Campo magnético

Capítulo 6

Es posible que usted esté familiarizado con el campo magnéticoproducido por un imán. Su experiencia con fuerzas ejercidas porun campo magnético Son probablemente las ocasionadas por unimán sobre una pieza de fierro o una brújula. Los físicos con.sideran la acción de un campo magnético sobre una carga eléc-trica en movimiento más fundamental que la interacción de rna-teriales magnéticos. En este capítulo nos concentraremos en elestudio de las fuerzas ejercidas sobre conductores con corríen-tes eléctricas y partículas cargadas en movimiento, debido a cam-pos ~gnéticos dados, sin interesarnos el cómo son producidoslos clitnpos magnéticos, pues ésto 'lo veremos en el siguientecapítufo.I

J ,1

Objetivos

. Al terminar de estudiar el Capítulo, usted debe de ser capaz'1 de: 6.1. Definir correctamente o reconocer la mejor definición de:

ñ ·'S _. - -"-. . -' - -

a) Campo magnético.

b) Flujo magnético.

e) Líneas de inducción.

" d) Tubo de rayos catódicos.i ')

e) Fuerza magnética. ,, I 115," I

116 Campo magnética

f) Weber.

g) Tesla.

h) Efecto Hall.

j) Campo eléctrico de Hall.

j} Potencial de Hall.

kl Momento de torsión.

/) Momento magnético.

m) Energía potencial magnética almacenada por un dipolo magonético ..

n) Ciclotrón~.~. Calcular el flujo magnético a través de una superficie es-

pecifica de un campo magnético dado.

6.3. Dado~ un campo eléctrico y un campo magnético unlfor-m~s, determinar la fuerza experimentada por una carga en moví-~~e~to y calcular su trayectoria especificando sus condicionesIniciales. .

6.4. Calcular la fuerza ejercida sobre un conductor con unacorriente eléctrica específica debido a un campo magnético dado.

6.5. Determinar el momento actuando sobre una espira con co-rriente pOI' un campo magnético dado.

. 6.6. Calcular, el desplazamiento, la velocidad, la energía ciné- ']tíca de las partículas cargadas en sus diferentes trayectorias al í'

ser acelerados en un ciclotrón.

Resumen

6.1. El campo magnético. El campo magnético puede ser na-tural o producido artificialmente (vea capítulo 7) produciendo losmismos efectos sobre brújulas, conductores con corriente, etc.El vector campo magnético se conoce también por inducción mag-

nética y se representa simbólicamente por B.La región en el espacio donde un imán experimenta una atrac-

ción o repulsión, o una brújula sufre una desviación se conocecomo campo magnético.

. 6.2. Lineas de inducción y flujo magnético: El campo magné-tíco lo representarnosgráficamente por las líneas de inducción, la

Efecto Hall 117

tangente sobre cualquier punto en las líneas de inducción es pa-ralela a la dirección del campo magnético en ese punto.

El flujo magnético se define como la integral de superficie so-bre la componente normal del campo magnético a la superficie,el flujo magnético para 'una' superficie dada está dado por:

r-' r-'B . ds (6.1)

la unidad del flujo magnético es el weber.

6.3. Fuerza sobre una partícula cargada en movimiento. Defini-ción de campo magnético: En un tubo de rayos catódicos podemosobservar los efectos del campo magnético producido por un Imánsobre el flujo de electrones, encontramos que la fuerza magnéticaque actúa sobre los electrones en movimiento es directamenteproporcional a la carga, la velocidad y al campo magnético, asícomo al producto vectorial (o producto cruz) entre el vector velo-cidad y. el vector campo magnético, la fuerza se expresa con lasiguiente ecuación:

,..., ,...,

F=qvXB(6.2)

donde esta fuerza es la fuerza centrípeta que hace que las par-tículas cargadas en movimiento describan trayectorias circulares,es decir, que si en la ecuación 6.3 conocemos la masa Y la veloci-dad de la partícula, podemos determinar la fuerza y a su vez el

. campo magnético, esto es:

F (6.3)B =

q v sen O

Las unidades del campo magnético son Tesla que equivale alweber1m2, un tesla es igual a 104 gauss.

