Caos Caos

y y

FractalesFractales

Rafael Caballero Roldán

Fractales ….. ¿qué es eso?Fractales ….. ¿qué es eso?

Definiciones imprecisas: Un fractal es una figura

• Auto-semejante

• Que contiene copias de si misma

• Definida de forma recursiva

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1: Hoja de helechoEjemplo 1: Hoja de helecho

Ampliar y girar

Ejemplo 1: Hoja de helechoEjemplo 1: Hoja de helecho

En la naturaleza la autosemejanza se

pierde tras unas pocas iteraciones

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/selfsimilar/

Ejemplo 2: ÁrbolesEjemplo 2: Árboles

Desde luego parecen árboles …

Ejemplo 2: ÁrbolesEjemplo 2: Árboles

… pero son ramas …

Ejemplo 3: CostasEjemplo 3: Costas

Un pequeño trozo de costa aumentado resulta igual de “natural” que el trozo mayor

Ejemplo 4: SeñalesEjemplo 4: Señales

La teoría de fractales se aplica a la bolsa, a la previsión de seísmos, etc.

Y aún hay más …Y aún hay más …

Nubes Brécol

Grietas ¡Música!

PeroPero, , ¿todo esto qué tiene que ver con la ¿todo esto qué tiene que ver con la Informática ?Informática ?

Los fractales son fáciles de modelizar mediante la geometría fractal

Esto permite simular en un ordenador sistemas de naturaleza fractal

Aplicaciones:

• Generación de gráficos para representar árboles, montañas, nubes, etc.

• Simulación de evolución de sistemas complejos(terremotos, movimiento de fluidos)

• Otras aplicaciones: algoritmos de compresión …

Geometría FractalGeometría Fractal

Dentro de la geometría fractal podemos distinguir dos tipos de fractales:

• Objetos construidos a partir de copias exactas (escaladas) de si mismos à fractales regulares

• Objetos auto-semejantes, pero que no están construidos sólo a partir de copias exactas de si mismos à fractales no regulares

Fractales RegularesFractales Regulares

Se definen generalmente de la siguiente manera:

• Se parte de una figura inicial

• Se aplican unas reglas de transformación, que generan varias nuevas figuras a partir de la inicial

• A cada una de las nuevas figuras se le aplica de nuevo las reglas de transformación ….. y así hasta el infinito

• Sólo podemos dibujar aproximaciones finitas(unas cuantas iteraciones)

Ejemplo: conjunto de CantorEjemplo: conjunto de Cantor

Definido por Georg Cantor en 1877

Construcción:

El conjunto se obtendría tras infinitas iteraciones

TransformaciónFigura Inicial

1 1/3 1/3

Iteración IteraciónIteración

Reglas de transformación: • Tomar cada segmento actualmente el conjunto

• Dividir el segmento en 3 y eliminar la parte central

Ejemplo: conjunto de CantorEjemplo: conjunto de Cantor

Definición más precisa del conjunto:• Sean c1(x) = x/3, c2(x)=x/3 + 2/3, c(A) = c1(A) U c2(A), p.t. conjunto A

• Definimos C0 = [0,1], Ck+1 = c(Ck) para k=0

• Entonces el conjunto de Cantor es límite de la sucesión {Ck} kà∞

El conjunto está construido a partir de 2 (o 4, o 8 o 16) copias exactas de sí mismo:

x3 x3

Ejemplo: conjunto de CantorEjemplo: conjunto de CantorC0 = (segmento [0,1])

C1 = c(C0) = c1(C0) U c2(C0) = c1( ) U c2( )=

= ( ) U ( ) =

C2 = c(C1) = c( ) = .…. =

Pregunta: Sea C el conjunto de Cantor ¿Cuánto vale c(C) ?

c(C) = c1( ) U c2( ) =

= ( ) U ( ) = = C

El conjunto de Cantor es un punto fijo para la aplicación c

Ejemplo: triángulo de SierpinskiEjemplo: triángulo de Sierpinski

Definido por Waclaw Sierpinski (1882 – 1969)

Construcción:

Figura Inicial Transformación

Ejemplo: triángulo de SierpinskiEjemplo: triángulo de Sierpinski

Triángulo de SierpinskiTriángulo de Sierpinski

Cada triángulo está construido a partir de 3 copias de tamaño ½:

1

Triángulo de SierpinskiTriángulo de Sierpinski

Igual que en el conjunto de Cantor, el triángulo se Puede definir formalmente:

• s1(x,y) = (½ x, ½ y)• s2(x,y) = (½ x + ½ , ½ y)• s3(x,y) = (½ x + ¼ , ½ y + ½ )• s(A) = s1(A) U s2(A) U s3(A)• S0 = , Sk+1 = s(Sk) para k=0• El triángulo de Sierpinski es el límite de {Sk} kà∞

1

s1

s2s3

Triángulo de SierpinskiTriángulo de Sierpinski

Se cumple que:• S0 = • S1 =• S2 =

Si S es es triángulo de Sierpinski, se cumple que s(S) = S

El triángulo de Sierpinski es un punto fijo para la transformacion s

La familia SierpinskiLa familia Sierpinski

Alfombra de Sierpinski :

Cubo de Sierpinski :

Se utiliza en la construcción de circuitos:

Fractales No RegularesFractales No Regulares

Algunos se pueden definir, igual que los regulares como el límite de una sucesión de conjuntos:

• Se parte de una figura inicial (conjunto de puntos)

• A partir del conjunto inicial se genera uno nuevo aplicando un conjunto de funciones, generalmente transformaciones afines:

f(x,y) = +

• Ejemplos: hojas, árboles, etc.

