficies equipotenciales ( 8.1 Superficies equipotenciales ( ejemplos)ejemplos)

Campo producido por un dipolo

Campo producido por una carga puntual

Campo producido por un hilo infinito

Superficie equipotencial

Campo eléctrico