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 ANÁLISIS MATEMÁTICO IV

CAMPOS VECTORIALESEJEMPLOS

Juan Diego Tapia Sisalima

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Análisis Matemático IV 

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Campo Vectorial

Introducción

 

Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar matemáticamente y caracterizarmagnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser multi-dimensional, pueden tener un rango

unidimensional o multi-dimensional.

El primer tipo de funciones (rango unidimensional) se define

como campo escalar, y esta se corresponde a una magnitud

física que requiere sólo de un número para su

caracterización. Un campo escalar, por tanto, es una

función, escalar, cuyo valor depende del punto que se

estudie.

Un ejemplo de este tipo de funciones puede ser la

distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, la

presión ejercida sobre un cuerpo por un fluido, o un potencial eléctrico. Por otro lado, un campo

vectorial se corresponde con el segundo tipo de funciones (rango multi-dimensional) en donde una

magnitud física requiere de un vector para su descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo de un

fluido o un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas. 

Definición

En matemática un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada

punto en el espacio euclídeo, de la forma .

Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la

dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal

como la fuerza electromagnética o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.

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Operaciones Básicas

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

1.  Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un

campo escalar es un campo vectorial.

2.  Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el

rotor de un campo vectorial es otro campo seudo-vectorial.

3.  Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse en o a converger hacia

ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

4.  Laplaciano: es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ,

relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto

dominio.

Consideraciones

 

Un campo tensorial es una asignación de una aplicación multilineal a cada punto de un dominio del

espacio. En física se llama también campo tensorial a cualquier magnitud física que puede ser

representada por una asignación del tipo anterior definida sobre una región del espacio físico.

No todas las relaciones en la naturaleza son lineales, pero la mayoría es diferenciable y así se pueden

aproximar localmente con sumas de funciones multilineales. Así la mayoría de las cantidades en las

ciencias físicas se pueden expresar provechosamente como tensores.

Como ejemplo simple, consideremos una nave en el agua. Deseamos describir su respuesta a una

fuerza aplicada. La fuerza es un vector, y la nave responderá con una

aceleración, que es también un vector. La aceleración en general no

estará en la misma dirección que la fuerza, debido a la forma particular

del cuerpo de la nave. Sin embargo, resulta que la relación entre la

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fuerza y la aceleración es lineal. Tal relación es descrita por un tensor del tipo (1, 1) (es decir, que

transforma un vector en otro vector). El tensor se puede representar como una matriz que cuando es

multiplicada por un vector, dé lugar a otro vector. Así como los números que representan un vector

cambiarán si uno cambia el conjunto de coordenadas, los números en la matriz que representa el tensor

también cambiarán cuando se cambie el conjunto de coordenadas. 

En la ingeniería, las tensiones en el interior de un sólido rígido o líquido también son descritas por un

tensor. 

Ejemplos Gráficos de Campos Vectoriales.

  Un campo vectorial para el movimiento del aire en la tierra

asociará a cada punto en la superficie de la tierra un vectorcon la velocidad y la dirección del viento en ese punto.

Esto se puede dibujar usando flechas para representar el

viento; la longitud (

 

magnitud) de la flecha será una

indicación de la velocidad del viento. Un "Alta" en la función usual de la presión

barométrica actuaría así como una fuente (flechas saliendo), y un "Baja" será un sumidero

(flechas que entran), puesto que el aire tiende a moverse desde las áreas de alta presión a las

áreas de presión baja.

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Brisa Marina y Terrestre:

Brisa de Valle y de Montaña:

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  Corrientes Marinas. La dirección en la que discurren las corrientes está condicionada por el

movimiento de la Tierra, la forma de los continentes y las cuencas oceánicas. La rotación de la

Tierra provoca que el agua superficial se desvíe un cierto ángulo respecto a la dirección del

viento. Este fenómeno se conoce con el nombre de Coriolis, y hace que las corrientes se desvíen

hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur.

