ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS FLEXIBLES

CAPITULO 2

1. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN PAVIMENTOS FLEXIBLES

la teora de Boussinesq se usa para determinar esfuerzos, deformaciones y deflexiones en la sub base, si la relacin de mdulos entre el pavimento y sub base es cerca de la unidad. Si es mayor dicha relacin la ecuacin debe ser modificada.

1.1 SOLUCIONES POR CUADROS

Foster y Ahlvin (1954) presentan cuadros para determinar esfuerzos verticales del z, esfuerzo radial r, esfuerzos tangenciales t, esfuerzos cortantes rz y la deflexin vertical WoLa carga es aplicada sobre un rea circular de radio a y carga q porque la relacin de Poisson tiene un efecto relativamente en los esfuerzos y deflexiones.Los mismos Foster y Ahlvin asumen un espacio (medio) que es incomprensible con una relacin de Poisson de 0.5.

Ahlvin y Ulery mejorarn este trabajo presentando una serie de ecuaciones y tablas mediante las cuales peden ser calculados los esfuerzos, deformaciones y deflexiones para cualquier mdulo de Poisson.

Despus de obtener los esfuerzos en los cuadros las deformaciones pueden ser calculadas con las siguientes expresiones

Si el rea de contacto consiste en dos crculos los esfuerzos y deformaciones pueden ser calculados por superposicin.

EJERCICIO N 01 (Pg. 52)En la figura se muestra un espacio (medio) cargado con dos cargas circulares cada una de 10 in de dimetro y espaciado a 20 m del centro. La presin sobre el rea circular es 50 psi. El espacio medio tiene un modulo e elasticidad de 10000psi, = 0.5. determinar el esfuerzo y deformacin vertical en el punto A, el cual esta localizado 10 in debajo del centro de uno de los crculos

1.2 SOLUCIONES EN EL EJE DE SIMETRA Cuando la carga es aplicada sobre el rea circular cargada, el esfuerzo ms crtico, la deformacin y la deflexin ocurren debajo del centro del rea circular, en el eje de simetra donde rz= 0 y r = t por lo tanto z y r son los esfuerzos principales.

PLACA FLEXIBLELa carga aplicada de la llanta, hacia el pavimento es similar a la placa flexible con un radio a y una presin uniforme q. Los esfuerzos debajo del centro de la placa puede ser determinados por:

Para todo =0.5

En la superficie del espacio medio z = 0

EJEMPLO N 02 (Pg. 53 )Igual que el ejemplo N 01 excepto en que solamente exista una area acragada y el modulo de Poisson es de 0.3, como se muestra en la figura. Determinar esfuerzos, deformaciones y Deflexiones en el punto A

SOLUCIN.-

PLACA RIGIDA

Todos los anlisis acerca del tema estn basados en asumir que las cargas aplicadas en una placa flexible, por la llanta de la goma. Si la carga es aplicada en una placa rgida, como es usado en el ensayo de una placa cargada, la deflexin es las misma en todos los puntos de la placa, pero la presin distribuida debajo de la placa no es uniforme, las diferencias entre una placa rgida y otra flexible se muestra en el siguiente grfico:

La distribucin de presiones debajo de la placa rgida, puede ser expresada como:

r : distancia del centro al punto donde calculamos la presinq : presin promedio la cual es igual al total de la carga dividida por el rea.La presin ms pequea es la que se encuentra en el centro y es igual a la mitad de la presin promedio; la presin en el borde de la placa es infinita. La deflexin debida a todas las cargas puntuales se puede dar por:

1.3 MASA NO LINEAL

La soluciones de Boussinesq estn basadas en la suposicin que el material que constituye el medio espacio es linealmente elstica, es conocido que el suelo de la sub capa no es elstica y se encuentra en una deformacin permanente debajo de las capas estacionarias. No obstante est aplicada repetidamente a cargas de trfico en movimiento. La mayora de las deformaciones son recuperables y pueden ser consideradas elsticas. Por consiguiente es posible seleccionar mdulos elsticos que correspondan a las velocidades de carga en movimiento. La deformacin axial del material elstico lineal debajo del esfuerzo axial debe ser independiente de la presin de confinamiento. Esto evidentemente no es verdadero para suelos porque las deformaciones axiales dependen fuertemente de la magnitud de la presin de confinamiento.

MTODO ITERATIVO

Se muestra al efecto de no linealidad de materiales granulares en esfuerzos verticales y deflexiones, Huang dividio el espacio en siete capas y aplico la teora de capas de Boussinesq para determinar los esfuerzos a la mitad de cada capa, en la cual la ltima capa se considera rgida y con un mdulo de elasticidad grande.

