Índice

Introducción..............................................................................................................3

Campos y fuerzas magnéticas.............................................................................4

Diferencias entre las fuerzas eléctricas y magnéticas......................................6

Fuerza magnética que actúa sobre un conductor que transporta corriente.....6

Torca sobre un lazo de corriente de corriente en un campo magnético uniforme............................................................................................................8

Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme.......10

Efecto Hall.......................................................................................................11

Ejercicio..............................................................................................................13

Conclusiones..........................................................................................................16

Bibliografía.............................................................................................................17

Introducción

El campo magnético es una región del espacio en la cual una carga

eléctrica puntual de valor que se desplaza a una velocidad v, sufre los efectos de

una fuerza que es perpendicular y proporcional tanto a la velocidad como al

campo. Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimiento de partículas

cargadas, como por ejemplo electrones, lo que indica la estrecha relación entre la

electricidad y el magnetismo. El marco que enlaza ambas fuerzas, es el tema de

este curso, se denomina teoría electromagnética. La manifestación más conocida

del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión que actúa entre los

materiales magnéticos como el hierro. Sin embargo, en toda la materia se pueden

observar efectos más sutiles del magnetismo. Recientemente, estos efectos han

proporcionado claves importantes para comprender la estructura atómica de la

materia.

El término magnetismo tiene su origen en el nombre que en la época de los

filósofos griegos recibía una región del Asia Menor, entonces denominada

Magnesia; en ella abundaba una piedra negra o piedra imán capaz de atraer

objetos de hierro y de comunicarles por contacto un poder similar. A pesar de que

ya en el siglo VI a. de C. se conocía un cierto número de fenómenos magnéticos,

el magnetismo como disciplina no comienza a desarrollarse hasta más de veinte

siglos después, cuando la experimentación se convierte en una herramienta

esencial para el desarrollo del conocimiento científico.

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Campos y fuerzas magnéticas

Se define un campo magnético B en algún punto en el espacio en función

de la fuerza magnética FB que ejerce el campo sobre una partícula cargada que se

mueve con una velocidad V , misma que identificamos como el objeto de prueba.

Los experimentos efectuados sobre varias partículas cargadas que se mueven en

un campo magnético, dan los siguientes resultados:

La magnitud de FB de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula es

proporcional a la carga q y a la velocidad vde dicha partícula.

La magnitud y la dirección de FB dependen de la velocidad de la partícula y

de la magnitud y dirección del campo magnético B.

Cuando una partícula cargada se mueve en forma paralela al vector del

campo magnético, la fuerza magnética que actúa sobre ella es igual a cero.

Cuando el vector de velocidad de la partícula forma un ángulo Θ≠0 con el

campo magnético, la fuerza actúa en dirección perpendicular tanto a v

como a B.

La fuerza magnética ejercida sobre una carga positiva tiene dirección

opuesta a la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre una carga

negativa que se mueve en la misma dirección.

La magnitud de la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula en

movimiento es proporcionar a senΘ, siendo Θ el ángulo que el vector de

velocidad de la partícula forma con la dirección de B.

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Resumiendo estas observaciones escribiendo la fuerza magnética de la

forma misma que por definición del producto vectorial es perpendicular tanto a v

como a B.

FB=qv∗B

Podemos considerar esta ecuación como una definición operacional del

campo magnético en algún punto del espacio. Esto es, el campo magnético está

definido en función de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada en

movimiento.

La magnitud de la fuerza magnética sobre una partícula cargada es:

FB=|q|v∗B sinθ

Donde θ es el ángulo menor entre v y B. de esta expresión podemos ver

que FBes igual a cero cuando v es paralela o anti paralela a B (Θ≠0 o 180º) y es

máxima cuando v es perpendicular a B (Θ≠90º ¿.

Diferencias entre las fuerzas eléctricas y magnéticas

Existen varias diferencias de importancia entre las fuerzas eléctricas:

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La fuerza eléctrica actúa a lo largo de la dirección del campo eléctrico, en

tanto que la fuerza magnética actúa perpendicularmente a esta.

La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada sin importar si esta se

encuentra en movimiento, en tanto que la fuerza magnética actúa sobre una

partícula cargada solo cuando está en movimiento.

La fuerza eléctrica efectúa trabajos al desplazar una partícula cargada, en

tanto que la fuerza magnética asociada con un campo magnético estable no

efectúa trabajo cuando se desplaza una partícula, debido a que la fuerza es

perpendicular al desplazamiento.