6.4. Efecto Hall. El efecto Hall es Importante por la Informa-. ción que nos aporta en el estudio de conductores. Con este ex-perimento se demostró que los portadores de carga en los' con-ductores son negativos. Al realizar este experimento se produceun campo eléctrico dentro del conductor que se conoce comocampo eléctrico de Hall y por consiguiente un potencial. Con esteexperimento podemos determinar el número de portadores de car-ga por unidad de volumen de la ecuación 6.9, esto es:

\

118 Campo magnético

I

V H q t

6.5. Fuerza sobre una corriente. En un conductor con corrienteque se encuentra dentro de un campo magnético se manifiesta unafuerza magnética debido a los electrones libres en movimientodentro del conductor que está dado por la siguiente ecuación apartir de la ecuación 6.14:

n =(6.9)

dF = f idl X ti (6.14)

que es la integral a lo largo del alambre. En este modelo, el alam-bre es representado por una línea matemática, el diámetro finitode un alambre es despreciado.

6.6. Momento sobre una espira con corriente. Al hacer circu-lar una corriente por una espira o una bobina que se encuentraen una región del espacio donde existe campo magnético, éstaexperimenta un momento dado por la siguiente ecuación:

T =J1XB(6.20),-.J

donde ¡;. es el momento del dipolo magnético. La ecuacro-, 6.20es muy similar a la ecuación del momento del dlpolo eléctrico.El dlpolo magnético en el campo magnético almacena una energíaque está dada por:

r--" r--'U = - ¡;. . B

(6.22)

que equivale al trabajo que tiene que realizar Un agente externo I~. para hacerlo girar un cierto ,ángulo a partir de su posición de enerogía cero.

6.7. Movimiento de partículas cargadas en Un campo magné-tico. El cIclotrón: Cuando una partícula cargada en movimientoentra' a un ~ampo magnético experimenta una fuerza y aplicandola segunda L.ey de Newton, obtenemos la ecuación 6.24 que nosdescribe la trayectoria cIrcular de la partícula que también depen-de de la dirección de los vectores velocidad y campo magnétIco,y es:

m vr ••• _

q B . (6.24)

Problemas resueltos 119

os la velocidad angular de la par-De la ecuacion 6.24, obtenem I frecuencia del ciclotrón ytícula que también se conoce como aestá dada por:

qBv(6.25)00= = ---

r m

de ende de la velocidad de la par-Como podemos observar, W no I Pd de partículas cargadas que

. I ó un ace era or dtícuia. El CIC otr n e~ sobre los electrostáticos, como la e po-presenta varias ventaJas., del orden de Mev, con fuentes deder acelerar iones a enerqrasvoltaje bajos (105 volts).

Problemasresueltos

r-'ma nétlco por la expresión B = ~iProblema 6.1. Dado un campo,. g I espacio. Calcular el flu]o. , especifica en e

teslas para una regl~n d de las caras del cubo que semagnético que atraviesa ea a unamuestra en la figura 6.1.

~'1'

"

Solución:

De la ecuación 6.1 tenemos que:

cp=fB ds, . ólo tiene componentes en el eje x,

como el ca~po maqnétíco s cubo paralelas al plano. yz, pue?enentonces solo las caras del d . íó Y por conslqulente extsteser cruzadas por líneas de In ucc onflujo, ésto es:

cP = f f 3; ¡d Y d z = 3 f: J: d y d z

Integrando y evaluando:

cP = 12 webers

Problema6.2. Objetivos 1 y 3

entra en una región dei espacio dondeUn electrón de .01 Mev I si la dirección del elec-existe un campo magnético de 2 tes as,

no Campo magnético

(2,2)

dy

J'

ds

Figura 6.1

trón es perpendicular al campo, determine la fuerza que experi-menta el electrón en magnitud y dirección.Solución:

De la .ecuaclón 6.2 tenemos que:,,.....,F q v x a

como la velocidad es perpendicular al campo magnético, entonces:

x x x x /J ~/X·~X X X X

0--------0 -7e

VI:

X X X Xx t x x x ~):_~~~ '1

F ": "Il'l'

1 '1__2_E_c_f = q va donde v = = 5.9 X 107 m/segm

Sustituyendo valores:

F = 1.6 X 10-19 coul X 5.9 X 107 m/seg X 2 teslas

18.88 X 10-12 newtons

Problemas resueltos 121

La dirección de la fuerza se muestra en la figura.

