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Lacantidad de movimiento,momento lineal,mpetuomomentumes unamagnitud fsica fundamentalde tipovectorialque describe elmovimientode un cuerpo en cualquier teoramecnica. Enmecnica clsica, la cantidad de movimiento se define como elproductode lamasadel cuerpo y suvelocidaden un instante determinado. Histricamente, el concepto se remonta aGalileo Galilei. En su obraDiscursos y demostraciones matemticas en torno a dos nuevas ciencias, usa el trmino italianoimpeto, mientras queIsaac NewtonenPrincipia Mathematicausa el trmino latinomotus1(movimiento) yvis motrix(fuerza motriz).Momentoymomentumson palabras directamente tomadas del latnmmentum, trmino derivado del verbomvre'mover'.La definicin concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulacin mecnica a otra: enmecnica newtonianase define para unapartculasimplemente como el producto de su masa por la velocidad, en lamecnica lagrangianaohamiltonianase admiten formas ms complicadas ensistemas de coordenadas no cartesianas, en lateora de la relatividadla definicin es ms compleja aun cuando se usansistemas inerciales, y enmecnica cunticasu definicin requiere el uso deoperadores autoadjuntosdefinidos sobre unespacio vectorialde dimensin infinita.En mecnica newtoniana, la forma ms usual de introducir la cantidad de movimiento es como el producto de la masa (kg) de un cuerpo material por su velocidad (m/s), para luego analizar su relacin con lasleyes de Newton. No obstante, tras el desarrollo de la fsica moderna, esta manera de operar no result ser la ms conveniente para abordar esta magnitud fundamental. El defecto principal es que esta definicin newtoniana esconde el concepto inherente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente fsico con o sin masa, necesaria para describir lasinteracciones. Los modelos actuales consideran que no slo los cuerpos msicos poseen cantidad de movimiento, tambin resulta ser un atributo de loscamposy losfotones.La cantidad de movimiento obedece a unaley de conservacin, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todosistema cerrado(o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.En el enfoque geomtrico de lamecnica relativistala definicin es algo diferente. Adems, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades fsicas como los fotones o loscampos electromagnticos, que carecen de masa en reposo.ndice[ocultar] 1Cantidad de movimiento en mecnica clsica 1.1Mecnica newtoniana 1.2Mecnica lagrangiana y hamiltoniana 1.3Cantidad de movimiento de un medio continuo 2Cantidad de movimiento en mecnica relativista 3Cantidad de movimiento en mecnica cuntica 4Conservacin 4.1Mecnica newtoniana 4.2Mecnica lagrangiana y hamiltoniana 4.3Mecnica del medio continuo 4.4Mecnica relativista 4.5Mecnica cuntica 5Vase tambin 6Referencia 7BibliografaCantidad de movimiento en mecnica clsica[editar]Mecnica newtoniana[editar]Histricamente el concepto de cantidad de movimiento surgi en el contexto de lamecnica newtonianaen estrecha relacin con el concepto de velocidad y el de masa. En mecnica newtoniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad:

La idea intuitiva tras esta definicin est en que la "cantidad de movimiento" dependa tanto de la masa como de la velocidad: si se imagina una mosca y un camin, ambos movindose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca es fcil de detener con la mano mientras que el camin no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuicin llev a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto mvil como a su velocidad.Mecnica lagrangiana y hamiltoniana[editar]En las formulaciones ms abstractas de lamecnica clsica, como lamecnica lagrangianay lamecnica hamiltoniana, adems del momento lineal y delmomento angularse pueden definir otros momentos, llamados momentos generalizados omomentos conjugados, asociados a cualquier tipo decoordenada generalizada. Se generaliza as la nocin de momento.Si se tiene un sistema mecnico definido por sulagrangianoLdefinido en trminos de las coordenadas generalizadas (q1,q2,...,qN) y las velocidades generalizadas, entonces el momento conjugado de la coordenadaqiviene dado por:2