La energía cinética de una partícula cargada que se mueve a través de un

campo magnético no puede ser modificada por el campo magnético solo. En otras

palabras cuando una partícula cargada se mueve a una velocidad a través de un

campo magnético este puede modificar la dirección del vector velocidad pero no

puede cambiar la velocidad ni la energía cinética de la partícula.

Fuerza magnética que actúa sobre un conductor que transporta corriente

Si se ejerce una fuerza sobre una partícula cargada cuando ésta se mueve

sola a través de un campo magnético, no debería sorprendernos que un alambre

que transporta una corriente también experimente una fuerza cuando se le

coloque en un campo magnético. Esto es así porque la corriente es conjunto de

muchas partículas cargadas en movimientos; de ahí que la fuerza resultante

ejercida por el campo por el alambre sea la suma vectorial de las fuerzas

individuales ejercidas sobre todas las partículas cargadas que conforman la

corriente. La fuerza ejercida a las partículas se transmite al alambre al entrar

éstas en colisión con los átomos que conforman el alambre.

Dado que el volumen del segmento es AL, el número de cargas en el

segmento es igual a nAL, siendo n el número de cargas por unidad de volumen.

De ahí que la fuerza magnética total sobre el alambre de longitud L es

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FB=(qv d xB )nAL

Es posible escribir esta expresión de una forma más conveniente al

observar que, de la ecuación, la corriente es el alambre es igual a I=nq vd A . Por

lo tanto.

FB=IL x B

Donde L es un vector que apunta en la dirección de la corriente I y que

tiene una magnitud igual a la longitud L del segmento. Observe que esta expresión

se aplica sólo a un segmento de alambre recto en un campo magnético uniforme.

La fuerza magnética ejercida sobre un alambre curvo que transporta

corriente es igual a la ejercida sobre un alambre recto que conecta los puntos

extremos y que conduzca la misma corriente.

FB=I L' x B

En un campo magnético uniforme se coloca un lazo de forma arbitraria que

conduce una corriente I . De nuevo es posible expresar la fuerza magnética que

actúa sobre el lazo como muestra la ecuación:

FB=I ¿

Aunque en esta ocasión debemos encontrar la suma vectorial de los

elementos de ds de longitud a lo largo del lazo, en vista de que el conjunto de

elementos de longitud forman un polígono cerrado, la suma vectorial debe ser

igual a cero. Esto es consecuencia del procedimiento para sumar vectores

gráficamente. Puesto que ∮ds=0, concluimos que FB=0; esto es, la fuerza

magnética que actúa sobre cualquier lazo cerrado de corriente en un campo

magnético uniforme es igual a cero.

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Torca sobre un lazo de corriente de corriente en un campo magnético uniforme

Un lazo de corriente colocado en un campo magnético ejerce un par de

torsión. consideremos un lazo rectangular que tiene una corriente I en presencia

de un campo uniforme dirigido paralelamente al plano del lazo, sobre los lados que

son paralelos al campo no actúa ninguna fuerza magnética; por lo que para estos

lados, L x B=0. Sin embargo sobre los lados que son perpendiculares a las líneas

del campo magnético si actúan fuerzas magnéticas. La magnitud de estas fuerzas

es,

F2=F4=IaB

Las dos fuerzas magnéticas F2y F4 apuntan en direcciones opuestas pero

no están actuando a lo largo de la misma firma. Si se logra que el lazo gire

alrededor del punto 0, estas dos fuerzas producen, en relación con este punto, una

torca que hace el lazo gira en sentido dextrógiro. La magnitud de este par de

torsión τ máx es

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τ máx=F2b2+F4

b2=( IaB ) b

2=IabB

Siendo b/2 el brazo del momento en relación con O para calcular una de las

fuerzas dado que el área contenida por el lazo es igual a A=ab, podemos expresar

la torca máxima de la forma

τ máx=IAB

Este resultado de máxima torca solo es válido cuando el campo magnético

es paralelo al campo del lazo.

Una expresión conveniente para la torca ejercida sobre un lazo colocado en

un campo magnético uniforme v es

τ=IA x B

Donde A es perpendicular al plano del lazo y tiene una magnitud igual al

área del mismo. Determinamos la dirección de A utilizando la regla de la mano

derecha. Cuando se coloca los dedos de la mano derecha en la dirección de la

corriente en el lazo, su pulgar apunta en la dirección de A. Como vemos el lazo

tiende a girar en la dirección de valores decrecientes de θ (es decir, de forma que

el valor de área A gire hacia la dirección del campo magnético).