  Un campo de velocidad de un líquido móvil. En este caso, un vector de velocidad se asocia a

cada punto en el líquido. En un túnel de viento, las líneas de campo se pueden revelar usando

humo.

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En esta imagen se describe el campo vectorial de la velocidad de flujo en una tubería.

  Campos magnéticos. El campo magnético es imperceptible para nuestros sentidos y se define

como la agitación que produce un imán a la región que lo envuelve. Para poder representar un

campo magnético utilizamos las llamadas líneas de campo. Estas líneas nos dan una idea de la

intensidad y dirección que tendrá el campo magnético. Las líneas de campo van desde el polo

sur al polo norte en el interior del imán y desde el polo norte hasta el polo sur por el exterior.Las líneas de campo se pueden revelar usando pequeñas limaduras de hierro.

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Cualquier imán presenta dos zonas donde las acciones magnéticas se manifiestan con mayor intensidad. Estas zonas

están situadas en los extremos del imán y son los llamados polos magnéticos.

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Líneas de Campo Magnético de Imanes Lineales y en forma de U

  Campo Magnético generado por una corriente eléctrica.

El valor del campo magnético creado dependerá de la intensidad del corriente eléctrico y de la

distancia respecto del hilo. El campo magnético será diferente en función de la forma que tenga

el conductor por donde pasa la corriente eléctrica.

En el caso de un hilo conductor rectilíneo se crea un campo magnético circular alrededor de un

hilo y perpendicular a él.

Cuando tenemos un hilo conductor enrollado en forma de hélice tenemos una bobina. En este

caso se crea un campo magnético parecido al de un espiral.

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Campo magnético creado por una bobina

  Campo Magnético Terrestre. Se extiende desde el núcleo atenuándose progresivamente en el

espacio exterior (sin límite), con efectos electromagnéticos conocidos en la magnetosfera que

nos protege del viento solar, pero que además permite fenómenos muy diversos como la

orientación de las rocas en las dorsales oceánicas, la magnetorrecepción de algunos animales y

la orientación de las personas mediante brújulas. Una brújula apunta en la dirección Sur-Norte

por tratarse de una aguja imantada inmersa en el campo magnético terrestre: desde este punto

de vista, la Tierra se comporta como un imán gigantesco y tiene polos magnéticos, los cuales,

en la actualidad, no coinciden con los polos geográficos. 

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  Las ecuaciones de Maxwell permiten que utilicemos un conjunto dado de condiciones iniciales

para deducir, para cada punto en el espacio euclídeo, una magnitud y una dirección para

la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial

que resulta es el campo electromagnético.

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  Integral de Línea. En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya

función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva es cerrada en dos dimensiones o

del plano complejo, se llama también integral de contorno. Ejemplos prácticos de su utilización

pueden ser:

  El cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una

trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos

vectoriales) que actúen sobre el mismo.

  Flujo de Corriente y Flujo de Agua:

Enlace a la animación: http://www.meet-physics.net/David-Harrison/castellano/EM/WaterAnalogy/WaterAnalogy.html 

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  Campo Eléctrico de una Carga Puntual.

Enlace a la animación: http://www.meet-physics.net/David-Harrison/castellano/EM/FieldLines/FieldLines.html

  Campo Eléctrico de una Carga Oscilante

Enlace a la animación: http://www.meet-physics.net/David-Harrison/castellano/EM/LightWave/Wave.html

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  Campo Eléctrico y Magnético generado por la oscilación de cargas eléctricas: 

Enlace a la animación: http://www.meet-physics.net/David-Harrison/castellano/EM/EMWave/EMWave.html 

  Polarización Circular:

Enlace a la animación: http://www.meet-physics.net/David-Harrison/castellano/EM/CircPol/CircPol.html

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  Atractor de Lorenz:

Enlace a la animación: http://www.meet-physics.net/David-Harrison/castellano/Chaos/Lorenz/Lorenz.html