Problema 6.3. Objetivos 1 y 3

Un flujo de protones se lanzan perpendicularmente a un parde placas de .30 m de largo y .10 m de separación, donde hay uncampo eléctrico de 106 volts/m y un campo magnético de 1.5 tes-las. Calcule la velocidad de los protones al salir de las placas sisu velocidad de entrada es de 8 X 105 m/seg.Solución:

De la ecuación 6.2 que se conoce como ecuacion de Lorentz,tenemos que la fuerza resultante actuando sobre los protones es:

F = qE + q (v x a)

Fe

E

B

f sobre el eje y de esta acuacton calculamos laque es una uerza ,. 1-aceleración y quitando la notacion vectonal obtenemos que a aceleración sobre cualquiera de los protones es:

a y_q_ (- E + v B sen O)

m

122 Campo magnético

COmoel vector campo magnético es perpendicular a la velocidad, .entonces:

ay

q-- Iv B - E) =

m1.6 X 10-19 coul

1.67 X 10-21 kg

volts(8 X 105 X 1.5 teslas - 106_)m

Para obtener la magnitud de la velocidad de los protones al salirde la placa, usamos la siguiente ecuación del movimiento unifor-memente acelerado:

v ==V +atfy oy Y

Xt=--

~x

donde

Sustituyendo la aceleración en esta ecuación y considerandoque la velocidad inicial en "y" es cero, nos queda:

, Xv, =ay (-)

y ~x

= 7.1 X 106 m/~~.g.. ,~

Sustituyendo valores:Vfy = 7.1 X 106 m/seg

la velocidad resultante está dada por:

VR = v'V:. + Vfy = '1'(8 X 105 m/s)2 + (7.1 X 106mis)

ya que la velocidad ención.

Sustituyendo valores:

"x"no es afectada por ninguna acelera-

VR = 7.14 X 106 m/seg

la direCción de la velocidad es: Vfy . ¡tan O = -v

ox

de donde:v,y

ten= (-) = ten='v

ox (4.21 )

O ( 7.14 X 106

-.8 X106 )

Problemas resueltos 123

Sustituyendo valores: B = 83.61°

Problema 6.4. Objetivos 1 y 4

Un alambre se encuentra suspendido de un dinamómetro queregistra .03 newtons cuando no circula corriente por éste, qué co-rriente se tiene que hacer circular por el alambre y en qué di-rección para que el dinamómetro marque cero, si el campo mag-nético es de .10 teslas y la longitud del alambre es de 1 metro.Solución:

De la ecuación 6.14, tenemos que:

.gI

F =

como se necesita una fuerza que iguale el peso del alambre, la co-rriente debe circular en la dirección de (+ X) ya que B tiene ladirección de (- z) como se muestra en la figura A.

F = w = mgm

I• I

. í

iJ

--------~L-~~~--XdI

Figura A

124 Campo magnético

.De la ecuación 6.14 y considerando que I es perpendicular a B,entonces: w = i I B

wde donde:

lB

Sustituyendo valores: = .3 amperes

Problema 6.5. Objetivos 1 y 5

Una bobina de 50 vueltas con espiras de forma circular de ra-dio igual .a .10 metros se encuentra en un campo magnético de20 teslas, haciendo un ángulo de 45° el vector área de las espirascon el vector campo magnético. Calcule el momento de torsiónque experimenta la bobina en el campo magnético al pasar porella una corriente de 4 amperes.Solución:

La ecuación 6.20 establece que:r-J r-J

T={tXB

donde: p. = N;A; A = .".,2Sustituyendo en la ecuación 6.20 estas

tuando eJ producto vectorial nos queda:T = Ni (.". (2) B sen O

1;equivalencias y efec- ~

Sustituyendo valores:T = 88.85 newtons-rnts.