El producto IA representa el momento dipolar magnético μ (conocido a

menudo como “momento magnético”) del lazo:

π=IA

La unidad SI del momento dipolar magnético es el ampere-metro2

(A.m2).utilizando esta definición podemos expresar la torca ejercida en un lazo

conductor de corriente en un campo magnético B de la forma:

τ=μ x B

La energía potencial de un sistema constituido por un dipolo magnético en

un campo magnético depende de la orientación del dipolo en dicho campo y está

dada por:

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U=−μ .B

De esta expresión, vemos que el sistema tiene la mínima energía

Umin=−μB cuando μ apunta en la misma dirección de B. el sistema tiene su

máxima energía Umáx=+μB cuando μ apunta en la dirección opuesta a B.

Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme

La fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada que se mueve

en un campo magnético es perpendicular a la velocidad de la partícula y, en

consecuencia, el trabajo realizado por la fuerza magnética sobre la partícula es

igual a cero. Ahora considere el caso especial de una partícula cargada

positivamente que se mueve en un campo magnético uniforme, estando el vector

de velocidad inicial de la partícula en posición perpendicular al campo. Conforme

la partícula cambia la dirección de su velocidad como respuesta a la fuerza

magnética, ésta se mantiene en posición perpendicular a la velocidad, la

trayectoria de la partícula es un círculo.

La partícula se mueve en círculo porque la fuerza magnética FB es

perpendicular a v y B y tiene una magnitud constante igual a qvB. La rotación es

para una carga positiva en dirección contraria a las manecillas del reloj. Si q fuera

negativa, la rotación seria en dirección dextrógira.

∑ F=mac

Fb=qvB=mv2

r

r=mvqB

Esto es, el radio de la trayectoria es proporcionar a la cantidad de

movimientos lineal mv de la partícula e inversamente proporcional a la magnitud

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de la carga sobre la partícula y a la magnitud del campo magnético. La velocidad

angular de la partícula se expresa según la siguiente ecuación:

ω= vr=qBm

El periodo del movimiento (el intervalo de tiempo que necesita una partícula

para completar una revolución) es igual a la circunferencia del círculo dividido por

la velocidad lineal de la partícula.

τ=2 πrv

=2πω

=2πmqB

Efecto Hall

Cuando una placa metálica por la que pasa una corriente I se coloca en un

campo magnético perpendicular a I , aparece una diferencia de potencial entre

puntos opuestos en los bordes de la placa.

Al someter un conductor por el que circula una corriente eléctrica

estacionaria a un campo magnético externo, aparece una fuerza electromotriz

perpendicular a la corriente y al campo magnético.

Al estar sometida la corriente a un campo magnético, aparece una fuerza

del tipo FB=qvd xBsobre ella.

Esta fuerza normalmente no puede dar origen a una corriente porque las

líneas se encuentran con los límites del conductor. Pero se produce una

redistribución de carga libre del conductor hasta que el campo eléctrico debido a

esta carga cancela la fuerza de origen magnética.

En exterior del conductor no existe la fuerza de origen magnético y si existe

la de origen magnético luego se puede medir una diferencia de potencial.

Placa metálica:

Los portadores de carga son electrones (q=−e), por lo tanto la velocidad

del electrón es opuesta a I .

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Si B es el indicado en la figura, resulta que la fuerza que actúa sobre el

electrón es:

Vemos, por tanto, que FB sigue la dirección del eje y, con lo cual hay un

desplazamiento de electrones hacia la derecha. El lado derecho de la placa se

carga negativamente y el izquierdo positivamente.

Aparece un campo eléctrico en el sentido del eje y, y en consecuencia una

diferencia de potencial entre los bordes de la placa.

Sabemos que un campo magnético actúa sobre las cargas en movimiento

(Fuerza de Lorenz).

Una corriente I que atraviesa un material consiste en cargas (electrones)

que se desplazan (en sentido contrario a la corriente) con una velocidad que

denominaremos v.

Si sumergimos esa corriente de electrones en un campo magnético B, cada

uno de los electrones que forman la corriente estará sometido a la fuerza de

Lorenz FB=−e v2B.

Donde −e corresponde a la carga de un electrón, v el vector velocidad del

electrón y B el vector campo magnético aplicado.

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La dirección de la fuerza será perpendicular al plano formado por v y B (ya

que es resultado del producto vectorial de ambos) y provocará un desplazamiento

de electrones en esa dirección.