Otros se definen como los puntos para los que una serie converge ( ej.: conjunto de Mandelbrot)

a bc d

x

y

e

f

Ejemplo: hojaEjemplo: hoja

Fractal no regular

Definido mediante 4 funciones

Ejemplo: hojaEjemplo: hoja

Funciones:• f1(x,y) = (0, 0.2y+10 )

• f2(x,y) = (0.85x+0.04y, -0.04x+0.85y+100)

• f3(x,y) = (0.2x-0.26y, 0.23x+0.22y+100)

• f4(x,y) = (-0.15x+0.3y, 0.26x+0.24y+28)

El tallo se logra poniendo la x constante

f1

f2

f1

f3f4

¿Cómo dibujarlos?¿Cómo dibujarlos?

Formalmente, f contractiva si d(a,b) > d(f(a),f(b))para todo a,b (d es una distancia)

Teorema: Sea f una función contractiva en un espacio completo. Entonces:

• f tiene un único punto fijo p, tal que f(p)=p

• Dado un punto x cualquiera, la sucesión

s0 = x, si+1 = f(si), i=0

converge al punto fijo p

¿Cómo dibujarlos?¿Cómo dibujarlos?

El teorema dice que no importa la figura inicial; aplicando las transformaciones acabamos siempre en el punto fijo

Método para dibujar un fractal definido por una serie de transformaciones {f1, f2, ..,fn}:

• Empezar por una figura cualquiera F

• F’ = f1(F) U f2(F) U ….. U fn(F)

• Repetir el paso anterior tomando F = F’

De está forma iremos viendo formarse el fractal, que es el punto fijo de {f1,…..,fn}

Ejemplo: Sierpinski a partir de MandelbrotEjemplo: Sierpinski a partir de Mandelbrot

s1(x,y) = (½ x, ½ y)s2(x,y) = (½ x + ½ , ½ y)s3(x,y) = (½ x + ¼ , ½ y + ½ )

Transformaciones del conjunto de Sierpinski:

Figura inicial: foto de B. Mandelbrot

…

El juego del caosEl juego del caos

El método anterior es válido pero costoso: Incluso si se parte de un solo punto pronto tenemos que trabajar con figuras formadas por muchos puntos

Alternativa propuesta por M. Barnsley: 1. Partir de un punto p cualquiera

2. Elegir una {f1,…,fn} al azar

3. Aplicarla para obtener un nuevo punto p

4. Dibujarlo y repetir el paso 2

Estadísticamente equivale a aplicar todas las funciones, pero es menos costoso

La dimensión de los fractalesLa dimensión de los fractales

La dimensión de los objetos fractales no es obvia:

.Dimensión 0 Dimensión 1 Dimensión 2 Dimensión

¿?

B. Mandelbrot propuso un método para conocer la dimensión de un fractal

La dimensión de los fractalesLa dimensión de los fractales

Idea: Si una figura de dimensión D se puede componer a partir de n copias de escala 1/s se tiene que sD = n . Ejemplos:

• Una línea de longitud 1 se puede componer a partir de 2 copias de longitud ½ (21 = 2 , dimensión 1)

• Un cuadrado de lado 1 se puede componer a partir de 4 cuadrados de longitud ½ (22 = 4, dimensión 2)

• Un cubo de lado 1 se puede componer a partir de 8

cubos de longitud ½ (23 = 8, dimensión 3)

• Un triángulo de Sierpinski de lado 1 se puede componer

a partir de 3 copias de lado ½ (2D=3 ) à D= log 3/log 2

D = 1,584… ¡dimensión fraccionaria! 1

El conjunto de Mandelbrot El conjunto de Mandelbrot

(ejemplo de fractal (ejemplo de fractal no regularno regular))Una charla sobre fractales tiene que mencionar por fuerza el conjunto de Mandelbrot:

¿De donde salen los colores?¿De donde salen los colores?

Normalmente se dibujan:

• Los puntos del conjunto en negro

• Para los que no son del conjunto se elige un color relacionado con el número de iteracionesen el que se ha tenido que |Zn| > 2

• Se trata de que a valores de n similares les correspondan colores similares

Conjunto de MandelbrotConjunto de Mandelbrot

También se pueden hacer representaciones 3D:

Sascha Ledinsky

¿Dónde está la auto¿Dónde está la auto--semejanza?semejanza?

Al aumentar áreas de cerca del borde se encuentran “pequeños” conjuntos de Mandelbrot y muchas maravillas

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/selfsimilar/index.html

CC aa oo s s

La palabra caos se utiliza para describir el comportamiento de sistemas no lineales

Característica de los sistemas no lineales:

Un pequeño cambio en un parámetro produce

un gran cambio en el resultado final

Suelen emplearse para modelar la evolución en el tiempo de procesos complejos: plagas, el clima, movimiento de fluidos, etc.

CC aa oo s s

Un caso: agrupación de partículas con movimiento browniano (ej. Partículas de hollín):

Aspecto fractal

CC aa oo s s

Otro ejemplo interesante: se ha comprobado que la molécula del glucógeno tiene naturaleza fractal:Biophys J, September 1999, p. 1327-1332, Vol. 77, No. 3

The Fractal Structure of Glycogen: A Clever Solution to Optimize Cell Metabolism

Ruth Meléndez, Enrique Meléndez-Hevia, and Enric I. Canela