Problema 6.6. Objetivos 1 y 3

Determine el radio de un protón al comenzar su segunda trayectoria semicircular si el voltaje de la fuente oscilante es de 5 X Wvolts Y su frecuencia angular de 10' rad/seg.Solución:

m vDe la ecuación 6.24, tenemos que: r

qB

La velocidad del protón en su segunda trayectoria circular, laobtenemos a partir de la siguiente ecuación:

2 (qV) 1/i! 111 Vi

Problemas reseltos 125

La energía cinética es igual a 2qV ya que el protón ha sidoacelerado dos veces, por consiguiente:

v =;:: ¡ 4 q Vm

Sustituyendo la velocidad en la ecuación 6.24 nos queda que:

/4 q Vm

j~m

mr = wqB

Sustituyendo valores:

r = 0.43 mts.

Probloma 6.7. Calcule la distancia total recorrida por un protónque es acelerado en un ciclotrón que posee una frecuencia an-guiar de 4.9 X 10b rad/seg, el radio de los Des esde 2 metros y

i 1 la diferencia de potencia entre placas es de 5 X 10' volts.

, Solución:

La ecuación 6.25 establece que: w=qB

m

, de donde podemos determinar la máxima velocidad que puede ad1 ~~. quirir el protón, es decir, para la semivuelta n, esto es: -)

qBV

n mrn

lavelocidad que adquieren los protones en cada una do las somlvu l·tas, la podemos determinar de igualar la energr p I 11(:1 11 o 11 11

energía cinética. Esto es:

fe = 1/2 m .~~ = /l q v,

,\ ,'1'" ~,\~I "". l'/)1 •••••., .

'1VI

donden es 1 número d rnlvu ItA , dI nqur p d( filO 1 t I1tHII1IIIII

la rolaci n I las v I idarl s d 11 prlm: I 1 "( 11dVII( 1II y 11 t 111111111,

o to

VI v' I

126 Campo magnético

para la n semivuelta conrespecto a la primera, nos queda:v = V;;--:;:---vn ,

y de aquí determinar n, ésto es:

VI (~ r¡/Fn m ('" rnF- =VI. =2qv ==I 2qv-m m

== (4.9 X 10b X 2}2

semivueltas.2 X 1.6 x 10 '9 X 5 X 10'

1.67 X 10-27

Sustituyendo valores:

n = 10

la distancia total recorridarecor I es la suma de las seml'vueltas quere e protón, esto es:

d == 7r r, + 7r rl + tt r¡ + n+ 7r rn == tr r,

De la ecuación 6.24, tenemos que:

m

qBV./.

PO~j9uiente :

d10m::::7TL __ V

q B i

7r L rI

7rm==

ViqB

i = 1

Como n = 10 entonces:

d == 7r ",-' ("'2 + v'3 +v'4 + '" +v'1OJv,

Efectuando operaciones:

d = 27.73 m.

Capítulo 7

Ley de Ampere-Ley de Biot-Savart

la ley de Ampara y la ley de Biot-Savart, son leyes experi-mentales que establecen la forma de calcular el campo magné-tico producido por corrientes estables que circulan en conducto-res. Las corrientes estables no necesariamente tienen que estarconfinadas en conductores, es decir, que una corriente eléctricapuede ser un flujo de partículas cargadas en el vacío y las leyesde Ampere y Biot, también se aplican para este caso.

Objetivos:

l, !

Al terminar esta unidad debe usted ser capaz de: .

1. Definir o reconocer la mejor definición de:

al Corriente encerrada.

bl Ley de Ampere.

el Solenoide.

dl Ley de Biot-Savart.

2. Dada una corriente en un alambre de geometría' simple osimétrica, calcular el campo magnético aplicando la ley de Ampereo la ley de Blot-Savart.

3. Describir la Interaeelón magnétl n n r d rn alnm-br retas y laro con cor IAnt .

7