Como consecuencia tendremos una concentración de cargas negativas

sobre uno de los lados del material y un déficit de cargas negativas en el lado

opuesto. Esta distribución de cargas genera una diferencia de potencial entre

ambos lados, la tensión de Hall V H, y un campo eléctrico EH.

Este campo eléctrico que genera a su vez una fuerza eléctrica sobre los

electrones, dada por la Ley de Coulomb F e=−e EH, que actúa en la misma

dirección que la fuerza de Lorenz pero en sentido contrario a esta. El equilibrio se

alcanzará cuando la suma de las dos fuerzas sea nula, de lo cual deducimos que

en el equilibrio el valor del campo Hall es:EH=vdB .

Ejercicio

Un electrón en el interior de un cinescopio de televisión, se mueve a lo

largo del eje de las x hacia la parte frontal del tubo a una velocidad de 8.0 x106ms.

Alrededor del cuello del cinescopio existen bobinas de alambre que generan un

campo magnético en el plano xy de magnitud 0,025 T, dirigido de manera que

forma un ángulo de 60 grados con el eje de las x.

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a) Calcule la magnitud de la fuerza magnética.

Solución: se determina la magnitud de la fuerza magnética

FB=|q|v∗Bsenθ

FB=(1.6 x10−19C)(8.0x 106m /s)∗(0.025T )sen60 º

FB=2.8x 10−14 N

Dado que v x B está en la dirección positiva de z (según regla de la mano

derecha) y la carga es negativa, FB aparece en la dirección de z negativa.

b) Deduzca la expresión vectorial para la velocidad del electrón.

Solución: empezamos escribiendo una expresión una expresión vectorial

para la velocidad del electrón:

v=(8.0 x106 i )m /s

Y una para el campo magnético:

B=(0.025cos60 º i+0.025sin 60 º j )T

B=(0.013 i+0.022 j )T

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La fuerza sobre el electrón, es igual a

FB=qv x B

FB= (−e ) [ (8.0x 106 i)m / s] x [ (0.013 i+0.022 j )T ]

FB= (−e ) [ (8.0x 106 i)m / s] x [ (0.013 i)T ]+(−e ) [ (8.0 x106 i )m /s ] x [ (0.022 j )T ]

FB= (−e ) [ (8.0x 106 i)m / s] x [ (0.013T ) i x i ]+(−e ) [ (8.0 x106 i )m /s ] x [ (0.022T ) j x j ]

FB=(−1.6 x10−19C ) (8.0x 106 i)m / s (0.022T ) ( i x j )

Efectuando la multiplicación encontramos

FB=(−2.8 x1014N ) k

Esta expresión concuerda con el resultado del inciso (a). la magnitud es

igual, y el vector de la fuerza está en la dirección negativa de las z.

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Conclusiones

El hecho de que las fuerzas magnéticas sean fuerzas de acción a distancia

permite recurrir a la idea física de campo para describir la influencia de un imán o

de un conjunto de imanes sobre el espacio que les rodea. Al igual que en el caso

del campo eléctrico, se recurre a la noción de líneas de fuerza para representar la

estructura del campo. En cada punto las líneas de fuerza del campo magnético

indican la dirección en la que se orientará una pequeña brújula (considerada como

un elemento de prueba) situada en tal punto. Así las limaduras de hierro

espolvoreadas sobre un imán se orientan a lo largo de las líneas de fuerza del

campo magnético correspondiente y el espectro magnético resultante proporciona

una representación espacial del campo. Por convenio se admite que las líneas de

fuerza salen del polo Norte y se dirigen al polo Sur.

El nombre de campo magnético o intensidad del campo magnético se aplica

a dos magnitudes:

La excitación magnética o campo H es la primera de ellas, desde el punto

de vista histórico, y se representa con H.

La inducción magnética o campo B, que en la actualidad se considera el

auténtico campo magnético, y se representa con B.

El valor o intensidad de dicho campo magnético puede medirse mediante el

llamado vector de inducción magnética B, a veces llamado simplemente "campo

magnético", que estará relacionado con la fuerza F y la velocidad v medida por

dicho observador en el punto P: Si se varía la dirección de v por P, sin cambiar su

magnitud, se encuentra, en general, que la magnitud de F varía, si bien se

conserva perpendicular a v.

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Bibliografía

Raymond A. Serway “Física para Ciencias e Ingenierías” sexta edición volumen II.

Editorial Thomson.

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