Cap 2. gradiente geométrico

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE FICA INGENIERÍA ECONÓMICA GRADIENTE ARITMÉTICO ECON. TATYANA SALTOS E.

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTEFICA

INGENIERÍA ECONÓMICAGRADIENTE ARITMÉTICOECON. TATYANA SALTOS E.

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OBJETIVOS1. UTILIZAR EL FACTOR DE UNA SERIE CON GRADIENTEGEOMÉTRICO (P/A, g) PARA CALCULAR EL VALORPRESENTE.

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Factores para series gradientes geométricas

Es común que los ingresos anuales y los costos anuales, como mantenimiento,operaciones y trabajo, aumenten o disminuyan con un porcentaje constante,por ejemplo, + 5% o – 3% anual. Este cambio ocurre cada año sobre unanueva cantidad que comienza en el primer año del proyecto.

Es común que los ingresos anuales y los costos anuales, como mantenimiento,operaciones y trabajo, aumenten o disminuyan con un porcentaje constante,por ejemplo, + 5% o – 3% anual. Este cambio ocurre cada año sobre unanueva cantidad que comienza en el primer año del proyecto.

Nuevos términosa utilizar

Una serie de gradiente geométrico es una serie deflujo de efectivo que aumenta o disminuye en unporcentaje constante cada período. El cambiouniforme se denomina tasa de cambio.

g = tasa de cambio constante, en formadecimal, mediante la cual las cantidades aumenta odisminuye de un periodo al siguiente. El gradiente gpuede ser + o -

A1 = flujo de efectivo inicial en el año 1de laserie geométrica.

Pg = valor presente de la serie geométricacompleta, inclusive la cantidad inicial A1.

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Tome encuenta queTome en

cuenta queQue el flujo de efectivo inicial A1 no seconsidera por separado cuando se trabaja congradiente geométrico.

La figura 2.17 presenta diagramas de flujo de efectivo para series gradientegeométrico con tasas uniformes de aumento o disminución. La serie empiezaen el año 1 a una cantidad inicial A1, la cual no se considera una cantidad base,como en el gradiente aritmético, y un valor Pg en el momento 0.

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La relación para determinar el valor presente total Pg para todala serie de flujo de efectivo puede derivarse al multiplicar cadaflujo de efectivo en la figura2.17a ) por el factor P/F = 1/(1 + i)n

Se multiplican ambos lados por (1 + g)/(l + i), se resta la ecuación [2.20]del resultado, se factoriza Pg y se obtiene:

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Se despeja Pg y se simplifica.

El término entre corchetes en la ecuación [2.21] es el factor (P/A,g,i,n), ofactor del valor presente de una serie de gradiente geométrico paravalores de g que no son iguales a la tasa de interés i. Cuando g = i, se sustituye ipor g en la ecuación (2.20), y observe que el término 1/(1+i) aparece n veces..

El término entre corchetes en la ecuación [2.21] es el factor (P/A,g,i,n), ofactor del valor presente de una serie de gradiente geométrico paravalores de g que no son iguales a la tasa de interés i. Cuando g = i, se sustituye ipor g en la ecuación (2.20), y observe que el término 1/(1+i) aparece n veces..

el factor (P/A,g,i,n), calcula Pg en el periodo t=0para una serie de gradiente geométrico quecomienza en el periodo 1 en la cantidad A1 yaumenta en cada periodo con una tasa constantede g.

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La ecuación para Pg yla fórmula del factor

(P/A,g,i,n) son

Es posible derivar factores para los valores equivalentes de A y F; sin embargo, es másfácil determinar la cantidad Pg y luego multiplicarla por los factores AlP o FIP.

Como con las series de gradiente aritmético, en las hojas de cálculo no existen funcionesdirectas para las series gradiente geométrico. Una vez que se han ingresado los flujos deefectivo, P y A se determinan usando las funciones VPN y PAGO, respectivamente.

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Determinación de i o n para valores conocidos de flujo deefectivo.

En algunos casos se conoce o se han estimado el flujo de efectivo pero sedesconoce el valor de i (tasa de interés o tasa de retorno) o el n (número deaños).

Ejemplo enque sebusca i

Una compañía invirtió dinero para desarrollar unnuevo producto. Una vez que se conoce la seriede ingresos netos anuales para varios años en el

mercado, calcule la tasa de retorno i de lainversión.

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Hay varias manera decalcular un valor

desconocido i o de n

En función de la naturaleza de la seriede flujo de efectivo y el métodoelegido para determinar el valor de laincógnitas.

1. El caso más simple es cuando hay cantidades únicas (P y F) y seresuelve con una función de hoja de cálculo.

1. El caso más simple es cuando hay cantidades únicas (P y F) y seresuelve con una función de hoja de cálculo.

2. El más difícil y complejo implica encontrar i o n para flujos efectivosirregulares mezclados con series de gradiente uniforme, y obtener la

solución con calculadora.

2. El más difícil y complejo implica encontrar i o n para flujos efectivosirregulares mezclados con series de gradiente uniforme, y obtener la

solución con calculadora.

Determinación de i o n para valores conocidos de flujo deefectivo.

A continuación seresumen los enfoques

de solución

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Determinación de i o n para valores conocidos de flujo deefectivo.

Solución a mano o con calculadora.Plantee la relación de equivalencia y (1)resuelva para la variable por medio de lafórmula del factor o (2) encuentre el valordel facto e interpole con la tablas.

Solución con hoja de cálculo. Utilice lafunción TIR o TASA para encontrar i o lafunción NPER para obtener n.

Solución a mano o con calculadora.Plantee la relación de equivalencia con elfactor apropiado P/A, A/P, F/A o A/F) yutilice el segundo método de losmencionados.

Solución con hoja de cálculo. Use lafunción TIR o TASA para obtener i, o lafunción NPER para obtener n.

Cantidadesúnicas. Solo P y F

Cantidadesúnicas. Solo P y F

Serie uniforme.Serie A

Serie uniforme.Serie A

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Determinación de i o n para valores conocidos de flujo deefectivo.

Serie A, gradientesy/o valores aislados

mixtos.

Serie A, gradientesy/o valores aislados

mixtos.

Solución a mano o con calculadora.Plantee la relación de equivalencia y trabaje(1) por ensayo o por error o (2) confunciones de la calculadora.

Solución con hoja de cálculo. Utilice lafunción TIR o TASA para encontrar i o lafunción NPER para determinar el valor den.

Además de las funciones VA, VF Y VPN, otras funciones de utilidad paracalcular i son TIR (tasa interna de rendimiento) y TASA, y para obtener nes útil NPER (número de periodos).

Además de las funciones VA, VF Y VPN, otras funciones de utilidad paracalcular i son TIR (tasa interna de rendimiento) y TASA, y para obtener nes útil NPER (número de periodos).

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= TIR(primera_celda:útlima_celda= TIR(primera_celda:útlima_celda

= TASA(n,A,P,F)= TASA(n,A,P,F)

= NPER (i%,A,P,F)= NPER (i%,A,P,F)

Para usar TIR en el cálculo de i se introducen todos los flujos deefectivo en celdas adyacentes, incluso los valores de cero.

La función de celda única TASA calcula el valor de i cuando estáinvolucrada una serie A y valores únicos P y/o F.

NPER es una función de celda única para determinar el valor de ncuando se conocen valores únicos de P y F, con una serie A.

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