Cuando la coordenadaqies una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento conjugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generalizada representa una coordenada angular o la medida de un ngulo, el momento conjugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular.Cantidad de movimiento de un medio continuo[editar]Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve segn uncampo de velocidadeses necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partcula del fluido, es decir, de cadadiferencial de masao elemento infinitesimal:

Cantidad de movimiento en mecnica relativista[editar]La constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales tiene como consecuencia que la fuerza aplicada y la aceleracin adquirida por un cuerpo material no sean colineales en general, por lo cual la ley de Newton expresada comoF=mano es la ms adecuada. La ley fundamental de la mecnica relativista aceptada esF=dp/dt.Elprincipio de relatividadestablece que lasleyes de la Fsicaconserven su forma enlos sistemas inerciales(los fenmenos siguen las mismas leyes). Aplicando este principio en la leyF=dp/dt se obtiene el concepto de masa relativista, variable con la velocidad del cuerpo, si se mantiene la definicin clsica (newtoniana) de la cantidad de movimiento.En el enfoque geomtrico de la mecnica relativista, puesto que el intervalo detiempoefectivo percibido por una partcula que se mueve con respecto a unobservadordifiere del tiempo medido por el observador. Eso hace que la derivada temporal del momento lineal respecto a la coordenada temporal del observadorinercialy la fuerza medida por l no coincidan. Para que la fuerza sea la derivada temporal del momento es necesario emplear la derivada temporal respecto altiempo propiode la partcula. Eso conduce a redefinir la cantidad de movimiento en trminos de la masa y la velocidad medida por el observador con la correccin asociada a ladilatacin de tiempoexperimentada por la partcula. As, la expresin relativista de la cantidad de movimiento de una partcula medida por un observador inercial viene dada por:3

dondeson respectivamente el mdulo al cuadrado de la velocidad de la partcula y la velocidad de la luz al cuadrado yes elfactor de Lorentz.Adems, en mecnica relativista, cuando se consideran diferentes observadores en diversos estados de movimiento surge el problema de relacionar los valores de las medidas realizadas por ambos. Eso slo es posible si en lugar de considerar vectores tridimensionales se considerancuadrivectoresque incluyan coordenadas espaciales y temporales. As, el momento lineal definido anteriormente junto con la energa constituye el cuadrivector momento-energa ocuadrimomentoP:

Los cuadrimomentos definidos como en la ltima expresin medidos por dos observadores inerciales se relacionarn mediante las ecuaciones suministradas por lastransformaciones de Lorentz.Cantidad de movimiento en mecnica cuntica[editar]Lamecnica cunticapostula que a cadamagnitud fsica observablele corresponde un operador lineal autoadjunto, llamado simplemente "observable", definido sobre un dominio de espacio de Hilbert abstracto. Esteespacio de Hilbertrepresenta cada uno de los posiblesestados fsicosque puede presentar un determinado sistema cuntico.Aunque existen diversas maneras de construir un operador asociado a la cantidad de movimiento, la forma ms frecuente es usar como espacio de Hilbert para una partcula el espacio de Hilberty usar una representacin de los estados cunticos comofunciones de onda. En ese caso, las componentes cartesianas del momento lineal se definen como:

Resulta interesante advertir que dichos operadores sonautoadjuntosslo sobre el espacio de funciones absolutamente continuas deque constituyen un dominiodensode dicho espacio. Cuidado con esto, pues los autovalores del operador momento, salvo que nos limitemos a, no tienen por qu ser reales. De hecho, en general pueden ser complejos.Conservacin[editar]Mecnica newtoniana[editar]En un sistema mecnico de partculas aislado (cerrado) en el cual lasfuerzasexternas son cero, el momento lineal total se conserva si las partculas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de ladinmica newtonianadelsistema de partculaspuede probarse que existe unaintegral del movimientodada por:

Dondeson respectivamente los vectores de posicin y las velocidades para la partculai-sima medidas por un observador inercial.Mecnica lagrangiana y hamiltoniana[editar]Enmecnica lagrangianasi el lagrangiano no depende explcitamente de alguna de las coordenadas generalizadas entonces existe un momento generalizado que se mantiene constante a lo largo del tiempo, resultando por tanto esa cantidad una integral del movimiento, es decir, existe una ley de conservacin para dicha magnitud. Pongamos por caso que un sistema mecnico tiene un lagrangiano conngrados de libertad y su lagrangiano no depende de una de ellas. Por ejemplo, la primera de ellas, es decir:

En ese caso, en virtud de lasecuaciones de Euler-Lagrangeexiste una magnitud conservadaque viene dada por:

Si el conjunto decoordenadas generalizadasusado escartesianoentonces eltensor mtricoes ladelta de Kroneckery la cantidadcoincide con el momento lineal en la direccin dada por la primera coordenada.Enmecnica hamiltonianaexiste una forma muy sencilla para determinar si una funcin que depende de las coordenadas y momentos generalizados da lugar o no a una ley de conservacin en trminos delparntesis de Poisson. Para determinar esa expresin calculemos la derivada a lo largo de la trayectoria de una magnitud:

A partir de esa expresin podemos ver que para un momento generalizado se conservar constante en el tiempo, si y slo si, el hamiltoniano no depende explcitamente de la coordenada generalizada conjugada como se puede ver:

Mecnica del medio continuo[editar]Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve segn uncampo de velocidadeses necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partcula del fluido, es decir, de cadadiferencial de masao elemento infinitesimal:

Si se introduce eltensor de tensionesque caracteriza las fuerzas internas en el interior de un medio continuo la ecuacin de balance de la cantidad de movimiento en trminos de las fuerzas exteriores se puede expresar como:

donde:es el tensor de tensiones de Cauchy.es la densidad de materia.ladensidad de fuerzasobre el cuerpo.la velocidad en cada punto del medio continuo.Mecnica relativista[editar]Enteora de la relatividadla cantidad de movimiento ocuadrimomentose define como un vectorPel producto de lacuadrivelocidadUpor la masa (en reposo) de una partcula:

En relatividad general esta cantidad se conserva si sobre ella no actan fuerzas exteriores. Enrelatividad generalla situacin es algo ms compleja y se puede ver que la cantidad de movimiento se conserva para una partcula si esta se mueve a lo largo de una lneageodsica. Para ver esto basta comprobar que la derivada respecto altiempo propiose reduce a la ecuacin de las geodsicas, y esta derivada se anula si y slo si la partcula se mueve a lo largo de unalnea de universoque sea geodsica:4

En general para un cuerpo macroscpico slido de cierto tamao en un campo gravitatorio que presenta variaciones importantes de un punto a otro del cuerpo no es posible que cada una de las partculas siga una lnea geodsica sin que el cuerpo se fragmente o perdiendo su integridad. Esto sucede por ejemplo en regiones delespacio-tiempodonde existen fuertes variaciones decurvatura. Por ejemplo en la cada dentro de unagujero negro, las fuerzas de marea resultantes de la diferente curvatura del espacio-tiempo de un punto a otro despedazaran un cuerpo slido cayendo dentro de un agujero negro.Mecnica cuntica[editar]Como es sabido en mecnica cuntica una cantidad se conserva si eloperador autoadjuntoque representa a dicha magnitud u observable conmuta con elhamiltoniano, de modo similar a como en mecnica hamiltoniana una magnitud se conserva si el parntesis de Poisson con el hamiltoniano se anula. Tomando comoespacio de Hilbertdel sistema de una partcula dentro de un potencial una representacin de tipo. Se tiene que:

Por tanto, si elpotencialno depende de las coordenadas, entonces la cantidad de movimiento de la partcula se conserva. Adems, la ltima expresin es formalmente equivalente a la del caso clsico en trminos delparntesis de Poisson. Teniendo en cuenta claro est, que ste es elhamiltoniano cuntico, y que las cantidades fsicas, no son las mismas que en lamecnica clsica, sino operadores que representan las cantidades clsicas (observables).