Despus de haber obtenido los esfuerzos, el mdulo de elasticidad de cada capa esta dada por : Son los esfuerzos que no varan o se suman los tres esfuerzos normalesE : Mdulo de elasticidad debajo de los esfuerzos invariantes dadosEo: Es el mdulo de elasticidad inicial o el modulo de elasticidad cuando el esfuerzo es cero : Constante de suelo que indica el incremento del mdulo de elasticidad por unidad de incremento en esfuerzo invariante

Ntese que los esfuerzos invariantes deben incluir los efectos de las cargas aplicadas as como los esfuerzos geostticos que pueden ser expresados comoz,r,t : Esfuerzos vertical, radial y tangencial : Peso unitario especfico de sueloz : Distancia entre la superficie de sueloKo: Coeficiente de presin del suelo (tierra en reposo)

Primero se asume el mdulo de elasticidad para cada capa y se obtienen los esfuerzos aplicando la teora de capas. Basado en los esfuerzos as obtenidos. Se itera hasta que los mdulos en las dos ltimas iteraciones sean iguales o aproximadas.

Los esfuerzos verticales no son afectados por la distancia radial, puede utilizarse r = 0 r = para su determinacin. Pero los desplazamientos verticales son tremendamente afectados.Huang utiliza el mtodo de los elementos finitos y encontr que las caractersticas no lineales de los suelos tienen un gran efecto en los desplazamientos verticales y radiales.

MTODO APROXIMADO En este mtodo se divide el medio o espacio en un nmero de capas, en las cuales los puntos medios de dichas capas se calculan los esfuerzos con la teora de Boussinesq basados en la teora lineal. Los mdulos de elasticidad de cada capa son determinados por la ecuacin E=E0(1+). La deformacin en cada capa es la diferencia en deflexin entre la parte superior y baja de cada capa basadas en E dados, estas pueden ser obtenidos empezando de la base rgida o altura ms lejana de la superficie donde el desplazamiento vertical puede ser asumido como cero, las deformaciones son aadidas de varias alturas

Clculo de deformacin para cada capa

Diferencias en los esfuerzos y mdulos entre las soluciones de Boussinesq y Burmister

2. SISTEMAS DE CAPAS2.1 SISTEMA DE DOS CAPAS

El caso exacto de un sistema de dos capas es el full-depth, construido en cada espesor de capa de un HMA es colocado directamente en la sub capa. Si un pavimento esta compuesto por tres capas, de una capa de una superficie de asfalto, de una capa de base granular y de una sub capa, es necesario la combinacin de la capa de la base y de la sub base dentro de una capa simple para calcular los esfuerzos y deformaciones en la capa de asfalto o la combinacin de la superficie de asfalto y la capa de la base para calcular los esfuerzos y deformaciones en la sub capa.

ESFUERZOS VERTICALES Los esfuerzos verticales en la parte superior de la sub base es un factor importante en el diseo de pavimentos. La funcin de un pavimento es reducir el esfuerzo vertical en la sub base, por lo tanto las deformaciones perjudiciales del pavimento no ocurrirn. La fatiga por el esfuerzo vertical dado en una sub capa dependen de las deformaciones o mdulos en la sub capa. La combinacin de efectos, esfuerzos y deformaciones, el esfuerzo de compresin vertical puede ser usado ms frecuentemente como un criterio de diseo. Esta simplificacin es vlida para pavimentos de super carreteras y aeropuertos porque la deformacin vertical es causada primordialmente por el esfuerzo vertical y el efecto del esfuerzo horizontal es relativamente pequeo

La deformacin vertical no es buen indicador de los esfuerzos verticales, los esfuerzos en los sistemas de dos capas depende de la relacin de capas E1/E2 y al relacin entre la altura y el radio del area cargada h/a, y solo es aplicable cuando h=a o h/a= 1 y la relacin de Poisson para todos los casos es de 0.5. Se puede ver que los esfuerzos verticales decrecen significativamente con el incremento de la relacin de los mdulos

DEFLEXIN VERTICAL EN LA SUPERFICIE Las deflexiones verticales de la superficie puede ser usado como un criterio de diseo de pavimentos. La figura 2.17 puede ser usada para determinar la deflexin vertical en la superficie para un sistema de dos capas. Estas deflexiones estn en funcin de la carga q, del area a y de un factor de deflexin F2.

Si la carga es aplicada en una carga rgida la ecuacin es:

F2 se calcula en el cuadro siguiente

DEFLEXIONES VERTICALES EN LA INTERFASE La deflexin vertical en la interfase puede ser usada tambin como un criterio de diseo. El cuadro 2.19 puede ser usado para determinar la deflexin vertical en la interfase en un sistema de dos capas. La deflexin esta expresada en trminos del factor de deflexin F, de la carga Q y del radio a; donde F2 F, donde F se halla en los cuadros 2.19

DEFORMACIONES POR TENSION CRTICA

La deformaciones por tensin critica en la parte baja de la capa de asfalto, puede ser usada como criterio de diseo para prevenir la rotura por fatiga del pavimento. Dos tipos de deformaciones principales pueden ser considerados, una es la deformacin completa de las seis capas componentes normales y los esfuerzos cortantes. El otro es la deformacin principal horizontal basada en el esfuerzo normal y cortante nicamente. Las deformaciones por tensin critica para la interfase de un sistema de dos capas puede calcularse con:

Las deformaciones por tensin critica estn en funcin de la carga q, de E y de un factor de deformacin e

Fe: Se determina de la tabla

RUEDA SIMPLE.- En muchos casos las deformaciones por tensin critica ocurre debajo del centro del area cargada donde el esfuerzo cortante es cero, siempre que entre ambas relaciones H1/a y E1/E2 sean pequeas. Las deformacines por tensin critica ocurren a algunas distancias del centro debido al efecto predominante de los esfuerzos cortantes, debido a esta situacin la deformacin de tensin critica esta a una distancia radial de 0.05a, a y 1.5a de centro

Ejemplo.- Entrando a la tabla 2.21 con h1/a = 1.23 y E1/E2 = 10 obtenemos Fe = 0.72Sabemos que :

RUEDA DOBLE O DUALES El factor de deformacin para una rueda dual con un radio de contacto a y un doble espaciamiento Sd (distancia entre ejes), depende de Sd/a conjuntamente con E1/E2 y h1/a. Para este caso se usa la tabla 2.23. En este mtodo la rueda dual es remplazado por una rueda simple con el mismo radio de contacto a as que la figura 2.21 puede ser usada. El factor de deformacin para una rueda dual es mayor que para un rueda simple.

La multiplicacin del factor de conversin por el factor de deformacin obtenido de la figura 2.21 nos da el factor de deformacin para una rueda doble, mientras la relacin h/a y Sd/a permanece constante el factor de deformacin permanece constante sin importar si el radio de contacto es mayor o menor.

Considerando Sd = 24 inch y un radio a = 3 inch el factor de deformacin para h1, E1/E2, puede ser calculada con el factor de conversin de la figura 2.23, considerando tambin Sd = 24 inch y un radio de 8 inch se calculara otro factor de conversin con dicho factor y de la ecuacin 2.19 se calcula el factor de conversin de la rueda dual.Para obtener los factores de conversin de cada caso mencionado (a=3 inch, a=8inch) se utilizara las formulas 2.18a y 2.18b (2.18b para entra en el cuadro 2.23). como se dijo la figura 2.23 esta basada en un Sd = 24 inch. Para la conversin de cualquier valor de Sd a un Sd = 24 inch usamos la misma proporcin para el cambio de a y h1, haciendo permanecer que h1/a y Sd/a mantengan su valor.

Dicho procedimiento se muestra a continuacin.

Para determinar el factor de conversin de la rueda simple a la dual utilizaremos la siguiente ecuacin:

C = C1 + 0.2(a-3) x (C2 - C1)

RUEDA DUAL TANDEM El uso de los graficos siguientes, es similar al grafico 2.23 manteniendo Sd = 24 inch y haciendo variar un St (Espaciamiento Tandem) a 24, 48, 72 el procedimiento para cada caso es similar al de una rueda dual.El Sd dado se debe a un Sd de 24 in manteniendo la misma relacin del Sd dado con el Sd de 24 y haciendo variar el radio de contacto a se calcula el St nuevo, este piede ser St = 24,48,72 y 120, caso contrario se deber interpolar para determinar el coeficiente de variacin con dos tablas que contengan dicho St

SISTEMA DE TRES CAPAS La figura 2.29 muestra un sistema de 3 capas y un esfuerzo en la interfase y que se encuentra en el eje axial de simetra. Este esfuerzo incluye el esfuerzo vertical en la interfase1, z1 , el esfuerzo vertical en la interfase 2, z2 y el esfuerzo radial en la base de la capa 1, r, el esfuerzo radial encima de la capa 2 r1, el esfuerzo radial en el fondo de la capa 2 r2 y un esfuerzo radial encima de la capa 3 r2 .

Ntese que en el eje el esfuerzo axial de simetra, el esfuerzo tangencial y radial son idnticos y el esfuerzo de corte igual a cero.Cuando Poisson igual a 0.5 la ecuacin 2.1 ser:

La relacin entre las dos ecuaciones es: En la ecuacin anterior se puede visualizar fsicamente para el hecho de un material incompresible con una relacin de Poisson de 0.5 la deformacin horizontal es igual a una porcin de la deformacin vertical y la suma z, r, t es igual a cero.

TABLA DE JONES Los esfuerzos en los sistemas de tres capas dependen de las relaciones: Con las tablas de Jones podemos determinar z1, z1-r1, z2, z2-r2 tambin se tiene z1-r1 (encima de la capa 2) y z2-r2 (encima de la capa 3).

Las tablas presentadas por Jones para valores de K1, K2 igual a 0.2, 20, 200 las soluciones para valores intermedios de K1,K2, se puede interpolar, pero esta interpolacin no es prctica para el diseo prefirindose Kenlayer.La tabla 2.3 presenta factores de esfuerzo para un sistema de tres capas

DIAGRAMAS DE PEALTIES Este permite evaluar las deformaciones radiales en la base de la capa 1, estas deformaciones radiales Er se pueden evaluar en funcin de la carga y de los mdulos de elasticidad y establece que la deformacin radial es: